Codierungstheorie II: Fehlerkorrigierende Codes

Die für (Sp) benutzten Verfahren nennt man ’Quellcodierung’: die Nachricht einer
Quelle soll möglichst ökonomisch gespeichert oder übermittelt werden, wobei fehler-
lose Speicherung oder übermittlung vorausgesetzt wird. Dabei ist zu präzisieren, was
’möglichst ökonomisch’ bedeutet. Man braucht dazu Begriffe aus der Wahrschein-
lichkeitsrechnung (endliche Wahrscheinlichkeitsräume, Entropie) und allgemein die
Informationstheorie von Shannon.
In der Praxis werden beide Verfahren kombiniert: Wenn etwa ein Text übermittelt
werden soll, wird er zunächst mit ’Quellcodierung’ komprimiert, dann mit einem
fehlerkorrigierenden Code übermittelt und schließlich decodiert.
Das Problem der Kodierungstheorie darf nicht verwechselt werden mit der Aufgabe
des Verschlüsselns (Chiffrierung, Kryptographie): dabei wird die Nachricht (Klar-
text) nicht durch unvorhersehbare Ereignisse verfälscht, sondern als verschlüsselter
Text (Chiffre) versendet, dem (im Idealfall) nur der berechtigte Empfänger den Klar-
text entnehmen kann.
Oft braucht man Kryptographie und Codierungstheorie in einem System, etwa bei
der Übermittlung verschlüsselter Fernsehsendungen (pay-tv).
In diesem Teil der Vorlesung beschäftigen wir uns mit fehlerkorrigierenden Codes.
1. Problem, Beispiel
1.1 Problem Eine Nachricht wird gesendet. Im Übertragungskanal wird sie mögli-
cherweise verändert. Der Empfänger soll erkennen, ob die eventuell verfälschte Nach-
richt Fehler aufweist und möglichst die korrekte Nachricht berechnen.
Bei Sprachkommunikation mit Rückfragemöglichkeit bittet der Zuhörer den Spre-
cher, eine nicht fehlerfrei erkannte Nachricht zu wiederholen. Bei Druckfehlern in
Text oder Noten kann man meistens aus dem Sinnzusammenhang Fehler beheben.
1.2 Grundbegriffe Sei K eine endliche Menge (’Alphabet’), |K| = n ∈ IN, V :=
K l = K × .... × K hießt Menge der Wörter der (Block)länge l ∈ IN.
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