kurs statik / festigkeitslehre 7) querschnittswerte - Goepf Bettschen

BAULEITER HOCHBAU 

K U R S 

S T A T I K / F E S T I G K E I T S L E H R E 

7) QUERSCHNITTSWERTE 

1) Einleitung 

2) Schwerpunkt 

3) Trägheitsmoment 

4) Widerstandsmoment 

5) Das statische Moment 

6) Beispiele von 

Querschnittstabellen 

g.bettschen

Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb - BAULEITER HOCHBAU - 

Statik - Querschnittswerte - g.bettschen - Seite 2 

1) Einleitung 

In den folgenden Kapiteln lernen wir die Berechnung und Bemessung von stabförmigen 

Bauteilen. Stabförmige Bauteile haben einen bestimmten Querschnitt. 

Bei der statischen Berechnung zur Bemessung solcher Bauteile braucht man die 

Querschnittswerte (auch Querschnittskennwerte genannt). 

Unter Querschnittswerten versteht man 

� Lage des Schwerpunktes, 

� die Querschnittsfläche 

� die Trägheitsmomente und die Widerstandsmomente. 

Für einfache Querschnittsformen sind die Werte aus Tabellen ablesbar oder mit einfachen 

Formeln schnell auszurechnen. 

2) Schwerpunktsbestimmungen 

a) Allgemeines 

Jeden Körper kann man sich aus vielen kleinen, gleich grossen Massenteilchen, den 

Massenpunkten, zusammengesetzt denken. Alle diese Massenteilchen erzeugen infolge 

der Erdanziehungskraft (Schwerkraft) gleichlaufende, lotrechte Lasten. 

Den Mittelpunkt aller dieser Massenkräfte eines Körpers, in dem man sich für statische 

Untersuchungen seine Gesamtlast vereinigt denken kann, nennt man seinen 

Schwerpunkt. 

Jede durch diesen Punkt gehende Linie heisst daher Schwerlinie. 

Unterstützt man einen Körper in seinem Schwerpunkt, so bleibt er in jeder Lage in Ruhe, 

im Gleichgewicht. Die Lage des Schwerpunkts ist bei Körpern für 

Standfestigkeitsuntersuchungen und bei Flächen für die Zug-, Druck-, Biege- und 

Knickfestigkeit von grosser Bedeutung. 

Will man den Schwerpunkt eines Körpers, 

z.B. den einer gleichmässig dünnen Platte, 

praktisch bestimmen, so hängt man ihn an 

zwei verschiedenen Punkten auf. Die 

Lotrechten von den Aufhängepunkten sind, 

wenn der Körper zur Ruhe gekommen ist, 

Schwerpunktlinien (Linie R1 und Linie R2 ). 

Zeichnet man sie ein, so ist ihr Schnittpunkt S der Schwerpunkt der Fläche ABCD. 

Der gesuchte Schwerpunkt des Körpers liegt hinter S in der Mitte der Platte. 

Nach dem gleichen Grundsatz verfährt man bei der rechnerischen oder zeichnerischen 

Bestimmung des Schwerpunktes. Nur dreht man jetzt nicht den Körper, sondern der 

Einfachheit halber lässt man die Massenkräfte nach zwei verschiedenen, möglichst 

winkelrecht zueinanderstehenden Richtungen wirken. Ferner nimmt man an, dass die 

Körper aus gleichmässig dichtem (homogenen) Stoff bestehen. Dann ist die Lage des 

Schwerpunkts nur von der Gestalt des Körpers abhängig. 

Auch die Schwerpunkte von Linien und Flächen bestimmt man in ähnlicher Weise, indem 

man sich diese Gebilde mit Massenkräften behaftet denkt. Man spricht dann von einer 

materiellen Linie oder materiellen Fläche. Das Auffinden ihrer Schwerpunkte wird 

erleichtert, wenn man beachtet, dass jede Mittellinie und jede Symmetrieachse eine 

Schwerlinie ist. 

D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik7a.doc 15.12.2011 

C 

D 

A 

R1 

B 

A 

D 

B 

S 

R2 

R1 

C



b) Definition vom Begriff Schwerpunkt 

Als Schwerpunkt eines Körpers bezeichnet man den Angriffspunkt der 

Resultierenden aller Massenteilchen dA welche durch parallele Kräfte im 

Raum beansprucht werden. Die Wirkungslinie dieser Resultierenden nennt 

man Schwerlinie. 

c) Schwerpunkte von Teilflächen 

D:\Eigene Dateien\Goepf\bzb\aktuelles Script\Statik7a.doc 15.12.2011



d) Zusammengesetzte Flächen : 

- Bei regelmässigen und spiegelgleichen Flächen liegt der Schwerpunkt im Schnittpunkt 

zweier Spiegel- oder Mittelachsen. 

- Beliebige Flächen unregelmässiger Gestalt unterteilt man in solche einfachen Flächen, 

deren Inhalte und Schwerpunkte nach bekannten Regeln leicht anzugeben sind. In 

einfachen Fällen ermittelt man die Lage des Schwerpunktes rechnerisch, bei schwierigeren 

Figuren findet oft das Verfahren mit dem Seilpoygon Anwendung. 

Berechnungsmethoden 

Da der Schwerpunkt ein Durchgangspunkt der Mittelkraft aller Massenkräfte ist, lässt sich 

seine Lage zeichnerisch mit Hilfe des Seilpolygons und rechnerisch mit Hilfe des 

Momentensatzes ermitteln, wie es im folgenden für die verschiedenen geometrischen 

Gebilde geschieht. Als gedachter Punkt kann er bei besonderen Formen der Körper, 

Flächen oder Linien auch ausserhalb dieser Gebilde liegen. 

* Symmetrische Flächen 

z 

A = Σ ∆A 

Gesamtfläche A = Summe aller Teilflächen 

* Beliebige Flächen 

y 

dA mit der Masse 1 

belast 

Aus Symmetriegründen entspricht jedem 

Flächenteilchen links der z-Achse ein 

Flächenteilchen rechts der z-Achse. 

Aus Gleichgewichtsgründen muss also die 

Resultierende dieser Flächenteilchen identisch 

sein mit der z-Achse. 

Daraus kann folgender wichtiger Satz 

abgeleitet werden : 

⇒⇒⇒⇒ Jede Symmetrieachse einer 

Fläche ist gleich der Schwerlinie. 

Der Schwerpunkt einer Fläche liegt im Schnittpunkt von mindestens zwei Schwerlinien, 

und da eine Schwerlinie auch die Resultierende der mit der Masse 1 belasteten Fläche dA 

darstellt, kann der Schwerpunkt wie folgt berechnet werden : 

Man teilt die Fläche in kleine Flächenteilchen auf, für die die Teilschwerpunkte aus 

Symmetriegründen ermittelt werden können : 

ys ⋅ 

ys = 

∑ 

dA = ys ⋅ A = y1⋅ 

dA1 

+ y 2 ⋅dA 

2... 

+ yn 

⋅ dAn 

n 

∑ 

i= 

1 

n 

∑ 

yi 

⋅ dAi 

= 

dAi 

i= 

1 

n 

∑ 

i= 

1 

yi 

⋅ dAi 

// zs = 

A 

n 

∑ 

i= 

1 

zi 

⋅ dA 


A 

i



e) Beispiele zu Schwerpunktsberechnungen 

Beispiel a 

Gesucht: Lage vom Schwerpunkt 

Lösung: 


1 

1 

2 

4 

1 

1



Beispiel b 

2 

Gesucht: Lage vom Schwerpunkt 

1 

4 

2 

3 

1 

4 

5 

7 

Lösung: 

- Einzeichnen eines frei wählbaren Koordinatensystems 

- Aufteilung in Teilflächen und Bestimmung deren Schwerpunktsabstände zu den 

entsprechenden Koordinatenachsen 

- Berechnung aller Teilflächen mal deren Abstand y zur Koordinatenachse z 

- Berechnung aller Teilflächen mal deren Abstand z zur Koordinatenachse y 

- Summenbildungen und Berechnung der Schwerpunktslage ys und zs analog Beispiel a 

1 

z 

3 

A1 

2 

5 

Praktisch für die Lösung von Querschnitten mit mehreren Teilflächen ist das Einsetzen der 

Werte in eine Tabelle (Berechnung von Hand oder mit Tabellenkalkulationsprogrammen) 

Bezeichnung Fläche A z z x A y y x A 

Nummer A1 3,00 7,50 22,50 1,50 4,50 

Nummer A2 6,00 8,50 51,00 4,00 24,00 

Nummer A3 16,00 7,00 112,00 7,00 112,00 

Nummer A4 6,00 3,50 21,00 6,00 36,00 

Nummer A5 14,00 1,00 14,00 5,50 77,00 

S u m m e n 45,00 220,50 253,50 

Resultierende auf z - Achse = 4,90 auf y = Achse 5,63 

Lösung: zs = 4.90 , ys = 5.63 

2 

A2 

5 

1 

3 

2 

2 

A5 

2 

7 


A4 

4 

A3 

3 

2 2 

2 

4 

3 

5 

y 

3 

2 

2



Beispiel c 

Aus 16 Quadraten mit 

den Seitenlängen 1 

zusammengesetzte 

Fläche 

Lösung analytisch: Wählen von möglichst wenigen Teilrechtecken und dann Vorgehen 

wie in Beispiel b. Lösung: zs = 2.125, ys = 3.315 

Lösung graphisch: (Nur zur Information, gehört nicht zum Pflichtstoff) 

Da die Formeln für die Schwerpunktsberechnung mit denjenigen für die Bestimmung von 

Resultierenden identisch sind, kann der Schwerpunkt auch mit Hilfe des Seilpolygons 

gefunden werden. 

Man bestimmt für zwei verschiedene Richtungen die Resultierende aller Flächenteilchen, 

im Schnittpunkt dieser Resultierenden liegt dann der Schwerpunkt der Fläche. 

f) Schwerpunkte von Körpern 

Im Bauwesen hat man es meist nur mit prismatischen Körpern zu tun, von denen man im 

allgemeinen nur Teile von 1 m Länge oder 1 m Höhe untersucht. Mit der Bestimmung des 

Schwerpunktes der Grundflächen dieser Prismen ist dann auch die Lage des 

Körperschwerpunktes in halber Länge hinter der Grundfläche oder halber Höhe über oder 

unter ihr gegeben. 




3) Das Trägheitsmoment 

Als Trägheitsmoment einer Fläche bezüglich einer Achse bezeichnet man die Summe der 

Produkte, die entstehen, wenn alle Flächenteilchen mit ihrem Abstand im Quadrat 

bezüglich dieser Achse multipliziert werden. 

Man bezeichnet sie daher auch als Flächenmomente zweiter Ordnung oder quadratische 

Flächenmomente. 

Sie sind rein mathematische Begriffe und nur von der Grösse und der Form einer 

Fläche abhängig. 

z 

z 

y 

Das Trägheitsmoment ist also stets positiv 

und hat die Dimension mm 4 ( cm 4 , dm 4 , m 4 ) 

Für die Festigkeitslehre sind besonders die Trägheitsmomente bezüglich von 

Schwerachsen wichtig. 

Trägheitsmomente bezüglich ihrer Schwerachsen 

* R e c h t e c k 

dA 

dA 

Iy= 

Iz= 


y 

I 

∫ 

∫ 

y 

z 

= 

y 

A 

∫ 

2 

2 

z 

⋅ dA ( vertikal 

) 

⋅ dA ( horizontal 

2 

⋅dA= 

h 

∫ 

2 

b⋅ 

z dA 

Iy = b⋅ h 3 / 12 

(bez. starker Achse) 

0 

Iz = h⋅ b 3 / 12 

(bez. schwacher Achse) 

)



Berechnung Trägheitsmomente: 




Berechnung Trägheitsmomente für Achsen, die keine Schwerachsen 

sind (Satz von Steiner) 

(Zur Information, gehört nicht zum Pflichtstoff) 




4) Das Widerstandsmoment 

Unter dem Widerstandsmoment eines 

Punktes versteht man den Quotient, der 

entsteht, wenn man das Schwerpunktsträgheitsmoment 

durch den Abstand des 

Punktes von der Schwerachse dividiert. 

W 

( p ) = 

I 

z 

y 

Meistens wird das Widerstandsmoment des oberen Randes (Wo), des unteren Randes 

(Wu), des linken oder des rechten Randes (Wl, Wr) eines Querschnittes benötigt. 


h 

l 

o 

P 

z 

u 

b 

z 

r 

h/2 

h/2 

y



5) Das statische Moment 

Das Statische Moment, oder auch Flächenmoment 1. Grades, wird immer auf den 

Schwerpunkt bezogen berechnet. Es ist im Schwerpunkt am größten und in den am 

weitesten vom Schwerpunkt entferntesten differentiell kleinen Teilflächen am Kleinsten 

bzw. Null. Die Berechnung erfolgt analog der eines Momentes, nämlich: Summe aus 

Teilflächen mal achsenbezogener Abstand aus Teilflächenschwerpunkt zu 

Gesamtschwerpunkt (Summe aus Kraft mal Hebelarm). Es sind immer mindestens zwei 

Statische Momente in einem Querschnitt vorhanden. 

Das Statische Moment findet zum Beispiel bei der Ermittlung der 

Schubspannungen Anwendung. 




6) Beispiele von Querschnittstabellen - Rechteck Teil 1 




Forts. Beispiele von Querschnittstabellen - Rechteck Teil 2 

Weitere Querschnitswerte: siehe entsprechende Tabellenwerke

kurs statik / festigkeitslehre 7) querschnittswerte - Goepf Bettschen

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