Codierungstheorie II: Fehlerkorrigierende Codes

6. Perfekte Codes, Golay-Codes
Sei C ⊆ V := K l (n := |K| ∈ IN ).
Wir erinnern daran, daß der Code C perfekt genannt wird, wenn ein ϵ ∈ IN0 existiert
mit
wobei die Vereinigung disjunkt ist.
Es folgt (mit m := |C|):
(perf) n l = m(1 +
V = ˙∪
c∈C B′ ϵ(c)
( )
l
(n − 1)
1
1 +
( )
l
(n − 1)
2
2 + ... +
In diesem Fall ist δ := 2ϵ + 1 der Mindestabstand des Codes.
( )
l
(n − 1)
ϵ
ϵ )
Seit 1950 bearbeitete M. Golay das Problem, alle perfekten Codes zu bestimmen.
Für Primzahlpotenzen n gelang J.H. van Lint und A. Tietäväinen 1973 eine Teil-
Lösung (6.4), nämlich die möglichen Parametertripel (l, |C|, δ) zu bestimmen (zu
denen es einen perfekten Code C ⊆ K l mit Mindestabstand δ gibt), wenn n eine
Primzahlpotenz ist.
Die Hamming-Codes Ham(r, n) liefern Beispiele für perfekte Codes zu Primzahlpo-
tenzen n mit l = nr −1
n−1 und |C| = nk wobei k := l − r ist und ϵ = 1; also δ = 3.
’Triviale’ Beispiele perfekter Codes sind C = V (d.h. jedes Wort ist ein Codewort;
also ϵ = 0, δ = 1) und C = {(0, ..., 0), (1, ..., 1)} ⊂ K l wobei K = {0, 1} ist und l
ungerade (also ϵ = 1(l
− 1)).
2
Wenn n keine Primzahlpotenz ist, ist sehr wenig über die Existenz perfekter Codes
bekannt.
Theorem (Tietäväinen, van Lint, Zinovev, Leontev) über einem endlichen Körper
existieren (bis auf Äquivalenz) nur die folgenden nicht-trivialen linearen perfekten
Codes:
• Die Hamming-Codes Ham(r, n) (Länge l = nr−1 , r = l − k wobei k = dimC,
n−1
K = GFn; δ = 3).
• Die beiden Golay-Codes G23, G11 (Beschreibung unten).
Bescheidenere Frage: Welche Zahlentripel (l, m, ϵ, n) gibt es, die (perf) erfüllen?
Für n = 3 ist (l, m, ϵ, n) = (11, 3 6 , 2, 3) eine Lösung von (perf) (denn 3 11 = 3 6 (1 +
26