Codierungstheorie II: Fehlerkorrigierende Codes

Deshalb sieht man äquivalente Codes als gleich gut an.
4.2 Bemerkung Sei C ⊆ K l ein Code und 0 ∈ K irgendein Element. Dann existiert
ein zu C
äquivalenter Code C ′ mit (0, ..., 0) ∈ C ′ .
4.3 Bemerkung Seien r, n ∈ IN (n Primzahlpotenz). Je zwei Hamming-Codes vom
Typ Ham(r, n) sind äquivalent.
Beweis durch Revision von 3.12.
4.4 Beispiel (Anwendung) Sei l = 5 vorgegeben und K = {0, 1}. Wir wollen einen
Code C ⊆ K l mit Mindestabstand 3 und |C| ≥ 4 konstruieren (nicht notwendig
linear).
Gibt es einen solchen Code?
Ist er bis auf Äquivalenz eindeutig ?
Da es ≥ 200000 4-elementige Teilmengen von K 5 gibt, ist Probieren (Mindestab-
stand ≥ 3 ?) mühsam.
Angenommen, C ist ein Code mit den genannten Eigenschaften.
Nach 4.2 darf man annehmen 00000 ∈ C.
Dann hat jedes Codewort ̸= 00000 mindestens 3 1-Einträge.
Es folgt 11111 ̸∈ C.
Es gibt höchstens 1 Codewort mit genau 4 1-Einträgen.
Also existieren mindestens 2 Codewörter mit genau 3 1-Einträgen.
Nach Umformung vom Typ a) in 4.1 darf man also annehmen 00000, 11100, 00111 ∈
C.
Durch Ausprobieren folgt: Das einzig mögliche weitere Codewort ist 11011.
Resultat: Bis auf Äquivalenz ist C = {00000, 11100, 00111, 11011 } der einzige
Code mit den geforderten Eigenschaften.
4.5 Äquivalenz linearer Codes
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