Codierungstheorie II: Fehlerkorrigierende Codes
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3.4 Korollar Voraussetzungen wie in 3.3. Dann gilt:<br />
d = δ ⇔ je d − 1 Spalten von H sind linear unabhängig, und es gibt d linear<br />
abhängige Spalten.<br />
Anders formuliert:<br />
δ = max{ d ∈ IN | je d − 1 Spalten sind linear unabhängig }.<br />
Wir erinnern uns an die Gilbert-Varˇsamov-Schranke 1.17. Da waren V = K l und<br />
ein Mindestabstand δ = 2ϵ + 1 (mit ϵ ∈ IN0) vorgegeben wie auch n = |K|.<br />
Behauptet wurde die Existenz ϵ-korrigierenden <strong>Codes</strong> C (Mindestabstand δ = 2ϵ+1)<br />
mit<br />
|C| ≥<br />
∑ δ−1<br />
i=0<br />
|V |<br />
)<br />
(n − 1) i<br />
Was kann man sagen bei Beschränkung auf lineare <strong>Codes</strong>? Einerseits sind dann<br />
weniger <strong>Codes</strong> zur Konkurrenz zugelassen. Andererseits ist 3.4 ein handfestes Kri-<br />
terium, einen Mindestabstand δ zu garantieren: man muß nur dafür sorgen, daß in<br />
einer Kontrollmatrix je δ − 1 Spalten linear unabhängig sind.<br />
Für lineare <strong>Codes</strong> muss n = |K| eine Primzahlpotenz sein und |C| = n k für ein<br />
passendes k ∈ IN.<br />
3.5 Satz (Gilbert-Varˇsamov-Schranke für lineare <strong>Codes</strong>)<br />
Seien d, l, n ∈ IN gegeben, d ≥ 2, k < l und sei n eine Primzahlpotenz, K := GFn<br />
und V := K l .<br />
Setze<br />
Sei k ∈ IN mit<br />
( l<br />
i<br />
( )<br />
d−2 ∑ l − 1<br />
Σ :=<br />
(n − 1)<br />
i<br />
i<br />
i=0<br />
n k <<br />
Dann gibt es einen linearen Code C ⊆ K l über K := GFn mit |C| ≥ n k und Min-<br />
destabstand ≥ d.<br />
Bemerkung<br />
Die Grenze<br />
|V |<br />
Σ<br />
|V |<br />
Σ<br />
(bei d = δ ≥ 2) ist größer oder gleich der Schranke<br />
∑ δ−1<br />
i=1<br />
|V |<br />
)<br />
(n − 1) i<br />
( l<br />
i<br />
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