Interstaatliches Berufsbildungszentrum bzb - Goepf Bettschen
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BAULEITER HOCHBAU K U R S S T A T I K / F E S T I G K E I T S L E H R E QUERSCHNITTSWERTE 1) Schwerpunktsbestimmungen 2) Trägheitsmoment 3) Widerstandsmoment 4) Das statische Moment 5) Beispiele von Querschnittstabellen g.bettschen
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BAULEITER HOCHBAU<br />
K U R S<br />
S T A T I K / F E S T I G K E I T S L E H R E<br />
QUERSCHNITTSWERTE<br />
1) Schwerpunktsbestimmungen<br />
2) Trägheitsmoment<br />
3) Widerstandsmoment<br />
4) Das statische Moment<br />
5) Beispiele von<br />
Querschnittstabellen<br />
g.bettschen
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Statik - Querschnittswerte - g.bettschen - Seite 2<br />
1) Schwerpunktsbestimmungen<br />
a) Allgemeines<br />
Jeden Körper kann man sich aus vielen kleinen, gleich grossen Massenteilchen,<br />
den Massenpunkten, zusammengesetzt denken. Alle diese Massenteilchen<br />
erzeugen infolge der Erdanziehungskraft (Schwerkraft) gleichlaufende, lotrechte<br />
Lasten.<br />
Den Mittelpunkt aller dieser Massenkräfte eines Körpers, in dem man sich für<br />
statische Untersuchungen seine Gesamtlast vereinigt denken kann, nennt man<br />
seinen Schwerpunkt.<br />
Jede durch diesen Punkt gehende Linie heisst daher Schwerlinie.<br />
Unterstützt man einen Körper in seinem Schwerpunkt, so bleibt er in jeder Lage in<br />
Ruhe, im Gleichgewicht. Die Lage des Schwerpunkts ist bei Körpern für<br />
Standfestigkeitsuntersuchungen und bei Flächen für die Zug-, Druck-, Biege- und<br />
Knickfestigkeit von grosser Bedeutung.<br />
Will man den Schwerpunkt eines<br />
Körpers, z.B. den einer<br />
gleichmässig dünnen Platte,<br />
praktisch bestimmen, so hängt man<br />
ihn an zwei verschiedenen Punkten<br />
auf. Die Lotrechten von den<br />
Aufhängepunkten sind, wenn der<br />
Körper zur Ruhe gekommen ist,<br />
Schwerpunktlinien (Linie R1 und<br />
Linie R2 ).<br />
Zeichnet man sie ein, so ist ihr Schnittpunkt S der Schwerpunkt der Fläche<br />
ABCD.<br />
Der gesuchte Schwerpunkt des Körpers liegt hinter S in der Mitte der Platte.<br />
Nach dem gleichen Grundsatz verfährt man bei der rechnerischen oder<br />
zeichnerischen Bestimmung des Schwerpunktes. Nur dreht man jetzt nicht den<br />
Körper, sondern der Einfachheit halber lässt man die Massenkräfte nach zwei<br />
verschiedenen, möglichst winkelrecht zueinanderstehenden Richtungen wirken.<br />
Ferner nimmt man an, dass die Körper aus gleichmässig dichtem (homogenen)<br />
Stoff bestehen. Dann ist die Lage des Schwerpunkts nur von der Gestalt des<br />
Körpers abhängig.<br />
Auch die Schwerpunkte von Linien und Flächen bestimmt man in ähnlicher Weise,<br />
indem man sich diese Gebilde mit Massenkräften behaftet denkt. Man spricht dann<br />
von einer materiellen Linie oder materiellen Fläche. Das Auffinden ihrer<br />
Schwerpunkte wird erleichtert, wenn man beachtet, dass jede Mittellinie und jede<br />
Symmetrieachse eine Schwerlinie ist.<br />
C<br />
D<br />
A<br />
R1<br />
C:\DATEN\<strong>bzb</strong>\2003_2004\Teil 2\<strong>bzb</strong>Statik7.doc/ zuletzt gedruckt 16.02.2006<br />
B<br />
A<br />
D<br />
B<br />
S<br />
R2<br />
R1<br />
C
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Statik - Querschnittswerte - g.bettschen - Seite 3<br />
Da der Schwerpunkt ein Durchgangspunkt der Mittelkraft aller Massenkräfte ist,<br />
lässt sich seine Lage zeichnerisch mit Hilfe des Seilpolygons und rechnerisch mit<br />
Hilfe des Momentensatzes ermitteln, wie es im folgenden für die verschiedenen<br />
geometrischen Gebilde geschieht. Als gedachter Punkt kann er bei besonderen<br />
Formen der Körper, Flächen oder Linien auch ausserhalb dieser Gebilde liegen.<br />
b) Definition vom Begriff Schwerpunkt<br />
Als Schwerpunkt eines Körpers bezeichnet man den Angriffspunkt<br />
der Resultierenden aller Massenteilchen dA welche durch parallele<br />
Kräfte im Raum beansprucht werden. Die Wirkungslinie dieser<br />
Resultierenden nennt man Schwerlinie.<br />
c) Berechnungsmethoden<br />
* Symmetrische Flächen<br />
z<br />
y<br />
A = Σ ∆A<br />
dA mit der Masse 1<br />
belastet<br />
Aus Symmetriegründen entspricht jedem Flächenteilchen links der z-Achse ein<br />
Flächenteilchen rechts der z-Achse. Aus Gleichgewichtsgründen muss also die<br />
Resultierende dieser Flächenteilchen identisch sein mit der z-Achse. Daraus kann<br />
folgender wichtiger Satz abgeleitet werden :<br />
⇒ Jede Symmetrieachse einer Fläche ist gleich der Schwerlinie.<br />
* Beliebige Flächen<br />
Der Schwerpunkt einer Fläche liegt im Schnittpunkt von mindestens zwei<br />
Schwerlinien, und da eine Schwerlinie auch die Resultierende der mit der Masse 1<br />
belasteten Fläche dA darstellt, kann der Schwerpunkt wie folgt berechnet werden :<br />
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Man teilt die Fläche in kleine Flächenteilchen auf, für die die Teilschwerpunkte aus<br />
Symmetriegründen ermittelt werden können :<br />
ys ⋅ dA = ys ⋅ A = y1⋅ dA1+ y2⋅ dA2... + y ⋅dA<br />
ys =<br />
∑<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
n n<br />
yi⋅dAi ∑yi⋅dAi ∑z<br />
⋅dA<br />
n<br />
dA i<br />
i=<br />
1 =<br />
A<br />
// zs = i=<br />
1<br />
A<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
n<br />
n<br />
i i<br />
Da obige Formeln mit denjenigen für die Bestimmung von Resultierenden identisch<br />
sind, kann der Schwerpunkt auch mit Hilfe des Seilpolygons gefunden werden.<br />
Man bestimmt für zwei verschiedene Richtungen die Resultierende aller<br />
Flächenteilchen, im Schnittpunkt dieser Resultierenden liegt dann der Schwerpunkt<br />
der Fläche.<br />
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Statik - Querschnittswerte - g.bettschen - Seite 5<br />
d) Schwerpunkte von Teilflächen<br />
* Zusammengesetzte Flächen :<br />
- Bei regelmässigen und spiegelgleichen Flächen liegt der Schwerpunkt im Schnittpunkt<br />
zweier Spiegel- oder Mittelachsen.<br />
- Beliebige Flächen unregelmässiger Gestalt unterteilt man in solche einfachen Flächen,<br />
deren Inhalte und Schwerpunkte nach bekannten Regeln leicht anzugeben sind. In<br />
einfachen Fällen ermittelt man die Lage des Schwerpunktes rechnerisch, bei schwierigeren<br />
Figuren findet oft das Verfahren mit dem Seilpoygon Anwendung.<br />
Schwerpunkte von Körpern<br />
Im Bauwesen hat man es meist nur mit prismatischen Körpern zu tun, von denen man im<br />
allgemeinen nur Teile von 1 m Länge oder 1 m Höhe untersucht. Mit der Bestimmung des<br />
Schwerpunktes der Grundflächen dieser Prismen ist dann auch die Lage des<br />
Körperschwerpunktes in halber Länge hinter der Grundfläche oder halber Höhe über oder<br />
unter ihr gegeben.<br />
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Statik - Querschnittswerte - g.bettschen - Seite 6<br />
Beispiele zu Schwerpunktsberechnungen<br />
Beispiel a Beispiel b<br />
2<br />
3<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
5<br />
1<br />
1<br />
4<br />
Lösung zu Beispiel b) Schwerpunktsbestimmung<br />
z<br />
2<br />
2 A2<br />
1<br />
4<br />
1<br />
3<br />
A1<br />
5<br />
A3<br />
4<br />
3<br />
2<br />
2<br />
A5<br />
2<br />
analytische Lösung :<br />
5<br />
A4<br />
7<br />
3<br />
2<br />
Bezeichnung Fläche A z z x A y y x A<br />
Nummer A1 3,00 7,50 22,50 1,50 4,50<br />
Nummer A2 6,00 8,50 51,00 4,00 24,00<br />
Nummer A3 16,00 7,00 112,00 7,00 112,00<br />
Nummer A4 6,00 3,50 21,00 6,00 36,00<br />
Nummer A5 14,00 1,00 14,00 5,50 77,00<br />
S u m m e n 45,00 220,50 253,50<br />
Resultierende auf z - Achse = 4,90 auf y = Achse 5,63<br />
2<br />
y<br />
3<br />
2<br />
5<br />
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1<br />
7<br />
4<br />
3<br />
2<br />
2<br />
4<br />
2
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Statik - Querschnittswerte - g.bettschen - Seite 7<br />
2) Das Trägheitsmoment<br />
Als Trägheitsmoment einer Fläche bezüglich einer Achse bezeichnet man die<br />
Summe der Produkte, die entstehen, wenn alle Flächenteilchen mit ihrem Abstand<br />
im Quadrat bezüglich dieser Achse multipliziert werden.<br />
Man bezeichnet sie daher auch als Flächenmomente zweiter Ordnung oder<br />
quadratische Flächenmomente.<br />
Sie sind rein mathematische Begriffe und nur von der Grösse und der Form einer<br />
Fläche abhängig.<br />
z<br />
z<br />
y<br />
dA<br />
dA<br />
Iy=<br />
Iz=<br />
Das Trägheitsmoment ist also stets positiv<br />
und hat die Dimension mm 4 ( cm 4 , dm 4 , m 4 )<br />
y<br />
∫<br />
∫<br />
z<br />
y<br />
2<br />
2<br />
⋅ dA ( vertikal<br />
⋅ dA ( horizontal<br />
Für die Festigkeitslehre sind besonders die Trägheitsmomente bezüglich von<br />
Schwerachsen wichtig.<br />
Trägheitsmomente bezüglich ihrer Schwerachsen<br />
* R e c h t e c k<br />
I<br />
y<br />
=<br />
A<br />
∫<br />
z<br />
2<br />
⋅dA=<br />
h<br />
∫<br />
2<br />
b⋅<br />
z dA<br />
Iy = b⋅ h 3 / 12<br />
(bez. starker Achse)<br />
0<br />
Iz = h⋅ b 3 / 12<br />
(bez. schwacher Achse)<br />
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)<br />
)
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Statik - Querschnittswerte - g.bettschen - Seite 8<br />
Berechnung Trägheitsmomente:<br />
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Berechnung Trägheitsmomente für Achsen, die keine Schwerachsen<br />
sind (Satz von Steiner)<br />
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Statik - Querschnittswerte - g.bettschen - Seite 10<br />
3) Das Widerstandsmoment<br />
Unter dem Widerstandsmoment eines<br />
o<br />
Punktes versteht man den Quotient, der<br />
entsteht, wenn man das Schwerpunkts-<br />
P<br />
h/2<br />
trägheitsmoment durch den Abstand des<br />
h z<br />
Punktes von der Schwerachse dividiert. y<br />
W<br />
( p ) =<br />
I<br />
z<br />
y<br />
Meistens wird das Widerstandsmoment des oberen Randes (Wo), des unteren<br />
Randes (Wu), des linken oder des rechten Randes (Wl, Wr) eines Querschnittes<br />
benötigt.<br />
l<br />
u<br />
b<br />
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z<br />
r<br />
h/2
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4) Das statische Moment<br />
Das Statische Moment, oder auch Flächenmoment 1. Grades, wird immer auf den<br />
Schwerpunkt bezogen berechnet. Es ist im Schwerpunkt am größten und in den am<br />
weitesten vom Schwerpunkt entferntesten differentiell kleinen Teilflächen am<br />
Kleinsten bzw. Null. Die Berechnung erfolgt analog der eines Momentes, nämlich:<br />
Summe aus Teilflächen mal achsenbezogener Abstand aus<br />
Teilflächenschwerpunkt zu Gesamtschwerpunkt (Summe aus Kraft mal Hebelarm).<br />
Es sind immer mindestens zwei Statische Momente in einem Querschnitt<br />
vorhanden.<br />
Das Statische Moment findet zum Beispiel bei der Ermittlung der<br />
Schubspannungen Anwendung.<br />
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Statik - Querschnittswerte - g.bettschen - Seite 12<br />
5) Beispiele von Querschnittstabellen - Kantholz Teil 1<br />
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Statik - Querschnittswerte - g.bettschen - Seite 13<br />
Forts. Beispiele von Querschnittstabellen - Kantholz Teil 2<br />
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Statik - Querschnittswerte - g.bettschen - Seite 14<br />
Forts. Beispiele von Querschnittstabellen - Brettschichtholz<br />
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Statik - Querschnittswerte - g.bettschen - Seite 15<br />
Forts. Beispiele von Querschnittstabellen - Rundholz<br />
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Berufs- und Weiterbildungszentrum <strong>bzb</strong> - BAULEITER HOCHBAU -<br />
Statik - Querschnittswerte - g.bettschen - Seite 16<br />
Forts. Beispiele von Querschnittstabellen - Walzprofile HEA<br />
Walzprofile IPE, IPEA<br />
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Statik - Querschnittswerte - g.bettschen - Seite 17<br />
Forts. Beispiele von Querschnittstabellen - Walzprofile UNP<br />
Walzprofile MSH, RHS, TPS<br />
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