M 10 Drehschwingung / Resonanz

M 10 Drehschwingung / Resonanz
1. Aufgaben
1. Die Eigenkreisfrequenz � o eines nahezu ungedämpften Pohlschen Drehpendels
ist zu bestimmen.
2. Für eine bestimmte, mittels Wirbelstrombremse zu realisierende Dämpfung
ist die Dämpfungskonstante � des Drehpendels zu bestimmen.
3. Bei der gleichen Dämpfung ist die Amplitudenresonanzkurve des Pohlschen
Drehpendels aufzunehmen und graphisch darzustellen. Die Resonanzüberhöhung
ist anzugeben.
2. Grundlagen
2.1 Allgemeine Grundlagen
Literatur: z. B. H. Stroppe, Physik für Studenten der Natur- und Technikwissen-
schaften, Fachbuchverlag Leipzig
2.2 Freie Schwingungen eines linearen Federschwingers
Schwingungen spielen in Naturwissenschaft und Technik eine wichtige Rolle. Bei
vielen mechanischen Schwingungssystemen muß man die Schwingungsparameter
kennen, um Resonanzerscheinungen ausnutzen bzw. ausschließen zu können
(Maschinen, Fundamente, Fahrzeuge).
Schwingungen einfacher mechanischer Systeme lassen sich anschaulich untersuchen
und sind für die Begriffsbildung zu Schwingungen anderer physikalischer
Natur von Bedeutung.
Ein einfacher linearer Federschwinger (Abb. 1) besteht aus einer Schraubenfeder
mit der Federkonstanten c und einem festen Körper der Masse m. Lenkt man den
1

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Abb. 1: Linearer Federschwinger
(1)
auf ihn ein (lineares Kraftgesetz für eine Feder). Andererseits gilt das Newtonsche
Grundgesetz
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
2
Abb. 1
Linearer Federschwinger
Körper aus der Ruhelage um die Strecke x (Elongation) aus, dann wirkt die Feder
mit einer rücktreibenden Kraft
Aus (1) und (2) folgt die Bewegungsgleichung der ungedämpften harmonischen
Schwingung:
Die Lösung dieser Differentialgleichung lautet (durch Einsetzen in die Differentialgleichung
überprüfen)
Die Kreisfrequenz � o berechnet sich über die Beziehung
o o
der Zusammenhang mit der Frequenz f und der Schwingungsdauer T der harmonischen
Schwingung ergibt sich aus

Drehschwingung/Resonanz M 10
Die Amplitude x ound der Nullphasenwinkel � ofolgen
aus den Anfangsbedingungen
der einmal angestoßenen Schwingung (Abb. 2a).
Da stets Reibung auftritt, muß in (3) eine weitere Kraft berücksichtigt werden.
Reibungskräfte können vielfach bei langsamen Bewegungen in einem bremsenden
Medium der Geschwindigkeit (dx/dt) proportional und ihr entgegengesetzt betrachtet
werden: F = -� dx/dt. Anstelle von (3) ist dann
(7)
(8)
(9)
(10)
R
zu schreiben. Nach Division durch m erhält man mit (5) die Differentialgleichung
einer gedämpften freien Schwingung
Die Dämpfungskonstante � berechnet sich nach � =ß/2m. Die allgemeine Lösung
dieser Differentialgleichung ist Mathematik-Lehrbüchern zu entnehmen. Drei
grundsätzliche Fälle sind zu unterscheiden:
Im Schwingfall erhält man als Kreisfrequenz � der gedämpften freien Schwingung
(Abb. 2b)
die Elongation (Auslenkung) genügt der Beziehung
Die Gl. (10) beschreibt eine Schwingung, deren "Amplitude" exponentiell (mit
-� t
e ) abnimmt.
Der Kriechfall (Abb. 2c) ist durch eine starke Dämpfung (� o < �) gekennzeichnet,
die anfängliche Auslenkung geht nur langsam auf Null zurück.
Im aperiodischen Grenzfall (Abb. 2d) hat die Dämpfungskonstante � gerade den
Wert der Kreisfrequenz � o (d.h. � o = �), die Auslenkung geht schnell in die Ruhelage
zurück, ohne daß eine Schwingung auftritt.
3

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ungedämpfte Schwin-
gung, � = 0
gedämpfte Schwingung
� > �
o
Kriechfall
� < �
o
aperiodischer Grenzfall
� = �
o
(dargestellt sind die
Bewegungsverläufe für
unterschiedliche An-
fangsgeschwindigkei
Abb. 2: Bewegungsverläufe des einfachen linearen Schwingers bei verschie-
denen Dämpfungen
ten)

Drehschwingung/Resonanz M 10
2.3 Erzwungene harmonische Schwingungen
Unterliegt der betrachtete lineare Federschwinger einer harmonischen antreibenden
Kraft F o sin � t, so führt er nach einem Einschwingvorgang erzwungenen harmo-
nische Schwingungen aus. F und � sind hier die Amplitude und die Kreisfrequenz
(11)
(12)
(13)
(14)
o
der antreibenden Kraft. Die Differentialgleichung lautet nun
Als Lösung für den eingeschwungenen Zustand ergibt sich
mit der Amplitude
und der Phasenverschiebung � der erzwungenen Schwingung gegenüber der Phase
der Erregung mit
Die Amplitudenresonanzkurven (13) für verschiedene Dämpfungskonstanten �
zeigt Abb. 3a. Für niedrige Frequenzen � < � folgt der Schwinger fast phasen-
gleich der Erregung (� � 0). Seine Amplitude ergibt sich aus (13) zu x = F /� m
o
o o o
2
= F /c, als läge nur eine statisch wirkende Kraft F vor. Mit zunehmender Frequenz
o o
steigt (bei nicht zu großer Dämpfung) die Amplitude der erzwungenen Schwingung
bis zu einem Maximum bei � � � o und fällt für sehr hohe Frequenzen � � � o auf
Null ab. Man beobachtet die charakteristische Erscheinung der Resonanz. Bei
geringer Dämpfung werden bei kleinen Erregungen und � � � o sehr große Amplituden
erreicht, ohne Dämpfung sogar unendlich große. Gegebenenfalls tritt eine
Zerstörung des Schwingsystems auf (Resonanzkatastrophe). Im Resonanzfall liegt
nach (14) bei � = � o eine Phasenverschiebung von �/2 vor (Abb. 3b).
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Abb. 3: a) Amplitudenresonanzkurven für verschiedene Dämpfungen
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b) Phasenresonanzkurven für verschiedene Dämpfungen; unabhängig
von � liegt bei � = � o eine Phasenverschiebung von � = �/2 vor

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2.4 Übertragung auf andere schwingungsfähige Systeme
Die für den linearen Federschwinger aufgestellten Beziehungen lassen sich auf
andere schwingungsfähige Systeme übertragen, wenn die zugehörigen Differentialgleichungen
analog aussehen. Das gilt nicht nur für andere mechanische Systeme,
wie bei Schwingungen einer Flüssigkeitssäule
in einem U-Rohr (Abb. 4a) oder für
die Schwingungen eines mechanischen Drehschwingers
(Abb. 4b), sondern auch für elektrische
Schwingungen. Die Differentialgleichung
für die elektrische Stromstärke I in
einem frei schwingenden Reihenschwingkreis
(Abb. 4c) lautet z. B.
Abb. 4a: Schwingung einer Flüssig-
keitssäule in einem U-Rohr
Abb. 4b:
Pohlsches
Drehpendel
7

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Voraussetzung für harmonische
Schwingungen ist in jedem Fall,
daß die rückstellende "Kraft"
linear mit der Auslenkung
wächst. Für die einfache analyti-
Abb. 4c: Elektrischer Reihenschwingkreis sche Lösbarkeit der Differentialgleichung
ist es ferner notwendig,
daß der dämpfende Term linear von der ersten Ableitung der schwingenden Größe
abhängt. Für die erregenden "Kräfte" gilt vielfach eine harmonische Zeitabhängigkeit.
Das sind Bedingungen, die bei vielen technisch interessanten Schwingungsproblemen,
insbesondere für kleine Elongationen, erfüllt sind. Deshalb ist es wichtig,
die vorangehenden Darstellungen zu verstehen. Sind diese Voraussetzungen
nicht mehr erfüllt, dann erscheinen wesentlich kompliziertere Bewegungsformen, z.
B. nichtlineare Schwingungen, bis hin zu chaotisch-determinierten Bewegungen.
Solche Schwingungen/Bewegungen treten sehr häufig auf und werden derzeit mit
starkem wissenschaftlichen Interesse verfolgt.
2.5 Drehschwingungen
Ein starrer Körper kann sich um eine raumfeste Achse durch seinen Massenmittelpunkt
drehen (Abb. 4b). Bezüglich dieser Achse besitzt er das Massenträgheitsmoment
J. Eine Spiralfeder übt bei Auslenkung aus der Ruhelage ein rücktreibendes
Moment aus, das dem Drehwinkel proportional, aber entgegengerichtet ist:
(15)
Die Proportionalitätskonstante D bezeichnet man als Direktionsmoment (Richtmoment,
Winkelrichtgröße). D ist die "Federkonstante" der Spiralfeder (Achtung:
andere Dimension und Einheit als c bei einer Schraubenfeder). Analog zum
Newtonschen Grundgesetz für die Translation gilt für die Rotation
(16)
8

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und mit (15) folgt sofort
(17)
Die Analogie zu (3) ist unschwer erkennbar. Für die weiteren Überlegungen muß
man in den entsprechenden Gleichungen nur Ersetzungen nach dem Schema
vornehmen. So gilt für die Eigenkreisfrequenz ganz analog zu (5)
(18)
und für die Frequenz der gedämpften Schwingung folgt wieder (9).
Im Praktikum sollen die erzwungenen Drehschwingungen an einem Pohlschen
Drehpendel untersucht werden (Abb. 4b). Die bei freien Schwingungen feste
Einspannung der Spiralfeder wird über Schubstange, Getriebe und Motor harmonisch
bewegt. Das antreibende Moment genügt der Beziehung
Die Dämpfung wird durch eine Wirbelstrombremse bewirkt: Ein Teil des Metallrades
läuft durch das Feld eines (Elektro)Magneten. Die Elektronen im Rad erfahren
eine Lorentzkraft und werden senkrecht zur Feld- und zur Bewegungsrichtung
des Rades abgelenkt. Der Stromkreis schließt sich über den feldfreien Teil des
Rades. Dadurch entsteht ein geschlossener Wirbelstromkreis, dessen Magnetfeld
seiner Ursache, der Bewegung des Rades im äußeren Magnetfeld, entgegenwirkt
(Lenzsche Regel). Letztlich entsteht so ein (winkel)geschwindigkeitsproportionales
bremsendes Drehmoment, dessen Stärke durch das äußere Magnetfeld und somit
über die Stromstärke im Elektromagneten eingestellt werden kann.
9

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3. Hinweise zur Versuchsdurchführung und -auswertung
Das Versuchsziel besteht im Studium der Gesetzmäßigkeiten erzwungener Dreh-
schwingungen. Das Drehschwingungssystem wird durch ein Pohlsches Drehpendel
realisiert (Abb. 4b). Die Erregung erfolgt durch einen Elektromotor veränderlicher
Drehzahl. Mit einer Wirbelstrombremse kann eine elektromagnetische Dämpfung
(Dämpfungskonstante � I)
entsprechend der gewählten Stromstärke I variabel
eingestellt werden.
Für die statischen Messungen zu Aufgabe 1 und 2 muß die Schubstange zwischen
Spiralfeder und Exzenterscheibe am Motor so stehen, daß sich der Ablesezeiger am
Pendel genau in Nullstellung befindet.
zu Aufgabe 1:
Die Eigenkreisfrequenz � o des Systems wird durch Ausmessen der Schwingungsdauer
T der freien (fast) ungedämpften Schwingung ermittelt (5 Wiederholungs-
messungen zu je 10 Schwingungen bei Elongationen von ca. 90°). Die Berechnung
von � o erfolgt mit (6).
Man überlege sich, wie das Direktionsmoment D der Spiralfeder und das Massen-
trägheitsmoment J des Rades bestimmt werden könnten.
zu Aufgabe 2:
Die Dämpfungskonstante der Wirbelstrombremse ermittelt man für die in der
Platzanleitung genannte Stromstärke: Für die freie Schwingung des Pohlschen
Drehpendels gilt
(19)
Die maximalen Auslenkungen � m des Pendels sind zu den Zeiten t m zu beobachten.
Wegen sin (� t + � ) = 1 gilt für ihre exponentielle Abnahme
(20)
10
m o

Drehschwingung/Resonanz M 10
Das Verhältnis der maximalen Auslenkungen zweier aufeinanderfolgender Schwin-
gungen ergibt sich wegen t m+1 = t m + T zu
(21)
Die Größe k bezeichnet man als Dämpfungsverhältnis; sie ist eine Konstante.
Logarithmiert man (20), so ergibt sich mit
(22)
ein linearer Zusammenhang zwischen ln � m und t m. Da sich die Zeiten t m bei
schnellem Schwingungsablauf mit der Stoppuhr schlecht erfassen lassen, empfiehlt
sich zur Bestimmung der Dämpfungskonstante eine andere Methode: Da die Zeiten
t m stets um eine Periodendauer T auseinander liegen, kann man anstelle von (22)
auch schreiben
(23)
In einer Darstellung von ln � m über m ergibt sich eine Gerade mit dem Anstieg
-�T, dessen Wert man z. B. durch lineare Regression bestimmen kann. Daraus läßt
sich nach Messung von T die Dämpfungskonstante � ermitteln.
Zur Realisierung der Dämpfung ist an der Stromquelle für den Elektromagneten die
in der Platzanleitung genannte Stromstärke zu wählen.
zu Aufgabe 3:
Die Einstellung der Erregerfrequenz � erfolgt durch Variation der Spannung am
Elektromotor (konkrete Angaben in der Platzanleitung). Der exakte Wert von � ist
jeweils aus der Periodendauer T zu bestimmen (10 Schwingungen ausmessen). Zur
möglichst genauen Messung der Amplituden � o ist nach jeder Änderung der
Erregerfrequenz das Abklingen des Einschwingvorganges abzuwarten. Bei schwa-
cher Dämpfung kann das Abklingen einige Minuten erfordern. In Resonanznähe
macht sich das Einschwingen als Schwebung besonders stark bemerkbar. Man
o
beachte, daß die Resonanzstelle nicht genau bei � liegt, sondern sich mit wachsender
Dämpfung wegen (13) zu kleineren �-Werten verschiebt (s. a. Abb. 3a).
11

M 10 Drehschwingung/Resonanz
Grafisch darzustellen ist � o über �. Anzugeben ist die Resonanzüberhöhung r =
� /� , d. h. das Verhältnis zwischen der Amplitude � des Schwingers im
12
max err max
Resonanzfall zur erregenden Amplitude � . Den Wert für � kann man bei ausge-
err err
schaltetem Motor beim langsamen Durchdrehen der Exzenterscheibe mit der Hand
bestimmen. Theoretisch ergibt sich für nicht zu große Dämpfungen r � � o/(2
�),
d. h., bei zwei verschiedenen Dämpfungen gilt r 1/r 2 � � 2/� 1.
4. Schwerpunkte für die Vorbereitung auf das Praktikum
- Begriffe: harmonische Schwingungen; freie, gedämpfte, erzwungene Schwin-
gungen; Frequenz, Kreisfrequenz, Eigenkreisfrequenz, Massenträgheitsmo-
ment, Direktionsmoment (Winkelrichtgröße), Resonanz
- Gesetze: Newtonsches Grundgesetz, lineares Kraftgesetz für Federn, Diffe-
rentialgleichungen der harmonischen Schwingungen von Drehschwingern
und deren Lösungen
- Bestimmung von Schwingungsdauern und Dämpfungskonstanten
- Funktion der Wirbelstromdämpfung