Untersuchung von Wasser als Dielektrikum im Kondensator

eingestellt. Die gesuchte Kapazität kann dann über eine einfache Formel berechnet werden. Die Brücke wird als
abgeglichen bezeichnet, wenn die Querspannung zwischen 1* und 2* gleich Null ist, obwohl eine Messspannung
UM angelegt ist. Zur Verdeutlichung dient nachstehende Abbildung. Für den Abgleich müssen zwei Beziehungen
gelten, die wir kurz herleiten wollen.
Abbildung 9: Schaltbild zur Wienschen Brücke
Aus dem Schaltbild folgt nach Einstellung der Widerstände bzw. der Kapazität die Abgleichbedingung U∼ = 0.
Für die komplexen Widerstände können wir
⇒ Z2
=
Zx
Z4
Z3
(56)
Zj = Zj · e iϕj (57)
einsetzen. Hier bezeichnet i die komplexe Einheit und j den jeweiligen Widerstand. Es folgt
und daraus die Beziehung für die Phase:
Zx · Z4 · e i(ϕx+ϕ4) = Z2 · Z3 · e i(ϕ2+ϕ3)
ϕx + ϕ4 = ϕ2 + ϕ3
Es müssen also immer (56) und (59) für Phase und Widerstand erfüllt sein. Wenn man sich diese Bedingungen
im komplexen Zahlenraum ansieht, bezeichnet Zx · Z4 (bzw. Z2 · Z3) den Radius und ϕx + ϕ4 (bzw. ϕ2 + ϕ3)
den Drehwinkel.
Nun folgt die Herleitung der eigentlichen Formel zur Bestimmung der Kapazität. Für die beiden Widerstände
können wir Z3 = R3 und Z4 = R4 einsetzen. Für die Kondensatoren müssen wir die Zusammensetzung aus
kapazitivem Widerstand und ohmschen Widerstand betrachten. Somit setzen wir für
1
Zx
ein. Aus Gleichung (12) folgt dann
= ( 1
+ iwCx) und
Rx
1
Z2
(58)
(59)
= ( 1
+ iwC2) (60)
R2
( 1
+ iwC2)
R2
R4
= (
R3
1
+ iwCx) (61)
Rx
Wir müssen einige Näherungen vornehmen, um auf die Lösungsformel zu kommen. Wir nehmen an, dass für die
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