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3. Lektion: Beschreibung von Tonsystemen
ohne Akustik, rein hörpsychologisch
Bisher haben wir Töne und Intervalle durch Frequenzen und Frequenzverhältnisse beschrieben, aber doch schon die
Grundlagen gelegt, um ohne diese Begriffe auszukommen.
Es gibt zwei wichtige Gründe, die Theorie möglichst ohne Bezug auf die Akustik zu formulieren:
Die Anschaulichkeit und die Interpretation historischer Tonsystembeschreibungen.
Zwischen dem musikalischen Sachverhalt und der Akustik ist ein ständiger Übersetzungsvorgang nötig, der Theorien
umständlich und unanschaulich macht, und bei geschichtlichen Betrachtungen Zusammenhänge vorwegnimmt, die
damals noch nicht erforscht waren. Wir wollen nur mit musikalischen Begriffen auskommen.
Hier wird ein vereinfachtes Tonsystem nur mit dem Begriffen "Ton" und "Intervall" verwendet, wie es ähnlich
Wilfried Neumaier beschreibt. Es kommt ohne den Begriff der reellen Zahlen aus.
Eine exakte Beschreibung findet sich im Anhang der Abhandlung Axiomensystem.
Man hat einen Tonvorrat (=Menge von Tönen), zum Beispiel: ..., c', d', e', f', ... und
eine Menge von Intervallen zum Beispiel: Oktave, Quinte, große Terz, ...
Töne und Intervalle sind miteinander verknüpft.
1. Zwei Töne bestimmen jeweils ein Intervall, zum Beispiel (gleich in der passenden Beschreibung):
gT = c'e' (gT ist die Abkürzung für große Terz, siehe Lektion 1)
Qui = c'g' (Qui ist die Abkürzung für die Quinte) ...
2. Umgekehrt gibt es zu jedem Ton und zu jedem Intervall genau einen zweiten Ton, so dass die zwei Töne gerade
dieses Intervall ausmachen. Zum Beispiel (gleich in der passenden Beschreibung):
c' + Qui = g', da Qui = c'g'.
3. Intervalle kann man addieren (hintereinander ausführen. Siehe Lektion 2) und subtrahieren.
Für diese Verknüpfung gelten die üblichen mathematischen Regeln.
Zum Beispiel haben wir in Lektion 2 gesehen.
gSext = Ok - kT für kT = Qui -gT, also folgt gSext = Ok - (Qui -gT) = Ok - Qui + gT = Ok + gT - Qui.
In unserer Vorstellung denken wir uns etwa: c' + gSext = c' + Ok + gT - Qui =c'' +gT - Qui = e'' - Qui = a'.
4. Eine ganz wichtige Eigenschaft, die uns ermöglicht Intervalle zu messen ist der Größenvergleich:
Tönen und Intervallen kann man in ihrer Tonhöhe bzw. Größe vergleichen. Zum Beispiel:
c' < d' (Interpretation:der Ton d' erklingt höher als der Ton c') und
Qua < Qui ("Das Intervall der Quarte ist kleiner als das Intervall der Quinte").
Damit kann man rechnen. Zum Beispiel:
1 Okt < 2Qui.
Um das zu verifizieren benötigt man keine Berechnungen über Frequenzverhältnisse. Ein musikalischer Mensch
hört diese Beziehung, etwa durch folgenden Vergleich:
c' + Ok = c'' und
c' + (Qui + Qui) = (c' + Qui) + Qui = g' + Qui = d''
d'' erklingt höher als c''. Folglich ist Ok < Qui+Qui
Eines kann man jedoch nicht. Teile von Intervallen hörpsychologisch bestimmen. Zum Beispiel kann niemand ohne
Taschenrechner und ohne (auf Rechnungen beruhenden) Auszählen von Schwebungen eine gleichstufige große Terz
oder eine "halbe Oktave" bestimmen. (Wird in Lektion 5 oder hier erläutert).
Es hat jedoch Sinn zu schreiben:
1
Qui > - Ok (Die Quinte ist größer als eine halbe Oktave).
2
Die Interpretation ist: 2Qui > 1Ok.
Wie Wilfried Neumaier ausführt, kann man hörpsychologisch feststellen, dass
2Qui > 1Ok
5Qui < 3Ok
12Qui > 7Ok (siehe Pythagoreisches Komma: 12 Quinten übertreffen 7 Oktaven)
41Qui < 24Ok
Man kann also den Ort der Quinte innerhalb der Oktave immer genauer angeben:
1
Qui > -Ok = 0,5Ok
2
3
Qui < -Ok = 0,6Ok
5
7
Qui > ——Ok = 0,583Ok
12
24
Qui < ——Ok = 0,585Ok