Modul EM1: Mathematisches Denken in Arithmetik und ... - CeVis

Sommersemester 2010
Dr. Reimund Albers
Modul EM1: Mathematisches Denken
in Arithmetik und Geometrie
Modulabschlussklausur
Name:_________________________________ Mat.Nr.:__________________
Schulschwerpunkt: Grund- oder Sekundar-
bitte ankreuzen
Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 Summe
maximal 6 7 9 8 10 10 10 60
erreicht
Zugelassene Hilfsmittel:
4 Seiten (einseitige Blätter) eigene Aufzeichnungen, Taschenrechner
Bitte weisen Sie sich durch einen Lichtbildausweis aus.
SoSe
2010

Grundsätzliches: Eine Klausur ist eine Gelegenheit, dem Prüfer zu zeigen, was Sie alles
wissen. Es ist also in Ihrem Interesse, dass Ihre Ausführungen lesbar, verständlich und
logisch nachvollziehbar sind. Für Studierende des Lehramts ist eine Klausur immer auch
eine Prüfung für die Fähigkeit, mathematische Dinge klar und verständlich darzustellen.
1. vollständige Induktion
Beweisen Sie mit vollständiger Induktion
Für alle n ∈� gilt:
n
∑
k =1
k 2 ( − k)
= 1
n(n + 1)(n − 1)
3
2. Folgen und Teilbarkeit
a. Wir betrachten eine geometrische Folge, in der die Folgeglieder mit q = 3
multipliziert werden. Das 10. Folgenglied berechnet man durch die
Multiplikationsaufgabe a10 = 45·27·81·18 . Wie lautet das explizite Bildungsgesetz für
diese Zahlenfolge?
b. In einer arithmetischen Zahlenfolge sind a100 und a103 durch 15 teilbar. Zu dieser
Zahlenfolge werden folgende Behauptungen aufgestellt:
i. Alle Folgenglieder sind durch 15 teilbar.
ii. Alle Folgenglieder sind durch 5 teilbar.
iii. Alle Folgenglieder sind durch 3 teilbar.
iv. Für die Teilbarkeit von allen Folgegliedern kann man keine Aussage machen.
Genau eine dieser vier Behauptungen ist richtig. Welche? Begründen Sie.
3. Abbildungen geometrisch
Auf dem beigelegten Arbeitsblatt ist das Dreieck ABC und die Gerade a gezeichnet.
Weiterhin ist das Dreieck A’B’C’ das Bild von ABC bei Spiegelung an a. Der Punkt Z
liegt auf der Geraden a.
a. Drehen Sie das Dreieck A’B’C’ um den Punkt Z um 40° (gegen den Uhrzeigersinn). Das
so erhaltene Dreieck ist A”B”C”.
b. Man kann das Dreieck ABC durch Spiegelung an einer Achse auf das Dreieck
A”B”C” abbilden. Finden Sie diese Achse, sie soll b heißen. Geben Sie eine kurze
Beschreibung, wie Sie b finden.
c. Allgemein: Gegeben ist eine Achse a und eine Drehung um den Punkt Z mit dem
Winkel α. Begründen Sie allgemein: Liegt Z auf der Achse a, so kann man die
Verknüpfung von Achsenspiegelung und Drehung durch eine einzige
Achsenspiegelung ersetzen. Formal: Z ∈a ⇒ D Z ,α � S a = S b .
d. Noch einmal zu den Dreiecken ABC und A”B”C”. Warum ist die Aufgabe „Finden
Sie vier Achsen, so dass die Verknüpfung der vier Spiegelungen an diesen Achsen
das Dreieck ABC auf das Dreieck A”B”C” abbildet.“ nicht lösbar?
4. Matrizenrechnung
Gegeben ist die Matrix
⎛
D = ⎜
⎝
0,6 0,8
−0,8 0,6
⎞
⎟ .
⎠
Wir bilden damit die Abbildungsgleichung � x ' = D � x .
a. Berechnen Sie mit der Abbildungsgleichung die Bildpunkte zu A(6;3) und B(3;4).
b. Zeichnen Sie A, B und die Bildpunkte A’ und B’ in ein Achsenkreuz. Zeichnen Sie
mit O(0;0) die Dreiecke OAB und OA’B’.
c. Der Zeichnung kann man entnehmen, dass es sich um eine Drehung handelt.
Bestimmen Sie aus der Zeichnung Drehzentrum und Drehwinkel.

noch Aufg. 4
d. Man kann den Drehwinkel auch ohne Zeichnung allein aus der Matrix bestimmen.
Tun Sie dieses und machen Sie den Rechenweg deutlich. Stimmt das Ergebnis mit
dem aus c. überein?
5. Arbelos
In der Skizze sehen Sie einen Arbelos (dunkelgrau).
Im linken inneren Halbkreis sehen Sie noch einmal den proportional verkleinerten
Arbelos (hellgrau).
Skizze:
a. Bestimmen Sie Radien und der inneren Halbkreise des hellgrauen Arbelos.
Verwenden Sie dazu nur die den dunkelgrauen Arbelos bestimmenden Größen und
(Radien der inneren Halbkreise).
Überprüfen Sie Ihr Ergebnis auf dem beigefügten Arbeitsblatt (nicht oben in der Skizze)
anhand der Vorgabe für die Konstruktion. Dort gilt und .
b. Verkleinern Sie den dunkelgrauen Arbelos ein zweites Mal, damit auch der rechte
innere Halbkreis zum Arbelos wird. Arbeiten Sie dazu auf dem beiliegenden
Arbeitsblatt. Wir erwarten von Ihnen:
i. Die Bestimmung von a b und b b in Abhängigkeit von und .
ii. Die Konstruktion. Ausgeführt in der Vorgabe auf dem Arbeitsblatt (im
klassischen Sinn nach Euklid, alle Konstruktionsschritte sollen erkennbar sein,
angemessen bezeichnet). Eine Konstruktionsbeschreibung ist nicht gefordert.
c. (Dieser Teil wird bewusst geringer bewertet)
Stellen Sie eine Verbindung zum nebenstehenden
Bild aus dem Workshop her.

6. Dimension - Sierpinski-Drittelung
Wir betrachten ein spezielles gleichseitiges Dreieck, das folgendermaßen generiert wird.
Initiator ist ein gleichseitiges Dreieck.
Stufe 0
• Die Seiten des Dreiecks werden gedrittelt und die Teilpunkte so miteinander
verbunden, dass neun gleichseitige Dreiecke entstehen.
• Die inneren drei Dreiecke werden entfernt.
• Jedes übrig gebliebenen Teildreieck wird erneut mit Schritt 1 beginnend bearbeitet.
Stufe 1
Die Schritte 1 bis 3 werden unendlich oft wiederholt.
Stufe 2
a. Beschreiben Sie, wie sich die Anzahl der Teile T(n) der Dreiecke, der Flächeninhalt
A eines Dreiecks, der gesamte Flächeninhalt A(n) aller Dreiecke, die Kantenlänge
eines Dreiecks und der gesamte Umfang U(n) aller Dreiecke im n-ten Konstruktionsschritt
entwickeln, wenn die Konstruktion weiter fortgesetzt wird. Füllen Sie
dazu die Tabelle auf dem Arbeitsblatt aus.
b. Begründen Sie, warum es sich hier um eine selbstähnliche Figur handelt und
bestimmen Sie die zugehörige Selbstähnlichkeitsdimension.
c. (zu den drei Abbildungen auf dem Arbeitsblatt)
i. Entscheiden Sie, ob es um eine exakt selbstähnliche Figur handelt und
ii. erklären Sie Ihr Ergebnis. Argumentieren Sie.
iii. Berechnen Sie gegebenenfalls die Selbstähnlichkeitsdimension.

7. Abbildungen und Funktionen
Die Anzahl der Beschäftigten im Braunkohlebergbau nimmt in Deutschland ab. Zunächst
ist die Anzahl der Beschäftigen zu zwei Zeitpunkten gegeben
Jahr Zeit t Beschäftigte
1989 0 156731
1994 5 45702
a. Bestimmen Sie eine lineare Funktion f, die die Anzahl der Beschäftigen in
Abhängigkeit von der Zeit t modelliert.
b. Berechnen Sie den Zeitpunkt t, zu dem das Modell aus Aufgabe a) – spätestens –
seine Gültigkeit verliert.
Durch eine ausführlichere Recherche ist die Anzahl der Beschäftigen im Braunkohlebau
nun auch für weitere Jahre bekannt:
Jahr Zeit t Beschäftigte
1989 0 156731
1990 1 129727
1991 2 97157
1992 3 73419
1993 4 53695
1994 5 44029
1995 6 35223
c. Begründen Sie durch eine Rechnung, dass die Modellierung der Daten durch eine
Exponentialfunktion sinnvoll ist
d. Bestimmen Sie die Funktion g, die die Anzahl der Beschäftigten als Funktion der Zeit
t angibt
e. Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem im Braunkohlebergbau die Anzahl der
Beschäftigen unter 10000 sinkt. [Sollten Sie Aufgabe d. nicht gelöst haben,
verwenden Sie in dieser Aufgabe die Funktion g mit g( t ) = 160000 ⋅0,79 t .]

zu a)
Arbeitsblatt zu Aufg. 3 Name: _________________________
zu b)
Die Spiegelachse b findet man auf folgende Weise:
Die Aufgabenteile c) und d) bitte auf einem extra Blatt bearbeiten.

Arbeitsblatt zur Aufgabe 5 Arbelos Name: _________________________
Konstruieren Sie den verkleinerten Arbelos im rechten inneren Halbkreis.
Konstruieren Sie im klassischen Sinn nach Euklid, alle Konstruktionsschritte sollen erkennbar
sein. Eine Konstruktionsbeschreibung ist nicht gefordert.

Arbeitsblatt zur Aufgabe 6 Dimension Name: _________________________
zu a)
n Anzahl der
Teile T(n)
A eines Teiles A(n) Kantenlänge
eines Teiles
0 1 1 FE
1
2
3
4
n
zu c)
Bild 1 Bild 2
Bild 3
U(n)
1 LE