Fraktale Dimension

Fraktale Dimension
Messen von Komplexität
Sebastian Holtermann
Fraktale Dimension – p. 1

Dimension
Der Begriff Dimension geht zurück auf die Euklidische
Geometrie und soll soviel wie „Anzahl der
Ausdehnungen“ bedeuten.
Fraktale Dimension – p. 2

Euklidische Geometrien
Beschäftigt sich mit regelmäßigen Gebilden, wie z. B.
Fraktale Dimension – p. 3

Euklidische Geometrien
Beschäftigt sich mit regelmäßigen Gebilden, wie z. B.
Kreisen
Fraktale Dimension – p. 3

Euklidische Geometrien
Beschäftigt sich mit regelmäßigen Gebilden, wie z. B.
Kreisen Dreiecken
Fraktale Dimension – p. 3

Euklidische Geometrien
Beschäftigt sich mit regelmäßigen Gebilden, wie z. B.
Kreisen Dreiecken Wuerfeln
Fraktale Dimension – p. 3

Euklidische Geometrien
Beschäftigt sich mit regelmäßigen Gebilden, wie z. B.
Kreisen Dreiecken Wuerfeln
−→ Drastische Abstraktionen
Fraktale Dimension – p. 3

Euklidische Geometrien
Beschäftigt sich mit regelmäßigen Gebilden, wie z. B.
Kreisen Dreiecken Wuerfeln
−→ Drastische Abstraktionen
−→ Ganzzahlige Dimension
Fraktale Dimension – p. 3

Euklidische Geometrien
Geraden und Geradenabschnitte (Strecken)
Fraktale Dimension – p. 4

Euklidische Geometrien
Geraden und Geradenabschnitte (Strecken)
Erstrecken sich in nur einer Richtung (Dimension).
D = 1
Fraktale Dimension – p. 4

Euklidische Geometrien
Ebenen und Ebenenstücke (Flächen)
Ebene Dreieck Kreis
Fraktale Dimension – p. 5

Euklidische Geometrien
Ebenen und Ebenenstücke (Flächen)
Ebene Dreieck Kreis
Erstrecken sich in zwei Dimensionen.
D = 2
Fraktale Dimension – p. 5

Euklidische Geometrien
Raum und Raumteile (Volumen)
Würfel Kugel
Fraktale Dimension – p. 6

Euklidische Geometrien
Raum und Raumteile (Volumen)
Würfel Kugel
Erstrecken sich in drei Dimensionen.
D = 3
Fraktale Dimension – p. 6

Dimension eines Vektorraumes
Sind
�a1,�a2, . . . ,�an
(1)
linear unabhängige Elemente eines Vektorraumes V und
für jedes weitere Element �a ∈ V existieren nicht
verschwindende Koeffizienten λi, so dass
n�
i=0
λi�ai + λ�a
����
�=�0
= 0 (2)
Dann bilden die Vektoren �a1,�a2, . . . ,�an eine Basis von V
und die Dimension D von V ist D = n.
Fraktale Dimension – p. 7

Faltung in höherer Dimensionen
1-D in 2-D: {x|x ∈ [0, 1]} → R 2
−→
f1 : G → R 2
Fraktale Dimension – p. 8

Faltung in höherer Dimensionen
1-D in 2-D: {x|x ∈ [0, 1]} → R 2
−→
f1 : G → R 2
2-D in 3-D: {(x, y)|x, y ∈ [0, 1]} → R 3
−→
f2 : E → R 3
Fraktale Dimension – p. 8

Wie lang ist die Küste von England?
Fraktale Dimension – p. 9

Wie lang ist die Küste von England?
Zirkelmethode
Fraktale Dimension – p. 9

Wie lang ist die Küste von England?
Zirkelweite: ε = 100 km
Länge: 3800 km
Zirkelmethode
Fraktale Dimension – p. 9

Wie lang ist die Küste von England?
Zirkelweite: ε = 100 km
Länge: 3800 km
Zirkelmethode
Zirkelweite: ε = 50 km
Länge: 5770 km
Fraktale Dimension – p. 9

Wie lang ist die Küste von England?
Feststellungen
Fraktale Dimension – p. 10

Wie lang ist die Küste von England?
Feststellungen
Die Länge L der Küstenlinie hängt von der Größe
des Maßstabes ε ab: L = L(ε).
Fraktale Dimension – p. 10

Wie lang ist die Küste von England?
Feststellungen
Die Länge L der Küstenlinie hängt von der Größe
des Maßstabes ε ab: L = L(ε).
Mit kleiner werdendem Maßstab ε divergiert die
Länge L(ε) der Küste.
Fraktale Dimension – p. 10

Wie lang ist die Küste von England?
Feststellungen
Die Länge L der Küstenlinie hängt von der Größe
des Maßstabes ε ab: L = L(ε).
Mit kleiner werdendem Maßstab ε divergiert die
Länge L(ε) der Küste.
An keinem Punkt der Küste ist Differenzierbarkeit
gewährleistet.
Fraktale Dimension – p. 10

Wie lang ist die Küste von England?
Feststellungen
Die Länge L der Küstenlinie hängt von der Größe
des Maßstabes ε ab: L = L(ε).
Mit kleiner werdendem Maßstab ε divergiert die
Länge L(ε) der Küste.
An keinem Punkt der Küste ist Differenzierbarkeit
gewährleistet.
→ Paradox ←
Fraktale Dimension – p. 10

Mandelbrot’s Lösung: Fraktale
Die Küste ist ein Mittelding zwischen Linie und
Fläche, ein „Monstrum“ mit nicht ganzahliger
Dimensionalität.
Fraktale Dimension – p. 11

Mandelbrot’s Lösung: Fraktale
Die Küste ist ein Mittelding zwischen Linie und
Fläche, ein „Monstrum“ mit nicht ganzahliger
Dimensionalität.
Ein Fraktal ist eine Menge, deren
Hausdorff-Besicowitch-Dimension echt die
topologische Dimension übersteigt.
Fraktale Dimension – p. 11

Volumenbestimmung
Flächenbestimmung eines Quadrates.
ε = 1
2
N(ε) = 4
ε = 1
4
N(ε) = 16
ε = 1
8
N(ε) = 32
Fraktale Dimension – p. 12

Volumenbestimmung
Flächenbestimmung eines Quadrates.
ε = 1
2
N(ε) = 4
ε = 1
4
N(ε) = 16
V (ε) = N(ε) · ε 2
ε = 1
8
N(ε) = 32
(4)
Fraktale Dimension – p. 12

Volumenbestimmung
Strecke
Quadrat
Würfel
V (ε) = n ·
V (ε) = n 2 ·
V (ε) = n 3 ·
� C
n
� C
n
� C
n
� 1
� 2
� 3
= C
= C 2
= C 3
Fraktale Dimension – p. 13

Kapazitätsdimension DC
Allgemein
V (ε) = N(ε) · ε DC ← Kapazitätsdimension
Fraktale Dimension – p. 14

Kapazitätsdimension DC
Allgemein
DC = lim
ε→0
V (ε) = N(ε) · ε DC ← Kapazitätsdimension
� ln(V (ε))
ln(ε)
− ln(N(ε))
ln(ε)
�
Fraktale Dimension – p. 14

Kapazitätsdimension DC
Allgemein
DC = lim
ε→0
V (ε) = N(ε) · ε DC ← Kapazitätsdimension
� ln(V (ε))
ln(ε)
− ln(N(ε))
ln(ε)
Ergebnisse nur interessant, wenn V (ε) konvergiert.
�
Fraktale Dimension – p. 14

Kapazitätsdimension DC
Allgemein
DC = lim
ε→0
V (ε) = N(ε) · ε DC ← Kapazitätsdimension
� ln(V (ε))
ln(ε)
− ln(N(ε))
ln(ε)
Ergebnisse nur interessant, wenn V (ε) konvergiert.
�
DC = − ln(N(ε))
ln(ε)
Fraktale Dimension – p. 14

Beispiel: Koch’s Kurve
Fraktale Dimension – p. 15

Literatur
John Argyris, Gunter Faust, Maria Haase Die
Erforschung des Chaos
Benoît B. Mandelbrot Die fraktale Geometrie der
Natur
H. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe Bausteine des
Chaos - Fraktale
Jänich Lineare Algebra
Fraktale Dimension – p. 16