Interstaatliches Berufsbildungszentrum bzb - Goepf Bettschen

BAULEITER HOCHBAU 

K U R S 

S T A T I K / F E S T I G K E I T S L E H R E 

QUERSCHNITTSWERTE 

1) Schwerpunktsbestimmungen 

2) Trägheitsmoment 

3) Widerstandsmoment 

4) Das statische Moment 

5) Beispiele von 

Querschnittstabellen 

g.bettschen

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Statik - Querschnittswerte - g.bettschen - Seite 2 

1) Schwerpunktsbestimmungen 

a) Allgemeines 

Jeden Körper kann man sich aus vielen kleinen, gleich grossen Massenteilchen, 

den Massenpunkten, zusammengesetzt denken. Alle diese Massenteilchen 

erzeugen infolge der Erdanziehungskraft (Schwerkraft) gleichlaufende, lotrechte 

Lasten. 

Den Mittelpunkt aller dieser Massenkräfte eines Körpers, in dem man sich für 

statische Untersuchungen seine Gesamtlast vereinigt denken kann, nennt man 

seinen Schwerpunkt. 

Jede durch diesen Punkt gehende Linie heisst daher Schwerlinie. 

Unterstützt man einen Körper in seinem Schwerpunkt, so bleibt er in jeder Lage in 

Ruhe, im Gleichgewicht. Die Lage des Schwerpunkts ist bei Körpern für 

Standfestigkeitsuntersuchungen und bei Flächen für die Zug-, Druck-, Biege- und 

Knickfestigkeit von grosser Bedeutung. 

Will man den Schwerpunkt eines 

Körpers, z.B. den einer 

gleichmässig dünnen Platte, 

praktisch bestimmen, so hängt man 

ihn an zwei verschiedenen Punkten 

auf. Die Lotrechten von den 

Aufhängepunkten sind, wenn der 

Körper zur Ruhe gekommen ist, 

Schwerpunktlinien (Linie R1 und 

Linie R2 ). 

Zeichnet man sie ein, so ist ihr Schnittpunkt S der Schwerpunkt der Fläche 

ABCD. 

Der gesuchte Schwerpunkt des Körpers liegt hinter S in der Mitte der Platte. 

Nach dem gleichen Grundsatz verfährt man bei der rechnerischen oder 

zeichnerischen Bestimmung des Schwerpunktes. Nur dreht man jetzt nicht den 

Körper, sondern der Einfachheit halber lässt man die Massenkräfte nach zwei 

verschiedenen, möglichst winkelrecht zueinanderstehenden Richtungen wirken. 

Ferner nimmt man an, dass die Körper aus gleichmässig dichtem (homogenen) 

Stoff bestehen. Dann ist die Lage des Schwerpunkts nur von der Gestalt des 

Körpers abhängig. 

Auch die Schwerpunkte von Linien und Flächen bestimmt man in ähnlicher Weise, 

indem man sich diese Gebilde mit Massenkräften behaftet denkt. Man spricht dann 

von einer materiellen Linie oder materiellen Fläche. Das Auffinden ihrer 

Schwerpunkte wird erleichtert, wenn man beachtet, dass jede Mittellinie und jede 

Symmetrieachse eine Schwerlinie ist. 

C 

D 

A 

R1 

C:\DATEN\bzb\2003_2004\Teil 2\bzbStatik7.doc/ zuletzt gedruckt 16.02.2006 

B 

A 

D 

B 

S 

R2 

R1 

C



Da der Schwerpunkt ein Durchgangspunkt der Mittelkraft aller Massenkräfte ist, 

lässt sich seine Lage zeichnerisch mit Hilfe des Seilpolygons und rechnerisch mit 

Hilfe des Momentensatzes ermitteln, wie es im folgenden für die verschiedenen 

geometrischen Gebilde geschieht. Als gedachter Punkt kann er bei besonderen 

Formen der Körper, Flächen oder Linien auch ausserhalb dieser Gebilde liegen. 

b) Definition vom Begriff Schwerpunkt 

Als Schwerpunkt eines Körpers bezeichnet man den Angriffspunkt 

der Resultierenden aller Massenteilchen dA welche durch parallele 

Kräfte im Raum beansprucht werden. Die Wirkungslinie dieser 

Resultierenden nennt man Schwerlinie. 

c) Berechnungsmethoden 

* Symmetrische Flächen 

z 

y 

A = Σ ∆A 

dA mit der Masse 1 

belastet 

Aus Symmetriegründen entspricht jedem Flächenteilchen links der z-Achse ein 

Flächenteilchen rechts der z-Achse. Aus Gleichgewichtsgründen muss also die 

Resultierende dieser Flächenteilchen identisch sein mit der z-Achse. Daraus kann 

folgender wichtiger Satz abgeleitet werden : 

⇒ Jede Symmetrieachse einer Fläche ist gleich der Schwerlinie. 

* Beliebige Flächen 

Der Schwerpunkt einer Fläche liegt im Schnittpunkt von mindestens zwei 

Schwerlinien, und da eine Schwerlinie auch die Resultierende der mit der Masse 1 

belasteten Fläche dA darstellt, kann der Schwerpunkt wie folgt berechnet werden : 

C:\DATEN\bzb\2003_2004\Teil 2\bzbStatik7.doc/ zuletzt gedruckt 16.02.2006



Man teilt die Fläche in kleine Flächenteilchen auf, für die die Teilschwerpunkte aus 

Symmetriegründen ermittelt werden können : 

ys ⋅ dA = ys ⋅ A = y1⋅ dA1+ y2⋅ dA2... + y ⋅dA 

ys = 

∑ 

n 

∑ 

i= 

1 

n n 

yi⋅dAi ∑yi⋅dAi ∑z 

⋅dA 

n 

dA i 

i= 

1 = 

A 

// zs = i= 

1 

A 

∑ 

i= 

1 

n 

n 

i i 

Da obige Formeln mit denjenigen für die Bestimmung von Resultierenden identisch 

sind, kann der Schwerpunkt auch mit Hilfe des Seilpolygons gefunden werden. 

Man bestimmt für zwei verschiedene Richtungen die Resultierende aller 

Flächenteilchen, im Schnittpunkt dieser Resultierenden liegt dann der Schwerpunkt 

der Fläche. 




d) Schwerpunkte von Teilflächen 

* Zusammengesetzte Flächen : 

- Bei regelmässigen und spiegelgleichen Flächen liegt der Schwerpunkt im Schnittpunkt 

zweier Spiegel- oder Mittelachsen. 

- Beliebige Flächen unregelmässiger Gestalt unterteilt man in solche einfachen Flächen, 

deren Inhalte und Schwerpunkte nach bekannten Regeln leicht anzugeben sind. In 

einfachen Fällen ermittelt man die Lage des Schwerpunktes rechnerisch, bei schwierigeren 

Figuren findet oft das Verfahren mit dem Seilpoygon Anwendung. 

Schwerpunkte von Körpern 

Im Bauwesen hat man es meist nur mit prismatischen Körpern zu tun, von denen man im 

allgemeinen nur Teile von 1 m Länge oder 1 m Höhe untersucht. Mit der Bestimmung des 

Schwerpunktes der Grundflächen dieser Prismen ist dann auch die Lage des 

Körperschwerpunktes in halber Länge hinter der Grundfläche oder halber Höhe über oder 

unter ihr gegeben. 




Beispiele zu Schwerpunktsberechnungen 

Beispiel a Beispiel b 

2 

3 

2 

1 

1 

1 

5 

1 

1 

4 

Lösung zu Beispiel b) Schwerpunktsbestimmung 

z 

2 

2 A2 

1 

4 

1 

3 

A1 

5 

A3 

4 

3 

2 

2 

A5 

2 

analytische Lösung : 

5 

A4 

7 

3 

2 

Bezeichnung Fläche A z z x A y y x A 

Nummer A1 3,00 7,50 22,50 1,50 4,50 

Nummer A2 6,00 8,50 51,00 4,00 24,00 

Nummer A3 16,00 7,00 112,00 7,00 112,00 

Nummer A4 6,00 3,50 21,00 6,00 36,00 

Nummer A5 14,00 1,00 14,00 5,50 77,00 

S u m m e n 45,00 220,50 253,50 

Resultierende auf z - Achse = 4,90 auf y = Achse 5,63 

2 

y 

3 

2 

5 


1 

7 

4 

3 

2 

2 

4 

2



2) Das Trägheitsmoment 

Als Trägheitsmoment einer Fläche bezüglich einer Achse bezeichnet man die 

Summe der Produkte, die entstehen, wenn alle Flächenteilchen mit ihrem Abstand 

im Quadrat bezüglich dieser Achse multipliziert werden. 

Man bezeichnet sie daher auch als Flächenmomente zweiter Ordnung oder 

quadratische Flächenmomente. 

Sie sind rein mathematische Begriffe und nur von der Grösse und der Form einer 

Fläche abhängig. 

z 

z 

y 

dA 

dA 

Iy= 

Iz= 

Das Trägheitsmoment ist also stets positiv 

und hat die Dimension mm 4 ( cm 4 , dm 4 , m 4 ) 

y 

∫ 

∫ 

z 

y 

2 

2 

⋅ dA ( vertikal 

⋅ dA ( horizontal 

Für die Festigkeitslehre sind besonders die Trägheitsmomente bezüglich von 

Schwerachsen wichtig. 

Trägheitsmomente bezüglich ihrer Schwerachsen 

* R e c h t e c k 

I 

y 

= 

A 

∫ 

z 

2 

⋅dA= 

h 

∫ 

2 

b⋅ 

z dA 

Iy = b⋅ h 3 / 12 

(bez. starker Achse) 

0 

Iz = h⋅ b 3 / 12 

(bez. schwacher Achse) 


) 

)



Berechnung Trägheitsmomente: 




Berechnung Trägheitsmomente für Achsen, die keine Schwerachsen 

sind (Satz von Steiner) 




3) Das Widerstandsmoment 

Unter dem Widerstandsmoment eines 

o 

Punktes versteht man den Quotient, der 

entsteht, wenn man das Schwerpunkts- 

P 

h/2 

trägheitsmoment durch den Abstand des 

h z 

Punktes von der Schwerachse dividiert. y 

W 

( p ) = 

I 

z 

y 

Meistens wird das Widerstandsmoment des oberen Randes (Wo), des unteren 

Randes (Wu), des linken oder des rechten Randes (Wl, Wr) eines Querschnittes 

benötigt. 

l 

u 

b 


z 

r 

h/2



4) Das statische Moment 

Das Statische Moment, oder auch Flächenmoment 1. Grades, wird immer auf den 

Schwerpunkt bezogen berechnet. Es ist im Schwerpunkt am größten und in den am 

weitesten vom Schwerpunkt entferntesten differentiell kleinen Teilflächen am 

Kleinsten bzw. Null. Die Berechnung erfolgt analog der eines Momentes, nämlich: 

Summe aus Teilflächen mal achsenbezogener Abstand aus 

Teilflächenschwerpunkt zu Gesamtschwerpunkt (Summe aus Kraft mal Hebelarm). 

Es sind immer mindestens zwei Statische Momente in einem Querschnitt 

vorhanden. 

Das Statische Moment findet zum Beispiel bei der Ermittlung der 

Schubspannungen Anwendung. 




5) Beispiele von Querschnittstabellen - Kantholz Teil 1 




Forts. Beispiele von Querschnittstabellen - Kantholz Teil 2 




Forts. Beispiele von Querschnittstabellen - Brettschichtholz 




Forts. Beispiele von Querschnittstabellen - Rundholz 




Forts. Beispiele von Querschnittstabellen - Walzprofile HEA 

Walzprofile IPE, IPEA 




Forts. Beispiele von Querschnittstabellen - Walzprofile UNP 

Walzprofile MSH, RHS, TPS

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