4.6 Vergleichsrechnung mit Hilfe des SST Modells - Lehrstuhl ...

Für statisch instationäre Strömungen, wobei der Mittelwert zeitabhängig ist, ist die Gleichung
2.17 als Ensemblemittelung anzusehen. Es erfolgt hierbei eine Mittelung über eine große An-
zahl von Wiederholungen des Versuchs, welche unter den gleichen Anfangs- und Randbedin-
gungen durchgeführt wurden, so dass ein schwankungsunabhängiger Mittelwert Φ entsteht [3]:
(2.18)
Wendet man den Ansatz 2.17 auf die Gleichungen 2.9 und 2.10 an, so entsteht ein zeitlich ge-
mitteltes System partieller Differenzialgleichungen. Diese nennt man die Reynolds gemittelten
Navier-Stokesschen Gleichungen 2.19 und 2.20 (engl. Reynolds-averaged Navier-Stokes =>
RANS) [3; 4]
Φ
∂u i
∂x i
=
lim ---
1
Φn → N∑
N ∞
------- = 0
∂ui -------
∂t
n = 1
(2.19)
(2.20)
Wenn man die Gleichungen 2.10 und 2.20 betrachtet stellt man fest, dass sie in ihrer Struktur
identisch sind und sich die Gleichung des Momentanwertes Gl. 2.10 nur durch einen unbe-
kannten Tensor ( u'iu'j) von den RANS Gl. 2.20 unterscheidet. Dieser Tensor ( u'iu'j) wird als
Reynoldsspannungstensor bezeichnet. Aufgrund dieses Tensors gibt es mehr unbekannte Grö-
ßen als Gleichungen, wodurch das Gleichungssystem 2.19, 2.20 nicht geschlossen ist. Dies wird
als Schließungsproblem der Turbulenz bezeichnet. Für die Lösung des Problems wurden ver-
schiedene Ansätze entwickelt, die Turbulenzmodelle genannt werden [4]:
- Modellierung des Reynoldsspannungstensors unter Verwendung des Wirbelviskositäts-
prinzips => Wirbelviskositätsmodelle Kapitel 2.4.1.
N
------
∂
+ ( uiuj ) ν ∂
------ ∂u ⎛ i
------- + ------ ⎞ --
1
⎝ ⎠ ρ
∂p ∂
=
– ⋅ ------ – ------ ( u'iu'j) ∂x j
∂x j
∂x j
- Bestimmen einer exakten Erhaltungsgleichung für den Reynoldsspannungstensor aus
den Navier-Stokes Gleichungen, wodurch unbekannte Terme höherer Ordnung entstehen,
für die ebenfalls exakte Erhaltungsgleichungen aufgestellt werden können. Dies läßt sich
beliebig oft fortstetzen und führt zu unbekannten Termen immer höherer Ordnung. Da-
durch entsteht eine Hierarchie von partiellen Differenzialgleichungen. Bricht man diesen
Vorgang ab, so dass die unbekannten Terme ab der zweiten Ordnung modelliert werden
∂u j
∂x i
können, nennt man diese Reynoldsspannungsmodelle.
∂x i
∂x j
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