Codierungstheorie II: Fehlerkorrigierende Codes

Nach Ind.voraussetzung ex. H ∈ K r×λ eine Matrix mit 0 ̸∈ LH.
Setze M := {x1s1 + ....xλsλ | xi ∈ K, 1 ≤ |{i | xi ̸= 0}| ≤ d − 2}, d.h. die Menge
aller Linearkombinationen von höchstens d − 2 verschiedenen Spalten von H, deren
Koeffizienten nicht alle 0 sind.
Man hat
∑
|M| ≤ |{(x1, ..., xλ) | xi ∈ K, 1 ≤ |{i | xi ̸= 0}| ≤ d−2}| =
d−2
i=1
18
( )
λ
(n−1)
i
i < Σ ≤ n r −1
(das < wegen λ ≤ l − 1 und da der Summand bei Σ mit 0 anfängt; das ≤ wegen der
Voraussetzung). Deshalb existiert ein s ∈ K r \ {0} mit s ̸∈ M.
Setze H ′ := (H | s) (d.h. s wird als Spalte an H angefügt. Dann hat H ′ die Eigen-
schaft 0 ̸∈ LH ′.
Damit ist die Behauptung bewiesen.
Wir wählen nun eine Matrix H ∈ K r×l derart, daß je d−1 Spalten unabhängig sind.
Der von den r Zeilen von H im K l aufgespannte Untervektorraum U hat Dimension
≤ r. Für C := U ⊥ gilt deshalb dimC ≥ n − r ≥ k. Außerdem spannen die Zeilen
von H den Untervektorraum C ⊥ = U auf. Nach 3.3 gilt für den Mindestabstand δ
des Codes C: δ ≥ d.