Pr Prandtl Zahl - Brandenburgische Technische Universität Cottbus
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Impulsgleichung ⎛ ∂w x ∂w ρ ⋅⎜wx⋅ + w y ⋅ ⎝ ∂x ∂y Energiegleichung LS Thermische Maschinen, BTU Cottbus · Studienarbeit Stefan Bischoff ∂ ∂ η ∂ ∂ ∂ ⎞ p ⎛ w ⎞ ⎟ =− + ⋅⎜ ⋅ −ρ⋅ ww ′ x ′ y⎟ ⎠ x y ⎝ ∂y ⎠ x x + ∂ϑ ∂ϑ ∂ ρ λ ∂ ∂ ∂ ∂ϑ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⋅c ⋅⎜w ⋅ + ⋅ + ⎟ = ⋅⎜⋅ −ρ⋅ ⋅ ′ ϑ′ ⎟ ⎝ x ⎠ ⎝ ∂ ⎠ w p x y cp wy y y y Kontinutätsgleichung für die Komponente A ⎛ ∂ξ ∂ξ ⎞ ∂ ⎛ ∂ξ ⎞ ρ ⋅⎜w⋅ + ⋅ + ⎟ = ⋅⎜ρ⋅ ⋅ −ρ⋅ ⋅ ′ ξ′ ⎟ ⎝ ∂x ∂ ⎠ ∂ ⎝ ∂ ⎠ w A A A x y D cp wy A y y y Gl. 7-12 Gl. 7-13 Gl. 7-14 Die Gleichungen unterscheiden sich von denen für die laminare Strömung nur durch das Auftreten von Gliedern der Form a ′ b ′ . Sie beschreiben den turbulenten Anteil der resultierenden Wärme- und Stoffströme. In Wandnähe sind die turbulenten Anteile noch verschwindend klein. In einiger Entfernung von der Wand bewirken die turbulenten Anteile eine intensivere Durchmischung der Strömung als allein durch die Molekularbewegung. Die Geschwindigkeits-, Temperatur- und Konzentrationsprofile sind bei der tubulenten Strömung ausgeprägter, so daß die je Flächeneinheit übertragenen Stoff- und Wärmeströme in turbulenter Strömung größer als in laminarer Strömung sind. In der Technik sind daher turbulente Strömungen beim erhöhten Stoff- und Wärmeaustausch oft erwünscht. 7.4 Experimentelle Ermittlung der örtlichen Wärmeübergangszahlen mit Hilfe der Wärme-/Stoffanalogie am Beispiel einer längs angeströmten ebenen Platte Im Rahmen der Studienarbeit soll eine längs angeströmte ebene Platte exemplarisch vermessen werden, um die Anwendbarkeit der Analogie von Wärme- und Stoffübergang zur Bestimmung des Wärmeüberganges mit dem am Lehrstuhl verfügbaren Ausstattung nachzuweisen. Für die parallel angeströmte Platte existieren in der Technik viellfältige Anwendungen, z.B. Plattenwärmetauscher, Rippen eines Rippenrohres. Selbst gekrümmte Oberflächen werden entsprechend ihrer Grenzschicht oft wie ebene Platten behandelt, da ihre Grenzschichtdicken fast immer klein im Vergleich zum Krümmungsradius sind. Tragflügel- und Schaufelprofile sind der ebenen Platte also ebenfalls geometrisch ähnlich. An einer längs angeströmten ebenen Platte bildet sich ab der Plattenvorderkante eine laminare Grenzschicht aus, Abb. 7-1. 46
u laminar x LS Thermische Maschinen, BTU Cottbus · Studienarbeit Stefan Bischoff Übergangsgebiet Abb. 7-1 Grenzschicht δ an einer längs angeströmten ebenen Platte x δ krit turbulent Diese Grenzschicht wird nach einer bestimmten Lauflänge xkrit und unter dem Einfluß der Reynolds-Zahl Re = wmxkrit/v > 6·10 4 und dem Turbulenzgrad Tu instabil, Baehr [2]. Unterhalb dieser Reynolds-Zahl bleibt die Strömung immer laminar, oberhalb hingegen klingen kleinere Störungen nicht mehr ab. Es existiert aber noch ein gewisses Dämpfungsmaß, welches die Strömung nicht voll turbulent werden läßt. Erst bei einer hinreichend großen Reynolds-Zahl Re = wmxkrit/v wird die teilweise turbulente Strömung voll turbulent, im allgemeinen bei Rekrit = 3·10 5 ... 5·10 5 , Baehr [2]. 7.4.1 Interpolatorische Ähnlichkeitsbeziehungen Wie schon beschrieben, existiert eine Ähnlichkeit von Stoff- und Wärmeaustausch. Die Gestalt der überströmten Körper und der Strömungsverlauf ist aber oft so kompliziert, daß die Bestimmung der Wärme- und Stoffübertragungszahlen durch das Lösen der Differentialgleichungen nicht gelingt. Man mißt daher die an einem Modell übertragenen Wärme- und Stoffströme sowie die entsprechenden Temperaturänderungen. Hieraus werden die Wärmeübergangszahl α und die Stoffübergangszahl β berechnet. Q α = A ⋅ ∆ϑ & , M β = A ⋅ ∆ρ & Der Wärmeübergang wird durch die Nußelt-Zahl Gl. 7-15 47
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u<br />
laminar<br />
x<br />
LS Thermische Maschinen, BTU <strong>Cottbus</strong> · Studienarbeit Stefan Bischoff<br />
Übergangsgebiet<br />
Abb. 7-1<br />
Grenzschicht δ an einer längs angeströmten ebenen Platte<br />
x<br />
δ<br />
krit<br />
turbulent<br />
Diese Grenzschicht wird nach einer bestimmten Lauflänge xkrit und unter dem<br />
Einfluß der Reynolds-<strong>Zahl</strong> Re = wmxkrit/v > 6·10 4 und dem Turbulenzgrad Tu instabil,<br />
Baehr [2]. Unterhalb dieser Reynolds-<strong>Zahl</strong> bleibt die Strömung immer laminar,<br />
oberhalb hingegen klingen kleinere Störungen nicht mehr ab. Es existiert aber<br />
noch ein gewisses Dämpfungsmaß, welches die Strömung nicht voll turbulent<br />
werden läßt. Erst bei einer hinreichend großen Reynolds-<strong>Zahl</strong> Re = wmxkrit/v wird die<br />
teilweise turbulente Strömung voll turbulent, im allgemeinen bei Rekrit = 3·10 5 ...<br />
5·10 5 , Baehr [2].<br />
7.4.1 Interpolatorische Ähnlichkeitsbeziehungen<br />
Wie schon beschrieben, existiert eine Ähnlichkeit von Stoff- und Wärmeaustausch.<br />
Die Gestalt der überströmten Körper und der Strömungsverlauf ist aber oft so<br />
kompliziert, daß die Bestimmung der Wärme- und Stoffübertragungszahlen durch<br />
das Lösen der Differentialgleichungen nicht gelingt. Man mißt daher die an einem<br />
Modell übertragenen Wärme- und Stoffströme sowie die entsprechenden<br />
Temperaturänderungen. Hieraus werden die Wärmeübergangszahl α und die<br />
Stoffübergangszahl β berechnet.<br />
Q<br />
α =<br />
A ⋅ ∆ϑ<br />
&<br />
,<br />
M<br />
β =<br />
A ⋅ ∆ρ<br />
&<br />
Der Wärmeübergang wird durch die Nußelt-<strong>Zahl</strong><br />
Gl. 7-15<br />
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