Codierungstheorie II: Fehlerkorrigierende Codes
Codierungstheorie II: Fehlerkorrigierende Codes
Codierungstheorie II: Fehlerkorrigierende Codes
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Die für (Sp) benutzten Verfahren nennt man ’Quellcodierung’: die Nachricht einer<br />
Quelle soll möglichst ökonomisch gespeichert oder übermittelt werden, wobei fehler-<br />
lose Speicherung oder übermittlung vorausgesetzt wird. Dabei ist zu präzisieren, was<br />
’möglichst ökonomisch’ bedeutet. Man braucht dazu Begriffe aus der Wahrschein-<br />
lichkeitsrechnung (endliche Wahrscheinlichkeitsräume, Entropie) und allgemein die<br />
Informationstheorie von Shannon.<br />
In der Praxis werden beide Verfahren kombiniert: Wenn etwa ein Text übermittelt<br />
werden soll, wird er zunächst mit ’Quellcodierung’ komprimiert, dann mit einem<br />
fehlerkorrigierenden Code übermittelt und schließlich decodiert.<br />
Das Problem der Kodierungstheorie darf nicht verwechselt werden mit der Aufgabe<br />
des Verschlüsselns (Chiffrierung, Kryptographie): dabei wird die Nachricht (Klar-<br />
text) nicht durch unvorhersehbare Ereignisse verfälscht, sondern als verschlüsselter<br />
Text (Chiffre) versendet, dem (im Idealfall) nur der berechtigte Empfänger den Klar-<br />
text entnehmen kann.<br />
Oft braucht man Kryptographie und <strong>Codierungstheorie</strong> in einem System, etwa bei<br />
der Übermittlung verschlüsselter Fernsehsendungen (pay-tv).<br />
In diesem Teil der Vorlesung beschäftigen wir uns mit fehlerkorrigierenden <strong>Codes</strong>.<br />
1. Problem, Beispiel<br />
1.1 Problem Eine Nachricht wird gesendet. Im Übertragungskanal wird sie mögli-<br />
cherweise verändert. Der Empfänger soll erkennen, ob die eventuell verfälschte Nach-<br />
richt Fehler aufweist und möglichst die korrekte Nachricht berechnen.<br />
Bei Sprachkommunikation mit Rückfragemöglichkeit bittet der Zuhörer den Spre-<br />
cher, eine nicht fehlerfrei erkannte Nachricht zu wiederholen. Bei Druckfehlern in<br />
Text oder Noten kann man meistens aus dem Sinnzusammenhang Fehler beheben.<br />
1.2 Grundbegriffe Sei K eine endliche Menge (’Alphabet’), |K| = n ∈ IN, V :=<br />
K l = K × .... × K hießt Menge der Wörter der (Block)länge l ∈ IN.<br />
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