Codierungstheorie II: Fehlerkorrigierende Codes

4.5”’ Beispiel
⎛
1
⎜ 0
G = ⎜ 0
⎝
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
⎞
1
⎟
1 ⎟
0 ⎟
⎠
0 0 0 1 0 1 1
Eine Kontrollmatrix ist
⎛
1
⎜
H = ⎜ 0
⎝
1
1
1
1
0
1
−1
0
0
−1
0
0
⎞
⎟
⎠
1 1 0 1 0 0 −1
5. Erste Bemerkungen zu Codes und Inzidenzstrukturen
5.1 Definition Eine Inzidenzstruktur sei hier ein Tripel (P, B, I), wobei P und B
Mengen seien (Elemente von P nenne Punkte, die von B Blöcke) und I eine Relation
zwischen Punkten und Blöcken (d.h. I ⊆ P × B; statt (a, c) ∈ I schreibt man aIc).
Statt Block kann man auch Gerade sagen, was aber in der Kombinatorik nicht üblich
ist.
Seien λ, d, l ∈ IN. Ein S(λ, d, l)-Steiner-System ist eine Inzidenz-Struktur (P, B, I)
mit den Eigenschaften:
S1. Zu beliebigen λ Punkten existiert genau ein mit diesen Punkten inzidenter Block.
S2. Jeder Block inzidiert mit genau d Punkten;
S3. |P | = l;
5.2 Beispiel Eine affine Ebene der Ordnung o ∈ IN ist ein S(2, o, o 2 ) Steiner-System.
Eine projektive Ebene der Ordnung o ∈ IN ist ein S(2, o+1, o 2 +o+1) Steiner-System.
5.3 Definition/Satz Sei C ⊆ V = K l ein perfekter linearer Code, n = |K| = 2,
mit Minimalabstand δ = 2ϵ + 1.
Wir ordnen dem Code eine Inzidenzstruktur zu:
P := {1, ..., l}; B := {c ∈ C | γ(c) = δ}; I := {(j, c) | πj(c) = 1}. Dabei sei
πj : V → K, πj((v1, ..., vl)) := vj die Abbildung auf die j-te Koordinate.
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