4 Funktionen und Gleichungen - CeVis

4 Funktionen und Gleichungen 66
4 Funktionen und Gleichungen
Funktionen sind ganz grundlegende Objekte der Mathematik und
nehmen daher auch im Schulunterricht einen breiten Raum ein.
Normalerweise wird bei Funktionen der Zuordnungsaspekt herausgestellt,
dass also gewissen mathematischen Objekten (meistens
Zahlen) andere mathematische Objekte zugeordnet werden. In den
vorhergehenden Kapiteln haben wir mit den geometrischen
Abbildungen ebenfalls Funktionen kennen gelernt. Hier waren die
mathematischen Objekte Punkte (Kapitel 2) bzw. Vektoren (Kapitel 3).
4.1 Grundbegriffe
In diesem Abschnitt soll, sozusagen in einem kleinen Schlenker abseits
von unserer Hauptstraße, aufgezeigt werden, was in der Mathematik
recht abstrakt unter einer Funktion verstanden wird. Einerseits werden
wir diesen abstrakten Weg nicht weiter verfolgen, dennoch öffnet er
den Blick auf manche Grundbegriffe und –probleme.
Um eine Funktion zu definieren brauchen wir zwei Mengen, A und B.
Als Beispiel nehmen wir für A die Menge der ersten 10 Buchstaben
des lateinischen Alphabets, also A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j} und für B
die Menge der Ziffern, also B = {0, 1, 2, ... , 9}. Zu diesen beiden
Mengen bilden wir das Kreuzprodukt, was einfach nur bedeutet, dass
Paare gebildet werden. Dabei wird die erste Position mit Elementen
der ersten Menge A belegt, im Beispiel also die Buchstaben, und die
zweite Position mit den Elementen der zweiten Menge B, im Beispiel
die Ziffern.
Definition 4.1 (kartesisches Produkt)
Gegeben sind zwei Mengen A und B. Dann versteht man unter dem
kartesischen Produkt (nach René Descartes) die Menge aller
geordneten Paare (a,b) mit a aus A und b aus B.
Formal: A × B = (a,b) | a ∈ A und b ∈B
{ }
Wenn man, wie im obigen Beispiel endliche, nicht zu große Mengen
hat, so kann man das kartesische Produkt sehr anschaulich und
übersichtlich aufschreiben
A × B = { (a,0) (b,0) (c,0) (d,0) (e,0) (f,0) (g,0) (h,0) (i,0) (j,0)
(a,1) (b,1) (c,1) (d,1) (e,1) (f,1) (g,1) (h,1) (i,1) (j,1)
(a,2) (b,2) (c,2) (d,2) (e,2) (f,2) (g,2) (h,2) (i,2) (j,2)
...
(a,9) (b,9) (c,9) (d,9) (e,9) (f,9) (g,9) (h,9) (i,9) (j,9)}

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Wichtig ist in dieser Anordnung, dass die Paare in einer Spalte
dasselbe Element aus A an der ersten Position haben und die Paare in
einer Zeile dasselbe Element aus B an der zweiten Position.
Trifft man nun irgend eine Auswahl aus dem kartesischen Produkt, so
spricht man von einer Relation. Für die Auswahl gibt es keine
Bedingung, sie kann beliebig sein (was dann die Relation letztlich
auch vollkommen abstrakt und ohne tieferen Sinn macht).
Definition 4.2 (Relation)
Gegeben sind zwei Mengen A und B. Dann versteht man unter einer
Relation r zwischen den Mengen A und B eine (beliebige) Teilmenge
des kartesischen Produktes A × B .
Formal: r ⊆ A × B
So könnte eine Relation r zwischen den Mengen A und B unseres
Beispiels sein:
r = { (a,0) (a,1) (b,9) (c,5) (h,7) (h,0) (w,5) (x,8) (x,2) (x,7) (z,0) }
Dieser Aufzählung können wir dann z.B. entnehmen, dass h in
Relation zu 7 ist, aber e nicht in Relation zu irgend einer Ziffer ist.
Eine bekannte, sinnvolle Relation ist z.B. die Kleinerrelation auf der
Menge der Zahlen. Für ein endliches Beispiel nehmen wir die Menge
A = {1, 2, 3, 4, 5} und B = A. Dann ist das kartesische Produkt,
übersichtlich geschrieben,
A × A = { (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2)
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4)
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5)}
Die Kleinerrelation k ist dann die Teilmenge von A × A , in der das
erste Element kleiner ist als das zweite, also
k = {(1,2) (1,3) (2,3) (1,4) (2,4) (3,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5)}.
Eine Funktion ist nun eine spezielle Relation – speziell in dem Sinn,
dass bei der Auswahl der Paare eine Bedingung zu beachten ist.
Definition 4.3 (Funktion)
Gegeben sind zwei Mengen A und B. Dann versteht man unter einer
Funktion f zwischen den Mengen A und B eine Teilmenge des
kartesischen Produktes A × B , die für die Zuordnung des zweiten
Elementes aus B eindeutig ist.
Formal: f ⊆ A × B und (a,b 1 ) ∈ f und (a,b 2 ) ∈ f ⇒ b 1 = b 2
Diese Eindeutigkeitsforderung nennt man rechtseindeutig. Sie macht
die übliche Schreibweise f(a) = b sinnvoll, die aussagt, dass a,b
( ) ∈ f

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Diese Eindeutigkeit ist leicht zu überprüfen. Die oben gegebene
Relation r ist keine Funktion, da es z.B. zwei verschiedene Elemente
aus r gibt, die als erstes Symbol ein h haben, nämlich (h,7) und (h,0).
Das Symbol h steht also sowohl zur 7 als auch zur 0 in Relation, was
die Bedingung für eine Funktion verletzt.
f = { (a,0) (c,1) (e,9) (g,5) (i,1) } ist dagegen eine Funktion zwischen A
und B, denn den ausgewählten Buchstaben wird eindeutig eine Ziffer
zugeordnet.
Eine zweite, noch leichtere Überprüfung der Funktionseigenschaft
erhält man, wenn das kartesische Produkt in der oben dargestellten,
übersichtlichen Form aufgeschrieben ist. Eine Funktion kann man
dann dadurch definieren, dass man die Elemente, die zu f gehören, in
dem rechteckig aufgeschriebenen kartesischen Produkt A × B
markiert. Die Funktionseigenschaft zeigt sich dadurch, dass maximal
ein Element in jeder Spalte markiert ist.
A × B = { (a,0) (b,0) (c,0) (d,0) (e,0) (f,0) (g,0) (h,0) (i,0) (j,0)
(a,1) (b,1) (c,1) (d,1) (e,1) (f,1) (g,1) (h,1) (i,1) (j,1)
(a,2) (b,2) (c,2) (d,2) (e,2) (f,2) (g,2) (h,2) (i,2) (j,2)
(a,3) (b,3) (c,3) (d,3) (e,3) (f,3) (g,3) (h,3) (i,3) (j,3)
(a,4) (b,4) (c,4) (d,4) (e,4) (f,4) (g,4) (h,4) (i,4) (j,4)
(a,5) (b,5) (c,5) (d,5) (e,5) (f,5) (g,5) (h,5) (i,5) (j,5)
(a,6) (b,6) (c,6) (d,6) (e,6) (f,6) (g,6) (h,6) (i,6) (j,6)
(a,7) (b,7) (c,7) (d,7) (e,7) (f,7) (g,7) (h,7) (i,7) (j,7)
(a,8) (b,8) (c,8) (d,8) (e,8) (f,8) (g,8) (h,8) (i,8) (j,8)
(a,9) (b,9) (c,9) (d,9) (e,9) (f,9) (g,9) (h,9) (i,9) (j,9)}
Die Definition 4.3 einer Funktion lässt zu, dass nicht jedem Element
von A ein Element aus B zugeordnet wird. Diese Teilmenge von A, die
die Elemente enthält, die bei der Definition von f als erste Elemente
der geordneten Paare auftauchen, heißt Definitionsmenge der
Funktion.
Definition 4.4 (Definitionsmenge)
Gegeben sind zwei Mengen A und B und eine Funktion f durch
Aufzählung der Elemente aus A × B . Dann heißt die Menge aller
Elemente aus A, die als erstes Element in den geordneten Paaren von f
auftauchen, die Definitionsmenge D der Funktion f.
Entsprechend gilt:
Definition 4.5 (Wertemenge)
Gegeben sind zwei Mengen A und B und eine Funktion f durch
Aufzählung der Elemente aus A × B . Dann heißt die Menge aller
Elemente aus B, die als zweites Element in den geordneten Paaren von
f auftauchen, die Wertemenge W der Funktion f.

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f = { (a,0) (c,1) (e,9) (g,5) (i,1) }
D = {a, c, e, g, i} W = {0, 1, 5, 9}
Abb. 4.1: Die Aufzählung der Elemente von f legt D und W fest
Eine Funktion zwischen den Mengen A und B ist also eine Menge von
geordneten Paaren, die rechtseindeutig ist. Sie ist dann definiert, wenn
für jedes geordnete Paar aus A × B genau entschieden werden kann, ob
es zu f gehört oder nicht.
Wie wir oben gesehen haben, ist eine Möglichkeit, diese Festlegung zu
treffen, die explizite Aufzählung der Paare, die zu f gehören.
Diese vollständige Aufzählung kann auch in anderer Art geschehen,
z.B. in einer Tabelle oder einem Mengendiagramm.
Abb. 4.2: Beispiel eines Mengendiagramms einer Funktion
Um die geforderte Eindeutigkeit zu erfüllen, darf jeder Person nur ein
Haustier zugeordnet werden. Hätte eine Person mehrere Haustiere,
wäre die Zuordnung keine Funktion.
Ist diese Menge aber sehr groß oder gar unendlich, so kann die
Definition einer Funktion nicht über die explizite Aufzählung
geschehen. In diesem Fall beschreibt man dann eine Funktion über die
Definitionsmenge und eine Beziehung, die angibt, wie man zu dem
ersten Element des Paares das zweite findet.
Beispiel: q sei die Funktion, die jeder Zahl von 1 bis 100 die
Quadratzahl zuordnet.
⎧⎪
{ 1,2,3,...,100}
→ �
Formal schreibt man das auf durch
q :
n � n 2 ⎨
⎩⎪
Beide Definitionen, die durch Text und die formale, lassen die
eindeutige Entscheidung zu, ob ein Paar zur Funktion gehört oder
nicht. Dabei ist die Funktion weiterhin eine Menge von Paaren.
Das Paar (25, 625) gehört zu q, dagegen ist (60, 600) kein Element von
q, da 600 nicht die Quadratzahl von 60 ist. Das Paar (150, 22500)
gehört auch nicht zu q. Zwar ist 22500 = 150 2 , aber 150 liegt nicht in
der oben angegebenen Definitionsmenge.

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Betrachtet man nun eine zweite Funktion p, die definiert ist durch
{ 1,2,3,...,200}
→ �
p :
n � n 2
⎧⎪
⎨
, so unterscheidet sich p von q nur durch die
⎩⎪
Definitionsmenge. Beide Funktionen sind verschieden, denn das Paar
(150, 22500) gehört nicht zu q, wohl aber zu p. In der Bedeutung als
Menge von Paaren sind also die Funktionen p und q verschieden,
obwohl die Zuordnungsvorschrift n � n2 in beiden Fällen dieselbe
ist.
Nach dieser Betrachtung zu Funktionen können wir das (kartesische!)
Koordinatensystem, die Punkte im Koordinatensystem und den Graph
einer Funktion in einem neuen Licht sehen.
Jeder Punkt im Koordinatensystem
stellt ein Zahlenpaar dar, ein Element
aus � × � . Die gesamte
Ebene der Koordinatensystems ist
also die grafische Veranschaulichung
von � × � oder das, was
wir oben als die „übersichtliche“
Notation des kartesischen Produkts
bezeichnet haben.
Abb. 4.3: Ein Punkt im Koordinatensystem
Der Graph einer Funktion ist
nun die Menge aller Punkte, zu
denen die Koordinatenpaare
gerade die Funktion ausmachen.
Die Abbildung zeigt den Graph
(zumindest einen Ausschnitt)
zur Funktion
� → �
f :
x � x 2
⎧
⎨ .
⎩⎪
Jeder Punkt des Graphen
repräsentiert ein Zahlenpaar der
Funktion. Der Punkt A stellt
kein solches Zahlenpaar dar,
denn 2,56 ist nicht 1,3 2 . Das
Abb. 4.4: Ein Funktionsgraph
kann man deutlich daran
erkennen, dass A nicht auf dem Funktionsgraphen von f liegt.

4 Funktionen und Gleichungen 71
Fassen wir zusammen:
Eine Funktion kann angegeben werden, indem die Zuordnungspaare
vollständig aufgezählt werden. Definitions- und Wertemenge können
dann ermittelt werden.
Oder es wird die Definitionsmenge und eine Zuordnungsvorschrift
angegeben, die beschreibt, wie man zu jedem Element aus der
Definitionsmenge das zugeordnete Element ermittelt.
So weit die allgemeine, etwas theoretische Erläuterung zu Funktionen.
In den nachfolgenden Betrachtungen wollen wir unsere Betrachtung
stark einschränken. Unsere beiden Mengen A und B werden die reellen
Zahlen � sein. Folglich ist eine vollständige Aufzählung aller Zuordnungspaare
nicht möglich, und wir geben die Zuordnungsvorschrift an.
Auf die Angabe der Definitionsmenge verzichten wir auch, diese soll
sich immer aus der maximalen Teilmenge von � ergeben, für die
sinnvollerweise Werte eingesetzt werden können.
Beispiel:
Ist die Zuordnungsvorschrift
nitionsmenge
D = � \ 0
f : x � 1
gegeben, so ist die Defi-
2
x
{ } , da der Term für 0 nicht definiert ist. Die
Wertemenge der so gegebenen Funktion ist W = � + , denn nur positive
Zahlen tauchen als Ergebnis der Rechnung auf.
In diesem Zusammenhang werden folgende Begriffe verwendet:
Für das erste Element eines Für das zweite Element eines
Zuordnungspaares
Zuordnungspaares
Eingangsgröße Ausgangsgröße
unabhängige Variable abhängige Variable
x-Wert y-Wert
Stelle Wert
In Anlehnung an die grafische Darstellung im Koordinatensystem mit
einer x- und einer y-Achse, sind folgende Sprech- und Schreibweisen
üblich:
„y ist das Element, das x durch f zugeordnet wird“ oder auch „x wird
abgebildet auf y “, geschrieben als y = f (x) .
Definition 4.6 (Umkehrfunktion)
Die Umkehrung einer Funktion f ist die Menge aller Zuordnungspaare,
bei denen erstes und zweites Element vertauscht sind.
Formal: u ist die Umkehrung von f ⇔ u = ( y,x) | (x, y) ∈ f
Def
{ }

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Ist diese Umkehrung u wieder eine Funktion, d.h. auch in der
Umkehrung ist die Zuordnung eindeutig, so spricht man von der
Umkehrfunktion zur Funktion f und bezeichnet sie mit f −1 .
Beispiel
⎧�
→ �
Die Funktion f sei gegeben durch f : ⎨
⎩x
� 3x − 2
Sie hat die Umkehrfunktion f −1 � → �
:
y � 1
⎧
⎪
⎨ 2
⎪ y −
⎩ 3 3
Um die Zuordnungsvorschrift für die Umkehrfunktion zu bestimmen,
lösen wir die Gleichung y = f (x) nach x auf.
Nicht jede Funktion ist umkehrbar, denn die Umkehrung ist nur dann
eine Funktion, wenn jedem y-Wert genau ein x-Wert zugeordnet wird.
Daher kann eine Funktion nur dann umgekehrt werden, wenn keiner
der Funktionswerte mehrmals auftaucht. Nur dann existiert zu jedem y
auch nur ein x-Wert.
Ist die Umkehrbarkeit einer Funktion nicht gegeben, so kann sie in
manchen Fällen durch eine Einschränkung der Definitionsmenge
hergestellt werden. Schränken wir bei der quadratischen Funktion
x � x2 die Definitionsmenge D auf die Menge der positiven, reellen
Zahlen ein, kurz D = � + , so ist die Funktion umkehrbar, da jedem
Element des Wertebereichs W auch nur ein Element des
Definitionsbereichs D zugeordnet wird.
4.1.1 Graph einer Funktion im Koordinatensystem
Ist die Definitionsmenge � oder eine Teilmenge von � , dann bietet
sich die schon oben erwähnte grafische Darstellung im Koordinatensystem
an. Sie ist sehr anschaulich und beinhaltet Informationen, die
aus der algebraischen Zuordnungsvorschrift weniger gut ersichtlich
sind.
Abbildung 4.5 zeigt den (Ausschnitt eines) Graphen einer Funktion f.
Die Punkte des Graphen sind die Veranschaulichung aller Zuordnungsbeispiele.
Liegt ein Punkt auf dem Graph, so sind die Koordinaten ein
Zuordnungspaar für die Funktion.

4 Funktionen und Gleichungen 73
Abb. 4.5: Graph einer Funktion f
Am Graph kann man sehr gut ablesen, ob die Funktionseigenschaft
erfüllt ist, ob also jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet wird.
Jede Parallele zur Ordinate muss den Graphen dabei genau einmal
schneiden.
Abbildung 4.6 zeigt einen Kreis als Beispiel für den Graphen einer
Relation, die keine Funktion ist. Hier gibt es x-Werte, denen zwei y-
Werte zugeordnet werden.
Abb. 4.6: Kein Graph einer Funktion
4.1.2 Darstellung mit zwei parallelen Skalen
Eine weitere Möglichkeit ist gegeben, wenn zwei Skalen (eine
Definitionsmengen-Skala und eine Wertemenge-Skala) parallel
zueinander aufzeichnen werden. Mit Pfeilen werden den Elementen
(oder ausgewählten Beispielelementen) der Definitionsmenge die
Elemente der Wertemenge zugeordnet.
Ein Beispiel zeigt Abbildung 4.7.
Abb. 4.7: Darstellung einer Zuordnung mit Hilfe zweier Skalen

4 Funktionen und Gleichungen 74
Eine besondere Stärke zeigt diese Darstellung in Verbindung mit
dynamischer Geometriesoftware. Wir können einen Pfeil dabei
bewegen, um somit besondere Eigenschaften von Zuordnungsvorschriften
zu beobachten. Dazu bewegen wir einen Punkt auf der
Definitionsmengen-Skala so, dass sich der zugehörige Punkt mit dem
Pfeil auf der Wertemengen-Skala bewegt.
Abb. 4.8: Darstellung der Funktion f (x) = 0,5x2 − x + 1,2 mit Hilfe
von zwei Skalen
4.2 Grundaufgaben
Für das Arbeiten mit den in der Schule üblichen Funktionen (siehe
Abschnitte 4.3 und 4.4) sind vier Grundaufgaben herauszuheben, die
den Umgang mit Funktionen und ihren Graphen im Koordinatensystem
festigen.
4.2.1 Berechnen eines Funktionswertes
Gegeben ist eine Funktion über ihre Zuordnungsvorschrift und eine
Stelle x im Definitionsbereich. Gesucht ist die zugeordnete Zahl y.
Um einen Funktionswert zu berechnen, setzen wir den gegebenen Wert
für x in die Funktionsgleichung ein und erhalten den Wert y. Wichtig
ist an dieser Stelle, zu verstehen, was die Schreibweise f(x) bedeutet.
Der Funktionswert f(x) ergibt sich, indem man in die Funktionsgleichung
den gewünschten x-Wert einsetzt. Man erhält so ein
Zahlenpaar, das ein Zuordnungspaar für die Funktion ist. Grafisch
gedeutet ist es ein Punkt, der auf dem Graph dieser Funktion liegt.
Allgemein wird der Punkt auf dem Graph von f geschrieben als
P(x/f(x)) oder P(x,y), wobei sich der y-Wert durch den Funktionswert
f(x) ergibt.
Beispiel
1) Berechne den Funktionswert an der Stelle x = 4 der Funktion
f (x) = 0,5x2 − 3.
Lösung: Wir berechnen f(4), indem wir 4 für x in den Term einsetzen:
f (4) = 0,5⋅ 42 − 3 = 5.

4 Funktionen und Gleichungen 75
Der Funktionswert der Funktion f an der Stelle x = 4 ist f (4) = 5.
Zeichnen wir zur Funktion den Graph, wissen wir, dass der Punkt
P(4;5) auf dem Graph liegt.
Die grafische Lösung besteht darin, dass
man von x = 4 senkrecht nach oben bis
zum Funktionsgraph geht. Zu diesem
Punkt auf dem Funktionsgraph liest man
waagerecht auf der y-Achse den
Funktionswert ab.
2) Wir haben folgende Funktionen:
g(x) = 2x + 4
h(x) = x 2 − 5
Berechne g(h(x)) an der Stelle x = −2 .
Lösung: Wir berechnen
g(h(−2)) = g((−2)2 − 5) = g(−1) = 2 ⋅ (−1) + 4 = 2
4.2.2 Berechnen eines x-Wertes
Andersherum gibt es Aufgaben, bei denen zu einer gegebenen
Funktion der Funktionswert gegeben ist. Der zugehörige x-Wert ist
gesucht bzw. die zugehörigen x-Werte, denn es kann sein, dass bei
dieser umgekehrten Fragestellung mehrere Ausgangswerte auf einen
Wert abgebildet werden.
Beispiel
Berechnen Sie zur Funktion f mit
f (x) = 2x − 6 die Stelle x, für die
f (x) = 2 gilt.
Lösung: Wir stellen eine Gleichung
auf, in der der gegebene Funktionsterm
mit dem gegebenen Funktionswert
gleich gesetzt wird.
f (x) = 2x − 6 = 2 +6
⇔ 2x = 8 : 2
⇔ x = 4
Die Lösungen der Gleichung sind die
gesuchten Stellen.
Die grafische Lösung besteht darin,
dass man auf der senkrechten Achse beim gegebenen Wert startet und
waagerecht Schnittpunkte mit dem Funktionsgraph sucht. Zu diesen
liest man die x-Koordinate ab, d.h. man läuft von den Punkten
senkrecht nach unten/oben zur x-Achse.

4 Funktionen und Gleichungen 76
Eine besondere Aufgabe dieser Art ist das Suchen von Nullstellen.
Dabei werden genau die Stellen auf der x-Achse gesucht, an denen der
Graph der Funktion f(x) die x-Achse berührt oder sie schneidet.
Definition 4.7 (Nullstelle)
Ein Element x der Definitionsmenge D einer Funktion f heißt
Nullstelle von f, wenn f (x) = 0 gilt.
Bei der Suche nach Nullstellen berechnen wir also die x-Werte der
Funktion, für die f (x) = 0 gilt. Nullstellen sind genau die x-Koor-
dinaten der Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse.
Beispiel
Bestimme die Nullstellen der Funktion f (x) = x2 − 4 .
Lösung: Wir berechnen die Stellen, für die f (x) = 0 gilt:
f (x) = x 2 − 4 = 0
⇔ x 2 = 4
⇔ x = 2 ∧ x = −2
Die Funktion f (x) = x2 − 4 hat also die Nullstellen x = 2 und x = −2 .
Der Funktionsgraph schneidet die x-Achse an den Stellen 2 und –2.
Demnach liegen die Punkte P1(2/0) und P2(-2/0) auf dem Graph der
Funktion.
4.2.3 Prüfen eines Zuordnungsbeispiels
Die dritte Grundaufgabe begegnet einem oft in der grafischen
Formulierung: liegt ein Punkt auf dem Graph einer Funktion oder
verläuft ein Graph durch einen Punkt? Analytisch bedeutet die Frage,
ob ein Zuordnungspaar Element einer gegebenen Funktion ist.
Beispiel
Liegt der Punkt Q(3/2) auf dem Graph
der Funktion f (x) = −2x + 8 ?
Um dies zu prüfen, setzen wir den x-
Wert in die Funktionsgleichung ein
und überprüfen, ob der gegebene
Zuordnungswert mit dem berechneten
Zuordnungswert übereinstimmt:
f (3) = −2 ⋅ 3+ 8 = 2
Wir können also sehen, dass f (3) = 2 gilt und haben damit gezeigt,
dass der Punkt Q(3/2) auf dem Funktionsgraph liegt.

4 Funktionen und Gleichungen 77
Liegt ein zu überprüfender Punkt nicht auf dem Funktionsgraph,
können wir schnell entscheiden, ob dieser Punkt über oder unter dem
Graph liegt.
Beispiel
Liegt der Punkt R(2/1) auf dem Graph der Funktion f (x) = 0,5x2 − 4 ?
Zunächst setzen wir wieder den x-Wert in die Funktionsgleichung ein
und erhalten:
f (2) = 0,5·2 2 − 4
= 2 − 4 = −2
Der Punkt R(2/1) liegt
also nicht auf dem Graph
der Funktion. Da der
durch die Rechnung erhaltene
Funktionswert
kleiner ist als die y-Koordinate
des Punktes R,
liegt der Punkt R über
dem Graph der Funktion.
4.2.4 Berechnen der Schnittpunkte für zwei
Funktionsgraphen
Die vierte Grundaufgabe beschäftigt sich mit der Frage, in welchen
Punkten sich die Graphen zweier Funktionen schneiden, d.h. welche
Punkte die beiden Funktionsgraphen gemeinsam haben. Diese
geometrisch formulierte Aufgabe bedeutet analytisch, die Zuordnungsbeispiele
(x,y) zu finden, die gleichzeitig Elemente von beiden
Funktionen sind.
Dazu lösen wir die beiden Gleichungen wie ein normales Gleichungssystem
mit zwei Gleichungen und zwei Variablen x und y auf. Es
bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an.
Beispiel
In welchem Punkt schneiden sich die Funktionsgraphen der Funktionen
f und g mit f (x) = 2x − 4 und g(x) = −0,5x + 6?
Da beide Funktionswerte f(x) und g(x) gleich sein sollen, führt das
direkt zur Gleichung 2x − 4 = −0,5x + 6 . Diese lösen wir nach x auf
und erhalten die x-Koordinate des gemeinsamen Punktes. Die y-
Koordinate bestimmen wir, indem wir die berechnete x-Koordinate in
wenigstens einen Funktionsterm einsetzten. Zur Probe bietet es sich
an, x auch noch in den anderen Term einzusetzen.

4 Funktionen und Gleichungen 78
2x − 4 = −0,5x + 6 +0,5x
⇔ 2,5x − 4 = 6 +4
⇔ 2,5x = 10 : 2,5
⇔ x = 4
Einsetzen in f ergibt
f (4) = 2 ⋅ 4 − 4 = 4 .
Überprüfung: g(4) = −0,5⋅ 4 + 6 = 4 .
Der Punkt P(4/4) ist also der Schnittpunkt
der beiden Funktionsgraphen.
In diesem Lösungsverfahren gehen
natürlich die grafische Darstellung und
die analytische Rechnung Hand in Hand.
So führen quadratische Funktionen auf quadratische Gleichungen, bei
denen zwei, eine oder keine Lösung auftreten können. Das
korrespondiert mit der Zeichnung, in der dann zwei, ein oder kein
Schnittpunkt vorhanden sind.
In den nachfolgenden Abschnitten wollen wir uns mit speziellen
Funktionen beschäftigen, die insbesondere für die Schule wichtig sind.
4.3 Lineare Funktionen
Bei linearen Funktionen kommt in der Funktionsgleichung die
Variable x in der ersten Potenz vor. Die Graphen von linearen
Funktionen sind Geraden.
Definition 4.8 (Lineare Funktion)
Unter einer linearen Funktion versteht man eine Funktion f mit dem
Definitionsbereich D = � , deren Funktionsgleichung sich auf die
Form
f (x) = mx + b
bringen lässt; dabei heißt der Parameter m die Steigung der Geraden
und der Parameter b der y-Achsenabschnitt. Man spricht hier auch
von der y-Achsenabschnittsform.
Bemerkung
Unter einem Parameter versteht man eine Variable, die bei einer
konkreten Anwendung als fest gewählt angesehen wird. Die Variable x
stellt ein beliebiges Element aus der Definitionsmenge D dar. Um die
zugeordnete Zahl y zu berechnen, sind m und b für diese Betrachtung
konstant. Weiterhin kann man aber fragen, wie sich eine Veränderung

4 Funktionen und Gleichungen 79
von m oder b auf den Funktionsgraph auswirkt. Hat man diese
Abhängigkeiten im Blick, spricht man bei f (x) = mx + b von einer
Funktionenschar mit den beiden Scharparametern m und b.
4.3.1 Verschiedene Formen der linearen Funktion
Die y-Achsenabschnittsform der Geraden ist in Abb. 4.7 a) skizziert.
Die Steigung m erhält man mittels eines Steigungsdreiecks als
Δy
m =
Δx ,
wobei Δx der Abstand zweier x-Werte und Δy der Abstand der
zugehörigen Funktionswerte ist.
Weitere Formen
Neben der häufig anzutreffenden y-Achsenabschnittsform kann man
die Gleichung einer linearen Funktion auch anders parametrisieren
(Abb. 4.7 b)-d)). Wir unterscheiden die folgenden Formen:
a) b)
y-Achsenabschnittsform x-Achsenabschnittsform
c) d)
Achsenabschnittsform Zwei-Punkte-Form

4 Funktionen und Gleichungen 80
e)
Punkt-Steigungsform
Abb. 4.7: Fünf Formen der Geradengleichung und die dabei
auftretenden Parameter.
• x-Achsenabschnittsform (Abb. 4.7 b)): Gegeben sind die
Steigung m der Geraden und der Schnittpunkt a mit der x-Achse.
Dann ist die Gleichung der zugehörigen linearen Funktion
y = m(x − a) .
• Achsenabschnittsform (Abb. 4.7 c)): Gegeben sind die beiden
Achsenabschnitte a und b. Dann ist die Gleichung der
zugehörigen linearen Funktion
x y
+ = 1.
a b
Die Achsenabschnittsform kann nur zur Beschreibung
herangezogen werden, falls die Gerade nicht durch den Ursprung
verläuft und nicht parallel zur x-Achse.
• Zwei-Punkteform (Abb. 4.7 d)): Sind P(p1,p2) und Q(q1,q2) zwei
nicht identische Punkte der Geraden, so lässt sich die lineare
Funktion durch
y − p 2 = q 2 − p 2
q 1 − p 1
(x − p 1 )
q − p 2 2
beschreiben. Der Bruch ist die Berechnung der Steigung
q − p 1 1
über den Differenzenquotienten.
• Punkt-Steigungsform (Abb. 4.7 e)): Liegt der Punkt P(p1,p2) auf
einer Geraden mit der Steigung m, so lässt sich die Funktionsgleichung
wie folgt bestimmen:
y − p 2 = m(x − p 1 )

4 Funktionen und Gleichungen 81
4.3.2 Lineare Gleichungen
Eine Gleichung in einer Variablen, die nur in der ersten Potenz
auftaucht, heißt lineare Gleichungen. Probleme im Zusammenhang mit
linearen Funktionen führen in der Regel auf eine lineare Gleichung
(vgl. die Grundaufgaben im Abschnitt 4.2).
Beispiel
4x − 2 + x − 7 = 3− 3x + 12
⇔ 5x − 9 = 15 − 3x +3x
⇔ 8x = 24 +9
⇔ x = 3 :8
Lineare Gleichungen kann man als Suche nach der Ausgangsgröße x
bei gegebenen Funktionswert y auffassen. Ist die Steigung ungleich
Null, so besitzt die Gleichung immer eine Lösung. Dies können wir
uns überlegen, wenn wir den Funktionsgraph linearer Funktionen
betrachten. Bei einer Geraden tritt jedes Element des Wertebereiches
genau einmal auf und hat somit auch genau einen zugehörigen x-Wert.
4.4 Quadratische Funktionen
Funktionsgleichungen quadratischer Funktionen enthalten die Variable
x höchstens in der zweiten Potenz. Die Graphen von quadratischen
Funktionen sind Parabeln, die verschoben, gespiegelt und gestreckt
sein können.
Definition 4.9 (Quadratische Funktion)
Unter einer quadratischen Funktion versteht man eine Funktion f mit
dem Definitionsbereich D = � , deren Funktionsgleichung sich auf die
Normalform
f (x) = ax2 + bx + c
bringen lässt; dabei sind a, b und c reelle Parameter, a ≠ 0 , damit der
quadratische Anteil nicht verschwindet.
Definition 4.10 (Normalparabel)
Der Graph der Funktion f mit f (x) = x2 heißt Normalparabel.

4 Funktionen und Gleichungen 82
Abb. 4.8: Die Normalparabel
Scheitelpunktform
Neben der Normalform gibt es die sog. Scheitelpunktform der Parabel,
an der man insbesondere die Koordinaten des Scheitelpunktes leicht
ablesen kann.
Definition 4.11 (Scheitelpunktform)
Die Scheitelpunktform der Parabel ist die Gleichung einer quadratischen
Funktion f, die durch
f (x) = a(x − x s )2 + y s
gegeben ist; dabei ist a ein reeller Parameter und xs und ys die x- bzw.
y-Koordinate des Scheitelpunktes S.
Abb. 4.9: Funktionsgraphen quadratischer Funktionen mit dem
Scheitelpunkt S(xs/ys) und einer Veränderung des Parameters a.
Für 0 < a < 1 wird die Normalparabel gestaucht, für a > 1 wird
sie gestreckt.

4 Funktionen und Gleichungen 83
Ist der Parameter a negativ, so ist die Parabel nach unten geöffnet.
Nullstellenform
Außerdem gibt es die Nullstellenform einer quadratischen Funktion.
Dabei können wir die Funktionsgleichung mit Hilfe der Nullstellen
ermitteln.
Definition 4.12 (Nullstellenform)
Die Nullstellenform der Parabel ist die Gleichung einer quadratischen
Funktion f, die durch
f (x) = a(x − x 1 )(x − x 2 )
gegeben ist; dabei ist a ein reeller Parameter und x1 und x2 sind die
Stellen, an denen der Funktionsgraph die x-Achse schneidet
(Nullstellen).
Beispiel
Eine quadratische Funktion mit den Nullstellen x1 = −1 und x = 3,5 2
hat die Funktionsgleichung
f (x) = a(x + 1)(x − 3,5) = a(x2 − 2,5x − 3,5) .
Quadratische Funktionen können keine, eine oder zwei Nullstellen
besitzen (siehe Abb. 4.10).
Abb. 4.10: Graphen quadratischer Funktionen mit
keiner (grün), einer (rot) und zwei (blau) Nullstellen

4 Funktionen und Gleichungen 84
4.4.1 Lösen quadratischer Gleichungen
Für das Lösen von Gleichungen, in der die gesuchte Variable
quadratisch vorkommt, sind zwei Verfahren üblich.
Quadratische Ergänzung
Die Quadratische Ergänzung ist eine Termumformung, so dass ein
vollständiges, quadratisches Binom entsteht. Allgemein basiert das
Verfahren auf folgender Überlegung:
x 2 + 2ax = x 2 + 2ax + a 2
��� ����
− a2
( x+ a) 2
Beispiel
x 2 − 6x = 16 (quadratische Ergänzung)
⇔ x 2 − 6x + 9 = 16 + 9
⇔ (x − 3) 2 = 25
⇔ x − 3 = 5 ∨ x − 3 = −5
{ }
⇔ x = 8 ∨ x = −2 L = −2;8
Quadratische Gleichungen können
keine, eine oder zwei Lösungen
haben. Betrachten wir als Beispiel
die Normalparabel als Graph einer
quadratischen Funktion, so sehen
wir, dass es Parallelen zur x-Achse
gibt, die den Graphen zwei Mal
aber auch kein Mal schneiden. Am
Scheitelpunkt wird der Graph genau
einmal geschnitten.
Beispiel
y = 2x 2 ! 12x + 13
" y = 2(x 2 ! 6x) + 13
" y = 2(x 2 ! 6x + 9 ! 9) + 13
" y = 2((x ! 3) 2 ! 9) + 13
" y = 2(x ! 3) 2 ! 18 + 13
" y = 2(x ! 3) 2 ! 5 # S(3 / !5)
Mit Hilfe der Quadratischen Ergänzung können wir auch von der
Normalform y = ax2 + bx + c der quadratischen Funktion zur Scheitel-
punktsform y = a(x − x s )2 + y s kommen, so dass wir die Koordinaten
des Scheitelpunktes ablesen können.

4 Funktionen und Gleichungen 85
Hierzu klammern wir zunächst den Koeffizienten a aus
y = a(x2 + b
x) + c
a
führen in der Klammer eine quadratische Ergänzung durch
y = a x 2 + b
2
2
⎛ ⎛ b ⎞ ⎛ b ⎞ ⎞
⎜ x +
a ⎝
⎜ 2a ⎠
⎟ −
⎝
⎜ 2a ⎠
⎟ ⎟ + c ,
⎝
⎜
⎠
⎟
um nach Bildung des Quadrats und Ausmultiplizieren auf die
gewünschte Gleichung zu kommen.
y = a x + b ⎛ ⎞
⎝
⎜ 2a ⎠
⎟
2
+ c − b2
4a
Wir erhalten somit als Ergebnis, dass die Parabel zur Normalform
y = ax2 + bx + c einen Scheitelpunkt mit den Koordinaten
S − b ⎛ b2 ⎞
⎜ ;c −
⎝ 2a 4a
⎟
⎠
hat.
p-q-Formel
Dazu wird eine quadratische Gleichung in die Form x2 + px + q = 0
umgeformt. Dann können wir sie mit Hilfe der vorgefertigten
Lösungsformel „p-q-Formel“ lösen. Es gilt
x = − p
2 ±
⎛ p⎞
⎝
⎜ 2 ⎠
⎟
2
− q .
Ist der Radikand > 0, so ergeben sich für x zwei reelle Lösungen.
Ist der Radikand = 0, so gibt es nur eine Lösung für x ( x = − p
2 ).
Ist der Radikand < 0, ergibt sich keine reelle Lösung für x.
Beispiel
1) 2x 2 − 12x = 32
⇔ x 2 − 6x − 16 = 0 ( p = −6, q = −16)
⇔ x = 6
2 ±
⎛ 6⎞
⎝
⎜ 2⎠
⎟
= 3 ± 25
= 3 ± 5
2
+ 16
{ }
⇒ x = 8 ∧ x = −2 L = −2;8

4 Funktionen und Gleichungen 86
2) x 2 + 4x + 4 = 0 ( p = 4, q = 4)
x 1,2 = − 4
2 ±
= −2 ± 0
⎛ 4⎞
⎝
⎜ 2⎠
⎟
2
− 4
{ }
⇒ x = −2 L = −2
4.5 Potenzfunktionen und Wurzeln
Eine Funktion der Form f (x) = axn mit n ∈�* , a ∈� ist eine
Potenzfunktion (n-ten Grades), d.h. eine Funktion, deren
Termdarstellung eine Potenz der unabhängigen Variablen ist. Der
Exponent n bestimmt den Grad der Potenzfunktion und der Faktor a
die Form des Graphen.
Beispiele
Abb. 4.11: Beispiele für Potenzfunktionen: f (x) = x3 ,
g(x) = x −2 = 1
und h(x) = 0,2x3
2
x
4.5.1 Lösen kubischer Gleichungen
Die allgemeine Funktion dritten Grades hat die Form:
f (x) = Ax3 + Bx 2 + Cx + D mit A, B,C, D ∈�, A ≠ 0.
Um eine Gleichung dritten Grades zu lösen (um zum Beispiel
Nullstellen zu bestimmen), können wir uns der Cardanoschen
Formel bedienen.

4 Funktionen und Gleichungen 87
Genau genommen dient die Cardanosche Formel zur Lösung
reduzierter Gleichungen dritten Grades. Darunter versteht man
Gleichungen der Form x3 + px + q = 0 . Eine allgemeine kubische
Gleichung der Form Ax 3 + Bx 2 + Cx + D = 0 kann durch einige
Umformungsschritte in die reduzierte Form gebracht werden.
Division durch A liefert die Normalform: x 3 + ax 2 + bx + c = 0
a
Durch die Substitution x = z − erhält man eine kubische
3
Gleichung mit der Unbekannten z, bei der aber (im Unterschied
zur Originalgleichung) das quadratische Glied fehlt:
z − a ⎛ ⎞
⎝
⎜ 3⎠
⎟
3
+ a z − a ⎛ ⎞
⎝
⎜ 3⎠
⎟
⇔ z 3 + pz − q = 0
mit p = b − a2
3
2
und q = ab
3
+ b z − a ⎛ ⎞
⎝
⎜ 3⎠
⎟ + c = 0
− 2
27 a3 − c.
Graphisch bedeutet das, dass der Wendepunkt des Funktionsgraphen
auf die Ordinate verschoben wird (siehe Abb. 4.12).
Abb. 4.12: Verschiebung des Wendepunktes
durch Eliminierung des quadratischen Glieds.
Diese reduzierte Form der kubischen Gleichung kann nun mit der
cardanoschen Lösungsformel gelöst werden:
z = q
2 +
⎛ q⎞
⎝
⎜ 2⎠
⎟ + p3
3 +
27
q
2 − 3
2
⎛ q⎞
⎝
⎜ 2⎠
⎟
2
+ p3
27

4 Funktionen und Gleichungen 88
a
Durch Rücksubstitution erhalten wir x mit x = z −
3 .
Die so ermittelte Lösung für z ist nur richtig, wenn unter der inneren
Quadratwurzel eine positive Zahl steht, also
⎛ q⎞
⎝
⎜ 2⎠
⎟
2
+ p3
27
⎛ q⎞
=
⎝
⎜ 2⎠
⎟
2
+ p ⎛ ⎞
⎝
⎜ 3 ⎠
⎟
3
> 0
Dann hat die Gleichung jedoch nur eine Lösung, nämlich die hier
angegebene.
Ist
⎛ q⎞
⎝
⎜ 2⎠
⎟
2
+ p3
27
⎛ q⎞
=
⎝
⎜ 2⎠
⎟
2
+ p ⎛ ⎞
⎝
⎜ 3 ⎠
⎟
3
= 0 , so ist die Lösung für z offenbar
z = 2 q 3 . Dann existiert eine weitere, doppelte Nullstelle mit
2
z = − q 3 . Den Fall, dass eine kubische Gleichung drei verschiedene,
2
reelle Nullstellen hat, war für Cardano und die Mathematiker des 16.
Jahrhunderts nicht lösbar („casus irreducibilis“), da man in den
Zwischenrechnungen mit komplexen Zahlen rechnen muss.
Beispiel
Wir wollen die Gleichung x 3 + 9x 2 + 31x + 19 = 0 lösen.
Nun Substituieren wir ( x = z − 9
= z − 3) und erhalten die Gleichung
3 z3 + pz + q = 0 mit
92
p = 31−
3
= 31− 27 = 4
und q = 31⋅9 2
−
3 27 ⋅ 93 − 19 = 93− 54 − 19 = 20 .
Einsetzen in die Gleichung ergibt:
z = 20 202 43
3 + + +
2 4 27
20 3
2
3 3
≈ 10 + 10,12 + 10 − 10,12
3 3
= 20,12 + −0,12
≈ 2,23
Rücksubstitution:
− 202
4
a
9
x = z − ⇒ x = 2,23 − = −0,77
3 3
+ 43
27

4 Funktionen und Gleichungen 89
Die Graphen von Funktionen dritten Grades haben mindestens
eine und höchstens drei Nullstellen (siehe die nachfolgenden
Beispiele in Abbildung 4.13).
Abb. 4.13: Graphen Funktionen 3. Grades mit einer (blau), zwei
(rot) und drei (grün) Nullstellen
4.5.2 Lösen von Gleichungen vierten Grades
Für eine Funktion vierten Grades ergibt sich folgende allgemeine
Funktionsgleichung:
f (x) = Ax4 + Bx 3 + Cx 2 + Dx + E .
Im obigen Stil gibt es auch für Gleichungen vierten Grades ein
Verfahren, das aus den gegebenen Koeffizienten der Gleichung nach
vielen Schritten die exakte Lösung bestimmt. Diese sogenannte
Formel von Ferrari liefert die genauen Lösungen, ist aber sehr
langwierig und soll deshalb hier nicht weiter behandelt werden.
Wir sollten uns nur bewusst sein, dass Gleichungen vierten Grades
noch exakt lösbar sind, während es eine allgemeine Lösungsformel,
die nur mit den Grundrechenarten und dem Wurzelziehen auskommt,
für Gleichungen höheren Grades ( n > 4 ) nicht gibt.

4 Funktionen und Gleichungen 90
4.5.3 Wurzelfunktionen
Kehren wir Potenzfunktionen um, so erhalten wir die allgemeinen
Wurzelfunktionen.
Beispiel
1) Eine Funktion
� → �
f :
x � x 3
⎧
⎨
⎩⎪
hat die Umkehrfunktion
denn
3 3
y = x
3 y = x
� → �
2) Eine Funktion f :
x � 2x 3 ⎧
⎨
⎩⎪ − 2
hat die Umkehrfunktion
f −1 � → �
:
y � 1
⎧
⎪
⎨
3
⎪ y + 1
⎩ 2
f −1 ⎧⎪
� → �
: ⎨ 3
⎩⎪ y � x
y = 2x 3 − 2 +2
y + 2 = 2x 3 : 2
1
3
y + 1 = x3
2
1 3 y + 1 = x
2
3
Abbildung 4.14 zeigt den Graphen der Funktion f (x) = x
ungradzahligen Wurzeln ergeben einen ähnlichen Verlauf.
1
3 = x . Alle

4 Funktionen und Gleichungen 91
Abb. 4.14: Graph der Funktion
3
f (x) = x
Bei der Darstellung von geradzahligen Wurzeln müssen wir spezielle
Eigenarten beachten. Zum einen sind geradzahlige Wurzelfunktionen
für negative x-Werte nicht definiert und zum anderen muss man die
Definitionsmenge einschränken, um die Ausgangsfunktion umkehrbar
zu machen.
Das erreicht man üblicherweise dadurch, dass der Definitionsbereich
auf die positiven, reellen Zahlen eingeschränkt wird.
Beispiel
f : � ⎧⎪
0
⎨
⎩⎪ x � x
+ +
→ � 0
Abb. 4.15: Graph der Funktion
f (x) = x
4.6 Exponentialfunktionen und Logarithmen
Exponentialfunktionen sind Funktionen bei denen die Variable x im
Exponenten steht. Ein einfaches Beispiel ist die Funktion f (x) = 2x
(siehe Abb. 4.16).
.

4 Funktionen und Gleichungen 92
Abb. 4.16: Graph der Funktion
f (x) = 2x
Definition 4.13 (Exponentialfunktionen)
Funktionen f mit f (x) = c ⋅ ax , c ∈�,
nentialfunktionen zur Basis a.
a > 0, x ∈� nennt man Expo-
Ein Vorgang, der durch eine Exponentialfunktion beschrieben werden
kann, wird exponentielles Wachstum (für a > 1) bzw. exponentieller
Zerfall (für a < 1) genannt.
Eigenschaften von Exponentialfunktionen
- Für c > 0 ist f(x) > 0 für alle x ∈� ; die Graphen verlaufen
stets oberhalb der Abszisse.
- Die Graphen haben keine Minima, keine Maxima und keine
Nullstellen. Sie weisen auch keine Symmetrieeigenschaften
auf.
- Für a < 1 nähert sich der Funktionsgraph der Abszisse an,
wenn x → ∞ strebt; für x → −∞ wachsen die Funktionswerte
ins Unendliche ( f (x) → ∞ ). Für a > 1 ist es umgekehrt.
Da jeder Funktionswert bei der Exponentialfunktion genau einmal
vorkommt, können wir auch diese Funktion umkehren. Wir
vertauschen die Variablen und wollen wieder nach y auflösen:
x = c ⋅ a y
Um den Ausdruck nach y aufzulösen, müssen wir eine neue Funktion
definieren, die Logarithmusfunktion.
Wir schreiben im einfachsten Fall für c = 1
x = a y ⇔ log a (x) = y
und sprechen „Logarithmus von x zur Basis a“.

4 Funktionen und Gleichungen 93
Dann ergibt sich für unsere ursprüngliche Gleichung
x = c ⋅ a y |: c
x
c = a y | log
x
log = y a
c
Die nach unten gesetzte Zahl
(Basis) gibt an, zu welcher
Exponentialfunktion der jeweilige
Logarithmus die Umkehrfunktion
ist.
Abbildung 4.17 zeigt zur Funktion
f (x) = ex den Graphen der Um-
kehrfunktion: f −1 (x) = ln x .
Einen Logarithmus y = log (x) erklärt man sich am besten durch die
a
Frage: a hoch wie viel ist gleich x, also a y = x . Will man nun den
Logarithmus numerisch berechnen, so muss man auf die mit dem
Taschenrechner vorgegebenen Logarithmen zurückgreifen. Das sind
der Logarithmus zur Basis 10, abgekürzt durch „lg“ oder „log“ ohne
Index, und zur Basis e, abgekürzt durch „ln“.
4.6.1 Lösen von Exponentialfunktions-Gleichungen
Einige Gleichungen, bei denen die gesuchte Unbekannte im
Exponenten steht, kann man bei glatten Ergebnissen (und Kenntnis
von diversen Potenzen) im Kopf lösen.
Beispiel
3 x = 243 Wenn man weiß, dass 243 = 3 5 ist, so ist die Lösung x = 5
kein Problem.
Im Allgemeinen können wir mit Hilfe einiger Logarithmus-Regeln
Gleichungen lösen, die die Variable im Exponenten haben.
Beispiel
3 = 0,5x ⇔ x = log 0,5 3
Abb. 4.17: Graph der Funktion
f (x) = ln x
Da der Taschenrechner nur den Logarithmus einer Zahl zur Basis 10
(oder zur Basis e) rechnen kann, können wir die Ausgangsgleichung
mit dem 10er-Logarithmus logarithmieren und anschließend weiter
umformen:

4 Funktionen und Gleichungen 94
3 = 0,5 x logarithmieren
⇔ log3 = log0,5 x | Logarithmusgesetz log a b = b·log a
⇔ log3 = x ⋅ log0,5 : log0,5
⇔ x = log3
≈ −1,58
log0,5
4.7 Übungen
1. Gegeben sind die Mengen A = {a, b, c} und B = {1, 2, 3, 4}
a. Schreiben Sie A × B in der übersichtlichen Form auf. Wie
groß ist A × B ?
b. Wie viele Relationen kann man zu den Mengen A und B
bilden? Schreiben Sie drei verschiedene Beispiele von
Relationen auf, indem Sie explizit die Elemente der Relation
aufzählen.
c. Wie viele nichtleere Mengen kann man als Definitionsmenge
für eine Funktion aus A auswählen?
d. Wie viele Funktionen kann man aus A × B auswählen?
Geben Sie zwei verschiedene Beispiele für Funktionen an, die
A als Definitionsmenge haben.
2. Gegeben sind die Funktionen q(x) = 0,5x2 − 4x + 7 und
g(x) = x − 1
a. Berechnen Sie q(3) und g(5,2).
b. Berechnen Sie q(g(7)).
c. Berechnen Sie die Stellen x, für die gilt: g(x) = 4,8.
d. Berechnen Sie die Stellen x, für die gilt: q(x) = 2.
e. Ermitteln Sie durch quadratische Ergänzung den Scheitelpunkt
von q.
f. Zeichnen Sie auf der Basis der vorangegangenen Berechnungen
die Graphen von q und g.
g. Liegt der Punkt A(7 ; 3,5) auf dem Graphen von q ?
h. Berechnen Sie die Schnittpunkte der Graphen von q und g.
3. Eine Gerade verläuft durch den Punkt P(3;1) und hat die Steigung
1
m = − . Zeichnen Sie die Gerade in ein Achsenkreuz auf der Basis
3
der unmittelbar gegebenen Informationen. Berechnen Sie den
Funktionsterm der Geraden in y-Achsenabschnittsform und
überprüfen Sie das mit Ihrer Zeichnung.

4 Funktionen und Gleichungen 95
4. Eine Gerade verläuft durch die Punkte A(1;-2) und B(7;1).
Zeichnen Sie die Gerade in ein Achsenkreuz auf der Basis der
unmittelbar gegebenen Informationen. Berechnen Sie den
Funktionsterm der Geraden in y-Achsenabschnittsform und
überprüfen Sie das mit Ihrer Zeichnung.
5. Eine Gerade hat den x-Achsenabschnitt a = 6 und den y-Achsenabschnitt
b = 2. Zeichnen Sie die Gerade in ein Achsenkreuz auf der
Basis der unmittelbar gegebenen Informationen. Berechnen Sie den
Funktionsterm der Geraden in y-Achsenabschnittsform und
überprüfen Sie das mit Ihrer Zeichnung.
6. Finden Sie zur Funktion k(x) = x3 − x 2 + 2x − 8 die Nullstelle mit
der Cardanoschen Formel.