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4. Lektion: Das Centmaß für Intervalle
Siehe auch: Erläuterung für Nichtmathematiker zu den Cent-Angaben für Tonhöhenunterschiede
Kurzgefasst wird im Folgenden erklärt:
Als Einheit wählen wir die Oktave.
Jedes Intervall kann als Vielfaches der Oktav dargestellt werden.
Zum Beispiel Qui=0,585Ok.
Die Oktave wird in 1200 Cent (12 Halbtöne) unterteilt: 1Ok = 1200Cent.
Dann gilt zum Beispiel für die Quinte Qui=0,585Ok=0,585·1200 Cent =702Cent.
Der Zusammenhang Frequenzverhältnis zu Intervall ist ein logarithmischer.
Die Centangabe wird vorteilhaft bei Verstimmungen verwendet. Grob gesagt:
� Abweichung bis 10 Cent - wie bei mitteltönigen Stimmungen, bei denen nur C-Dur nahe Akkorde verwendet
werden, bringen im Vergleich zur reinen Stimmung Farbe in die Musik.
� Mit 15 Cent Abweichung hat man sich schweren Herzens abgefunden. Anders könnte man auf
Tasteninstrumenten nicht alle Tonleitern spielen.
� Fürchterlich klingen Verstimmungen um die 40 Cent (ein Fünftel eines Ganztones) wie zum Beispiel beim "Wolf"
bei der ansonsten so herrlichen mitteltönigen Stimmung, bei Cis-Des oder bei As-Fis.
Nun Ausführlich:
In unserer Vorstellung haben zwei gleiche Oktaven, allgemein zwei gleiche Intervalle, immer denselben Abstand.
Wir sprechen von 1, 2, 3 Oktaven u.s.w. Die Frequenzverhältnisse sind jedoch 2, 4, 8 u. s. w.
Veranschaulichung der Frequenzverhältnisse im Gegensatz zu unserer Vorstellung:
Maßstab: Frequenzen:
Interpretation: -1Ok: Eine Oktave tiefer (Frequenzverhältnis 1:2)
0Ok: Prim (Frequenzverhältnis 1:1)
1Ok: Eine Oktave höher (Frequenzverhältnis 2:1)
2Ok: Zwei Oktaven höher (Frequenzverhältnis 4:1)
3Ok: Drei Oktaven höher (Frequenzverhältnis 8:1)
Mit der Bezeichnung: lb ist der Logarithmus zur Basis 2 und der Feinunterteilung: 1Ok = 1200Cent)
Intervall = lb(Frequenzverhältnis)·Ok
y = lb(x)Ok = lb(x)·1200Cent
(Das Intervall y als Teil der Oktave Ok in Abhängigkeit vom Frequenzverhältnis x)
Zum Beispiel ist das Frequenzverhältnis von 3 Okaven x = 2·2·2 = 2 3 = 8 und damit das Intervall y = lb(8)Ok = 3Ok (muß ja so sein!).
Begründung:lb(8) ist der Zweierlogarithmus von 8, also die Zahl, mit der ich zwei potenzieren muß, um 8 zu erhalten, somit lb(8) = 3. Der
Zweierlogarithmus macht das Potenzieren rückgängig.
Allgemein ist der Zweierlogarithmus lb(x) als die Zahl definiert, mit der man zwei potenzieren muß, um x zu erhalten:
y
y=lb(x) 2 = x Der Zweierlogatithmus und die Potenzen zur Basis 2 sind als
Ausführlicher: siehe Einführung in den Logarithmus.
Funktionen betrachtet Umkehrfunktionen von einander.
Jedes Intervall wird nun auf die Oktav bezogen mit dem Maß Cent.
Zum Beispiel:
Maßstab: Unser Höreindruck (das Weber-Fechnersche Gesetz):
1 Ok = 1 200 Cent
2 Ok = 2 400 Cent
3 Ok = 3 600 Cent
...
Das Frequenzverhältnis von einer, von zwei, von drei, ... Oktaven ist 2,4,8 ...
Mit den Beziehungen 1 = lb(2), 2 = lb(4), 3 = lb(8), ... können wir deshalb auch schreiben: