Lektion (PDF) - Die Homepage von Joachim Mohr
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1 Ok = lb(2)·1200 Cent<br />
2 Ok = lb(4)·1200 Cent<br />
3 Ok = lb(8)·1200 Cent.<br />
<strong>Die</strong> übrigen Intervalle berechnen sich dann entsprechend:<br />
3<br />
Qui = lb(-)·1200 Cent = 702 Cent<br />
2<br />
4<br />
Qua = lb(-)·1200 Cent = 498 Cent<br />
3<br />
...<br />
Bemerkung:<br />
In der gleichförmigen Stimmung mit dem Halbton h = 100 Cent gilt:<br />
Qui(gleichstufig) = 7 h = 700 Cent und<br />
Qua(gleichstufig) = 5 h = 500 Cent.<br />
<strong>Die</strong> feinen Unterschiede zwischen reiner und gleichstufiger Stimmung werden in <strong>Lektion</strong> 5 erklärt.<br />
Noch ein Beispiel:<br />
gT = lb(5/4)Ok = 0,321 928Ok = 0,321 928·1200 Cent = 386 Cent<br />
Mit gT = 0,321 928Ok wird zum Ausdruck gebracht:<br />
<strong>Die</strong> große Terz ist das 0,321 928-Vielfache der Oktave.<br />
Grob abgeschätzt: <strong>Die</strong> große Terz ist ungefähr ein Drittel einer Oktav, da drei große Terzen aufeinandergetürmt<br />
ungefähr eine Oktave ergeben.<br />
Da 1 Oktave = 1200 Cent umfaßt, ist mit dem feinen Maß Cent ausgedrückt:<br />
gT = 0,321 928·1200 Cent = 386 Cent (gerundet).<br />
Der große Nachteil ist, dass die Reinheit <strong>von</strong> Intervallen, deren Frequenzverhältnis einfache Verhältnisse sind, in der<br />
Centschreibeweise nicht erkennbar ist, der Vorteil ist ihre gute Vergleichbarkeit.<br />
Bemerkung: In dem Werk "Teilung des Kanons" (siehe 6. <strong>Lektion</strong>) addiert Euklid die Intervalle Qua+Qui=Ok und<br />
bemerkt dazu, dass dies der Multiplikation der Verhältnisse (4:3)·(3:2) = (2:1) entspricht.<br />
Er wußte auch, dass die Qui ungefähr der 7/12-te Teil der Oktave ist (12 Quinten fast gleich 8 Oktaven). Er kannte<br />
noch keine Dezimalzahlen (7/12 = 0,583) und noch keine Logarithmen (lb(3/2)=0,585).<br />
Wenn wir Qua + Qui = 498 Cent + 702 Cent = 1 200 Cent, oder etwas genauer<br />
Qua + Qui = 498,044 999 135 Cent + 701,955 000 865 Cent = 1 200 Cent, schreiben, wird nicht einmal erkennbar,<br />
dass das zugehörige Zahlenverhältnis rational ist.<br />
<strong>Die</strong> Probe:<br />
498,044 999 135 Cent 498,044999135/1200<br />
2 = 2 = 1,333 333 333<br />
zeigt uns ebenfalls nicht mit absoluter Sicherheit, dass das Verhältnis 4/3, also die Quart, dahinter steckt.<br />
Vom Höhren her ist Qui=lb(3/2)Ok (Interpretation Qui = 0,585-te Teil der Oktave) nicht nachvollziebar, da lb(3/2)<br />
irrational ist. Das heißt: Es gibt kein gemeinsames kleineres Intervall, dessen Vielfaches die Oktave und ein anderes<br />
Vielfaches die Quinte ist.<br />
Allgemein gilt: Vom Hören her kann man Intervalle nicht beliebig teilen. Ich kann nur feststellen, ob Vielfache eines<br />
Intervalls größer als Vielfache eines anderen Intervalls sind und damit Intervalle äußerst genau vergleichen.<br />
Durch die geniale pythagoreische Zuordnung <strong>von</strong> Intervallen zu Verhältnissen wurde die Vergleichbarkeit<br />
mathematisiert.<br />
Auch für uns "moderne" Menschen ist die Aussage Qui = lb(3/2)Ok unwesentlich. Wir können damit allenfalls<br />
musikalische Aussagen besser nachrechnen.<br />
Berechnung <strong>von</strong> Frequenzverhältnissen<br />
Wie kann ich nun umgekehrt aus Intervallen als Teil der Oktave die Frequenzverhältnisse wieder berechnen?<br />
1. Beispiel: Welches Frequenzverhältnis x hat das Intervall y=7 Oktaven?<br />
Lösung: Wir müssen die Gleichung y=lb(x)=7 nach x auflösen.<br />
Erinnern wir uns:<br />
y=lb(x) 2 y = x. Auf unser Beispiel angewandt: 7 = lb(x) 2 7 =x.<br />
Somit gilt für das Frequenzverhältnis x <strong>von</strong> 7 Oktaven: x = 2 7 =128.<br />
2. Beispiel: Welches Frequenzverhältnis x hat das Intervall y = gT = 0,322Ok?<br />
0,322 4<br />
Lösung: lb(x)=0,322 x=2 =1,25 = - (Frequenzverhältnis der großen Terz)<br />
5<br />
Wir haben hier mit Näherungswerten gerechnet. <strong>Die</strong> exakte Rechnung lautet:<br />
5