Codierungstheorie II: Fehlerkorrigierende Codes
Codierungstheorie II: Fehlerkorrigierende Codes
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Nach Ind.voraussetzung ex. H ∈ K r×λ eine Matrix mit 0 ̸∈ LH.<br />
Setze M := {x1s1 + ....xλsλ | xi ∈ K, 1 ≤ |{i | xi ̸= 0}| ≤ d − 2}, d.h. die Menge<br />
aller Linearkombinationen von höchstens d − 2 verschiedenen Spalten von H, deren<br />
Koeffizienten nicht alle 0 sind.<br />
Man hat<br />
∑<br />
|M| ≤ |{(x1, ..., xλ) | xi ∈ K, 1 ≤ |{i | xi ̸= 0}| ≤ d−2}| =<br />
d−2<br />
i=1<br />
18<br />
( )<br />
λ<br />
(n−1)<br />
i<br />
i < Σ ≤ n r −1<br />
(das < wegen λ ≤ l − 1 und da der Summand bei Σ mit 0 anfängt; das ≤ wegen der<br />
Voraussetzung). Deshalb existiert ein s ∈ K r \ {0} mit s ̸∈ M.<br />
Setze H ′ := (H | s) (d.h. s wird als Spalte an H angefügt. Dann hat H ′ die Eigen-<br />
schaft 0 ̸∈ LH ′.<br />
Damit ist die Behauptung bewiesen.<br />
Wir wählen nun eine Matrix H ∈ K r×l derart, daß je d−1 Spalten unabhängig sind.<br />
Der von den r Zeilen von H im K l aufgespannte Untervektorraum U hat Dimension<br />
≤ r. Für C := U ⊥ gilt deshalb dimC ≥ n − r ≥ k. Außerdem spannen die Zeilen<br />
von H den Untervektorraum C ⊥ = U auf. Nach 3.3 gilt für den Mindestabstand δ<br />
des <strong>Codes</strong> C: δ ≥ d.