Lektion (PDF) - Die Homepage von Joachim Mohr

1. Der zwölfstufige Tonraum
Dieses System ist mathematisch sehr einfach. Vom Hören kann man es jedoch nicht erschließen, wenn wir nicht
Tongenerator und Logarithmentafel oder ähnliches zu Hilfe nehmen.
Axiom Es gibt ein Intervall H -genannt Halbton- so, daß 12·H=Ok
und jedes Intervall ist ein Vielfaches von H.
Somit ist der Intervallraum mit Z= Menge der ganzen Zahlen darstellbar als I= Z·H={z·H| z ε Z} Wählt man willkürlich
einen Ton c ε T, dann ist T=c+ Z·H={c+z·H|z ε Z}
Vom Geigen- oder Trompetenspiel u.s.w her gesehen ist die gleichmäßige Einteilung der Oktave in zwölf gleiche
Intervalle jedoch alles andere als trivial ... es ist ein Artefakt.
Vereinfachen wir das Problem und versuchen wir, die Oktave in zwei gleiche Intervalle aufzuteilen.
Gesucht: Intervall i mit 2·i = Ok.
Ein an die gleichschwebenden Stimmung gewöhnte Musiker würde sagen:
C - Fis halbiert die Oktave.
Gehen wir einmal davon aus, dass ein Musiker die reine Oktave, die reine Quint, die reine Terz und alle Intervalle die
sich daraus kombinieren lassen, exakt intonieren kann. (siehe das nächste Tonsystem). Dass dies ein guter Sänger,
Violinist, Trompeter u. s. w. kann, wird wohl niemand ernsthaft bestreiten.
Wie ist aber C - Fis zu intonieren?
Eine große Terz plus ein Ganzton?
Mit Frequenzverhältnissen gerechnet:
i = Terz + Ganzton = Intervall mit dem Frequenzverhältnis 5/4·9/8 = 45 /32.
Dann hat 2·i das Frequenzverhältnis 2025/1024 < 2048/1024 (=Ok)
Zu klein für eine Oktav!!
Man müßte also das gesuchte Intervall i etwas vergrößern, damit 2·i = Ok.
Exakt kann man das nicht.
Und dasselbe gilt erst recht für den Halbton H mit 12·H = Ok.
Ich behaupte deshalb: Der zwölfstufige Tonraum ist allein vom Hören her nicht zu begründen.
Wer das Gegenteil behauptet, müßte den exakten Halbton mit Musikinstrumenten ohne Berechnung der 12. Wurzel
von 2 so intonieren können wie eine Oktave, eine Quint oder eine Terz. (Die mit Hilfe der Obertonreihe einfach zu
finden sind.)
Die gleichschwebende Stimmung ist nur eine bequeme Möglichkeit, Tasteninstrumente in allen Tonarten spielbar zu
machen. Erst nach der zerfallenden Harmonik der Spätromantik betrachtete man den zwölfstufigen Tonraum als
eigenständig.
Historisch gesehen war es ein großes Problem, ohne Stimmgeräten und Frequenzmessern, die erst im 20. Jahrhundert verfügbar waren,
Instrumente gleichstufig zu stimmen. Neben dem Gehör wurde etwa das Metronom verwendet, um die Frequenz der Schwebungen zu
bestimmen
Andreas Werckmeister (1645-1706), ein Zeitgenosse Buxtehudes und Bachs, preist die Vorzüge der gleichstufigen Stimmung mit Vorbehalt:
Die Menschen würden "jubiliren" "wenn ... ein accurates Ohr dieselbe auch ... zu stimmen weiss".
Johann Sebastian Bach stimme sein Clavichord immer selbst und benötigte dafür nie mehr als eine Viertelstunde. Es ist anzunehmen, dass er
sie nicht gleichstufig stimmte. Aber seine "wohl temperierte" Stimmung wird sein Geheimnis bleiben. (Quelle Balint Dobozi ).
Nachtrag 2006: Das Geheimnis J.S. Bachs ist vielleicht doch gelüftet. Siehe 8. Lektion zur Musiktheorie
2. Das Quintsystem
Sie alle kennen musikalisch die Quinte. Sie werde mit Q bezeichnet.
Im diesem Abschnitt überlegen wir uns. Wie können wir einen kleinsten Tonraum darstellen, der durch die Oktave und
die Quinte bestimmt ist?
Wir definieren das Quintsystem folgendermaßen:
Definition: (1) Es gibt zwei Intervall Ok (Oktav) und Q (Quint).
(2) Zu jedem weiteren Intervall i gibt es eindeutig
bestimmte ganze Zahlen n,m so, daß i=n·Ok+m·Q.
d.h. jedes Intervall ist eindeutig als
Linearkombination von Ok und Q darstellbar.
(2) ist äquivalent zu
(2a) Jedes Intervall ist Linearkombination von Ok und Q und (2b) aus n·Ok=m·Q folgt n=m=0.
n
Wir schreiben für Intervalle i, j und ganze Zahlen n, m (m>0): -i