Untersuchung von Wasser als Dielektrikum im Kondensator
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Um die Abhängigkeit der Polarisation −→ P zu dem der Elektrischen Feldstärke herzuleiten, leiten wir den<br />
mittleren Wert für cos (ϑ) über das Stefan-Boltzmannsche Verteilungsgesetz her. Dieses besagt, dass die<br />
V (ϑ)<br />
− Wahrscheinlichkeit für einen gewissen Energiezustand V durch e kT gegeben ist.<br />
In unserem Fall ist der Faktor p·E<br />
kT<br />
cos (ϑ) =<br />
= p · E<br />
cos (ϑ) =<br />
=<br />
´ V (ϑ)<br />
− e kT · cos (ϑ) · dΩ<br />
´ V (ϑ)<br />
e− kT · dΩ<br />
´ e − −p·E<br />
kT cos(ϑ) · cos (ϑ) · dΩ<br />
´ e − −p·E<br />
kT cos(ϑ) · dΩ<br />
≪ 1, sodass wir den Integranden entwickeln können:<br />
´ π ´ 2π<br />
0 0<br />
´ π ´ 2π<br />
0 0<br />
3 · kT<br />
�<br />
1 + p·E<br />
�<br />
kT cos (ϑ) cos (ϑ) · sin (ϑ) · dϕ · dϑ<br />
�<br />
�<br />
cos (ϑ) sin (ϑ) · dϕ · dϑ<br />
1 + p·E<br />
kT<br />
p = p · cos (ϑ) = p2 · E<br />
3 · kT<br />
(8)<br />
−→<br />
P =<br />
p2 · N<br />
3 · kT · −→ E (9)<br />
Als Ergebnis kann man zusammen fassen: Feldstärke und Polarisation sind bei der Orientierungspolari-<br />
sation linear <strong>von</strong>einander abhängig, sodass die Definition der Permittivität durchaus zu rechtfertigen ist.<br />
Allerdings ist die Polarisation auch reziprok <strong>von</strong> der Temperatur abhängig, sodass bei hohen Temperaturen<br />
die Permittivität ɛr sinkt. Dies ist leicht zu erklären, da aufgund der Temperatur die Moleküle zusätzliche<br />
Bewegungsenergie zum Aufbrechen der Polarisation haben.<br />
Für unseren Aufbau ist eine möglichst gleichbleibende Temperatur anzustreben.<br />
• Verschiebungspolarisation: Da die Moleküle aus schweren, positiv geladenen Kernen und leichten,<br />
negativ geladenen Elektronen bestehen, kommt es <strong>im</strong> elektrischen Feld zu einer Ladungsverschiebung →<br />
Polarisation. Nach dem Hookschen Gesetz ist für kleine Verschiebungen die Auslenkung proportional zur<br />
rücktreibenden Kraft. Wir können <strong>als</strong>o für geringe Feldstärken [5] ( U/cm ≦ 1 kV/cm) auch hier eine lineare<br />
Abhängigkeit <strong>von</strong> −→ P und −→ E voraussetzen.<br />
Allgemein ist die Abhängigkeit komplizierter und kann durch<br />
Pi =<br />
3�<br />
j=1<br />
aijEj +<br />
3�<br />
j,k=1<br />
(4)<br />
(5)<br />
(6)<br />
(7)<br />
bijkEjEk + ..... (10)<br />
beschrieben werden. Die höheren Terme sind aber erst bei größeren elektrischen Feldern relevant und <strong>im</strong> ersten<br />
Term können die “Nichtdiagonaleinträge” vernachlässigt werden. In unserem Fall liegen die Feldstärken bei bis<br />
zu 2 kV/cm, sodass bei Hochspannung auch nichtlineare Zusammenhänge auftreten.<br />
In isotropen Medien, wie bei <strong>Wasser</strong> und Luft, ist keine Richtung ausgezeichnet, sodass die Diagonalelemente<br />
gleich sind. Zusammenfassend können wir die Formel (10) mithilfe der dielektrischen Suszeptibilität χe zusam-<br />
menfassen<br />
Die Feldstärke <strong>im</strong> <strong>Dielektrikum</strong> ist gegeben durch<br />
−→ P = ɛ0 · χe · −−−→<br />
EDiel<br />
(11)<br />
−−−→<br />
EDiel = σfrei − σpol −→<br />
e (12)<br />
ɛ0<br />
6
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