4.6 Vergleichsrechnung mit Hilfe des SST Modells - Lehrstuhl ...

Für Newtonsche Fluide (viskose Flüssigkeiten und Gase) besteht ein linearer Zusammenhang
zwischen den Komponenten des Spannungstensors τij und denen des Dehnungsgeschwindigkeitstensors
Gl. 2.4 [3; 4]
S ij
woraus sich der Spannungstensor Gl. 2.5 für Newtonsche Fluide ergibt:
τ ij
(2.4)
(2.5)
Die molekulare dynamische Viskosität wird mit µ bezeichnet und ist eine temperaturabhängige
Eigenschaft des Fluids.
Unter der Annahme der Inkompressibilität lassen sich die Erhaltungsgleichungen vereinfachen.
Diese Annahme gilt für alle Flüssigkeiten. Auch bei Gasen kann dies vorausgesetzt werden,
wenn die Strömungsgeschwindigkeit c viel kleiner als die lokale Schallgeschwindigkeit a ist.
c
Dies ist der Fall für eine Machzahl Ma = -- < 03 , . Die Größenordnung der Dichteänderung
a
lässt sich abschätzen, indem man eine kleine Volumenänderung, die bei konst. Temperatur
stattfindet, betrachtet [1; 3]:
V 0
∂x j
∂u j
1
--
2
∂ui = ⎛------- + ------- ⎞
⎝ ⎠
∂x j
∂x i
∂u j
µ ∂u ⎛ i
------- + ------- ⎞ 2
--µ
⎝ ⎠ 3
∂uk =
– ------- δij ρ 0
∂x i
∆V
∆ρ
------ = – ------ = – -----
∆p
p 0
(2.6)
Die Größenordnung der Druckänderung innerhalb der Strömung liegt im Bereich des Stau-
drucks, dadurch ergibt sich für die Dichteänderung folgende Beziehung:
∆
-----ρ
ρu2
≈ --------
ρ 0
2p 0
Zusammen mit der Definition der Schallgeschwindigkeit a = ----- ergibt sich:
∂ρ
------
∆ρ
1
--
2
u ⎛--⎞ ⎝a⎠ 2
≈ =
ρ 0
1
--Ma
2
2
∂x k
2 ∂p
(2.7)
(2.8)
Somit ergibt sich eine Größenordnung der relativen Dichteänderung für Ma = 03 , von
∆ρ⁄ ρ0≈0, 045 .
Damit ist die Annahme der Inkompressibilität auch für Gase mit einer Strömungsgeschwindig-
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