Lektion (PDF) - Die Homepage von Joachim Mohr
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Start Musik <strong>Lektion</strong>enübersicht<br />
3. <strong>Lektion</strong>: Beschreibung <strong>von</strong> Tonsystemen<br />
ohne Akustik, rein hörpsychologisch<br />
Bisher haben wir Töne und Intervalle durch Frequenzen und Frequenzverhältnisse beschrieben, aber doch schon die<br />
Grundlagen gelegt, um ohne diese Begriffe auszukommen.<br />
Es gibt zwei wichtige Gründe, die Theorie möglichst ohne Bezug auf die Akustik zu formulieren:<br />
<strong>Die</strong> Anschaulichkeit und die Interpretation historischer Tonsystembeschreibungen.<br />
Zwischen dem musikalischen Sachverhalt und der Akustik ist ein ständiger Übersetzungsvorgang nötig, der Theorien<br />
umständlich und unanschaulich macht, und bei geschichtlichen Betrachtungen Zusammenhänge vorwegnimmt, die<br />
damals noch nicht erforscht waren. Wir wollen nur mit musikalischen Begriffen auskommen.<br />
Hier wird ein vereinfachtes Tonsystem nur mit dem Begriffen "Ton" und "Intervall" verwendet, wie es ähnlich<br />
Wilfried Neumaier beschreibt. Es kommt ohne den Begriff der reellen Zahlen aus.<br />
Eine exakte Beschreibung findet sich im Anhang der Abhandlung Axiomensystem.<br />
Man hat einen Tonvorrat (=Menge <strong>von</strong> Tönen), zum Beispiel: ..., c', d', e', f', ... und<br />
eine Menge <strong>von</strong> Intervallen zum Beispiel: Oktave, Quinte, große Terz, ...<br />
Töne und Intervalle sind miteinander verknüpft.<br />
1. Zwei Töne bestimmen jeweils ein Intervall, zum Beispiel (gleich in der passenden Beschreibung):<br />
gT = c'e' (gT ist die Abkürzung für große Terz, siehe <strong>Lektion</strong> 1)<br />
Qui = c'g' (Qui ist die Abkürzung für die Quinte) ...<br />
2. Umgekehrt gibt es zu jedem Ton und zu jedem Intervall genau einen zweiten Ton, so dass die zwei Töne gerade<br />
dieses Intervall ausmachen. Zum Beispiel (gleich in der passenden Beschreibung):<br />
c' + Qui = g', da Qui = c'g'.<br />
3. Intervalle kann man addieren (hintereinander ausführen. Siehe <strong>Lektion</strong> 2) und subtrahieren.<br />
Für diese Verknüpfung gelten die üblichen mathematischen Regeln.<br />
Zum Beispiel haben wir in <strong>Lektion</strong> 2 gesehen.<br />
gSext = Ok - kT für kT = Qui -gT, also folgt gSext = Ok - (Qui -gT) = Ok - Qui + gT = Ok + gT - Qui.<br />
In unserer Vorstellung denken wir uns etwa: c' + gSext = c' + Ok + gT - Qui =c'' +gT - Qui = e'' - Qui = a'.<br />
4. Eine ganz wichtige Eigenschaft, die uns ermöglicht Intervalle zu messen ist der Größenvergleich:<br />
Tönen und Intervallen kann man in ihrer Tonhöhe bzw. Größe vergleichen. Zum Beispiel:<br />
c' < d' (Interpretation:der Ton d' erklingt höher als der Ton c') und<br />
Qua < Qui ("Das Intervall der Quarte ist kleiner als das Intervall der Quinte").<br />
Damit kann man rechnen. Zum Beispiel:<br />
1 Okt < 2Qui.<br />
Um das zu verifizieren benötigt man keine Berechnungen über Frequenzverhältnisse. Ein musikalischer Mensch<br />
hört diese Beziehung, etwa durch folgenden Vergleich:<br />
c' + Ok = c'' und<br />
c' + (Qui + Qui) = (c' + Qui) + Qui = g' + Qui = d''<br />
d'' erklingt höher als c''. Folglich ist Ok < Qui+Qui<br />
Eines kann man jedoch nicht. Teile <strong>von</strong> Intervallen hörpsychologisch bestimmen. Zum Beispiel kann niemand ohne<br />
Taschenrechner und ohne (auf Rechnungen beruhenden) Auszählen <strong>von</strong> Schwebungen eine gleichstufige große Terz<br />
oder eine "halbe Oktave" bestimmen. (Wird in <strong>Lektion</strong> 5 oder hier erläutert).<br />
Es hat jedoch Sinn zu schreiben:<br />
1<br />
Qui > - Ok (<strong>Die</strong> Quinte ist größer als eine halbe Oktave).<br />
2<br />
<strong>Die</strong> Interpretation ist: 2Qui > 1Ok.<br />
Wie Wilfried Neumaier ausführt, kann man hörpsychologisch feststellen, dass<br />
2Qui > 1Ok<br />
5Qui < 3Ok<br />
12Qui > 7Ok (siehe Pythagoreisches Komma: 12 Quinten übertreffen 7 Oktaven)<br />
41Qui < 24Ok<br />
Man kann also den Ort der Quinte innerhalb der Oktave immer genauer angeben:<br />
1<br />
Qui > -Ok = 0,5Ok<br />
2<br />
3<br />
Qui < -Ok = 0,6Ok<br />
5<br />
7<br />
Qui > ——Ok = 0,583Ok<br />
12<br />
24<br />
Qui < ——Ok = 0,585Ok