Untersuchung von Wasser als Dielektrikum im Kondensator

Fachbereich C - Physik
Untersuchung von Wasser als Dielektrikum im
Kondensator
Anfängerprojektpraktikum SoSe 2012
Marcus Dillbahner 1022156
Sven Engelmann 822342
Katrin Jonuleit 1113528
Johannes Stracke 1047727
Alexander Weyer 1025846
Bastian Wingerath 1110482
Tutor: Oliver Müller
Kurzbeschreibung: In diesem Versuch beschäftigen wir uns mit der Wirkung und Funktionsweise von Wasser
und Luft als Dielektrikum in einem Plattenkondensator. Die Wirkungsweise durch Polarisation der
Wassermoleküle und die Abhängigkeit der Luftfeuchtigkeit im Kondensator werden untersucht.
1

Inhaltsverzeichnis
1 Motivation und Einleitung 4
2 Physikalischer Hintergrund 4
2.1 Das Dielektrikum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Kondensatoren und Kapazitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1 Kondensatoren allgemein betrachtet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.2 Der Versuchskondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Das Elektrometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Berechnung der Kapazitäten der Kabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.1 Die Kapazität von Bananenkabeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.2 Die Kapazität von Koaxialkabeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.3 Beurteilung der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Methoden zur Bestimmung der Kapazität C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5.1 Auf- und Entladung eines Kondensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5.2 Wiensche Brücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6 Bestimmung der Dielektrizitätskonstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Versuchsdurchführungen 20
3.1 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Messreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.1 Wiensche Brücke zur Bestimmung der Kondensatorkapazität . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.2 Entladekurve durch Selbstentladung des Kondensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.3 Das Dielektrikum bei Niederspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.4 Das Dielektrikum bei Hochspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Fehlerrechnung 30
5 Fazit und Ausblick 31
Literatur 32
2

Abbildungsverzeichnis
1 Ausrichtung der Dipole im externem Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Schematischer Verlauf der komplexen Permittivtät, aufgeteilt in Real- und Imaginärteil [3] . . . . 7
3 Schematische Abbildung eines Plattenkondensators mit Dielektrikum [4] . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Steighöhenmethode zur Bestimmung der Permittivität [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5 Darstellung der Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6 Eichmessung des Elektrometers mit Ausgleichsgerade f(x) = m · x + b . . . . . . . . . . . . . . . 12
7 Schaltskizze zur Auf- und Entladung des Kondensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
8 Spannungsverlauf bei Auf- und Entladung in relativen Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
9 Schaltbild zur Wienschen Brücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10 Sättigungsmenge von Wasser in Luft [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11 Testmessung mit Cx = 1nF ; C2 = 10nF ; R4 = 10kΩ; R3 = 1kΩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
12 Oszilloskopausgabe mit Versuchskondensator d = 2, 5cm; R3 = 10kΩ (Potentiometer); R4 =
10kΩ; C2 = 15pF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
x − 13 Entladung des Kondensators durch den Aufbau, Ausgleichsfit: f(x) = a · e b + c . . . . . . . . . 23
14 Schaltplan für die Entladekurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
15 Fit der Entladekurve der Kabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
16 Schaltskizze Dielektrikum bei Hochspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Tabellenverzeichnis
1 Eichmessung des Elektrometers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Entladung über Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Messergebnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5 Messergebnisse 1. Durchlauf (02.07.2012) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6 Messergebnisse 2. Durchlauf (05.07.2012) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7 Messergebnisse 3. Durchlauf (05.07.2012) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3

1 Motivation und Einleitung
Im Wintersemseter 2011/2012 wurde in einer Experimentalphysikvorlesung der Bergischen Universität Wup-
pertal zum Thema Elektrostatik ein Versuch vorgeführt, der das Verhalten verschiedener Dielektrika in einem
Kondensator verdeutlichen sollte. Es handelte sich hierbei um einen großen, kreisförmigen Pattenkondensator
(Radius r = 13cm) mit einem variablen Plattenabstand von bis zu 7cm. Der Plattenkondensator wurde über eine
Hochspannungsquelle geladen. Dieses war auf der Skala eines Elektrometers abzulesen. Der Plattenkondensator
war nur mit Raumluft umgeben und gefüllt. Folglich konnten wir die Permittivitätszahl ɛ = 1 annehmen. Der
Plattenabstand betrug bei dieser Versuchsvorführung ca. 5cm. Wir wissen aus der Physik der Kondensatoren,
dass folgende Zusammenhänge gelten müssen [[6], S.825]:
C : Kapazität
Q : Ladung
U : Spannung
ɛ : Permittivität
A : Plattenfläche
d : Plattenabstand
C = Q
U
= ɛ · A
d
Im weiteren Verlauf dieses Protokolls werden wir näher auf diese physikalischen Zusammenhänge eingehen. Was
wir aber anhand der Formel (1) leicht erkennen können, ist die umgekehrte Proportionalität der Permittivität
zur Spannung. Ändern wir also die Permittivität durch Einbringen eines Dielektrikums, so ändern wir auch die
anliegende Spannung zwischen den beiden Kondensatorplatten unter der Annahme, dass alle anderen Parameter
konstant bleiben. Vor Versuchsbeginn wurde der Plattenkondensator mit einigen kV (ca. 5kV bis 10kV) über eine
Spannungsquelle geladen und anschließend von dieser getrennt. Die beiden Platten sind voneinander isoliert,
sodass wir davon ausgehen können, dass die Ladung auf den beiden Kondensatorplatten konstant ist (abgesehen
von einer minimalen Entladung durch die Luft). Der Versuch aus der Vorlesung zeigte, wie die Spannung an
den Kondensatorplatten um einen erheblichen Faktor abnahm, wenn ein mit Wasser gefüllter Kunststoffbehälter
zwischen die beiden Kondensatorplatten geführt wurde. Um den Zuhörern zu demonstrieren, dass es wirklich das
Wasser war, welches zu diesem Spannungsabfall führte, leerte der Professor den Behälter aus, um ihn daraufhin
ohne Wasser zwischen die Kondensatorplatten zu halten. Da sich, bis auf wenige Tropfen Wasser, nur noch
Luft in dem Behälter befand und somit auch die Permittivitätszahl ca. 1 betrug, dürfte der Spannungsabfall
beim Einführen des entleerten Gefäßes nur minimal sein. Allerdings war ein ähnlich starker Spannungsabfall
zu beobachten wie bei dem mit Wasser gefüllten Behälter. Diese Beobachtung widerspricht der physikalischen
Erwartung und wird in diesem Versuch näher untersucht.
In unserem Versuch wollen wir diesen Effekt näher untersuchen und verschiedene Methoden zur Kapazitätsmes-
sung behandeln. Ziel des Versuches ist es, den Effekt zu reproduzieren und theoretisch zu erklären.
2 Physikalischer Hintergrund
Vor Versuchsdurchführung soll vorab der physikalische Hintergrund beleuchtet werden. Hierdurch erlangen wir
eine Vorstellung über die Abläufe innerhalb des Versuches, Auswirkungen der einzelnen Komponenten und die
auftretenden Störeffekte. Weiterhin können wir Ergebnisse vorab berechnen und erhalten so Erwartungs- und
Vergleichswerte.
4
(1)

2.1 Das Dielektrikum
Das Dielektrikum ist der zentrale Begriff unseres Versuches. Ein Dielektrikum ist ein Material, welches sich
durch seine isolierenden Eigenschaften auszeichnet, wobei jede nicht leitende Substanz in Frage kommt. Aus-
schlaggebend ist, dass die Ladungsträger nicht frei beweglich sind. Dabei können Dielektrika sowohl gasförmig,
flüssig als auch starr sein.
In der Elektrostatik sind Dielektrika aufgrund ihrer Eigenschaften in einem äußerem Feld interessant. Im elektri-
schem Feld werden die Moleküle des Stoffes polarisiert, es findet also eine molekulare Ladungsverschiebung statt.
Bildlich muss man sich die Moleküle wie kleine Dipole vorstellen, welche statistisch in Raum und Ausrichtung
verteilt sind.
Abbildung 1: Ausrichtung der Dipole im externem Feld
Ohne Feld ist keine Vorzugsrichtung vorhanden, da die Bewegungsenergie zu einer statistischen Ausrichtung der
Moleküle führt. (Dies gilt nicht für ferroelektrische Kristalle, welche sich unterhalb der Curie-Temperatur von
selber ausrichten.)
Das durch die Dipole induzierte Feld wirkt dem externen Feld entgegen. Die Beweglichkeit der Ladungen bzw.
die Polarisation der Moleküle ist jedoch begrenzt, sodass das äußere Feld nicht, wie in einem idealen Leiter,
gänzlich ausgeglichen wird.
Hier ist noch hinzuzufügen, dass es ab einer bestimmten Spannung zu Überschlägen zwischen den Konden-
satorplatten kommt. Diese für ein Dielektrikum spezifische Eigenschaft heißt “Durchschlagsfestigkeit”. In den
Feldstärken, in denen wir arbeiten, spielt dieser Effekt aber keine Rolle.
Um jedoch etwas genauer die Gründe und Arten der Polarisation zu verstehen, soll an dieser Stelle vorerst
eine Charakterisierung der verschiedenen molekularen Polarisierungen vorgenommen werden:
• Orientierungspolarisation: Sie tritt auf bei polaren Molekülen, welche ein permanentes inneres Dipol-
moment −→ p besitzen. Die Moleküle werden durch das wirkende Drehmoment −→ N = −→ p × −→ E im externen
Feld ausgerichtet. Dem Drehmoment wirkt jedoch die molekulare Temperaturbewegung entgegen.
Die Energie eines Dipols in einem homogenen äußeren Feld ist
V (ϑ) = − −→ p · −→ E = −p · E · cos (ϑ) (2)
Die Polarisation −→ P ist definiert als resultierendes Dipolmoment pro Volumen
P = N · p · cos (ϑ) (3)
5

Um die Abhängigkeit der Polarisation −→ P zu dem der Elektrischen Feldstärke herzuleiten, leiten wir den
mittleren Wert für cos (ϑ) über das Stefan-Boltzmannsche Verteilungsgesetz her. Dieses besagt, dass die
V (ϑ)
− Wahrscheinlichkeit für einen gewissen Energiezustand V durch e kT gegeben ist.
In unserem Fall ist der Faktor p·E
kT
cos (ϑ) =
= p · E
cos (ϑ) =
=
´ V (ϑ)
− e kT · cos (ϑ) · dΩ
´ V (ϑ)
e− kT · dΩ
´ e − −p·E
kT cos(ϑ) · cos (ϑ) · dΩ
´ e − −p·E
kT cos(ϑ) · dΩ
≪ 1, sodass wir den Integranden entwickeln können:
´ π ´ 2π
0 0
´ π ´ 2π
0 0
3 · kT
�
1 + p·E
�
kT cos (ϑ) cos (ϑ) · sin (ϑ) · dϕ · dϑ
�
�
cos (ϑ) sin (ϑ) · dϕ · dϑ
1 + p·E
kT
p = p · cos (ϑ) = p2 · E
3 · kT
(8)
−→
P =
p2 · N
3 · kT · −→ E (9)
Als Ergebnis kann man zusammen fassen: Feldstärke und Polarisation sind bei der Orientierungspolari-
sation linear voneinander abhängig, sodass die Definition der Permittivität durchaus zu rechtfertigen ist.
Allerdings ist die Polarisation auch reziprok von der Temperatur abhängig, sodass bei hohen Temperaturen
die Permittivität ɛr sinkt. Dies ist leicht zu erklären, da aufgund der Temperatur die Moleküle zusätzliche
Bewegungsenergie zum Aufbrechen der Polarisation haben.
Für unseren Aufbau ist eine möglichst gleichbleibende Temperatur anzustreben.
• Verschiebungspolarisation: Da die Moleküle aus schweren, positiv geladenen Kernen und leichten,
negativ geladenen Elektronen bestehen, kommt es im elektrischen Feld zu einer Ladungsverschiebung →
Polarisation. Nach dem Hookschen Gesetz ist für kleine Verschiebungen die Auslenkung proportional zur
rücktreibenden Kraft. Wir können also für geringe Feldstärken [5] ( U/cm ≦ 1 kV/cm) auch hier eine lineare
Abhängigkeit von −→ P und −→ E voraussetzen.
Allgemein ist die Abhängigkeit komplizierter und kann durch
Pi =
3�
j=1
aijEj +
3�
j,k=1
(4)
(5)
(6)
(7)
bijkEjEk + ..... (10)
beschrieben werden. Die höheren Terme sind aber erst bei größeren elektrischen Feldern relevant und im ersten
Term können die “Nichtdiagonaleinträge” vernachlässigt werden. In unserem Fall liegen die Feldstärken bei bis
zu 2 kV/cm, sodass bei Hochspannung auch nichtlineare Zusammenhänge auftreten.
In isotropen Medien, wie bei Wasser und Luft, ist keine Richtung ausgezeichnet, sodass die Diagonalelemente
gleich sind. Zusammenfassend können wir die Formel (10) mithilfe der dielektrischen Suszeptibilität χe zusam-
menfassen
Die Feldstärke im Dielektrikum ist gegeben durch
−→ P = ɛ0 · χe · −−−→
EDiel
(11)
−−−→
EDiel = σfrei − σpol −→
e (12)
ɛ0
6

Mithilfe von −→ P = σP ol · −→ e kann folgende Beziehung hergeleitet werden:
Mithilfe von (11) ergibt sich
−−−→
EDiel = −−−→
−→
P
EV ak −
ɛ0
−−−→
EDiel =
−−−→
EV ak
−−−→
EV ak
=
1 + χe ɛr
(14)
hierbei ist die relative P ermittivität : ɛr := 1 + χe (15)
(13)
P ermittivität : ɛ := ɛr · ɛ0 (16)
�
Die Kapazität C ist definiert durch das Verhältnis von Ladung zur Spannung
dungsverteilung verändert sich die Spannung mit Dielektrikum im Verhältnis
Es folgt also
UDiel = UV ak
ɛr
CDiel = ɛr · CV ak
C = Q
U
�
. Bei konstanter La-
Der Literaturwert der Permittivität von Luft liegt bei εr ≈ 1, 005 (siehe [1]). Unter unseren Bedingungen könne
wir daher εr = 1 annehmen.
Der Literaturwert der Permittivität von Wasser ist εr ≈ 81 (siehe [1]).
Wir erwarten also beim Einführen des Dielektrikums Wasser eine starke Erhöhung der Kapazität, die es zu
messen gilt.
Abbildung 2: Schematischer Verlauf der komplexen Permittivtät, aufgeteilt in Real- und Imaginärteil [3]
Bei angelegter Wechselspannung müssen die Dipole immer wieder die Ausrichtung wechseln. Das dies nicht un-
begrenzt möglich ist, ist schon anschaulich klar, da ab bestimmten Frequenzen die Dipole nicht mehr genug Zeit
haben, um zu reagieren. Darüber hinaus kann der “dielektrische Verlustfaktor” eine Rolle spielen: Die Wechsel-
spannung führt durch die Bewegung von Teilchen im Dielektrikum (z.B. Ausrichtung der Dipole bei Wasser)
7
(17)
(18)

zu Reibung und Erwärmung des Kondensators samt Dielektrikum, was wiederum zur Änderung der relativen
Permittivität ɛr führt. Die Verlustleistung durch das dielektrische Medium kann durch eine komplexwertige
Permittivität im Imaginärteil ausgedrückt werden.
Der ungefähre Verlauf der Frequenzabhängigkeit von Real- und Imaginärteil ist in Abbildung 2 wiedergegeben,
hierbei deuten die eingefügten Bilder der Polarisationsarten an, welche Art von Polarisation für die sichtbare
Änderung der Permittivität verantwortlich ist. Die Frequenzabhängigkeit von ɛ spielt bei der Orientierungspo-
larisation, wie man sieht, erst ab Frequenzen von 10 9 Hz eine relevante Rolle. Bei der Verschiebungspolarisation
ist der Effekt sogar erst ab ca.10 15 Hz zu beobachten. Somit sind eine Vielzahl weiterer Messmethoden der
Kapazität möglich, welche wir hier jedoch nicht beachten werden.
2.2 Kondensatoren und Kapazitäten
Der wichtigste Bestandteil des Versuchs ist der Kondensator. Deshalb seien hier im folgenden dessen Grundlagen
und Größen beschrieben.
2.2.1 Kondensatoren allgemein betrachtet
Ein Kondensator ist ein elektrisches Bauelement, welches Ladung und damit auch Energie speichern kann. Er be-
steht aus zwei elektrisch leitenden Flächen (Elektroden), die durch einen isolierenden Bereich (das Dielektrikum)
getrennt werden. Anwendung finden Kondensatoren beispielsweise als Energiespeicher oder frequenzabhängiger
Widerstand.
Abbildung 3: Schematische Abbildung eines Plattenkondensators mit Dielektrikum [4]
Die Proportionalitätskonstante C (Kapazität) beschreibt das Verhältnis von Spannung zur Ladung am Konden-
sator. Formal lassen sich durch diesen Zusammenhang die Ladung Q und die Kapazität C durch die Spannung
U, wie bereits in Gleichung 1 erwähnt, darstellen:
Q = C · U (19)
Im Falle des Plattenkondensators kann man in guter Näherung das elektrische Feld als homogen und die Richtung
des Feldes als parallel zur Plattennormalen beschreiben. Bedingung für diese Näherung ist eine große Platten-
fläche im Verhältnis zum Plattenabstand. (Bei der Berechnung des Feldes wird eine unendliche Ausdehnung der
leitenden Flächen vorausgesetzt, was nur in unmittelbarer Nähe zur realen Platte gegeben ist).
Die Streufelder am Rande des Kondensators werden wir vernachlässigen. Im direktem Vergleich zweier Ka-
pazitäten im Experiment wird dies jedoch nicht von Bedeutung sein, da der Fehler in jeder Durchführung
gleichermaßen zum Tragen kommt.
Mithilfe der 1. Maxwellschen Gleichung div −→ D = ρ
ɛ0
ermittelt man für die Feldstärke: E = σ
ɛ0·ɛr .
Für einen Plattenkondensator lässt sich daher bei bekannter Plattenfläche A, Plattenabstand d und Dielek-
trizitätszahl (Permittivität) εr mithilfe der elektrischen Feldkonstanten ε0 die Kapazität C folgendermaßen
bestimmen:
8

C = Q σ · F
=
U E · d = ε0 · εr · A
d
Die im Kondensator gespeicherte Feldenergie W ermittelt sich wie folgt:
W = ɛ0
2
ˆ
V
(20)
−→ E · −→ D · dV (21)
= ɛ0
2 · A · d · ɛr · E 2
Vergleicht man die Koeffizienten mit Formel 20, so ergibt sich:
(22)
W = 1
CU² (23)
2
Diese Energie ist über die Kapazität abhängig von der relativen Permittivität ɛ. Bei höherem ɛ im Kondensator
ist der Zustand des Systems ernergetisch günstiger. Daher wird eine mechanische Arbeit auf das Dielektrikum,
durch die es in den Kondensator gezogen wird, ausgeübt. Diesen Effekt hätten wir durch einen etwas anderen
Versuchsaufbau ausnutzen können, um die Permittivität sehr genau zu bestimmen. Hierbei verwendet man ein,
mit dem Dielektrikum gefülltes U-Rohr, welches mit einer Seite in einem Plattenkondensator gehalten wird.
Abbildung 4: Steighöhenmethode zur Bestimmung der Permittivität [3]
Auf der Seite des Kondensator wirkt ein Druck nach oben, der durch den Druck durch eine Höhendifferenz
(p = ρ · g · h) wieder ausgeglichen wird. Über die Höhe kann die Permittivität errechnet werden.
2.2.2 Der Versuchskondensator
Der Plattenkondensator, welchen wir in unserem Experiment verwenden, hat einen Radius von r = 130mm ±
1mm. Wir wollen im Folgenden ermitteln, in welcher Größenordnung sich die Kapazität unseres Kondensators
bewegt. Da wir nur die Größenordnung bestimmen wollen, verzichten wir auf die Angabe eines Fehlers und
rechnen nur mit typischen Größen; beispielsweise nehmen wir für den variablen Plattenabstand einen Wert von
d = 54, 5mm ± 2, 0mm an.
Aus r ergibt sich die Fläche A einer Kondensatorplatte zu
und folglich die Kapazität zu
= ε0 ·
A = π · r²
CLuft = ε0 · A
d = ε0
π · r²
·
d
π · (0, 13m)2
0, 05m
≈ 9, 4 · 10−12 F ≈ 10 −11 F
Wir erwarten für unsere Versuchsdurchgänge Kapazitäten (εr ≈ 1) in der Größenordnung von 10 −11 F . Hierbei
müssen wir beachten, dass die eingesetzten Kabel und die übrigen Bauteile des Versuches auch eine Kapazität
aufweisen und möglicherweise in der gleichen Größenordnung liegen könnten. Dies wird in Kapitel 2.4 näher
betrachtet.
9

2.3 Das Elektrometer
Um die am Kondensator anliegende Hochspannung messen zu können, verwenden wir ein Elektrometer. Im
Folgenden sei hier die Funktionsweise und eine Eichmessung aufgeführt.
Die Spannung oder Ladung an einem Kondensator muss gemessen werden, ohne dass ein nennenswerter Strom
fließt, da sich sonst sowohl die Spannung als auch die Ladung auf den Kondensatorplatten verändern. Aufgrund
der geringen Kapazität des Kondensators ist die induzierte Ladung auf den Platten sehr gering, sodass schon
kleine Ströme große Spannungsverluste mit sich bringen. Für Versuche mit unterschiedlichen Dielektrika be-
nötigt man ein zeitlich konstantes System, um eine Aussage über die Kapazitätsänderung machen zu können.
Das Prinzip eines solchen Spannungs- oder Ladungsmessgerätes basiert auf dem Grundsatz der Elektrostatik,
dass sich gleiche Ladungen abstoßen. Das Elektroskop, das wir verwenden, besteht aus einem Zylindermantel,
einem festen vertikalen Stab in dessen Mitte und einem Zeiger. Der Zeiger ist drehbar und mittig am Stab
gelagert, sodass die Enden des Zeigers durch ein wirkendes Drehmoment ausschlagen können. Die Amplitude
des Ausschwingens lässt sich an einer Skala ablesen.
Durch ein Kabel wird die geladene Seite des Plattenkondensators mit der Zeiger-Stab-Konstruktion verbunden.
Diese wird durch ein geeignetes Material vom Mantel getrennt, mit dem die andere Platte verbunden wird. Die
Ladungen, die sich auf der Platte am Kondensator befinden, verteilen sich gleichmäßig auf dem Zeiger und dem
festen Stab. Da es sich um gleiche Ladungen handelt, stoßen sie sich ab, sodass ein Drehmoment auf den Zeiger
ausgeübt wird. Auf den Zeiger wirkt außerdem die Gewichtskraft. Stellt sich ein Gleichgewicht zwischen der
Komponente der Gewichtskraft, die entgegengesetzt der Komponente der Coulombkraft wirkt, ein, kann der
Zeiger auf der Skala abgelesen werden. Nachfolgendes Bild stellt die wirkenden Kräfte und deren Komponenten
sowie das genutzte Drehmoment dar:
Rechnerisch ergibt sich die Beschreibung:
Abbildung 5: Darstellung der Kräfte
FG = m · g und FC = 1
mit g = 9, 81 m
s 2
Im Gegensatz zur Abbildung gehen wir für das weitere Vorgehen davon aus, dass wir nur die Ladung an der Spitze
4πɛ0
Q1Q2
r 2
des Zeigers betrachten. So gelangen wir näherungsweise an die Komponenten der Kräfte in Drehmomentrichtung
am Ende des Zeigers:
(24)
FDG = FGsinα ≈ FGα und FDC ≈ FC (25)
10

Der Abstand r zwischen der Spitze des Zeigers mit der Länge l und dem Stab ergibt sich ebenfalls aus geome-
trischen Überlegungen:
Insgesamt ergibt sich dann:
r = lα (26)
FGα = FC
Die Ladungen Q1 und Q2 sind gleich, da der Stab und der Zeiger miteinander verbunden sind. Es gilt also
Q1 = Q2 = Q:
α · FG = 1
α · FG =
4πɛ0
1
4πɛ0
Q 2
r 2
Q 2
(lα) 2
(27)
(28)
(29)
⇒ α ∼ � Q 2 ∼ √ U 2 (30)
So lässt sich der Zusammenhang zwischen dem Winkel, also dem Drehmoment, und der Ladung berechnen. Um
aus dem Ladungsmessgerät die Spannung U ablesen zu können, benötigt man noch die Beziehung für einen
Plattenkondensator Q = C · U mit der Kapazität C.
Es ist zu beachten, dass dieser Zusammenhang nur für kleine Winkel gilt. Für große Winkel gilt die Näherung
α ≈ sin (α) nicht mehr und die Coulumbkraft wirkt auch nicht merhr in Richtung des Drehmomentes. Dies
zeigt sich dadurch, dass sich die Skala ab einem gewissen Winkel wieder verengt.
Das Elektrometer, das wir verwenden, hat eine feste Skala. Um eine Vorstellung der Genauigkeit zu bekommen,
haben wir vor Versuchsbeginn eine Eichmessung durchgeführt. Hierzu verwenden wir einen runden Plattenkon-
densator mit dem Radius r = 130mm ± 1mm, eine Spannungsquelle und das Elektrometer. Wir variieren die
Spannung, lesen den angegebenen Wert ab und notieren die Anzeige des Elektrometers. Da diese nur in ganzen
Schritten unterteilt ist und nicht jede Zahl gleich weit von der nächsten entfernt ist, wird eine präzise Angabe
ungleich schwerer. Diese nichtlineare Einteilung lässt sich schon an der Formel (29) erkennen und ergibt sich
aus den Winkelanteilen. Um einen Ablesefehler zu minimieren, lesen zwei Personen unabhängig voneinander ab
und das Ergebnis wird gemittelt. Es ergeben sich folgende Werte:
11

Spannung am Generator ±0, 1 [kV ] Skala am Elektrometer
0 -0,2±0, 2
0,5 -0,1±0, 2
1,0 0±0, 2
1,5 0,4±0, 2
2,0 0,9±0, 2
2,5 1,2±0, 15
3,0 1,7±0, 15
3,5 2,0±0, 15
4,0 2,3±0, 15
4,5 2,6±0, 15
5,0 2,9±0, 15
5,5 3,1±0, 15
6,0 3,4±0, 15
6,5 3,7±0, 15
7,0 4,0±0, 15
7,5 4,2±0, 2
8,0 4,6±0, 2
8,5 5,0±0, 2
9,0 5,2±0, 2
9,5 5,6±0, 2
10,0 6,0±0, 2
Tabelle 1: Eichmessung des Elektrometers
Während der gesamten Messung lassen wir den Plattenabstand d konstant bei d = 54, 5mm ± 2, 0mm. Die
Platten sind nur näherungsweise parallel. Deswegen haben wir den Abstand der Platten an vier Stellen außen
am Rand gemessen und den Mittelwert gebildet, sodass es sich bei dem Plattenabstand d eigentlich um dgemittelt
handelt. Für spätere Versuche haben wir dafür gesorgt, dass die Platten besser zueinander ausgerichtet sind.
Hiermit lässt sich die Kapazität C des Kondensators mit der Fläche A = (0, 053 ± 0, 002)m 2 bestimmen:
CLuft = ɛ0A
d = 8, 597 · 10−12 F (31)
Mit den beschriebenen Randbedingungen erhalten wir folgende grafisch aufgetragene Werte, die die erwartete
Linearität verdeutlichen:
Abbildung 6: Eichmessung des Elektrometers mit Ausgleichsgerade f(x) = m · x + b
12

2.4 Berechnung der Kapazitäten der Kabel
Für die Genauigkeit unserer Messapparatur ist die Störanfälligkeit elementar. Vor allem bei hochfrequenten
Wechselspannungen ist das Koaxialkabel aufgrund der guten Abschirmung externer elektromagnetischer Wellen
erste Wahl. Wichtiger aber als die Filterung von Störsignalen ist jedoch, dass die Kapazität der Kabel nicht
die des Kondensators übersteigt. Um dem nachzugehen, versuchen wir eine Abschätzung der Kapazität unserer
Kabel zu finden.
2.4.1 Die Kapazität von Bananenkabeln
Um die Kapazität der Bananenkabel zu bestimmen, nehmen wir stark vereinfacht an, dass eine Potentialdif-
ferenz U zwischen zwei unendlich langen Kabeln anliegt, welche in einem Abstand d parallel verlaufen. Das
Dielektrikum, welches die beiden Kabel trennt, habe die Permittivität ɛR = 1. (Hier ist eigentlich nicht nur der
variable Abstand der Kabel zu beachten, sondern auch die Permittivität der isolierenden Leiterummantelung.)
Das Potential eines einfach geladenen Drahtes mit der Ladung pro Weglänge λ ergibt sich durch Anwendung
der 1. Maxwellschen Gleichung auf das Volumen eines 1 Meter langen Zylinders mit Radius r, welcher um den
Draht gelegt wird.
Außerhalb des Kabels (r ≧ R0):
Innerhalb des Kabels (r ≦ R0):
ˆ
V
�
−→E
�
div dV =
ˆ
∂V
−→ E · d −→ F =
2π · r · E (r) = λ
ɛ
⇒
−→
E =
λ 1
·
2π · ɛ r · −→ er
ˆ
V
�
−→E
�
div dV =
ˆ
∂V
−→ E · d −→ F =
2π · r · E (r) = r2
r2 ·
0
λ
ɛ
⇒
−→
E =
ˆ
V
ˆ
V
ˆ
V
ˆ
V
ρ
· dV (32)
ɛ
ρ
· dV (33)
ɛ
(34)
(35)
ρ
· dV (36)
ɛ
ρ
· dV (37)
ɛ
λ r
·
2π · ɛ r2 ·
0
−→ er
Wir gehen im Folgendem davon aus, dass ein Kabel mit der Längenladungsdichte +λ und das andere mit
−λ belegt ist. Es genügt die Potentialdifferenz zwischen den Leitern für eine Quelle zu berechnen und dieses
Ergebnis aus Symmetriegründen zu verdoppeln.
13
(38)
(39)

ˆd
−→
U = ∆φ (r) = 2 · E · d
−→
r
Hierdurch ergibt sich eine Kapazität pro Weglänge von
1
CBanana/[m] = π · ɛ ·
ln
=
=
ˆd
r0
r0
2 · λ dr
·
2π · ɛ r
�
λ d
· ln
π · ɛ
r0
�
d − Abstand der Kabel
r0 − Radius der Kabel
� d
r0
�
� = π · ɛ · ln − d
�
≈ 6, 03
r0
pF
m
Hierbei verwendeten wir die Werte d = 20cm; r0 = 0, 2cm als gute Näherung.
2.4.2 Die Kapazität von Koaxialkabeln
Die Herleitung der Kapazität des Koaxialkabels verläuft analog zu der der Bananenkabel. Das Feld wird jedoch
nur vom inneren Kabel erzeugt, wodurch sich eine Spannung von
ergibt. Hieraus folgt für die Kapazität:
U = ∆φ (r) =
=
=
1
CKoax/[m] = 2π · ɛ ·
ln
2.4.3 Beurteilung der Ergebnisse
ˆra
ri
ˆ
ri
ra
−→ E · d −→ r
λ dr
·
2π · ɛ r
λ
· ln
2π · ɛ
� ra
ri − Radius des inneren Kabels
ra − Radius des äußeren Kabels
� d
r0
ri
�
�
� = 2π · ɛ · ln − d
�
≈ 100
r0
pF
m
Die Kapazität der Koaxialkabel liegt um einen Faktor 10 höher (wir gehen davon aus, dass wir ca. 1 Meter
Kabel brauchen) als der des Kondensators. So ist der Stromfluss besser abgeschirmt, doch da die Messung der
Gesamtkapazität schon einen großen Fehler aufweist, kann aus dem Ergebnis kaum noch eine Aussage über die
Kapazität des Kondensators gewonnen werden.
Bei Bananenkabel ist das Verhältnis auch nicht ideal, doch ist derzeit nichts besseres zu finden. Für den Versuch
ist wichtig, auf große Abstände der Kabel und Gegenstände zueinander zu achten. Die Kapazität der Kabel
kann rechnerisch als parallel zum Kondensator geschlatete Kapazität betrachtet werden. So kann die Kapazität
14
(40)
(41)
(42)
(43)

des Kondensators ganz einfach durch
CKondensator = CGes − CKabel
errechnet werden. Hierbei wird jedoch davon ausgegangen, dass die Felder der beiden Kondensatoren (Kabel +
Kondensator) räumlich getrennt sind, was in unserem Fall jedoch nicht gewährleistet wird. Hierdurch werden die
Kabel Ladung auf den Platten induzieren und umgekehrt, wodurch die Zusammenhänge weitaus komplizierter
werden. Hierin sehen wir auch einen großen Anteil an den Abweichungen der Ergebnisse von dem Literaturwert.
Das einzige, was hiergegen helfen kann, sind kurze Kabel, bei gleichzeitig riesigem Abstand, was jedoch technisch
nicht möglich ist.
2.5 Methoden zur Bestimmung der Kapazität C
Im Folgenden werden einige Methoden erläutert, die Kapazität des verwendeten Kondensators zu bestimmen.
2.5.1 Auf- und Entladung eines Kondensators
Eine der einfachsten Messmethoden der Kapazität ist die Entladung über einen bekannten Widerstand. Neben
dem einfachen Versuchsaufbau ist von Vorteil, dass Gleichspannung verwendet wird, d.h. die Frequenzabhän-
gigkeit der Permittivität keine Rolle spielt. (Dies war der wichtigste Grund, warum wir diese Methode befür-
worteten. Später stellte sich heraus, dass unsere Befürchtungen über eine mögliche Frequenzabhängigkeit der
Permittivität ungerechtfertigt waren (siehe Abschnitt 2.1).
Wird ein elektrischer Strom an den Kondensator angelegt, so lädt sich die Anode positiv und die Kathode negativ
auf (Zwischen Elektrode und Anode verläuft der Stromfluss als Verschiebungsstrom). Wenn der Stromfluss
unterbrochen wird, bleibt die Ladung auf den Platten sowie die zugehörige Energie erhalten.
Wird ein geladener Kondensator mit einem Widerstand belastet, so entlädt er sich.
Abbildung 7: Schaltskizze zur Auf- und Entladung des Kondensators
Abbildung 8: Spannungsverlauf bei Auf- und Entladung in relativen Einheiten
15
(44)

Diese Entladekurve wollen wir uns kurz theoretisch herleiten. Mit der Maschenregel gilt:
Unter Verwendung von UR(t) = R ∗ I(t) und UC(t) = Q(t)
C folgt:
Wir lösen durch Separation.
Es folgt die Formel für den Strom:
bzw. über die Beziehung UR = −UC
Für die Ladung folgt per Q = C · U :
R · I(t) + Q(t)
C
UR(t) + UC(t) = 0 (45)
dI
dt
1 1
dI = − dt =⇒
I RC
⇒ ln I
= 0 =⇒ R · I ˙ + 1
I = 0 (46)
C
1
= − I (47)
RC
I0
ˆI
I0
ˆ
1
dI =
I
= − t
RC
− 1
dt (48)
RC
(49)
t −
IEntladung (t) = Ioe RC (50)
UCEntladung (t) = Io
t
t
−
· R · e RC −
= U0 · e RC (51)
QCEntladung (t) = C · U0
t
t
−
· e RC −
= Qoe RC (52)
Bei der Aufladung ist eine Spannungsquelle im Stromkreis integriert. Hier geht man von dem Ansatz
aus und es folgt analog:
Hierbei ist die Zeitkonstante
0 = U0 + UR (t) + Uc (t) (53)
t −
IAufladung (t) = Ioe RC
UCAufladung (t) = U0(1
t −
− e RC ) (54)
QCAufladung (t) = Q0(1
t −
− e RC )
τ = RC (55)
Durch die Ermittlung der Zeitkonstante über einen Fit, kann mit großer Genauigkeit, bei bekanntem Widerstand
R, die Kapazität C berrechnet werden.
2.5.2 Wiensche Brücke
Eine weitere Möglichkeit, die Kapazität eines Kondensators genau zu messen, ist die nach Max Wien benannte
Wechselspannungsbrücke. Anfangs hatten wir die Ambition, diese Brücke mit Gleichspannung zu betreiben,
doch die Blindwiderstände der Kondensatoren führten zu Problemen.
Die Wiensche Brücke ist ähnlich aufgebaut wie die Wheatstonsche Brücke und ähnelt dieser auch in ihrer
Funktion. Bei dieser Messbrücke wird durch zwei oder drei veränderbare Bauteile ein Potentialgleichgewicht
16

eingestellt. Die gesuchte Kapazität kann dann über eine einfache Formel berechnet werden. Die Brücke wird als
abgeglichen bezeichnet, wenn die Querspannung zwischen 1* und 2* gleich Null ist, obwohl eine Messspannung
UM angelegt ist. Zur Verdeutlichung dient nachstehende Abbildung. Für den Abgleich müssen zwei Beziehungen
gelten, die wir kurz herleiten wollen.
Abbildung 9: Schaltbild zur Wienschen Brücke
Aus dem Schaltbild folgt nach Einstellung der Widerstände bzw. der Kapazität die Abgleichbedingung U∼ = 0.
Für die komplexen Widerstände können wir
⇒ Z2
=
Zx
Z4
Z3
(56)
Zj = Zj · e iϕj (57)
einsetzen. Hier bezeichnet i die komplexe Einheit und j den jeweiligen Widerstand. Es folgt
und daraus die Beziehung für die Phase:
Zx · Z4 · e i(ϕx+ϕ4) = Z2 · Z3 · e i(ϕ2+ϕ3)
ϕx + ϕ4 = ϕ2 + ϕ3
Es müssen also immer (56) und (59) für Phase und Widerstand erfüllt sein. Wenn man sich diese Bedingungen
im komplexen Zahlenraum ansieht, bezeichnet Zx · Z4 (bzw. Z2 · Z3) den Radius und ϕx + ϕ4 (bzw. ϕ2 + ϕ3)
den Drehwinkel.
Nun folgt die Herleitung der eigentlichen Formel zur Bestimmung der Kapazität. Für die beiden Widerstände
können wir Z3 = R3 und Z4 = R4 einsetzen. Für die Kondensatoren müssen wir die Zusammensetzung aus
kapazitivem Widerstand und ohmschen Widerstand betrachten. Somit setzen wir für
1
Zx
ein. Aus Gleichung (12) folgt dann
= ( 1
+ iwCx) und
Rx
1
Z2
(58)
(59)
= ( 1
+ iwC2) (60)
R2
( 1
+ iwC2)
R2
R4
= (
R3
1
+ iwCx) (61)
Rx
Wir müssen einige Näherungen vornehmen, um auf die Lösungsformel zu kommen. Wir nehmen an, dass für die
17

Beziehung zwischen Widerstand R2 und Kapazität C2 für bestimmte, noch gesuchte ω folgendes gilt:
1
R2
≪ iwC2
Analog dazu für Cx. In unserem Versuch benutzen wir einen Kondensator mit Luft bzw. Wasser. Auch der
Widerstand des Kondensators Z2 (10 18 Ωm spezifischer Widerstand) ist sehr hoch und die Kapazität dazu sehr
klein; diese Näherung ist sehr wichtig, da wir so berechnen können, mit welchen Frequenzen wir die Brücke zu
betreiben haben. Es folgt für die Frequenz
und gleichzeitig
1
R2C2
1
RxCx
(62)
≪ w (63)
≪ w (64)
Für den Widerstand von Luft können wir Rx → ∞ annehmen. Die Abhängigkeit (20) verschwindet also. Wenn
wir jedoch den Kondensator C2 = 15pF oder 1nF betrachten, so erkennen wir, dass
1
R2C2
=
1
10 6 Ω · 15 · 10 −12 F =
1
15 · 10−6 ≪ w (65)
s
gilt. Wir müssen also für unseren Aufbau Frequenzen deutlich größer als 1MHz nutzen. Dann folgt als Lösungs-
formel:
Cx = R4
C2
R3
Diese Formel gilt jedoch nur, wenn wir die Querspannung gleich Null setzen und die Frequenz, wie oben gezeigt,
passend gewählt wird. Außerdem sehen wir, dass die Frequenzabhängigkeit in der Formel vollkommen verschwin-
det. Für den Testaufbau mit einem Kondensator der Kapazität 1nF ergibt sich eine sehr kleine Grenzfrequenz
(wGrenz ≈ 500Hz).
2.6 Bestimmung der Dielektrizitätskonstante
Um unsere Werte mit den Werten der Literatur zu vergleichen, muss die relative Permittivität eines bestimmten
Stoffes ermittelt werden. Der Zusammenhang zwischen Kapazität und ɛr ergibt sich durch die Formel der
Kapazität,
CKond = ɛ0 · ɛreffektiv
Der Zusatz “effektiv” gibt an, dass es sich aus einer Mischung der Permittivitäten der im Kondensator enthal-
tenen Stoffe handelt. Im Falle eines leeren Kondensators ist ɛreffektiv = ɛrLuft ≈ 1. Ansonsten setzt sich die
effektive relative Permittivität aus dem Anteil der Luft, dem Anteil des Plastiks und dem Anteil des Wassers
zusammen. Man kann dann den Kondensator als Reihenschaltung ganz vieler Kondensatoren betrachten, welche
alle unterschiedliche Dielektrika enthalten. Hierfür gilt die Formel der Reihenschaltung:
1
CKond
= �
In unserem Fall besteht der Kondensator aus einer 4mm dicken Plexiglasschicht; das Volumen der Luft haben
wir minimiert, d.h. wir haben den Dielektrikumsbehälter zwischen den Platten eingeklemmt und man kann
mit gutem Recht dLuft = 0mm annehmen. Die Dicke des zu messenden Dielektrikums “Probe” beträgt dann
18
i
1
Ci
· A
d
(66)
(67)
(68)

≈ 21mm, bei einer Fläche von π (130mm) 2 . Dies führt zu folgender Abhängigkeit:
Mit
ɛreffektiv =
≈
ɛr P lexi
dplexi
· ɛr P robe
dP robe
ɛr P lexi
dplexi + ɛr P robe
dP robe
ɛrP lexi · ɛrP robe
· dGesamt
(ɛrP lexi · 21) + (ɛrP robe
⎧
⎨ 17, 4 : W asser
=
⎩ 1, 1 : Luft
ɛrP lexi
ɛrW asser
ɛrLuft
≈ 3, 4
(69)
· 4) · 25 (70)
≈ 81 (71)
≈ 1
Aus der Gleichung kann man schon erkennen, dass bei einer hohen relativen Permittivität ɛrP robe
Permittivität gegen einen Grenzwert ( lim ɛreffektiv
ɛrP robe→∞ die effektive
25 = 4 ɛrP ) läuft, das heißt, dass bei hohen relativen
lexi
Permittivitäten keine signifikante Änderung der effektiven Permitivität mehr eintritt.
Bei einem mit Tröpfchen gefüllten Kondensator kann man davon ausgehen, dass die Wasserschicht auf beiden
Seiten ≪ 4mm beträgt.
Daher erwarten wir theoretisch ein Verhältnis der Kapazitäten bei gefülltem Behälter und leerem Behälter von
CF eucht
CW asser
≤
ɛrP lexi
0,004m + ɛr W asser
0,021m
ɛr P lexi
0,004m + ɛr W asser
0,004m + ɛr Luft
0,017m
= 0, 2225 (72)
Der theoretische Wert kann nicht mit den experimentellen Daten aus der Vorlesung zur Deckung gebracht wer-
den. Ansätze zur Erklärung, wie die endliche Ausdehnung des Behälters, die hohe Luftfeuchtigkeit im Behälter
sowie die Oberflächenbenetzung können nur unzureichend erklären, warum der Unterschied zwischen “feucht”
und “mit Wasser gefüllt” nicht dem erwartetem Verhältnis genügt.
Zu dem Argument der hohen Luftfeuchtigkeit im Behälter sei hier noch gesagt, dass am Anfang unserer Überle-
gungen immer wieder der Gedanke im Raum stand, dass die hohe Luftfeuchtigkeit für den hohen Spannungsabfall
am Elektrometer verantwortlich sei. Tatsächlich ist die Wasseraufnahmefähigkeit von Luft begrenzt, wie man
an folgender Abbildung erkennen kann.
19

Abbildung 10: Sättigungsmenge von Wasser in Luft [2]
Die Dichte von Wassersdampf bei 20°C und voll gesättigter Luft liegt bei 1
50000 ρW asser, die Auswirkungen sollten
also minimal sein. Zudem kann man argumentieren, dass die Permittivität von Luft wohl auf den Wasseranteil
zurückzuführen ist. Im Falle von 50% Luftfeuchtigkeit - d.h. bei 50% des Sättigungswertes für Wasser - liegt die
Permittivität von Luft bei ɛr W asser50% ≈ 1, 005, folglich sollte die Permittivität bei voller Sättigung im Bereich
von ɛr W asser100% ≈ 1, 010 liegen. Dies kann folglich den Spannungsabfall nicht erklären.
Wir wollen die Kapazität des Kondensators erst im Niederspannungsbereich (≤ 50V ) bestimmen. Hier stehen
uns Mittel und Wege zu Verfügung, die Kapazität mit und ohne Dielektrikum zu bestimmen. Zudem soll geprüft
werden, ob dieser Effekt nur im Hochspannungsbereich (≥ 1kV ), in dem die Permittivität von der Feldstärke
abhängt, auftritt.
3 Versuchsdurchführungen
3.1 Versuchsaufbau
Für alle Versuchsteile benötigen wir Folgendes:
• einen Plattenkondensator
• einen Plexiglasbehälter mit d = 25mm ± 1mm
• einen Feuchtigkeitsmessgerät für Luftfeuchtigkeit
• ein Thermometer
Für den Versuchsteil im Niederspannungsbereich nutzen wir:
• einen Funktionsgenerator
• ein Oszilloskop
• einen Widerstand R = (1 ± 0, 006)MΩ
Für den Hochspannungsversuchsteil benötigen wir außerdem:
• eine Spannungsquelle bis 20kV
• ein Elektrometer
20

3.2 Messreihen
3.2.1 Wiensche Brücke zur Bestimmung der Kondensatorkapazität
Die Wechselspannungsbrücke wird wie im Schaltplan (Abbildung 5) aufgebaut. Die zu ermittelnde Kapazität sei
Cx. Da unser Versuchskondensator eine sehr kleine Kapazität hat (Cx ≈ 10 -11 F ) und Messfehler ausgeschlossen
werden wollen, testen wir den Aufbau zuerst mit einer bekannten Kapazität von Cx = 1nF . Diese Messung
ergab folgendes Ergebnis:
Abbildung 11: Testmessung mit Cx = 1nF ; C2 = 10nF ; R4 = 10kΩ; R3 = 1kΩ
Die Spannungen 1 und 2 sind die Einzelspannungen links und Rechts an der Brücke; M bezeichnet die
Spannungsdifferenz
Die Querspannung lässt sich problemlos auf null regeln. Dazu nutzen wir ein Potentiometer oder feste Wider-
stände. Außerdem sollten die beiden Widerstände in der gleichen Größenordnung sein, um ein möglichst exaktes
Ergebnis zu erreichen. Durch Anwenden der Lösungsformel erhalten wir die erwartete Kapazität:
Cx = R4
C2 =
R3
1kΩ
10nF = 1nF (73)
10kΩ
Um die Querspannung noch genauer herunter regeln zu können, wäre ein Operationsverstärker zu benutzen, der
die Querspannung weiter verstärkt.
Anschließend wird unser Versuchskondensator als Kapazität Cx aufgebaut. Für C2 wählen wir 15pF = 15 ·
10 −12 F für einen der Widerstände wird ein Potentiometer eingesetzt.
21

Abbildung 12: Oszilloskopausgabe mit Versuchskondensator d = 2, 5cm; R3 = 10kΩ (Potentiometer); R4 =
10kΩ; C2 = 15pF
Es ist zu sehen, dass sich die Querspannung nicht auf null Regeln lässt. Außerdem geht eine minimale Pha-
senverschiebung ein, welche gegen die Phasenbedingung verstößt. Im Komplexen würde das bedeuten, dass
sich die Drehwinkel unterscheiden. Die Frequenz musste wie oben berechnet sehr hoch gehalten werden (hier
11MHz − 25MHz). Offensichtlich gehen Fehler ein, die wir noch nicht betrachtet haben, wie zum Beispiel die
Kapazitäten der Kabel und des Steckbrettes. Diese müssen bei einem solchen Aufbau mit Steckbrett viel größer
sein als die Kapazität Cx. Mit einem solchen Aufbau eignet sich die Wiensche Wechselspannungsbrücke also
nicht zum Messen von sehr kleinen Kapazitäten. Da wir eine sehr kleine Kapazität messen wollen, eignen sich
unsere Potentiometer auch nicht mehr. Leider muss der Versuch, die Wiensche Wechselspannungsbrücke für un-
seren Versuch zu nutzen, an dieser Stelle abgebrochen werden, da ein genaues Messen der Kondensatorkapazität
nicht möglich ist. Um eine bessere Abschätzung im Falle einer Nutzung machen zu können, müssten außerdem
die Kapazitäten der Kabel und des gesamten Aufbaus berücksichtigt werden.
3.2.2 Entladekurve durch Selbstentladung des Kondensators
Um eine Vorstellung der Versuchsbedingungen zu bekommen, beschäftigen wir uns vor Versuchsbeginn damit,
wie schnell sich der Kondensator durch den Versuchsaufbau entlädt. Einen großen Teil der Entladung verursachen
die Kabel und das Elektrometer. Wenn wir später ein Dielektrikum zwischen die Platten schieben, müssen wir
eine Vorstellung davon haben, in welcher Zeit sich der Kondensator soweit entlädt, dass wir nicht mehr von
einem zeitlich konstanten Ladungsverteilung auf den Platten ausgehen können. Die Spannung soll bei einem
solchen Aufbau nach Möglichkeit nach Entfernen des Dielektrikums wieder auf den Ursprungswert ansteigen.
Um eine Abschätzung der Halbwertszeit machen zu können, laden wir die Platten mit einer Spannung von
U = 10, 0kV ± 0, 1kV auf. Das entspricht einer Größe von 6 auf der Skala des Elektrometers. Der Abstand der
Platten beträgt, wie im Abschnitt 2.2.2 beschrieben, d = 54, 5mm ± 2, 0mm. Nebenher lassen wir eine Stoppuhr
laufen und lesen die Zeit ab. Wir beobachten folgende Entladung:
22

Zeit [min]±1s Skala am Elektrometer ±0, 2
0 6
1 5,2
2 5,0
3 4,7
4 4,3
5 4,1
6 3,9
7 3,8
8 3,7
9 3,5
10 3,4
11 3,2
12 3,1
13 3,1
14 3,0
15 2,9
20 2,5
25 2,2
30 2,0
35 1,7
40 1,5
45 1,3
50 1,1
Tabelle 2: Entladung über Versuchsaufbau
Weiterhin wirkt sich die Luftfeuchtigkeit auf die Entladung aus. Deshalb achten wir bei jeder Versuchsdurch-
führung zusätzlich auf die Luftfeuchtigkeit, die Unterschiede in der Versuchsdurchführung bewirken könnte.
Während dieses Versuchs beträgt die Luftfeuchtigkeit im Raum zwischen 29% und 39%. Stellt man die Werte
aus Tabelle 2 grafisch dar, lässt sich ein exponentieller Abfall erkennen:
x − Abbildung 13: Entladung des Kondensators durch den Aufbau, Ausgleichsfit: f(x) = a · e b + c
Dieser Verlauf entspricht der Erwartung, dass die Entladung am Anfang am stärksten ist, da noch am meisten
Ladungen auf der Kondensatorplatte sind, die sich voneinander abstoßen. Der Vorgang der Entladung nimmt
dann immer mehr ab (siehe hierzu Formel (51)) Als physikalische Größe ist die Halbwertszeit interessant oder
23

die Zeit, in der sich die Werte auf 1
e
Nimmt man den Anfangswert von 6 an, ist die Halbwertszeit bei t 1
2
t 1
e
1 1
des Anfangswertes, in diesem Fall U(t) = U0 e = 6 · e = 2, 21, reduzieren.
= 14min erreicht; die zweite Annahme ist
= 22min. Das bedeutet, dass man in diesem Zeitraum gut eine Messung durchführen kann, ohne dass der
Spannungsabfall den Fehler der Messung zu stark vergrößert.
Bei späteren Versuchen hatten wir jedoch Probleme mit der Entladung des Kondensators. Innerhalb von weniger
als einer Minute entlädt sich der Kondensator um mehr als die Hälfte der ursprünglich angelegten Spannung. Das
führt dazu, dass wir das Dielektrikum nicht schnell genug zwischen die Platten schieben und wieder entnehmen
können und hieraus die Kapazitätsänderung durch das Dielektrikum bestimmen können. Es stellte sich heraus,
dass ein Austauschen des alten gegen ein neues Elektrometer zu einem Reduzieren der Selbstentladung führte.
Außerdem muss man auf die Kabel achten, dass diese frei hängend montiert sind, ohne den Versuchsaufbau
oder einander zu berühren.
3.2.3 Das Dielektrikum bei Niederspannung
Eine weitere Methode zur Messung einer Kapazität ist die Untersuchung des Entladeverhaltens eines geladenen
Kondensators. Für das Entladeverhalten eines Kondensators gilt im Allgemeinen:
t −
U = U0 · e τ (74)
Nehmen wir also die Spannung des Kondensators in Abhängigkeit der Zeit bei bekanntem Widerstand R, so
können wir daraus die Kapazität C ermitteln. Im folgenden Versuch untersuchen wir das Verhalten der Kapazität
des Kondensators, wenn wir das Dielektrikum ändern. Als solche verwenden wir die Umgebungsluft, unseren
Plexiglasbehälter gefüllt mit trockener Umgebungsluft, einen angefeuchteten Plexiglasbehälter und einen mit
Wasser gefüllten Plexiglasbehälter. Des Weiteren messen wir die Kapazität der Kabel und des Aufbaus ohne
den Kondensator. Das ist wichtig, weil unser Kondensator eine Kapazität in der Größenordnung ∼ 10 −11 F
(siehe Abschnitt 2.2.2) hat. Daher ist es durchaus notwendig, die Kapazität der Kabel zu kennen und zu
berücksichtigen. Der Versuchsaufbau soll durch folgende Grafik dargestellt werden: :
Abbildung 14: Schaltplan für die Entladekurve
Durch ein Rechtecksignal wird der Kondensator aufgeladen und entlädt sich anschließend wieder über den
Widerstand. Am Oszilloskop können wir uns diesen Entladevorgang genau anschauen. Um ein genaues Ablesen
des Bildes zu gewährleisten, verbinden wir das Oszilloskop mit dem Triggerausgang des Funktionsgenerators.
So ist garantiert, dass sich die Entladekurve immer an der selben Position befindet. Das Oszilloskop besitzt
eine Speicherfunktion, so können wir unsere Messwerte auf ein externes Medium speichern und später an einem
PC auswerten. Die folgende Tabelle enthält die Randbedingungen der Versuchsdurchführung. Wir betrachten
dabei einen Plattenkondensator mit einem Plattenabstand d = 25mm ± 0, 5mm Die Plattenfläche beträgt
A = 0, 053m². Die genauen Messwerte befinden sich im Anhang dieses Dokumentes.
Es werden zwei verschiedene Messungen mit feuchtem Plexiglas durchgeführt, damit untersucht werden kann, ob
ein vorheriges Polarisieren der Wassermoleküle eine Auswirkung auf das sich im Behältnis befindende Restwasser
24

Messung Luftfeuchtigkeit (±0, 5%) Temperatur ±0, 1[°C] Dielektrikum
1 41,4% 27,7 Umgebungsluft
2 41,7% 24,8 Plexiglas und Umgebungsluft
3 75% 24,8 feuchtes Plexiglas und Umgebungsluft
4 100% 24,8 feuchtes Plexiglas und gesättigte Umgebungsluft
5 100% 24,8 Plexiglas, Wasser und Umgebungsluft
6 100% 24,8 feuchtes Plexiglas und Umgebungsluft
7 nicht relevant 24,8 nur Kabel
Tabelle 3: Versuchsdurchführung
hat. Eine siebte Messung zeigt das Entladeverhalten ohne Kondensator. Nun werden die Werte des Oszilloskops,
also die jeweiligen CSV-Dateien, mit Gnuplot gezeichnet und über die Parameter a und b der Funktion
gefittet. Der Wert b der Formel (75) ist gleich dem Wert 1
RC
f(x) = a · exp(−b · x) (75)
der Formel (51). Der Wert für Widerstand R =
1MΩ±10% ist uns bekannt. Wir müssen bei unserer Berechnung nur berücksichtigen, dass der Innenwiderstand
des Oszilloskops Ri = 1MΩ±10% auch einen Beitrag zum Gesamtwiderstand beiträgt. Diese beiden Widerstände
sind parallel zueinander, somit berechnet sich der Gesamtwiderstand wie folgt:
1
=
Rges
1 1
+
R Ri
⇒ 1
=
Rges
1 1
+
1MΩ 1MΩ
(76)
(77)
⇒ Rges = 500kΩ (78)
Des Weiteren müssen wir beachten, dass wir in der Formel ( 75) die Gesamtkapazität der Schaltung betrachten.
Da uns aber nur die Kondensatorkapazität interessiert, müssen wir zunächst die Kapazität der Verkabelung
untersuchen. Hierfür verwenden wir die siebte Messung, in der wir nur die Entladekurve aufgenommen haben,
die sich ergibt, wenn der Kondensator aus der Schaltung entfernt wird. Hier können wir ohne Weiteres zu
beachten auch die Formel ( 75) anwenden, um die Kapazität der verwendeten Kabel zu berechnen. Dieser Fit
sieht wie folgt aus:
25
(79)

Abbildung 15: Fit der Entladekurve der Kabel
Für das b erhalten wir einen Wert von b= 43952, 2 1
s , somit errechnen wir eine Kabelkapazität von:
⇒ C =
=
b = 1
RC
1
RX
1
500kΩ · 43952, 2 1
ΩF
= 45, 5pF
Da wir nun die Kapazität der Kabel kennen, können wir auch die Kapazität unserer verschiedenen Dielektrika
bestimmen. Aus der Formel (80) und der Tatsache, dass die beiden Kapazitäten parallel zueinander geschaltet
sind, erhalten wir folgenden Zusammenhang:
1
b =
Rges(C0 + CK)
1
⇒ CK = − C0
Rges · b
Verwenden wir diese Formel mit unserem gemessenen b, erhalten wir die folgenden Werte:
26
(80)
(81)
(82)
(83)

Messung b [ 1
ΩF ] C [F] ±5%
1 25149,2 ±0, 156% 3,40·10−11 2 26686,6 ±0, 1674% 2,94·10−11 3 26381,0 ±0, 1581% 3,03·10−11 4 26561,3 ±0, 1557% 2,97·10−11 5 7044,3 ±0, 1045% 2,39·10−10 6 25750,8 ±0, 2069% 3,21·10−11 7 43952,2 ±0, 2864% 4,55·10−11 Tabelle 4: Messergebnis
Wir erkennen, dass sich alle Kapazitäten in der Größenordnung von ca. 3, 2 · 10 −11 F befinden. Die einzige
Ausnahme ist die Messung 5. Hier beobachten wir eine enorme Abweichung der Kapazität. Da während des
Versuchs Plattenfläche und Plattenabstand konstant geblieben sind, muss sich nach der Formel 1 die Dielek-
trizitätskonstante geändert haben. Diese können wir nun errechnen:
ɛ =
d · C
ɛ0 · A
⇒ ɛ = 2, 39 · 10−10 · 0, 025m
ɛ0 · 0, 0511m 2
⇒ ɛ = 13, 2
Dies ist die Dielektrizitätskonstante unseres Dielektrikums. Dabei ist zu berücksichtigen, dass es sich hierbei
um eine Reihenschaltung von Kondensatoren handelt, da wir drei Materialschichten in unserem Dielektrikum
besitzen.
Zusammenfassend können wir sagen, wir haben die Entladekurven unseres Plattenkondensators aufgenommen
und dabei bei jeder Messung das Dielektrikum geändert. Der direkte Vergleich der Messergebnisse zeigt, dass
sich die Kapazität des Kondensators, gefüllt mit trockener oder feuchter Umgebungsluft in unserem Behälter,
nur minimal verändert. Füllen wir jedoch unseren Behälter mit Wasser, erkennen wir einen sichtbaren Anstieg
der Kapazität. Auch die Überlegung, dass es einen Unterschied machen könnte, ob das Wasser, welches den
Behälter befeuchtet, vorher schon einmal in einem elektrischen Feld war, werden durch unsere Messergebnisse
widerlegt. Vergleichen wir unsere Ergebnisse der Dielektrizitätskonstanten mit den Werten diverser Lehrbücher
(z.B Halliday), erkennen wir teilweise auch erhebliche Abweichungen. So erhalten wir für den mit Wasser ge-
füllten Kondensator eine Dielektrizitätskonstante von ɛ = 13, 2. Wenn wir bedenken, dass sich um das Wasser
herum zu jeder Seite eine 2mm dicke Plexiglasscheibe befindet, erwarten wir einen Wert der Dielektrizitätskon-
stante um 30. Nehmen wir den Literaturwert der Dielektrizitätskonstante von Plexiglas, nämlich 3,4 , erhalten
wir durch folgende Rechnung die Dielektrizitätskonstante von Wasser.
27
(84)
(85)

⇒
1
CW asser
=
1
Cges
=
⇒
⇒
1
CP lexi
1
+
=
1
CW asser
2
+
+ 1
CP lexi
Cges CP lexi CW asser
1
CW asser
= 1
−
Cges
2
CP lexi
1
CW asser
1
2, 39 · 10 −10 F −
1
= 1 2 · d
−
Cges ɛ0ɛ · A
0, 002m · 2
ɛ0 · 3, 4 · 0, 0511m 2
⇒ CW asser = 6, 32 · 10 −10 F
⇒ (nach( 84))ɛW asser = 29, 7
Diese Abweichung lässt sich damit erklären, dass es sich bei unseren Messungen nicht um einen unendlich
ausgedehnten Kondensator handelt, sodass wir von einem Streufeld ausgehen müssen.
Letztlich können wir aus unseren Ergebnissen festhalten, dass bei feuchter Luft und einem mit Wasser als
Dielektrikum zwei völlig unterschiedliche Kapazitäten zustande kommen. Hiermit stellen wir also fest, dass
der Effekt, der gleichen Kapazität bei feuchtem und befülltem Behälter, mit unseren Bedingungen und einer
Niederspannung von ca. 10V nicht reproduzierbar ist.
3.2.4 Das Dielektrikum bei Hochspannung
In diesem Versuchsteil gilt es, mithilfe einer Hochspannungsquelle unseren Plattenkondensator aufzuladen und
die Abschwächung der Spannung bei Einführen eines Dielektrikums unter Zuhilfenahme eines Elektrometers zu
ermitteln. Dabei entnehmen wir dem Elektrometer die untenstehenden Werte, die qualitativ für die Spannung
stehen (Tabelle 4 bis 6).
Die Versuchsanordnung sieht wie folgt aus:
Abbildung 16: Schaltskizze Dielektrikum bei Hochspannung
Zunächst laden wir mit Hochspannung die Kondensatorplatten auf und lesen den angezeigten Wert auf dem
Oszilloskop ab. Der ermittelten Größe eine Einheit zuzuweisen, erscheint als wenig sinnvoll, da am Elektrometer
nur relative Größen abgelesen werden können. Als nächstes führen wir das Dielektrikum ein und lesen erneut
den angezeigten Wert ab. Schließlich entfernen wir das Dielektrikum. Die Bezeichnung “feucht” bezieht sich auf
das Dielektrikum, welches zuvor mit Wasser gefüllt war und aus dem das Wasser entfernt worden ist, sodass die
Wände noch benässt sind und die Luftfeuchtigkeit ca. 100% entspricht.
Für den Versuch haben wir zwei Dielektrika aus Plexiglas hergestellt. Dazu wurden jeweils zwei Plexiglasscheiben
in unterschiedlichen Abständen voneinander mithilfe von Silikon fixiert. Auch nach mehreren Versuchen gelang
es uns nicht, die Dielektrika vollständig abzudichten. Es trat immer, wenn auch nur sehr wenig, Wasser aus.
28
(86)

Auf die Dielektrizitätszahl sollte dies keinen nennenswerten Einfluss haben, insbesondere, da die ermittelten
Werte am Elektrometer nur sehr grobe Werte darstellen. Wir führten eine ganze Reihe von Versuchsdurchläufen
durch. Wäre der beschriebene Effekt auftreten, so hättem wir erwartet, dass die Abschwächung der Spannung
mit Wasser (destilliertes bzw. Leitungswasser) als Dielektrikum in der Größenordnung derjenigen liegt, die mit
dem halbtrockenen Dielektrikum bewirkt wird. Wir erhalten folgende Messergebnisse:
eingesetztes Dielektrikum Skala am Elektrometer ±0, 2
ohne Dielektrikum mit Dielektrikum ohne Dielektrikum nach Herausziehen
destilliertes Wasser
7,0
8,0
4,4
5,1
6,2
7,8
Leitungswasser
7,0
7,0
5,5
6,0
6,8
7,0
feucht 8,0 7,0 7,0
ohne Wasser
7,5
7,0
5,5
6,0
7,5
7,0
8,0 7,9 7,9
eine Scheibe Plexiglas
8,0 7,9 7,9
7,0 3,0 6,9
Tabelle 5: Messergebnisse 1. Durchlauf (02.07.2012)
eingesetztes Dielektrikum ohne Dielektrikum [±0, 2] mit Dielektrikum[±0, 2] nachher [±0, 2]
dünnes Dielektrikum ohne Wasser
dünnes Dielektrikum mit Wasser
5 4,5 —
7 5 —
7 5 6
7 4 4
7 4 6
Tabelle 6: Messergebnisse 2. Durchlauf (05.07.2012)
eingesetztes Dielektrikum ohne Dielektrikum [±0, 2] mit Dielektrikum[±0, 2] nachher [±0, 2]
dickes Dielektrikum mit Wasser
dickes Dielektrikum halbtrocken
7 5 6,5
7 4 7
7 4,5 6
7 5,5 6
7 5,5 6,5
Tabelle 7: Messergebnisse 3. Durchlauf (05.07.2012)
Wie den Zahlenwerten zu entnehmen ist, lässt sich eine geringfügige Abnahme der gemessenen Ladungen (in
Größenordnungen von 0,5 Skalenteilen) nach Herausziehen des Dielektrikums erkennen. Dies ist durch die Ent-
ladung an der Luft oder doch mögliche Kontakte mit der Kondensatorfläche zu erklären. Die Abnahme der
Spannung nach Einführen des halbtrockenen Dielektrikums in den Kondensator ähnelt den Werten, die mit
dem trockenen Dielektrikum erzielt wurden. Dennoch können wir auch einmal mit dem trockenen Dielektrikum
eine Abschwächung von 7,5 auf 5,5 erkennen. Dass der Wert nach Herausziehen des Dielektrikums geringer ist
als vor dem Einführen, liegt daran, dass sich die Versuchsapparatur bereits zu einem Teil wieder entladen hat.
Gerade die relativ hohe Luftfeuchtigkeit ist daran maßgeblich beteiligt.
Alles in allem zeigt dies, wie fehlerbehaftet die Messungen sind und dass eine Aussage zu treffen sich als merklich
schwierig erweist. Festzuhalten ist, dass wir den beschriebenen Effekt auch bei Hochspannung nicht erkennen
können.
29

4 Fehlerrechnung
Zu 2.2.2
Für den Fehler des Radius nehmen wir ∆r = ±2mm an. Der Fehler der Kondensatoroberfläche beträgt:
∆A =
� �∂A
∂r ∆r
� 2
(87)
∆A = 2πr · ∆r (88)
∆A = 2π · 130mm · 2mm ≈ 2000mm 2
30
(89)

5 Fazit und Ausblick
Zum Abschluss dieses Versuchs lässt sich sagen, dass wir uns mit der Wirkungsweise des Dielektrikums Wasser
in einem Plattenkondensator beschäftigt haben und experimentell auf die Auswirkungen eingehen konnten. Zur
Bestimmung der verschiedenen Kondensatorkapazitäten, unter anderem abhängig vom Dielektrikum und der
Versuchsmodifikation, sind wir auf verschiedene Methoden, deren Vor- und Nachteile und Bedingungen einge-
gangen. Über einen Niederspannungsaufbau haben wir durch die Entladekurve über einen Widerstand die un-
terschiedlichen Kapazitäten verifizieren können. Einen weiteren elektronischen Aufbau, den LCR-Schwingkreis,
haben wir aus Gründen der begrenzten Zeit nicht durchgeführt und ausprobiert. Hierin könnte eine Fortführung
des Versuchs bestehen.
Den Originalaufbau mit Hochspannung haben wir im Rahmen unsres Experimentes erneut aufgebaut und getes-
tet. Jedoch konnten wir nicht zur selben, in der Einleitung beschriebenen, Beobachtung gelangen. Die Gründe
hierfür könnten in einem geringfügig abweichenden Aufbau oder einer etwas anderen Durchführung liegen. Zur
Rekonstruktion der Randbedingungen testeten wir den Aufbau dann im selben Raum mit dem Ergebnis: Auch
hier beobachteten wir keine außergewöhnliche Stärke der Abschwächung der Kondensatorspannung mit dem
feuchten Behälter zwischen den Kondensatorplatten. Der größte Unterschied zum damaligen Aufbau besteht
jedoch mit großer Sicherheit in dem Behältnis. Das in der Vorlesung verwendete hatte eine schlägerartige, runde
Form. Unser neues, selbst gebautes Behältnis ist jedoch rechteckig und schließt nicht im, sondern außerhalb des
Kondensators ab. Außerdem besteht es aus handelsüblichem Plexiglas. Über das für das ursprüngliche Gefäß
verwendete Material können wir nur mutmaßen. Alle genannten Faktoren, Ergebnisse sowie Schwierigkeiten
haben zu unserem Versuchsverlauf geführt. Dennoch wäre es interessant, weiter zu experimentieren und auch
zu überlegen, worin der Unterschied zwischen dem damaligen und unserem Versuch besteht, sodass es zu den
unerwarteten und bis jetzt unerklärten Beobachtungen kommen konnte.
31

Literatur
[1] Dielektrikum. http://de.wikipedia.org/wiki/Dielektrikum, 9 2012.
[2] Luftfeuchte. http://de.wikipedia.org/wiki/Luftfeuchtigkeit, 9 2012.
[3] Permitivität. http://de.wikipedia.org/wiki/Permittivität, 9 2012.
[4] Plattenkondensator. http://de.wikipedia.org/wiki/Kondensator_(Elektrotechnik), 9 2012.
[5] Wolfgang Demtröder. Experimentalphysik 2. Springer, 1999.
[6] Gene Mosca Paul A. Tipler. Physik für Wissenschaftler und Ingenieure 1.Auflage. Elsevier GmbH München,
2004.
32