Codierungstheorie II: Fehlerkorrigierende Codes

3.4 Korollar Voraussetzungen wie in 3.3. Dann gilt:
d = δ ⇔ je d − 1 Spalten von H sind linear unabhängig, und es gibt d linear
abhängige Spalten.
Anders formuliert:
δ = max{ d ∈ IN | je d − 1 Spalten sind linear unabhängig }.
Wir erinnern uns an die Gilbert-Varˇsamov-Schranke 1.17. Da waren V = K l und
ein Mindestabstand δ = 2ϵ + 1 (mit ϵ ∈ IN0) vorgegeben wie auch n = |K|.
Behauptet wurde die Existenz ϵ-korrigierenden Codes C (Mindestabstand δ = 2ϵ+1)
mit
|C| ≥
∑ δ−1
i=0
|V |
)
(n − 1) i
Was kann man sagen bei Beschränkung auf lineare Codes? Einerseits sind dann
weniger Codes zur Konkurrenz zugelassen. Andererseits ist 3.4 ein handfestes Kri-
terium, einen Mindestabstand δ zu garantieren: man muß nur dafür sorgen, daß in
einer Kontrollmatrix je δ − 1 Spalten linear unabhängig sind.
Für lineare Codes muss n = |K| eine Primzahlpotenz sein und |C| = n k für ein
passendes k ∈ IN.
3.5 Satz (Gilbert-Varˇsamov-Schranke für lineare Codes)
Seien d, l, n ∈ IN gegeben, d ≥ 2, k < l und sei n eine Primzahlpotenz, K := GFn
und V := K l .
Setze
Sei k ∈ IN mit
( l
i
( )
d−2 ∑ l − 1
Σ :=
(n − 1)
i
i
i=0
n k <
Dann gibt es einen linearen Code C ⊆ K l über K := GFn mit |C| ≥ n k und Min-
destabstand ≥ d.
Bemerkung
Die Grenze
|V |
Σ
|V |
Σ
(bei d = δ ≥ 2) ist größer oder gleich der Schranke
∑ δ−1
i=1
|V |
)
(n − 1) i
( l
i
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