Codierungstheorie II: Fehlerkorrigierende Codes

Wir brauchen eine Hilfskonstruktion.
6.2 Satz/Definition Erweitern und Verkürzen durch Paritäts-Stelle
Seien l, m ∈ IN, δ ungerade und K = {0, 1}.
a) Sei C ⊆ K l ein (nicht notwendig linearer) Code mit |C| = m und ungeradem
Mindestabstand δ.
Für v = (v1, ..., vl) ∈ K l setze ˆv := (v1, ..., vl, 0) ∈ K l+1 oder ˆv := (v1, ..., vl, 1) ∈
K l+1 je nachdem v gerade oder ungerade ist.
Dann ist Ĉ := {ĉ | c ∈ C} ⊆ Kl+1 ein Code mit Mindestabstand δ+1 und | Ĉ| = m.
Falls C linear, ist Ĉ linear.
b) Sei Ĉ ⊆ Kl+1 ein Code mit geradem Mindestabstand δ + 1.
Wähle Codewörtert x, y ∈ Ĉ mit Abstand δ + 1.
Sei etwa xl+1 ̸= yl+1. Streiche in allen Codewörtern die l+1-te Stelle. Der entstehende
Code C ⊆ K l hat Mindestabstand δ und erfüllt |C| = | Ĉ| (wenn c(c1, ..., cl, 0), d =
(c1, ..., cl, 1) ∈ C ist, folgt α(c, d) = 1 < 2 ≤ δ + 1, Widerspruch).
Falls Ĉ linear, ist C linear.
6.3 Golay-Code Wir konstruieren einen perfekten linearen Code mit l = 23,
K = GF2, dim C = 12, Mindestabstand δ = 7 (Bezeichnung: G23).
Zunächst erklären wir den ’erweiterten Golay-Code’
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Ĉ; das ist ein linearer Code
zu K = GF2 mit l = 24 und dimĈ = 12 und Mindestabstand 8. Bezeichnung:
G24 := Ĉ.
Nach 6.2 erhält man durch Verkürzen einen linearen Code C ⊂ K 23 (siehe 6.2).
Bezeichnung: G23.
Die Matrix G ∈ K 12×24 definiere durch G := ( E A ). Dabei sei E die 12 × 12-