Untersuchung von Wasser als Dielektrikum im Kondensator

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Beziehung zwischen Widerstand R2 und Kapazität C2 für bestimmte, noch gesuchte ω folgendes gilt: 1 R2 ≪ iwC2 Analog dazu für Cx. In unserem Versuch benutzen wir einen Kondensator mit Luft bzw. Wasser. Auch der Widerstand des Kondensators Z2 (10 18 Ωm spezifischer Widerstand) ist sehr hoch und die Kapazität dazu sehr klein; diese Näherung ist sehr wichtig, da wir so berechnen können, mit welchen Frequenzen wir die Brücke zu betreiben haben. Es folgt für die Frequenz und gleichzeitig 1 R2C2 1 RxCx (62) ≪ w (63) ≪ w (64) Für den Widerstand von Luft können wir Rx → ∞ annehmen. Die Abhängigkeit (20) verschwindet also. Wenn wir jedoch den Kondensator C2 = 15pF oder 1nF betrachten, so erkennen wir, dass 1 R2C2 = 1 10 6 Ω · 15 · 10 −12 F = 1 15 · 10−6 ≪ w (65) s gilt. Wir müssen also für unseren Aufbau Frequenzen deutlich größer als 1MHz nutzen. Dann folgt als Lösungs- formel: Cx = R4 C2 R3 Diese Formel gilt jedoch nur, wenn wir die Querspannung gleich Null setzen und die Frequenz, wie oben gezeigt, passend gewählt wird. Außerdem sehen wir, dass die Frequenzabhängigkeit in der Formel vollkommen verschwindet. Für den Testaufbau mit einem Kondensator der Kapazität 1nF ergibt sich eine sehr kleine Grenzfrequenz (wGrenz ≈ 500Hz). 2.6 Bestimmung der Dielektrizitätskonstante Um unsere Werte mit den Werten der Literatur zu vergleichen, muss die relative Permittivität eines bestimmten Stoffes ermittelt werden. Der Zusammenhang zwischen Kapazität und ɛr ergibt sich durch die Formel der Kapazität, CKond = ɛ0 · ɛreffektiv Der Zusatz “effektiv” gibt an, dass es sich aus einer Mischung der Permittivitäten der im Kondensator enthal- tenen Stoffe handelt. Im Falle eines leeren Kondensators ist ɛreffektiv = ɛrLuft ≈ 1. Ansonsten setzt sich die effektive relative Permittivität aus dem Anteil der Luft, dem Anteil des Plastiks und dem Anteil des Wassers zusammen. Man kann dann den Kondensator als Reihenschaltung ganz vieler Kondensatoren betrachten, welche alle unterschiedliche Dielektrika enthalten. Hierfür gilt die Formel der Reihenschaltung: 1 CKond = � In unserem Fall besteht der Kondensator aus einer 4mm dicken Plexiglasschicht; das Volumen der Luft haben wir minimiert, d.h. wir haben den Dielektrikumsbehälter zwischen den Platten eingeklemmt und man kann mit gutem Recht dLuft = 0mm annehmen. Die Dicke des zu messenden Dielektrikums “Probe” beträgt dann 18 i 1 Ci · A d (66) (67) (68)
≈ 21mm, bei einer Fläche von π (130mm) 2 . Dies führt zu folgender Abhängigkeit: Mit ɛreffektiv = ≈ ɛr P lexi dplexi · ɛr P robe dP robe ɛr P lexi dplexi + ɛr P robe dP robe ɛrP lexi · ɛrP robe · dGesamt (ɛrP lexi · 21) + (ɛrP robe ⎧ ⎨ 17, 4 : W asser = ⎩ 1, 1 : Luft ɛrP lexi ɛrW asser ɛrLuft ≈ 3, 4 (69) · 4) · 25 (70) ≈ 81 (71) ≈ 1 Aus der Gleichung kann man schon erkennen, dass bei einer hohen relativen Permittivität ɛrP robe Permittivität gegen einen Grenzwert ( lim ɛreffektiv ɛrP robe→∞ die effektive 25 = 4 ɛrP ) läuft, das heißt, dass bei hohen relativen lexi Permittivitäten keine signifikante Änderung der effektiven Permitivität mehr eintritt. Bei einem mit Tröpfchen gefüllten Kondensator kann man davon ausgehen, dass die Wasserschicht auf beiden Seiten ≪ 4mm beträgt. Daher erwarten wir theoretisch ein Verhältnis der Kapazitäten bei gefülltem Behälter und leerem Behälter von CF eucht CW asser ≤ ɛrP lexi 0,004m + ɛr W asser 0,021m ɛr P lexi 0,004m + ɛr W asser 0,004m + ɛr Luft 0,017m = 0, 2225 (72) Der theoretische Wert kann nicht mit den experimentellen Daten aus der Vorlesung zur Deckung gebracht werden. Ansätze zur Erklärung, wie die endliche Ausdehnung des Behälters, die hohe Luftfeuchtigkeit im Behälter sowie die Oberflächenbenetzung können nur unzureichend erklären, warum der Unterschied zwischen “feucht” und “mit Wasser gefüllt” nicht dem erwartetem Verhältnis genügt. Zu dem Argument der hohen Luftfeuchtigkeit im Behälter sei hier noch gesagt, dass am Anfang unserer Überle- gungen immer wieder der Gedanke im Raum stand, dass die hohe Luftfeuchtigkeit für den hohen Spannungsabfall am Elektrometer verantwortlich sei. Tatsächlich ist die Wasseraufnahmefähigkeit von Luft begrenzt, wie man an folgender Abbildung erkennen kann. 19
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