Codierungstheorie II: Fehlerkorrigierende Codes

3.10 Satz (Konstruktion binärer Hamming-Codes) Sei r ∈ IN, n := 2, K := GF2.
Setze l = 2 r − 1 und k = l − r.
Sei H die r × (2 r − 1) -Matrix, deren Spalten genau die Vektoren ̸= 0 aus K r sind.
Dann hat H den Rang r und der Code C ⊆ V := K l mit H als Kontrollmatrix ist
ein Hamming-Code; Bezeichnung: Ham(r, 2).
Beweis Der Aufspann der Spalten von H ist K r , hat also die Dimension r. Also hat
H den Rang (=Zeilenrang=Spaltenrang) r.
Der Code C (d.h. der Senkrechtraum des Aufspanns der Zeilen von H) hat also die
Dimension l − r. Die Identität l(n − 1) = n r − 1 ist für n = 2 erfüllt. Je 2 = 3 − 1
Spalten von H sind linear unabhängig. Deshalb hat C nach 3.3 Mindestabstand ≥ 3.
3.11 Bemerkung zum Dekodieren von Ham(r, 2).
Der Faktorraum V/C hat 2 l−k = 2 r = l + 1 Elemente (=Nebenklassen).
Nach 3.9 sind die Anführer der Nebenklassen genau die Wörter mit Gewicht ≤ 1,
und jede Nebenklasse hat genau einen Anführer).
Die Syndrome der Nebenklassen ̸= C sind also genau die l Spalten von H.
Hieraus ergibt sich das folgende einfache Dekodierverfahren.
Ordne die Spalten von H so an, daß in der j-ten Spalte die Binärdarstellung der
natürlichen Zahl j steht (1 ≤ j ≤ l = 2 r − 1).
Es sei x ∈ V zu dekodieren. Falls x ∈ C, gebe x aus. Andernfalls ist Hx t ∈
K r \ {0} die Binärdarstellung etwa der Spalte Nummer j von H. Dann ist f :=
(0, .., 0, 1, 0, .., 0) (1 in Position j) der Anführer von x + C (denn Hx t = Hf t und f
ist ein Anführer). Gebe c := x − f aus.
3.12 Konstruktion beliebiger Hamming-Codes.
Sei n ∈ IN eine Primzahlpotenz und r ∈ IN.
Sei K der Körper der Ordnung n; setze l = nr −1
n−1 .
Wir wollen einen Hamming-Code C ⊂ V := K l der Dimension k := n − r konstru-
ieren, indem wir eine passende Kontrollmatrix H ∈ K r×l angeben. Es genügt nach
3.4 eine Matrix H ∈ K r×l zu finden, die Rang r hat und in der je 2 Spalten zu
verschiedenen Indizes linear unabhängig sind.
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