Mathematisches Denken in Arithmetik und Geometrie ... - CeVis

Sommersemester 2010
Dr. Reimund Albers
Modul EM1: Mathematisches Denken
in Arithmetik und Geometrie
Wiederholung der Modulabschlussklausur
Name:_________________________________ Mat.Nr.:__________________
Schulschwerpunkt: Grund- oder Sekundar-
bitte ankreuzen
Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 Summe
maximal 6 5 8 8 10 10 10 57
erreicht
Zugelassene Hilfsmittel:
4 Seiten (einseitige Blätter) eigene Aufzeichnungen, Taschenrechner
Bitte weisen Sie sich durch einen Lichtbildausweis aus.
Wiederholung
SoSe 2010

Grundsätzliches: Eine Klausur ist eine Gelegenheit, dem Prüfer zu zeigen, was Sie alles
wissen. Es ist also in Ihrem Interesse, dass Ihre Ausführungen lesbar, verständlich und
logisch nachvollziehbar sind. Für Studierende des Lehramts ist eine Klausur immer auch
eine Prüfung für die Fähigkeit, mathematische Dinge klar und verständlich darzustellen.
1. vollständige Induktion
Beweisen Sie mit vollständiger Induktion
Für alle n ∈� gilt:
n
∑
k =1
( k + 1)
k − 1
( )
= 1
n(n − 1)(2n + 5)
6
2. Folgen und Reihen
a. Von einer arithmetischen Zahlenfolge kennen Sie a10 = 70 und a25 = 25. Wie lautet
das explizite Bildungsgesetz für diese Zahlenfolge?
b. Die (unendliche) geometrische Reihe ist bekanntlich
a0 + a0q + a0q 2 + a0q 3 + a0q 4 + ... = a0 q k
∑ . Sie kann mit den periodischen
∞
k =0
Dezimalzahlen in Verbindung gebracht werden. Erläutern Sie das konkret am
Beispiel von 0,27 .
3. Abbildungen geometrisch
Auf dem beigelegten Arbeitsblatt ist das Dreieck ABC und das dazu kongruente Dreieck
A*B*C*. Finden Sie die Spiegelachsen a, b, c von drei Spiegelungen so, dass die
Verknüpfung der drei Spiegelungen das Dreieck ABC auf das Dreieck A*B*C* abbildet.
Bedingung: Die Achse b soll durch B verlaufen.
a. Ermitteln Sie die drei Achsen. Geben Sie unter der Zeichnung eine kurze
Beschreibung. Erläutern Sie insbesondere, wie Sie sicherstellen, dass b durch B
verläuft.
b. Ist die von Ihnen hier dargestellte Lösung die einzige? Wie viele Lösungen gibt es?
4. Matrizenrechnung
Gegeben ist die Abbildungsgleichung
A : � ⎛
x ' = ⎜
⎝
−0,6 0,8
0,8 0,6
⎞
⎟
⎠
� ⎛
x + ⎜
⎝
Sie ist zu sich selbst invers (involutorisch).
a. Bilden Sie mit der Abbildungsgleichung den Punkt P(4;3) ab auf den Punkt P’. Bilden
Sie anschließend mit derselben Gleichung P’ ab auf P’’.
b. Stellen Sie die Abbildungsgleichung auf, die zur zweimaligen Anwendung von A,
also A � A gehört.
c. Woran erkennt man in den Aufgaben a) und b), dass A selbstinvers ist?
d. A ist eine Achsenspiegelung an einer Achse, die nicht durch den Ursprung geht (dazu
müssen Sie nichts zeigen, nehmen Sie das einfach so zur Kenntnis). Geben Sie einen Punkt an,
der auf der Spiegelachse liegt. Erläutern Sie, wie Sie ihn ermittelt haben. Warum sind
Sie sicher, dass es ein Punkt der Spiegelachse ist?
2
−1
⎞
⎟
⎠
.

5. Arbelos
Hier sehen Sie einen Arbelos mit seiner Tangente durch die Punkte und . Dem
Kreisabschnitt über der Tangente ist ein Kreis einbeschrieben, der mit k den
Berührungspunkt D und mit der Tangente den Berührungspunkt X gemein hat.
a. (Für diesen Aufgabenteil können Sie 5 von 10 möglichen Punkten erreichen.)
Konstruieren Sie (klassisch nach Euklid) den roten Kreis im Arbelos auf dem
beigefügten Arbeitsblatt.
Die Konstruktionsschritte müssen erkennbar sein, eine Konstruktionsbeschreibung ist
nicht gefordert. Denken Sie an Bezeichnungen.
b. (Für diesen Aufgabenteil können Sie 4 von 10 möglichen Punkten erreichen.)
Erklären Sie, warum die beiden blauen Dreiecke ähnlich sind, und bestimmen Sie den
Radius des in a. dargestellten Kreises in Abhängigkeit der zwei den Arbelos
bestimmenden Größen und .
c. (Für diesen Aufgabenteil können Sie 1 von 10 möglichen Punkten erreichen.)
Durch C wird eine Parallele zu MD gezeichnet. Sie schneidet die Gerade EF in Y.
Mit dem Durchmesser CY wird ein zweiter Kreis gezeichnet. Erklären Sie, warum
der dieser Kreis genauso groß ist wie der erste.

6. Highway-Drachen
Wir betrachten eine spezielle Figur, die folgendermaßen generiert wird.
Initiator ist eine gerichtete Strecke (Pfeil). Stufe 0
Daraus werden verkleinerte Kopien
zusammengesetzt
Stufe 1
Im nächsten Schritt werden alle vier Pfeile durch eine
verkleinerte Kopie der Stufe 1 ersetzt. Stufe 2
Analog werden alle weiteren Stufen erzeugt.
a. Beschreiben Sie für jeden der vier Teilpfeile,
mit welcher Verkleinerung, Drehung, Verschiebung des Pfeilanfangs in welchen
Punkt des dargestellten Achsenkreuzes er aus dem Pfeil der Stufe 0 erzeugt wurde.
b. Auf der n-ten Stufe sei T(n) die Anzahl der Pfeile und L(n) die Gesamtlänge aller
Pfeile einer Stufe. Entsprechend der obigen Zeichnung im Achsenkreuz ist L(0) = 1.
Geben Sie T(n) und L(n) für n = 0, 1, 2, 3, 4 an und einen expliziten Term für T(n)
und L(n).
c. Begründen Sie, warum es sich bei dem Grenzbild um eine
selbstähnliche Figur handelt und bestimmen Sie die
zugehörige Selbstähnlichkeitsdimension.
d. Zu den drei hier abgebildeten Figuren
i. Entscheiden Sie, ob es um eine exakt selbstähnliche
Figur handelt und
ii. erklären Sie Ihr Ergebnis. Argumentieren Sie.
iii. Berechnen Sie gegebenenfalls die Selbstähnlichkeitsdimension.
Bild 1 Bild 2 Bild 3

7. Abbildungen und Funktionen
Der jährliche Wasserverbrauch w der Erdbevölkerung nimmt ständig zu.
Zunächst ist der Verbrauch zu zwei Zeitpunkten gegeben:
Jahr Zeit t
Verbrauch in
km³/a
1900 0 33,0
1940 40 69,8
a) Bestimmen Sie eine lineare Funktion f, die den Wasserverbrauch in Abhängigkeit von
der Zeit t modelliert.
b) Berechnen Sie das Jahr t, in dem das Modell aus Aufgabe a) – spätestens – seine
Gültigkeit verliert und begründen Sie warum das so ist.
Durch bessere Statistiken ist der Wasserverbrauch für weitere Jahre genauer bekannt:
Jahr Zeit t
Verbrauch in
km³/a
1940 0 69,8
1950 10 88,6
1960 20 118,4
1970 30 142,6
1980 40 174,2
1990 50 216,0
2000 60 269,8
c) Begründen Sie durch eine Rechnung, dass die Modellierung der Daten durch eine
Exponentialfunktion sinnvoll ist.
d) Bestimmen Sie die Funktion g, die den Wasserverbrauch der Erdbevölkerung als
Funktion der Zeit t angibt. Geben Sie dabei mindestens zwei Nachkommastellen an.
e) Berechnen Sie das Jahr, in dem (nach diesem Modell) der Wasserverbrauch der
Erdbevölkerung 350 km³/a überschreitet. [Sollten Sie Aufgabe d) nicht gelöst haben,
verwenden Sie in dieser Aufgabe die Funktion g mit g(t) = .]

zu a)
Arbeitsblatt zu Aufg. 3 Name: _________________________
zu b)
Die Spiegelachsen wurden auf folgende Weise ermittelt:
Aufgabenteil c) bitte auf einem extra Blatt bearbeiten.

Arbeitsblatt zur Aufgabe 5 Arbelos Name: _________________________
Konstruieren Sie (klassisch nach Euklid) auf diesem Arbeitsblatt den in Aufg. a. dargestellten
Kreis im Arbelos.
Die Konstruktionsschritte müssen erkennbar sein, eine Konstruktionsbeschreibung ist nicht
gefordert. Denken Sie an die Bezeichnungen.
(Für diesen Aufgabenteil können Sie 5 von 10 möglichen Punkten erreichen.)