Modul EM1: Mathematisches Denken in Arithmetik und ... - CeVis

Grundsätzliches: Eine Klausur ist eine Gelegenheit, dem Prüfer zu zeigen, was Sie alles
wissen. Es ist also in Ihrem Interesse, dass Ihre Ausführungen lesbar, verständlich und
logisch nachvollziehbar sind. Für Studierende des Lehramts ist eine Klausur immer auch
eine Prüfung für die Fähigkeit, mathematische Dinge klar und verständlich darzustellen.
1. vollständige Induktion
Beweisen Sie mit vollständiger Induktion
Für alle n ∈� gilt:
n
∑
k =1
k 2 ( − k)
= 1
n(n + 1)(n − 1)
3
2. Folgen und Teilbarkeit
a. Wir betrachten eine geometrische Folge, in der die Folgeglieder mit q = 3
multipliziert werden. Das 10. Folgenglied berechnet man durch die
Multiplikationsaufgabe a10 = 45·27·81·18 . Wie lautet das explizite Bildungsgesetz für
diese Zahlenfolge?
b. In einer arithmetischen Zahlenfolge sind a100 und a103 durch 15 teilbar. Zu dieser
Zahlenfolge werden folgende Behauptungen aufgestellt:
i. Alle Folgenglieder sind durch 15 teilbar.
ii. Alle Folgenglieder sind durch 5 teilbar.
iii. Alle Folgenglieder sind durch 3 teilbar.
iv. Für die Teilbarkeit von allen Folgegliedern kann man keine Aussage machen.
Genau eine dieser vier Behauptungen ist richtig. Welche? Begründen Sie.
3. Abbildungen geometrisch
Auf dem beigelegten Arbeitsblatt ist das Dreieck ABC und die Gerade a gezeichnet.
Weiterhin ist das Dreieck A’B’C’ das Bild von ABC bei Spiegelung an a. Der Punkt Z
liegt auf der Geraden a.
a. Drehen Sie das Dreieck A’B’C’ um den Punkt Z um 40° (gegen den Uhrzeigersinn). Das
so erhaltene Dreieck ist A”B”C”.
b. Man kann das Dreieck ABC durch Spiegelung an einer Achse auf das Dreieck
A”B”C” abbilden. Finden Sie diese Achse, sie soll b heißen. Geben Sie eine kurze
Beschreibung, wie Sie b finden.
c. Allgemein: Gegeben ist eine Achse a und eine Drehung um den Punkt Z mit dem
Winkel α. Begründen Sie allgemein: Liegt Z auf der Achse a, so kann man die
Verknüpfung von Achsenspiegelung und Drehung durch eine einzige
Achsenspiegelung ersetzen. Formal: Z ∈a ⇒ D Z ,α � S a = S b .
d. Noch einmal zu den Dreiecken ABC und A”B”C”. Warum ist die Aufgabe „Finden
Sie vier Achsen, so dass die Verknüpfung der vier Spiegelungen an diesen Achsen
das Dreieck ABC auf das Dreieck A”B”C” abbildet.“ nicht lösbar?
4. Matrizenrechnung
Gegeben ist die Matrix
⎛
D = ⎜
⎝
0,6 0,8
−0,8 0,6
⎞
⎟ .
⎠
Wir bilden damit die Abbildungsgleichung � x ' = D � x .
a. Berechnen Sie mit der Abbildungsgleichung die Bildpunkte zu A(6;3) und B(3;4).
b. Zeichnen Sie A, B und die Bildpunkte A’ und B’ in ein Achsenkreuz. Zeichnen Sie
mit O(0;0) die Dreiecke OAB und OA’B’.
c. Der Zeichnung kann man entnehmen, dass es sich um eine Drehung handelt.
Bestimmen Sie aus der Zeichnung Drehzentrum und Drehwinkel.