Untersuchung von Wasser als Dielektrikum im Kondensator
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Fachbereich C - Physik<br />
<strong>Untersuchung</strong> <strong>von</strong> <strong>Wasser</strong> <strong>als</strong> <strong>Dielektrikum</strong> <strong>im</strong><br />
<strong>Kondensator</strong><br />
Anfängerprojektpraktikum SoSe 2012<br />
Marcus Dillbahner 1022156<br />
Sven Engelmann 822342<br />
Katrin Jonuleit 1113528<br />
Johannes Stracke 1047727<br />
Alexander Weyer 1025846<br />
Bastian Wingerath 1110482<br />
Tutor: Oliver Müller<br />
Kurzbeschreibung: In diesem Versuch beschäftigen wir uns mit der Wirkung und Funktionsweise <strong>von</strong> <strong>Wasser</strong><br />
und Luft <strong>als</strong> <strong>Dielektrikum</strong> in einem Plattenkondensator. Die Wirkungsweise durch Polarisation der<br />
<strong>Wasser</strong>moleküle und die Abhängigkeit der Luftfeuchtigkeit <strong>im</strong> <strong>Kondensator</strong> werden untersucht.<br />
1
Inhaltsverzeichnis<br />
1 Motivation und Einleitung 4<br />
2 Physikalischer Hintergrund 4<br />
2.1 Das <strong>Dielektrikum</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />
2.2 <strong>Kondensator</strong>en und Kapazitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
2.2.1 <strong>Kondensator</strong>en allgemein betrachtet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
2.2.2 Der Versuchskondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
2.3 Das Elektrometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
2.4 Berechnung der Kapazitäten der Kabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
2.4.1 Die Kapazität <strong>von</strong> Bananenkabeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
2.4.2 Die Kapazität <strong>von</strong> Koaxialkabeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
2.4.3 Beurteilung der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
2.5 Methoden zur Best<strong>im</strong>mung der Kapazität C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
2.5.1 Auf- und Entladung eines <strong>Kondensator</strong>s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
2.5.2 Wiensche Brücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16<br />
2.6 Best<strong>im</strong>mung der Dielektrizitätskonstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
3 Versuchsdurchführungen 20<br />
3.1 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
3.2 Messreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
3.2.1 Wiensche Brücke zur Best<strong>im</strong>mung der <strong>Kondensator</strong>kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
3.2.2 Entladekurve durch Selbstentladung des <strong>Kondensator</strong>s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
3.2.3 Das <strong>Dielektrikum</strong> bei Niederspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
3.2.4 Das <strong>Dielektrikum</strong> bei Hochspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br />
4 Fehlerrechnung 30<br />
5 Fazit und Ausblick 31<br />
Literatur 32<br />
2
Abbildungsverzeichnis<br />
1 Ausrichtung der Dipole <strong>im</strong> externem Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />
2 Schematischer Verlauf der komplexen Permittivtät, aufgeteilt in Real- und Imaginärteil [3] . . . . 7<br />
3 Schematische Abbildung eines Plattenkondensators mit <strong>Dielektrikum</strong> [4] . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
4 Steighöhenmethode zur Best<strong>im</strong>mung der Permittivität [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
5 Darstellung der Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
6 Eichmessung des Elektrometers mit Ausgleichsgerade f(x) = m · x + b . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
7 Schaltskizze zur Auf- und Entladung des <strong>Kondensator</strong>s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
8 Spannungsverlauf bei Auf- und Entladung in relativen Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
9 Schaltbild zur Wienschen Brücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
10 Sättigungsmenge <strong>von</strong> <strong>Wasser</strong> in Luft [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
11 Testmessung mit Cx = 1nF ; C2 = 10nF ; R4 = 10kΩ; R3 = 1kΩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
12 Oszilloskopausgabe mit Versuchskondensator d = 2, 5cm; R3 = 10kΩ (Potentiometer); R4 =<br />
10kΩ; C2 = 15pF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
x − 13 Entladung des <strong>Kondensator</strong>s durch den Aufbau, Ausgleichsfit: f(x) = a · e b + c . . . . . . . . . 23<br />
14 Schaltplan für die Entladekurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
15 Fit der Entladekurve der Kabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />
16 Schaltskizze <strong>Dielektrikum</strong> bei Hochspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br />
Tabellenverzeichnis<br />
1 Eichmessung des Elektrometers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
2 Entladung über Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23<br />
3 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
4 Messergebnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27<br />
5 Messergebnisse 1. Durchlauf (02.07.2012) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29<br />
6 Messergebnisse 2. Durchlauf (05.07.2012) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29<br />
7 Messergebnisse 3. Durchlauf (05.07.2012) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29<br />
3
1 Motivation und Einleitung<br />
Im Wintersemseter 2011/2012 wurde in einer Exper<strong>im</strong>entalphysikvorlesung der Bergischen Universität Wup-<br />
pertal zum Thema Elektrostatik ein Versuch vorgeführt, der das Verhalten verschiedener Dielektrika in einem<br />
<strong>Kondensator</strong> verdeutlichen sollte. Es handelte sich hierbei um einen großen, kreisförmigen Pattenkondensator<br />
(Radius r = 13cm) mit einem variablen Plattenabstand <strong>von</strong> bis zu 7cm. Der Plattenkondensator wurde über eine<br />
Hochspannungsquelle geladen. Dieses war auf der Skala eines Elektrometers abzulesen. Der Plattenkondensator<br />
war nur mit Raumluft umgeben und gefüllt. Folglich konnten wir die Permittivitätszahl ɛ = 1 annehmen. Der<br />
Plattenabstand betrug bei dieser Versuchsvorführung ca. 5cm. Wir wissen aus der Physik der <strong>Kondensator</strong>en,<br />
dass folgende Zusammenhänge gelten müssen [[6], S.825]:<br />
C : Kapazität<br />
Q : Ladung<br />
U : Spannung<br />
ɛ : Permittivität<br />
A : Plattenfläche<br />
d : Plattenabstand<br />
C = Q<br />
U<br />
= ɛ · A<br />
d<br />
Im weiteren Verlauf dieses Protokolls werden wir näher auf diese physikalischen Zusammenhänge eingehen. Was<br />
wir aber anhand der Formel (1) leicht erkennen können, ist die umgekehrte Proportionalität der Permittivität<br />
zur Spannung. Ändern wir <strong>als</strong>o die Permittivität durch Einbringen eines <strong>Dielektrikum</strong>s, so ändern wir auch die<br />
anliegende Spannung zwischen den beiden <strong>Kondensator</strong>platten unter der Annahme, dass alle anderen Parameter<br />
konstant bleiben. Vor Versuchsbeginn wurde der Plattenkondensator mit einigen kV (ca. 5kV bis 10kV) über eine<br />
Spannungsquelle geladen und anschließend <strong>von</strong> dieser getrennt. Die beiden Platten sind <strong>von</strong>einander isoliert,<br />
sodass wir da<strong>von</strong> ausgehen können, dass die Ladung auf den beiden <strong>Kondensator</strong>platten konstant ist (abgesehen<br />
<strong>von</strong> einer min<strong>im</strong>alen Entladung durch die Luft). Der Versuch aus der Vorlesung zeigte, wie die Spannung an<br />
den <strong>Kondensator</strong>platten um einen erheblichen Faktor abnahm, wenn ein mit <strong>Wasser</strong> gefüllter Kunststoffbehälter<br />
zwischen die beiden <strong>Kondensator</strong>platten geführt wurde. Um den Zuhörern zu demonstrieren, dass es wirklich das<br />
<strong>Wasser</strong> war, welches zu diesem Spannungsabfall führte, leerte der Professor den Behälter aus, um ihn daraufhin<br />
ohne <strong>Wasser</strong> zwischen die <strong>Kondensator</strong>platten zu halten. Da sich, bis auf wenige Tropfen <strong>Wasser</strong>, nur noch<br />
Luft in dem Behälter befand und somit auch die Permittivitätszahl ca. 1 betrug, dürfte der Spannungsabfall<br />
be<strong>im</strong> Einführen des entleerten Gefäßes nur min<strong>im</strong>al sein. Allerdings war ein ähnlich starker Spannungsabfall<br />
zu beobachten wie bei dem mit <strong>Wasser</strong> gefüllten Behälter. Diese Beobachtung widerspricht der physikalischen<br />
Erwartung und wird in diesem Versuch näher untersucht.<br />
In unserem Versuch wollen wir diesen Effekt näher untersuchen und verschiedene Methoden zur Kapazitätsmes-<br />
sung behandeln. Ziel des Versuches ist es, den Effekt zu reproduzieren und theoretisch zu erklären.<br />
2 Physikalischer Hintergrund<br />
Vor Versuchsdurchführung soll vorab der physikalische Hintergrund beleuchtet werden. Hierdurch erlangen wir<br />
eine Vorstellung über die Abläufe innerhalb des Versuches, Auswirkungen der einzelnen Komponenten und die<br />
auftretenden Störeffekte. Weiterhin können wir Ergebnisse vorab berechnen und erhalten so Erwartungs- und<br />
Vergleichswerte.<br />
4<br />
(1)
2.1 Das <strong>Dielektrikum</strong><br />
Das <strong>Dielektrikum</strong> ist der zentrale Begriff unseres Versuches. Ein <strong>Dielektrikum</strong> ist ein Material, welches sich<br />
durch seine isolierenden Eigenschaften auszeichnet, wobei jede nicht leitende Substanz in Frage kommt. Aus-<br />
schlaggebend ist, dass die Ladungsträger nicht frei beweglich sind. Dabei können Dielektrika sowohl gasförmig,<br />
flüssig <strong>als</strong> auch starr sein.<br />
In der Elektrostatik sind Dielektrika aufgrund ihrer Eigenschaften in einem äußerem Feld interessant. Im elektri-<br />
schem Feld werden die Moleküle des Stoffes polarisiert, es findet <strong>als</strong>o eine molekulare Ladungsverschiebung statt.<br />
Bildlich muss man sich die Moleküle wie kleine Dipole vorstellen, welche statistisch in Raum und Ausrichtung<br />
verteilt sind.<br />
Abbildung 1: Ausrichtung der Dipole <strong>im</strong> externem Feld<br />
Ohne Feld ist keine Vorzugsrichtung vorhanden, da die Bewegungsenergie zu einer statistischen Ausrichtung der<br />
Moleküle führt. (Dies gilt nicht für ferroelektrische Kristalle, welche sich unterhalb der Curie-Temperatur <strong>von</strong><br />
selber ausrichten.)<br />
Das durch die Dipole induzierte Feld wirkt dem externen Feld entgegen. Die Beweglichkeit der Ladungen bzw.<br />
die Polarisation der Moleküle ist jedoch begrenzt, sodass das äußere Feld nicht, wie in einem idealen Leiter,<br />
gänzlich ausgeglichen wird.<br />
Hier ist noch hinzuzufügen, dass es ab einer best<strong>im</strong>mten Spannung zu Überschlägen zwischen den Konden-<br />
satorplatten kommt. Diese für ein <strong>Dielektrikum</strong> spezifische Eigenschaft heißt “Durchschlagsfestigkeit”. In den<br />
Feldstärken, in denen wir arbeiten, spielt dieser Effekt aber keine Rolle.<br />
Um jedoch etwas genauer die Gründe und Arten der Polarisation zu verstehen, soll an dieser Stelle vorerst<br />
eine Charakterisierung der verschiedenen molekularen Polarisierungen vorgenommen werden:<br />
• Orientierungspolarisation: Sie tritt auf bei polaren Molekülen, welche ein permanentes inneres Dipol-<br />
moment −→ p besitzen. Die Moleküle werden durch das wirkende Drehmoment −→ N = −→ p × −→ E <strong>im</strong> externen<br />
Feld ausgerichtet. Dem Drehmoment wirkt jedoch die molekulare Temperaturbewegung entgegen.<br />
Die Energie eines Dipols in einem homogenen äußeren Feld ist<br />
V (ϑ) = − −→ p · −→ E = −p · E · cos (ϑ) (2)<br />
Die Polarisation −→ P ist definiert <strong>als</strong> resultierendes Dipolmoment pro Volumen<br />
P = N · p · cos (ϑ) (3)<br />
5
Um die Abhängigkeit der Polarisation −→ P zu dem der Elektrischen Feldstärke herzuleiten, leiten wir den<br />
mittleren Wert für cos (ϑ) über das Stefan-Boltzmannsche Verteilungsgesetz her. Dieses besagt, dass die<br />
V (ϑ)<br />
− Wahrscheinlichkeit für einen gewissen Energiezustand V durch e kT gegeben ist.<br />
In unserem Fall ist der Faktor p·E<br />
kT<br />
cos (ϑ) =<br />
= p · E<br />
cos (ϑ) =<br />
=<br />
´ V (ϑ)<br />
− e kT · cos (ϑ) · dΩ<br />
´ V (ϑ)<br />
e− kT · dΩ<br />
´ e − −p·E<br />
kT cos(ϑ) · cos (ϑ) · dΩ<br />
´ e − −p·E<br />
kT cos(ϑ) · dΩ<br />
≪ 1, sodass wir den Integranden entwickeln können:<br />
´ π ´ 2π<br />
0 0<br />
´ π ´ 2π<br />
0 0<br />
3 · kT<br />
�<br />
1 + p·E<br />
�<br />
kT cos (ϑ) cos (ϑ) · sin (ϑ) · dϕ · dϑ<br />
�<br />
�<br />
cos (ϑ) sin (ϑ) · dϕ · dϑ<br />
1 + p·E<br />
kT<br />
p = p · cos (ϑ) = p2 · E<br />
3 · kT<br />
(8)<br />
−→<br />
P =<br />
p2 · N<br />
3 · kT · −→ E (9)<br />
Als Ergebnis kann man zusammen fassen: Feldstärke und Polarisation sind bei der Orientierungspolari-<br />
sation linear <strong>von</strong>einander abhängig, sodass die Definition der Permittivität durchaus zu rechtfertigen ist.<br />
Allerdings ist die Polarisation auch reziprok <strong>von</strong> der Temperatur abhängig, sodass bei hohen Temperaturen<br />
die Permittivität ɛr sinkt. Dies ist leicht zu erklären, da aufgund der Temperatur die Moleküle zusätzliche<br />
Bewegungsenergie zum Aufbrechen der Polarisation haben.<br />
Für unseren Aufbau ist eine möglichst gleichbleibende Temperatur anzustreben.<br />
• Verschiebungspolarisation: Da die Moleküle aus schweren, positiv geladenen Kernen und leichten,<br />
negativ geladenen Elektronen bestehen, kommt es <strong>im</strong> elektrischen Feld zu einer Ladungsverschiebung →<br />
Polarisation. Nach dem Hookschen Gesetz ist für kleine Verschiebungen die Auslenkung proportional zur<br />
rücktreibenden Kraft. Wir können <strong>als</strong>o für geringe Feldstärken [5] ( U/cm ≦ 1 kV/cm) auch hier eine lineare<br />
Abhängigkeit <strong>von</strong> −→ P und −→ E voraussetzen.<br />
Allgemein ist die Abhängigkeit komplizierter und kann durch<br />
Pi =<br />
3�<br />
j=1<br />
aijEj +<br />
3�<br />
j,k=1<br />
(4)<br />
(5)<br />
(6)<br />
(7)<br />
bijkEjEk + ..... (10)<br />
beschrieben werden. Die höheren Terme sind aber erst bei größeren elektrischen Feldern relevant und <strong>im</strong> ersten<br />
Term können die “Nichtdiagonaleinträge” vernachlässigt werden. In unserem Fall liegen die Feldstärken bei bis<br />
zu 2 kV/cm, sodass bei Hochspannung auch nichtlineare Zusammenhänge auftreten.<br />
In isotropen Medien, wie bei <strong>Wasser</strong> und Luft, ist keine Richtung ausgezeichnet, sodass die Diagonalelemente<br />
gleich sind. Zusammenfassend können wir die Formel (10) mithilfe der dielektrischen Suszeptibilität χe zusam-<br />
menfassen<br />
Die Feldstärke <strong>im</strong> <strong>Dielektrikum</strong> ist gegeben durch<br />
−→ P = ɛ0 · χe · −−−→<br />
EDiel<br />
(11)<br />
−−−→<br />
EDiel = σfrei − σpol −→<br />
e (12)<br />
ɛ0<br />
6
Mithilfe <strong>von</strong> −→ P = σP ol · −→ e kann folgende Beziehung hergeleitet werden:<br />
Mithilfe <strong>von</strong> (11) ergibt sich<br />
−−−→<br />
EDiel = −−−→<br />
−→<br />
P<br />
EV ak −<br />
ɛ0<br />
−−−→<br />
EDiel =<br />
−−−→<br />
EV ak<br />
−−−→<br />
EV ak<br />
=<br />
1 + χe ɛr<br />
(14)<br />
hierbei ist die relative P ermittivität : ɛr := 1 + χe (15)<br />
(13)<br />
P ermittivität : ɛ := ɛr · ɛ0 (16)<br />
�<br />
Die Kapazität C ist definiert durch das Verhältnis <strong>von</strong> Ladung zur Spannung<br />
dungsverteilung verändert sich die Spannung mit <strong>Dielektrikum</strong> <strong>im</strong> Verhältnis<br />
Es folgt <strong>als</strong>o<br />
UDiel = UV ak<br />
ɛr<br />
CDiel = ɛr · CV ak<br />
C = Q<br />
U<br />
�<br />
. Bei konstanter La-<br />
Der Literaturwert der Permittivität <strong>von</strong> Luft liegt bei εr ≈ 1, 005 (siehe [1]). Unter unseren Bedingungen könne<br />
wir daher εr = 1 annehmen.<br />
Der Literaturwert der Permittivität <strong>von</strong> <strong>Wasser</strong> ist εr ≈ 81 (siehe [1]).<br />
Wir erwarten <strong>als</strong>o be<strong>im</strong> Einführen des <strong>Dielektrikum</strong>s <strong>Wasser</strong> eine starke Erhöhung der Kapazität, die es zu<br />
messen gilt.<br />
Abbildung 2: Schematischer Verlauf der komplexen Permittivtät, aufgeteilt in Real- und Imaginärteil [3]<br />
Bei angelegter Wechselspannung müssen die Dipole <strong>im</strong>mer wieder die Ausrichtung wechseln. Das dies nicht un-<br />
begrenzt möglich ist, ist schon anschaulich klar, da ab best<strong>im</strong>mten Frequenzen die Dipole nicht mehr genug Zeit<br />
haben, um zu reagieren. Darüber hinaus kann der “dielektrische Verlustfaktor” eine Rolle spielen: Die Wechsel-<br />
spannung führt durch die Bewegung <strong>von</strong> Teilchen <strong>im</strong> <strong>Dielektrikum</strong> (z.B. Ausrichtung der Dipole bei <strong>Wasser</strong>)<br />
7<br />
(17)<br />
(18)
zu Reibung und Erwärmung des <strong>Kondensator</strong>s samt <strong>Dielektrikum</strong>, was wiederum zur Änderung der relativen<br />
Permittivität ɛr führt. Die Verlustleistung durch das dielektrische Medium kann durch eine komplexwertige<br />
Permittivität <strong>im</strong> Imaginärteil ausgedrückt werden.<br />
Der ungefähre Verlauf der Frequenzabhängigkeit <strong>von</strong> Real- und Imaginärteil ist in Abbildung 2 wiedergegeben,<br />
hierbei deuten die eingefügten Bilder der Polarisationsarten an, welche Art <strong>von</strong> Polarisation für die sichtbare<br />
Änderung der Permittivität verantwortlich ist. Die Frequenzabhängigkeit <strong>von</strong> ɛ spielt bei der Orientierungspo-<br />
larisation, wie man sieht, erst ab Frequenzen <strong>von</strong> 10 9 Hz eine relevante Rolle. Bei der Verschiebungspolarisation<br />
ist der Effekt sogar erst ab ca.10 15 Hz zu beobachten. Somit sind eine Vielzahl weiterer Messmethoden der<br />
Kapazität möglich, welche wir hier jedoch nicht beachten werden.<br />
2.2 <strong>Kondensator</strong>en und Kapazitäten<br />
Der wichtigste Bestandteil des Versuchs ist der <strong>Kondensator</strong>. Deshalb seien hier <strong>im</strong> folgenden dessen Grundlagen<br />
und Größen beschrieben.<br />
2.2.1 <strong>Kondensator</strong>en allgemein betrachtet<br />
Ein <strong>Kondensator</strong> ist ein elektrisches Bauelement, welches Ladung und damit auch Energie speichern kann. Er be-<br />
steht aus zwei elektrisch leitenden Flächen (Elektroden), die durch einen isolierenden Bereich (das <strong>Dielektrikum</strong>)<br />
getrennt werden. Anwendung finden <strong>Kondensator</strong>en beispielsweise <strong>als</strong> Energiespeicher oder frequenzabhängiger<br />
Widerstand.<br />
Abbildung 3: Schematische Abbildung eines Plattenkondensators mit <strong>Dielektrikum</strong> [4]<br />
Die Proportionalitätskonstante C (Kapazität) beschreibt das Verhältnis <strong>von</strong> Spannung zur Ladung am Konden-<br />
sator. Formal lassen sich durch diesen Zusammenhang die Ladung Q und die Kapazität C durch die Spannung<br />
U, wie bereits in Gleichung 1 erwähnt, darstellen:<br />
Q = C · U (19)<br />
Im Falle des Plattenkondensators kann man in guter Näherung das elektrische Feld <strong>als</strong> homogen und die Richtung<br />
des Feldes <strong>als</strong> parallel zur Plattennormalen beschreiben. Bedingung für diese Näherung ist eine große Platten-<br />
fläche <strong>im</strong> Verhältnis zum Plattenabstand. (Bei der Berechnung des Feldes wird eine unendliche Ausdehnung der<br />
leitenden Flächen vorausgesetzt, was nur in unmittelbarer Nähe zur realen Platte gegeben ist).<br />
Die Streufelder am Rande des <strong>Kondensator</strong>s werden wir vernachlässigen. Im direktem Vergleich zweier Ka-<br />
pazitäten <strong>im</strong> Exper<strong>im</strong>ent wird dies jedoch nicht <strong>von</strong> Bedeutung sein, da der Fehler in jeder Durchführung<br />
gleichermaßen zum Tragen kommt.<br />
Mithilfe der 1. Maxwellschen Gleichung div −→ D = ρ<br />
ɛ0<br />
ermittelt man für die Feldstärke: E = σ<br />
ɛ0·ɛr .<br />
Für einen Plattenkondensator lässt sich daher bei bekannter Plattenfläche A, Plattenabstand d und Dielek-<br />
trizitätszahl (Permittivität) εr mithilfe der elektrischen Feldkonstanten ε0 die Kapazität C folgendermaßen<br />
best<strong>im</strong>men:<br />
8
C = Q σ · F<br />
=<br />
U E · d = ε0 · εr · A<br />
d<br />
Die <strong>im</strong> <strong>Kondensator</strong> gespeicherte Feldenergie W ermittelt sich wie folgt:<br />
W = ɛ0<br />
2<br />
ˆ<br />
V<br />
(20)<br />
−→ E · −→ D · dV (21)<br />
= ɛ0<br />
2 · A · d · ɛr · E 2<br />
Vergleicht man die Koeffizienten mit Formel 20, so ergibt sich:<br />
(22)<br />
W = 1<br />
CU² (23)<br />
2<br />
Diese Energie ist über die Kapazität abhängig <strong>von</strong> der relativen Permittivität ɛ. Bei höherem ɛ <strong>im</strong> <strong>Kondensator</strong><br />
ist der Zustand des Systems ernergetisch günstiger. Daher wird eine mechanische Arbeit auf das <strong>Dielektrikum</strong>,<br />
durch die es in den <strong>Kondensator</strong> gezogen wird, ausgeübt. Diesen Effekt hätten wir durch einen etwas anderen<br />
Versuchsaufbau ausnutzen können, um die Permittivität sehr genau zu best<strong>im</strong>men. Hierbei verwendet man ein,<br />
mit dem <strong>Dielektrikum</strong> gefülltes U-Rohr, welches mit einer Seite in einem Plattenkondensator gehalten wird.<br />
Abbildung 4: Steighöhenmethode zur Best<strong>im</strong>mung der Permittivität [3]<br />
Auf der Seite des <strong>Kondensator</strong> wirkt ein Druck nach oben, der durch den Druck durch eine Höhendifferenz<br />
(p = ρ · g · h) wieder ausgeglichen wird. Über die Höhe kann die Permittivität errechnet werden.<br />
2.2.2 Der Versuchskondensator<br />
Der Plattenkondensator, welchen wir in unserem Exper<strong>im</strong>ent verwenden, hat einen Radius <strong>von</strong> r = 130mm ±<br />
1mm. Wir wollen <strong>im</strong> Folgenden ermitteln, in welcher Größenordnung sich die Kapazität unseres <strong>Kondensator</strong>s<br />
bewegt. Da wir nur die Größenordnung best<strong>im</strong>men wollen, verzichten wir auf die Angabe eines Fehlers und<br />
rechnen nur mit typischen Größen; beispielsweise nehmen wir für den variablen Plattenabstand einen Wert <strong>von</strong><br />
d = 54, 5mm ± 2, 0mm an.<br />
Aus r ergibt sich die Fläche A einer <strong>Kondensator</strong>platte zu<br />
und folglich die Kapazität zu<br />
= ε0 ·<br />
A = π · r²<br />
CLuft = ε0 · A<br />
d = ε0<br />
π · r²<br />
·<br />
d<br />
π · (0, 13m)2<br />
0, 05m<br />
≈ 9, 4 · 10−12 F ≈ 10 −11 F<br />
Wir erwarten für unsere Versuchsdurchgänge Kapazitäten (εr ≈ 1) in der Größenordnung <strong>von</strong> 10 −11 F . Hierbei<br />
müssen wir beachten, dass die eingesetzten Kabel und die übrigen Bauteile des Versuches auch eine Kapazität<br />
aufweisen und möglicherweise in der gleichen Größenordnung liegen könnten. Dies wird in Kapitel 2.4 näher<br />
betrachtet.<br />
9
2.3 Das Elektrometer<br />
Um die am <strong>Kondensator</strong> anliegende Hochspannung messen zu können, verwenden wir ein Elektrometer. Im<br />
Folgenden sei hier die Funktionsweise und eine Eichmessung aufgeführt.<br />
Die Spannung oder Ladung an einem <strong>Kondensator</strong> muss gemessen werden, ohne dass ein nennenswerter Strom<br />
fließt, da sich sonst sowohl die Spannung <strong>als</strong> auch die Ladung auf den <strong>Kondensator</strong>platten verändern. Aufgrund<br />
der geringen Kapazität des <strong>Kondensator</strong>s ist die induzierte Ladung auf den Platten sehr gering, sodass schon<br />
kleine Ströme große Spannungsverluste mit sich bringen. Für Versuche mit unterschiedlichen Dielektrika be-<br />
nötigt man ein zeitlich konstantes System, um eine Aussage über die Kapazitätsänderung machen zu können.<br />
Das Prinzip eines solchen Spannungs- oder Ladungsmessgerätes basiert auf dem Grundsatz der Elektrostatik,<br />
dass sich gleiche Ladungen abstoßen. Das Elektroskop, das wir verwenden, besteht aus einem Zylindermantel,<br />
einem festen vertikalen Stab in dessen Mitte und einem Zeiger. Der Zeiger ist drehbar und mittig am Stab<br />
gelagert, sodass die Enden des Zeigers durch ein wirkendes Drehmoment ausschlagen können. Die Amplitude<br />
des Ausschwingens lässt sich an einer Skala ablesen.<br />
Durch ein Kabel wird die geladene Seite des Plattenkondensators mit der Zeiger-Stab-Konstruktion verbunden.<br />
Diese wird durch ein geeignetes Material vom Mantel getrennt, mit dem die andere Platte verbunden wird. Die<br />
Ladungen, die sich auf der Platte am <strong>Kondensator</strong> befinden, verteilen sich gleichmäßig auf dem Zeiger und dem<br />
festen Stab. Da es sich um gleiche Ladungen handelt, stoßen sie sich ab, sodass ein Drehmoment auf den Zeiger<br />
ausgeübt wird. Auf den Zeiger wirkt außerdem die Gewichtskraft. Stellt sich ein Gleichgewicht zwischen der<br />
Komponente der Gewichtskraft, die entgegengesetzt der Komponente der Coulombkraft wirkt, ein, kann der<br />
Zeiger auf der Skala abgelesen werden. Nachfolgendes Bild stellt die wirkenden Kräfte und deren Komponenten<br />
sowie das genutzte Drehmoment dar:<br />
Rechnerisch ergibt sich die Beschreibung:<br />
Abbildung 5: Darstellung der Kräfte<br />
FG = m · g und FC = 1<br />
mit g = 9, 81 m<br />
s 2<br />
Im Gegensatz zur Abbildung gehen wir für das weitere Vorgehen da<strong>von</strong> aus, dass wir nur die Ladung an der Spitze<br />
4πɛ0<br />
Q1Q2<br />
r 2<br />
des Zeigers betrachten. So gelangen wir näherungsweise an die Komponenten der Kräfte in Drehmomentrichtung<br />
am Ende des Zeigers:<br />
(24)<br />
FDG = FGsinα ≈ FGα und FDC ≈ FC (25)<br />
10
Der Abstand r zwischen der Spitze des Zeigers mit der Länge l und dem Stab ergibt sich ebenfalls aus geome-<br />
trischen Überlegungen:<br />
Insgesamt ergibt sich dann:<br />
r = lα (26)<br />
FGα = FC<br />
Die Ladungen Q1 und Q2 sind gleich, da der Stab und der Zeiger miteinander verbunden sind. Es gilt <strong>als</strong>o<br />
Q1 = Q2 = Q:<br />
α · FG = 1<br />
α · FG =<br />
4πɛ0<br />
1<br />
4πɛ0<br />
Q 2<br />
r 2<br />
Q 2<br />
(lα) 2<br />
(27)<br />
(28)<br />
(29)<br />
⇒ α ∼ � Q 2 ∼ √ U 2 (30)<br />
So lässt sich der Zusammenhang zwischen dem Winkel, <strong>als</strong>o dem Drehmoment, und der Ladung berechnen. Um<br />
aus dem Ladungsmessgerät die Spannung U ablesen zu können, benötigt man noch die Beziehung für einen<br />
Plattenkondensator Q = C · U mit der Kapazität C.<br />
Es ist zu beachten, dass dieser Zusammenhang nur für kleine Winkel gilt. Für große Winkel gilt die Näherung<br />
α ≈ sin (α) nicht mehr und die Coulumbkraft wirkt auch nicht merhr in Richtung des Drehmomentes. Dies<br />
zeigt sich dadurch, dass sich die Skala ab einem gewissen Winkel wieder verengt.<br />
Das Elektrometer, das wir verwenden, hat eine feste Skala. Um eine Vorstellung der Genauigkeit zu bekommen,<br />
haben wir vor Versuchsbeginn eine Eichmessung durchgeführt. Hierzu verwenden wir einen runden Plattenkon-<br />
densator mit dem Radius r = 130mm ± 1mm, eine Spannungsquelle und das Elektrometer. Wir variieren die<br />
Spannung, lesen den angegebenen Wert ab und notieren die Anzeige des Elektrometers. Da diese nur in ganzen<br />
Schritten unterteilt ist und nicht jede Zahl gleich weit <strong>von</strong> der nächsten entfernt ist, wird eine präzise Angabe<br />
ungleich schwerer. Diese nichtlineare Einteilung lässt sich schon an der Formel (29) erkennen und ergibt sich<br />
aus den Winkelanteilen. Um einen Ablesefehler zu min<strong>im</strong>ieren, lesen zwei Personen unabhängig <strong>von</strong>einander ab<br />
und das Ergebnis wird gemittelt. Es ergeben sich folgende Werte:<br />
11
Spannung am Generator ±0, 1 [kV ] Skala am Elektrometer<br />
0 -0,2±0, 2<br />
0,5 -0,1±0, 2<br />
1,0 0±0, 2<br />
1,5 0,4±0, 2<br />
2,0 0,9±0, 2<br />
2,5 1,2±0, 15<br />
3,0 1,7±0, 15<br />
3,5 2,0±0, 15<br />
4,0 2,3±0, 15<br />
4,5 2,6±0, 15<br />
5,0 2,9±0, 15<br />
5,5 3,1±0, 15<br />
6,0 3,4±0, 15<br />
6,5 3,7±0, 15<br />
7,0 4,0±0, 15<br />
7,5 4,2±0, 2<br />
8,0 4,6±0, 2<br />
8,5 5,0±0, 2<br />
9,0 5,2±0, 2<br />
9,5 5,6±0, 2<br />
10,0 6,0±0, 2<br />
Tabelle 1: Eichmessung des Elektrometers<br />
Während der gesamten Messung lassen wir den Plattenabstand d konstant bei d = 54, 5mm ± 2, 0mm. Die<br />
Platten sind nur näherungsweise parallel. Deswegen haben wir den Abstand der Platten an vier Stellen außen<br />
am Rand gemessen und den Mittelwert gebildet, sodass es sich bei dem Plattenabstand d eigentlich um dgemittelt<br />
handelt. Für spätere Versuche haben wir dafür gesorgt, dass die Platten besser zueinander ausgerichtet sind.<br />
Hiermit lässt sich die Kapazität C des <strong>Kondensator</strong>s mit der Fläche A = (0, 053 ± 0, 002)m 2 best<strong>im</strong>men:<br />
CLuft = ɛ0A<br />
d = 8, 597 · 10−12 F (31)<br />
Mit den beschriebenen Randbedingungen erhalten wir folgende grafisch aufgetragene Werte, die die erwartete<br />
Linearität verdeutlichen:<br />
Abbildung 6: Eichmessung des Elektrometers mit Ausgleichsgerade f(x) = m · x + b<br />
12
2.4 Berechnung der Kapazitäten der Kabel<br />
Für die Genauigkeit unserer Messapparatur ist die Störanfälligkeit elementar. Vor allem bei hochfrequenten<br />
Wechselspannungen ist das Koaxialkabel aufgrund der guten Abschirmung externer elektromagnetischer Wellen<br />
erste Wahl. Wichtiger aber <strong>als</strong> die Filterung <strong>von</strong> Störsignalen ist jedoch, dass die Kapazität der Kabel nicht<br />
die des <strong>Kondensator</strong>s übersteigt. Um dem nachzugehen, versuchen wir eine Abschätzung der Kapazität unserer<br />
Kabel zu finden.<br />
2.4.1 Die Kapazität <strong>von</strong> Bananenkabeln<br />
Um die Kapazität der Bananenkabel zu best<strong>im</strong>men, nehmen wir stark vereinfacht an, dass eine Potentialdif-<br />
ferenz U zwischen zwei unendlich langen Kabeln anliegt, welche in einem Abstand d parallel verlaufen. Das<br />
<strong>Dielektrikum</strong>, welches die beiden Kabel trennt, habe die Permittivität ɛR = 1. (Hier ist eigentlich nicht nur der<br />
variable Abstand der Kabel zu beachten, sondern auch die Permittivität der isolierenden Leiterummantelung.)<br />
Das Potential eines einfach geladenen Drahtes mit der Ladung pro Weglänge λ ergibt sich durch Anwendung<br />
der 1. Maxwellschen Gleichung auf das Volumen eines 1 Meter langen Zylinders mit Radius r, welcher um den<br />
Draht gelegt wird.<br />
Außerhalb des Kabels (r ≧ R0):<br />
Innerhalb des Kabels (r ≦ R0):<br />
ˆ<br />
V<br />
�<br />
−→E<br />
�<br />
div dV =<br />
ˆ<br />
∂V<br />
−→ E · d −→ F =<br />
2π · r · E (r) = λ<br />
ɛ<br />
⇒<br />
−→<br />
E =<br />
λ 1<br />
·<br />
2π · ɛ r · −→ er<br />
ˆ<br />
V<br />
�<br />
−→E<br />
�<br />
div dV =<br />
ˆ<br />
∂V<br />
−→ E · d −→ F =<br />
2π · r · E (r) = r2<br />
r2 ·<br />
0<br />
λ<br />
ɛ<br />
⇒<br />
−→<br />
E =<br />
ˆ<br />
V<br />
ˆ<br />
V<br />
ˆ<br />
V<br />
ˆ<br />
V<br />
ρ<br />
· dV (32)<br />
ɛ<br />
ρ<br />
· dV (33)<br />
ɛ<br />
(34)<br />
(35)<br />
ρ<br />
· dV (36)<br />
ɛ<br />
ρ<br />
· dV (37)<br />
ɛ<br />
λ r<br />
·<br />
2π · ɛ r2 ·<br />
0<br />
−→ er<br />
Wir gehen <strong>im</strong> Folgendem da<strong>von</strong> aus, dass ein Kabel mit der Längenladungsdichte +λ und das andere mit<br />
−λ belegt ist. Es genügt die Potentialdifferenz zwischen den Leitern für eine Quelle zu berechnen und dieses<br />
Ergebnis aus Symmetriegründen zu verdoppeln.<br />
13<br />
(38)<br />
(39)
ˆd<br />
−→<br />
U = ∆φ (r) = 2 · E · d<br />
−→<br />
r<br />
Hierdurch ergibt sich eine Kapazität pro Weglänge <strong>von</strong><br />
1<br />
CBanana/[m] = π · ɛ ·<br />
ln<br />
=<br />
=<br />
ˆd<br />
r0<br />
r0<br />
2 · λ dr<br />
·<br />
2π · ɛ r<br />
�<br />
λ d<br />
· ln<br />
π · ɛ<br />
r0<br />
�<br />
d − Abstand der Kabel<br />
r0 − Radius der Kabel<br />
� d<br />
r0<br />
�<br />
� = π · ɛ · ln − d<br />
�<br />
≈ 6, 03<br />
r0<br />
pF<br />
m<br />
Hierbei verwendeten wir die Werte d = 20cm; r0 = 0, 2cm <strong>als</strong> gute Näherung.<br />
2.4.2 Die Kapazität <strong>von</strong> Koaxialkabeln<br />
Die Herleitung der Kapazität des Koaxialkabels verläuft analog zu der der Bananenkabel. Das Feld wird jedoch<br />
nur vom inneren Kabel erzeugt, wodurch sich eine Spannung <strong>von</strong><br />
ergibt. Hieraus folgt für die Kapazität:<br />
U = ∆φ (r) =<br />
=<br />
=<br />
1<br />
CKoax/[m] = 2π · ɛ ·<br />
ln<br />
2.4.3 Beurteilung der Ergebnisse<br />
ˆra<br />
ri<br />
ˆ<br />
ri<br />
ra<br />
−→ E · d −→ r<br />
λ dr<br />
·<br />
2π · ɛ r<br />
λ<br />
· ln<br />
2π · ɛ<br />
� ra<br />
ri − Radius des inneren Kabels<br />
ra − Radius des äußeren Kabels<br />
� d<br />
r0<br />
ri<br />
�<br />
�<br />
� = 2π · ɛ · ln − d<br />
�<br />
≈ 100<br />
r0<br />
pF<br />
m<br />
Die Kapazität der Koaxialkabel liegt um einen Faktor 10 höher (wir gehen da<strong>von</strong> aus, dass wir ca. 1 Meter<br />
Kabel brauchen) <strong>als</strong> der des <strong>Kondensator</strong>s. So ist der Stromfluss besser abgeschirmt, doch da die Messung der<br />
Gesamtkapazität schon einen großen Fehler aufweist, kann aus dem Ergebnis kaum noch eine Aussage über die<br />
Kapazität des <strong>Kondensator</strong>s gewonnen werden.<br />
Bei Bananenkabel ist das Verhältnis auch nicht ideal, doch ist derzeit nichts besseres zu finden. Für den Versuch<br />
ist wichtig, auf große Abstände der Kabel und Gegenstände zueinander zu achten. Die Kapazität der Kabel<br />
kann rechnerisch <strong>als</strong> parallel zum <strong>Kondensator</strong> geschlatete Kapazität betrachtet werden. So kann die Kapazität<br />
14<br />
(40)<br />
(41)<br />
(42)<br />
(43)
des <strong>Kondensator</strong>s ganz einfach durch<br />
C<strong>Kondensator</strong> = CGes − CKabel<br />
errechnet werden. Hierbei wird jedoch da<strong>von</strong> ausgegangen, dass die Felder der beiden <strong>Kondensator</strong>en (Kabel +<br />
<strong>Kondensator</strong>) räumlich getrennt sind, was in unserem Fall jedoch nicht gewährleistet wird. Hierdurch werden die<br />
Kabel Ladung auf den Platten induzieren und umgekehrt, wodurch die Zusammenhänge weitaus komplizierter<br />
werden. Hierin sehen wir auch einen großen Anteil an den Abweichungen der Ergebnisse <strong>von</strong> dem Literaturwert.<br />
Das einzige, was hiergegen helfen kann, sind kurze Kabel, bei gleichzeitig riesigem Abstand, was jedoch technisch<br />
nicht möglich ist.<br />
2.5 Methoden zur Best<strong>im</strong>mung der Kapazität C<br />
Im Folgenden werden einige Methoden erläutert, die Kapazität des verwendeten <strong>Kondensator</strong>s zu best<strong>im</strong>men.<br />
2.5.1 Auf- und Entladung eines <strong>Kondensator</strong>s<br />
Eine der einfachsten Messmethoden der Kapazität ist die Entladung über einen bekannten Widerstand. Neben<br />
dem einfachen Versuchsaufbau ist <strong>von</strong> Vorteil, dass Gleichspannung verwendet wird, d.h. die Frequenzabhän-<br />
gigkeit der Permittivität keine Rolle spielt. (Dies war der wichtigste Grund, warum wir diese Methode befür-<br />
worteten. Später stellte sich heraus, dass unsere Befürchtungen über eine mögliche Frequenzabhängigkeit der<br />
Permittivität ungerechtfertigt waren (siehe Abschnitt 2.1).<br />
Wird ein elektrischer Strom an den <strong>Kondensator</strong> angelegt, so lädt sich die Anode positiv und die Kathode negativ<br />
auf (Zwischen Elektrode und Anode verläuft der Stromfluss <strong>als</strong> Verschiebungsstrom). Wenn der Stromfluss<br />
unterbrochen wird, bleibt die Ladung auf den Platten sowie die zugehörige Energie erhalten.<br />
Wird ein geladener <strong>Kondensator</strong> mit einem Widerstand belastet, so entlädt er sich.<br />
Abbildung 7: Schaltskizze zur Auf- und Entladung des <strong>Kondensator</strong>s<br />
Abbildung 8: Spannungsverlauf bei Auf- und Entladung in relativen Einheiten<br />
15<br />
(44)
Diese Entladekurve wollen wir uns kurz theoretisch herleiten. Mit der Maschenregel gilt:<br />
Unter Verwendung <strong>von</strong> UR(t) = R ∗ I(t) und UC(t) = Q(t)<br />
C folgt:<br />
Wir lösen durch Separation.<br />
Es folgt die Formel für den Strom:<br />
bzw. über die Beziehung UR = −UC<br />
Für die Ladung folgt per Q = C · U :<br />
R · I(t) + Q(t)<br />
C<br />
UR(t) + UC(t) = 0 (45)<br />
dI<br />
dt<br />
1 1<br />
dI = − dt =⇒<br />
I RC<br />
⇒ ln I<br />
= 0 =⇒ R · I ˙ + 1<br />
I = 0 (46)<br />
C<br />
1<br />
= − I (47)<br />
RC<br />
I0<br />
ˆI<br />
I0<br />
ˆ<br />
1<br />
dI =<br />
I<br />
= − t<br />
RC<br />
− 1<br />
dt (48)<br />
RC<br />
(49)<br />
t −<br />
IEntladung (t) = Ioe RC (50)<br />
UCEntladung (t) = Io<br />
t<br />
t<br />
−<br />
· R · e RC −<br />
= U0 · e RC (51)<br />
QCEntladung (t) = C · U0<br />
t<br />
t<br />
−<br />
· e RC −<br />
= Qoe RC (52)<br />
Bei der Aufladung ist eine Spannungsquelle <strong>im</strong> Stromkreis integriert. Hier geht man <strong>von</strong> dem Ansatz<br />
aus und es folgt analog:<br />
Hierbei ist die Zeitkonstante<br />
0 = U0 + UR (t) + Uc (t) (53)<br />
t −<br />
IAufladung (t) = Ioe RC<br />
UCAufladung (t) = U0(1<br />
t −<br />
− e RC ) (54)<br />
QCAufladung (t) = Q0(1<br />
t −<br />
− e RC )<br />
τ = RC (55)<br />
Durch die Ermittlung der Zeitkonstante über einen Fit, kann mit großer Genauigkeit, bei bekanntem Widerstand<br />
R, die Kapazität C berrechnet werden.<br />
2.5.2 Wiensche Brücke<br />
Eine weitere Möglichkeit, die Kapazität eines <strong>Kondensator</strong>s genau zu messen, ist die nach Max Wien benannte<br />
Wechselspannungsbrücke. Anfangs hatten wir die Ambition, diese Brücke mit Gleichspannung zu betreiben,<br />
doch die Blindwiderstände der <strong>Kondensator</strong>en führten zu Problemen.<br />
Die Wiensche Brücke ist ähnlich aufgebaut wie die Wheatstonsche Brücke und ähnelt dieser auch in ihrer<br />
Funktion. Bei dieser Messbrücke wird durch zwei oder drei veränderbare Bauteile ein Potentialgleichgewicht<br />
16
eingestellt. Die gesuchte Kapazität kann dann über eine einfache Formel berechnet werden. Die Brücke wird <strong>als</strong><br />
abgeglichen bezeichnet, wenn die Querspannung zwischen 1* und 2* gleich Null ist, obwohl eine Messspannung<br />
UM angelegt ist. Zur Verdeutlichung dient nachstehende Abbildung. Für den Abgleich müssen zwei Beziehungen<br />
gelten, die wir kurz herleiten wollen.<br />
Abbildung 9: Schaltbild zur Wienschen Brücke<br />
Aus dem Schaltbild folgt nach Einstellung der Widerstände bzw. der Kapazität die Abgleichbedingung U∼ = 0.<br />
Für die komplexen Widerstände können wir<br />
⇒ Z2<br />
=<br />
Zx<br />
Z4<br />
Z3<br />
(56)<br />
Zj = Zj · e iϕj (57)<br />
einsetzen. Hier bezeichnet i die komplexe Einheit und j den jeweiligen Widerstand. Es folgt<br />
und daraus die Beziehung für die Phase:<br />
Zx · Z4 · e i(ϕx+ϕ4) = Z2 · Z3 · e i(ϕ2+ϕ3)<br />
ϕx + ϕ4 = ϕ2 + ϕ3<br />
Es müssen <strong>als</strong>o <strong>im</strong>mer (56) und (59) für Phase und Widerstand erfüllt sein. Wenn man sich diese Bedingungen<br />
<strong>im</strong> komplexen Zahlenraum ansieht, bezeichnet Zx · Z4 (bzw. Z2 · Z3) den Radius und ϕx + ϕ4 (bzw. ϕ2 + ϕ3)<br />
den Drehwinkel.<br />
Nun folgt die Herleitung der eigentlichen Formel zur Best<strong>im</strong>mung der Kapazität. Für die beiden Widerstände<br />
können wir Z3 = R3 und Z4 = R4 einsetzen. Für die <strong>Kondensator</strong>en müssen wir die Zusammensetzung aus<br />
kapazitivem Widerstand und ohmschen Widerstand betrachten. Somit setzen wir für<br />
1<br />
Zx<br />
ein. Aus Gleichung (12) folgt dann<br />
= ( 1<br />
+ iwCx) und<br />
Rx<br />
1<br />
Z2<br />
(58)<br />
(59)<br />
= ( 1<br />
+ iwC2) (60)<br />
R2<br />
( 1<br />
+ iwC2)<br />
R2<br />
R4<br />
= (<br />
R3<br />
1<br />
+ iwCx) (61)<br />
Rx<br />
Wir müssen einige Näherungen vornehmen, um auf die Lösungsformel zu kommen. Wir nehmen an, dass für die<br />
17
Beziehung zwischen Widerstand R2 und Kapazität C2 für best<strong>im</strong>mte, noch gesuchte ω folgendes gilt:<br />
1<br />
R2<br />
≪ iwC2<br />
Analog dazu für Cx. In unserem Versuch benutzen wir einen <strong>Kondensator</strong> mit Luft bzw. <strong>Wasser</strong>. Auch der<br />
Widerstand des <strong>Kondensator</strong>s Z2 (10 18 Ωm spezifischer Widerstand) ist sehr hoch und die Kapazität dazu sehr<br />
klein; diese Näherung ist sehr wichtig, da wir so berechnen können, mit welchen Frequenzen wir die Brücke zu<br />
betreiben haben. Es folgt für die Frequenz<br />
und gleichzeitig<br />
1<br />
R2C2<br />
1<br />
RxCx<br />
(62)<br />
≪ w (63)<br />
≪ w (64)<br />
Für den Widerstand <strong>von</strong> Luft können wir Rx → ∞ annehmen. Die Abhängigkeit (20) verschwindet <strong>als</strong>o. Wenn<br />
wir jedoch den <strong>Kondensator</strong> C2 = 15pF oder 1nF betrachten, so erkennen wir, dass<br />
1<br />
R2C2<br />
=<br />
1<br />
10 6 Ω · 15 · 10 −12 F =<br />
1<br />
15 · 10−6 ≪ w (65)<br />
s<br />
gilt. Wir müssen <strong>als</strong>o für unseren Aufbau Frequenzen deutlich größer <strong>als</strong> 1MHz nutzen. Dann folgt <strong>als</strong> Lösungs-<br />
formel:<br />
Cx = R4<br />
C2<br />
R3<br />
Diese Formel gilt jedoch nur, wenn wir die Querspannung gleich Null setzen und die Frequenz, wie oben gezeigt,<br />
passend gewählt wird. Außerdem sehen wir, dass die Frequenzabhängigkeit in der Formel vollkommen verschwin-<br />
det. Für den Testaufbau mit einem <strong>Kondensator</strong> der Kapazität 1nF ergibt sich eine sehr kleine Grenzfrequenz<br />
(wGrenz ≈ 500Hz).<br />
2.6 Best<strong>im</strong>mung der Dielektrizitätskonstante<br />
Um unsere Werte mit den Werten der Literatur zu vergleichen, muss die relative Permittivität eines best<strong>im</strong>mten<br />
Stoffes ermittelt werden. Der Zusammenhang zwischen Kapazität und ɛr ergibt sich durch die Formel der<br />
Kapazität,<br />
CKond = ɛ0 · ɛreffektiv<br />
Der Zusatz “effektiv” gibt an, dass es sich aus einer Mischung der Permittivitäten der <strong>im</strong> <strong>Kondensator</strong> enthal-<br />
tenen Stoffe handelt. Im Falle eines leeren <strong>Kondensator</strong>s ist ɛreffektiv = ɛrLuft ≈ 1. Ansonsten setzt sich die<br />
effektive relative Permittivität aus dem Anteil der Luft, dem Anteil des Plastiks und dem Anteil des <strong>Wasser</strong>s<br />
zusammen. Man kann dann den <strong>Kondensator</strong> <strong>als</strong> Reihenschaltung ganz vieler <strong>Kondensator</strong>en betrachten, welche<br />
alle unterschiedliche Dielektrika enthalten. Hierfür gilt die Formel der Reihenschaltung:<br />
1<br />
CKond<br />
= �<br />
In unserem Fall besteht der <strong>Kondensator</strong> aus einer 4mm dicken Plexiglasschicht; das Volumen der Luft haben<br />
wir min<strong>im</strong>iert, d.h. wir haben den <strong>Dielektrikum</strong>sbehälter zwischen den Platten eingeklemmt und man kann<br />
mit gutem Recht dLuft = 0mm annehmen. Die Dicke des zu messenden <strong>Dielektrikum</strong>s “Probe” beträgt dann<br />
18<br />
i<br />
1<br />
Ci<br />
· A<br />
d<br />
(66)<br />
(67)<br />
(68)
≈ 21mm, bei einer Fläche <strong>von</strong> π (130mm) 2 . Dies führt zu folgender Abhängigkeit:<br />
Mit<br />
ɛreffektiv =<br />
≈<br />
ɛr P lexi<br />
dplexi<br />
· ɛr P robe<br />
dP robe<br />
ɛr P lexi<br />
dplexi + ɛr P robe<br />
dP robe<br />
ɛrP lexi · ɛrP robe<br />
· dGesamt<br />
(ɛrP lexi · 21) + (ɛrP robe<br />
⎧<br />
⎨ 17, 4 : W asser<br />
=<br />
⎩ 1, 1 : Luft<br />
ɛrP lexi<br />
ɛrW asser<br />
ɛrLuft<br />
≈ 3, 4<br />
(69)<br />
· 4) · 25 (70)<br />
≈ 81 (71)<br />
≈ 1<br />
Aus der Gleichung kann man schon erkennen, dass bei einer hohen relativen Permittivität ɛrP robe<br />
Permittivität gegen einen Grenzwert ( l<strong>im</strong> ɛreffektiv<br />
ɛrP robe→∞ die effektive<br />
25 = 4 ɛrP ) läuft, das heißt, dass bei hohen relativen<br />
lexi<br />
Permittivitäten keine signifikante Änderung der effektiven Permitivität mehr eintritt.<br />
Bei einem mit Tröpfchen gefüllten <strong>Kondensator</strong> kann man da<strong>von</strong> ausgehen, dass die <strong>Wasser</strong>schicht auf beiden<br />
Seiten ≪ 4mm beträgt.<br />
Daher erwarten wir theoretisch ein Verhältnis der Kapazitäten bei gefülltem Behälter und leerem Behälter <strong>von</strong><br />
CF eucht<br />
CW asser<br />
≤<br />
ɛrP lexi<br />
0,004m + ɛr W asser<br />
0,021m<br />
ɛr P lexi<br />
0,004m + ɛr W asser<br />
0,004m + ɛr Luft<br />
0,017m<br />
= 0, 2225 (72)<br />
Der theoretische Wert kann nicht mit den exper<strong>im</strong>entellen Daten aus der Vorlesung zur Deckung gebracht wer-<br />
den. Ansätze zur Erklärung, wie die endliche Ausdehnung des Behälters, die hohe Luftfeuchtigkeit <strong>im</strong> Behälter<br />
sowie die Oberflächenbenetzung können nur unzureichend erklären, warum der Unterschied zwischen “feucht”<br />
und “mit <strong>Wasser</strong> gefüllt” nicht dem erwartetem Verhältnis genügt.<br />
Zu dem Argument der hohen Luftfeuchtigkeit <strong>im</strong> Behälter sei hier noch gesagt, dass am Anfang unserer Überle-<br />
gungen <strong>im</strong>mer wieder der Gedanke <strong>im</strong> Raum stand, dass die hohe Luftfeuchtigkeit für den hohen Spannungsabfall<br />
am Elektrometer verantwortlich sei. Tatsächlich ist die <strong>Wasser</strong>aufnahmefähigkeit <strong>von</strong> Luft begrenzt, wie man<br />
an folgender Abbildung erkennen kann.<br />
19
Abbildung 10: Sättigungsmenge <strong>von</strong> <strong>Wasser</strong> in Luft [2]<br />
Die Dichte <strong>von</strong> <strong>Wasser</strong>sdampf bei 20°C und voll gesättigter Luft liegt bei 1<br />
50000 ρW asser, die Auswirkungen sollten<br />
<strong>als</strong>o min<strong>im</strong>al sein. Zudem kann man argumentieren, dass die Permittivität <strong>von</strong> Luft wohl auf den <strong>Wasser</strong>anteil<br />
zurückzuführen ist. Im Falle <strong>von</strong> 50% Luftfeuchtigkeit - d.h. bei 50% des Sättigungswertes für <strong>Wasser</strong> - liegt die<br />
Permittivität <strong>von</strong> Luft bei ɛr W asser50% ≈ 1, 005, folglich sollte die Permittivität bei voller Sättigung <strong>im</strong> Bereich<br />
<strong>von</strong> ɛr W asser100% ≈ 1, 010 liegen. Dies kann folglich den Spannungsabfall nicht erklären.<br />
Wir wollen die Kapazität des <strong>Kondensator</strong>s erst <strong>im</strong> Niederspannungsbereich (≤ 50V ) best<strong>im</strong>men. Hier stehen<br />
uns Mittel und Wege zu Verfügung, die Kapazität mit und ohne <strong>Dielektrikum</strong> zu best<strong>im</strong>men. Zudem soll geprüft<br />
werden, ob dieser Effekt nur <strong>im</strong> Hochspannungsbereich (≥ 1kV ), in dem die Permittivität <strong>von</strong> der Feldstärke<br />
abhängt, auftritt.<br />
3 Versuchsdurchführungen<br />
3.1 Versuchsaufbau<br />
Für alle Versuchsteile benötigen wir Folgendes:<br />
• einen Plattenkondensator<br />
• einen Plexiglasbehälter mit d = 25mm ± 1mm<br />
• einen Feuchtigkeitsmessgerät für Luftfeuchtigkeit<br />
• ein Thermometer<br />
Für den Versuchsteil <strong>im</strong> Niederspannungsbereich nutzen wir:<br />
• einen Funktionsgenerator<br />
• ein Oszilloskop<br />
• einen Widerstand R = (1 ± 0, 006)MΩ<br />
Für den Hochspannungsversuchsteil benötigen wir außerdem:<br />
• eine Spannungsquelle bis 20kV<br />
• ein Elektrometer<br />
20
3.2 Messreihen<br />
3.2.1 Wiensche Brücke zur Best<strong>im</strong>mung der <strong>Kondensator</strong>kapazität<br />
Die Wechselspannungsbrücke wird wie <strong>im</strong> Schaltplan (Abbildung 5) aufgebaut. Die zu ermittelnde Kapazität sei<br />
Cx. Da unser Versuchskondensator eine sehr kleine Kapazität hat (Cx ≈ 10 -11 F ) und Messfehler ausgeschlossen<br />
werden wollen, testen wir den Aufbau zuerst mit einer bekannten Kapazität <strong>von</strong> Cx = 1nF . Diese Messung<br />
ergab folgendes Ergebnis:<br />
Abbildung 11: Testmessung mit Cx = 1nF ; C2 = 10nF ; R4 = 10kΩ; R3 = 1kΩ<br />
Die Spannungen 1 und 2 sind die Einzelspannungen links und Rechts an der Brücke; M bezeichnet die<br />
Spannungsdifferenz<br />
Die Querspannung lässt sich problemlos auf null regeln. Dazu nutzen wir ein Potentiometer oder feste Wider-<br />
stände. Außerdem sollten die beiden Widerstände in der gleichen Größenordnung sein, um ein möglichst exaktes<br />
Ergebnis zu erreichen. Durch Anwenden der Lösungsformel erhalten wir die erwartete Kapazität:<br />
Cx = R4<br />
C2 =<br />
R3<br />
1kΩ<br />
10nF = 1nF (73)<br />
10kΩ<br />
Um die Querspannung noch genauer herunter regeln zu können, wäre ein Operationsverstärker zu benutzen, der<br />
die Querspannung weiter verstärkt.<br />
Anschließend wird unser Versuchskondensator <strong>als</strong> Kapazität Cx aufgebaut. Für C2 wählen wir 15pF = 15 ·<br />
10 −12 F für einen der Widerstände wird ein Potentiometer eingesetzt.<br />
21
Abbildung 12: Oszilloskopausgabe mit Versuchskondensator d = 2, 5cm; R3 = 10kΩ (Potentiometer); R4 =<br />
10kΩ; C2 = 15pF<br />
Es ist zu sehen, dass sich die Querspannung nicht auf null Regeln lässt. Außerdem geht eine min<strong>im</strong>ale Pha-<br />
senverschiebung ein, welche gegen die Phasenbedingung verstößt. Im Komplexen würde das bedeuten, dass<br />
sich die Drehwinkel unterscheiden. Die Frequenz musste wie oben berechnet sehr hoch gehalten werden (hier<br />
11MHz − 25MHz). Offensichtlich gehen Fehler ein, die wir noch nicht betrachtet haben, wie zum Beispiel die<br />
Kapazitäten der Kabel und des Steckbrettes. Diese müssen bei einem solchen Aufbau mit Steckbrett viel größer<br />
sein <strong>als</strong> die Kapazität Cx. Mit einem solchen Aufbau eignet sich die Wiensche Wechselspannungsbrücke <strong>als</strong>o<br />
nicht zum Messen <strong>von</strong> sehr kleinen Kapazitäten. Da wir eine sehr kleine Kapazität messen wollen, eignen sich<br />
unsere Potentiometer auch nicht mehr. Leider muss der Versuch, die Wiensche Wechselspannungsbrücke für un-<br />
seren Versuch zu nutzen, an dieser Stelle abgebrochen werden, da ein genaues Messen der <strong>Kondensator</strong>kapazität<br />
nicht möglich ist. Um eine bessere Abschätzung <strong>im</strong> Falle einer Nutzung machen zu können, müssten außerdem<br />
die Kapazitäten der Kabel und des gesamten Aufbaus berücksichtigt werden.<br />
3.2.2 Entladekurve durch Selbstentladung des <strong>Kondensator</strong>s<br />
Um eine Vorstellung der Versuchsbedingungen zu bekommen, beschäftigen wir uns vor Versuchsbeginn damit,<br />
wie schnell sich der <strong>Kondensator</strong> durch den Versuchsaufbau entlädt. Einen großen Teil der Entladung verursachen<br />
die Kabel und das Elektrometer. Wenn wir später ein <strong>Dielektrikum</strong> zwischen die Platten schieben, müssen wir<br />
eine Vorstellung da<strong>von</strong> haben, in welcher Zeit sich der <strong>Kondensator</strong> soweit entlädt, dass wir nicht mehr <strong>von</strong><br />
einem zeitlich konstanten Ladungsverteilung auf den Platten ausgehen können. Die Spannung soll bei einem<br />
solchen Aufbau nach Möglichkeit nach Entfernen des <strong>Dielektrikum</strong>s wieder auf den Ursprungswert ansteigen.<br />
Um eine Abschätzung der Halbwertszeit machen zu können, laden wir die Platten mit einer Spannung <strong>von</strong><br />
U = 10, 0kV ± 0, 1kV auf. Das entspricht einer Größe <strong>von</strong> 6 auf der Skala des Elektrometers. Der Abstand der<br />
Platten beträgt, wie <strong>im</strong> Abschnitt 2.2.2 beschrieben, d = 54, 5mm ± 2, 0mm. Nebenher lassen wir eine Stoppuhr<br />
laufen und lesen die Zeit ab. Wir beobachten folgende Entladung:<br />
22
Zeit [min]±1s Skala am Elektrometer ±0, 2<br />
0 6<br />
1 5,2<br />
2 5,0<br />
3 4,7<br />
4 4,3<br />
5 4,1<br />
6 3,9<br />
7 3,8<br />
8 3,7<br />
9 3,5<br />
10 3,4<br />
11 3,2<br />
12 3,1<br />
13 3,1<br />
14 3,0<br />
15 2,9<br />
20 2,5<br />
25 2,2<br />
30 2,0<br />
35 1,7<br />
40 1,5<br />
45 1,3<br />
50 1,1<br />
Tabelle 2: Entladung über Versuchsaufbau<br />
Weiterhin wirkt sich die Luftfeuchtigkeit auf die Entladung aus. Deshalb achten wir bei jeder Versuchsdurch-<br />
führung zusätzlich auf die Luftfeuchtigkeit, die Unterschiede in der Versuchsdurchführung bewirken könnte.<br />
Während dieses Versuchs beträgt die Luftfeuchtigkeit <strong>im</strong> Raum zwischen 29% und 39%. Stellt man die Werte<br />
aus Tabelle 2 grafisch dar, lässt sich ein exponentieller Abfall erkennen:<br />
x − Abbildung 13: Entladung des <strong>Kondensator</strong>s durch den Aufbau, Ausgleichsfit: f(x) = a · e b + c<br />
Dieser Verlauf entspricht der Erwartung, dass die Entladung am Anfang am stärksten ist, da noch am meisten<br />
Ladungen auf der <strong>Kondensator</strong>platte sind, die sich <strong>von</strong>einander abstoßen. Der Vorgang der Entladung n<strong>im</strong>mt<br />
dann <strong>im</strong>mer mehr ab (siehe hierzu Formel (51)) Als physikalische Größe ist die Halbwertszeit interessant oder<br />
23
die Zeit, in der sich die Werte auf 1<br />
e<br />
N<strong>im</strong>mt man den Anfangswert <strong>von</strong> 6 an, ist die Halbwertszeit bei t 1<br />
2<br />
t 1<br />
e<br />
1 1<br />
des Anfangswertes, in diesem Fall U(t) = U0 e = 6 · e = 2, 21, reduzieren.<br />
= 14min erreicht; die zweite Annahme ist<br />
= 22min. Das bedeutet, dass man in diesem Zeitraum gut eine Messung durchführen kann, ohne dass der<br />
Spannungsabfall den Fehler der Messung zu stark vergrößert.<br />
Bei späteren Versuchen hatten wir jedoch Probleme mit der Entladung des <strong>Kondensator</strong>s. Innerhalb <strong>von</strong> weniger<br />
<strong>als</strong> einer Minute entlädt sich der <strong>Kondensator</strong> um mehr <strong>als</strong> die Hälfte der ursprünglich angelegten Spannung. Das<br />
führt dazu, dass wir das <strong>Dielektrikum</strong> nicht schnell genug zwischen die Platten schieben und wieder entnehmen<br />
können und hieraus die Kapazitätsänderung durch das <strong>Dielektrikum</strong> best<strong>im</strong>men können. Es stellte sich heraus,<br />
dass ein Austauschen des alten gegen ein neues Elektrometer zu einem Reduzieren der Selbstentladung führte.<br />
Außerdem muss man auf die Kabel achten, dass diese frei hängend montiert sind, ohne den Versuchsaufbau<br />
oder einander zu berühren.<br />
3.2.3 Das <strong>Dielektrikum</strong> bei Niederspannung<br />
Eine weitere Methode zur Messung einer Kapazität ist die <strong>Untersuchung</strong> des Entladeverhaltens eines geladenen<br />
<strong>Kondensator</strong>s. Für das Entladeverhalten eines <strong>Kondensator</strong>s gilt <strong>im</strong> Allgemeinen:<br />
t −<br />
U = U0 · e τ (74)<br />
Nehmen wir <strong>als</strong>o die Spannung des <strong>Kondensator</strong>s in Abhängigkeit der Zeit bei bekanntem Widerstand R, so<br />
können wir daraus die Kapazität C ermitteln. Im folgenden Versuch untersuchen wir das Verhalten der Kapazität<br />
des <strong>Kondensator</strong>s, wenn wir das <strong>Dielektrikum</strong> ändern. Als solche verwenden wir die Umgebungsluft, unseren<br />
Plexiglasbehälter gefüllt mit trockener Umgebungsluft, einen angefeuchteten Plexiglasbehälter und einen mit<br />
<strong>Wasser</strong> gefüllten Plexiglasbehälter. Des Weiteren messen wir die Kapazität der Kabel und des Aufbaus ohne<br />
den <strong>Kondensator</strong>. Das ist wichtig, weil unser <strong>Kondensator</strong> eine Kapazität in der Größenordnung ∼ 10 −11 F<br />
(siehe Abschnitt 2.2.2) hat. Daher ist es durchaus notwendig, die Kapazität der Kabel zu kennen und zu<br />
berücksichtigen. Der Versuchsaufbau soll durch folgende Grafik dargestellt werden: :<br />
Abbildung 14: Schaltplan für die Entladekurve<br />
Durch ein Rechtecksignal wird der <strong>Kondensator</strong> aufgeladen und entlädt sich anschließend wieder über den<br />
Widerstand. Am Oszilloskop können wir uns diesen Entladevorgang genau anschauen. Um ein genaues Ablesen<br />
des Bildes zu gewährleisten, verbinden wir das Oszilloskop mit dem Triggerausgang des Funktionsgenerators.<br />
So ist garantiert, dass sich die Entladekurve <strong>im</strong>mer an der selben Position befindet. Das Oszilloskop besitzt<br />
eine Speicherfunktion, so können wir unsere Messwerte auf ein externes Medium speichern und später an einem<br />
PC auswerten. Die folgende Tabelle enthält die Randbedingungen der Versuchsdurchführung. Wir betrachten<br />
dabei einen Plattenkondensator mit einem Plattenabstand d = 25mm ± 0, 5mm Die Plattenfläche beträgt<br />
A = 0, 053m². Die genauen Messwerte befinden sich <strong>im</strong> Anhang dieses Dokumentes.<br />
Es werden zwei verschiedene Messungen mit feuchtem Plexiglas durchgeführt, damit untersucht werden kann, ob<br />
ein vorheriges Polarisieren der <strong>Wasser</strong>moleküle eine Auswirkung auf das sich <strong>im</strong> Behältnis befindende Restwasser<br />
24
Messung Luftfeuchtigkeit (±0, 5%) Temperatur ±0, 1[°C] <strong>Dielektrikum</strong><br />
1 41,4% 27,7 Umgebungsluft<br />
2 41,7% 24,8 Plexiglas und Umgebungsluft<br />
3 75% 24,8 feuchtes Plexiglas und Umgebungsluft<br />
4 100% 24,8 feuchtes Plexiglas und gesättigte Umgebungsluft<br />
5 100% 24,8 Plexiglas, <strong>Wasser</strong> und Umgebungsluft<br />
6 100% 24,8 feuchtes Plexiglas und Umgebungsluft<br />
7 nicht relevant 24,8 nur Kabel<br />
Tabelle 3: Versuchsdurchführung<br />
hat. Eine siebte Messung zeigt das Entladeverhalten ohne <strong>Kondensator</strong>. Nun werden die Werte des Oszilloskops,<br />
<strong>als</strong>o die jeweiligen CSV-Dateien, mit Gnuplot gezeichnet und über die Parameter a und b der Funktion<br />
gefittet. Der Wert b der Formel (75) ist gleich dem Wert 1<br />
RC<br />
f(x) = a · exp(−b · x) (75)<br />
der Formel (51). Der Wert für Widerstand R =<br />
1MΩ±10% ist uns bekannt. Wir müssen bei unserer Berechnung nur berücksichtigen, dass der Innenwiderstand<br />
des Oszilloskops Ri = 1MΩ±10% auch einen Beitrag zum Gesamtwiderstand beiträgt. Diese beiden Widerstände<br />
sind parallel zueinander, somit berechnet sich der Gesamtwiderstand wie folgt:<br />
1<br />
=<br />
Rges<br />
1 1<br />
+<br />
R Ri<br />
⇒ 1<br />
=<br />
Rges<br />
1 1<br />
+<br />
1MΩ 1MΩ<br />
(76)<br />
(77)<br />
⇒ Rges = 500kΩ (78)<br />
Des Weiteren müssen wir beachten, dass wir in der Formel ( 75) die Gesamtkapazität der Schaltung betrachten.<br />
Da uns aber nur die <strong>Kondensator</strong>kapazität interessiert, müssen wir zunächst die Kapazität der Verkabelung<br />
untersuchen. Hierfür verwenden wir die siebte Messung, in der wir nur die Entladekurve aufgenommen haben,<br />
die sich ergibt, wenn der <strong>Kondensator</strong> aus der Schaltung entfernt wird. Hier können wir ohne Weiteres zu<br />
beachten auch die Formel ( 75) anwenden, um die Kapazität der verwendeten Kabel zu berechnen. Dieser Fit<br />
sieht wie folgt aus:<br />
25<br />
(79)
Abbildung 15: Fit der Entladekurve der Kabel<br />
Für das b erhalten wir einen Wert <strong>von</strong> b= 43952, 2 1<br />
s , somit errechnen wir eine Kabelkapazität <strong>von</strong>:<br />
⇒ C =<br />
=<br />
b = 1<br />
RC<br />
1<br />
RX<br />
1<br />
500kΩ · 43952, 2 1<br />
ΩF<br />
= 45, 5pF<br />
Da wir nun die Kapazität der Kabel kennen, können wir auch die Kapazität unserer verschiedenen Dielektrika<br />
best<strong>im</strong>men. Aus der Formel (80) und der Tatsache, dass die beiden Kapazitäten parallel zueinander geschaltet<br />
sind, erhalten wir folgenden Zusammenhang:<br />
1<br />
b =<br />
Rges(C0 + CK)<br />
1<br />
⇒ CK = − C0<br />
Rges · b<br />
Verwenden wir diese Formel mit unserem gemessenen b, erhalten wir die folgenden Werte:<br />
26<br />
(80)<br />
(81)<br />
(82)<br />
(83)
Messung b [ 1<br />
ΩF ] C [F] ±5%<br />
1 25149,2 ±0, 156% 3,40·10−11 2 26686,6 ±0, 1674% 2,94·10−11 3 26381,0 ±0, 1581% 3,03·10−11 4 26561,3 ±0, 1557% 2,97·10−11 5 7044,3 ±0, 1045% 2,39·10−10 6 25750,8 ±0, 2069% 3,21·10−11 7 43952,2 ±0, 2864% 4,55·10−11 Tabelle 4: Messergebnis<br />
Wir erkennen, dass sich alle Kapazitäten in der Größenordnung <strong>von</strong> ca. 3, 2 · 10 −11 F befinden. Die einzige<br />
Ausnahme ist die Messung 5. Hier beobachten wir eine enorme Abweichung der Kapazität. Da während des<br />
Versuchs Plattenfläche und Plattenabstand konstant geblieben sind, muss sich nach der Formel 1 die Dielek-<br />
trizitätskonstante geändert haben. Diese können wir nun errechnen:<br />
ɛ =<br />
d · C<br />
ɛ0 · A<br />
⇒ ɛ = 2, 39 · 10−10 · 0, 025m<br />
ɛ0 · 0, 0511m 2<br />
⇒ ɛ = 13, 2<br />
Dies ist die Dielektrizitätskonstante unseres <strong>Dielektrikum</strong>s. Dabei ist zu berücksichtigen, dass es sich hierbei<br />
um eine Reihenschaltung <strong>von</strong> <strong>Kondensator</strong>en handelt, da wir drei Materi<strong>als</strong>chichten in unserem <strong>Dielektrikum</strong><br />
besitzen.<br />
Zusammenfassend können wir sagen, wir haben die Entladekurven unseres Plattenkondensators aufgenommen<br />
und dabei bei jeder Messung das <strong>Dielektrikum</strong> geändert. Der direkte Vergleich der Messergebnisse zeigt, dass<br />
sich die Kapazität des <strong>Kondensator</strong>s, gefüllt mit trockener oder feuchter Umgebungsluft in unserem Behälter,<br />
nur min<strong>im</strong>al verändert. Füllen wir jedoch unseren Behälter mit <strong>Wasser</strong>, erkennen wir einen sichtbaren Anstieg<br />
der Kapazität. Auch die Überlegung, dass es einen Unterschied machen könnte, ob das <strong>Wasser</strong>, welches den<br />
Behälter befeuchtet, vorher schon einmal in einem elektrischen Feld war, werden durch unsere Messergebnisse<br />
widerlegt. Vergleichen wir unsere Ergebnisse der Dielektrizitätskonstanten mit den Werten diverser Lehrbücher<br />
(z.B Halliday), erkennen wir teilweise auch erhebliche Abweichungen. So erhalten wir für den mit <strong>Wasser</strong> ge-<br />
füllten <strong>Kondensator</strong> eine Dielektrizitätskonstante <strong>von</strong> ɛ = 13, 2. Wenn wir bedenken, dass sich um das <strong>Wasser</strong><br />
herum zu jeder Seite eine 2mm dicke Plexiglasscheibe befindet, erwarten wir einen Wert der Dielektrizitätskon-<br />
stante um 30. Nehmen wir den Literaturwert der Dielektrizitätskonstante <strong>von</strong> Plexiglas, nämlich 3,4 , erhalten<br />
wir durch folgende Rechnung die Dielektrizitätskonstante <strong>von</strong> <strong>Wasser</strong>.<br />
27<br />
(84)<br />
(85)
⇒<br />
1<br />
CW asser<br />
=<br />
1<br />
Cges<br />
=<br />
⇒<br />
⇒<br />
1<br />
CP lexi<br />
1<br />
+<br />
=<br />
1<br />
CW asser<br />
2<br />
+<br />
+ 1<br />
CP lexi<br />
Cges CP lexi CW asser<br />
1<br />
CW asser<br />
= 1<br />
−<br />
Cges<br />
2<br />
CP lexi<br />
1<br />
CW asser<br />
1<br />
2, 39 · 10 −10 F −<br />
1<br />
= 1 2 · d<br />
−<br />
Cges ɛ0ɛ · A<br />
0, 002m · 2<br />
ɛ0 · 3, 4 · 0, 0511m 2<br />
⇒ CW asser = 6, 32 · 10 −10 F<br />
⇒ (nach( 84))ɛW asser = 29, 7<br />
Diese Abweichung lässt sich damit erklären, dass es sich bei unseren Messungen nicht um einen unendlich<br />
ausgedehnten <strong>Kondensator</strong> handelt, sodass wir <strong>von</strong> einem Streufeld ausgehen müssen.<br />
Letztlich können wir aus unseren Ergebnissen festhalten, dass bei feuchter Luft und einem mit <strong>Wasser</strong> <strong>als</strong><br />
<strong>Dielektrikum</strong> zwei völlig unterschiedliche Kapazitäten zustande kommen. Hiermit stellen wir <strong>als</strong>o fest, dass<br />
der Effekt, der gleichen Kapazität bei feuchtem und befülltem Behälter, mit unseren Bedingungen und einer<br />
Niederspannung <strong>von</strong> ca. 10V nicht reproduzierbar ist.<br />
3.2.4 Das <strong>Dielektrikum</strong> bei Hochspannung<br />
In diesem Versuchsteil gilt es, mithilfe einer Hochspannungsquelle unseren Plattenkondensator aufzuladen und<br />
die Abschwächung der Spannung bei Einführen eines <strong>Dielektrikum</strong>s unter Zuhilfenahme eines Elektrometers zu<br />
ermitteln. Dabei entnehmen wir dem Elektrometer die untenstehenden Werte, die qualitativ für die Spannung<br />
stehen (Tabelle 4 bis 6).<br />
Die Versuchsanordnung sieht wie folgt aus:<br />
Abbildung 16: Schaltskizze <strong>Dielektrikum</strong> bei Hochspannung<br />
Zunächst laden wir mit Hochspannung die <strong>Kondensator</strong>platten auf und lesen den angezeigten Wert auf dem<br />
Oszilloskop ab. Der ermittelten Größe eine Einheit zuzuweisen, erscheint <strong>als</strong> wenig sinnvoll, da am Elektrometer<br />
nur relative Größen abgelesen werden können. Als nächstes führen wir das <strong>Dielektrikum</strong> ein und lesen erneut<br />
den angezeigten Wert ab. Schließlich entfernen wir das <strong>Dielektrikum</strong>. Die Bezeichnung “feucht” bezieht sich auf<br />
das <strong>Dielektrikum</strong>, welches zuvor mit <strong>Wasser</strong> gefüllt war und aus dem das <strong>Wasser</strong> entfernt worden ist, sodass die<br />
Wände noch benässt sind und die Luftfeuchtigkeit ca. 100% entspricht.<br />
Für den Versuch haben wir zwei Dielektrika aus Plexiglas hergestellt. Dazu wurden jeweils zwei Plexiglasscheiben<br />
in unterschiedlichen Abständen <strong>von</strong>einander mithilfe <strong>von</strong> Silikon fixiert. Auch nach mehreren Versuchen gelang<br />
es uns nicht, die Dielektrika vollständig abzudichten. Es trat <strong>im</strong>mer, wenn auch nur sehr wenig, <strong>Wasser</strong> aus.<br />
28<br />
(86)
Auf die Dielektrizitätszahl sollte dies keinen nennenswerten Einfluss haben, insbesondere, da die ermittelten<br />
Werte am Elektrometer nur sehr grobe Werte darstellen. Wir führten eine ganze Reihe <strong>von</strong> Versuchsdurchläufen<br />
durch. Wäre der beschriebene Effekt auftreten, so hättem wir erwartet, dass die Abschwächung der Spannung<br />
mit <strong>Wasser</strong> (destilliertes bzw. Leitungswasser) <strong>als</strong> <strong>Dielektrikum</strong> in der Größenordnung derjenigen liegt, die mit<br />
dem halbtrockenen <strong>Dielektrikum</strong> bewirkt wird. Wir erhalten folgende Messergebnisse:<br />
eingesetztes <strong>Dielektrikum</strong> Skala am Elektrometer ±0, 2<br />
ohne <strong>Dielektrikum</strong> mit <strong>Dielektrikum</strong> ohne <strong>Dielektrikum</strong> nach Herausziehen<br />
destilliertes <strong>Wasser</strong><br />
7,0<br />
8,0<br />
4,4<br />
5,1<br />
6,2<br />
7,8<br />
Leitungswasser<br />
7,0<br />
7,0<br />
5,5<br />
6,0<br />
6,8<br />
7,0<br />
feucht 8,0 7,0 7,0<br />
ohne <strong>Wasser</strong><br />
7,5<br />
7,0<br />
5,5<br />
6,0<br />
7,5<br />
7,0<br />
8,0 7,9 7,9<br />
eine Scheibe Plexiglas<br />
8,0 7,9 7,9<br />
7,0 3,0 6,9<br />
Tabelle 5: Messergebnisse 1. Durchlauf (02.07.2012)<br />
eingesetztes <strong>Dielektrikum</strong> ohne <strong>Dielektrikum</strong> [±0, 2] mit <strong>Dielektrikum</strong>[±0, 2] nachher [±0, 2]<br />
dünnes <strong>Dielektrikum</strong> ohne <strong>Wasser</strong><br />
dünnes <strong>Dielektrikum</strong> mit <strong>Wasser</strong><br />
5 4,5 —<br />
7 5 —<br />
7 5 6<br />
7 4 4<br />
7 4 6<br />
Tabelle 6: Messergebnisse 2. Durchlauf (05.07.2012)<br />
eingesetztes <strong>Dielektrikum</strong> ohne <strong>Dielektrikum</strong> [±0, 2] mit <strong>Dielektrikum</strong>[±0, 2] nachher [±0, 2]<br />
dickes <strong>Dielektrikum</strong> mit <strong>Wasser</strong><br />
dickes <strong>Dielektrikum</strong> halbtrocken<br />
7 5 6,5<br />
7 4 7<br />
7 4,5 6<br />
7 5,5 6<br />
7 5,5 6,5<br />
Tabelle 7: Messergebnisse 3. Durchlauf (05.07.2012)<br />
Wie den Zahlenwerten zu entnehmen ist, lässt sich eine geringfügige Abnahme der gemessenen Ladungen (in<br />
Größenordnungen <strong>von</strong> 0,5 Skalenteilen) nach Herausziehen des <strong>Dielektrikum</strong>s erkennen. Dies ist durch die Ent-<br />
ladung an der Luft oder doch mögliche Kontakte mit der <strong>Kondensator</strong>fläche zu erklären. Die Abnahme der<br />
Spannung nach Einführen des halbtrockenen <strong>Dielektrikum</strong>s in den <strong>Kondensator</strong> ähnelt den Werten, die mit<br />
dem trockenen <strong>Dielektrikum</strong> erzielt wurden. Dennoch können wir auch einmal mit dem trockenen <strong>Dielektrikum</strong><br />
eine Abschwächung <strong>von</strong> 7,5 auf 5,5 erkennen. Dass der Wert nach Herausziehen des <strong>Dielektrikum</strong>s geringer ist<br />
<strong>als</strong> vor dem Einführen, liegt daran, dass sich die Versuchsapparatur bereits zu einem Teil wieder entladen hat.<br />
Gerade die relativ hohe Luftfeuchtigkeit ist daran maßgeblich beteiligt.<br />
Alles in allem zeigt dies, wie fehlerbehaftet die Messungen sind und dass eine Aussage zu treffen sich <strong>als</strong> merklich<br />
schwierig erweist. Festzuhalten ist, dass wir den beschriebenen Effekt auch bei Hochspannung nicht erkennen<br />
können.<br />
29
4 Fehlerrechnung<br />
Zu 2.2.2<br />
Für den Fehler des Radius nehmen wir ∆r = ±2mm an. Der Fehler der <strong>Kondensator</strong>oberfläche beträgt:<br />
∆A =<br />
� �∂A<br />
∂r ∆r<br />
� 2<br />
(87)<br />
∆A = 2πr · ∆r (88)<br />
∆A = 2π · 130mm · 2mm ≈ 2000mm 2<br />
30<br />
(89)
5 Fazit und Ausblick<br />
Zum Abschluss dieses Versuchs lässt sich sagen, dass wir uns mit der Wirkungsweise des <strong>Dielektrikum</strong>s <strong>Wasser</strong><br />
in einem Plattenkondensator beschäftigt haben und exper<strong>im</strong>entell auf die Auswirkungen eingehen konnten. Zur<br />
Best<strong>im</strong>mung der verschiedenen <strong>Kondensator</strong>kapazitäten, unter anderem abhängig vom <strong>Dielektrikum</strong> und der<br />
Versuchsmodifikation, sind wir auf verschiedene Methoden, deren Vor- und Nachteile und Bedingungen einge-<br />
gangen. Über einen Niederspannungsaufbau haben wir durch die Entladekurve über einen Widerstand die un-<br />
terschiedlichen Kapazitäten verifizieren können. Einen weiteren elektronischen Aufbau, den LCR-Schwingkreis,<br />
haben wir aus Gründen der begrenzten Zeit nicht durchgeführt und ausprobiert. Hierin könnte eine Fortführung<br />
des Versuchs bestehen.<br />
Den Originalaufbau mit Hochspannung haben wir <strong>im</strong> Rahmen unsres Exper<strong>im</strong>entes erneut aufgebaut und getes-<br />
tet. Jedoch konnten wir nicht zur selben, in der Einleitung beschriebenen, Beobachtung gelangen. Die Gründe<br />
hierfür könnten in einem geringfügig abweichenden Aufbau oder einer etwas anderen Durchführung liegen. Zur<br />
Rekonstruktion der Randbedingungen testeten wir den Aufbau dann <strong>im</strong> selben Raum mit dem Ergebnis: Auch<br />
hier beobachteten wir keine außergewöhnliche Stärke der Abschwächung der <strong>Kondensator</strong>spannung mit dem<br />
feuchten Behälter zwischen den <strong>Kondensator</strong>platten. Der größte Unterschied zum damaligen Aufbau besteht<br />
jedoch mit großer Sicherheit in dem Behältnis. Das in der Vorlesung verwendete hatte eine schlägerartige, runde<br />
Form. Unser neues, selbst gebautes Behältnis ist jedoch rechteckig und schließt nicht <strong>im</strong>, sondern außerhalb des<br />
<strong>Kondensator</strong>s ab. Außerdem besteht es aus handelsüblichem Plexiglas. Über das für das ursprüngliche Gefäß<br />
verwendete Material können wir nur mutmaßen. Alle genannten Faktoren, Ergebnisse sowie Schwierigkeiten<br />
haben zu unserem Versuchsverlauf geführt. Dennoch wäre es interessant, weiter zu exper<strong>im</strong>entieren und auch<br />
zu überlegen, worin der Unterschied zwischen dem damaligen und unserem Versuch besteht, sodass es zu den<br />
unerwarteten und bis jetzt unerklärten Beobachtungen kommen konnte.<br />
31
Literatur<br />
[1] <strong>Dielektrikum</strong>. http://de.wikipedia.org/wiki/<strong>Dielektrikum</strong>, 9 2012.<br />
[2] Luftfeuchte. http://de.wikipedia.org/wiki/Luftfeuchtigkeit, 9 2012.<br />
[3] Permitivität. http://de.wikipedia.org/wiki/Permittivität, 9 2012.<br />
[4] Plattenkondensator. http://de.wikipedia.org/wiki/<strong>Kondensator</strong>_(Elektrotechnik), 9 2012.<br />
[5] Wolfgang Demtröder. Exper<strong>im</strong>entalphysik 2. Springer, 1999.<br />
[6] Gene Mosca Paul A. Tipler. Physik für Wissenschaftler und Ingenieure 1.Auflage. Elsevier GmbH München,<br />
2004.<br />
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