Modul EM1: Mathematisches Denken in Arithmetik und ... - CeVis
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6. Dimension - Sierp<strong>in</strong>ski-Drittelung<br />
Wir betrachten e<strong>in</strong> spezielles gleichseitiges Dreieck, das folgendermaßen generiert wird.<br />
Initiator ist e<strong>in</strong> gleichseitiges Dreieck.<br />
Stufe 0<br />
• Die Seiten des Dreiecks werden gedrittelt <strong>und</strong> die Teilpunkte so mite<strong>in</strong>ander<br />
verb<strong>und</strong>en, dass neun gleichseitige Dreiecke entstehen.<br />
• Die <strong>in</strong>neren drei Dreiecke werden entfernt.<br />
• Jedes übrig gebliebenen Teildreieck wird erneut mit Schritt 1 beg<strong>in</strong>nend bearbeitet.<br />
Stufe 1<br />
Die Schritte 1 bis 3 werden unendlich oft wiederholt.<br />
Stufe 2<br />
a. Beschreiben Sie, wie sich die Anzahl der Teile T(n) der Dreiecke, der Flächen<strong>in</strong>halt<br />
A e<strong>in</strong>es Dreiecks, der gesamte Flächen<strong>in</strong>halt A(n) aller Dreiecke, die Kantenlänge<br />
e<strong>in</strong>es Dreiecks <strong>und</strong> der gesamte Umfang U(n) aller Dreiecke im n-ten Konstruktionsschritt<br />
entwickeln, wenn die Konstruktion weiter fortgesetzt wird. Füllen Sie<br />
dazu die Tabelle auf dem Arbeitsblatt aus.<br />
b. Begründen Sie, warum es sich hier um e<strong>in</strong>e selbstähnliche Figur handelt <strong>und</strong><br />
bestimmen Sie die zugehörige Selbstähnlichkeitsdimension.<br />
c. (zu den drei Abbildungen auf dem Arbeitsblatt)<br />
i. Entscheiden Sie, ob es um e<strong>in</strong>e exakt selbstähnliche Figur handelt <strong>und</strong><br />
ii. erklären Sie Ihr Ergebnis. Argumentieren Sie.<br />
iii. Berechnen Sie gegebenenfalls die Selbstähnlichkeitsdimension.
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