Codierungstheorie II: Fehlerkorrigierende Codes
Codierungstheorie II: Fehlerkorrigierende Codes
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e = c.<br />
Sei nun c einziges Codewort, das zu x minimalen Abstand hat. Setze f := x − c.<br />
Dann ist f ∈ x + C. Sei g ∈ x + C und γ(g) ≤ γ(f). Man hat g = x − e für ein<br />
e ∈ C und α(x, e) = γ(x − e) = γ(g) ≤ γ(f) = γ(x − c) = α(x, c), also e = c nach<br />
Voraussetzung und damit f = g.<br />
2.6 Korollar Sei f, x ∈ V und f ∈ x + C. Dann gilt:<br />
f ist einziger Anführer der Nebenklasse x + C genau dann, wenn der abgeschlossene<br />
Ball B ′ γ(f) (x) mit Mittelpunkt x und Radius γ(f) genau ein Codewort c ∈ C enthält.<br />
2.7 Dekodierverfahren<br />
Das Wort x ∈ V werde empfangen.<br />
Nach 2.5 liefert (MDD) ein Codewort c ∈ C (und nicht ∞) zu x genau dann, wenn<br />
die Nebenklasse x + C genau einen Anführer f hat. In diesem Fall ist c = x − f das<br />
von (MDD) gelieferte Codewort (das einzige x nächstliegende Codewort).<br />
Man kann beim Dekodieren (d.h. Berechnen von c) wie folgt vorgehen.<br />
Vorbereitung (unabhängig von x):<br />
Wähle eine Kontrollmatrix H.<br />
Es gibt m := |V |/|C| Nebenklassen; |V/C| = m = n l−k .<br />
Zu jeder Nebenklasse wähle einen Anführer f.<br />
Berechne die Syndrome Hf t dieser Anführer.<br />
Nun sei zu x ∈ V (praktischer Hintergrund: das empfangene Wort) das nächstlie-<br />
gende Codewort c zu finden; im Fall mehrerer nächstliegende Codewörter ist ∞ zu<br />
melden.<br />
Algorithmus hierzu:<br />
Berechne das Syndrom Hx t .<br />
Suche den Anführer f (unter den gewählten Anführern der Nebenklassen) mit<br />
Hx t = Hf t (man braucht m Vergleiche).<br />
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