Lektion (PDF) - Die Homepage von Joachim Mohr

(1) Halbton H H={100}=(001)=[1 -1 -1] (16/15)
(2) synt. Komma K={010}=(1 -1 0)=[-2 4 -1] (81/80) (Im Vorgriff: 21,51 Cent)
(3) 2H-G k={001}=(-1 0 2)=[3 -4 -2] (2048/2025)
Rechenbeispiel: Wie setzt sich die kleine Sext c-as aus Oktaven, Quinten und
Terzen zusammen?
c-d-e-f-g-as: G + (G-) + H + G + H
Als (G,G-,H)-Vektor = (Anzahl von G und G- und H) geschrieben: c-as = (2 1 2)
"Zwei große Ganztöne, ein kleiner Ganzton und zwei Halbtöne".
Vektorrechnung:
(2 1 2) = 2·(1 0 0) + (0 1 0) + 2·(0 0 1)
= 2·[-1 2 0] + [1 -2 1] + 2·[1 -1 -1]
=[1 0 -1] = "Eine Oktav - eine große Terz"
c-as ist ein Intervall, das 8 Halbtöne umfasst (c-des-d-es-e-f-fis-g-as).
Genaugenommen handelt es sich aber um keine gleichen Halbtöne. Man muss noch
die "Korrekturen" K={0 1 0} (synthonisches Komma) und
k={0 0 1} (Ganzton - 2 Halbtöne) anbringen.
Wird diese ausgedrückt als {x y z} muss folgende Gleichung gelöst werden:
{x y z} = x·(0 0 1) + y·(1 -1 0) + z·(-1 0 2) = (2 1 2)
Das lineares Gleichungssystem
y - z = 2
-y = 1
x + 2·z = 2
hat die Lösung: {x y z} = {8 -1 -3), d.h.
c-as liegt 8 Halbtöne auseinander. Der Ton ist jedoch zu hoch.
Zur Korrektur muss man ein synth. Komma und drei mal die (Differenz von zwei
Halbtönen und Ganzton) tiefer.
Das Programm TTMusik basiert auf diesem Tonsystem. Jedes Intervall erklingt dort rein. Man muss dabei vorgeben, in
welcher Tonart man sich befindet. Zum Beispiel erklingt der Dreiklang dfa in C-Dur unrein, in F-Dur oder d-moll jedoch
rein.
Die Ordnung in Tonsystemen
Was in der Darstellung unseres Tonsystems nicht bestimmbar ist, sind die Größenverhältnisse von Oktav, Quint, Quart
u.s.w. Die sind hörpsychologisch vorgegeben. Bei den Pythagoreern rein spekulativ (aber - wie sich später zeigte- als
Frequenzverhältnisse). [Bei Euklid "Teilung des Kanons" zum Beispiel
Ok 31Ok
(Grenze des hörbaren Unterschiedes erreicht.
Hörpsychologisch also fast 53Q = 31 Ok)
6. Näherung: 306Q < 179 Ok (rein theoretisch)
7. Näherung 665Q > 398 Ok
...
Berechnung: Siehe Kettenbrüche
Nach dem Satz von Hölder, der für alle archimedisch geordnete Gruppen
hergeleitet werden kann, gilt dann:
Die Zuordnung m ist ein Isomorphismus von (I,+,