Untersuchung von Wasser als Dielektrikum im Kondensator
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2.4 Berechnung der Kapazitäten der Kabel<br />
Für die Genauigkeit unserer Messapparatur ist die Störanfälligkeit elementar. Vor allem bei hochfrequenten<br />
Wechselspannungen ist das Koaxialkabel aufgrund der guten Abschirmung externer elektromagnetischer Wellen<br />
erste Wahl. Wichtiger aber <strong>als</strong> die Filterung <strong>von</strong> Störsignalen ist jedoch, dass die Kapazität der Kabel nicht<br />
die des <strong>Kondensator</strong>s übersteigt. Um dem nachzugehen, versuchen wir eine Abschätzung der Kapazität unserer<br />
Kabel zu finden.<br />
2.4.1 Die Kapazität <strong>von</strong> Bananenkabeln<br />
Um die Kapazität der Bananenkabel zu best<strong>im</strong>men, nehmen wir stark vereinfacht an, dass eine Potentialdif-<br />
ferenz U zwischen zwei unendlich langen Kabeln anliegt, welche in einem Abstand d parallel verlaufen. Das<br />
<strong>Dielektrikum</strong>, welches die beiden Kabel trennt, habe die Permittivität ɛR = 1. (Hier ist eigentlich nicht nur der<br />
variable Abstand der Kabel zu beachten, sondern auch die Permittivität der isolierenden Leiterummantelung.)<br />
Das Potential eines einfach geladenen Drahtes mit der Ladung pro Weglänge λ ergibt sich durch Anwendung<br />
der 1. Maxwellschen Gleichung auf das Volumen eines 1 Meter langen Zylinders mit Radius r, welcher um den<br />
Draht gelegt wird.<br />
Außerhalb des Kabels (r ≧ R0):<br />
Innerhalb des Kabels (r ≦ R0):<br />
ˆ<br />
V<br />
�<br />
−→E<br />
�<br />
div dV =<br />
ˆ<br />
∂V<br />
−→ E · d −→ F =<br />
2π · r · E (r) = λ<br />
ɛ<br />
⇒<br />
−→<br />
E =<br />
λ 1<br />
·<br />
2π · ɛ r · −→ er<br />
ˆ<br />
V<br />
�<br />
−→E<br />
�<br />
div dV =<br />
ˆ<br />
∂V<br />
−→ E · d −→ F =<br />
2π · r · E (r) = r2<br />
r2 ·<br />
0<br />
λ<br />
ɛ<br />
⇒<br />
−→<br />
E =<br />
ˆ<br />
V<br />
ˆ<br />
V<br />
ˆ<br />
V<br />
ˆ<br />
V<br />
ρ<br />
· dV (32)<br />
ɛ<br />
ρ<br />
· dV (33)<br />
ɛ<br />
(34)<br />
(35)<br />
ρ<br />
· dV (36)<br />
ɛ<br />
ρ<br />
· dV (37)<br />
ɛ<br />
λ r<br />
·<br />
2π · ɛ r2 ·<br />
0<br />
−→ er<br />
Wir gehen <strong>im</strong> Folgendem da<strong>von</strong> aus, dass ein Kabel mit der Längenladungsdichte +λ und das andere mit<br />
−λ belegt ist. Es genügt die Potentialdifferenz zwischen den Leitern für eine Quelle zu berechnen und dieses<br />
Ergebnis aus Symmetriegründen zu verdoppeln.<br />
13<br />
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