Codierungstheorie II: Fehlerkorrigierende Codes

e = c.
Sei nun c einziges Codewort, das zu x minimalen Abstand hat. Setze f := x − c.
Dann ist f ∈ x + C. Sei g ∈ x + C und γ(g) ≤ γ(f). Man hat g = x − e für ein
e ∈ C und α(x, e) = γ(x − e) = γ(g) ≤ γ(f) = γ(x − c) = α(x, c), also e = c nach
Voraussetzung und damit f = g.
2.6 Korollar Sei f, x ∈ V und f ∈ x + C. Dann gilt:
f ist einziger Anführer der Nebenklasse x + C genau dann, wenn der abgeschlossene
Ball B ′ γ(f) (x) mit Mittelpunkt x und Radius γ(f) genau ein Codewort c ∈ C enthält.
2.7 Dekodierverfahren
Das Wort x ∈ V werde empfangen.
Nach 2.5 liefert (MDD) ein Codewort c ∈ C (und nicht ∞) zu x genau dann, wenn
die Nebenklasse x + C genau einen Anführer f hat. In diesem Fall ist c = x − f das
von (MDD) gelieferte Codewort (das einzige x nächstliegende Codewort).
Man kann beim Dekodieren (d.h. Berechnen von c) wie folgt vorgehen.
Vorbereitung (unabhängig von x):
Wähle eine Kontrollmatrix H.
Es gibt m := |V |/|C| Nebenklassen; |V/C| = m = n l−k .
Zu jeder Nebenklasse wähle einen Anführer f.
Berechne die Syndrome Hf t dieser Anführer.
Nun sei zu x ∈ V (praktischer Hintergrund: das empfangene Wort) das nächstlie-
gende Codewort c zu finden; im Fall mehrerer nächstliegende Codewörter ist ∞ zu
melden.
Algorithmus hierzu:
Berechne das Syndrom Hx t .
Suche den Anführer f (unter den gewählten Anführern der Nebenklassen) mit
Hx t = Hf t (man braucht m Vergleiche).
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