Rate und Survivorfunktion: drei unterschiedliche Merkmalsgruppen ...

Rate und Survivorfunktion: drei unterschiedliche Merkmalsgruppen 

Abb. 1: Ratenfunktionen Abb. 2: zugehörige Survivorfunktionen 

Wert der Rate 

,13 

,12 

,11 

,10 

,09 

,08 

,07 

0 

4 

8 

12 

16 

20 

24 

Prozesszeit in Monaten 

28 

32 

36 

G(t) = Anteil ohne Ereignis 

1,0 

,8 

,6 

,4 

,2 

0,0 

0 

4 

8 

12 

16 

r = 0.08 

r = 0.1 

r = 0.12 


M. Windzio: Ereignisanalyse WS 03-04 , Folie Nr. 1 

20 

24 

28 

32 

36

Das Exponentialmodell: Zeitkonstante Kovariaten 

Wie wirken sich zeitkonstante Merkmale der Beobachtungseinheiten 

auf die zeitkonstante Übergangsrate r aus? 

Regressionsgleichung: 

⎡β 

0 ⎤ 

⎢ ⎥ 

⎢ 

β1 

β = ⎥ 

⎢β 

⎥ 2 

⎢ ⎥ 

⎣β 

k ⎦ 

[ x x x x ] 

X '= 0 1 2 

r = exp( β + β x + ... + β x ) = exp( βX 

X‘: Zeilenvektor zeitkonstanter Merkmale der Beobachtungseinheiten 

ββββ : Spaltenvektor der Regressionskoeffizienten, β 0 ist die Konstante 

0 

= exp( β ) ⋅exp( 

β ) 

0 

k 

1 

1 

1 

x 

1 

k 

k 

⋅... 

⋅exp( 

β ) 


k 

x 

k 

')

Die Schätzung der Koeffizienten β0 , ... , βk erfolgt wieder nach dem 

Maximum-Likelihood Verfahren. 

Log-Likelihood für das Exponentialmodell mit zeitkonstanten 

Kovariaten X : 

wir erinnern uns: ) = exp( β + β x + ... + β 

ln[ ( r | ti 

, X i , i ∈ S)] 

= ln[ r( 

t )] + ln[ 

G( 

t i)] 

= 

+ 

∑ 

i∈E 

∑[ 

- exp( β + + + • ] 

0 β1x1 

... βkx 

k ) ti 

i∈S 

L ∑ ∑ 

[ β + β x 

0 

i 

1 

i 

1 

i 

i∈E 

i∈S 

∈ S)] 

= ∑ ln[ r( 

ti 

)] + ∑ 

i∈E 

i∈S 

ln[ L( r | t , X , i 

− r( 

t ) • t 

+ ... + β x 

[ L(r | t , X , i ∈S) 

] = max ln[ 

L( β ,..., β | t , i ∈S) 

] 

rˆ = max ln i i 

0 k i 

r 0 

k 

k 

] 

r(ti 0 1 1 

kx 

k ) 

β ,..., β 

k 

i 

Aufgabe für Algorithmus: 

maximiere Log-Likelihood 

bei gegebenen Daten 

X hinsichtlich der Parameter 

ββββ 0 bis ββββ k 


i

Ratenregression mit zeitkonstanten Kovariaten: Exponentialmodell 

rate( #Aufstiege 

xa(0,1)=Frau,PRES,EDU, 

rrisk, 

)=2; 

Regressionsmodell: y=β 0 + β 1 *x 1 +...+ β k *x k +e 

r(t)=exp(-5.01+0.036*Frau-0.1*PRES +0.2255* EDU) 

Idx SN Org Des MT Variable Coeff Error C/Error Signif 

------------------------------------------------------------------- 

1 1 0 1 A Constant 

⎡β 

0 ⎤ 

-5.0103 0.8372 -5.9843 1.0000 

⎢ ⎥ 

2 1 0 1 A Frau ⎢ 

β1 

⎥ 0.0359 0.3493 0.1029 0.0819 

3 1 0 1 A PRES ⎢β 

⎥ -0.1025 0.0208 -4.9310 1.0000 

2 

4 1 0 1 A EDU ⎢ ⎥ 0.2255 0.0531 4.2442 1.0000 

⎣β 

3 ⎦ 

Wie wird aus den geschätzten Koeffizienten die Rate berechnet? 

r = exp( β + β x + ... + β x 

x1 

) = exp( β ) ⋅ exp( β ) ⋅... 

⋅ exp( β ) 

0 1 1 

k k 

0 

1 

k 

x k 

Verändert sich die Kovariate xj und eine Einheit (∆x Einheiten), 

verändert sich die Schätzung für r um den Faktor exp(βk ) bzw. exp(β3 ) ∆x . 

a) EDU => exp(0.2255)=1.25, mit jedem Jahr EDU steigt r um das 1.25fache 

b) gegenüber Abi (EDU =13) erhöht ein Studium (EDU =18) die Rate um 

exp(β 3 ) ∆x = exp(0.2255) 5 = 3.08, bzw. [exp(0.2255) 5 – 1 ] * 100% = 208% 

M. Windzio: Ereignisanalyse WS 03-04 , Folie Nr. 4

Zwei Varianten von Signifikanztests für die Regressionskoeffizienten: 

1.) T-Test, woher kommt σσσσ ? Diagonalelemente von H ˆ −1 

( − ) / n 

ˆ βk 

t = 

ˆ σ ( ˆ βk 

) 

Hˆ 

2 ⎡ ∂ l 

⎢ 2 

⎢ 

∂x 

1 

= ⎢ . 

2 ⎢ ∂ l 

⎢ 

⎣ ∂x 

k ∂x 

1 

... 

... 

2 

∂ l ⎤ 

⎥ 

∂x 

1 ∂x 

k ⎥ 

. ⎥ 

2 

∂ l ⎥ 

2 ⎥ 

∂x 

k ⎦ 

2. Ableitungen: 

„Steigung der 

Steigung“ der Log- 

Likelihoodfunktion 

für den jeweiligen 

2.) Likelihood- Ratio Test (LR-Test) 

Parameter 

Vergleich der Log-Likelihood des Modells mit Referenzmodell 

LL 1 : Referenzmodell: r = exp(β 0 + β 1 x 1 ) 

LL 2 : um β 2 x 2 erweitert: r = exp (β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 ) 

Oder: 

LL 0 Referenzmodell: r = exp(β 0 ) „Nullmodell“ 

LL 2 Erweitertes Modell: r = exp (β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 ) 


Vergleich der Log-Likelihood-Werte zweier Modelle führt zu 

Likelihood-Ratio Test (LR), der annäherungsweise χ 2 verteilt ist: 

χ 2 =2 * [ LL 1 –LL 0 ] df=Zahl der neuen Parameter 

χ 2 =2 * [ LL(aktuelles Modell) – LL(Referenzmodell) ] 

a) Aktuelles Modell enthält gegenüber dem Referenzmodell eine 

erklärende Variable und einen Parameter mehr. Information 

entspricht T-Test. Bei kleinen Fallzahlen hat LR-Test Priorität! 

Oder Gruppe von Variablen (z.B. Dummies für Kohorten) 

b) Aktuelles Modell mit k erklärenden Variablen ist Ihr „bestes“. 

Passt das Gesamtmodell signifikant besser zu den Daten als 

Modell ohne Kovariaten? χ 2 - Test analog zum F-Test der 

Signifikanz des R 2 in OLS Regression. 


Beispiel: Rate des Verlassens der Arbeitsstelle (exp1.cf) 

Referenzmodell: 


------------------------------------------------------------------- 

1 1 0 1 A Constant -5.1123 0.2442 -20.9327 1.0000 

2 1 0 1 A Frau 0.5969 0.0948 6.2950 1.0000 

3 1 0 1 A EDU 0.0348 0.0205 1.6958 0.9101 

Log likelihood (starting values): -2514.0201 

Log likelihood (final estimates): -2494.4869 

aktuelles Modell: Variable Lfx wird eingeführt 


------------------------------------------------------------------- 

1 1 0 1 A Constant -4.8284 0.2530 -19.0815 1.0000 

2 1 0 1 A Frau 0.5236 0.0957 5.4694 1.0000 

3 1 0 1 A EDU 0.0294 0.0208 1.4087 0.8411 

4 1 0 1 A Lfx -0.0038 0.0008 -4.7709 1.0000 

Log likelihood (starting values): -2514.0201 

Log likelihood (final estimates): -2481.2854 

χ 2 =2 * [ LL(aktuelles Modell) – LL(Referenzmodell) ] 

χ 2 =2*[ -2481,28 - (-2494,48) ]=2*13,2=26,4 (df=1), 1- p=0.9906 

automatisiert: lr_test.cf 


Ereignisanalyse: Exponentialmodell 

Modellvarianten, nicht nur für Exponentialmodell: exp1.cf 

1.) Ein Zielzustand, eine Episode pro Person 

2.) Ein Zielzustand, mehrere Episoden pro Person 

3.) Ein Zielzustand, mehrere Episoden pro Person, Effekte für jeden 

Übergang separat geschätzt 

4.) Mehrere Zielzustände: competing risk models 

dblock=ID, 

Lfx=cum(Dur)-Dur, 

# Vorgeschichte 

Ep_1=SN - 1, 

1. Aufgabenblatt, auch mit pre 

Anzahl der vorangegangenen Episoden 

# Kovariate: Effekt von Lfx fuer beide Geschlechter 

# Interaktionsterm 

Lfx_fr=Frau[1]*Lfx, 

Interaktionsterm 



edef( 

org=0, 

des=DES, 

Definition der Episodendaten → bekannt! 

ts=0, 

tf=Dur, 

); 

# Regressionsmodell: Rate von Geschlecht abhängig 

rate( 

xa(0,1)=Frau, # x-Vektor auf den a-Term 

rrisk, # relative Risiken, exp(beta) 

)=2; # 2=exponential model 

# Regressionsmodell: Rate von Geschlecht abhängig, 

# unter Kontrolle des Ausbildungsniveaus ("highest") 

rate( 

xa(0,1)=Frau,EDU, 

rrisk, 

)=2; 



Mehrere Episoden pro Person: 

• Problem: Episoden sind nicht unabhängig voneinander. 

• Lösungsansatz 1.) : Kontrolle der Vorgeschichte, hier: 

Berufserfahrung und Zahl der vorangegangenen Episoden. 

• Lösungsansatz 2.) : separate Modellierung der Übergänge 

rate( 

xa(0,1)=Frau,EDU,Lfx, 

rrisk, 

)=2; 

rate( 

xa(0,1)=Frau,EDU,Lfx,Ep_1, 

rrisk, 

)=2; 

1.) Kontrolle der Vorgeschichte 

Berufserfahrung 

Anzahl der vorangegangenen Episoden. Problem: 

was misst diese Variable genau? Zumindest Kontrolle 

„unbeobachteter Heterogenität“, die mit häufigem 

Wechseln korreliert. 



2.) separate Modellierung der einzelnen Übergänge 

edef( 

org=0, 

des=DES, 

ts=0, 

tf=Dur, 

id=ID, 

sn=SN, # Mehrepisodenfall, 

); 

• wenn SN nicht vorhanden, Variable bilden mit: 

dblock=ID, 

SN=brec, 

• Problem des Ansatzes: schwindende Fallzahlen mit steigender 

Episodennummer. Begrenzung auf „die ersten Episoden“ wiederum 

problematisch, da „Mover“ zu gering vertreten sind. 


Ereignisanalyse: Exponentialmodell, Interaktionseffekt 


------------------------------------------------------------------- 

1 1 0 1 A Constant -4.7610 0.2541 -18.7397 1.0000 

2 1 0 1 A Frau 0.3834 0.1166 3.2884 0.9990 

3 1 0 1 A EDU 0.0289 0.0208 1.3869 0.8345 

4 1 0 1 A Lfx -0.0051 0.0011 -4.8416 1.0000 

5 1 0 1 A Lfx_fr 0.0034 0.0016 2.1305 0.9669 

Regressionsmodell, allgemeine Darstellung: 

y=b ^ 

0+b1x1+...+bnxn Regressionsmodell mit Interaktion Berufserfahrung x Frau: 

r(t)=exp(-4.76+0.3834*Frau+0.0289*EDU 

-0.0051*Lfx+0.0034*Lfx_fr) 

b(Lfx) =Effekt für Männer 

b(Lfx)+b(Lfx_fr) =Effekt für Frauen 

Resultat: 

Effekt für Männer negativ. Effekt für Frauen auch, jedoch weniger 

stark. Berufserfahrung wirkt sich für Frauen also weniger 

stabilisierend aus, als für Männer 



Wichtig: anschauliche Darstellung der empirischen Befunde 

• Ereignisanalytisches Regressionsmodell: wenig anschaulich, 

zumal mit Interaktionseffekt 

• Survivorfunktion: einfach, sehr anschaulich 

Anhand der geschätzten Parameter können Survivorfunktionen für 

spezifische Merkmalskonstellationen berechnet werden. 

→prate-Option im Rahmen des rate- Befehls 

liefert für jeden gewählten Zeitpunkt G(t), f(t) und r(t) 

Ergebnis wird grafisch dargestellt 


Anteil noch im Job 

Abb. 1: Einfluss der Berufserfahrung auf die 

Beschäftigungsstabilität, getrennt nach Geschlecht 

1,0 

,9 

,8 

,7 

,6 

,5 

,4 

,3 

,2 

,1 

0,0 

0 

2 

Lfx Lfx=60 Lfx Lfx =60 Monate 

Monate 

Lfx Lfx=24 Lfx =24 Monate 

Monate 

4 

6 

8 

10 

12 

14 

16 

18 

20 

22 

24 


Quelle: MPI-Lebensverlaufsstudie, eigene Berechungen 

26 

28 

30 

32 

34 

36 

Männer 

Männer 

Frauen 

Frauen 



prate: berechne auf Basis der im Modell geschätzten Koeffizienten 

(Regressionsgleichung) die Rate über die Zeitachse hinweg. Und zwar 

für bestimmte Merkmalskombinationen, die gerade von Interesse sind. 

Hier: Interaktion Frau ×××× Lfx 

rate( 

xa(0,1)=Frau,EDU,Lfx,Lfx_fr, 

rrisk, 

# Frauen, 2 Jahre Berufserfahrung 

prate(tab=0(1)36,Frau=1,EDU=12,Lfx=24,Lfx_fr=24)=Frau24.t, 

# Maenner, 2 Jahre Berufserfahrung 

prate(tab=0(1)36,Frau=0,EDU=12,Lfx=24,Lfx_fr=0)=Mann24.t, 

# Frauen, 5 Jahre Berufserfahrung 

prate(tab=0(1)36,Frau=1,EDU=12,Lfx=60,Lfx_fr=60)=Frau60.t, 

# Maenner, 5 Jahre Berufserfahrung 

prate(tab=0(1)36,Frau=0,EDU=12,Lfx=60,Lfx_fr=0)=Mann60.t, 

)=2; 



„trivial“ matching: Zusammenführen der Datensätze durch 

einfaches nebeneinander legen. Hier ausreichend, weil die 

Zeitachse für jede Matrix identisch ist. 

Frau24.t Frau60.t Mann24.t Mann60.t 

0 1 

1 0.99 

2 0.96 

3 0.91 

. . 

. . 

36 0.57 

0 1 

1 0.99 

2 0.98 

3 0.97 

. . 

. . 

36 0.60 

0 1 

1 0.99 

2 0.98 

3 0.98 

. . 

. . 

36 0.74 

0 1 

1 0.99 

2 0.99 

3 0.99 

. 

. 

36 0.80 

Dann wird 

Datensatz in SPSS 

eingelesen und 

Grafik erstellt mit: 

g_interaktion.sps 

4 Datensätze werden zu einem Datensatz verbunden und 

herausgeschrieben, weil clear; Befehl fehlt

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