Praktikum Elektrotechnik

Praktikum Elektrotechnik
Elektrische Maschinen und
Leistungselektronik
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Inhalt
Artikel
Allgemeines 1
Messen von Strom, Spannung und Leistung 2
Multimeter 2
Analogmultimeter 4
Digitalmultimeter 8
Genauigkeitsklasse 12
Messgeräteabweichung 16
Oszilloskop 18
Zangenamperemeter 25
Wechselgrößen 28
Arithmetischer Mittelwert (Elektrotechnik) 28
Gleichrichtwert 29
Effektivwert 35
Leistung 42
Elektrische Leistung 42
Wirkleistung 44
Referenzen
Quelle(n) und Bearbeiter des/der Artikel(s) 51
Quelle(n), Lizenz(en) und Autor(en) des Bildes 52
Artikellizenzen
Lizenz 53

Allgemeines
1

Messen von Strom, Spannung und Leistung
Multimeter
Ein Multimeter ist ein Messgerät vornehmlich für elektrische Größen, das verschiedene Messarten und -bereiche in
einem Gerät vereinigt.
Zur Grundausstattung eines Multimeters gehört seine Verwendbarkeit als Spannungsmessgerät und Strommessgerät.
In der Regel ist ein Multimeter zwischen Gleich- und Wechselgrößenmessungen umschaltbar. Üblicherweise ist
auch die Ausstattung als Widerstandsmessgerät vorhanden.
Primär wird zwischen Digital- und Analogmultimeter unterschieden. Rein analoge Multimeter spielen seit den
1990er Jahren in der praktischen Messtechnik eine immer geringere Rolle und werden auch aus Preisgründen
zunehmend durch digitale Multimeter ersetzt.
Digitalmultimeter
→ Hauptartikel: Digitalmultimeter
Bei Digitalmultimetern wird das Signal elektronisch mit einem
Analog-Digital-Umsetzer aufgenommen und der gemessene Wert als
numerischer Wert angezeigt. Die Messbereiche erstrecken sich in der
Regel von 200 mV bis 1000 V und von 20 µA bis 20 A. Digitale
Multimeter weisen bei der Spannungsmessung meist einen hohen
Innenwiderstand von 1 bis 20 MΩ auf, Standard ist 10 MΩ. Die
relative Fehlergrenze ist je nach Messbereich meist kleiner als 1 %, in
den Gleichspannungsbereichen liegt sie bei hochwertigeren Geräten in
der Regel unter 0,2 %.
Die Messung von Strom wird durch Messung der Spannung an
umschaltbaren Shuntwiderständen durchgeführt. Die Messung von
Widerständen wird auf die Messung von Spannung aufgrund einer
umschaltbaren Konstantstromquelle zurückgeführt.
Vorteile von Digitalmultimetern sind der relativ einfache mechanische
digitales Vielfachmessgerät
Aufbau und in Massenfertigung produzierbare elektronische Bauteile, wodurch sie schon relativ preiswert erhältlich
sind, meist billiger als ein gutes Analoggerät. Die Bedienung ist durch die Einblendung der Maßeinheiten im Display
sowie durch die Vermeidung mehrerer Skalen sehr einfach. Ferner besitzen manche Digitalgeräte Schutzschaltungen
gegen Überlast und Verpolung. Komfortable Geräte können den Spannungsmessbereich automatisch wählen. Auch
Stöße und Stürze können ihnen wenig anhaben, da keine empfindliche Mechanik beschädigt werden kann.
Bedingt durch die interne Elektronik zur Signalverarbeitung und Anzeige auf dem Display sind Digitalmultimeter
immer auf eine Versorgung aus einer Batterie, Netzgerät oder Solarzelle angewiesen.
Einige Geräte weisen auch Messmöglichkeiten für Frequenzen, Kapazitäten, Induktivitäten sowie Transistor- und
Diodeneigenschaften auf. Mittels eingebauter oder externer Sensoren sind mit manchen Geräten auch
Luftfeuchtigkeits-, Schall- oder Temperaturmessungen möglich. Auch ein akustischer Durchgangsprüfer ist bei fast
allen Digitalgeräten eingebaut.
2

Multimeter 3
Analoge Multimeter
→ Hauptartikel: Analogmultimeter
Bei Analogmultimetern wird der Messwert auf einem Zeigermessgerät
mit mehreren Skalen für unterschiedliche Messbereiche angezeigt. Die
Ablesewerte sind durch diskrete Teilstriche dargestellt, Zwischenwerte
können interpoliert werden. Die Fehlergrenzen von analogen
Messgeräten können bei hochwertigen Geräten durchaus weniger als
ein Prozent vom Messbereichsendwert betragen.
Als entscheidendes Bauteil, das den Ausschlag bildet, kommt in der
Regel ein Drehspulmesswerk zum Einsatz.
Die Messbereiche von Drehspulgeräten erstrecken sich so etwa bei
Gleichspannungen von 100 mV bis 1000 V, für Gleichströme von
100 µA bis 10 A, hochwertige Geräte weisen teilweise noch kleinere
Bereiche auf. Analoge Multimeter weisen bei Spannungsmessung im
Regelfall einen wesentlich geringeren Innenwiderstand auf als
Digitalmultimeter, was bei hochohmigen Spannungsquellen zu
Messabweichungen (Schaltungseinfluss) führen kann. Der Einfluss des
Innenwiderstands bei Strom- und Spannungsmessung kann durch
eingebaute Verstärker verringert werden, wodurch solche
Analogmultimeter bei Spannungsmessung einen hohen
Innenwiderstand erreichen, der dem von Digitalmultimetern
entsprechen kann.
Multimeter aus der UdSSR von 1985
Zur Widerstandsmessung wird der Strom gemessen, den eine eingebaute Batterie durch den Widerstand fließen lässt.
Der Zusammenhang ist stark nichtlinear; die Messung eignet sich nur für grobe Aussagen. Auch bei
Widerstandsmessung kann bei sehr hochwertigen Geräten eine Verstärkerelektronik zur Skalenlinearisierung
eingesetzt werden.

Analogmultimeter 4
Analogmultimeter
Ein Analogmultimeter, besser Analog-Vielfach-Messgerät, ist ein Analogmessgerät zum Messen verschiedener
elektrischer Größen, wie Spannung, Strom oder Widerstand. Pro Messgröße gibt es üblicherweise mehrere
Messbereiche.
Funktionsweise
Zur Anzeige des Messwertes dient ein Drehspulmesswerk oder (eher
historisch) ein Dreheisenmesswerk. Von ihrer Physik her sind diese
Geräte Strommessgeräte, da sie mit ihren magnetischen Messwerken
nur (fließenden) Strom anzeigen können. Der folgende Text behandelt
Multimeter mit Drehspulmesswerk. Dieses erfasst den Gleichanteil
eines Stromes. Damit braucht vom Spulenwiderstand auch nur der
Gleichstrom- oder ohmsche Anteil beachtet zu werden (anders als beim
Dreheisenmesswerk). Für Ströme, die größer sind als die Spule
vertragen kann, verwendet man unterschiedliche Strommessbereiche
mit aus Messwiderständen gebildeten Stromteilern.
Schaltung im Analogmultimeter für Gleichstrom
und –spannung, vereinfacht auf wenige
Messbereiche
Ein einfaches Analogmultimeter
Zum Einsatz als Spannungsmessgerät wird Strom gemessen, der
durch den Innenwiderstand des Gerätes fließt. Für die
unterschiedlichen Spannungsmessbereiche werden entsprechend
Spannungsteiler gebildet. Das Schaltbild zeigt die innere Schaltung
eines Analogmultimeters, das ohne Messelektronik auskommt,
vereinfacht auf wenige Messbereiche.

Analogmultimeter 5
Skalen eines Multimeters für
- Wechselgrößen (rot markiert),
- Gleichgrößen (linear geteilt),
- Widerstand (von ∞ fallend bis 0)
Die Messung von Wechselstrom und Wechselspannung mittels eines
Drehspulmesswerks ist möglich bei Verwendung eines
Messgleichrichters. Bei älteren Messgeräten sind die Skalen für
Gleich- und Wechselstrom wegen der nicht linearen Kennlinie des
Gleichrichters unterschiedlich. Moderne Analogmultimeter sind häufig
mit einem elektronischen Spannungs-Strom-Umformer und Batterien
versehen; der Gleichrichter liegt im Stromkreis eines
Operationsverstärkers ausgangsseitig so, dass die Nichtlinearität auf
die Umformung keinen Einfluss hat. Gemeinsame Skalen für Gleich-
und Wechselgrößen sind möglich. Selbst Spannungen, die kleiner sind
als die Dioden-Durchlassspannung, sind mit linear geteilter Skale
messbar.
Schaltung zur Messung von Wechselgrößen mit
linearer Skalenteilung trotz nicht linearer
Dioden-Kennlinie
,
Zwei Skalen gemeinsam für Gleich- und
Wechsel-Spannung und -Strom,
darunter für Widerstand und Pegel
Zur Arbeitsweise des Umformers: Bei nicht übersteuertem
Operationsverstärker gilt mit guter Näherung
so dass der Verstärker einen Ausgangsstrom einstellt, der im Messwiderstand eine Spannung erzeugt, die
genauso groß ist wie die zu messende Spannung ,
Diese Gleichung gilt unabhängig von der Durchlassspannung der Dioden. Während der positiven Halbschwingung
von fließt der Strom durch das Messwerk; während der negativen Halbschwingung fließt ebenfalls, aber am
Messwerk vorbei. Bei sinusförmiger Eingangsspannung mit der Amplitude entsteht durch das den
arithmetischen Mittelwert bildende Messwerk eine Anzeige . Durch die Dimensionierung von wird
der Strom so eingestellt, dass auf der Skale der Effektivwert der Eingangsgröße abzulesen ist (aber nur bei

Analogmultimeter 6
Sinusform! Zur sonst möglichen erheblichen Messabweichung siehe unter Gleichrichtwert).
Auch zur Verwendung als Widerstandsmessgerät wird ein Strom gebildet, wozu eine eingebaute Batterie
erforderlich ist. Der Anzeigebereich des Drehspulmesswerkes null … maximal deckt den Widerstandsbereich
∞ … 0 ab. Damit ist nur ein einziger Messbereich erforderlich. Da an den Rändern der Skale die Ablesung nur sehr
unsicher möglich ist, wird häufig dennoch eine Messbereichsumschaltung eingebaut; dadurch werden
unterschiedliche Anzeigebereiche in den mittleren Bereich der Skale geholt.
Bei dieser Messung ist zu bedenken, dass ein Strom durch das Messobjekt fließt. Dieses muss das Verhalten eines
ohmschen Widerstands aufweisen. Auch darf es keine Spannungs- oder Stromquellen enthalten.
Wegen der Speisung aus einer nicht stabilisierten Spannungsquelle (Batterie mit alterungsbedingt absinkender
Spannung) ist vor der Messung das Gerät zu justieren. Dasselbe gilt nach Messbereichs-Umschaltung. Dazu wird ein
Kurzschluss zwischen den Messklemmen hergestellt, und ein von außen zugängliches Potentiometer wird so
eingestellt, dass R = 0 angezeigt wird.
Messbereiche, Kennzeichen des Eigenverbrauchs
Richtwerte für realisierte Messbereiche (Messbereichsendwerte) sind
• Strommessgeräte: 100 μA … 10 A,
• Spannungsmessgeräte: 100 mV … 1000 V.
Labormessgeräte mit FET-Eingangsverstärkern können bis in den μV-Bereich und bis in den pA-Bereich messen.
Der Frequenzbereich bei der Messung von Wechselgrößen umfasst etwa
• 10 Hz … 10 kHz ( … 10 MHz).
Bei einem verstärkerlosen Multimeter ist davon auszugehen, dass es in jedem Messbereich einen anderen
Innenwiderstand besitzt. Die Angaben erfordern eine längere Tabelle. Eine pauschale Angabe, die
näherungsweise für alle Strombereiche gilt, ist der Spannungsabfall bei Messbereichsendwert .
• Richtwert 100 … 1000 mV (bei kleinen Messbereichen eher weniger)
• je nach Konstruktion für Gleichstrom auch 10 mV möglich.
Für die Spannungsmessbereiche ist die entsprechende Kenngröße die Stromaufnahme bei Messbereichsendwert
. Eher angegeben wird aber ihr Kehrwert als spannungsbezogener Widerstand .
• Richtwert 1 … 20 kΩ/V (für alle Messbereiche gleich, aber begrenzt auf = 10 MΩ)
• bei Geräten mit Messverstärker 100 kΩ/V oder
= 1 … 10 MΩ in allen Bereichen.
.
Der Eigenverbrauch ist häufig die Ursache für eine Rückwirkungsabweichung, durch die systematisch zu wenig
gemessen wird.

Analogmultimeter 7
Bedienung
Bei nicht bekannter Art der Messgröße schaltet man auf
„Wechsel-Spannung“. Bei nicht näherungsweise bekanntem Wert der
Messgröße schaltet man auf den größten Messbereich. Als nächstes
schließt man die Messleitungen an die Messgeräte-Buchsen an, die mit
der gewünschten Messgröße bezeichnet sind, zuletzt an das
Messobjekt. Davon ausgehend schaltet man den Messbereich herunter
bis zur Stufe vor Messbereichsüberschreitung. Auf die Vermeidung
folgender Bedienfehler sollte man besonders achten:
1. Keinesfalls darf eine Wechselgröße im Gleichgrößenbereich
angeschlossen werden; die Anzeige ist immer null. Eine
möglicherweise auftretende Überlastung kann man nicht sehen,
sondern nur riechen.
2. Für den Fall, dass eine Spannung an einen Strommessbereich
angeschlossen wird, sind manche Multimeter durch eine Sicherung
geschützt. Man soll nicht darauf vertrauen, dass sie in jedem
Messgerät vorhanden ist.
3. Wenn sich zwei Messbereiche im Verhältnis 3:1 unterscheiden, darf
nicht weiter heruntergeschaltet werden, wenn mehr als 1/3 vom
Messbereichsendwert angezeigt wird. Die Überlastbarkeit ist nicht groß.
Analogmultimeter weisen oft sehr
unterschiedliche Bedienkonzepte auf
Die Messgröße kann auf der Skale abgelesen werden. Um den Parallaxefehler durch schrägen Blick auf den Zeiger
zu vermeiden, enthält das Gerät oft eine Spiegelskale, wie sie auf einem der gezeigten Skalenfotos zu sehen ist. Man
soll aus der Richtung auf die Skale blicken, aus der der Zeiger mit seinem Spiegelbild zur Deckung kommt.
Entsprechend beim Messerzeiger soll man so auf die Skale blicken, dass der Zeiger möglichst schmal erscheint.
Anwendung
Analogmultimeter waren lange Zeit die einzige einfache Möglichkeit, elektrische Größen mit akzeptablen
Fehlergrenzen zu bestimmen. Diese werden durch ein Klassenzeichen beschreiben. Seit der Einführung von
Digitalmultimetern sind die Analog-Messgeräte jedoch in Randbereiche verdrängt worden. Digitalmultimeter haben
im Allgemeinen kleinere Fehlergrenzen und werden ohne Messabweichung infolge Schätzunsicherheit abgelesen.
Wie weit diese Vorteile allerdings ausgenutzt werden können, ist zumindest fraglich, weil allzu leicht vergessen
wird, die auch hier vorhandenen Fehlergrenzen, den Eigenverbrauch der Eingangsschaltung und die durch äußere
Umstände vorhandenen Fehlerquellen zu beachten.
Der Vorteil der Analogmultimeter liegt in
• der schnellen visuellen Erfassung des Messwertes,
• der leichten Erkennbarkeit von Tendenzen (Wandern des Zeigers) (bei Zeitkonstanten oberhalb 10 s),
• der gemittelten Anzeige bei raschen Schwankungen der Messgröße (bei Frequenzen oberhalb 10 Hz).
Zum Vergleich der analogen Messmethode mit der digitalen siehe auch Digitale Messtechnik.

Analogmultimeter 8
Messabweichungen
Siehe hierzu Genauigkeitsklasse, Messgeräteabweichung, Rückwirkungsabweichung
Digitalmultimeter
Ein Digitalmultimeter (kurz DMM) ist ein digitales Test- und Messgerät in der Elektrotechnik, das zum Messen
von elektrischen Stromstärken, Spannungen und, je nach Ausführung, verschiedener anderer Messgrößen (ohmscher
Widerstand, Kapazität, Induktivität, Temperatur) und zum Testen zum Beispiel von Transistoren verwendet wird.
Es arbeitet mit einem elektronischen Analog-Digital-Umsetzer (ADU, engl. ADC) und zeigt den Messwert mit einer
LED- oder Flüssigkristallanzeige in Dezimalzahlen an. Manche Geräte ermöglichen auch eine Datenübertragung auf
einen Rechner mittels einer seriellen Schnittstelle. Um die Vorteile einer Skalen-Anzeige zu erhalten, sind einige
DMM zusätzlich im Display mit Zeiger und Skale ausgestattet.
Bis zur Einführung der digitalen Geräte waren Analogmultimeter üblich, vorzugsweise auf Basis eines
Drehspulmesswerkes.
Arbeitsweise
Ein digitales Multimeter kann mehrere elektrische Größen messen.
Üblich sind Spannung, Stromstärke und Widerstand. Die Umschaltung
der Messgrößen und -bereiche erfolgt meist mechanisch. Hochwertige
DMM wählen den Spannungs-Messbereich selbst und können sich
gegen Überlastung und Überspannungen schützen.
ADU nach dem Dual-Slope-Verfahren
Herzstück eines DMM ist der ADU. Die meisten DMM arbeiten mit
einem Umsetzer nach dem Dual-Slope-Verfahren, siehe dazu unter
Analog-Digital-Umsetzer oder Digitale Messtechnik. Bei diesem
integrierenden Verfahren wird der arithmetische Mittelwert des
Spannungssignals gemessen durch den Vergleich mit einer eingebauten
Referenz-Spannung. Die Dauer, in der die zu messende Spannung
integriert bzw. über die gemittelt wird, liegt typisch bei 100 … 300 ms.
Eigenschaften des Dual-Slope-Verfahrens:
• Primär nur Gleichspannung messend.
• Kostengünstig.
• Langzeitstabil; Veränderungen der Kapazität, des
Eingangswiderstandes und der Taktfrequenz fallen durch das
vergleichende Verfahren aus dem Ergebnis heraus.
• Gut störunterdrückend bezüglich Brumm- und Rauschspannungen.
• Langsam; an das menschliche Reaktionsvermögen zur Ablesung
angepasst.
Ein Digitalmultimeter bei der
Widerstandsmessung

Digitalmultimeter 9
Multimeterfunktionen
Gleichspannung
Der kleinste Messbereich reicht überwiegend bis 200 mV.
Standardgeräte lösen einen Messbereich in 2000 Messpunkte auf,
damit beträgt der kleinste Messschritt 100 μV. Höherwertige Geräte
können um eine oder gar mehrere Zehnerpotenzen feiner auflösen. Die
Anzeigefeld eines DMM:
Ziffernanzeige kombiniert mit Skalenanzeige
Messbereichsumschaltung erfolgt durch einen umschaltbaren Spannungsteiler vor dem ADU. Die Teilung wird in
Schritten einer ganzen Zehnerpotenz vorgenommen (anders als bei Analogmultimetern mit typisch zwei
Messbereichen pro Zehnerpotenz). Der höchste Messbereich darf allerdings nur bis ca. 700 V verwendet werden.
Der Eingangswiderstand liegt typisch in allen Messbereichen bei
1 … 10 MΩ || 70 … 100 pF.
Wechselspannung
Soll Wechselspannung gemessen werden, so ist ein Gleichrichter als
Betragsbildner notwendig. In DMM ist dieser elektronisch so geschaltet,
dass die bei manchen Analogmultimetern auftretenden Verzerrungen nahe
dem Nullpunkt entfallen. Es wird der arithmetische Mittelwert der
gleichgerichteten Wechselspannung (der Gleichrichtwert) gemessen. Bei
einer Wechselspannung wird jedoch die Anzeige des Effektivwertes
erwartet. In der Mehrzahl der Messaufgaben hat man es mit sinusförmigen
Wechselgrößen zu tun. Dazu wird der gebildete Gleichrichtwert um den
Formfaktor 1,11 (= π/√8) vergrößert angezeigt. Dabei ist der Formfaktor
definiert als das Verhältnis Effektivwert zu Gleichrichtwert, der konkrete
Wert 1,11 gilt nur für sinusförmigen Verlauf. Damit wird für sinusförmige
Spannungen der Effektivwert angezeigt. Bei einem anderen Zeitverlauf
wird diese Anzeige fehlerhaft, sie weicht teilweise katastrophal vom
Effektivwert ab.
Digitalmultimeter, die den echten Effektivwert („true RMS“) eines
beliebigen Spannungsverlaufes messen können, sind mit einer Vorrichtung
(integrierter Schaltkreis oder Software in einem Mikrocontroller)
ausgestattet, die analog oder digital den Effektivwert errechnet. Analog
arbeitende Bausteine zur Effektivwertbildung sind als integrierte Schaltung
verfügbar, siehe unter Effektivwert. In höherwertigen Multimetern ist ihr
Einbau inzwischen üblich.
Zur digitalen Effektivwertbildung sind sehr schnelle Umsetzer erforderlich,
die sich allein schon aus Preisgründen (noch) nicht durchsetzen können.
Sinusförmige Wechselspannung,
gleichgerichtet, quadriert; dazu jeweils die
Mittelwerte
In der Regel zeigen Digitalmultimeter den Effektivwert nur des Wechselanteils an. Für Mischspannungen, also
bei Spannungen, die einen Gleichanteil und einen Wechselanteil enthalten, gibt es Multimeter, die zur
Effektivwertmessung nicht nur den Wechselanteil erfassen, sondern die den Effektivwert der Gesamtspannung
messen, ohne dass vorher der Gleichanteil abgetrennt wird:

Digitalmultimeter 10
Strom
Zur Strommessung wird die Spannung über einem eingebauten
Messwiderstand gemessen – je nach Einstellung als Gleich-
oder Wechselspannung. Zur Messbereichsumschaltung wird in der
Regel der Widerstand umgeschaltet. Er ergibt sich zu
≥ kleinster Spannungsmessbereich geteilt durch
eingestellter Strommessbereich.
Beispiel: Im Strommessbereich 200 μA ist ≥ 200 mV / 200 μA
= 1 kΩ.
Die meisten DMM sind daher anderen Strommessverfahren unterlegen,
die mit wesentlich geringerem Spannungsabfall auskommen.
Zur Messung von Wechselstrom gilt dasselbe wie bei
Wechselspannung.
Widerstand
Zur Widerstandsmessung enthält ein DMM eine elektronisch
stabilisierte Konstantstromquelle, die einen von der Belastung
unabhängigen Gleichstrom liefert. Bei Anschluss des zu messenden
Widerstands an die Eingangsklemmen wird der Strom durch das
Messobjekt geschickt, und die dabei entstehende Spannung wird
gemessen, vorzugsweise im kleinsten Spannungsmessbereich. Zur
Messbereichsumschaltung wird dann die Stromquelle umgeschaltet.
Ein Multimeter mit vielen Messfunktionen für
den professionellen Einsatz
Beispiel: Mit I = 10,00 μA erhält man zusammen mit dem kleinsten Spannungs-Messbereich 200 mV einen
Widerstands-Messbereich 20 kΩ.
Der Zusammenhang zwischen Messgröße und Anzeige ist eine Proportionalität, und man erhält recht genaue
Messwerte. Die Fehlergrenze ergibt sich aus der Fehlergrenze für die Gleichspannungsmessung und der
Fehlergrenze für die Justierung des Stromes. Die Qualität des Messwertes ist damit ganz wesentlich besser als bei
Analogmultimetern mit einem Anzeigebereich ∞ … 0, wo allein schon von der Ablesemöglichkeit her das Ergebnis
sehr ungenau wird.
Messabweichungen beim Digitalmultimeter
Abgleichabweichung für Nullpunkt und Empfindlichkeit
Die Kennlinie eines ADU (mit extrem feiner Stufung) ist eine Gerade durch den Nullpunkt. Der Nullpunkt muss
durch horizontale Verschiebung eingestellt werden. Die Empfindlichkeit muss durch Verdrehung (Änderung der
Neigung der Kennlinie) eingestellt werden, siehe auch unter dem Stichwort Messgeräteabweichung. Beides ist nur
innerhalb gewisser Fehlergrenzen möglich.
Quantisierungsabweichung
Dadurch, dass die Messgröße nur schrittweise abgebildet wird, entsteht eine Quantisierungsabweichung.

Digitalmultimeter 11
Linearitätsabweichung
Diese Messabweichung ist deutlich kleiner als die typisch auftretenden Abgleichabweichungen. Man unterscheidet
zwischen
integraler Linearitätsabweichung durch eine Nicht-Linearität der Kennlinie,
differenzieller Linearitätsabweichung durch ungleiche Breite benachbarter Quantisierungsschritte.
Die Grenzen von Nullpunkts-, Quantisierungs- und Linearitäts-Abweichungen sind Konstanten über den ganzen
Messbereich, die Grenze der Empfindlichkeitsabweichung ist proportional zum Messwert. Zusammengefasst erhält
man diese als Fehlergrenze G des Messgerätes aus zwei Summanden,
z. B. G = 0,2 % v. M. + 1 Digit
= 0,2 % v. M. + 0,05 % v. E. , falls das Gerät in 2000 Schritte (Digit) auflöst.
Die Abkürzungen „v. M.“ und „v. E.“ gemäß Sprachregelung in DIN 43751 stehen für „vom Messwert“ und
„vom Endwert“.
Einflusseffekte
Die bisher genannten Grenzwerte gelten für die Eigenabweichung bei Betrieb unter festgelegten Bedingungen. Wird
von diesen Referenzbedingungen abgewichen, so können Einflusseffekte die Messabweichung des Messgerätes
erhöhen. Die Problematik ist dieselbe wie bei analogen Messgeräten; zur Erläuterung der Begriffe siehe unter
Genauigkeitsklasse.
Temperatur
Digitale Multimeter sind üblicherweise nach DIN 43751 auf eine der Temperaturen 20, 23 oder 25 °C justiert. Bei
Änderung der Temperatur des Messgeräts ändern sich die elektrischen Eigenschaften seiner Komponenten. Durch
Einflusseffekte wird die Messgeräteabweichung möglicherweise größer. Der Einfluss der Temperatur auf den
Messwert wird mit Hilfe einer Kenngröße angegeben.
Kurvenform
Die Kurvenform der Messgröße kann durch verschiedene Kennwerte beschrieben werden. Eine dieser Größen ist der
Scheitelfaktor (engl. Crestfactor) C, definiert als das Verhältnis von Amplitude zu Effektivwert. Für Gleichspannung
gilt C = 1 und für sinusförmige Wechselspannung C = √2 = 1,414.
Ist die Amplitude sehr viel größer als der Effektivwert (ist also C » 1), wie zum Beispiel bei Impulsen, kommt es zu
Fehlmessungen.
Bei gleichrichtwert-bildenden Messgeräten für Wechselgrößen ist die Sinusform zwingend, sonst können erhebliche
Abweichungen auftreten. Bei effektivwertbildenden DMM ist die Kurvenform typisch bis C = 7 von geringem
Einfluss, wenn die Frequenz nicht allzu hoch ist (50 bis teilweise 400 Hz).
Berechnung der Fehlergrenze
Beispiel (Mindestwert der Fehlergrenze):
Das Messgerät wird unter denselben Bedingungen betrieben wie bei seiner Justierung. Anzeige U = 193,4 V;
Angabe des Herstellers: G = 0,2 % v. M. + 1 Digit
Beispiel (Ausweitung der Fehlergrenze durch Einfluss):
Das Messgerät wird in einer Umgebungstemperatur von 35 °C betrieben. Der Hersteller gibt die obige
Fehlergrenze für einen Referenzwert 23 °C an. Für den Betrieb bei anderer Temperatur sei eine weitere
Angabe des Herstellers eine bezogener Zusatzabweichung: (0,05 % v.M. + 2 Digit)/10 K

Digitalmultimeter 12
Siehe auch
• Arithmetischer Mittelwert und Effektivwert bzw. quadratischer Mittelwert verschiedener Spannungsformen
• Digitale Messtechnik
• Messkategorie
• Messtechnik
• SMU
Genauigkeitsklasse
Die Genauigkeitsklasse eines Messgerätes gibt die maximal zu erwartende Abweichung eines Messwertes vom
wahren Wert der gemessenen Größe an, bedingt durch das Messgerät selbst.
Normen verwenden den Begriff z. B. für Stromwandler oder direkt wirkende Messgeräte mit Skalenanzeige. Für
Messgeräte mit Ziffernanzeige sind derartige Klassen nicht bekannt. Siehe Hauptartikel: Messgeräteabweichung,
Digitale Auflösung, Digitalmultimeter
Begriffe
Genauigkeitsklasse
In der für die Messtechnik grundlegenden DIN 1319 wird
der Begriff Genauigkeitsklasse definiert als eine Klasse
von Messgeräten, die vorgegebene messtechnische
Forderungen erfüllen, so dass Messabweichungen dieser
Messgeräte innerhalb festgelegter Grenzen bleiben.
Genauigkeit
In EN 60051 wird die Genauigkeit eines Messgerätes
definiert als Grad der Übereinstimmung zwischen
angezeigtem und richtigem Wert. Die Genauigkeit ... ist
Skale eines Drehspulmessgeräts der Klasse 2,5 für senkrechte
Betriebslage (Symbole rechts)
durch die Grenzen der Eigenabweichung und die Grenzen der Einflusseffekte bestimmt. Die Begriffe werden
nachfolgend erklärt.

Genauigkeitsklasse 13
Klassenzeichen
Messgeräte, die bestimmte Anforderungen an die Genauigkeit erfüllen, können einer Genauigkeitsklasse zugeordnet
werden. Diese Klasse wird durch ein Klassenzeichen in Form einer Zahl gekennzeichnet. Im Bild oben ist das 2,5.
Ein Zusatz, z. B. ein Kreis, der die Zahl umschließt, kann hinzukommen.
Fehlergrenzen für direkt wirkende Messgeräte mit Skalenanzeige
DIN EN 60051
Titel Direkt wirkende anzeigende elektrische Meßgeräte und ihr Zubehör; Meßgeräte mit Skalenanzeige
Bereich Messgeräte
Regelt Teil 1: Definitionen und allgemeine Anforderungen für alle Teile dieser Norm
Teil 2: Spezielle Anforderungen für Strom- und Spannungs-Meßgeräte
Teil 3: ... für Wirk- und Blindleistungs-Meßgeräte
Teil 4: ... für Frequenz-Meßgeräte
Teil 5: ... für Phasenverschiebungswinkel-Meßgeräte, Leistungsfaktor-Meßgeräte und
Synchronoskope
Teil 6: ... für Widerstands- und Leitfähigkeits-Meßgeräte
Teil 7: ... für Vielfach-Meßgeräte
Teil 8: ... für Zubehör
Teil 9: Empfohlene Prüfverfahren
Erscheinungsjahr Deutsche Fassung DIN EN 60051-1: 1999;
-2…-9: 1991…96
Anmerkungen ersetzt: DIN 43780; VDE 0410
Basis: IEC 60051
Die hierzu erlassene EN 60051 ist außerordentlich vielfältig, so dass hier nur Grundzüge erläutert werden. Ältere
Messgeräte sind noch nach den ähnlichen Vorgänger-Vorschriften DIN 43780 oder VDE 0410 gefertigt worden.
Außerdem beschränkt sich diese Aufstellung auf Strom- und Spannungs-Messgeräte in den bevorzugten
Ausführungen nach EN 60051-2.
Ein Hersteller, der sein Messgerät durch Angabe eines Klassenzeichens qualifiziert, garantiert die Einhaltung
• der Grenzen der Eigenabweichung (früher des Grundfehlers),
• der Grenzen der Einflusseffekte.
Eigenabweichung
Wird ein Messgerät unter Referenzbedingungen (denselben Bedingungen wie bei der Justierung) und innerhalb des
Messbereiches betrieben, so heißt eine dann auftretende Messabweichung Eigenabweichung.
Grenzwert
Die Eigenabweichung darf die beispielhaft zum Klassenzeichen 2,5 angegebenen Werte nicht übersteigen (im Sinne
einer Fehlergrenze dem Betrage nach)
• 2,5 % des Messbereichsendwertes, wenn der Nullpunkt an einem Ende des Messbereichs liegt,
• 2,5 % des Messbereichsendwertes, wenn der mechanische oder elektrische Nullpunkt außerhalb des
Messbereiches liegt,
• 2,5 % der Summe (ungeachtet des Vorzeichens) der Messbereichsendwerte, wenn der Nullpunkt innerhalb der
Skale liegt.
Bei einem Zusatz zum Klassenzeichen, z. B. Kreis, gilt eine andere Bezugsgröße.
Beispiel: Strommesser mit Messbereich 0 … 100 mA, linear geteilt, Klassenzeichen 1

Genauigkeitsklasse 14
Die Grenze der Eigenabweichung ist = 1 % 100 mA = 1 mA. Diese Grenze ist eine Konstante über den
gesamten Messbereich.
Hinweis: Die relative Fehlergrenze eines Messwertes hat nur bei 100 mA den Wert = 1 % , für jeden
anderen Messwert ist sie größer. Bei 25 mA beträgt sie bereits 4 %, da der Bezugswert für die relative
Fehlergrenze des Messwertes der jeweilige Messwert ist.
Referenzbedingungen
= = 0,01 = 1%
= = 0,04 = 4%
Zur Definition der Eigenabweichung gehört die Festlegung der Referenzbedingungen (Referenzwert oder -bereich).
Im Wesentlichen ist festgelegt:
Messbereich
Einflussgröße Referenzbedingung zulässige Grenzen der Referenzbedingung
Umgebungstemperatur 23 °C (früher 20 °C) 2 K bei Klassenzeichen 0,5 oder größer, sonst 1 K
Lage gemäß Beschriftung 1°
Magnetisches Fremdfeld gänzliches Fehlen Erdfeld erlaubt
Elektrisches Fremdfeld gänzliches Fehlen
Frequenz einer Wechselgröße 45 … 65 Hz
Kurvenform einer Wechselgröße sinusförmig
Welligkeit einer Gleichgröße null
Da die Angaben zum Grenzwert nur im Messbereich gelten, muss der Messbereich erkennbar sein, falls er nicht mit
der Skalenlänge übereinstimmt. Es gibt drei Möglichkeiten der Kennzeichnung des Messbereichs auf der Skale:
• Keine Feinteilung außerhalb des Messbereiches,
• Messbereichsgrenze gekennzeichnet durch Punkt,
• verstärkter (breiter gezeichneter) Skalenbogen im Messbereich.
Einflusseffekte
Wird das Messgerät nicht unter Referenzbedingungen betrieben, so können zusätzlich zur Eigenabweichung weitere
Abweichungen entstehen.
Einzelner Einflusseffekt
Bei einer einzelnen, nicht eingehaltenen Einflussgröße darf der von ihr hervorgerufene Einflusseffekt ebenfalls nicht
größer sein als der oben mittels des Klassenzeichens festgelegte Grenzwert, allerdings noch versehen mit einem
Korrekturfaktor. Dieses gilt allerdings nur in einem bestimmten Nenngebrauchsbereich:

Genauigkeitsklasse 15
Mehrere Einflusseffekte
Einflussgröße Grenzen des Nenngebrauchsbereiches Korrekturfaktor
Umgebungstemperatur Referenztemperatur ± 10 °C 100 %
Lage von der Referenzlage aus 5° in jede Richtung 50 %
Frequenz Referenzbereich ± 10 % der jeweiligen Grenze 100 %
Wenn zwei oder mehr Einflussgrößen von ihren Referenzbedingungen bis zu einem Wert innerhalb des
Nenngebrauchsbereiches abweichen, darf der resultierende Einflusseffekt nicht größer sein als die Summe der
zulässigen Einzeleffekte.
Beispiel: Das oben beschriebene Messgerät wird bei 28 °C und um 4° geneigt betrieben.
Dann ist der Grenzwert der Messabweichung = (1 + 1 + 0,5) mA = 2,5 mA
(Eigenabweichung + Abweichung durch Temperatureinfluss + Abweichung durch Lageeinfluss).
Beispiel: Das oben beschriebene Messgerät wird bei 28 °C und um 10° geneigt betrieben.
Keine Garantie zu eingehaltener Messabweichung, da der Nenngebrauchsbereich nicht eingehalten wird.
Abweichende Referenzbedingungen und Nenngebrauchsbereiche
Von den oben angegebenen Vorgaben der Norm darf abgewichen werden, wenn die Abweichung durch Beschriftung
angegeben wird. Zum Beispiel:
Beschriftung Referenzwert (-bereich) Nenngebrauchsbereich
27 °C 27 °C 17 … 37 °C
35…50…60 Hz 50 Hz 35 … 60 Hz
23…23…37 °C 23 °C 23 … 37 °C
35…45…55…60 Hz 45 … 55 Hz 35 … 60 Hz
Mit der Klassenzuordnung verbundene Anforderungen
Zu den Klassen werden nicht nur Anforderungen zur Genauigkeit, sondern verschiedene weitere Vorgaben
festgeschrieben wie
• Bedingungen, die zu beachten sind, wenn es um die Einhaltung der Grenzen geht,
• Elektrische und mechanische Anforderungen, z. B. Überlastbarkeit, Dämpfung,
• Aufschriften,
• Prüfverfahren zur Feststellung der Einhaltung des genormten Verhaltens.

Genauigkeitsklasse 16
Geschichte
Nach der bis August 1976 geltenden Vorschrift VDE 0410 Regeln für elektrische Meßgeräte wurden diese Geräte in
folgende Gruppen eingeteilt:
• Feinmessgeräte mit den Klassen 0,1 – 0,2 – 0,5
• Betriebsmessgeräte mit den Klassen 1 – 1,5 – 2,5 – 5
Siehe auch
Fehlergrenze, Fehlerfortpflanzung, Messgeräteabweichung, Messunsicherheit
Literatur
• Hans-R. Langner: Grundlagen der elektrischen Messtechnik. (Skript TFH Berlin)
Messgeräteabweichung
Als Messgeräteabweichung werden Abweichungen der Anzeige (allgemein des Ausgangssignals) eines
Messgerätes vom wahren Wert, die allein durch das Messgerät verursacht wird, bezeichnet.
Abgrenzung
Gemäß der Sprachregelung durch DIN 1319 gibt es Messgeräte
• mit Anzeige,
• ohne Anzeige, das sind Messumformer und Messumsetzer, die
• ein pneumatisches Signal (eingeprägter Druck) oder
• ein elektrisches analoges Signal (z. B. eingeprägter Strom) oder
• ein elektrisches digitales Signal (z. B. zur Ankopplung an Profibus)
ausgeben. Solche Messgeräte ohne Anzeige werden hier nicht behandelt.
Durch das Zusammenwirken eines Messgerätes mit einem Messobjekt kann eine Messabweichung bzw. ein
Messfehler entstehen. Z. B. verbraucht ein Spannungsmesser in der Regel einen kleinen Strom, den er durch seine
Eingangsklemmen aufnimmt. Je nach Innenwiderstand der Spannungsquelle und je nach Leitungswiderständen
erzeugt die Stromaufnahme einen nicht unbedeutenden Spannungsverlust. Man misst weniger als die (mit einem
idealen Spannungsmesser messbare) Leerlaufspannung der Spannungsquelle. Es entsteht eine
Rückwirkungsabweichung (Schaltungseinflussfehler), eine systematische Abweichung, die immer negativ ist. Ihre
Größe wird nicht nur gekennzeichnet durch ein Messgeräte-Kennzeichen, z. B. durch den
Messgeräte-Innenwiderstand, sondern auch durch Kennzeichen des Messobjektes. Wegen dieser Verkopplung
werden Abweichungen durch Eigenverbrauch hier nicht behandelt.
Beobachtereinflüsse werden hier ebenfalls nicht behandelt.
Im Weiteren soll es daher um Abweichungen eines Messgerätes mit Anzeige, die ausschließlich Eigenschaften des
Gerätes selber sind, gehen.
Bei diesen Geräten sind zu unterscheiden
• analog arbeitende Messgeräte mit Skalenanzeige,
• digital arbeitende Messgeräte mit Ziffernanzeige.
Es gibt aber auch
• analog arbeitende Messgeräte mit Ziffernanzeige,

Messgeräteabweichung 17
z. B. Energiezähler (sogenannte Kilowattstunden-Zähler) mit Ziffernrollen; diese haben auf der
niederwertigsten Stelle eine kontinuierliche durchlaufende Ziffernrolle, versehen mit einer kleinen Strichskale;
sie sind in Blick auf ihre Abweichungen zu behandeln wie Geräte mit Skalenanzeige,
• digital arbeitende Messgeräte mit Skalenanzeige,
z. B. Bahnhofsuhren, die überwiegend keinen Sekundenzeiger enthalten; diese sind in Blick auf ihre
Abweichungen zu behandeln wie Geräte mit Ziffernanzeige (wegen Ankopplung dieser Uhren an die
Zeitreferenz reduziert auf die Quantisierungsabweichung; siehe auch Digitale Messtechnik).
Geräteabweichungen anzeigender Messgeräte
Gemeinsames
Trägt man das Ausgangssignal (abgelesener Wert) als Funktion des Eingangssignals (Messgröße) in einem
rechtwinkligen, linear geteilten Koordinatensystem auf, so erhält man die Kennlinie, die als linear angestrebt wird
(bei Digital-Geräten linear, wenn man nur die linken (oder rechten) Ecken der gestuften Kennlinie verbindet). Bei
der Kennlinie sind drei Abweichungen möglich:
1. Verschiebung der Näherungsgeraden: Anfangspunktabweichung (häufig Nullpunktsabweichung),
2. Verdrehung der Näherungsgeraden: Steigungsabweichung oder Empfindlichkeitsabweichung,
3. Abweichung von der Näherungsgeraden: Linearitätsabweichung.
Die Messabweichungen werden im Rahmen der Herstellung durch Justierung möglichst klein gemacht; durch
Unvollkommenheit der Konstruktion, der Fertigung und der Justierung werden sie aber nicht null.
Im praktischen Einsatz unterliegt ein Messgerät verschiedenen Umwelteinflüssen, die weitere Messabweichungen
hervorrufen, z. B. wenn es bei einer anderen Temperatur betrieben wird als bei der Justierung.
Messgeräte mit Skalenanzeige
Für diese Geräte ist in der Regel ein Einsteller für den Nullpunkt frei zugänglich, so dass die Nullpunktsabweichung
vermeidbar ist. Für die Messabweichung aus den übrigen Gründen wird eine zusammenfassende Aussage gemacht
durch die Angabe eines Klassenzeichens. Dieses beschreibt
1. den Betrag der maximalen Eigenabweichung, also der Messabweichung bei Betrieb unter denselben Bedingungen
wie bei der Justierung, den sogenannten Referenzbedingungen,
2. den Betrag der maximalen Einflusseffekte, also der zusätzlich auftretenden Messabweichungen, wenn das Gerät
nicht unter Referenzbedingungen betrieben wird, aber wenigstens noch in einer zulässigen Nähe zur jeweiligen
Referenzbedingung, im Nenngebrauchsbereich.
Auf Beispiele unter dem Stichwort Genauigkeitsklasse wird verwiesen.
Messgeräte mit Ziffernanzeige
Der Nullpunkt ist innerhalb der Breite einer Stufe der Kennlinie nicht justierbar (Nullpunktsabweichung). Bei der
Ablesung eines Messwertes kommt eine weitere Messabweichung, die Quantisierungsabweichung - ebenfalls bis zur
Breite einer Stufe -, hinzu; beide ergeben zusammen die Fehlergrenze von ± 1 Ziffernschritt (auf der
niederwertigsten Stelle) oder ± 1 Digit. Bei manchen Messaufgaben, z. B. bei Wechselstrommessungen, kann diese
Fehlergrenze größer sein. Sie gilt im ganzen Messbereich und wird vielfach umgerechnet in Prozent vom Endwert
(v.E.) angegeben.
Die nächste Abweichung kommt von der Steigung der angenäherten Kennlinie her. Der Grenzwert dieser
Empfindlichkeitsabweichung wird in Prozent vom Messwert (v.M.) bzw. von der Anzeige (v.A.) angegeben. Die
dritte oben genannte Abweichung, durch die Nichtlinearität des Analog-Digital-Umsetzers (ADU), liegt häufig so
weit unter 1 Ziffernschritt, dass sie keiner Beachtung bedarf. Die Gesamt-Fehlergrenze setzt sich also aus zwei

Messgeräteabweichung 18
Teilen zusammen, die korrekterweise beide als Summe anzugeben sind.
Klassenzeichen gibt es hier nicht. Angaben zur Fehlergrenze gelten nur bei Bedingungen, die den
Referenzbedingungen entsprechen. Diese legt allerdings jeder Hersteller nach eigenem Ermessen fest. Mit deren
Angabe sowie der Angabe zur erweiterten Fehlergrenze, die Einflusseffekte einschließt, sind manche Hersteller sehr
zurückhaltend.
Beispiel zur Handhabung der Fehlergrenzangaben:
Messbereich (MB) 200 V , aufgelöst in 20 000 Schritte (Digit), so dass 1 Digit 0,01 V.
Für den Gleichspannungs-MB wird das Gerät spezifiziert zu = 0,02 % v.M. + 0,005 % v.E.
Für den Wechselspannungs-MB wird das Gerät spezifiziert zu = 0,2 % v.M. + 0,015 % v.E.
Im konkreten Fall einer angelegten Spannung von 100 V ergeben sich
= 0,02 %⋅100 V + 0,005 %⋅200 V = 0,02 V + 0,01 V = 0,03 V 3 Digit
= 0,2 %⋅100 V + 0,015 %⋅200 V = 0,2 V + 0,03 V = 0,23 V 23 Digit
Anmerkung: Dieses zweite Ergebnis ist vielleicht überraschend, aber selbst für einen hochwertigen, recht hoch
auflösenden Spannungsmesser durchaus realistisch: Bereits die vorletzte Stelle kann hier um eine Zwei
abweichen.
Siehe auch
Messabweichung, Fehlergrenze, Genauigkeitsklasse, Digitalmultimeter
Oszilloskop
Ein Oszilloskop ist ein elektronisches Messgerät zur optischen Darstellung einer oder mehrerer Spannungen und
deren zeitlichen Verlauf in einem zweidimensionalen Koordinatensystem. Das Oszilloskop stellt einen
Verlaufsgraphen auf einem Bildschirm dar, wobei üblicherweise die (horizontale) X-Achse (Abszisse) die Zeitachse
ist und die anzuzeigenden Spannungen auf der (vertikalen) Y-Achse (Ordinate) abgebildet werden. Das so
entstehende Bild wird als Oszillogramm bezeichnet. Es gibt analoge und digitale Oszilloskope, wobei analoge
Geräte ausschließlich eine Kathodenstrahlröhre zur Anzeige benutzen (Kathodenstrahloszilloskop).
Messungen
Mit einem Oszilloskop kann man nicht nur die Größe einer Gleich-
oder Wechselspannung bestimmen, sondern vor allem ihren zeitlichen
Verlauf (die „Form“ der Spannung) betrachten.
Meistens werden die zu messenden Spannungen über BNC-Buchsen
auf der Frontseite unter Verwendung eines Tastkopfes (auch Sonden
genannt) angeschlossen.
Oszilloskop
Die meisten Oszilloskope besitzen einen Eingang für die X-Ablenkung, wodurch nicht nur zeitabhängige Funktionen
dargestellt werden können (t-Y-Darstellung), sondern auch X-Y-Darstellungen (wie etwa Lissajous-Figuren oder
Kennlinien).
Viele weitere elektrische Größen können mit einem Oszilloskop angezeigt werden, so zum Beispiel:

Oszilloskop 19
• elektrischer Strom, indirekt über den Spannungsabfall an einem Widerstand, (siehe Ohmsches Gesetz) oder
mittels einer Stromzange;
• Frequenz eines Signals;
• Phasenverschiebungen eines Signals mit Hilfe von Lissajous-Figuren (sofern am Oszilloskop ein Eingang für die
X-Ablenkung vorhanden ist), ebenfalls mit dieser Methodik die Frequenz eines Signals mit Hilfe eines externen
Frequenzgenerators;
• Durchgangskennlinien von elektronischen Bauelementen (entweder mit Hilfe einer bereits im Oszilloskop
vorhandenen Schaltung (Komponententester) oder, sofern ein Eingang für die X-Ablenkung vorhanden ist, mit
einer Zusatzschaltung);
• Frequenzgänge elektronischer Schaltungen (mit einem Wobbelgenerator);
• Impulsdiagramme an digitalen Schaltungen und Mikroprozessoren.
Allgemein kann jeder Vorgang, der sich als zeitlicher Verlauf einer elektrischen Spannung abbilden lässt, mit dem
Oszilloskop dargestellt werden.
Triggerung
Um bei periodischen Signalen (dies kann ein einfaches Sinus-Signal sein, aber auch ein äußerst komplexes Signal)
ein stehendes, klares Bild zu erhalten, ist es nötig, den Elektronenstrahl vor jedem Durchlauf solange aufzuhalten,
bis das zu messende Signal einen definierten Zustand (entspricht einem Zeitpunkt) erreicht. Man stellt mit dem
"Level"-Potentiometer einen Spannungswert ein, der diesem Zustand entspricht, und kann zumeist festlegen, ob sich
dieser auf einer ansteigenden oder fallenden Flanke befinden soll. Somit werden die einzelnen Signalperioden stets
genau übereinander gezeichnet und ermöglichen zusammen mit der relativ langen Nachleuchtdauer der
Leuchtschicht ein mehr oder minder stehendes Bild. Je nach Ausstattung des Oszilloskops gibt es noch weitere
Triggerungsmethoden oder die Möglichkeit, ein externes Triggersignal zu verwenden.
Bei digitalen Oszilloskopen (siehe unten) ist es einfacher, auch auf einmalige Ereignisse zu triggern, also einen
sogenannten „single shot“ (Einzelschuss) eines transienten Signals zu machen. Bei analogen Oszilloskopen ist dies
nur durch einen aufwändigen Röhrenaufbau realisierbar. Aufgrund der Architektur eines digitalen
Speicheroszilloskopes ist es dann auch möglich, den Kurvenverlauf vor dem Trigger-Ereignis („pre trigger“) zu
betrachten, da diese ihren Signalspeicher in der Regel rollierend beschreiben. Weiterhin bieten die meisten digitalen
Oszilloskope auch Trigger-Optionen auf bestimmte Signalformen bzw. -signalzusammenhänge, z. B.:
• Start-Stopp-Bedingung auf I 2 C-Bussen,
• Start of Frame bei CAN-Signalen,
• TV-Signale (auch bei analogen Oszilloskopen üblich),
• Pulsbreite.
HoldOff
Als HoldOff bezeichnet man die (einstellbare) Zeit, um die der Triggermechanismus gegenüber einem erneuten
Triggern gesperrt werden kann.
Zeitbasis
Als Zeitbasis bezeichnet man die Baugruppe in einem Oszilloskop, die die Signaldarstellung (bzw. Abtastung) in
X-Richtung vorgibt, bei einem analogen Oszilloskop also den Kippschwingungsgenerator. Um
Signalzusammenhänge darzustellen, bei denen das Triggerereignis weit vor dem eigentlich interessanten
Signalverlauf auftritt, gibt es Oszilloskope mit zwei Zeitbasen: Die erste legt den Abstand zwischen Trigger-Ereignis
und Signaldarstellung fest („Main“), die andere die Zeitachse im angezeigten Oszillogramm („Delayed“). Bei
digitalen Oszilloskopen gibt es dann meist noch einen „Rolling“ Modus, bei dem das Signal nicht von links nach
rechts geschrieben wird, sondern nach Art eines Messschreibers: das bisher angezeigte Signal wird nach links

Oszilloskop 20
verschoben und die neue gemessene Spannung am rechten Rand ergänzt. Diese Darstellung nutzt man, um längere
Signalabschnitte kontinuierlich darzustellen.
Arten
Digitales Oszilloskop
Heute werden vermehrt digitale Oszilloskope (DSO, englisch: Digital
Sampling Oscilloscope) verwendet. Sie führen eine
Analog-Digital-Wandlung durch und sind prinzipiell
Speicheroszilloskope. Sie können Daten auch nach der Messung zur
Verfügung stellen, auf einem Speichermedium ablegen oder auf einen
PC übertragen.
Es gibt verschiedene Ausstattungsstufen sowie Mischformen zwischen
Analog- und Digitaloszilloskopen. Die oben genannten Eigenschaften
analoger Oszilloskope gelten ebenso für die Digitaloszilloskope.
Zusätzliche Funktionen sind:
• Pre-Triggerung: Damit kann man auf ein bestimmtes Ereignis
warten, zum Beispiel eine Spannungsspitze, und sich dank der
Speicherung den Signalverlauf vor dem Ereignis betrachten
• Mittelwertbildung, d. h. Mittelung über viele Anzeigeperioden,
dadurch Störunterdrückung bei periodischen Signalen
• Analysesoftware für beispielsweise Anstiegszeit, Impulsbreite,
Amplitude, Frequenz usw.
• automatische Einstellung auf ein unbekanntes Signal
• mathematische Funktionen, z. B. Summen- oder Differenzbildung
zwischen Kanälen
• Frequenzspektren / FFT, Histogramme und Statistiken
Die Eingangsspannung wird mit einem Analog-Digital-Umsetzer
(ADU) mit einer Auflösung von 8, 10 oder 12 Bit digitalisiert. Damit
auch hochfrequente Signale gewandelt werden können, werden
parallele ADU, auch als Flash-ADC bezeichnet, eingesetzt. Neben der
Auflösung in Y-Richtung (Spannung) ist auch die zeitliche Auflösung
eine wichtige Kenngröße: Sie wird zum einen durch die analoge
Bandbreite des DSOs bestimmt, aber auch durch die Abtastrate, mit
der das Signal abgetastet wird. Die Abtastrate wird zumeist in
„Megasamples“ (MS/s) oder „Gigasamples“ (GS/s) angegeben, also
Anzahl der Abtastungen pro Sekunde. Anfang 2009 liegen selbst im
Mit einem digitalen Oszilloskop aufgenommenes
Oszillogramm
Modernes digitales Speicheroszilloskop
Kompaktes DSO
unteren Preissegment der DSO die Abtastraten im Bereich von einigen GS/s. Typische Werte bei einer maximalen
Bandbreite von 100 MHz sind 1 GS/s.
Ein weiterer Parameter ist die Speichertiefe, d. h. die Zahl der gespeicherten Messwerte. Auch diese teilt sich auf die
Zahl der benutzten Kanäle auf. Da Digitaloszilloskope eine Anwendung der zeitdiskreten Signalverarbeitung
darstellen, spielen die Abtastung und das Nyquist-Shannon Abtasttheorem eine zentrale Rolle.

Oszilloskop 21
DSOs werden oft auf FPGAs-Basis (Programmierbares Gatterfeld)]
realisiert, da die geringen Stückzahlen und die zu verarbeitende und
speichernde Datenflut nicht immer mit einem DSP erreicht werden
kann. Über ca. einer Abtastrate von 100 MS/s verwenden DSOs oft
mehrere AD-Umsetzer pro Kanal parallel (interleaved mode), welche
phasenverschoben das Signal abtasten [1] . Dabei gilt bei sehr hohen
Frequenzen der geringe Takt-Jitter als das stärkste Qualitätskritärium
[2] .
Digitale Spitzen-Erkennung (Störimpuls-Erkennung)
Anschlüsse eines DSO, hier für RS232, Drucker
und GPIB
Manche digitalen Speicheroszilloskope verfügen über eine digitale Spitzen-Erkennung (englisch: Glitch Capture;
neudeutsch auch Peak-Erkennung). Damit wird sichergestellt, dass Spannungsspitzen (englisch: Glitches) auch bei
langsameren Zeitbasis-Einstellungen erfasst und angezeigt werden. Der angezeigte Signalverlauf erscheint dann
dicker, da Minimum- und Maximumwerte gleichzeitig angezeigt werden. Ist diese nicht vorhanden, kann es durch
Aliasing zu Messfehlern kommen.
Unterabtastung (Äquivalenzzeitabtastung)
Periodische Signale mit sehr hoher Frequenz können mit Hilfe von
Unterabtastung (undersampling) dargestellt werden. Voraussetzung ist
eine sehr schnelle Abtast-Halte-Schaltung, die noch Bruchteile des
Eingangssignals erfassen kann. Beträgt die Periode eines Signals z. B.
1 ns, dann wird im Abstand von 10,05 ns eine Probe entnommen. Der
Analog-Digital-Wandler hat nun ungefähr 10 ns Zeit für die
Umsetzung, obwohl das eigentliche Signal viel schneller ist. Nachdem
20 Proben gemessen wurden, ist das Signal einmal abgetastet. (20 ·
Abtastung eines Signals in mehreren Zyklen
0,05 ns = 1 ns) Inzwischen sind aber 20 · 10,05 ns vergangen; dies entspricht 201 Perioden des Eingangssignals. In
diesem Fall dürfen allerdings keine niederfrequenten Signalanteile vorhanden sein, da diese nicht von der zu
messenden Frequenz zu unterscheiden wären.
Unterschiede gegenüber dem analogen Oszilloskop
• Die Anzeige kann größer und farbig sein, dadurch lassen sich die einzelnen Kanäle leichter unterscheiden.
• Unterabtastung und Mittelung über aufeinanderfolgende Abtastungen oder Perioden ergibt eine bessere
Auflösung bis in den µV-Bereich sowie Störunterdrückung.
• Spitzenerkennung
• Pretrigger - Es kann damit der Signalverlauf vor dem Triggerzeitpunkt betrachtet werden
• Komplexe Trigger-Funktionen wie beispielsweise Pulsweitentrigger oder im Rahmen von seriellen Schnittstellen
die Triggerung auf eine Abfolge von seriellen Bitmustern
• Autoset und Autorange um eine automatische in für viele Fälle optimale Einstellung in Abhängigkeit der
Eingangssignale zu erhalten.
• Scrollen und Vergrößern über mehrere gespeicherte Graphen
• Aufzeichnen langsamer Vorgänge, z. B. ein Temperaturverlauf über einen Tag.
• Der Speicher des Oszilloskop kann anstatt einer eindimensionalen Liste auch ein mehrdimensionales Array der
vorangegangenen Abtastintervalle enthalten, um einen Phosphor-Schirm zu simulieren. Die vorangegangenen
Perioden werden farblich unterschiedlich dargestellt und damit unterscheidbar (z. B. farbige Augendiagramme).

Oszilloskop 22
• Automation und Fernsteuerung über standardisierte Schnittstellen wie z. B. serielle Schnittstelle, USB-Port oder
GPIB.
• Daten- oder Bilddatei können gespeichert und in anderen Anwendungen eingebunden werden. Dies kann über
Schnittstellen zum Anschluss von handelsüblichen USB-Massenspeichern erfolgen.
• Ausgabe von numerischen Messwerten wie Effektivwert oder Spitzenwert vom angezeigten Signalverlauf.
• Cursor-Funktionen für das genaue Ausmessen von Abständen in der Darstellung.
• Bildung von abgeleiteten Messkanälen. Diese werden manchmal als „Mathematik-Kanal“ bezeichnet.
Beispielsweise kann damit das Spektrum eines Signals mittels Fourier-Transformation in Echtzeit gebildet und
angezeigt werden.
• Bestimmte Geräteeinstellungen (setups) können gespeichert und später wieder abgerufen werden.
• Die Handhabung kann bei manchen Geräten aufgrund vieler Funktionen komplizierter sein.
• Gefahr von falschen Darstellungen aufgrund der des Alias-Effektes.
Mixed-Signal.Oszilloskop
Als Mixed-Signal-Oszilloskop bezeichnet man digitale Oszilloskope, die nicht nur über ein oder mehrere analoge
Eingänge, sondern auch über zusätzliche digitale Eingänge verfügen: Die digitalen Kanäle können meist auf eine
bestimmte Logik-Familie eingestellt werden (TTL, CMOS, etc.) und unterscheiden dann nur die Zustände HIGH,
LOW und undefiniert.
DSO als Computerzubehör
Digitale Speicheroszilloskope werden auch als Computerzubehör angeboten. Sie sind dann entweder eine Steckkarte
oder ein separates, über eine Schnittstelle gekoppeltes Gerät. Sie können auch nur aus Software bestehen und ein
Signal einer A/D-Wandlerkarte oder (bei eingeschränkten Genauigkeitsanforderungen etwa im Bereich zwischen
10 Hz und 10000 Hz) des Audioeinganges nutzen. Alle diese Lösungen erreichen jedoch nicht die Parameter
autonomer DSOs, sind dafür aber meist wesentlich kostengünstiger. Auch kann ihre graphische Ausgabe über die
Anzeige eines PC erfolgen und daher besonders für Lehrzwecke hilfreich sein.
Analoges Oszilloskop
Bei analogen Oszilloskopen wird die zu messende Spannung über
einen einstellbaren und in seiner Verstärkung kalibrierten Verstärker
auf den Bildschirm einer Kathodenstrahlröhre mittels eines oder
mehrerer Elektronenstrahlen „projiziert“. Genauer gesagt wird der
Elektronenstrahl durch die Eingangsspannung in Y-Richtung
abgelenkt. Bei zeitabhängiger Darstellung muss für die X-Ablenkung
eine Kippschwingung erzeugt werden, welche, durch die Triggerung
ausgelöst, gleichmäßig mit kalibrierter Steilheit ansteigt und dann
schnell wieder abfällt. Die Anstiegsdauer dieser sägezahnförmigen
Kippschwingung entspricht der angezeigten Zeitdauer des Signales.
Sie ist zumeist in einem sehr weiten Bereich einstellbar. Der
Elektronenstrahl bewegt sich dadurch von links nach rechts (während
dieser Zeit wird das Bild gezeichnet) und kehrt anschließend sofort
zum Ausgangspunkt zurück. Dabei wird der Strahl dunkelgetastet,
damit man den Rücklauf des Leuchtflecks nicht sieht.
Analoges Oszilloskop
Funktionsschema eines
Elektronenstrahloszilloskop

Oszilloskop 23
Die Ablenkung des Elektronenstrahls erfolgt bei analogen Oszilloskopen im Gegensatz zu anderen Bildschirmen
praktisch immer kapazitiv durch elektrische Felder. Diese Ablenkungsart ist wesentlich einfacher über große
Frequenzbereiche zu beherrschen; die Vorteile überwiegen die Nachteile (Leuchtfleckverformungen mit
zunehmender Ablenkung, große Einbautiefe der zugehörigen Bildröhre) im angestrebten Einsatzbereich bei weitem.
Zur Optimierung der Bandbreite erfolgt die Y-Ablenkung bei entsprechend breitbandigen Geräten mit unterteilten
Ablenkplattenpaaren, welche mit Laufzeitgliedern so angesteuert werden, dass die Ablenkung synchron zur
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Elektronen erfolgt.
Analoge Oszilloskope haben heute aus technischen Gründen, neben praktischen Nachteilen wie der Größe der
Kathodenstrahlröhre und wirtschaftliche Faktoren wie der preisgünstigen Verfügbarkeit von DSO, im praktischen
Laboreinsatz nur noch eine untergeordnete Bedeutung. Einzelne Anwendungsbereiche von einfachen analogen
Oszilloskopen liegen im Ausbildungsbereich in technischen Schulen.
Mehrkanalbetrieb
Oft ist es notwendig, zwei Signale auf dem Schirm gleichzeitig darzustellen, um sie zu vergleichen. Dazu gibt es bei
analogen Oszilloskopen mehrere Verfahren:
• Mehrsystemröhre (echtes Mehrstrahloszilloskop): Dabei befinden sich in der Röhre mehrere Elektronenkanonen
und (Y-)Ablenksysteme. Auf diese Weise lassen sich zwei bis vier unabhängige Kurvenverläufe zeitgleich
darstellen.
• Chopper-Betrieb: Bei der Darstellung von langsamen Signalverläufen kann man sehr schnell zwischen den beiden
Eingängen umschalten und dabei auch die vertikale Strahlposition auf dem Bildschirm verändern. Das führt dazu,
dass z. B. Kanal 1 in der oberen Bildschirmhälfte dargestellt wird und Kanal 2 in der unteren. Nachteil ist, dass
jeder Kanal nicht kontinuierlich dargestellt wird, sondern aus einer gestrichelten (zerhackten) Linie besteht. Kurze
Impulse können in der Zwischenzeit (wenn der andere Kanal geschrieben wird) verloren gehen. Dies verwendet
man meist unter 100 Hz
• Alternierender Betrieb: Bei der Darstellung von schnellen Signalverläufen lässt man das Signal des einen Kanals
einmal ganz auf dem Bildschirm darstellen, schaltet dann auf den anderen Kanal und stellt diesen auf einer
anderen Position dar. Es wird also nach jedem Strahldurchlauf zwischen Kanal 1 und 2 umgeschaltet. In dieser
Betriebsart kann allerdings die Phasenverschiebung nicht exakt bestimmt werden, weil der Triggerimpuls nicht
gleichzeitig ausgelöst wird.
Spezielle Oszilloskope
Der Waveformmonitor (WFM) ist ein spezielles Oszilloskop, das in der professionellen Videotechnik zum Messen
von analogen Videosignalen benutzt wird.
Historische Entwicklung
Die ersten automatisierten Geräte zu Beginn des 20. Jahrhunderts zur
Aufzeichnung eines Signalverlaufes über die Zeit nutzten
Galvanometer, um damit einen Stift über eine sich drehende Rolle
Papier zu bewegen, wie es beispielsweise bei dem Hospitalier
Schreiber der Fall ist. [3] Solche Geräte sind in erweiterter Form, aber
mit grundsätzlich identer Funktion, auch noch Anfang des 20.
Jahrhunderts in Form von Messschreibern üblich, wenngleich sie
zunehmend durch Datenlogger ersetzt werden. Die Limitierung besteht
durch die mechanische Bewegung in der geringen Bandbreite, welche
nur die Aufzeichnung von niederfrequenten Signalverläufen gestattet.
Darstellung des Hospitalier Schreibers

Oszilloskop 24
Verbesserungen ersetzten den mechanischen Zeiger des Galvanometer
durch ein Spiegelgalvanometer und die Aufzeichnung des
Signalverlaufes erfolgte optisch auf einen lichtempfindlichen Film. Die
Handhabung inklusive der notwendigen Filmentwicklung war
allerdings aufwändig. Eine deutliche Verbesserung ergab sich durch
den Einsatz von Kathodenstrahlröhren. Erste Kathodenstrahlröhren
wurden zwar schon Ende des 19. Jahrhunderts entwickelt, der Einsatz
in Form eines Messgerätes zur Signalaufnahme mit zwei
Elektronenstrahlen geht auf eine Entwicklung aus den 1930 Jahren der
britischen Firma A.C.Cossor zurück, welche später von der Firma
Raytheon gekauft wurde. Einsatz fanden diese meist noch
unkalibrierten Geräte im Zweiten Weltkrieg als Darstellungsgerät bei
den ersten Radarbildschirmen.
Eine weitere Verbesserung des Oszilloskops, neben einer kalibrierten
Zeitbasis, wurde durch die Möglichkeit zur Triggerung bei
periodischen Signalverläufen geschaffen. Damit war die zeitlich exakte
Ausrichtung bei der Darstellung von wiederholenden Signalverläufen
möglich und es war der grundlegende Funktionsumfang eines analogen
Frühes Oszillogram auf Filmmaterial
Kameravorsatz für Aufnahmen bei analogen
Oszilloskop
Oszilloskops geschaffen. Die Entwicklung der Triggerung erfolgt noch während des Zweiten Weltkriegs in
Deutschland und fand erstmals 1946 in dem kommerziell eingesetzten Oszilloskop Modell 511 der amerikanischen
Firma Tektronix Anwendung. [4]
Zur Anzeige einmaliger, nicht periodischer Vorgänge wurden analoge Oszilloskope mit Kathodenstrahlröhren mit
extrem langer Nachleuchtzeit, einer so genannten speichernden Anzeigeröhre verwendet. Diese Geräte wurden auch
als Oszillograph bezeichnet. Die hohe Nachleuchtzeit wurde durch spezielle Beschichtungen der Leuchtschicht in
der Kathodenstrahlröhre erreicht. Die Speicherröhren besaßen eine zeitlich limitierte Speicherzeit im Bereich einiger
Sekunden bis unter einer Minute und hatten eine vergleichsweise geringe räumliche Auflösung und eine limitierte
Betriebszeit. Sie waren lange Zeit die einzige Möglichkeit, Einzelereignisse mit Zeiten unterhalb etwa 1 ms
darzustellen. Ab Zeiten von etwa 1 ms aufwärts konnten alternativ auch ereignisausgelöste fotografische Aufnahmen
des Abbildes der Kathodenstrahlröhre angefertigt werden.
Eine weitere Entwicklung war die nicht selbstleuchtende Blauschriftröhre, auch Skiatron genannt. Sie benötigt eine
externe Lichtquelle. Der Elektronenstrahl trifft hierbei auf eine von außen sichtbare Schicht aus aufgedampften
Alkalihalogeniden, meist Kaliumchlorid. Die negative Ladung des Strahles ruft eine Verfärbung der getroffenen
Stellen hervor, die je nach Typ blau bis blauviolett erscheint. Diese Spur ist sehr dauerhaft, hält einige Minuten bis
zu einigen Tagen und kann durch Erwärmen wieder gelöscht werden.
Durch die zusätzlichen Möglichkeiten der digitalen Signalverarbeitung und Speicher wurden ab den 1980er Jahren
analoge Oszilloskope zunehmend durch digitale Speicheroszilloskope (DSO) ersetzt. Voraussetzung dafür war die
Verfügbarkeit von Analog-Digital-Umsetzer mit hoher Bandbreite. Die ersten digitalen Speicheroszilloskope wurden
von Walter LeCroy, dem Gründer der New Yorker Firma LeCroy, auf den Markt gebracht, der sich zuvor am CERN
mit der Entwicklung schneller Analog-Digital-Umsetzer zur Messsignalaufnahme beschäftigt hatte. Die Firma
LeCroy zählt auch im Jahr 2009 zu einer der weltweit führenden Hersteller von Oszilloskopen.

Oszilloskop 25
Weblinks
• Oszilloskop-Simulation [5] (erfordert einen Shockwave-fähigen Browser)
• Oszilloskop-Simulation [6] (erfordert einen Java-fähigen Browser)
• Ein reales Oszilloskop über das Internet fernbedienen [7] (Zugriff über ‚Labs‘, erfordert einen Java-fähigen
Browser)
• Die Osziseite [8]
• The Cathode Ray Tube site [9] (Englisch)
• Tipps zur Auswahl eines passenden Oszilloskops [10]
• Digitales Open-Source-Oszilloskop auf FPGA-Basis (1 GS/s) [11]
Referenzen
[1] Projekt Welec W2000a bei Sourceforge (http:/ / sourceforge. net/ projects/ welecw2000a/ )
[2] Evaluating Oscilloscope Sample Rates vs. Sampling Fidelity: How to Make the Most Accurate Digital Measurements, PDF, 1,3 MB (http:/ /
cp. literature. agilent. com/ litweb/ pdf/ 5989-5732EN. pdf)
[3] Hawkins Electrical Guide, Theo. Audel und Co., 2. Auflage 1917, Band 6., Kapitel 63: Wave Form Measurement, Seite 1851, Abbildung
2598
[4] Frank Spitzer und Barry Howarth: Principles of modern Instrumentation, Rinehart and Winston, New York, 1972, ISBN 0-03-080208-3,
Seite 122
[5] http:/ / www. virtuelles-oszilloskop. de
[6] http:/ / pen. physik. uni-kl. de/ medien/ oscillo/ html/ osc_virt. html
[7] http:/ / rcl. physik. uni-kl. de
[8] http:/ / www. mario-guenther. onlinehome. de
[9] http:/ / members. chello. nl/ ~h. dijkstra19/ page3. html
[10] http:/ / www. mikrocontroller. net/ articles/ Oszilloskop
[11] http:/ / sourceforge. net/ projects/ welecw2000a/
Zangenamperemeter
Ein Zangenamperemeter, auch Strommesszangen oder Stromzangen genannt, sind Messgeräte zur indirekten
Quantifizierung von Strömen. Während bei der direkten Messung der Stromkreis aufgetrennt werden muss, um das
Amperemeter in Reihe zu schalten, ist dies bei der indirekten Messung mit dem Zangenamperemeter nicht
erforderlich, da es die magnetische Wirkung des Leiterstroms misst. Dank eines zangenartig teilbaren Eisenkerns
kann man Leiter oder Stromschienen umfassen, ohne in den Stromkreis eingreifen zu müssen. Deshalb kann auch an
Anlagen gemessen werden, die nicht abgeschaltet werden können. Ein weiterer Vorteil ist die galvanische Trennung.
Das Messsignal ist also gegenüber der zu messenden Größe vollkommen potentialfrei.
Wirkungsweise
Wechselstrommessung
Bei Wechselstrom-Zangenamperemetern wird das
Transformator-Prinzip angewendet. Dabei bildet der feste und der
bewegliche Schenkel der Zange im geschlossenen Zustand den
Trafokern, der zu messende Leiter die Primärwicklung und die Spule
im Messgerät die Sekundärwicklung. Der Strom im Leiter magnetisiert
Zangenamperemeter für Wechselstrom
den Kern und induziert dadurch in der Sekundärwicklung eine Spannung, die proportional zum Leiterstrom ist. Die
Ausgangsleistung der Sekundärspule ist so groß, dass sie direkt Messwerke betreiben kann.

Zangenamperemeter 26
Allstrommessung
Gleichstromtaugliche Zangenamperemeter können wegen der
fehlenden Wechselfelder nicht nach obigem Prinzip gebaut werden.
Hier werden Hallsensoren oder magnetfeldabhängige Widerstände, die
auch statische Magnetfelder erfassen können, in einem Luftspalt des
Kerns angebracht. Die erzeugten schwachen Signale müssen
elektronisch verstärkt werden. Deshalb müssen sie über Batterien oder
Netzgeräte mit Strom versorgt werden. Diese Messgeräte sind auch für
Wechselströme geeignet.
Es gab auch eine alte, selten verwendete Form des
Zangenamperemeters, das grundsätzlich ein für Wechsel- und
Gleichstrom geeignetes Dreheiseninstrument darstellt, dessen
magnetischer Kreis von der Zange erweitert wird. Insofern ähnelt es
der heutigen Bauform, nur wird zur Ermittlung der Feldstärke kein
Hall- oder magnetoresistiver Sensor verwendet, sondern die
Kraftwirkung des Magnetfeldes mechanisch zur Anzeige gebracht.
Diese Geräte waren nur für sehr große Ströme und geringe
Messgenauigkeit geeignet. Zur Messbereichsänderung wurden separate
Dreheisenmesswerke steckbar in den magnetischen Kreis gebracht. Für
Wirkungsweise des
Wechselstromzangenamperemeters
Wirkungsweise des Allstromzangenamperemeters
Gleich- bzw. Wechselstrom wurden oft unterschiedliche Skalen an den Messwerken angebracht. Dieses Verfahren
ist nicht mit dem unten erwähnten Verfahren der direkten Anzeige zu verwechseln, da das Messwerk hier in den
magnetischen Kreis ohne transformatorische Sekundärwicklung mechanisch eingeschoben wird, und bei der direkten
Anzeige das Dreheiseninstrument den Strom misst, der transformatorisch über eine Sekundärwicklung im
magnetischen Kreis erzeugt wird. Insofern ist dieses Verfahren noch direkter als die direkte Anzeige.
Anzeige des Messwertes
Direkte Anzeige
Die Messwerte von Stromzangen nach dem Transformatorprinzip können direkt über Dreheisenmesswerke
visualisiert werden. Es können auch Drehspulmesswerke verwendet werden, denen aber ein Gleichrichter
vorgeschaltet werden muss.
Neuere Ausführungen haben oft Digitalanzeigen, für die der Messwert mittels elektronischer Schaltungen erst
umgewandelt werden muss. Solche Geräte benötigen eine zusätzliche Stromversorgung.
Gleichstromtaugliche Stromzangen benötigen grundsätzlich Verstärker für die schwachen Signale der
Magnetfeld-Sensoren. Da also sowieso schon elektronische Baugruppen und eine zusätzliche Stromversorgung
vorhanden sind, werden sie wegen des geringen zusätzlichen Aufwands normalerweise mit Digitalanzeigen
ausgestattet.

Zangenamperemeter 27
Anzeige über Zusatzgeräte
Es gibt auch Stromzangen ohne direkte Anzeige
(Zangenstromwandler). Ihr Aufbau ist prinzipiell der gleiche wie bei
normalen Ausführungen. Statt eines Anzeigeinstruments sind hier
Buchsen vorhanden, über die der Messwert z. B. auf Oszilloskope,
Stromzange zum Anschluss an ein Oszilloskop
Messschreiber oder Multimeter übertragen wird. Jedes Gerät hat ein festgelegtes Übersetzungsverhältnis, über das
die wahre Größe des Stromes errechnet werden muss. So gibt z. B. eine Stromzange mit einem
Übersetzungsverhältnis von 100:1 bei einem Strom von 20 A einen Ausgangsstrom von 200 mA ab.
Ausführung des Kerns
Der teilbare Kern der Zangenamperemeter besteht aus geschichteten
Elektroblechen (bei höheren Frequenzen auch Ferrite) und ist meist zusätzlich
isoliert, da mit solchen Geräten ja oft an unisolierten Stromschienen gemessen
wird. Die Berührungsflächen der beiden Kernteile sind geschliffen und mit
Verzahnungen aufeinander gepasst, um magnetische Verluste möglichst gering
zu halten. Der bewegliche Teil des Kerns ist mit einem Scharnier mit dem festen
Teil verbunden und kann mittels eines Hebels geöffnet werden. Während der
Messung drückt eine Schließfeder die beiden Kernteile zusammen.
Messbereich
Der Messbereich von Zangenamperemetern ist nach unten begrenzt, da bei
kleineren Strömen die magnetische Wirkung so schwach ist, dass der Eisenkern
nicht mehr genug magnetisiert wird. Will man trotzdem kleinere Ströme mit
ihnen messen, so kann man mehrere Windungen der stromführenden Leitung
durch die Zange führen. Legt man z. B. die zu messende Leitung in 10
Windungen um den Kern, so erhält man die zehnfache Anzeige. Nach oben ist
der mögliche Messbereich nur durch die Größe der Zangenöffnung begrenzt, da
ja Ströme im kA-Bereich extrem große Leiterquerschnitte oder Stromschienen
und somit entsprechend große Zangenöffnungen erfordern.
Sonderausführung für mehradrige Leitungen
Stromzange für Gleichstrom und
Wechselstrom
Die meisten Zangenamperemeter sind nur für die Messung eines einzelnen Leiters ausgelegt. Deshalb muss bei
mehradrigen Leitungen die zu messende Ader einzeln zugänglich sein, was in bestimmten Fällen ein Abisolieren des
Kabelmantels erfordert. Deshalb bietet die Industrie auch Zangenamperemeter an, die den Stromfluss in mehradrigen
Leitungen messen können.
Solche Messgeräte sind wesentlich teurer als die herkömmlichen für Einzelleiter, da sie mit speziellen
Sensorsystemen und zusätzlich mit Mikroprozessoren ausgestattet sind, die die dazu notwendigen Berechnungen
ausführen.
siehe auch: Stromsensor

Wechselgrößen
Arithmetischer Mittelwert (Elektrotechnik)
Der arithmetische Mittelwert, auch linearer Mittelwert oder Gleichwert genannt, wird in der Elektrotechnik
vorzugsweise im Zusammenhang mit zeitlich veränderlichen Größen verwendet. Er gibt den Gleichanteil an, wenn
ein Gemisch aus Wechsel- und Gleichspannung/-strom vorliegt.
Ansatz
Wird die mathematische Definition des arithmetischen Mittelwertes angewendet auf eine fortlaufend
vorhandene Größe, so ergibt sich mit Einzelwerten, die in gleichen zeitlichen Abständen Δt während einer
Beobachtungsdauer τ = nּΔt gewonnen worden sind,
In der Praxis reicht als Beobachtungsdauer eine fallweise repräsentative endliche Dauer.
Arithmetischer Mittelwert bei periodischen Vorgängen
Am Beispiel einer elektrischen Spannung u(t) ist ihr arithmetischer Mittelwert
• die mittlere Höhe aller Spannungs-Zeit-Flächen u(t)ּΔt oder
• die Summe aller Spannungs-Zeit-Flächen während einer Beobachtungsdauer τ geteilt durch die
Beobachtungsdauer.
Bei periodischen Vorgängen mit der Periodendauer T kann man die Bobachtungsdauer auf die Periodendauer
einschränken und errechnet den Mittelwert mit der Summe
Dabei muss Δt < T/2 sein. Zu einer präzisen Erfassung wählt man Δt deutlich kleiner. Bei bekannter Funktion u(t)
ersetzt man die Summe durch das Integral
Als Wechselspannung bezeichnet man eine Spannung, deren Polarität in regelmäßiger Wiederholung wechselt, deren
zeitlicher Mittelwert aber gemäß DIN 5483-1:1983 („Zeitabhängige Größen“) und DIN 40110-1:1994
(„Wechselgrößen“) null beträgt. Die Kurvenform der Spannung ist dabei unerheblich und keineswegs an den
Sinusverlauf gebunden. Die Fläche der Spannung über der Nulllinie ist dem Betrage nach genauso groß wie die
Fläche unter der Nulllinie; die Summe aus positiver Fläche (über der Nulllinie) und negativer Fläche (unter der
Nulllinie) ist dann gleich null.
Bei einer Mischspannung erhält man den Gleichanteil aus der Höhe einer waagerechten Geraden, bei der sich
entsprechend die Flächen oberhalb und unterhalb zu null ergänzen.
Als weitere Formelzeichen außer werden benutzt:
= = U_ = U av = U DC ; av steht für average, DC für direct current.
28

Arithmetischer Mittelwert (Elektrotechnik) 29
Messung des arithmetischen Mittelwertes
Analoges Messverfahren
Bei diesem Messverfahren wird die Drehspule des Drehspulmesswerkes durch eine Kraft, welche proportional zum
Strom i (t) ist, ausgelenkt. Eine Wechselspannung erzeugt abwechselnd einen positiven und negativen Strom und
eine entsprechende Kraft. Da das mechanische Messwerk dem Rhythmus technischer Wechselspannungen nicht
folgen kann, wird nur die mittlere Kraft erfasst und somit der Gleichspannungsanteil U_ der Mischspannung
angezeigt.
Digitales Messverfahren
Digitalmultimeter benutzen häufig einen Analog-Digital-Umsetzer nach dem Dual-Slope-Verfahren.
Bei der Messung im DC-Messbereich wird ein Kondensator eine feste Zeit lang aufgeladen, er integriert Strom. Eine
Gleichspannung lädt den Kondensator linear über der Zeit auf. Bei Wechselspannung wird den Kondensator
aufgeladen und in demselben Maße wieder entladen; nach einer ganzen Zahl von Perioden, z. B. 300 ms bei 50 Hz
oder 60 Hz, ist der Kondensator durch den Wechselspannungsanteil genau so viel oder wenig geladen wie durch die
Gleichspannung alleine. Die Höhe der Kondensatorladung ist bestimmend für die Anzeige. Somit wird im Bereich
DC nur der Gleichspannungsanteil der Mischspannung gemessen.
Gleichrichtwert
Der arithmetische Mittelwert einer Wechselgröße ist null und eignet sich daher nicht, eine Wechselgröße zu
charakterisieren. Die messtechnisch einfachste Möglichkeit zur Gewinnung einer quantitativen Aussage über eine
Wechselgröße ist deren Gleichrichtwert (engl. average rectified value (ARV)). Dieser in der Elektrotechnik
verwendete Begriff steht für den Mittelwert des Betrages dieser Größe. Vorzugsweise wird der Gleichrichtwert bei
Wechselstrom oder Wechselspannung angewendet.
Einführung
Der Gleichrichtwert eines Wechselstromes gibt an, welcher Gleichstrom dieselbe Ladungsmenge transportiert wie
im zeitlichen Mittel ein gleichgerichteter Wechselstrom.
Die Definition lautet in der Sprache der Mathematik:
Lässt sich der Verlauf des Signals nicht ohne weiteres mathematisch beschreiben, kann man zur Berechnung des
Gleichrichtwertes folgendes Näherungsverfahren anwenden
wobei Abtast- bzw. Momentanwerte sind, die in einem immer gleichen Abstand Δt während einer Periode T von
dem Signal abgelesen werden. Dabei ist
mit
Die Reihenfolge – erst Betrag, dann Mittelwert bilden – darf nicht vertauscht werden. Deshalb muss sie an der
Schreibweise (siehe oben) erkennbar sein. Zu vermeiden sind die Schreibweisen (falsche Reihenfolge) und | |
(unklare Reihenfolge).

Gleichrichtwert 30
Für den besonders häufig vorkommenden Fall einer sinusförmigen Wechselgröße ist der Gleichrichtwert das
(2/π)-fache des maximalen Wertes (Scheitelwert).
Anwendung in der Messtechnik
Anzeigende Messgeräte müssen so langsam arbeiten, dass man die Messwerte ablesen kann. Bei schnellen
Änderungen, die das menschliche Auge nicht erfassen kann, zeigen sie eine gemittelte Größe an, z. B.
elektromechanisch gemittelt mit Drehspulmesswerk, elektronisch gemittelt mit Dual-Slope-Verfahren, siehe auch
Digitale Messtechnik. Der Mittelwert einer Wechselgröße ist aber gleich null (gemäß Definition einer Wechselgröße,
siehe DIN 40110-1). Die einfachste Möglichkeit zur Messung der Wechselgröße besteht in der Messung ihres
Gleichrichtwertes. Eine aufwändigere Möglichkeit besteht in der Messung ihres Effektivwertes. Physikalisch
gesehen ist dieser das Gleichstromäquivalent in Blick auf die Wirkleistung der Wechselgröße. In der Technik ist der
Effektivwert wesentlich bedeutsamer; Wechselgrößen-Messgeräte sind darauf ausgelegt, dass dieser Wert angezeigt
wird.
Dennoch sind den Gleichrichtwert bildende Messgeräte weit verbreitet. Sie zeigen aber nicht den Gleichrichtwert an,
sondern das 1,11-fache davon. Das ist bei Sinus-Verlauf der Effektivwert, siehe unten bei „Vergleich“. Damit zeigen
die Geräte den Effektivwert an – aufgrund der Erfassung des Gleichrichtwertes. Sinnvoll und korrekt ist das einzig
für den sinusförmigen Verlauf, der allerdings in vielen Wechselgrößen-Messaufgaben vorkommt. Für jeden anderen
Signalverlauf ist die Anwendung der Geräte aber fragwürdig bis sinnlos, siehe unten bei „Konsequenz“.
Ebenfalls fragwürdig bis sinnlos ist die Messung eines Wechselsignals, dem ein Gleichsignal überlagert ist, siehe
unten bei „Mischspannung“. Deshalb wird von einem Teil der Messgeräte der Wechselanteil alleine erfasst.
Herleitung
Gesucht wird ein Gleichsignal , welches genauso groß ist wie der Mittelwert eines gleichgerichteten Signals.
Der Mittelwert wird in einem Signal-Zeit-Diagramm bestimmt aus der Fläche, die sich in der Höhe zwischen der
Signallinie und der Nulllinie erstreckt und in der Breite über die Dauer einer vollen Periode. Ein Rechteck mit
demselben Flächeninhalt und derselben Breite hat die mittlere Höhe der Fläche; diese Höhe ist der Mittelwert. Den
Flächeninhalt bestimmt man durch Integration, beim Rechteck durch Multiplikation.
Angewendet auf den Gleichrichtwert bedeutet das
Daraus ergibt sich die Formel

Gleichrichtwert 31
Ergebnis für Sinusgröße
Eine sinusförmige Wechselgröße, kurz
Sinusgröße, genügt der Gleichung
Sinusgröße mit Mittelwert
Gleichgerichtete Sinusgröße mit zugehörigem Mittelwert
Da die Fläche über eine ganze Periode der Funktion zu bilden ist, ist diese unabhängig vom Anfangszeitpunkt der
Fläche. Ein Nullphasenwinkel braucht nicht beachtet zu werden; er wird zur Vereinfachung zu 0 angesetzt.
Wie das Bild zeigt, ist das gleichgerichtete Signal bereits nach /2 periodisch, so dass die Rechnung mit /2 statt
durchgeführt werden kann.
In 0 ≤ t ≤ T/2 ist ≥ 0, so dass das Betragszeichen entfallen kann.
Mit wird
,

Gleichrichtwert 32
Ergebnis für angeschnittene Sinusspannung
Die häufig durch Phasenanschnitt
entstehende, im nebenstehenden Bild links
gezeigte Spannung ist im Wesentlichen eine
Sinusspannung, aber nach jedem
Nulldurchgang bleibt sie auf null, und erst
eine Zeit aT danach wird wieder der
Sinusverlauf eingeschaltet. Für diese
Spannung ergibt sich
mit 0 ≤ a < ½.
Ergebnis für gepulste Spannung
Die im nebenstehenden Bild oben
gezeigte Spannung u ist eine
Mischspannung; sie entsteht aus einer
periodisch für die Dauer aT ein- und für
den Rest der Periodendauer
ausgeschalteten positiven
Gleichspannung U. Da es hier keine
negativen Momentanwerte gibt, sind
Mittelwert und Gleichrichtwert gleich
groß;
Angeschnittene Sinusspannung; original und gleichgerichtet
Periodisch ein- und ausgeschaltete Spannung mit Mittelwert
Deren Wechselanteil und gleichgerichteter Wechselanteil mit Mittelwerten
mit 0 ≤ a ≤ 1. Die Grenzfälle a = 0 und a = 1 liefern die nie eingeschaltete und die immer eingeschaltete Spannung.
ist der Gleichanteil der Mischspannung, der von einem Wechselanteil überlagert wird.

Gleichrichtwert 33
Ergebnis für deren Wechselanteil
Den Wechselanteil der gepulsten Spannung zeigt das Bild unten links. Hier ist wieder der Mittelwert
= 0.
Durch Gleichrichtung erhält man den daneben gezeigten Verlauf; den Gleichrichtwert erhält man aus dessen
Mittelwert. Die Fläche während der Dauer einer Periode besteht aus zwei Rechtecken, die jeweils die Größe
haben. Damit wird
Ergebnis für Mischspannung
Bei einer Mischspannung sind zwei Fälle zu
unterscheiden.
Überlagerung von Gleich- und Wechselspannung
1. In nebenstehenden Bild ist links der Gleichanteil (dem Betrage nach) größer als der Scheitelwert des
Wechselanteils . Die Kurve schneidet nicht die Nulllinie. In diesem Fall ist der Gleichrichtwert gleich dem
Betrag des Gleichanteils. Eine Information über dem Wechselanteil ist nicht enthalten.
2. Im Bild ist rechts der Gleichanteil (dem Betrage nach) kleiner als der Scheitelwert des Wechselanteils .
Die Kurve schneidet die Nulllinie. In diesem Fall ist die Bestimmung eines Gleichrichtwertes nicht sinnvoll; er
enthält weder eine Aussage zum Gleichanteil noch zum Wechselanteil noch zu deren Verhältnis.
Vergleich Effektivwert mit Gleichrichtwert
Das Verhältnis von Effektivwert zu Gleichrichtwert bezeichnet man als Formfaktor
Mit diesem lässt sich die Kurvenform einer Wechsel- oder Mischgröße beurteilen. Er ist ≥ 1 und umso größer, je
„bizarrer“ der Verlauf ist.
Für Sinusgröße

Gleichrichtwert 34
Gleichrichtwert:
Effektivwert:
Formfaktor:
Für angeschnittene Sinusspannung
Gleichrichtwert:
Effektivwert:
Für gepulste Spannung
Formfaktor: Auf die Angabe der Gleichung wird verzichtet, da sich nichts kürzen lässt.
Bei a = 1/4 (Einschalten im Scheitel) ist
Der Grenzfall a = 0 liefert u = 0 und wird von dem Vergleich ausgeschlossen.
Gleichrichtwert:
Effektivwert:
Formfaktor:
Für Wechselanteil der gepulsten Spannung
Die Grenzfälle a = 0 und a = 1 enthalten keinen Wechselanteil und werden ausgeschlossen.
Gleichrichtwert:
Effektivwert:
Formfaktor:
Für den Fall des symmetrischen Pulses mit a = ½ ist = 1, für jeden anderen Fall > 1. Wenn z. B. die Spannung nur für 1 % der
Zeit eingeschaltet ist, wird = 5,0.
Messtechnische Konsequenz
Durch ein den Gleichrichtwert bildendes Messgerät kann eine beträchtliche Messabweichung entstehen, da es so
skaliert und justiert wird, dass der angezeigte Wert ein Effektivwert sein soll.

Gleichrichtwert 35
Angezeigter Wert:
Richtiger Wert:
Relativer Fehler:
Für = 1,00 = + 11 % ; Anzeige deutlich zu groß
Für = 1,11 = ± 0 ; Anzeige frei vom Kurvenform-Fehler
Für = 1,57 = - 29 % ; Anzeige erheblich zu klein
Für = 5,0 = - 78 % ; Anzeige katastrophal zu klein;
nur 22 % des Effektivwertes werden angezeigt.
Bei der Verwendung dieser eher preiswerten Geräte ist also Vorsicht geboten. Der relative Fehler durch die
Kurvenform kann den Bereich „wenige Prozent“ leicht überschreiten. Die Sinusform ist noch am ehesten bei der
Spannung im Energieversorgungsnetz vorzufinden; dort ist das Einsatzgebiet dieser Geräte. Aber selbst die
Netzspannung wird durch die Vielzahl von elektronischen, nicht linearen Lasten immer stärker verzerrt.
Effektivwert
Unter dem Effektivwert (englisch: root mean square, Abkürzung: RMS) versteht man in der Elektrotechnik den
quadratischen Mittelwert eines zeitlich veränderlichen Signals. Zu einer Wechselgröße (Wechselstrom,
Wechselspannung) gibt der Effektivwert denjenigen Wert einer Gleichgröße (Gleichstrom, Gleichspannung) an, die
an einem ohmschen Verbraucher in einer vorgegebenen Zeit dieselbe Energie, also auch dieselbe Leistung, umsetzt.
Der Effektivwert hängt sowohl vom Scheitelwert (Amplitude) als auch von der Kurvenform ab.
Allgemeines
Der häufigste Fall ist die Angabe des Effektivwertes einer
Wechselspannung (Effektivspannung), die man aus dem Stromnetz
bzw. der Steckdose beziehen kann. Diese sinusförmige Spannung mit
einer Frequenz von 50 Hz (in den USA und anderen Ländern auch
60 Hz) mit einem Maximum (Scheitelwert) von etwa 325 V erbringt an
einem ohmschen Widerstand (z. B. einem Toaster) im zeitlichen Mittel
dieselbe (thermische) Leistung wie eine Gleichspannung von 230 V.
Die momentane Spitzenleistung zum Zeitpunkt des Scheitelwertes
beträgt jedoch das Doppelte.
Der aufgenommene Strom von Geräten ist oft abweichend von der
Spannung nicht gleich- oder sinusförmig, verursacht durch nichtlineare
Bauelemente wie Gleichrichterdioden oder Schalttransistoren. Die
Eine sinusförmige Wechselspannung.
1 = Scheitelwert,
2 = Spitze-Spitze-Wert,
3 = Effektivwert,
4 = Periodendauer
Stromwärme in Verlustwiderständen ergibt sich jedoch aus seinem Effektivwert, daher muss die Dimensionierung
von Leiterquerschnitten den Effektivstrom berücksichtigen.
Mit Hilfe der Effektivwerte von Strom und Spannung lassen sich bei periodischen Spannungsverläufen an ohmschen
Verbrauchern die Formeln der Gleichstromtechnik für die Wechselstromtechnik verwenden, wenn die
Umrechnungsfaktoren der Kurvenformen bekannt sind.

Effektivwert 36
Definition 1
Ist s ein reellwertiges Signal, das von der Zeit t abhängt, und T die
Periodendauer des Signals, so heißt
der Effektivwert von s.
Für komplexwertige Signale s berechnet sich der Effektivwert zu
wobei das zu konjugiert komplexe Signal ist.
Ein Beispiel für Effektivwerte
Lässt sich der Verlauf des Signals nicht ohne weiteres beschreiben, kann man zur Berechnung des Effektivwertes
folgendes Näherungsverfahren anwenden.
wobei Abtast- bzw. Momentanwerte sind, die in einem Abstand während einer Periode von dem Signal
abgelesen werden.
Wenn konstant ist, vereinfacht man zu.
Es gilt:
= (Wurzel aus dem Mittelwert der Quadrate)

Effektivwert 37
Definition 2
Der Effektivwert eines Wechselstroms oder einer Wechselspannung entspricht dem Gleichstrom- oder
-spannungswert, der in einem ohmschen Widerstand die gleiche Leistung (Wärme) erzeugt wie der über volle
Perioden gemittelte Wechselstrom bzw. Wechselspannung.
Spezielle Signalformen
Signal Formel Effektivwert
Gleichsignal
Sinussignal
steht dabei für den Maximalwert (vgl. Abbildung oben)
Für Dreieck- und Rechtecksignale siehe Tabelle bei Scheitelfaktor.
Mit einer Pulsweitenmodulation kann der Effektivwert einer Spannung ohne Verlustleistung abgesenkt werden. Es
wird während einer festen Periodendauer T Periode die Spannung nur für einen Teil der Periode T ein eingeschaltet. Der
Effektivwert ergibt sich dabei zu:
Beispiele für Effektivwertberechnung
Batterie/Akku
Eine Batterie oder ein Akkumulator liefert eine nahezu konstante elektrische Spannung. Bestimmte Verbraucher
entnehmen jedoch oft impulsförmige Ströme. Dadurch kann die Wärmeentwicklung in der Batterie aufgrund ihres
Innenwiderstandes sehr viel höher sein, als dieses bei einem Gleichstrom des gleichen arithmetischen Mittelwertes
der Fall wäre, da für die Wärmeentwicklung der Effektivwert (quadratischer Mittelwert) des Stromes maßgeblich ist.
Sinusförmige Ströme und Spannungen
Der Wechselstrom der Versorgungsnetze besteht bei einem linearen Verbraucher aus einem sich sinusförmig
ändernden Strom mit wechselnder Polarität, dessen Größe 50-mal in der Sekunde von Null bis zu einem
Maximalwert steigt, dann über Null auf Minimum absinkt und wieder auf Null ansteigt. Der Ablauf folgt periodisch
den Sinuswerten der Winkel von 0 bis 360° und hat daher die Bezeichnung „Sinusform“.
Um die Größenordnung dieser Ströme und Spannungen unabhängig von Momentanwerten, Spitzen- und
Minimalwerten zu kennzeichnen, wird der Effektivwert angegeben. Beim sinusförmigen Industrie- und
Haushalts-Wechselstrom beträgt der Effektivwert
(Mathematische Herleitung siehe unten)
Das Verhältnis zwischen Scheitelwert (Maximalwert 325,2 V) und Effektivwert wird als Scheitelfaktor bezeichnet.
Er ist abhängig von der Kurvenform des Signales. Für harmonische (sinusförmige) Signale beträgt er 1,414.
Wird bei der Angabe von Wechselspannung keine zusätzliche Angabe gemacht, so ist immer der Effektivwert
gemeint. Im technischen Bereich wird für den Effektivwert auch der englische Begriff RMS (root mean square)
verwendet.

Effektivwert 38
Herleitung: Effektivwert eines Sinussignals
Als Effektivwert eines elektrischen Stromes von wechselnder Größe wird derjenige Wert angegeben, der im
zeitlichen Mittel in einem (rein ohmschen) Wirkwiderstand dieselbe thermische Energie erzeugt wie ein
gleich großer Gleichstrom in derselben genügend großen Zeit , also
Mit dem Augenblickswert der Leistung ist
Bei konstantem Strom und folglich konstanter Leistung ist
sonst ist
Bei periodisch veränderlichem Strom reicht es, zur Erfassung des Mittelwertes über nur eine
Periodendauer T zu integrieren
Die Leistung an einem von Strom durchflossenen ohmschen Widerstand ergibt sich zu:
in die Formel eingesetzt ergibt dies:
Damit folgen die bekannten Formeln:
und es erklärt sich der Effektivwert als Wurzel des Mittelwerts der Quadrate...
Im Stromversorgungsnetz
Der in der Leistungsübertragung, und damit in den öffentlichen Versorgungsnetzen, wichtigste Wechselstrom bzw.
-spannung ist sinusförmig, mit einer Frequenz von 60 Hertz (USA), 50 Hertz (Europa) und 16⅔ Hertz (Bahn).
Es sollen sich jetzt Strom I(t) und Spannung U(t) sinusförmig ändern. Damit gelten:
Strom und Spannung nehmen innerhalb einer Periode einen Minimal- und einen Maximalwert an, und gehen
zweimal durch Null.
Die umgesetzte augenblickliche Leistung berechnet sich analog zu oben zu:
Die augenblickliche Leistung ist bei Verbrauchern immer positiv, sie nimmt während einer Periode von Strom oder
Spannung zweimal Minimal- und Maximalwert an.
Die während eines Zeitraums t an dem Widerstand umgesetzte Energie ist das Integral über die gesamte
zeitabhängige Leistung. Wir wählen den Beginn der Integration willkürlich zu Null

Effektivwert 39
Jetzt setzen wir die während des Zeitraums t von Gleich- und Wechselstrom umgesetzte Energiemenge in das
Verhältnis
Mit folgt:
Berücksichtigen wir nur volle Perioden, dass also gilt und , so folgt:
Ein(e) sinusförmiger Wechselstrom (Wechselspannung) gleicher Amplitude setzt an einem ohmschen Widerstand
pro Periode die Hälfte der Energie um wie ein(e) Gleichstrom (Gleichspannung) gleicher Amplitude in der gleichen
Zeit. Daraus können wir jetzt den Effektivwert bestimmen.
nach Kürzen ergibt sich:
damit folgt:
Vergleich Effektivwert mit Gleichrichtwert
Der Effektivwert eines Wechselstromes gibt an, welcher Gleichstrom dieselbe Wärmeleistung am Widerstand
erbringt wie der Wechselstrom. Der Gleichrichtwert eines Wechselstromes gibt hingegen an, welcher Gleichstrom
über die Dauer einer Periode T dieselbe Ladungsmenge transportiert wie ein gleichgerichteter Wechselstrom.
Das Verhältnis zwischen Effektivwert und Gleichrichtwert bezeichnet man als Formfaktor.
Mit dem Formfaktor lässt sich die Kurvenform einer Wechselgröße beurteilen; je größer es ist, desto "bizarrer" ist
die Form. Ein Vergleich der beiden Größen in Blick auf die Leistung ist nicht möglich, da man die beiden
Rechenschritte Quadrieren und Mitteln nicht in der Reihenfolge vertauschen darf.
Für sinusförmige Wechselgrößen gilt:
Effektivwert:
Gleichrichtwert:

Effektivwert 40
Formfaktor:
Messtechnische Erfassung
Falscher und echter Effektivwert
Spannungsmessgeräte für Wechselspannungen wurden ursprünglich für die Anzeige des Effektivwertes
sinusförmiger Spannungen ausgelegt, indem sie den Gleichrichtwert (Mittelwert des Betrages) der Spannung messen
und den Formfaktor für Sinus-Spannungen durch entsprechende Justierung der Spannungsteiler einbeziehen; daher
ist die Anzeige des Effektivwertes durch solche Messgeräte nur für harmonische (sinusförmige) Spannungen richtig.
Da in der Elektrotechnik bzw. Elektronik die Spannungsverläufe häufig stark vom Sinusverlauf abweichen, können
hiermit erheblich falsche Messwerte entstehen.
Messgeräte, die den Effektivwert tatsächlich gemäß seiner Definition bestimmen, werden zur Verdeutlichung
Echteffektivwert-Messgeräte (engl. true RMS meter) genannt und mit der Bezeichnung True RMS bzw. TRMS
ausgewiesen (RMS = root mean square = Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrats). Dabei sind sie nur für einen
begrenzten Frequenzbereich geeignet.
Elektromechanische Dreheisenmessgeräte arbeiten „TRMS“-bildend und zeigen daher unabhängig vom zeitlichen
Verlauf den Effektivwert an. Auch sie sind nur für einen begrenzten Frequenzbereich geeignet.
Eine andere Lösung ist es, mit dem Messstrom einen Widerstand zu erwärmen und dessen Temperatur zu messen.
Durch Vergleich mit einem Gleichstrom kann diese Messanordnung auf den Effektivwert kalibriert werden. Mit
dieser Messmethode können auch noch sehr hochfrequente Frequenzanteile richtig erfasst werden.
Effektivwertbildung mit elektrischem Ausgangssignal
Es gibt mehrere elektronische Schaltungen zur Effektivwertbildung. Eine davon hat sich besonders bewährt und wird
von mehreren Herstellern als integrierte Schaltung angeboten. Das Eingangssignal oder darf Gleich- und
Wechselanteile enthalten. Der Ausgangsstrom ist proportional zum Effektivwert des Eingangssignals, wobei sich
die dazu notwendige Mittelwertbildung aus dem durch und gebildeten Tiefpass ergibt. Die Schaltung
arbeitet folgendermaßen (siehe Bild):
Schaltung zur Effektivwertbildung
In der Eingangsstufe wird ein Strom erzeugt mit . Der kombinierte Quadrierer und Dividierer
erzeugt ein . Dieses Zwischenergebnis wird geglättet und steuert als mittels Stromspiegelung zwei
Stromquellen. Die eine führt das Signal auf den Dividiereingang zurück; die andere liefert das
Ausgangssignal . Damit ergibt sich folgende Rechnung:

Effektivwert 41
Weblinks
• Eberhard Sengpiel: Tontechnik-Rechner [1] . sengpielaudio, Abgerufen am 25. Juni 2009 (Umrechnung von
Effektivspannung, Scheitelspannung und Spannung Spitze-Spitze).
• Othmar Marti: Was bedeutet True-RMS? [2] . In: Fragen und Antworten zur Physik . Experimentelle Physik,
Universität Ulm 8. Aug. 2003, Abgerufen am 25. Juni 2009.
Referenzen
[1] http:/ / www. sengpielaudio. com/ Rechner-db-volt. htm
[2] http:/ / wwwex. physik. uni-ulm. de/ lehre/ waswenn/ default. htm

Elektrische Leistung
Leistung
Physikalische Größe
Name Elektrische Leistung
Größenart Leistung
Formelzeichen der Größe P
Größen-
und
Einheiten-
system
SI Watt
CGS
Anmerkungen
P … engl.: power
Siehe auch: besondere Einheiten
Einheit Dimension
M·L 2 ·T -3
nur für Blindleistung: Var, Scheinleistung:
Voltampere
Elektrische Leistung ist die Leistung (engl.: power), welche als elektrische Energie pro Zeit bezogen oder geliefert
wird.
Angaben über den Bedarf von elektrischer Wirkleistung auf elektrischen Maschinen und Gebrauchsgegenständen
wie beispielsweise Heizgeräten, Motoren oder auch Lampen erfolgen in Watt (Einheitenzeichen W).
Dabei ist wesentlich, welche Art von Leistung auf dem Typenschild angegeben ist. So wird bei Motoren die
lieferbare mechanische Leistung angegeben, bei Lampen, Staubsaugern oder Lautsprechern dagegen die
aufgenommene elektrische Leistung. Bei Generatoren, wie auch Fahrraddynamos oder Autolichtmaschinen, wird die
abgegebene elektrische Leistung angegeben.
Die elektrische Leistung P, die in einem Bauelement umgesetzt wird, ist bei Gleichstrom das Produkt der
elektrischen Spannung U und der Stromstärke I:
Verhält sich der Verbraucher als ohmscher Widerstand, kann man die Leistung auch anders ausdrücken:
Bei Wechselstrom sind die Größen Spannung und Strom von der Zeit abhängig, u(t) und i(t).
Hier sind folgende Leistungsbegriffe zu unterscheiden:
42

Elektrische Leistung 43
• Augenblickswert der Leistung oder auch Momentanleistung
• Wirkleistung P, die tatsächlich umgesetzte Energie pro Zeit.
• Scheinleistung S, auch als Anschlusswert oder Anschlussleistung bezeichnet. Sie wird in Voltampere
(Einheitenzeichen VA) angegeben.
• Blindleistung Q, eine zwischen Quelle und Verbraucher pendelnde, im Regelfall unerwünschte und nicht nutzbare
Energie pro Zeit. Sie wird in Var (Einheitenzeichen var) angegeben.
Die Größen S, P und Q sind durch Mittelwertbildung gewonnene Größen.
Dabei ist T bei periodischen Vorgängen die Periodendauer oder bei statistischen Vorgängen eine hinreichend lange
Zeit (mathematisch streng: lim T → ∞).
Die Scheinleistung wird aus den Effektivwerten der Spannung U und des Stromes I gebildet, diese sind die
quadratischen Mittelwerte von Spannung und Strom,
und die Gesamt-Blindleistung aus
Einzelheiten zu Leistungsmessern und zugehörigen Messschaltungen sind in Wirkleistung und Blindleistung
erläutert. Messgeräte für Scheinleistung sind nicht üblich.
Einen Effektivwert der Leistung gibt es gemäß der Definition oben nicht. Die „RMS-Leistung“ ist eine
formale Größe in der Audiotechnik, hat jedoch mit der physikalischen Größe "Leistung" nichts zu tun.
Schwer interpretierbar sind die Leistungsangaben von Audioverstärkern oder Lautsprechern. Bei Audioverstärkern
wird oft die Sinusleistung, Musikleistung, RMS-Leistung, Nennleistung oder die Spitzenleistung (PMPO)
angegeben. Die Werte unterscheiden sich erheblich, haben oft wenig praktische Relevanz und vernebeln die
Vergleichbarkeit.
Bei Hochton- oder Tiefton-Lautsprechern bezieht sich die Leistungsangabe oft auf die Musikleistung des gesamten
Frequenzbereiches – sie ertragen diese elektrische Leistung nie im Dauerbetrieb.
Siehe auch
• Dauerleistung
• Verlustleistung

Wirkleistung 44
Wirkleistung
Die Wirkleistung P ist die elektrische Leistung, die für die Umwandlung in andere Leistungen (z. B. mechanische,
thermische oder chemische) verfügbar ist. Sie ist abzugrenzen von der Blindleistung, die für diese Umwandlung
nicht verwendbar ist.
Die Wirkleistung P wird in der Einheit Watt angegeben. Bei gleichbleibender Spannung und gleichbleibendem
Strom ist die Wirkleistung das Produkt von Spannung U und Strom I:
Bei veränderlichen Werten ist die Wirkleistung der arithmetische Mittelwert der Augenblicksleistung p.
Für periodische Spannungen und Ströme ist über eine Periode mit der Periodendauer T zu mitteln:
Festlegungen bei sinusförmiger Wechselspannung
Einen wichtigen Anwendungsfall bildet das elektrische Energieversorgungsnetz oder Drehstromnetz. Nur dieser
wird hier behandelt. Die Spannung hat einen sinusförmigen zeitlichen Verlauf; Spannung und Strom sind
Wechselgrößen mit derselben Grundfrequenz. Für diesen Fall gibt es Festlegungen in DIN 40108 und DIN 40110,
die für diesen Artikel zu beachten sind.
Wirkleistung bei sinusförmigem Strom
Darstellung mit Zeitfunktionen
Zeitlicher Verlauf von Spannung, Strom und
Leistung
Der sinusförmige Verlauf des Stromes tritt nur dann auf, wenn sich ausschließlich lineare Verbraucher im Netz
befinden. Bei ohmschen Verbrauchern verlaufen Spannung und Strom gleichphasig. Beim Auftreten kapazitiver oder
induktiver Verbraucher tritt zusätzlich eine Phasenverschiebung zwischen dem Verlauf von Strom und Spannung
auf. Mit den Effektivwerten von Spannung U und Strom I, den Amplituden und , dem
Phasenverschiebungswinkel φ sowie der Kreisfrequenz ω = 2π f wird
Durch Anwenden der trigonometrischen Beziehung

Wirkleistung 45
folgt
und mit der Verwendung der Effektivwerte
Der Ausdruck enthält
1. einen zeitunabhängigen Summanden, die Wirkleistung , und
2. einen zeitlich mit doppelter Frequenz und der Amplitude schwingenden Summanden, dessen
Mittelwert gleich null ist. Die Größe S nennt man die Scheinleistung.
Komplexe Darstellung
In der Elektrotechnik ist es üblich, die Wechselstromrechnung (also
das Rechnen mit sinusförmigen Wechselgrößen) mit Hilfe von Zeigern
in der komplexen Ebene durchzuführen, da dieses wesentlich einfacher
ist als die Rechnung mit trigonometrischen Funktionen. Zum
Anschluss der Leistungsgrößen an die komplexe
Wechselstromrechnung wird die komplexe Scheinleistung S definiert,
die Wirk- und Blindleistung in einer komplexen Größe zusammenfasst.
Sie berechnet sich aus dem Produkt des komplexen Effektivwertes der
Spannung mit dem konjugiert komplexen Effektivwert der
Stromstärke.
Leistungszeigerdiagramm
Die Scheinleistung S, also der Betrag der komplexen Scheinleistung S, ist die geometrische Summe aus Wirk- und
Blindleistung. Die Wirkleistung P ist der Realteil, die Blindleistung Q der Imaginärteil der komplexen
Scheinleistung.
Vorzeichenfragen
Die Konventionen über Zählrichtungen der Spannungen und Ströme durch Erzeuger- und Verbraucher-Bepfeilung
bringen es mit sich, dass bei Energiefluss vom Erzeuger zum Verbraucher die Wirkleistung positiv ist. Das Bild des
zeitlichen Verlaufs zeigt auch negative Werte von p; dann wird Energie zurückgespeist. Die Wirkleistung wird
dadurch kleiner als die Scheinleistung; sie bleibt aber positiv.
Bei Netzen mit mehreren Quellen und Lasten kann sich zwischen Netzabschnitten die Richtung des Energieflusses
nicht nur für Bruchteile einer Periodendauer umkehren. In Blick auf die Leistung beschreibt man dieses durch
Vorzeichenumkehr der Wirkleistung, so dass auch Werte P < 0 Sinn haben können.

Wirkleistung 46
Wirkleistung bei nichtsinusförmigem Strom
Wenn die Spannung sinusförmig ist, der Strom aber nicht, bleibt die Gleichung unter der
Einschränkung gültig, dass I und φ Parameter der Grundschwingung des Stromes sind. Oberschwingungen gehen in
P nicht ein.
Messungen im Energieversorgungsnetz
Messgeräte
Ein Leistungsmesser hat einen Strompfad und einen Spannungspfad. Er multipliziert Augenblickswerte von
Spannung und Stromstärke, mittelt über die Augenblickswerte des Produktes und ist somit gemäß der Definition der
Wirkleistung ein Wirkleistungsmesser. Das dazu geeignete elektromechanische Messwerk ist durch elektronische
Messumformer abgelöst worden.
Zu jedem Messgerät gehört ein Messbereich, der nicht
überschritten werden darf, weil sonst keine Fehlergrenze
garantiert wird. Darüber hinaus gehören zum
Leistungsmesser Nennwerte von Spannung und Strom, die
nur in geringem Maße gemäß Herstellerangaben
überschritten werden dürfen, weil sonst das Gerät beschädigt
wird. Diese Art von Überlastung kann durchaus auftreten,
ohne den Messbereich zu überschreiten!
Wirkleistungsmessung im Einphasennetz
Anschlusskennzeichnung
oben: Einphasen-Messgeräte
unten: Dreiphasen-Wirkleistungsmesser
Zur vorzeichen-richtigen Messung ist auf korrekten Anschluss zu achten, der durch korrekte Schaltpläne vorzugeben
ist. Für den Regelfall wird innerhalb dieses Artikels, in Übereinstimmung mit DIN 43807, konsequent
eingehalten:
Positiver Messwert,
• wenn positiver Energiefluss im Strompfad von links nach rechts

Wirkleistung 47
• und positiver Energiefluss im Spannungspfad von unten nach oben.
Falls P negativ ist, aber kein negativer Messwert ausgegeben werden kann, kann man sich durch bewusste
Vertauschung der Richtung im Spannungspfad (oder Strompfad) helfen. An Laborgeräten sind die Klemmen
eingangsseitig häufig mit einem Stern versehen; Geräte zur dauerhaften Installation tragen eine
Klemmen-Nummerierung gemäß DIN 43807; Beispiele siehe Bild.
Jeder Leistungsmesser hat einen Eigenverbrauch
• im Strompfad durch einen Spannungsabfall (wie beim Strommessgerät),
• im Spannungspfad durch eine Stromaufnahme (wie beim Spannungsmessgerät).
Damit ist beim realen Messgerät zwischen Erzeuger- und Verbraucher-Wirkleistung zu unterscheiden.
Einphasennetz
Es gibt zwei Möglichkeiten, den Leistungsmesser anzuschließen, siehe zugehöriges Bild. Keine der Schaltungen
erfasst aber die Erzeuger- oder Verbraucher-Wirkleistung, sondern gemessen wird
• in der oberen Schaltung Erzeuger-Spannung mal Verbraucher-Strom,
• in der unteren Schaltung Verbraucher-Spannung mal Erzeuger-Strom.
In der bevorzugt verwendeten oberen Schaltung werden die Kosten des Energie-Verbrauchs des Messgerätes
getragen
• soweit vom Spannungspfad herrührend durch den Erzeuger,
• soweit vom Strompfad herrührend durch den Verbraucher.
Drehstromnetz
Vierleiter-Stromkreis mit
Neutralleiter
Der umfassendste Fall ist der
Vierleiter-Stromkreis mit Neutralleiter
und drei Außenleitern, wie er im
Niederspannungsnetz mit =
230 V bzw. = 400 V verbreitet ist,
in Verbindung mit beliebiger
Belastung. Beliebig soll hier heißen: In
den drei Außenleitern können Ströme
mit unterschiedlichen Amplituden und
Wirkleistungsmessung im Drehstromnetz
unterschiedlichen Phasenverschiebungen zur jeweiligen Bezugsspannung fließen. Dann ist
Dieses ist messbar mit drei Leistungsmessern bzw. einem Kombinations-Gerät.

Wirkleistung 48
Spannungszeiger im Drehstromnetz
Dreileiter-Stromkreis
Durch den fehlenden Neutralleiter im
Dreileiter-Stromkreis ist
Mit
und
wird
.
Wirkleistungsmessung in Aronschaltung
wobei der letzte Summand und damit verschwindet. Im Dreileiter-Stromkreis mit beliebiger Belastung reichen
also zwei Leistungsmesser, wenn man sie in Aronschaltung gemäß der letzten Gleichung betreibt.
mit
und ,
wobei = Winkel zwischen und
und = Winkel zwischen und

Wirkleistung 49
Spannungen, Ströme und Winkel zur
Hinweise hierzu:
Aronschaltung
1. Formal kann ein Leiter, hier L2, als Rückleiter aufgefasst werden.
2. und haben keine anschauliche Bedeutung, nicht einmal im Vorzeichen. Z. B. ist bei reiner Blindlast
, aber .
3. Weil , ist aufzupassen, ob der Leistungsmesser, der auf die Spannung ausgelegt ist, auch
die höhere Spannung verträgt. Wenn durch einen Vorwiderstand oder einen Spannungswandler die
Spannung um den Faktor vermindert wird, ist diese Überlastungsgefahr behoben. Wegen der so
verkleinerten Spannung muss allerdings der Messwert um den Faktor rechnerisch vergrößert werden.
Symmetrische Belastung
Bei symmetrischer Belastung reicht die Verwendung nur
eines Leistungsmessers für den Leistungs-Bezug durch einen
der Außenleiter. Die gesamte Leistung ist davon das
Dreifache.
.
Leistungsmesser mit künstlichem Sternpunkt
Im Dreileiter-Stromkreis ist dazu das Neutralleiter-Potential durch einen Sternpunkt gemäß Bild künstlich zu
schaffen mit zwei Widerständen, die genauso groß sind wie der Widerstand des Spannungspfades im
Leistungsmesser.
Weitere Benennungen

Wirkleistung 50
Benennung Größe Anwendung
Leistungsfaktor = λ allgemein
Verschiebungsfaktor φ bei Sinusgrößen
Wirkfaktor = cos φ bei Sinusgrößen
Blindfaktor = sin φ bei Sinusgrößen
Verlustfaktor = tan δ bei Sinusgrößen
Alle Angaben stimmen mit DIN 40110-1:1994 überein.
Siehe auch
• Wechselstromwiderstand
• Blindwiderstand
bei Kondensatoren und Spulen

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historical connection with the subject or with related matters, or of legal, commercial, philosophical, ethical or political position regarding them.
The "Invariant Sections" are certain Secondary Sections whose titles are designated, as being those of Invariant Sections, in the notice that says that the Document is released under this License. If a section does not fit the above
definition of Secondary then it is not allowed to be designated as Invariant. The Document may contain zero Invariant Sections. If the Document does not identify any Invariant Sections then there are none.
The "Cover Texts" are certain short passages of text that are listed, as Front-Cover Texts or Back-Cover Texts, in the notice that says that the Document is released under this License. A Front-Cover Text may be at most 5 words, and a
Back-Cover Text may be at most 25 words.
A "Transparent" copy of the Document means a machine-readable copy, represented in a format whose specification is available to the general public, that is suitable for revising the document straightforwardly with generic text editors
or (for images composed of pixels) generic paint programs or (for drawings) some widely available drawing editor, and that is suitable for input to text formatters or for automatic translation to a variety of formats suitable for input to
text formatters. A copy made in an otherwise Transparent file format whose markup, or absence of markup, has been arranged to thwart or discourage subsequent modification by readers is not Transparent. An image format is not
Transparent if used for any substantial amount of text. A copy that is not "Transparent" is called "Opaque".
Examples of suitable formats for Transparent copies include plain ASCII without markup, Texinfo input format, LaTeX input format, SGML or XML using a publicly available DTD, and standard-conforming simple HTML,
PostScript or PDF designed for human modification. Examples of transparent image formats include PNG, XCF and JPG. Opaque formats include proprietary formats that can be read and edited only by proprietary word processors,
SGML or XML for which the DTD and/or processing tools are not generally available, and the machine-generated HTML, PostScript or PDF produced by some word processors for output purposes only.
The "Title Page" means, for a printed book, the title page itself, plus such following pages as are needed to hold, legibly, the material this License requires to appear in the title page. For works in formats which do not have any title
page as such, "Title Page" means the text near the most prominent appearance of the work's title, preceding the beginning of the body of the text.
A section "Entitled XYZ" means a named subunit of the Document whose title either is precisely XYZ or contains XYZ in parentheses following text that translates XYZ in another language. (Here XYZ stands for a specific section
name mentioned below, such as "Acknowledgements", "Dedications", "Endorsements", or "History".) To "Preserve the Title" of such a section when you modify the Document means that it remains a section "Entitled XYZ" according
to this definition.
The Document may include Warranty Disclaimers next to the notice which states that this License applies to the Document. These Warranty Disclaimers are considered to be included by reference in this License, but only as regards
disclaiming warranties: any other implication that these Warranty Disclaimers may have is void and has no effect on the meaning of this License.
2. VERBATIM COPYING
You may copy and distribute the Document in any medium, either commercially or noncommercially, provided that this License, the copyright notices, and the license notice saying this License applies to the Document are reproduced
in all copies, and that you add no other conditions whatsoever to those of this License. You may not use technical measures to obstruct or control the reading or further copying of the copies you make or distribute. However, you may
accept compensation in exchange for copies. If you distribute a large enough number of copies you must also follow the conditions in section 3.
You may also lend copies, under the same conditions stated above, and you may publicly display copies.
3. COPYING IN QUANTITY
If you publish printed copies (or copies in media that commonly have printed covers) of the Document, numbering more than 100, and the Document's license notice requires Cover Texts, you must enclose the copies in covers that
carry, clearly and legibly, all these Cover Texts: Front-Cover Texts on the front cover, and Back-Cover Texts on the back cover. Both covers must also clearly and legibly identify you as the publisher of these copies. The front cover
must present the full title with all words of the title equally prominent and visible. You may add other material on the covers in addition. Copying with changes limited to the covers, as long as they preserve the title of the Document
and satisfy these conditions, can be treated as verbatim copying in other respects.
If the required texts for either cover are too voluminous to fit legibly, you should put the first ones listed (as many as fit reasonably) on the actual cover, and continue the rest onto adjacent pages.
If you publish or distribute Opaque copies of the Document numbering more than 100, you must either include a machine-readable Transparent copy along with each Opaque copy, or state in or with each Opaque copy a
computer-network location from which the general network-using public has access to download using public-standard network protocols a complete Transparent copy of the Document, free of added material. If you use the latter
option, you must take reasonably prudent steps, when you begin distribution of Opaque copies in quantity, to ensure that this Transparent copy will remain thus accessible at the stated location until at least one year after the last time
you distribute an Opaque copy (directly or through your agents or retailers) of that edition to the public.
It is requested, but not required, that you contact the authors of the Document well before redistributing any large number of copies, to give them a chance to provide you with an updated version of the Document.
4. MODIFICATIONS
You may copy and distribute a Modified Version of the Document under the conditions of sections 2 and 3 above, provided that you release the Modified Version under precisely this License, with the Modified Version filling the role
of the Document, thus licensing distribution and modification of the Modified Version to whoever possesses a copy of it. In addition, you must do these things in the Modified Version:
• A. Use in the Title Page (and on the covers, if any) a title distinct from that of the Document, and from those of previous versions (which should, if there were any, be listed in the History section of the Document). You may use
the same title as a previous version if the original publisher of that version gives permission.
• B. List on the Title Page, as authors, one or more persons or entities responsible for authorship of the modifications in the Modified Version, together with at least five of the principal authors of the Document (all of its principal
authors, if it has fewer than five), unless they release you from this requirement.
• C. State on the Title page the name of the publisher of the Modified Version, as the publisher.
• D. Preserve all the copyright notices of the Document.
• E. Add an appropriate copyright notice for your modifications adjacent to the other copyright notices.
• F. Include, immediately after the copyright notices, a license notice giving the public permission to use the Modified Version under the terms of this License, in the form shown in the Addendum below.
• G. Preserve in that license notice the full lists of Invariant Sections and required Cover Texts given in the Document's license notice.
• H. Include an unaltered copy of this License.
• I. Preserve the section Entitled "History", Preserve its Title, and add to it an item stating at least the title, year, new authors, and publisher of the Modified Version as given on the Title Page. If there is no section Entitled
"History" in the Document, create one stating the title, year, authors, and publisher of the Document as given on its Title Page, then add an item describing the Modified Version as stated in the previous sentence.
• J. Preserve the network location, if any, given in the Document for public access to a Transparent copy of the Document, and likewise the network locations given in the Document for previous versions it was based on. These
may be placed in the "History" section. You may omit a network location for a work that was published at least four years before the Document itself, or if the original publisher of the version it refers to gives permission.
• K. For any section Entitled "Acknowledgements" or "Dedications", Preserve the Title of the section, and preserve in the section all the substance and tone of each of the contributor acknowledgements and/or dedications given
therein.
• L. Preserve all the Invariant Sections of the Document, unaltered in their text and in their titles. Section numbers or the equivalent are not considered part of the section titles.
• M. Delete any section Entitled "Endorsements". Such a section may not be included in the Modified Version.
• N. Do not retitle any existing section to be Entitled "Endorsements" or to conflict in title with any Invariant Section.
• O. Preserve any Warranty Disclaimers.
If the Modified Version includes new front-matter sections or appendices that qualify as Secondary Sections and contain no material copied from the Document, you may at your option designate some or all of these sections as
invariant. To do this, add their titles to the list of Invariant Sections in the Modified Version's license notice. These titles must be distinct from any other section titles.
You may add a section Entitled "Endorsements", provided it contains nothing but endorsements of your Modified Version by various parties--for example, statements of peer review or that the text has been approved by an organization
as the authoritative definition of a standard.
You may add a passage of up to five words as a Front-Cover Text, and a passage of up to 25 words as a Back-Cover Text, to the end of the list of Cover Texts in the Modified Version. Only one passage of Front-Cover Text and one of
Back-Cover Text may be added by (or through arrangements made by) any one entity. If the Document already includes a cover text for the same cover, previously added by you or by arrangement made by the same entity you are
acting on behalf of, you may not add another; but you may replace the old one, on explicit permission from the previous publisher that added the old one.
The author(s) and publisher(s) of the Document do not by this License give permission to use their names for publicity for or to assert or imply endorsement of any Modified Version.
5. COMBINING DOCUMENTS
You may combine the Document with other documents released under this License, under the terms defined in section 4 above for modified versions, provided that you include in the combination all of the Invariant Sections of all of
the original documents, unmodified, and list them all as Invariant Sections of your combined work in its license notice, and that you preserve all their Warranty Disclaimers.
The combined work need only contain one copy of this License, and multiple identical Invariant Sections may be replaced with a single copy. If there are multiple Invariant Sections with the same name but different contents, make the
title of each such section unique by adding at the end of it, in parentheses, the name of the original author or publisher of that section if known, or else a unique number. Make the same adjustment to the section titles in the list of
Invariant Sections in the license notice of the combined work.

Lizenz 54
In the combination, you must combine any sections Entitled "History" in the various original documents, forming one section Entitled "History"; likewise combine any sections Entitled "Acknowledgements", and any sections Entitled
"Dedications". You must delete all sections Entitled "Endorsements".
6. COLLECTIONS OF DOCUMENTS
You may make a collection consisting of the Document and other documents released under this License, and replace the individual copies of this License in the various documents with a single copy that is included in the collection,
provided that you follow the rules of this License for verbatim copying of each of the documents in all other respects.
You may extract a single document from such a collection, and distribute it individually under this License, provided you insert a copy of this License into the extracted document, and follow this License in all other respects regarding
verbatim copying of that document.
7. AGGREGATION WITH INDEPENDENT WORKS
A compilation of the Document or its derivatives with other separate and independent documents or works, in or on a volume of a storage or distribution medium, is called an "aggregate" if the copyright resulting from the compilation
is not used to limit the legal rights of the compilation's users beyond what the individual works permit. When the Document is included in an aggregate, this License does not apply to the other works in the aggregate which are not
themselves derivative works of the Document.
If the Cover Text requirement of section 3 is applicable to these copies of the Document, then if the Document is less than one half of the entire aggregate, the Document's Cover Texts may be placed on covers that bracket the
Document within the aggregate, or the electronic equivalent of covers if the Document is in electronic form. Otherwise they must appear on printed covers that bracket the whole aggregate.
8. TRANSLATION
Translation is considered a kind of modification, so you may distribute translations of the Document under the terms of section 4. Replacing Invariant Sections with translations requires special permission from their copyright holders,
but you may include translations of some or all Invariant Sections in addition to the original versions of these Invariant Sections. You may include a translation of this License, and all the license notices in the Document, and any
Warranty Disclaimers, provided that you also include the original English version of this License and the original versions of those notices and disclaimers. In case of a disagreement between the translation and the original version of
this License or a notice or disclaimer, the original version will prevail.
If a section in the Document is Entitled "Acknowledgements", "Dedications", or "History", the requirement (section 4) to Preserve its Title (section 1) will typically require changing the actual title.
9. TERMINATION
You may not copy, modify, sublicense, or distribute the Document except as expressly provided for under this License. Any other attempt to copy, modify, sublicense or distribute the Document is void, and will automatically terminate
your rights under this License. However, parties who have received copies, or rights, from you under this License will not have their licenses terminated so long as such parties remain in full compliance.
10. FUTURE REVISIONS OF THIS LICENSE
The Free Software Foundation may publish new, revised versions of the GNU Free Documentation License from time to time. Such new versions will be similar in spirit to the present version, but may differ in detail to address new
problems or concerns. See http:/ / www. gnu. org/ copyleft/ .
Each version of the License is given a distinguishing version number. If the Document specifies that a particular numbered version of this License "or any later version" applies to it, you have the option of following the terms and
conditions either of that specified version or of any later version that has been published (not as a draft) by the Free Software Foundation. If the Document does not specify a version number of this License, you may choose any version
ever published (not as a draft) by the Free Software Foundation.
ADDENDUM: How to use this License for your documents
To use this License in a document you have written, include a copy of the License in the document and put the following copyright and license notices just after the title page:
Copyright (c) YEAR YOUR NAME.
Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document
under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2
or any later version published by the Free Software Foundation;
with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts.
A copy of the license is included in the section entitled
"GNU Free Documentation License".
If you have Invariant Sections, Front-Cover Texts and Back-Cover Texts, replace the "with...Texts." line with this:
with the Invariant Sections being LIST THEIR TITLES, with the
Front-Cover Texts being LIST, and with the Back-Cover Texts being LIST.
If you have Invariant Sections without Cover Texts, or some other combination of the three, merge those two alternatives to suit the situation.
If your document contains nontrivial examples of program code, we recommend releasing these examples in parallel under your choice of free software license, such as the GNU General Public License, to permit their use in free
software.