Lektion (PDF) - Die Homepage von Joachim Mohr

1 Ok = lb(2)·1200 Cent
2 Ok = lb(4)·1200 Cent
3 Ok = lb(8)·1200 Cent.
Die übrigen Intervalle berechnen sich dann entsprechend:
3
Qui = lb(-)·1200 Cent = 702 Cent
2
4
Qua = lb(-)·1200 Cent = 498 Cent
3
...
Bemerkung:
In der gleichförmigen Stimmung mit dem Halbton h = 100 Cent gilt:
Qui(gleichstufig) = 7 h = 700 Cent und
Qua(gleichstufig) = 5 h = 500 Cent.
Die feinen Unterschiede zwischen reiner und gleichstufiger Stimmung werden in Lektion 5 erklärt.
Noch ein Beispiel:
gT = lb(5/4)Ok = 0,321 928Ok = 0,321 928·1200 Cent = 386 Cent
Mit gT = 0,321 928Ok wird zum Ausdruck gebracht:
Die große Terz ist das 0,321 928-Vielfache der Oktave.
Grob abgeschätzt: Die große Terz ist ungefähr ein Drittel einer Oktav, da drei große Terzen aufeinandergetürmt
ungefähr eine Oktave ergeben.
Da 1 Oktave = 1200 Cent umfaßt, ist mit dem feinen Maß Cent ausgedrückt:
gT = 0,321 928·1200 Cent = 386 Cent (gerundet).
Der große Nachteil ist, dass die Reinheit von Intervallen, deren Frequenzverhältnis einfache Verhältnisse sind, in der
Centschreibeweise nicht erkennbar ist, der Vorteil ist ihre gute Vergleichbarkeit.
Bemerkung: In dem Werk "Teilung des Kanons" (siehe 6. Lektion) addiert Euklid die Intervalle Qua+Qui=Ok und
bemerkt dazu, dass dies der Multiplikation der Verhältnisse (4:3)·(3:2) = (2:1) entspricht.
Er wußte auch, dass die Qui ungefähr der 7/12-te Teil der Oktave ist (12 Quinten fast gleich 8 Oktaven). Er kannte
noch keine Dezimalzahlen (7/12 = 0,583) und noch keine Logarithmen (lb(3/2)=0,585).
Wenn wir Qua + Qui = 498 Cent + 702 Cent = 1 200 Cent, oder etwas genauer
Qua + Qui = 498,044 999 135 Cent + 701,955 000 865 Cent = 1 200 Cent, schreiben, wird nicht einmal erkennbar,
dass das zugehörige Zahlenverhältnis rational ist.
Die Probe:
498,044 999 135 Cent 498,044999135/1200
2 = 2 = 1,333 333 333
zeigt uns ebenfalls nicht mit absoluter Sicherheit, dass das Verhältnis 4/3, also die Quart, dahinter steckt.
Vom Höhren her ist Qui=lb(3/2)Ok (Interpretation Qui = 0,585-te Teil der Oktave) nicht nachvollziebar, da lb(3/2)
irrational ist. Das heißt: Es gibt kein gemeinsames kleineres Intervall, dessen Vielfaches die Oktave und ein anderes
Vielfaches die Quinte ist.
Allgemein gilt: Vom Hören her kann man Intervalle nicht beliebig teilen. Ich kann nur feststellen, ob Vielfache eines
Intervalls größer als Vielfache eines anderen Intervalls sind und damit Intervalle äußerst genau vergleichen.
Durch die geniale pythagoreische Zuordnung von Intervallen zu Verhältnissen wurde die Vergleichbarkeit
mathematisiert.
Auch für uns "moderne" Menschen ist die Aussage Qui = lb(3/2)Ok unwesentlich. Wir können damit allenfalls
musikalische Aussagen besser nachrechnen.
Berechnung von Frequenzverhältnissen
Wie kann ich nun umgekehrt aus Intervallen als Teil der Oktave die Frequenzverhältnisse wieder berechnen?
1. Beispiel: Welches Frequenzverhältnis x hat das Intervall y=7 Oktaven?
Lösung: Wir müssen die Gleichung y=lb(x)=7 nach x auflösen.
Erinnern wir uns:
y=lb(x) 2 y = x. Auf unser Beispiel angewandt: 7 = lb(x) 2 7 =x.
Somit gilt für das Frequenzverhältnis x von 7 Oktaven: x = 2 7 =128.
2. Beispiel: Welches Frequenzverhältnis x hat das Intervall y = gT = 0,322Ok?
0,322 4
Lösung: lb(x)=0,322 x=2 =1,25 = - (Frequenzverhältnis der großen Terz)
5
Wir haben hier mit Näherungswerten gerechnet. Die exakte Rechnung lautet:
5