Codierungstheorie II: Fehlerkorrigierende Codes

1.17’ Beispiel zu 1.17. Sei n = 2, l=90, ϵ = 2.
Dann |B ′ 2ϵ(∗)| = |B ′ 4(∗)| = 2676766 (siehe 1.11) und |V | = 2 90 . Nach 1.17 existiert
ein 2-korrigierender Code C ⊆ V mit
2 Lineare Codes
|C| ≥
|V |
|B ′ 2ϵ(∗)|
≈ 4, 6 · 1020
Um das Dekodierverfahren (MDD) zu praktizieren, muß man nach Empfang eines
Wortes d alle Abstände α(c, d) für c ∈ C berechnen. Das dauert in der Praxis oft zu
lange. Deshalb nimmt man algebraische Strukturen zur Hilfe.
2.1 Voraussetzungen Nun sei K ein Körper mit n Elementen und C ein Unter-
vektorraum ̸= {0} des Vektorraums V = K n . Dann spricht man von einem linearen
Code C.
Ein solcher liege jetzt vor mit dimC = k.
Wir wollen ein schnelles Verfahren für (MDD) entwickeln und ’gute’ lineare Codes.
Der Hamming-Abstand ist translations-invariant, α(a − c, b − c) = α(a, b) für alle
a, b ∈ V . Insbesondere α(a, b) = α(a − b, 0).
Wir nennen γ(a) := α(a, 0) das Gewicht von a ∈ V .
Es gilt α(a, b) = γ(a − b); durch die Gewichtsfunktion γ ist also die Abstandsfunk-
tion α festgelegt.
Für einen Code C ist deshalb der Minimalabstand gleich min{γ(a) | a ∈ C, a ̸= 0 }.
2.2 Begriffe Eine Generatormatrix ist eine k × l-Matrix (mit Einträgen aus K),
deren Zeilen eine Basis von C sind.
Auf V betrachte man das Standardskalarprodukt V ×V → K. Dies ist eine reguläre
symmetrische Bilinearform (es können aber durchaus isotrope Vektoren ̸= 0 vor-
kommen). Deshalb gilt (C ⊥ ) ⊥ = C und r := dimC ⊥ = l − k.
Wenn C ⊥ bekannt ist, dann auch C (wegen (C ⊥ ) ⊥ = C).
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