4.6 Vergleichsrechnung mit Hilfe des SST Modells - Lehrstuhl ...
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2 Theoretische Grundlagen der numerischen Strömungssimulation Bei der numerischen Simulation von Strömungen werden mit Hilfe von CFD-Tools die Erhal- tungsgleichungen für Masse, Impulse und Energie approximiert. Die Erhaltungsgleichungen sind notwendig, um das Strömungsfeld vollständig zu beschreiben. Dabei werden Volumen- kräfte wie z. B. Schwerkräfte nicht berücksichtigt. Dieses Gleichungssystem kann jedoch nur für wenige technische Problemstellungen analytisch gelöst werden, weshalb es numerische Al- gorithmen und Methoden gibt, um zu einer Näherungslösung der Erhaltungsgleichungen zu ge- langen. Im Rahmen dieser Arbeit wird der kommerzielle Strömungslöser Fluent 6.2.13 und sein Prepro- zessor Gambit 2.3.16 eingesetzt. 2.1 Gleichungssystem Die Grundlage für die nachfolgenden Betrachtungen bildet die Kontinuumshypothese. Dabei wird angenommen, dass die Fluideigenschaften in einem kleinen Volumen unabhängig von der Anzahl der darin befindlichen Moleküle sind. Die Fluidteilchen werden als materielle Punkte angesehen, deren Eigenschaften eine stetige Funktion von Ort und Zeit sind. Die Erhaltungs- gleichungen für Masse Gl. 2.1, Impuls Gl. 2.2 und Energie Gl. 2.3 werden in der Eulerschen Betrachtungsweise dargelegt [2; 3; 4]: ∂ρ ----- ∂t ------ ∂ + ( ρui) = 0 ∂x i ∂ ---- ∂ ( ρu ∂t i) + ------ ( ρuiu j) = ∂x j ---- ∂ ∂ ( ρH) + ------ ( ρu ∂t iH) = ∂x i – ------ ∂p ∂xi ∂p ----- ∂t ------τ ∂ + ij + ρfi ∂x j ------ ∂ + ( τijui) – ------ + ρuif i ∂x j ∂q i ∂x i (2.1) (2.2) (2.3) 6
Für Newtonsche Fluide (viskose Flüssigkeiten und Gase) besteht ein linearer Zusammenhang zwischen den Komponenten des Spannungstensors τij und denen des Dehnungsgeschwindigkeitstensors Gl. 2.4 [3; 4] S ij woraus sich der Spannungstensor Gl. 2.5 für Newtonsche Fluide ergibt: τ ij (2.4) (2.5) Die molekulare dynamische Viskosität wird mit µ bezeichnet und ist eine temperaturabhängige Eigenschaft des Fluids. Unter der Annahme der Inkompressibilität lassen sich die Erhaltungsgleichungen vereinfachen. Diese Annahme gilt für alle Flüssigkeiten. Auch bei Gasen kann dies vorausgesetzt werden, wenn die Strömungsgeschwindigkeit c viel kleiner als die lokale Schallgeschwindigkeit a ist. c Dies ist der Fall für eine Machzahl Ma = -- < 03 , . Die Größenordnung der Dichteänderung a lässt sich abschätzen, indem man eine kleine Volumenänderung, die bei konst. Temperatur stattfindet, betrachtet [1; 3]: V 0 ∂x j ∂u j 1 -- 2 ∂ui = ⎛------- + ------- ⎞ ⎝ ⎠ ∂x j ∂x i ∂u j µ ∂u ⎛ i ------- + ------- ⎞ 2 --µ ⎝ ⎠ 3 ∂uk = – ------- δij ρ 0 ∂x i ∆V ∆ρ ------ = – ------ = – ----- ∆p p 0 (2.6) Die Größenordnung der Druckänderung innerhalb der Strömung liegt im Bereich des Stau- drucks, dadurch ergibt sich für die Dichteänderung folgende Beziehung: ∆ -----ρ ρu2 ≈ -------- ρ 0 2p 0 Zusammen mit der Definition der Schallgeschwindigkeit a = ----- ergibt sich: ∂ρ ------ ∆ρ 1 -- 2 u ⎛--⎞ ⎝a⎠ 2 ≈ = ρ 0 1 --Ma 2 2 ∂x k 2 ∂p (2.7) (2.8) Somit ergibt sich eine Größenordnung der relativen Dichteänderung für Ma = 03 , von ∆ρ⁄ ρ0≈0, 045 . Damit ist die Annahme der Inkompressibilität auch für Gase mit einer Strömungsgeschwindig- 7
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2 Theoretische Grundlagen der numerischen Strömungssimulation<br />
Bei der numerischen Simulation von Strömungen werden <strong>mit</strong> <strong>Hilfe</strong> von CFD-Tools die Erhal-<br />
tungsgleichungen für Masse, Impulse und Energie approximiert. Die Erhaltungsgleichungen<br />
sind notwendig, um das Strömungsfeld vollständig zu beschreiben. Dabei werden Volumen-<br />
kräfte wie z. B. Schwerkräfte nicht berücksichtigt. Dieses Gleichungssystem kann jedoch nur<br />
für wenige technische Problemstellungen analytisch gelöst werden, weshalb es numerische Al-<br />
gorithmen und Methoden gibt, um zu einer Näherungslösung der Erhaltungsgleichungen zu ge-<br />
langen.<br />
Im Rahmen dieser Arbeit wird der kommerzielle Strömungslöser Fluent 6.2.13 und sein Prepro-<br />
zessor Gambit 2.3.16 eingesetzt.<br />
2.1 Gleichungssystem<br />
Die Grundlage für die nachfolgenden Betrachtungen bildet die Kontinuumshypothese. Dabei<br />
wird angenommen, dass die Fluideigenschaften in einem kleinen Volumen unabhängig von der<br />
Anzahl der darin befindlichen Moleküle sind. Die Fluidteilchen werden als materielle Punkte<br />
angesehen, deren Eigenschaften eine stetige Funktion von Ort und Zeit sind. Die Erhaltungs-<br />
gleichungen für Masse Gl. 2.1, Impuls Gl. 2.2 und Energie Gl. 2.3 werden in der Eulerschen<br />
Betrachtungsweise dargelegt [2; 3; 4]:<br />
∂ρ<br />
-----<br />
∂t<br />
------<br />
∂<br />
+ ( ρui) = 0<br />
∂x i<br />
∂<br />
----<br />
∂<br />
( ρu<br />
∂t i)<br />
+ ------ ( ρuiu j)<br />
=<br />
∂x j<br />
----<br />
∂ ∂<br />
( ρH)<br />
+ ------ ( ρu<br />
∂t<br />
iH) =<br />
∂x i<br />
– ------<br />
∂p<br />
∂xi ∂p<br />
-----<br />
∂t<br />
------τ<br />
∂<br />
+ ij + ρfi ∂x j<br />
------<br />
∂<br />
+ ( τijui) – ------ + ρuif i<br />
∂x j<br />
∂q i<br />
∂x i<br />
(2.1)<br />
(2.2)<br />
(2.3)<br />
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