Datei - aj-dons.de
Datei - aj-dons.de
Datei - aj-dons.de
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
1. Reaktions-, Brems- und Anhalteweg<br />
Verkehrsprobleme<br />
Wird ein Fahrzeug aus einer Geschwindigkeit v a (Anfangsgeschwindigkeit) mit einer konstanten<br />
Bremsbeschleunigung a br auf die Endgeschwindigkeit ve , v e = 0 , abgebremst, so ergibt sich unter<br />
Beachtung einer Reaktionszeit t folgen<strong>de</strong>s v - t - Diagramm :<br />
R<br />
s : Anhalteweg<br />
s R :<br />
s br :<br />
t R :<br />
t :<br />
Reaktionsweg<br />
Bremsweg<br />
Reaktionszeit<br />
Bremszeit<br />
br<br />
Anhalteweg : = Reaktionsweg + Bremsweg<br />
Mit <strong>de</strong>m Satz: "Die Fläche unter <strong>de</strong>m Graphen v = f(t) ist ein Maß für <strong>de</strong>n zurückgelegten Weg s",<br />
ergeben sich folgen<strong>de</strong> Beziehungen für <strong>de</strong>n Reaktionsweg und <strong>de</strong>n Bremsweg.<br />
Anmerkungen zum Reaktionsweg<br />
Bremsweg<br />
1. Die Geschwindigkeit kann während <strong>de</strong>r Reaktionszeit (<strong>de</strong>r Fuß bewegt sich vom Gaspedal zum<br />
Bremspedal) als konstant angenommen wer<strong>de</strong>n. D.h. das Fahrzeug bewegt sich in dieser Zeit<br />
ungebremst weiter.<br />
dophy2008<br />
Anhalteweg Seite -1-
2. Die Reaktionszeit ist individuell unterschiedlich.<br />
3. Für viele Situationen kann mit einer Reaktionszeit von 1 Sekun<strong>de</strong> gerechnet wer<strong>de</strong>n. Für<br />
manch kritische Situation (Kind läuft plötzlich zwischen zwei Autos auf die Straße), kann<br />
dieser Wert schon zu groß sein.<br />
4. Durch Alkohol, Drogen und Medikamente kann sich die Reaktionszeit beträchtlich verlängern.<br />
Anmerkung:<br />
Die Gleichungen für <strong>de</strong>n Bremsweg gelten unter <strong>de</strong>r Voraussetzung einer konstanten<br />
Bremsbeschleunigung!<br />
Bei gegebener Geschwindigkeit hängt <strong>de</strong>r Bremsweg von <strong>de</strong>r Bremsbeschleunigung ab. Wird die<br />
Bremsbeschleunigung verdoppelt, so halbiert sich <strong>de</strong>r Bremsweg.<br />
2<br />
Auf die Größe <strong>de</strong>s Bremsweges hat die Geschwindigkeit jedoch wegen v einen größeren Einfluss.<br />
Wird die Geschwindigkeit z.B. verdoppelt, so vervierfacht sich <strong>de</strong>r Bremsweg.<br />
Anmerkung:<br />
Nimmt die Geschwindigkeit beim Bremsen gleichmäßig ab, so ist die Bremsbeschleunigung<br />
konstant. Der Graph <strong>de</strong>r Funktion v e = f(t br)<br />
in einem v-t-Diagramm ist damit eine fallen<strong>de</strong> lineare<br />
Funktion. Es gilt:<br />
Aus Sicht <strong>de</strong>r Mathematik besitzt die Bremsbeschleunigung ein negatives Vorzeichen, da die<br />
Funktion fallend ist.<br />
Anmerkung: Typische Werte für Bremsbeschleunigungen (auch Bremsverzögerung genannt).<br />
dophy2008<br />
Gesetzliche Min<strong>de</strong>stverzögerung für PKW�s : a br = 5 m/s 2<br />
auf trockener Fahrbahn<br />
Werte für Autos bei trockener Fahrbahn : a br = 6 - 8 m/s 2<br />
Werte für Autos bei nasser Fahrbahn : a br = 5 - 2,5 m/s 2<br />
Werte für Autos bei Schnee und Eis : a br = < 2 m/s 2<br />
Panzer (Leopard 2) : a br = 9,5 m/s2 Anhalteweg Seite -2-
Anmerkung: ABS-System<br />
dophy2008<br />
Versuche zeigen, dass die Rollreibung (Rä<strong>de</strong>r blockieren gera<strong>de</strong> nicht) größer ist als<br />
die Gleitreibung, die beim Blockieren <strong>de</strong>r Rä<strong>de</strong>r auftritt.<br />
Haftreibungskraft > Gleitreibungskraft<br />
Ein weiterer Vorteil <strong>de</strong>s ABS-Systems liegt in <strong>de</strong>r Tatsache, dass bei nicht<br />
blockieren<strong>de</strong>n Rä<strong>de</strong>rn aufgrund <strong>de</strong>r dann noch vorhan<strong>de</strong>nen Haftreibung das<br />
Fahrzeug lenkbar bleibt.<br />
Vergleich: Bei <strong>de</strong>n folgen<strong>de</strong>n Vorgängen treten folgen<strong>de</strong>, vielfache <strong>de</strong>r Erdbeschleunigung auf:<br />
Achterbahn : 0 - 3 g<br />
Rennfahrer : bis 3 g<br />
Bungeespringen : bis 5 g<br />
Düsenjäger : bis 10 g<br />
Schleu<strong>de</strong>rsitz : bis 15 g<br />
(Quelle: Daten aus einer Sendung <strong>de</strong>s WDR vom 20.11.01)<br />
2. Die Fahrschulformel zum Anhalte- und Bremsweg<br />
Für <strong>de</strong>n Reaktionsweg s R und <strong>de</strong>n Bremsweg s br gelten dabei folgen<strong>de</strong> Beziehungen:<br />
Ergänzen Sie die folgen<strong>de</strong> Tabelle mit <strong>de</strong>n obigen “Faustformeln”:<br />
Geschwindigkeit km/h 30 50 70 100 120<br />
Reaktionsweg 9 m 15 m 21 m 30 m 36 m<br />
Bremsweg 9 m 25 m 49 m 100 m 144 m<br />
Anhalteweg 18 m 40 m 70 m 110 m 180 m<br />
Anhalteweg Seite -3-
Bei diesen Ergebnissen ist nicht offensichtlich, welche Reaktionszeit und welche<br />
Bremsbeschleunigung (Straßenzustand) in <strong>de</strong>n “Faustformeln” berücksichtigt wur<strong>de</strong>n.<br />
1. Überlegung:<br />
Diese Tabellenwerte vergleichen wir mit <strong>de</strong>n Ergebnissen <strong>de</strong>r Formel für <strong>de</strong>n Reaktionsweg aus<br />
<strong>de</strong>m Script, wobei wir eine Reaktionszeit von 1s zu Grun<strong>de</strong> legen:<br />
Geschwindigkeit km/h 30 50 70 100 120<br />
Reaktionsweg 8,3 m 13,89 m 19,44 m 27,78 m 33,33 m<br />
Interpretation:<br />
2. Überlegung:<br />
Mit Hilfe <strong>de</strong>r Formel für <strong>de</strong>n Reaktionsweg kann man die Reaktionszeit bestimmen, welche <strong>de</strong>r<br />
Fahrschulformel zu Grun<strong>de</strong> gelegt wur<strong>de</strong>.<br />
Geschwindigkeit<br />
in km/h<br />
Reaktionsweg<br />
(Fahrschule)<br />
dophy2008<br />
30 50 70 100 120<br />
9 m 15 m 21 m 30 m 36 m<br />
Reaktionszeit 1,08 s 1,08 s 1,08 s 1,08 s 1,08 s<br />
Interpretation: Der Fahrschulformel für <strong>de</strong>n Reaktionsweg liegt eine Reaktionszeit von 1,08 s<br />
zu Grun<strong>de</strong>.<br />
3. Überlegung:<br />
Stellt man die Formel für <strong>de</strong>n Bremsweg nach <strong>de</strong>r Bremsbeschleunigung um, so kann aus <strong>de</strong>m<br />
Bremsweg (berechnet nach Fahrschulformel) die zu Grun<strong>de</strong> gelegte Bremsbeschleunigung<br />
berechnet wer<strong>de</strong>n.<br />
Anhalteweg Seite -4-
Geschwindigkeit<br />
in km/h<br />
Bremsweg<br />
(Fahrschule)<br />
dophy2008<br />
30 50 70 100 120<br />
9 m 25 m 49 m 100 m 144 m<br />
2 2 2 2 2<br />
Bremsbeschl. 3,858 m/s 3,858 m/s 3,858 m/s 3,858 m/s 3,858 m/s<br />
Interpretation: Der Fahrschulformel bezüglich <strong>de</strong>s Bremsweges liegt eine Bremsbeschleunigung<br />
2<br />
von 3,858 m/s zu Grun<strong>de</strong>.<br />
Dieser Wert entspricht folgen<strong>de</strong>m Straßenzustand: nasse Fahrbahn!<br />
Bewertung <strong>de</strong>r Ergebnisse für die Größe <strong>de</strong>s Anhalteweges im Jahresverlauf bei verschie<strong>de</strong>nsten<br />
Straßenverhältnissen.<br />
Anmerkungen:<br />
1. Die Fahrschulformeln sind für pauschale Aussagen gut geeignet. Mit ihnen kann man einfach<br />
im Kopf rechnen.<br />
2. Die Fahrschulformeln wer<strong>de</strong>n jedoch individuellen Gegebenheiten (Reaktionszeit) und<br />
verän<strong>de</strong>rten äußeren Umstän<strong>de</strong>n (technischer Zustand <strong>de</strong>s Fahrzeugs, Straßenzustand) nicht<br />
gerecht.<br />
3. Diese Nachteile können die physikalischen Formeln vermei<strong>de</strong>n. Dazu ist es jedoch Notwendig,<br />
dass die konkreten Daten für die Reaktionszeit und die Bremsbeschleunigung bekannt sind.<br />
Anhalteweg Seite -5-
3. Hat die Masse eines Fahrzeuges Einfluss auf die Bremsbeschleunigung und damit auf die<br />
Länge <strong>de</strong>s Bremsweges?<br />
Grundlage 1:<br />
Betrachten wir dazu die Fortbewegung eines Fahrzeuges bei unterschiedlichen<br />
Straßenverhältnissen.<br />
anfahren bremsen<br />
Trockene Straße Rä<strong>de</strong>r haften, drehen nicht durch. Rä<strong>de</strong>r haften, drehen nicht durch.<br />
Schnee Rä<strong>de</strong>r drehen durch bei starker<br />
Beschleunigung.<br />
Rä<strong>de</strong>r blockieren bei starkem<br />
Bremsen, Reifen rutschen.<br />
Betrachten wir die Situation bei Schnee, so können wir z.T. das Durchdrehen <strong>de</strong>r Rä<strong>de</strong>r beim<br />
Anfahren dadurch vermin<strong>de</strong>rn, in <strong>de</strong>m wir die Antriebsachse z.B. durch einen Sandsack im<br />
Kofferraum bei Hinterradantrieb stärker belasten. Hilfreich ist es auch, wenn sich z.B. mehrere<br />
Personen auf die Stoßstange stellen. Durch diese zusätzliche Belastung wird die Anpresskraft <strong>de</strong>s<br />
Reifens gegen die Straße vergrößert.<br />
Grundlage 2:<br />
Gleitet ein Körper auf einer Unterlage (z.B. Schlitten auf Schnee), so übt die Unterlage eine Kraft<br />
auf <strong>de</strong>n gleiten<strong>de</strong>n Körper aus. Wir nennen diese Kraft, die bremsend wirkt, die<br />
Gleitreibungskraft. Diese Gleitreibungskraft wirkt also auch auf unser Fahrzeug, wenn die Reifen<br />
auf <strong>de</strong>r Fahrbahn gleiten (o<strong>de</strong>r rutschen).<br />
Versuche zeigen, dass man dann größere Antriebs- o<strong>de</strong>r Bremskräfte erreichen kann, wenn <strong>de</strong>r<br />
Reifen nicht gleitet, son<strong>de</strong>rn zu je<strong>de</strong>m Zeitpunkt auf <strong>de</strong>r Fahrbahn haftet. Dies ist dann <strong>de</strong>r Fall,<br />
wenn beim Anfahren die Rä<strong>de</strong>r nicht durchdrehen o<strong>de</strong>r beim Bremsen nicht blockieren. Diese<br />
Haftreibungskraft kann jedoch nicht beliebig große Werte annehemen. So kann man in Versuchen<br />
feststellen, dass es je nach Straßenzustand bestimmte Höchstwerte für die so genannte<br />
Haftreibungskraft gibt.<br />
Merke: Gleitreibungskraft und Haftreibungskraft sind abhängig von <strong>de</strong>r<br />
" Beschaffenheit <strong>de</strong> reiben<strong>de</strong>n Flächen (Reifen/Straßenbelag)<br />
" <strong>de</strong>r Anpresskraft (d.h. <strong>de</strong>r Gewichtskraft (F ) <strong>de</strong>s Körpers).<br />
G<br />
Die Gleit- und Haftreibungszahl sind proportional zur Anpresskraft (F ). Aus diesem Sachverhalt<br />
ergeben sich die so genannten Reibungszahlen � wie folgt:<br />
dophy2008 Anhalteweg Seite -6-<br />
G
Beispiel: Bei einem Fahrzeug, m = 1000 kg; misst man eine maximale Antriebskraft, bei <strong>de</strong>r die<br />
Rä<strong>de</strong>r nicht durchdrehen, von F = 8000 N.<br />
Grundlage 3:<br />
dophy2008<br />
haft<br />
Da für die Gewichtskraft F G = m g gilt folgt:<br />
Nach <strong>de</strong>m 2. Newtonschen Axiom gilt: F = m a und F br = m a br<br />
Da die Beschleunigungs- wie die Bremskraft nicht größer sein können als die Haftreibungskraft,<br />
folgt auf ebener Strecke:<br />
Für die Bremsbeschleunigung folgt daraus:<br />
F Haft = F = m a und F Haft = F br = m a br<br />
Erkenntnis: Die Bremsbeschleunigung ist also nicht abhängig von <strong>de</strong>r Masse. Sie wird bestimmt<br />
von <strong>de</strong>r Beschaffenheit von Reifen und Straßenbelag.<br />
Hinweis: Die tatsächliche Bremsverzögerung hängt jedoch auch davon ab, wie stark man auf<br />
das Bremspedal tritt. Dadurch wird die Bremskraft zwischen Bremsscheibe und<br />
Bremsbelag bestimmt. Je größer diese Kraft ist, <strong>de</strong>sto größer kann auch die Kraft<br />
sein, die zwischen Fahrbahn und Reifen wirken kann.<br />
Die Größe dieser Kraft hat ihr Maximum, wenn gera<strong>de</strong> die Rä<strong>de</strong>r nicht blockieren.<br />
Daraus folgt: Die Bremswirkung erreicht ihr Maximum, wenn gera<strong>de</strong> die Rä<strong>de</strong>r<br />
nicht blockieren. Dies wird heute durch das ABS-System in Fahrzeugen erreicht.<br />
Bei Fahrzeugen, die nicht über dieses System verfügen, müsste man dann <strong>de</strong>n Fuß<br />
immer kurzzeitig “von <strong>de</strong>r Bremse nehmen” (Stotterbremse).<br />
Anhalteweg Seite -7-
4. Übung I zum Anhalteweg<br />
Voraussetzung : konstante Bremsbeschleunigung<br />
2<br />
In Tabellen fin<strong>de</strong>t man folgen<strong>de</strong> Werte für die Bremsbeschleunigung (in m/s ) in Abhängigkeit vom<br />
Straßenzustand:<br />
dophy2008<br />
trockener Beton : 9 ... 6,5<br />
trockener Asphalt : 7 ... 6<br />
nasser Beton : 5 ... 3,5<br />
nasser Asphalt : 3 ... 2,5<br />
vereiste Straße : 0,2 ... 1,2<br />
Aufgabe 1: Berechnen Sie die Anhaltewege bei verschie<strong>de</strong>nen Straßenzustän<strong>de</strong>n, wenn ein PKW<br />
aus 50 km/h bzw. 30 km/h angehalten wer<strong>de</strong>n soll.<br />
Bei <strong>de</strong>r Berechnung soll eine Reaktionszeit von 1 Sekun<strong>de</strong> unterstellt wer<strong>de</strong>n.<br />
Bremsbeschleunigung<br />
in m/s 2<br />
0,80<br />
2,67<br />
4,00<br />
6,50<br />
7,50<br />
Bremsweg beim<br />
Anhalten aus v = 30 km/h<br />
Bremsweg beim<br />
Anhalten aus v = 30 km/h<br />
Vergleichen Sie diese Ergebnisse mit <strong>de</strong>r Aussage in einer Information <strong>de</strong>r<br />
Verkehrwacht, in <strong>de</strong>r Folgen<strong>de</strong>s behauptet wird:<br />
Kann man aus v = 30 km/h nach etwa 13m rechtzeitig vor einem Fußgänger<br />
anhalten, so wür<strong>de</strong> man mit nur 20 km/h mehr an <strong>de</strong>r gleichen Stelle <strong>de</strong>n Fußgänger<br />
ungebremst anfahren !<br />
Aufgabe 2: Aufgrund <strong>de</strong>r schweren Auffahrunfälle bei Nebel wird von Politikern die For<strong>de</strong>rung<br />
einer Geschwindigkeitsbegrenzung auf 50 km/h auf Autobahnen bei einer Sichtweite<br />
von 50m erhoben.<br />
a.) Für welchen Straßenzustand reicht diese For<strong>de</strong>rung aus, wenn innerhalb <strong>de</strong>r<br />
Sichtweite das Fahrzeug auf v e = 0 km/h abgebremst wer<strong>de</strong>n soll. Für die<br />
Rechnung soll eine Reaktionszeit von 1 s unterstellt wer<strong>de</strong>n.<br />
b.) Aus welcher Geschwindigkeit könnte man bei einer Sichtweite von 100 m<br />
2<br />
rechtzeitig anhalten? (a = 2,67 m/s ; t = 1 s)<br />
br R<br />
Anhalteweg Seite -8-
dophy2008<br />
c.) Welche maximale Geschwindigkeit sollte man z.B. bei Nebel (Sichtweite 50 m)<br />
2<br />
und vereister Fahrbahn (a br = 0,5 m/s ) nicht überschreiten, wenn man innerhalb<br />
<strong>de</strong>r Sichtweite anhalten muss ? (t = 1 s)<br />
Lösungen: a.) Man berechne <strong>de</strong>n Reaktionsweg: s R = v � t R = 13,89 m<br />
Für <strong>de</strong>n zur Verfügung stehen<strong>de</strong>n Bremsweg erhält man:<br />
s br = 50m - 13,89 m = 36,11 m<br />
Mit <strong>de</strong>r Formel für die Bremsbeschleunigung erhält man: a br = 2,67 m/s2 (Nasser Asphalt)<br />
b.) Es gilt für die Sichtweite: s = s R + s br = 100m<br />
Daraus folgt: 0 = s br + s R + s<br />
Mit <strong>de</strong>n Gleichungen für <strong>de</strong>n Reaktions- und Bremsweg folgt dann:<br />
R<br />
Physikalisch sinnvoll ist nur die Lösung v 2 =20,59 m/s (74,13 km/h).<br />
c.) Mit <strong>de</strong>r quadratischen Gleichung aus b.) und <strong>de</strong>n Werten s = 50 m und a br = 0,5<br />
2<br />
m/s folgt: v = 6,589 m/s (23,7 km/h)<br />
Anhalteweg Seite -9
5. Bestimmung <strong>de</strong>r Aufprallgeschwindigkeit nach einem Bremsvorgang mit Hilfe <strong>de</strong>r<br />
Erkenntnis:<br />
“Die Fläche in einem v-t-Diagramm entspricht <strong>de</strong>m,<br />
zu einem Zeitpunkt t zurückgelegten Weg s !”<br />
Sieht man plötzlich z.B. das En<strong>de</strong> eines Staus o<strong>de</strong>r ein Kind, welches plötzlich auf die Straße<br />
läuft, so verbleibt nach Ablauf <strong>de</strong>r Reaktionszeit (das Fahrzeug hat in dieser Zeit bereits <strong>de</strong>n<br />
Reaktionsweg zurückgelegt) oft nicht genug Reststrecke (Bremsweg), um das Fahrzeug<br />
rechtzeitig vor <strong>de</strong>m Fahrzeug o<strong>de</strong>r <strong>de</strong>m Kind anhalten zu können.<br />
Das Fahrzeug prallt dann trotz eingeleitetem Bremsvorgang mit einer, zwar vermin<strong>de</strong>rten<br />
Geschwindigkeit gegen das Fahrzeug o<strong>de</strong>r Kind.<br />
Ist die Geschwindigkeit (v a)<br />
für <strong>de</strong>n verbliebenen Bremsweg zu groß, so prallt <strong>de</strong>r PKW mit einer<br />
bestimmten Geschwindigkeit v (v < v ) auf das bereits angehaltene Fahrzeug am Stauen<strong>de</strong> auf.<br />
dophy2008<br />
(1)<br />
e e a<br />
Problemstellung: Mit welcher Geschwindigkeit v e prallt <strong>de</strong>r PKW gegen das Fahrzeug am<br />
Stauen<strong>de</strong> ?<br />
1. Berechnung von v eaus <strong>de</strong>n Grundgleichungen linearer Bewegungen für das Bremsen auf v e><br />
0!<br />
In Gleichung (1) fehlt die Bremszeit t br, um v e berechnen zu können. Ist <strong>de</strong>r Bremsweg sbr<br />
(Fläche <strong>de</strong>s Trapezes), die Anfangsgeschwindigkeit v a und <strong>de</strong>r Straßenzustand (a br)<br />
bekannt,<br />
so kann in einer Nebenrechnung aus <strong>de</strong>r Gleichung (2a, 2b) die Bremszeit t br berechnet<br />
wer<strong>de</strong>n.<br />
2. Berechnung von v e mit Hilfe <strong>de</strong>s Satzes:<br />
“Die Fläche im v-t-Diagramm entspricht <strong>de</strong>m,<br />
zur Zeit t zurückgelegten Weg s !”<br />
(2a)<br />
(2b)<br />
Anhalteweg Seite -10-
dophy2008<br />
Vorbemerkung:<br />
Nach Ablauf <strong>de</strong>r Reaktionszeit wer<strong>de</strong>n die Bremsen wirksam. Die Geschwindigkeit <strong>de</strong>s<br />
Fahrzeugs nimmt dann während <strong>de</strong>r Bremszeit von v a auf v e ab. Bei konstanter<br />
Bremsbeschleunigung erhält man dann für die Bremszeit ein v-t-Diagramm, <strong>de</strong>ssen Fläche einem<br />
Trapez entspricht. Mit Hilfe <strong>de</strong>r Fläche dieses Trapezes kann v wie folgt bestimmt wer<strong>de</strong>n.<br />
Dazu betrachten wir die geometrischen Zusammenhänge zwischen großen und kleinen<br />
Dreiecken. Aus <strong>de</strong>n folgen<strong>de</strong>n Abbildungen erkennt man, dass ein Trapez als Differenz zweier<br />
unterschiedlich großer Dreiecke dargestellt wer<strong>de</strong>n kann. Weiterhin erkennt man, dass das<br />
kleine Dreieck durch die Differenz aus <strong>de</strong>m großen Dreieck und <strong>de</strong>m Trapez dargestellt wer<strong>de</strong>n<br />
kann.<br />
Die gesuchte Geschwindigkeit im Moment <strong>de</strong>s Aufpralls (v e) ) auf das angehaltene Fahrzeug am<br />
En<strong>de</strong> <strong>de</strong>s Staus entspricht dann <strong>de</strong>r Höhe <strong>de</strong>s kleineren Dreiecks.<br />
Damit kann v e wie folgt berechnet wer<strong>de</strong>n:<br />
a.) Man berechne für das große Dreieck mit <strong>de</strong>r Höhe v a <strong>de</strong>n Flächeninhalt, <strong>de</strong>r nach Gleichung<br />
(3) <strong>de</strong>m Weg s 1 entspricht.<br />
Anmerkung: In Gl.(3) und Gl.(4) han<strong>de</strong>lt es sich bei a br um die Bremsbeschleunigung, die<br />
als konstant vorausgesetzt wird..<br />
(3) (4)<br />
b.) Die Fläche <strong>de</strong>s Trapezes<br />
entspricht <strong>de</strong>m, nach Ablauf <strong>de</strong>r Reaktionszeit noch zur Verfügung stehen<strong>de</strong>n Bremsweg.<br />
Diesen zur Verfügung stehen<strong>de</strong>n Bremsweg erhält man aus <strong>de</strong>r Differenz von Sichtweite<br />
(Abstand zwischen PKW-Position beim sichtbar wer<strong>de</strong>n <strong>de</strong>s Stauen<strong>de</strong>s und <strong>de</strong>m Aufprall auf<br />
das halten<strong>de</strong> Fahrzeug) und <strong>de</strong>m bereits zurückgelegten Reaktionsweg!<br />
c.) Die Fläche <strong>de</strong>s kleinen Dreiecks, s 2,<br />
erhalten wir aus <strong>de</strong>r Differenz zwischen <strong>de</strong>m berechneten<br />
Weg s (Fläche <strong>de</strong>s großen Dreiecks; Gl.(3)) und <strong>de</strong>m Bremsweg (Fläche <strong>de</strong>s Trapezes).<br />
1<br />
d.) Die Höhe <strong>de</strong>s kleinen Dreiecks in <strong>de</strong>r oberen Abbildung, s 2,<br />
ist die gesuchte<br />
Geschwindigkeit v Aus Gleichung (4) erhält man durch Umformung v<br />
e E<br />
e<br />
Anhalteweg Seite -11-
6. Übung II zum Anhalteweg und zum Abbremsen auf v e > 0<br />
Aufgabe 1: In einer Kurve kann ein PKW Fahrer maximal 30m weit die Straße frei einsehen. Er<br />
muss damit rechnen, dass sich bei hohem Verkehrsaufkommen ein Stau bis in die<br />
Kurve hinein bil<strong>de</strong>n kann.<br />
dophy2008<br />
a.) Unterstellen wir eine Reaktionszeit von 1 s und nassen Asphalt mit a br = 3 m/s2 .<br />
Mit welcher Geschwindigkeit darf <strong>de</strong>r PKW maximal fahren, wenn er innerhalb<br />
<strong>de</strong>r frei einsehbaren Strecke anhalten muss?<br />
Anmerkung: v < 0 wür<strong>de</strong> be<strong>de</strong>uten, dass <strong>de</strong>r PKW rückwärts fahren müsste.<br />
Anhalteweg Seite -12
Aufgabe 2: Mit welcher Geschwindigkeit wür<strong>de</strong> <strong>de</strong>r PKW auf ein in 30 m Entfernung halten<strong>de</strong>s<br />
Fahrzeug aufprallen, wenn er aus v = 60 km/ anhalten möchte?<br />
dophy2008<br />
1. Lösungsschritt : Berechnung <strong>de</strong>s Reaktionsweges<br />
2. Lösungsschritt : Berechnung <strong>de</strong>s verbleiben<strong>de</strong>n Bremsweges<br />
3. Lösungsschritt :<br />
Auf einer Strecke von 13,33 m wirken die Bremsen. Dabei wird <strong>de</strong>r PKW von v =<br />
60 km/h auf die gesuchte Geschwindigkeit v e abgebremst. D.b. dass die Fläche <strong>de</strong>s<br />
Trapezes gleich <strong>de</strong>r Bremsstrecke von 13,33 m ist.<br />
I<strong>de</strong>e: Ein Trapez kann man sich entstan<strong>de</strong>n <strong>de</strong>nken, in <strong>de</strong>m von einem größeren ein<br />
kleineres Dreieck subtrahiert wird.<br />
Für die Fläche <strong>de</strong>s Dreiecks gilt jedoch allgemein:<br />
Daraus folgt:<br />
Daraus kann v e wie folgt berechnet wer<strong>de</strong>n:<br />
Anhalteweg Seite -13-
dophy2008<br />
4. Ergebnis:<br />
Der PKW prallt mit etwa 50 km/h auf das im Abstand von 30 m vor ihm halten<strong>de</strong><br />
Fahrzeug !!!<br />
Aufgabe 3: Ein PKW-Fahrer sieht plötzlich in einem Abstand von 50 m vor sich das Schild 30 km/h<br />
am Beginn einer Tagesbaustelle.<br />
a.) Prüfen Sie durch eine Rechnung, ob <strong>de</strong>r PKW rechtzeitig aus v a = 61,2 km/h auf<br />
v e = 30 km/h abgebremst wer<strong>de</strong>n kann!<br />
Bei Ihrer Rechnung kann eine Reaktionszeit von 1 s und eine Bremsbeschleunigung<br />
2 von 5 m/s (trockener Asphalt) unterstellt wer<strong>de</strong>n.<br />
b.) Wie viel Meter vor <strong>de</strong>m Schild muss <strong>de</strong>r PKW Fahrer min<strong>de</strong>stens reagieren, um<br />
genau auf Höhe <strong>de</strong>s Schil<strong>de</strong>s auf v = 30 km/h abbremsen zu können?<br />
c.) Auf welche Geschwindigkeit kann <strong>de</strong>r PKW aus v = 70 km/h abgebremst wer<strong>de</strong>n,<br />
wenn <strong>de</strong>r Fahrer das Schild vor sich im Abstand von 50 m sieht?<br />
Lösung:<br />
a.) Während <strong>de</strong>r Reaktionszeit (t R= 1s) legt <strong>de</strong>r PKW <strong>de</strong>n Reaktionsweg s Rzurück.<br />
Es<br />
gilt:<br />
s = v � t = 61,2 km/h � 1 s = 17 m/s � 1 s = 17 m.<br />
R R<br />
Bei einer “Sichtweite” von 50 m verbleibt eine Strecke von 50 m - 17 m = 33 m, auf<br />
die <strong>de</strong>r PKW bis zum Erreichen <strong>de</strong>s Schil<strong>de</strong>s abgebremst wer<strong>de</strong>n kann.<br />
Bleibt die Frage, ob <strong>de</strong>r PKW auf 33m von v a = 61,2 km/h auf v e = 30 km/h<br />
abgebremst wer<strong>de</strong>n kann.<br />
Die Frage kann mit <strong>de</strong>r Formel für <strong>de</strong>n Bremsweg beim Bremsen auf v e �0 wie folgt<br />
beantwortet wer<strong>de</strong>n:<br />
Bremsweg: Nebenrechnung für die Bremszeit:<br />
Anhalteweg Seite -14-
dophy2008<br />
Aussage:<br />
Auf 21,95 m kann die Geschwindigkeit von 61,2 km/h auf v = 30 km/h reduziert<br />
wer<strong>de</strong>n. Da eine Strecke von 33m vorhan<strong>de</strong>n ist, kann <strong>de</strong>r PKW rechtzeitig vor<br />
<strong>de</strong>m Schild auf 30 km/h abbremsen.<br />
b.) Der Reaktionsweg bei v = 61,2 km/h beträgt bei einer Reaktionszeit von t R = 1s<br />
s R = 17 m.<br />
Für <strong>de</strong>n Bremsweg bis zum Schild verbleibt damit <strong>de</strong>r Weg:40 m - 17 m = 23 m.<br />
Aufgrund er Rechnung zu a.) benötigt <strong>de</strong>r PKW einen Bremsweg von 21,95 m.<br />
Aussage:<br />
Das Fahrzeug kann gera<strong>de</strong> rechtzeitig in Höhe <strong>de</strong>s Schil<strong>de</strong>s abgebremst wer<strong>de</strong>n.<br />
c.) Für <strong>de</strong>n Bremsweg gilt mit <strong>de</strong>r Gleichung für die Bremszeit aus a.) die<br />
Gleichung:<br />
Für <strong>de</strong>n zur Verfügung stehen<strong>de</strong>n Bremsweg bis zum Schild gilt bei v = 70 km/h:<br />
s br = 50 m - s R = 50 m - v � t R = 50 m - 70 km/h � 1 s = 30,55555 m<br />
Mit <strong>de</strong>n gegebenen Zahlenwerten folgt dann für die erreichbare Endgeschwindigkeit:<br />
Aussage:<br />
Aus v = 70 km/h kann <strong>de</strong>r PKW “gera<strong>de</strong> eben” auf etwa 30 km/ h abgebremst<br />
wer<strong>de</strong>n.<br />
Anhalteweg Seite -15-
7. Übung III zum Anhalteweg<br />
2<br />
In Tabellen fin<strong>de</strong>t man folgen<strong>de</strong> Werte für die Bremsbeschleunigung (in m/s ) in Abhängigkeit vom<br />
Straßenzustand:<br />
dophy2008<br />
trockener Beton : 9 ... 6,5<br />
trockener Asphalt : 7 ... 6<br />
nasser Beton : 5 ... 3,5<br />
nasser Asphalt : 3 ... 2,5<br />
vereiste Straße : 0,2 ... 1,2<br />
Aufgabe 1: Ein PKW fährt mit unzulässig hoher Geschwindigkeit von v = 54 km/h durch eine<br />
verkehrsberuhigte Zone, in <strong>de</strong>r "Tempo 30" gilt.<br />
Im Abstand von 20 m zum PKW läuft plötzlich ein Kind auf die Straße.<br />
a.) Kann <strong>de</strong>r PKW rechtzeitig anhalten, wenn aufgrund <strong>de</strong>r Straßenverhältnisse eine Brems-<br />
2<br />
beschleunigung von 6m/s und eine Reaktionszeit von 0.8 s unterstellt wer<strong>de</strong>n kann ?<br />
b.) Hätte <strong>de</strong>r Fahrer bei vorschriftsmäßiger Fahrweise rechtzeitig anhalten können?<br />
c.) Mit welcher Geschwindigkeit prallt im Fall a.) <strong>de</strong>r PKW gegen das Kind ?<br />
Lösungen:<br />
a.) Reaktionsweg: 12 m; Bremsweg: 18,75 m; Anhalteweg: 30,75 m; (Nein)<br />
b.) Reaktionsweg: 6,67 m; Bremsweg: 5,78 m; Anhalteweg: 12,45 m; (Ja)<br />
c.) Zur Verfügung stehen<strong>de</strong>r Bremsweg: 20 m - 12 m = 8 m.<br />
Auf einer Strecke von 8m reduziert sich die Geschwindigkeit.<br />
Der PKW benötigt 18,75 m Bremsweg, hat aber nur 8m zur Verfügung. Es fehlen daher<br />
2 2<br />
10,75 m. Mit v = 2 � 6m/s � 10,75 m folgt: v = 11,3578 m/s (40,888 km/h)<br />
Aufgabe 2: Im Abstand von 28 m springt plötzlich ein Kind auf die Straße um einen Ball aufzuheben.<br />
a.) Prüfen Sie anhand einer Rechnung folgen<strong>de</strong> Aussage:<br />
2<br />
"Ein PKW, v A = 50 km/h, kommt bei einer Bremsbeschleunigung von 7 m/s und einer<br />
Reaktionszeit von 1 s rechtzeitig vor <strong>de</strong>m Kind zum Stillstand !"<br />
b.) Prüfen Sie durch Rechnung folgen<strong>de</strong> Aussage:<br />
" Bei nur 20 km/h mehr prallt <strong>de</strong>r PKW mit 58 km/h gegen das Kind !"<br />
Lösungen:<br />
a.) Reaktionsweg: 13,89 m; Bremsweg: 13,78 m; Anhalteweg: 27,67 m; (Ja)<br />
b.) Reaktionsweg: 19,44 m; Bremsweg: 27,01 m; (bei 70 km/h)<br />
Zur Verfügung stehen<strong>de</strong>r Bremsweg: 28 m - 19,44 m = 8,56 m.<br />
Anhalteweg Seite -16-
dophy2008<br />
Auf einer Strecke von 8,56m reduziert sich die Geschwindigkeit.<br />
Der PKW benötigt 27,01 m Bremsweg, hat aber nur 8,56m zur Verfügung. Es fehlen daher<br />
2 2<br />
18,45 m. Mit v = 2 � 7 m/s � 18,45 m folgt: v = 16,07 m/s (57,86 km/h).<br />
Aufgabe 3: Wie schnell darf man maximal in einem Wohngebiet fahren, wenn ein Fahrzeug plötzlich<br />
auf 10 m angehalten wer<strong>de</strong>n soll ? (Reaktionszeit: 0,8 s; a br = 6 m/s ) 2<br />
Zusatz:<br />
Um welchen Wert verringert sich die Geschwindigkeit, wenn aufgrund verän<strong>de</strong>rter<br />
2<br />
Straßenverhältnisse mit einer Bremsbeschleunigung von nur noch 2 m/s gerechnet wer<strong>de</strong>n<br />
kann ?<br />
Lösungen:<br />
a.)<br />
b.) Analog folgt mit reduzierter Bremsbeschleunigung: v = 4,92 m/s (17,7 km/h)<br />
Aufgabe 4: Ein Autofahrer sieht im Abstand von 28 m vor ihm ein Kind auf die Straße laufen, um<br />
einen Ball aufzuheben. Trotz Vollbremsung prallt <strong>de</strong>r PKW mit einer Geschwindigkeit von<br />
38 km/h (eine Geschwindigkeit, ab <strong>de</strong>r die Verletzungen tödlich sind) gegen das Kind.<br />
a.) Wie schnell fuhr <strong>de</strong>r PKW, wenn eine Reaktionszeit von 0,8 s und eine<br />
2<br />
Bremsbeschleunigung von 7 m/s unterstellt wer<strong>de</strong>n kann?<br />
2<br />
b.) Wie schnell wäre <strong>de</strong>r PKW bei einer Bremsbeschleunigung von nur 3,5 m/s gewesen?<br />
Lösung:<br />
Es gelten die folgen<strong>de</strong>n Gleichungen:<br />
(1): Bremsweg: s br = 28 m - s R = 28 m - v A � tR<br />
(2): Bremszeit: t br = (v A - v E )/a br<br />
(3): Bremsweg: s br = v A � t br - ½ � a br � tbr 2<br />
Setzt man Gl (1) und Gl. (2) in Gl. (3) ein so folgt die quadratische Gleichung:<br />
Anhalteweg Seite -17-
dophy2008<br />
Die physikalische Lösung lautet: v = 17,525 m/s (63,09 km/h)<br />
Kontrolle mit Hilfe <strong>de</strong>r “Dreiecke”!<br />
Für die Abbremsung aus 63,09 km/h auf Null benötigt man bei einer Bremsbeschleunigung<br />
2<br />
von a br = 7 m/s eine Strecke von 21,9375 m. Da uns nur eine “Abbremsstrecke” von 13,98<br />
m zur Verfügung steht, “fehlt” eine Strecke von 7,9575 m.<br />
2 2<br />
Mit v = 2 � 7 m/s � 7,9575 m folgt für die Geschwindigkeit, auf abgebremst wer<strong>de</strong>n kann:<br />
v = 10,5548 m/s (37,9979 km/h).<br />
Aufgabe 5: Nach passieren <strong>de</strong>s Schil<strong>de</strong>s "50 km/h in 100 m" vergehen bis zum Wirksamwer<strong>de</strong>n <strong>de</strong>r<br />
Bremsen 0,8 Sekun<strong>de</strong>n.<br />
2<br />
a.) Kann <strong>de</strong>r PKW bei a br = 4 m/s rechtzeitig aus v A = 120 km/h auf v E = 50 km/h<br />
abgebremst wer<strong>de</strong>n ?<br />
b.) Welchen Minimalwert müßte die Bremsbeschleunigung aufweisen, damit <strong>de</strong>r PKW auf<br />
100 m rechtzeitig abgebremst wer<strong>de</strong>n kann ?<br />
Lösung:<br />
a.) Nein! Begründung:<br />
Bei v = 120 km/h legt <strong>de</strong>r PKW in <strong>de</strong>r Reaktionszeit von 0,8 s <strong>de</strong>n Reaktionsweg<br />
26,67 m zurück. Der PKW kann daher auf einer Strecke von 100 m - 26,67 m<br />
abgebremst wer<strong>de</strong>n.<br />
Für das Abbremsen aus v = 120 km/h auf v = 0 benötigte <strong>de</strong>r PKW 138,89 m, für das<br />
Abbremsen aus v = 50 km/h 24,11 m. Aufgrund <strong>de</strong>r “Dreiecke” in <strong>de</strong>r folgen<strong>de</strong>n<br />
Abbildung benötigt <strong>de</strong>r PKW für das Abbremsen aus v = 120 km/h auf 50 km/h eine<br />
Strecke von 114,77 m. Da ihm aber nur 100 m - 26,67 m = 73,33 m zur Verfügung<br />
stehen, kann er nach 73,33 m noch nicht auf v = 50 km/h abgebremst haben.<br />
Alternative Lösung:<br />
Wenn <strong>de</strong>r PKW von v A = 120 km/h auf v E = 50 km/h abgebremst wer<strong>de</strong>n soll, so<br />
2<br />
benötigt er bei einer Bremsbeschleunigung von 4 m/s eine Bremszeit von 4,8611 s;<br />
[t br = (v A - v E )/a br ].<br />
In <strong>de</strong>r Bremszeit von 4,8611 s legt er dann bei <strong>de</strong>r Bremsbeschleunigung von 4 m/s 2<br />
und <strong>de</strong>r Abbremsung aus v = 120 km/h <strong>de</strong>n Weg s = 114,77 m zurück.<br />
A<br />
b.) Für die Abbremsung stehen nur 73,33 m (= 100 m - 26,67 m) zur Verfügung.<br />
Zur Bestimmung <strong>de</strong>r Bremsbeschleunigung benötigt man zwei Gleichungen und zwar<br />
Anhalteweg Seite -18-
dophy2008<br />
die Gleichung für die Bremszeit [t = (v - v )/a ]<br />
und <strong>de</strong>n Bremsweg [ s = v � t - ½ a � t ].<br />
br A E<br />
2<br />
br<br />
br A br br br<br />
In <strong>de</strong>r Gleichung für <strong>de</strong>n Bremsweg ersetzt man die Bremszeit durch die Gleichung<br />
t = (v - v )/a . Man erhält die Gleichung<br />
br A E br<br />
und für die Bremsbeschleunigung <strong>de</strong>n Wert: a br = 6,2608 m/s2 Kontrolle mit Hilfe <strong>de</strong>r “Dreiecke”!<br />
Für die Abbremsung aus 120 km/h auf Null benötigt man bei einer<br />
2<br />
Bremsbeschleunigung von a br = 6,2608 m/s eine Strecke von 88,7355 m. Da uns nur<br />
eine “Abbremsstrecke” von 73,3333 m zur Verfügung steht, “fehlt” eine Strecke von<br />
15,4055 m.<br />
Mit v = 2 � 6,2608 m/s � 15,4055 m folgt für die Geschwindigkeit, auf abgebremst<br />
2 2<br />
wer<strong>de</strong>n kann: v = 13,8889 m/s (50 km/h).<br />
Anhalteweg Seite -19
8. Übung IV : Bestimmung <strong>de</strong>r Aufprallgeschwindigkeit gegen ein stehen<strong>de</strong>s Fahrzeug<br />
Aufgabe 1: Aus einem Gutachten über ein Auffahrunfall konnten wir folgen<strong>de</strong> Daten entnehmen:<br />
dophy2008<br />
Bremsspur : 5,30 m<br />
Der Sachverständige ging außer<strong>de</strong>m in seinem Gutachten aufgrund <strong>de</strong>r Verkehrs- und<br />
Straßensituation von einer Reaktionszeit von 1,1 Sekun<strong>de</strong>n und einer<br />
2<br />
Bremsbeschleunigung von 6,5 m/s aus.<br />
a.) Ergänzen Sie die folgen<strong>de</strong> Skizze um die entsprechen<strong>de</strong>n Begriffe und<br />
Gleichungen !<br />
b) Berechnen Sie <strong>de</strong>n Abstand zwischen <strong>de</strong>n bei<strong>de</strong>n Fahrzeugen zu <strong>de</strong>m Zeitpunkt, an<br />
<strong>de</strong>m die Gefahr erkannt wur<strong>de</strong>.<br />
c.) Mit welcher Geschwindigkeit in km/h prallt das Fahrzeug 1 gegen das halten<strong>de</strong><br />
Fahrzeug 2?<br />
Aufgabe 2: Aus einem Gutachten über ein Auffahrunfall konnten wir folgen<strong>de</strong> Daten entnehmen:<br />
Bremsspur : 5,30 m<br />
Aus <strong>de</strong>n Verformungsdaten konnte eine Aufprallgeschwindigkeit von 48 km/h<br />
berechnet wer<strong>de</strong>n.<br />
Der Sachverständige ging außer<strong>de</strong>m in seinem Gutachten aufgrund <strong>de</strong>r Verkehrs- und<br />
Straßensituation von einer Reaktionszeit von 1,1 Sekun<strong>de</strong>n und einer<br />
2<br />
Bremsbeschleunigung von 6,5 m/s aus.<br />
Für die Bewertung <strong>de</strong>s Unfalls vor Gericht ist die Höhe <strong>de</strong>r Geschwindigkeit wichtig,<br />
aus <strong>de</strong>r abgebremst wur<strong>de</strong>.<br />
Anhalteweg Seite -20-
9. Übung V: Übung V zum Abbremsen auf v e > 0<br />
Aufgabe 1: Bezug zur Aufgabe, Anhalten im Nebel bei einer Sichtweite von 50 m.<br />
dophy2008<br />
50m vor uns sehen wir bei Nebel plötzlich das En<strong>de</strong> eines Staus. Mit welcher<br />
Geschwindigkeit fahren wir auf das bereits angehaltene Fahrzeug am Stauen<strong>de</strong> auf,<br />
wenn wir folgen<strong>de</strong> Daten unterstellen können:<br />
2<br />
Reaktionszeit : t R = 1s ; Bremsbeschleunigung : a br = 2,67 m/s (nasser Asphalt)<br />
Fahrzeug-Geschwindigkeit : v = 80 km/h<br />
{Ergebnisse : S R = 22,22 m; sbr = 27,78 m; s1 = 92,48 m (gr. Dreieck); s2 = 64,71 m (kl. Dreieck);<br />
ve = 18,59 m/s � 66,9 km/h }<br />
Aufgabe 2: Ein Autofahrer sieht plötzlich in 40m Entfernung vor sich eine Überwachungskamera<br />
(Starenkasten), mit <strong>de</strong>m eine Geschwindigkeitskontrolle für 50 km/h durchgeführt<br />
wird.<br />
a.) Auf welchen Wert konnte er die Geschwindigkeit <strong>de</strong>s Fahrzeuges verringern,<br />
wenn wir folgen<strong>de</strong> Werte unterstellen können:<br />
Reaktionszeit : t R = 0,9s ; Bremsbeschleunigung : a br = 4 m/s 2<br />
Fahrzeug-Geschwindigkeit : v = 80 km/h<br />
{Ergebnisse : S R = 20 m; sbr = 20 m; s1 = 61,73 m (gr. Dreieck); s2 = 41,73 m (kl. Dreieck);<br />
ve = 18,27 m/s � 65,78 km/h }<br />
b.) Berechnen Sie die Bremszeit (Lö: 0,9875 s)<br />
c.) Wie viel Meter vor <strong>de</strong>m Starenkasten hätten wir mit <strong>de</strong>r Verringerung <strong>de</strong>r<br />
Geschwindigkeit beginnen müssen ?<br />
Reaktionszeit : t R = 0,9s ; Bremsbeschleunigung : a br = 4 m/s 2<br />
Fahrzeug-Geschwindigkeit : v = 80 km/h<br />
{Ergebnisse : sbr = 20 m; s1 = 61,73 m (gr. Dreieck); s2 = 24,11 m (kl. Dreieck mit <strong>de</strong>r Höhe<br />
50 km/h); s = 37,62 m (Trapez); s = s + sbr = 20 m + 37,62 m = 57,62 m }<br />
br R<br />
Aufgabe 3: Ein Autofahrer (v = 60 km/h) sieht in 30 m vor sich das Schild mit <strong>de</strong>r Aufschrift 30<br />
km/h. Nach einer Reaktionszeit von 0,8 s wer<strong>de</strong>n die Bremsen wirksam. Die<br />
2<br />
Bremsbeschleunigung beträgt entsprechend <strong>de</strong>s Straßenzustan<strong>de</strong>s 3 m/s .<br />
a.) Mit welcher Geschwindigkeit wird <strong>de</strong>r Fahrer 10 m nach <strong>de</strong>m Tempo-30-Schild<br />
geblitzt?<br />
{Ergebnisse : s R = 13,34m ; s br = 26,66 m(Trapez); s1 = 46,31 m (gr. Dreieck); s2 = 19,65 m<br />
(kl. Dreieck); v = 10,86 m/s � 39,1 km/h}<br />
e<br />
b.) Nach welcher Strecke und damit wie viel Meter nach <strong>de</strong>m Verkehrsschild hätte<br />
das Fahrzeug die vorgeschriebene Geschwindigkeit erreicht ?<br />
br<br />
{Ergebnisse : s1 = 46,3 m (gr. Dreieck); s2 = 11,7 m (kl. Dreieck mit <strong>de</strong>r Höhe 30 km/h); s =<br />
34,72 m (Trapez) ; s = 48,06 m d.h. 18,06 m nach <strong>de</strong>m Schild }<br />
Anhalteweg Seite -21
Aufgabe 4: Ein Autofahrer, <strong>de</strong>r sich auf einer Ausfallstraße (zugelassene Höchstgeschwindigkeit<br />
60 km/h) mit v = 100 km/h beweg ent<strong>de</strong>ckt plötzlich 150 m vor sich einen parken<strong>de</strong>n<br />
Streifenwagen <strong>de</strong>r Polizei.<br />
Mit welcher Beschleunigung müßte <strong>de</strong>r Fahrer (Reaktionszeit 0,8 s) bremsen, wenn er <strong>de</strong>n<br />
Streifenwagen mit <strong>de</strong>r vorgeschriebenen Geschwindigkeit passieren möchte ?<br />
dophy2008<br />
{Ergebnisse : s R = 22,22 m, s br = 127,78 m (Trapez) ; aus <strong>de</strong>m Ansatz : Trapez = gr. Dreieck (s1) -<br />
2 2<br />
kl. Dreieck (s2) kann aus s1 = v a /2a und s2 = v e /2a <strong>de</strong>r Term 1/a ausgeklammert wer<strong>de</strong>n ; a = 1,93<br />
m/s } 2<br />
Aufgabe 5: Auf einer Autobahn zieht ein PKW (1) bei Tempo 130 km/h nach links auf die<br />
Überholspur, um einen LKW (2) zu überholen. Reaktionszeit : 1s .<br />
Wie groß müßte <strong>de</strong>r Abstand eines auf <strong>de</strong>r Überholspur fahren<strong>de</strong>n Sportwagen (3)<br />
zum PKW (1) min<strong>de</strong>stens sein, wenn PKW (3) aus v = 200 km/h auf v = 130 km/h<br />
abbremsen muss ? (Bremsbeschleunigung: 6 m/s ) 2<br />
{Ergebnisse : aus <strong>de</strong>m Ansatz : Trapez = gr. Dreieck (s1) - kl. Dreieck (s2) folgt mit s1 = 257,2 m<br />
und s2 =108,7 m für s br (Trapez) : s br = 148,5 m; mit <strong>de</strong>m Reaktionsweg, s R = 55,5 m ergibt sich <strong>de</strong>r<br />
Gesamtweg aus s = s R + s br / Alternativ kann die Bremszeit aus <strong>de</strong>m Steigungsfaktor (a) im v-t<br />
Diagramm berechnet wer<strong>de</strong>nberechnet wer<strong>de</strong>n : t br = 3,2 s; damit kann <strong>de</strong>r Bremsweg berechnet<br />
wer<strong>de</strong>n : s br = v t br + ½ a t br } 2<br />
Aufgabe 6: Mitte <strong>de</strong>r 80er Jahre haben die sich die <strong>de</strong>utschen Automobilhersteller (Ausnahme<br />
Porsche) geeinigt, die Endgeschwindigkeit <strong>de</strong>r Fahrzeuge auf maximal 250 km/h<br />
elektronisch zu begrenzen, obwohl manche Mo<strong>de</strong>lle durchaus auf mehr als 250 km/h<br />
beschleunigen könnten.<br />
In <strong>de</strong>r Zeitschrift FOCUS, Heft Nr. 36, 2. September 2002, waren unter Überschriften<br />
wie “glühen<strong>de</strong> Bremsen beim Schnellfahrer” Bremswege angegeben, die<br />
schnellfahren<strong>de</strong> Autos auf <strong>de</strong>r Überholspur <strong>de</strong>r Autobahn benötigen, wenn sie<br />
plötzlich auf v = 130 km/h hinter einem nach links ausscheren<strong>de</strong>n PKW abbremsen<br />
müssen.<br />
abbremsen aus<br />
v = ..... km/h<br />
�v<br />
in km/h<br />
Länge <strong>de</strong>s Bremsweges<br />
in m<br />
Bremszeit<br />
in s<br />
180 50 130 1,9<br />
200 70 174 2,6<br />
250 120 304 4,4<br />
280 150 394 5,6<br />
Bremsbeschleunigung<br />
in m/s 2<br />
Anhalteweg Seite -22-
dophy2008<br />
Berechnen Sie bei einer Reaktionszeit von t R � 1 s die notwendige<br />
Bremsbeschleunigung<br />
Aufgabe 7: Sie fahren in einem Fahrzeug 1 mit v1 = 90 km/h auf einer Landstraße. Plötzlich<br />
sehen Sie, wie 30 m vor Ihnen ein Kalb auf die Straße läuft.<br />
a.) Prüfen Sie durch die Berechnung <strong>de</strong>s Anhalteweges, ob Sie rechtzeitig vor <strong>de</strong>r<br />
Kuh anhalten können. (Bremsbeschleunigung 6 m/s ) 2<br />
(Lö: s = 72,08 m; Nein)<br />
b.) Mit welcher Geschwindigkeit prallt das Fahrzeug gegen die Kuh? (a br = 6 m/s ) 2<br />
(Lö: 16,27 m/s � 58,6 km/h)<br />
c.) Welche Bremsbeschleunigung wäre notwendig gewesen, wenn Sie rechtzeitig vor<br />
<strong>de</strong>r Kuh hätten anhalten sollen?<br />
Beurteilen Sie, ob eine solche Bremsbeschleunigung möglich ist!<br />
2<br />
(Lö: 62,5m/s ; Nein!)<br />
d.) Wie schnell hätten Sie fahren dürfen, wenn damit Sie hätten rechtzeitig anhalten<br />
können? (a br = 6 m/s )<br />
2<br />
2<br />
(Lö: 0 = v + 2at v + 2as; v = 13,899 m/s � 50 km/h)<br />
Aufgabe 8: Ein PKW fährt durch ein Wohngebiet mit v = 50 km/h.<br />
R<br />
a.) Berechnen Sie <strong>de</strong>n Anhalteweg bei einer Reaktionszeit von 1 Sekun<strong>de</strong>. Vom<br />
Hersteller wird die Verzögerung auf trockener Straße mit 6 m/s angegeben.<br />
2<br />
b.) Wie verän<strong>de</strong>rt sich <strong>de</strong>r Anhalteweg im Winter bei Schnee und Glatteis?<br />
c.) Welche Än<strong>de</strong>rungen ergeben sich .B. an Sylvester nach <strong>de</strong>m Genuss von Alkohol<br />
bei Schneeglätte.<br />
d.) Eine beson<strong>de</strong>re Risikogruppe stellen Kin<strong>de</strong>r dar (Bereich von Kin<strong>de</strong>rgärten,<br />
Spielplätzen, ...). Welcher Zusammenhang besteht zwischen dieser Gefahr und<br />
<strong>de</strong>n physikalischen Größen beim Anhalteweg.<br />
e.) Suchen Sie in <strong>de</strong>r Zulassungsordnung für KFZ (z.B. Internet) die Werte für die<br />
vorgeschriebenen Min<strong>de</strong>stverzögerungen.<br />
f.) Bei Ihrer Fahrt durch die Ortschaft kommen Sie an einer Kaserne vorbei und<br />
sehen vor sich eine Panzerkolonne.<br />
Warum müssen Sie hinter Militärfahrzeugen wie Panzer einen beson<strong>de</strong>rs hohen<br />
Sicherheitsabstand halten.<br />
(Bsp.: Ein Loepard 2 stand beim Abbremsen aus 70 km/h nach 20,6 m)<br />
g.) Wie groß sollte <strong>de</strong>r Min<strong>de</strong>stabstand zwischen zwei baugleichen Fahrzeugen sein,<br />
wenn bei gleicher Reaktionszeit die Fahrzeuge aus <strong>de</strong>r gleichen Geschwindigkeit<br />
angehalten wer<strong>de</strong>n sollen?<br />
Anhalteweg Seite -23-
10. Verkehrsampelprobleme - Anhalten o<strong>de</strong>r Beschleunigen<br />
Nimmt ein Verkehrsteilnehmer/in <strong>de</strong>n Wechsel <strong>de</strong>r Signalfarbe von grün auf gelb an einer Ampel<br />
wahr, so steht Er/Sie vor <strong>de</strong>r Entscheidung, entwe<strong>de</strong>r noch schnell zu beschleunigen (um die<br />
Kreuzung min<strong>de</strong>stens noch in <strong>de</strong>r Gelbphase sicher zu überqueren) o<strong>de</strong>r anzuhalten.<br />
Für die Fahrzeuge 1 und 2 können wir folgen<strong>de</strong> Möglichkeiten unterschei<strong>de</strong>n:<br />
1. Fahrzeug 1 o<strong>de</strong>r 2 haben die Geschwindigkeitsbegrenzung eingehalten und können so<br />
rechtzeitig anhalten.<br />
2. Fahrzeug 1 o<strong>de</strong>r 2 können durch entsprechen<strong>de</strong> Beschleunigung noch rechtzeitig, d.h. bevor die<br />
Ampel auf rot zeigt, die Kreuzung sicher überqueren.<br />
� Die Geschwindigkeiten sind so groß, dass <strong>de</strong>r Anhalteweg auf <strong>de</strong>r Kreuzung en<strong>de</strong>n wür<strong>de</strong>, d.h.<br />
die sinnvolle Geschwindigkeitsbeschränkung wur<strong>de</strong> nicht eingehalten.<br />
� Die Beschleunigung reicht nicht aus, d.h. man befin<strong>de</strong>t sich noch auf <strong>de</strong>r Kreuzung während die<br />
queren<strong>de</strong> Fahrtrichtung bereits freie Fahrt besitzt.<br />
dophy2008<br />
Überlegungen zu <strong>de</strong>n Schranken für das Anhalten und Beschleunigen:<br />
Die obige Abbildung zeigt, dass ein rechtzeitiges Anhalten ist möglich, wenn <strong>de</strong>r Anhalteweg<br />
Anhalteweg Seite -24-
kleiner o<strong>de</strong>r gleich <strong>de</strong>m Abstand A <strong>de</strong>s Fahrzeuges zur Kreuzung ist. Kann das Fahrzeug also<br />
vor <strong>de</strong>r Kreuzung zum Sillstand kommen, dann gelten die Gleichungen in (1) :<br />
dophy2008<br />
(1) (2)<br />
Beschleunigt das Fahrzeug am Beginn <strong>de</strong>r Gelbphase auf eine bestimmte Geschwindigkeit, so<br />
muss die Summe aus Reaktionsweg und Beschleunigungweg größer als <strong>de</strong>r Abstand A <strong>de</strong>s<br />
Fahrzeuges zur Kreuzung sein. Es gelten bei unterstellter konstanter Beschleunigung die<br />
Gleichungen in (2) :<br />
Für die Beschleunigungszeit t B gilt folgen<strong>de</strong> Überlegung:<br />
Unterstellen wir, dass <strong>de</strong>r Verkehrteilnehmer im Augenblick <strong>de</strong>s Wechsels von grün � gelb die<br />
Ampel sieht und dass die Gelbphase 4 Sekun<strong>de</strong>n beträgt. Dann blieben ihn für die<br />
Beschleunigung bei einer Reaktionszeit von 1 Sekun<strong>de</strong> nur noch 3 Sekun<strong>de</strong>n übrig. Allgemein<br />
gilt daher für die Beschleunigungszeit t B :<br />
Beschleunigungszeit � Dauer <strong>de</strong>r Gelbphase - Reaktionszeit<br />
Mit t B = 3s folgt dann aus Gl.(2) :<br />
(3)<br />
Anhalteweg Seite -25-
dophy2008<br />
Zusammenfassung:<br />
Für eine Reaktionszeit von 1 Sekun<strong>de</strong> und einer Gelbphase von 4 Sekun<strong>de</strong>n erhalten wir damit<br />
folgen<strong>de</strong> Schranken :<br />
Anwendung :<br />
Berechnet wer<strong>de</strong>n die Werte <strong>de</strong>r bei<strong>de</strong>n Schranken für eine konstante Beschleunigung von 1,9<br />
2 m/s (das entspricht einer Beschleunigung von 0 auf 100 km/h in 14,62 Sekun<strong>de</strong>n) und eine<br />
2<br />
Bremsbeschleunigung von 4 m/s bei verschie<strong>de</strong>nen Geschwindigkeiten und einem Abstand von<br />
A = 100 m <strong>de</strong>s Fahrzeugs am Beginn <strong>de</strong>r Gelbphase.<br />
Geschwindigkeit<br />
in km/h (m/s)<br />
Anhalteschranke<br />
in m<br />
(4)<br />
Beschleunigungsschranke<br />
in m<br />
40 (11,1) 27 53<br />
50 (13,9) 38 64<br />
60 (16,7) 52 75<br />
65,77 (18,27) 60 81<br />
70 (19,4) 66 86<br />
80 (22,2) 84 97<br />
90 (25) 103 108,5<br />
95,67 (26,575) 114,85 114,85<br />
100 (27,8) 124 120<br />
110 (30,6) 148 131<br />
120 (33,3) 172 142<br />
Aussagen unabhängig von <strong>de</strong>r Strecke A :<br />
Bis 95 km/h ist die Beschleunigungsstrecke größer als <strong>de</strong>r Anhalteweg, so dass sich eine<br />
positive Differenz ergibt aus <strong>de</strong>r Rechnung : Differenz = Beschleunigungsschranke -<br />
Anhalteweg Seite -26-
Anhalteschranke .<br />
Erst bei Geschwindigkeiten größer 95 km/h wird diese Differenz negativ, d.h. in <strong>de</strong>r gleichen<br />
Zeit bleibt die Beschleunigungsstrecke hinter <strong>de</strong>r Anhaltestrecke zurück. Dies erklärt sich<br />
2<br />
dadurch, dass in <strong>de</strong>r Formel für <strong>de</strong>n Bremsweg <strong>de</strong>r Einfluss von v immer stärker im Ergebnis<br />
in Erscheinung tritt.<br />
Weiterhin können wir sagen - ein Anhalten innerhalb <strong>de</strong>s jeweiligen Anhalteweges<br />
vorausgesetzt - dass <strong>de</strong>r Fahrer bzw. die Fahrerin solange eine Wahl zwischen Anhalten o<strong>de</strong>r<br />
Beschleunigen hat, solange gilt:<br />
dophy2008<br />
Beschleunigungsschranke - Anhalteschranke � 0<br />
Aus Gleichung (5) folgt die gemischt-quadratische Gleichung und <strong>de</strong>ren Lösung (6)<br />
2 2<br />
Mit a = 1,9 m/s und a br = 4 m/s (tR = 1s wur<strong>de</strong> bereits berücksichtigt bei <strong>de</strong>r Entwicklung <strong>de</strong>r<br />
Gleichung (5,6)) errechnet man für v: v = 95,67 km/h<br />
Sei <strong>de</strong>r Anhalteweg gleich <strong>de</strong>m Abstand A <strong>de</strong>s Fahrzeugs zur Kreuzung !<br />
Unterstellen wir anhand <strong>de</strong>r Tabellenwerte, dass <strong>de</strong>r jeweilige Anhalteweg ausreicht, um<br />
rechtzeitig vor <strong>de</strong>r Ampel anhalten zu können. D.h. das Fahrzeug befin<strong>de</strong>t sich jeweils am<br />
Beginn <strong>de</strong>r Gelbphase in diesem Abstand von <strong>de</strong>r Kreuzung. Dann können wir sagen, dass bis<br />
zur Geschwindigkeit von 95 km/h sowohl ein Anhalten als auch eine Beschleunigung möglich<br />
ist (positive Differenz). Erst ab Geschwindigkeiten größer 95 km/h ist eine Beschleunigung<br />
nicht mehr möglich. Die Ampel zeigt bereits rot, bevor <strong>de</strong>r Wagen (mit <strong>de</strong>r unterstellen<br />
2<br />
Beschleunigung von 1,9 m/s ) die Kreuzung erreicht hat.<br />
Die folgen<strong>de</strong>n Abbildungen ver<strong>de</strong>utlichen diesen Sachverhalt!<br />
(6)<br />
(5)<br />
Anhalteweg Seite -27-
dophy2008<br />
Betrachtungen bei einem vorgegebenem Abstand A :<br />
Wir betrachten dazu unser Fahrzeug mit <strong>de</strong>r durchschnittlichen Beschleunigung von 1,9 m/s 2<br />
Interpretationen anhand <strong>de</strong>r Tabelle !<br />
Beträgt <strong>de</strong>r Abstand <strong>de</strong>s Fahrzeuges am Beginn <strong>de</strong>r Gelbphase, z.B. A = 60 m, so können wir<br />
sagen, dass ein rechtzeitiges Anhalten vor <strong>de</strong>r Ampel am En<strong>de</strong> <strong>de</strong>r Gelbphase (Wechsel gelb �<br />
rot) bis zu Geschwindigkeiten von knapp 65 km/h möglich ist. In diesem Fall ist eine<br />
Beschleunigung ebenfalls möglich, da die Beschleunigungsschranke wesentlich größer ist als A.<br />
Eine Beschleunigung wird nur dann nicht mehr sinnvoll sein bei Geschwindigkeiten unter 50<br />
km/h.<br />
Formt man die Gleichungen(4) für die jeweiligen Gleichungen nach <strong>de</strong>r Geschwindigkeit bei<br />
vorgegebenen Abstand A um so folgt für die kritische Geschwindigkeit, bei <strong>de</strong>r ein Anhalten<br />
o<strong>de</strong>r eine Beschleunigung noch möglich ist :<br />
Anhalteweg Seite -28-
dophy2008<br />
2<br />
Für a br = 4 m/s und A = 60 m erhält man dann<br />
für <strong>de</strong>n Anhaltevorgang <strong>de</strong>n Wert v = 65,77 km/h,<br />
für <strong>de</strong>n Beschleunigungsvorgang <strong>de</strong>n Wert v = 46 km/h.<br />
Aussage:<br />
Das Fahrzeug kann<br />
rechtzeit anhalten für v � 65 km/h<br />
und<br />
ausreichend beschleunigen ab v � 46 km/h<br />
Anhalteweg Seite -29