Praktikum Elektrotechnik
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Effektivwert 38 Herleitung: Effektivwert eines Sinussignals Als Effektivwert eines elektrischen Stromes von wechselnder Größe wird derjenige Wert angegeben, der im zeitlichen Mittel in einem (rein ohmschen) Wirkwiderstand dieselbe thermische Energie erzeugt wie ein gleich großer Gleichstrom in derselben genügend großen Zeit , also Mit dem Augenblickswert der Leistung ist Bei konstantem Strom und folglich konstanter Leistung ist sonst ist Bei periodisch veränderlichem Strom reicht es, zur Erfassung des Mittelwertes über nur eine Periodendauer T zu integrieren Die Leistung an einem von Strom durchflossenen ohmschen Widerstand ergibt sich zu: in die Formel eingesetzt ergibt dies: Damit folgen die bekannten Formeln: und es erklärt sich der Effektivwert als Wurzel des Mittelwerts der Quadrate... Im Stromversorgungsnetz Der in der Leistungsübertragung, und damit in den öffentlichen Versorgungsnetzen, wichtigste Wechselstrom bzw. -spannung ist sinusförmig, mit einer Frequenz von 60 Hertz (USA), 50 Hertz (Europa) und 16⅔ Hertz (Bahn). Es sollen sich jetzt Strom I(t) und Spannung U(t) sinusförmig ändern. Damit gelten: Strom und Spannung nehmen innerhalb einer Periode einen Minimal- und einen Maximalwert an, und gehen zweimal durch Null. Die umgesetzte augenblickliche Leistung berechnet sich analog zu oben zu: Die augenblickliche Leistung ist bei Verbrauchern immer positiv, sie nimmt während einer Periode von Strom oder Spannung zweimal Minimal- und Maximalwert an. Die während eines Zeitraums t an dem Widerstand umgesetzte Energie ist das Integral über die gesamte zeitabhängige Leistung. Wir wählen den Beginn der Integration willkürlich zu Null
Effektivwert 39 Jetzt setzen wir die während des Zeitraums t von Gleich- und Wechselstrom umgesetzte Energiemenge in das Verhältnis Mit folgt: Berücksichtigen wir nur volle Perioden, dass also gilt und , so folgt: Ein(e) sinusförmiger Wechselstrom (Wechselspannung) gleicher Amplitude setzt an einem ohmschen Widerstand pro Periode die Hälfte der Energie um wie ein(e) Gleichstrom (Gleichspannung) gleicher Amplitude in der gleichen Zeit. Daraus können wir jetzt den Effektivwert bestimmen. nach Kürzen ergibt sich: damit folgt: Vergleich Effektivwert mit Gleichrichtwert Der Effektivwert eines Wechselstromes gibt an, welcher Gleichstrom dieselbe Wärmeleistung am Widerstand erbringt wie der Wechselstrom. Der Gleichrichtwert eines Wechselstromes gibt hingegen an, welcher Gleichstrom über die Dauer einer Periode T dieselbe Ladungsmenge transportiert wie ein gleichgerichteter Wechselstrom. Das Verhältnis zwischen Effektivwert und Gleichrichtwert bezeichnet man als Formfaktor. Mit dem Formfaktor lässt sich die Kurvenform einer Wechselgröße beurteilen; je größer es ist, desto "bizarrer" ist die Form. Ein Vergleich der beiden Größen in Blick auf die Leistung ist nicht möglich, da man die beiden Rechenschritte Quadrieren und Mitteln nicht in der Reihenfolge vertauschen darf. Für sinusförmige Wechselgrößen gilt: Effektivwert: Gleichrichtwert:
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Effektivwert 38<br />
Herleitung: Effektivwert eines Sinussignals<br />
Als Effektivwert eines elektrischen Stromes von wechselnder Größe wird derjenige Wert angegeben, der im<br />
zeitlichen Mittel in einem (rein ohmschen) Wirkwiderstand dieselbe thermische Energie erzeugt wie ein<br />
gleich großer Gleichstrom in derselben genügend großen Zeit , also<br />
Mit dem Augenblickswert der Leistung ist<br />
Bei konstantem Strom und folglich konstanter Leistung ist<br />
sonst ist<br />
Bei periodisch veränderlichem Strom reicht es, zur Erfassung des Mittelwertes über nur eine<br />
Periodendauer T zu integrieren<br />
Die Leistung an einem von Strom durchflossenen ohmschen Widerstand ergibt sich zu:<br />
in die Formel eingesetzt ergibt dies:<br />
Damit folgen die bekannten Formeln:<br />
und es erklärt sich der Effektivwert als Wurzel des Mittelwerts der Quadrate...<br />
Im Stromversorgungsnetz<br />
Der in der Leistungsübertragung, und damit in den öffentlichen Versorgungsnetzen, wichtigste Wechselstrom bzw.<br />
-spannung ist sinusförmig, mit einer Frequenz von 60 Hertz (USA), 50 Hertz (Europa) und 16⅔ Hertz (Bahn).<br />
Es sollen sich jetzt Strom I(t) und Spannung U(t) sinusförmig ändern. Damit gelten:<br />
Strom und Spannung nehmen innerhalb einer Periode einen Minimal- und einen Maximalwert an, und gehen<br />
zweimal durch Null.<br />
Die umgesetzte augenblickliche Leistung berechnet sich analog zu oben zu:<br />
Die augenblickliche Leistung ist bei Verbrauchern immer positiv, sie nimmt während einer Periode von Strom oder<br />
Spannung zweimal Minimal- und Maximalwert an.<br />
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