Pr Prandtl Zahl - Brandenburgische Technische Universität Cottbus

3 Elementare Fehlerrechnung
LS Thermische Maschinen, BTU Cottbus · Studienarbeit Stefan Bischoff
Jeder Meßwert einer Größe ist im allgemeinen ein Näherungswert für die Maßzahl
dieser Größe, d.h. die Meßwerte sind fehlerbehaftet. Der Fehler setzt sich aus dem
systematischen und zufälligen Fehler zusammen.
Der Einfluß des zufälligen Meßfehlers der Meßwerte auf den Gesamtfehler einer
funktionellen Größe, drückt sich durch eine Art Fehlerfortpflanzung entlang der
funktionellen Abhängigkeit aus. Semendjajew [14] gibt in diesem Zusammenhang
an, daß die Fehlerschranke ∆ai der absolute Fehler von ai, ist, d.h. ai ist der genaue
angenommene Wert einer Meßreihe, auch als arithmetischer Mittelwert bekannt
und ergibt sich aus
∆ai = xi − ai
)
Gl. 3-1
Für eine Funktion M = f(x1,...,xk) mit den unveränderlichen und unabhängigen
Meßgrößen x1,...,xk gilt die Fehlerschranke
( ) (
∆f ≥ f a , a ,..., a − f x , x ,..., xk
Gl. 3-2
1 2 k 1 2
wenn die Werte der Fehlerschranke ∆ai bekannt sind und f(x1,...,xk) partielle
Ableitungen nach den Variablen xi besitzt. So kann eine Näherung der
Fehlerschranke mittels des totalen Differenzials von f angegeben werden.
k
∂fa
( 1,...,
ak)
∆f ≈∑∆ai⋅ ∂x
i=
1
i
Gl. 3-3
Um den Einfluß der Eingangsdatenfehler (Meß- und Stoffgrößenfehler) auf die
Fehlerschranke und somit auf das Rechenergebnis zu erhalten, wird der relative
Proportionalitätsfaktor ϕi eingeführt.
ϕ
i
( ,..., )
∂fa1
ak
ai
= ⋅
∂x
fa a
i
( ,..., )
1
k
Gl. 3-4
Dieser bildet mit dem relativen Fehler ∆xi, der Eingangsgröße ai das Produkt des
relativen Fehlers δfi der Funktion f.
f
f
a
i
δ fi = ϕi
⋅ δ xi , δ fi = ∆ i
, δ xi =
a i
∆ Gl. 3-5
Als eine Abschätzung des maximalen Fehlers gilt:
15