Lektion (PDF) - Die Homepage von Joachim Mohr

die Quinte größer als der zwölfte Teil von 7 Oktaven: Q > ——Ok.
12
n
Beachte : -·i braucht kein Intervall zu sein. Im vorhergehenden
m
Abschnitt sahen wir ja, dass mit dem Gehör die "halbe Oktav" nicht exakt
zu treffen ist.
Axiom (2b) besagt dann: Es ist nicht möglich Q als rationales Vielfaches
der Oktave darzustellen.
Unser Intervallraum hat nun die einfache Darstellung I = Z·Ok + Z·Q (Ok=Oktave; Q=Quinte; Z = Menge der ganzen Zahlen)
Dann kann man weitere Intervalle definieren (im Vorgriff werden
die Frequenzverhältnisse schon angeben.)
Ganzton Q=2Q-Ok (9/8)
Ditonos 2G=4Q-2Ok (81/64)
Quart q=Ok-Q (4/3)
Leimma L=Quart-Ditonos (256/243) (=H- siehe unten)
———————— für die Theorie ——————————
Apotome A=G-L (2187/2048)
pyth. Komma k=12Q-7Ok=A-L (531441/524288) (Im Vorgriff: 23,46 Cent)
Daraus lässt sich eine Tonleiter bauen: die Pythagoras zugeschriebene
Quintenstimmung (Gratzki S.21) (das diatonische Tongeschlecht)
Intervall G G L G G G L
Ton c d e f g a h c
In der frühen Zweistimmigkeit und den Anfängen der Mehrstimmigkeit ist diese Intonation denkbar.
Quinten klingen in dieser Intonation rein. Mir ist aufgefallen, dass auch die Diskantklausel mit dem pythagoreischen
Ganzton in dieser Tonleiter einen besonders guten Klang hat (Mit dem kleinen Ganzton - siehe unten- klänge sie fade).
In der Einstimmigkeit hat die pythagoreische Tonleiter eine gewisse Berechtigung. Die Terz klingt dissonant (scharf).
Bei Tastenistrumente, die bis 1550 so gestimmt wurden, wurde klar, dass bei der Mehrstimmigkeiten Unreinheiten
auftraten. Dem begegnete man dadurch, dass man sie nach mitteltönigen Temperaturen stimmte. Eine reine Stimmung
der Tasteninstrumente für alle Tonarten war bei einer Beschränkung auf 12 Tasten pro Oktave unmöglich.
Bemerkung zur scharfen Terz der pythagoreischen Stimmung ("Cent" siehe unten).
Mit TTMusik lässt sich das leicht darstellen.
TA D Akkord In Cent
c ce 386,3
c ce+ 407,8
~ ce 400
Die reine Terz umfasst 387 Cent, die pythagoreische 408 Cent und die gleichschwebende 400 Cent.
3. Das Quint-Terz-System
(Die reine Stimmung)
Dieses System wird durch drei Basisvektoren Ok,Q und gT (Ok,Q,gT) bestimmt (Im Vorgriff: In Klammer die
Frequenzverhältnisse).
(1) Die Oktav, geschrieben als Vektor Ok= [ 1 0 0] (2/1)
(2) Die Quint, geschrieben Q = [ 0 1 0] (3/2)
(3) Die große Terz, geschrieben gT = [ 0 0 1] (5/4)
Hörpsychologisch beschreibe ich die "reine Stimmung" durch folgende Axiome.
Axiom: Keines der Grundintervalle lässt sich als Linearkombination
der übrigen beiden darstellen.
Axiom: Jedes Intervall lässt sich als Summe oder Differenz dieser
Grundintervalle schreiben.
Vektorschreibweise: i=[ x y z ]=x·Ok + y·Q + z·gT
x,y,z ganze Zahlen (auch negative)
[x y z] werde der Oktav-Quint-Terz-Vektor genant.
Die Basisintervalle können ersetzt werden durch folgende drei
Basisintervalle.
(1) Großer Ganzton G, geschrieben als Vektor (100)=[-1 2 0] (9/8)
(2) kleiner Ganzton G-, geschrieben (010)=[ 1 -2 1] (10/9)
(3) Halbton H, geschrieben (001)=[ 1 -1 -1] (16/15)
Umrechnung: Oktav Ok= (322)
Quint Q = (211)
Terz gT = (110)
Oder durch folgende drei Basisintervalle (Halbtöne + Korrektur)