BAUSTATIK 1

S-2-02/2004
BAUSTATIK 1
Geschichtliche Entwicklung | Grundlagen | Verformungsberechnung
| Statisch unbestimmte Systeme | Kraftgößenmethode | Deformationsmethode
| Matrix Stiffness Method | Räumliche Systeme
Gernot Beer
Institut für Baustatik
Technische Universität Graz
Forschungsberichte | Diplomarbeiten | Skripten | Vorträge/Tagungen

Vorwort
Die Vorlesung ist eine Einführung in jene baustatischen Methoden, welche
die Berechnung von zwei- und dreidimensionalen Tragwerken ermöglichen.
Dabei wird vor allem auf Stabtragwerke und computerunterstützte Berechnungsmethoden
eingegangen. Die Vorlesung baut auf die Lehrveranstaltung
auf, in der statisches Verständnis und die Berechnung statisch bestimmter
Tragwerke vermittelt werden.
Ziel der Vorlesung ist es, dem zukünftigen Bauingenieur das notwendige Rüstzeug
zu vermitteln um allgemeine Tragwerke berechnen zu können. Besonderes Augenmerk
wird auf Matrizenmethoden gelegt, die Grundlage moderner EDV-Programme
sind. Traditionelle Methoden der Baustatik, die noch vor der EDV für die
Berechnung mit dem klassischen Rechenschieber entwickelt wurden, werden
ebenso behandelt, da sie bei der Kontrolle von EDV-Berechnungen und für das
baustatische Verständnis notwendig sind.
Dem zukünftigen Bauingenieur soll vermittelt werden, daß einerseits die EDV in
der Baustatik die Möglichkeiten der Berechnung erhöht hat, daß man aber andererseits
den Resultaten der EDV immer kritisch gegenüberstehen muß.
Die eigentliche Aufgabe eines Bauingenieurs besteht im Entwurf und in der Konstruktion
- die Baustatik ist immer nur ein Hilfsmittel - es ist deshalb unumgänglich
nicht nur mathematisch, sondern auch bildhaft zu denken. Deswegen wird, um
das vermitteln zu können, neben der mathematischen Erläuterung
der baustatischen Methode der Rechenvorgang auch in Bildern gezeigt.
In dem Bestreben, den Umfang des vorliegenden Skriptums möglichst klein zu
halten, werden zu den einzelnen behandelten baustatischen Methoden nur wenige
markante Anwendungen gezeigt, und zwar gerade nur so viele, wie es zur Erläuterung
der Theorie erforderlich ist. Der Student wird sich selbstverständlich noch mit
weiteren Beispielrechnungen befassen müssen, um diesen Stoff zu beherrschen.
Ein Vorlesungsskriptum kann keine umfassende Darstellung der Zusammenhänge
beinhalten, deshalb wird auch auf die einschlägige Fachliteratur verwiesen. Dem
Baustatik 1

Baustatik 1
Vorwort
Studierenden möge klar sein, daß der Besuch der Vorlesung durch das Studium
dieses Skriptums nicht ersetzt werden kann, es soll den Hörer lediglich davon
befreien, den Lehrstoff mitzuschreiben, sodaß er sich besser auf den Inhalt der
Vorlesung konzentrieren kann.
Zuletzt sei noch gesagt, daß der Student nicht nur für die Prüfung lernt, sondern für
seine eigene Fähigkeit, die Probleme der Zukunft mit Sachverstand zu lösen.
Vorschläge für Verbesserungen dieses Skriptums werden am Institut für Baustatik
stets dankbar entgegengenommen und bei Neuauflagen soweit wie möglich
berücksichtigt.
Graz, im Februar 2002 O. Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. techn. Gernot Beer

Inhaltsverzeichnis
Verzeichnis häufig vorkommender Bezeichnungen
1 Die geschichtliche Entwicklung der Baustatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-1
2 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-1
2.1 Kraftgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-1
2.1.1 Äußere Kraftgrößen (Lastgrößen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-1
2.1.2 Innere Kraftgrößen (Schnittkräfte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-3
2.2 Verformungsbedingungen (Kinematik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-6
2.2.1 Verträglichkeit (Kompatibilität) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-6
2.2.2 Normalhypothese nach Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-7
2.2.3 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-9
2.2.4 Krümmung ebener Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-10
2.3 Werkstoffgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-11
2.3.1 Hooke´sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-11
2.3.2 Spannungs-Dehnungs-Diagramm für Stahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-12
2.3.3 Idealisierte Spannungs-Dehnungs-Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-13
2.3.4 Voraussetzungen für lineare Statik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-13
2.4 Weggrößen eines ebenen Biegestabes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-15
2.4.1 Äußere Weggrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-15
2.4.2 Innere Weggrößen (Verzerrungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-16
2.4.3 Kinematische Beziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-26
2.4.4 Hooke´sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-27
2.5 Formänderungsarbeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-28
2.5.1 Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-28
2.5.2 Äußere Formänderungsarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-29
2.5.3 Innere Formänderungsarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-33
2.6 Energiesätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-40
2.6.1 Energiesatz der Mechanik (Arbeitssatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-40
2.6.2 Prinzip der virtuellen Arbeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-40
2.6.3 Satz von Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-47
2.6.4 Satz von Betti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-52
2.6.5 Satz von Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-54
2.6.6 Prinzip von Müller-Breslau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-56
2.7 Integrationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2-57
Baustatik 1

Baustatik 1
Inhaltsverzeichnis
2.7.1 Analytische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-57
2.7.2 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-58
2.7.3 Tabellarische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-60
3 Verformungen ebener elastischer Tragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-1
3.1 Berechnung von Biegelinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-1
3.1.1 Geometrische Beziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-1
3.1.2 Differentialgleichungen ebener, gerader Stabelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-2
3.1.3 Analytische Integration der Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-3
3.1.4 Die Analogie nach Mohr (1868) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-5
3.1.5 Querkraftverformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-11
3.2 Verformungen einzelner Tragwerkspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-14
3.2.1 Statisch bestimmte Tragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-14
3.2.2 Statisch unbestimmte Tragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-23
3.3 Ermittlung der Biegelinie über Winkeländerungen (W-Gewichte) . . . . . . . . . . 3-27
3.3.1 Anmerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-27
3.3.2 Berechnung der Biegelinie über Sehnenknickwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-28
3.3.3 Berechnung der Biegelinie über Winkelgewichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-33
3.4 Graphische Bestimmung bei Fachwerken (Williot-Verschiebungsplan) . . . . . 3-42
3.4.1 Stäbe an ein festes Auflager angeschlossen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-42
3.4.2 Fachwerkstäbe an kein festes Auflager angeschlossen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-43
3.4.3 Verschiebungspläne ganzer Fachwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-44
4 Statisch unbestimmte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-1
4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4-1
4.1.1 Statisch bestimmtes Grundsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-1
4.1.2 Kinematisch bestimmtes Grundsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-2
4.2 Gegenüberstellung des Kraftgrößen- und Weggrößenverfahrens . . . . . . . . . . . 4-3
5 Kraftgrößenmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-1
5.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5-1
5.2 Einführung in das Kraftgrößenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-2
5.2.1 Träger und Rahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-2
5.2.2 Fachwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-14
5.2.3 Mehrfach statisch unbestimmte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-20
5.3 Vorgangsweise bei statisch unbestimmten Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-23
5.4 Grundregeln für die Wahl des statisch bestimmten Grundsystems . . . . . . . . . 5-24
5.5 Verformungsberechnung an statisch unbestimmten Systemen . . . . . . . . . . . . 5-30
5.5.1 Reduktionssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-30
5.5.2 Superposition von Weggrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-35
5.6 Einflußlinien an statisch unbestimmten Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-36
5.6.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-36
5.6.2 Berechnung von Einflußlinien für Schnittkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-37
5.6.3 Bestimmung von Schnittkrafteinflußlinien mit Hilfe der
kinematischen Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-41
5.7 Berechnung von Einflußlinien für Weggrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-45
6 Deformationsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-1

Inhaltsverzeichnis
6.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-1
6.1.1 Diskretisiertes Tragwerksmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-1
6.1.2 Kinematische Unbestimmtheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-2
6.1.3 Zusammenhang zwischen Kraft- und Weggrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-3
6.1.4 Definition der inneren Kraftgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-4
6.1.5 Definition der Verformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-5
6.2 Die Steifigkeit eines Stabes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-7
6.2.1 Berechnung der Steifigkeitskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-7
6.2.2 Die lokale Steifigkeitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-13
6.2.3 Die Eigenschaften der Steifigkeitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-15
6.2.4 Die Transformation von lokalen auf globale Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-16
6.3 Fachwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-19
6.4 Unverschiebliche Rahmentragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-29
6.4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-29
6.4.2 Belastung zwischen den Knoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-34
6.4.3 Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-44
6.5 Verschiebliche Rahmentragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-59
6.5.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-59
6.5.2 Drehwinkelverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-63
6.5.3 Alternative Gleichgewichtsbestimmung -
Prinzip der virtuellen Weggrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-68
6.6 Symmetrische Tragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-93
6.6.1 Tragwerke mit Stabsymmetralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-93
6.6.2 Tragwerke mit Knotensymmetralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-95
6.6.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-97
6.6.4 Belastungsumordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-99
6.7 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-100
6.7.1 Linke Gleichungsseite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-101
6.7.2 Lastfall 1: Einseitige Gleichlast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-104
6.7.3 Lastfall 2: Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-111
6.7.4 Lastfall 3: Auflagerverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-117
6.8 Die Berechnung von Einflußlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-120
6.8.1 Einflußlinien für Weggrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-120
6.8.2 Einflußlinien für Kraftgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-121
6.8.3 Hermite’sche Ansatzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-126
6.8.4 Starreinspannwerte mit Einflußlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6-129
7 Matrix Stiffness Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-1
7.1 Eingabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7-3
7.1.1 Knotenkoordinaten, Freiheitsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7-4
7.1.2 Connectivity, Material, Querschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7-4
7.2 Lokale Element- Steifigkeitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7-4
7.3 Globale Steifigkeitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7-5
7.4 Assemblierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7-5
7.5 Auflager- (Rand) bedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7-7
7.5.1 Numerische Behandlung - Starre Auflager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7-7
7.5.2 Schiefe Auflager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7-8
7.5.3 Gelenke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7-10
Baustatik 1

Baustatik 1
Inhaltsverzeichnis
7.6 Belastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7-11
7.6.1 Knotenkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-11
7.6.2 Belastung zwischen den Knoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-11
7.7 Auflösung des Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-12
7.7.1 Gauß- Reduktion (Gauß‘scher Algorithmus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-12
7.7.2 Spezielle Methoden zur Lösung von schwach besetzten Matrizen . . . . . . . . . . . 7-13
7.7.3 Iterative Lösung von Gleichungssystemen (Gauß- Seidel Iteration) . . . . . . . . . . . 7-14
7.7.4 Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-14
7.8 Stabendkraftgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-15
7.9 Schnittkraftverlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-15
8 Räumliche Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-1
8.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8-1
8.2 Kräfte im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-2
8.3 Der Einzelstab im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-5
8.4 Steifigkeit des Einzelstabes im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-7
8.5 Transformation Lokal - Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-11
8.6 Vorgehensweise bei der Berechnung von dreidimensionalen Tragwerken . . . 8-13
8.7 Allgemeine Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-15
8.7.1 Normalspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-15
8.7.2 Schubspannungen infolge von Querkräften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-16
8.7.3 Schubspannung aus Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-16
8.7.4 Schubmittelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8-19
8.7.5 Schubmittelpunktslage einiger Querschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-21
8.8 Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-23
8.8.1 Torsion von Stäben mit Kreis- oder Kreisringquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-24
8.8.2 Torsion dünnwandiger Hohlquerschnitte (Bredt’sche Formeln) . . . . . . . . . . . . . . 8-26
8.8.3 Torsion mehrzelliger dünnwandiger Hohlquerschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-29
8.8.4 St. Venantsche Torsion von Stäben mit beliebigen
konstanten Querschnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-31
8.8.5 Wölbkrafttorsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-38
8.8.6 Spannungen aus Biegung + Torsion dünnwandiger Querschnitte . . . . . . . . . . . 8-44
8.8.7 Querkraftanalogie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-45
8.9 Räumliche Tragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-49
8.9.1 Statisch bestimmte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-49
8.9.2 Fachwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-51
8.9.3 Räumliche Rahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-52
8.9.4 Statisch bestimmte Rahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-52
8.9.5 Statisch unbestimmte Rahmen (Kraftgrößenmethode) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-53
8.10 Trägerrost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8-66
Index
8.10.1 Trägerrost mit starren Querträgern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-67

Verzeichnis häufig vorkommender
Bezeichnungen
Symbole
Wichtige Aussagen der Baustatik, sie sind für das weitere Verständnis von großer
Bedeutung.
Sehr wichtig, häufige Fehlerquelle
Sätze, die die Baustatik prägten
Hier werden anhand von Beispielen einzelne Verfahren näher erläutert
Numerische Beispiele, zur Veranschaulichung des theoretischen Stoffes
Anmerkungen und Hinweise auf allgemeine Zusammenhänge
Kein Vorlesungsstoff. Allgemeine Zusatzinformation
Baustatik 1

Baustatik 1
Verzeichnis häufig vorkommender Bezeichnungen
Allgemein
Allgemein
D Diagonalstab
LF Lastfall
O Obergurt
P Punkt
S Stab
U Untergurt
V Vertikalstab
W Arbeit, Formänderungsarbeit
δW virtuelle Arbeit
W (ä) äußere Formänderungsarbeit
W (i) innere Formänderungsarbeit
W Eigenarbeit, aktive Arbeit
W* Verschiebungsarbeit, passive Arbeit
∆i Relativbeziehung, Änderung von i
δi virtuelles i
„i“ Einflußlinie von i
i, k beliebige Punkte
i’, k’ beliebige, verformte Punkte
i’’, k’’ um 90° gedrehte, beliebige, ähnliche Punkte
Kraftgrößen
Grundsätzlich werden für Kraftgrößen, die Einzel- oder Summengrößen sind,
Großbuchstaben und für Kraftgrößen, die sich auf Längen-, Flächen- oder Raumeinheiten
beziehen, Kleinbuchstaben verwendet.
A, B, C Auflagerkräfte
H Horizontalkraft
M Moment, Biegemoment
MT Torsionsmoment, Drillmoment
Me Einspannmoment
M virtuelles Moment, virtuelles Biegemoment
N Normalkraft, Längskraft

Verzeichnis häufig vorkommender Bezeichnungen
Weggrößen
N virtuelle Normalkraft, virtuelle Längskraft
P Einzelkraft, Punktlast
Q Querkraft
Q virtuelle Querkraft
S Stabkraft
S innere Kraftgrößen, Schnittkräfte M Q N
T Temperatur
Tm gleichmäßige Temperaturänderung
∆T ungleichmäßige Temperaturänderung, Temperaturdifferenz
V Vertikalkraft
X statisch unbestimmte Kraftgröße
m Streckenmoment
mT Streckentorsionsmoment
q Streckenlast
σ Normalspannung
τ Schubspannung, Scherspannung, Tangentialspannung
mittlere Schubspannung
τ 0
Weggrößen
AB Strecke von Punkt A nach Punkt B
s Weg, Strecke
u Verschiebung in x-Richtung
u äußere Weggrößen, Verformungen {u v w}
v Verschiebung in y-Richtung
w Verschiebung in z-Richtung („Durchbiegung“)
x, y, z Koordinaten
α Winkel
γ Schubverzerrung, mittlerer Schub- bzw. Gleitwinkel
δ Verformung, Verschiebung
δik Verformung an der Stelle i zufolge der Wirkung k
ε Längsdehnung
ε innere Weggrößen, Verzerrungen {ε γ κ}
κ Krümmung
Baustatik 1

Baustatik 1
Verzeichnis häufig vorkommender Bezeichnungen
Querschnitts- und Stabwerte
ϕ Verdrehung, Neigungswinkel, Winkeländerung
ψ Sehnenknick (-winkel), Verdrehung, Neigungswinkel einer Sehne
ω Verwölbung
Querschnitts- und Stabwerte
A Querschnittsfläche, Flächeninhalt
AQ effektive Schubfläche
A0 Referenz- bzw. Vergleichsquerschnittsfläche
C Schwerpunkt
I Flächenträgheitsmoment
I0 Referenz- bzw. Vergleichsträgheitsmoment
Iyz Zentrifugalmoment in bezug auf die Achsen y und z
S statisches Flächenmoment
a Abstand, Länge
aQ Schubbeiwert
c Schwerpunktsabstand
L Stablänge, Stützweite, Spannweite
∆L Längenänderung
r Radius, Krümmungsradius
s Stablänge
∆s Längenänderung
Baustoffkennwerte
C Federsteifigkeit, Integrationskonstante
E Elastizitätsmodul
[ K ] Steifigkeitsmatrix
EA Dehnsteifigkeit
EI Biegesteifigkeit
G Schubmodul
GAQ Schubsteifigkeit
Wärmeausdehnungszahl
α T

εB Bruchdehnung
ν Querdehnungszahl, Querkontraktionszahl
σB Bruchspannung, Bruchgrenze
σE Elastizitätsspannung, Elastizitätsgrenze
Fließspannung, Fließgrenze, Streckgrenze
σ F
Einheiten
Länge [m]
Querschnittsfläche [m²], [cm²]
Kraft [kN]
Streckenlast [kN/m]
Flächenlast [kN/m²]
Moment [kNm]
Streckenmoment [kNm/m]
Dichte [kg/m³]
Wichte [kN/m³]
Spannung [N/mm²](=[MN/m²]=[MPa])
Verzeichnis häufig vorkommender Bezeichnungen
Einheiten
Bezeichnungen der Deformationsmethode
Allgemein:
Stabelement
i, j Stabenden
KD Knotendrehfessel
k Stabkennwert (I/LI0) kw Steifigkeit einer Wegfeder
kd Steifigkeit einer Drehfeder
SD Sehnendrehfessel
( …)
Ort:
Ursache
Knotennummer
Stabende i, j
Baustatik 1

Baustatik 1
Verzeichnis häufig vorkommender Bezeichnungen
Bezeichnungen der Deformationsmethode
x’, y’ Lokales ebenes Koordinatensystem
x, y Globales ebenes Koordinatensystem
δθ virtuelle Verdrehung
2
Stabnummer
Kraftgrößen:
[K’] ii Lokale Stabendsteifigkeitsmatrix, Ort: i, Ursache: i
[ K ] Globale Steifigkeitsmatrix
s
[ K’] Lokale Steifigkeitsmatrix des Stabelementes s
k ii
k ii*
Steifigkeit
relative Steifigkeit
m i/j Stabendmomente
miB Starreinspannmoment am Stabende i
m Endgültige Stabendmomente
M e
Externes Moment
s
p’ Lokale Stabendkraftgrößen des Stabelementes s
s
p Globale Stabendkraftgrößen des Stabelementes s
p’ xi Lokale Kraftgröße in Richtung x am Stabende i
pxi Globale Kraftgröße in Richtung x am Stabende i
P Einzelkraft, Punktlast
[ T ] Transformationsmatrix
[ ... ] T
Transponierte Matrix
Weggrößen:
s u’ Lokale Stabendweggrößen des Stabelementes s
s u Globale Stabendweggrößen des Stabelementes s
u’ xi Lokale Verschiebung in Richtung x am Stabende i
u xi Globale Verschiebung in Richtung x am Stabende i
u i/j Stabendverschiebungen
{u} 2 Verformungen im Knoten 2
θ i/j Stabendverdehungen
ψ Stabsehnendrehung
v P,α
Verschiebungskomponente infolge einer Sehnendrehung

Indizes:
d Drehfeder
e eingespannt
g gelenkig
i, j Stabenden
B Belastung
P Einzelkraft
T Einfluß zufolge Temperatur
W Wegfeder
Verzeichnis häufig vorkommender Bezeichnungen
Bezeichnungen der Deformationsmethode
Baustatik 1

Baustatik 1
Verzeichnis häufig vorkommender Bezeichnungen
Bezeichnungen der Deformationsmethode

1
Die geschichtliche Entwicklung der
Baustatik
Coulomb
Navier
Culmann
Mohr
Die Erkenntnisse und Hypothesen auf dem Gebiet des Bauwesens sind sowohl im
physikalischen Bereich als auch im Ingenieurwesen während des 17. und 18. Jahrhunderts
beim Bau von Kanälen, Festungsanlagen, Hoch- und Brückenbauten
wesentlich erweitert und vertieft worden. Besondere Verdienste haben sich hierbei
zahlreiche Physiker, Mathematiker und Ingenieure aus dem mitteleuropäischen
Raum erworben.
Vor allem die beiden französischen Ingenieure
und sammelten das
verstreute Wissen, ordneten es kritisch, bauten es methodisch auf und gaben der
Baustatik eine zukunftsweisende Zielrichtung.
hat zahlreiche große Bauwerke entworfen, berechnet und ausgeführt. Er
hat als erster Fragen der Statik und Festigkeitslehre nach exakt wissenschaftlichen
Methoden behandelt und ihre Lösungen in der Baupraxis ausgeführt. Bemerkenswert
ist auch die von ihm eingeführte Methode, das in einer Aufgabe vorhandene,
unbekannte Element variieren zu lassen, um auf diese Weise den maximalen und
minimalen Grenzwert zu finden. Bei aller wissenschaftlichen Exaktheit war
stets um Klarheit und Anschaulichkeit der Lösungsmethoden bemüht.
, der bereits in seinen frühen Berufsjahren Brücken über die Seine gebaut
hatte, lehrte ab 1821 an der . Sein Lehrziel war es, seinen
Studenten des Ingenieurfachs das wissenschaftliche Rüstzeug für ein materialgerechtes
und ökonomisches Berechnen und Konstruieren der Bauwerke in die
Hand zu geben. Sein großer Verdienst ist es, die bis dahin bekannten Gesetzmäßigkeiten,
Erkenntnisse und Methoden der angewandten Mechanik und Festigkeitslehre
zu einem einzigen Lehrgebäude zusammengefaßt und viele Probleme (z.B.
aus den Bereichen Klassische Biegungslehre, Knicken, Berechnen statisch unbestimmter
Tragwerke) in Grundzügen gelöst, weiterentwickelt oder neu formuliert
zu haben.
Vor und hatten die Konstrukteure im wesentlichen die Abmessungen
der Bauteile nach den Erfahrungen bei entsprechenden älteren Bauwerken
Baustatik 1
1-1
1-1

1
1-2 1-2 1-2 Baustatik 1
Die geschichtliche Entwicklung der Baustatik
bestimmt. Dies wurde nun entscheidend geändert. gebührt der besondere
Ruhm, eine Baustatik, die das Tragverhalten einer Konstruktion im Grundsätzlichen
erfaßt, in weniger als einem Jahrzehnt geschaffen zu haben.
Nach haben in erster Linie und
Entscheidendes zum Ausbau der Baustatik beigetragen:
durch die Entwicklung zeichnerischer Methodik in der Statik der
Baukonstruktionen und durch seine Theorie des Fachwerks auf Grund der Voraussetzung
gelenkiger Knotenpunkte, durch seine Deutung der Biegelinie des
elastischen Stabes, seine Darstellung und Beurteilung der allgemeinen Spannungszustände
sowie einige weitere Abhandlungen aus dem Gebiet der technischen
Mechanik.
Das Erbe ist besonders durch seinen Nachfolger,
, in seinen Anwendungen der graphischen Statik gepflegt und gemehrt
worden, während wir eine
Systematik der rechnerischen Methoden der Baustatik verdanken.
Ein empfehlenswertes Buch, das einen Überblick über die Geschichte der Bauingenieurkunst
von der Antike bis in die Neuzeit gibt, ist:
[1] STRAUB, H. : Die Geschichte der Bauingenieurkunst, Birkhäuser, 4. überarb. und erw.
Aufl., Basel - Boston - Berlin 1992

2 Grundlagen
2.1 Kraftgrößen
2.1.1 Äußere Kraftgrößen (Lastgrößen)
Kraftgrößen - Weggrößen
Kinematik
Formänderungsarbeiten
Energiesätze
Auf einen Körper können zwei Arten von äußeren Kraftgrößen wirken:
� Volumskräfte: Alle Teile des Körpers werden gleichartig und
unmittelbar belastet
� Eigengewichte und Massenkräfte
� Oberflächenkräfte: Sind auf der Oberfläche des Körpers wirksam
� Lasten und Auflagerkräfte
Unterteilung der Lasten in:
� ständige (bleibende) Eigengewicht
� veränderliche (bewegliche) Verkehrslasten, Bremskräfte, Seitenstöße,
Fliehkräfte, Erdbebenkräfte
� periodisch wiederkehrende Schnee-,Wind-undEislasten,Erdund
Wasserdrücke
oder in:
� Einzellasten Die Kraftgröße greift in einem
Punkt an.
P x ,P y ,P z ,M x = M x ,M y ,M z
� verteilte Lasten Sie erstrecken sich über Flächen oder Linien und
sind gleichmäßig oder ungleichmäßig verteilt.
q x ,q y ,q z ,m x = m T ,m y ,m z
Baustatik 1
2-1
2-1

2-2 2-2
2-2
Baustatik 1
2 Grundlagen
Kraftgrößen
Die Auflagerkräfte werden durch die Art des Auflagers bestimmt.
Es werden folgende Auflagerarten unterschieden:
� bewegliches Auflager:
� festes Auflager:
� feste Einspannung:
� Rollenlager:
� Wegfeder:
� Drehfeder:
H
H
M e
M e
M e
V
Jede Kraftgröße ist eindeutig bestimmt durch Größe, Richtung und Lage. In der
Statik wird angenommen, daß sie allmählich (nicht stoßartig) von Null bis zu
ihrem Endwert wächst, ohne das Tragwerk in Schwingungen zu versetzen. Unter
der Annahme kleiner Verformungen des Tragwerkes dürfen die äußeren Kraftgrößen
auch am verformten Tragwerk in derselben Lage und Richtung angesetzt werden
wie am unverformten („richtungstreue Last“).
Neben den äußeren Kraftgrößen kann ein Tragwerk auch durch Zwangslastfälle,
wie Temperaturänderungen, Widerlagerverschiebungen, Schwinden und Kriechen,
beansprucht werden.
V
V
V
V

2.1.2 Innere Kraftgrößen (Schnittkräfte)
Grundlagen
Kraftgrößen
Um die Wirkung der äußeren Kräfte und Momente auf das innere eines Körpers
festzustellen, wird an der zu untersuchenden Stelle ein gedachter Schnitt durchgeführt.
Soll der durch den Schnitt abgetrennte Körperteil mit seinen äußeren Kraftgrößen
im Gleichgewicht bleiben, so müssen in der Schnittfläche innere
Kraftgrößen (Schnittkräfte, Molekularkräfte) angreifen.
Sie werden, auf die Flächeneinheit bezogen, als Spannungen bezeichnet und können
je nach Art der äußeren Belastungen als Normalspannungen (Zug oder Druck)
und Schubspannungen auftreten.
Bei räumlich beanspruchten Biegestäben gibt es in der Schnittfläche eine Normaloder
Längskraft N, zwei Querkräfte Q y und Q z , zwei Biegemomente M y und M z
und ein Drill- oder Torsionsmoment M x (M T). Diese inneren Kraftgrößen sind
nach dem Wechselwirkungsgesetz (Reaktionsprinzip) für beide Seiten des Schnittes
gleich groß und entgegengesetzt gerichtet.
In den meisten Lehrbüchern wird das in Abb. 2.1 gezeigte lokale Koordinatensystem
verwendet, wobei x in Stablängsrichtung zeigt.
Für die Vorzeichenregelung gilt:
Eine Schnittkraftgröße ist positiv, wenn ihr Vektor auf der positiven (negativen)
Schnittfläche eines Körpers in die positive (negative) Koordinatenrichtung weist.
Eine positive (negative) Schnittfläche ist eine Fläche, deren Normale in Richtung
der positiven (negativen) x-Achse weist.
y
M y
τ xz
Q y
M z
Q z
Abb. 2.1 Innere Kraftgrößen und Spannungen.
Die Spannungsresultierenden sind dabei:
z
dA
τ
xy
N
σ x
M =
M
x T
positive Schnittfläche
x
Baustatik 1
2-3
2-3

2-4 2-4
2-4
Baustatik 1
2 Grundlagen
Kraftgrößen
�
N = σx dA
Qy = τxy dA
My= zσx dA
A
DieKoordinatenx,yundzwerdensogewählt,daßdieIntegrale
� y dA
, � z dA
und � yz dA
zu Null werden, dh. die x-Achse in die Schwerpunktsachse fällt. Die Trägheitsmomente
ergeben sich damit zu
und das Zentrifugalmoment zu
�
A
�
Qz = τxz dA
A
A
�
A
Iy z und
2 = dA
Iz y 2 = dA
A
�
Iyz =
yz dA
A
Bei ebener Biegung um die y-Achse ist σ x (von nun an nur mehr mit σ bezeichnet)
konstant in y-Richtung und es gibt nur vertikale Schubspannungen τ xz (kurz τ). In
der Schnittfläche gibt es eine Normalkraft N, eine Querkraft Q und ein Biegemoment
M.
.
�
A
�
Mz = – yσx dA
A
�
Mx = MT = ( – z τxy + yτxz) dA
A
�
A
A

Vorzeichenregelung bei ebener Biegung:
Kennfaser
z
+Q
+M
+N
Abb. 2.2 Innere Kraftgrößen und Spannungen bei ebener Biegung.
Die Spannungsresultierenden sind nunmehr:
�
τ(z)
σ(z)
x
N = σ dA
, Q = τ dA
und M =
zσdA .
A
�
A
Grundlagen
Kraftgrößen
Schnittkraftgrößen sind Doppelkraftgrößen in fiktiven Schnitten. Sie sind für beide
Seiten des Schnittes paarweise gleich groß und entgegengesetzt gerichtet.
+N
+M
+Q
�
A
Baustatik 1
2-5
2-5

2-6 2-6
2-6
Baustatik 1
2 Grundlagen
Verformungsbedingungen (Kinematik)
2.2 Verformungsbedingungen (Kinematik)
2.2.1 Verträglichkeit (Kompatibilität)
Tragwerke können als miteinander verbundene Scheiben gedeutet werden. Die
Verformungen einer Scheibe (Kontinuum) müssen kontinuierlich sein.
z,w
ϕ
Für Stabtragwerke gilt:
x,u
� Kontinuität der Stäbe:
Abb. 2.3 Verträglichkeit im Kontinuum.
Kurvenkontinuität � keine Verformungssprünge
Neigungskontinuität � keine Verformungsknicke
Bei Sprung: � Bruchmechanik
Bei Knick � Plastizität
� Kontinuität der Knoten:
In biegesteifen Knoten müssen die Endverformungen aller mit dem Knoten
verbundenen Stäbe gleich sein.
Kompabilitätsbedingung für Fachwerke:
w i
∆δ
Fachwerkstäbe, die vor einer Verformung δ miteinander verbunden sind, müssen
auch nach dieser Verformung δ miteinander verbunden bleiben (s. Abb. 2.4).
i
u i
i'
k
ϕ i
k'
ϕ k
∆ϕ

ursprüngliche Lage
A
Verkürzung BC
Verlängerung AC
Abb. 2.4 Kontinuitätsbedingung beim Fachwerk.
2.2.2 Normalhypothese nach Bernoulli
Belasteter Balken:
z
dx
Verformtes Balkenelement:
z
w’
Grundlagen
Verformungsbedingungen (Kinematik)
Auch im verformten Zustand sind die Normalen auf die Stabachse eben und normal
zur Achse. Dies ist eine Vereinfachung der Wirklichkeit und ergibt sich
B
C
dx
δ C
w’ ⋅ z (w’
C'
verformte Lage
dw’
w’ + -------- ⋅ dx
dx
dw’
+ -------- ⋅ dx) ⋅ z
dx
x
Baustatik 1
2-7
2-7

2-8 2-8
2-8
Baustatik 1
2 Grundlagen
Verformungsbedingungen (Kinematik)
aus der Annahme, daß die Schubverzerrungen im Querschnitt eines schlanken
Biegeträgers (h < L/4) vernachlässigbar klein sind. Die Hypothesen, die
diesbezüglich aufgestellt hat, lauten:
1) Querschnitte, die vor einer Verformung normal zur Stabachse stehen, bleiben
dies auch nach der Verformung.
2) Ebene Querschnitte bleiben auch nach einer Verformung eben.
Verformtes Stabelement:
Annahme von Bernoulli:
Wirklichkeit:
Abb. 2.5 Verformtes und unverformtes Element eines ebenen, geraden Stabes
Unter der Annahme, dass die Querschnitte nach der Verformung eben und normal
zur Schwerachse bleiben, ist die Verlängerung der Faser:
Die Dehnung ist daher:
Die zweite Ableitung der Biegelinie ist die negative Krümmung des Trägers:
-w’’=κ
Das Hooke’sche Gesetz sagt aus, daß sich die Spannungen proportional zu den
Dehnungen verhalten:
Setzt man für die Dehnung obigen Ausdruck ein, erhält man
verkrümmte Stabachse
verkrümmte und schub
verformte Stabachse
dw’
dw’
du = w’ ⋅ z – (w’ + --------- ⋅ dx) ⋅ z = – --------- ⋅ dx ⋅ z = – w’’ ⋅ dx ⋅ z
dx
dx
ε
du
= ----- = – w″ ⋅ z
dx
1
– w″ = κ = ---
R
σ = E ⋅ ε
σ =
– E⋅w″ ⋅ z
Die Normalspannung σ ist also über die Querschnittshöhe linear verteilt.

Berechnung des resultierenden Moments
z
�
dA
M = ( σ( z)
⋅ dA
⋅ z)
=
A
2.2.3 Randbedingungen
�
�
A
dz
σ(z)
E w″ z 2
– ( ⋅ ⋅ dA)
M E w″ z 2 = – ⋅ ⋅ ( ⋅ dA)
= – E⋅ I ⋅ w″
A
�
�
�
�
�
Grundlagen
Verformungsbedingungen (Kinematik)
Bei den Auflagern werden je nach Art des Auflagers die Verschiebungen und Verdrehungen
der Stäbe zu Null oder einem vorgeschriebenen Wert gesetzt.
z,w
ϕ
Abb. 2.6 Auflagerbedingungen.
Resultierende
Kraft auf dA
( σ( z)
⋅ dA)
⋅ z
I
M = – E⋅ I⋅ κ Das Moment ist proportional zur Krümmung!
x,u
1
2 3
u1 = 0
w1 = 0
ϕ 1 = 0
4
u 3 = 0
u4 = 0
w4 = 0
Baustatik 1
2-9
2-9

2-10 2-10
2-10
Baustatik 1
2 Grundlagen
Verformungsbedingungen (Kinematik)
2.2.4 Krümmung ebener Kurven
z,w
Krümmung:
x,u
κ
Abb. 2.7 Ebene Kurve.
1. Näherung: ∆s �
2
∆x 2 ∆z 2 ∆s
= + ------ 1
�
------
∆z�
∆x �
∆x
�
2
= +
Krümmung einer Kurve in einem beliebigen Punkt:
P 0
∆x
∆s
Rechtskurve
(positive Krümmung)
∆ϕ
= lim ------ =
∆s
∆s→0 ∆x → 0
-----dϕ
ds
lim ------
∆s
=
∆x
∆x → 0
In der xz-Ebene ist die Krümmung κ bei Rechtskurven positiv, bei Linkskurven
negativ.
Die Krümmung κ einer geraden Stabachse infolge der Durchbiegung w ist somit:
∆ϕ
P 1
----ds
dx
t 1
∆z
∆z
lim ------
∆x
= ----dz
dx
= z′ �-----
ds
dx
1 z′
�
2
= +
z′ = tanϕ
ϕ = arc tan z′
dϕ
------ d
1
----- ( arc tan z′ )
dx dx
1 z′ 2
= = --------------- ⋅ z″
+
z″
dϕ
κ ----dϕ
⁄ dx 1 z′
--------------ds
ds ⁄ dx
2
� �
�--------------- �
� + �
1 z′ 2
= = = -----------------------
+
t 0
ds
dx
ϕ
z″
κ
1 z′ 2 3 2
( + ) ⁄
=
± ---------------------------
dz

Grundlagen
Werkstoffgesetze
In dem mathematischen Ausdruck der Krümmung κ ist wegen der Voraussetzung,
daß die Verformungen sehr klein sind, in der Regel der Einfluß aus der Verdrehung
sehr klein; man kann diesen Wert gegenüber 1 vernachlässigen:
Daraus folgt die lineare Beziehung:
Sonderfall:Krümmung eines Kreises:
2.3 Werkstoffgesetze
Die Werkstoffgesetze geben den Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen
eines Querschnitts an.
2.3.1 Hooke´sches Gesetz
κ
w″
1 w′ 2 3 2
( + ) ⁄
= ± ---------------------------- ≈ ± w″
( « 1)
w′ 2
κ = ± w″
veröffentlichte 1678 das Gesetz, daß der Spannungsund
der Verzerrungszustand in einem Körper voneinander linear abhängig sind.
Das Hooke’sche Gesetz gilt für linear elastische Werkstoffe.
σ
tanα
= E
0 linear elastisch
ε
κ
.
.
r ⋅ dϕ=
ds
dϕ
------
1
= = -- = ± w″
ds r
Für den einachsigen Spannungszustand eines schlanken Biegestabes
( h < L / 4 ) gilt:
Normalspannung:
Schubspannung:
σ = ε ⋅ E
τ =
γ⋅G Baustatik 1
2-11
2-11

2-12 2-12
2-12
Baustatik 1
2 Grundlagen
Werkstoffgesetze
G
E
= -------------------
21 ( + ν)
E ... Elastizitätmodul
... Schubmodul (nur gültig bei isotropen Werkstoffen)
Stahl: G = 8·10 7 kN/m 2
Stahl: E = 2,06·10 8 kN/m 2
ν ... Querdehnungszahl, Querkontraktionszahl
für elastische Stoffe:
Beton (Zug):
Beton (Druck):
Stahl, Eisen:
Glas:
Blei:
für plastische Stoffe: ν = 0,50 z.B.: Gummi, Wasser
ε ... Längsdehnung
γ ... Schubverzerrung
0 < ν < 0,50
ν = 0,10 - 0,125
ν = 0,16 - 0,20
ν = 0,30
ν = 0,24
ν = 0,43
2.3.2 Spannungs-Dehnungs-Diagramm für Stahl
σ B
σ
F
σ
E
0
σ
Höchstlast
tanα = E
Fließbereich
Bruchdehnung
Bruch
Wiederverfestigung
ε B
wirklicher Bruchverlauf
Einschnürung
Abb. 2.8 Schematische “Arbeitslinie“ eines naturharten Baustahls.
ε
σ B
σ F
σ E
... Bruchspannung
... Fließspannung
... Elastizitätsspannung

2.3.3 Idealisierte Spannungs-Dehnungs-Diagramme
Abb. 2.9 Idealisierte Spannungs-Dehnungs-Diagramme.
2.3.4 Voraussetzungen für lineare Statik
Grundlagen
Werkstoffgesetze
Bei Werkstofflinearität und geometrischer Linearität sind die im Tragwerk auftretenden
Schnittkraftgrößen, Spannungen, Verformungen, Verzerrungen und Auflagerreaktionen
proportional zu den Belastungen (lineare Funktion der Belastungen).
Es gilt das Superpositionsgesetz (Überlagerungsgesetz), d.h. die Einflüsse einzelner
Belastungen können getrennt ermittelt und danach addiert werden.
a) Werkstofflinearität:
Die Belastungen müssen im elastischen Bereich des Spannungs-Dehnungs-Diagrammes
liegen, d.h. das Hooke´sche Gesetz ist anwendbar.
Z.B. in der Ebene:
0
nichtlinear elastisch
σ
0
ideal (voll) plastisch
E, G ... konstant
ε
ε
σ = ε⋅E τ =
γ⋅G 0
linear elastisch
mit Verfestigung
σ
0 linear elastisch -
ideal plastisch
ε
ε
Baustatik 1
2-13
2-13

2-14 2-14
2-14
Baustatik 1
2 Grundlagen
Werkstoffgesetze
b) Geometrische Linearität:
Die Geometrie des Tragwerkes ist von Art und Größe der Belastungen unabhängig,
d.h. die Gleichgewichtsbedingungen können am unverformten Tragwerk aufgestellt
werden.
Die elastischen Verformungen sind sehr klein gegenüber den Abmessungen des
Tragwerkes, d.h. die Längenänderungen ∆s sind vernachlässigbar klein gegenüber
den Längen s, ebenso die Winkeländerungen ϕ.
Beispiel:
z,w
x,u
Gleichgewicht der Kräfte im Punkt A:
Theorie I. Ordnung:
Theorie großer Verformungen:
sinϕ = tanϕ
= ϕ
cosϕ = 1
S w
1
dα
S2 α
S 1
S 1
α
S 2
A
α –
dα
S 2
P z
P z
1
P z
ϕ
h
h

Theorie großer Verformungen - Durchschlagproblem:
linearer Verlauf
(Theorie I. Ordnung)
Abb. 2.10 Kraft-Verformungs-Diagramm.
Grundlagen
Weggrößen eines ebenen Biegestabes
Bei der Theorie großer Verformungen (nichtlineare Statik) müssen die Gleichgewichtsbedingungen
am verformten Tragwerk aufgestellt werden. In diesem Fall
gilt das Superpositionsgesetz nicht, die Bestimmung der Zustandsgrößen erfolgt
iterativ.
2.4 Weggrößen eines ebenen Biegestabes
2.4.1 Äußere Weggrößen
0
P z
P z krit
h 2h
Äußere Weggrößen sind Verformungen, wobei man darunter sowohl Verschiebungen
als auch Verdrehungen versteht.
z,w
ϕ
x,u
i u i
i'
w i
P z
ϕ i
Abb. 2.11 Äußere Weggrößen.
{ u}
w
� �
� u �
� �
= � w �
� �
�
�
ϕ �
�
Baustatik 1
2-15
2-15

2-16 2-16
2-16
Baustatik 1
2 Grundlagen
Weggrößen eines ebenen Biegestabes
Beispiel: Starrkörperverforung
z,w
ϕ
x,u
Abb. 2.12 Starrkörperverformung eines ebenen, geraden Stabelementes.
Mit geometrischer Linearität sinϕ = ϕ und cosϕ
= 1 folgt für eine Starrkörperbewegung:
{ u}
... äußere Weggrößen, kinematische Freiheitsgrade
Verzerrungsfreie Verformungen werden als Starrkörperverformungen be-zeichnet.
2.4.2 Innere Weggrößen (Verzerrungen)
Jede Schnittkraftgröße besitzt eine zugehörige innere Weggröße:
� Normalkraft N ... Längsdehnung ε N
� Querkraft Q ... Schubverzerrung γ
� Biegemoment M ... Krümmung κ M
i
w i
{ u}
k
u i
δ i
i'
� �
� u �
� �
= � w � =
� �
�
�
ϕ �
�
k
a
ϕ
w k
a cosϕ ≈ a
1 0 0
0 1 – a
0 0 1
k
u k
δ k
k'
� �
� u �
� �
⋅ � w �
� �
�
�
ϕ �
�
i
ϕ
a sinϕ ≈ aϕ

Grundlagen
Weggrößen eines ebenen Biegestabes
a) Ebener, gerader Stab mit reiner Längsdehnung (Normalkraft):
Verschiebung:
Längsdehnung:
Normalspannung:
Abb. 2.13 Ebenes, gerades Stabelement nur mit Normalkraft belastet.
Für die Normalkraft N erhält man:
EA ... Dehnsteifigkeit
Positive Dehnungen ε werden als Dehnungen, negative als Stauchungen bezeichnet.
b) Ebener, gerader Stab mit reiner Biegung (Biegemoment):
Verschiebung
mit
h
�dϕ ------�
dϕ
tan ------
� 2 �
≈
2
folgt
du = εN ⋅ dx
ε N
N N
�
z,w
dx du
du
= ----- = u′
dx
σ N
=
N---
A
σ N
Normalspannungsverlauf
� εNE � A
A
A
N = σN dA
= εNE dA
= d = εNEA A
ε N
= u′ =
-------
N
EA
�dϕ ------�
du(z) ⁄ 2
tan = -------------------
� 2 � z
du(z) =
z ⋅ dϕ
x,u,σ
Baustatik 1
2-17
2-17

2-18 2-18
2-18
Baustatik 1
2 Grundlagen
Weggrößen eines ebenen Biegestabes
h
M
Abb. 2.14 Biegemomentenverformung
Abb. 2.15 Ebenes, gerades Stabelement, durch ein Biegemoment belastet.
Längsdehnung:
Krümmung:
M
Normalspannung:
dϕ
dx
dϕ
Verformungsannahme:
ε(z) M
κ M
Für die Schnittkraft M erhält man:
dϕ
------
2
du(z)/2
M
r
M
z
r
z,w
du(z)
------------ z
dx
dϕ
= = ⋅ -----dx
1
-dϕ
= = ------ = – w″
r dx
σ(z) M
=
M----
⋅ z
I
M = σ(z) M ⋅ z dA
= ⋅ ⋅ d =
z
negative Krümmung
(Linkskurve)
Normalhypothese
(Bernoulli)
Normalspannungsverlauf:
� � ε(z) M E z A � z ⋅ κM E z
A
A
A
linearer Verlauf
(Hooke)
neutrale Achse,
Nullinie
x,u,σ
σ(z)
M
⋅ ⋅ dA

EI ... Biegesteifigkeit
Für die Dehnung bzw. Stauchung ergibt sich daher:
c) Ebener, gekrümmter Stab mit reiner Biegung (Biegemoment):
Normalhypothese
(Bernoulli)
M
�
κM E z 2 = ⋅ dA
= κM⋅EI κ M
A
= – w″ =
-----
M
EI
ε(z) M z dϕ
= ⋅ ------ = z ⋅ κM = – z ⋅ w″
dx
ε(z) M u′ M
= = ----- ⋅ z
EI
dϕ
dϕ +
∆dϕ
Abb. 2.16 Wirkliche Biegemomentenverformung
Grundlagen
Weggrößen eines ebenen Biegestabes
.
.
M
Baustatik 1
2-19
2-19

2-20 2-20
2-20
Baustatik 1
2 Grundlagen
Weggrößen eines ebenen Biegestabes
h
z
∆dϕ
----------
2
---------------
∆ds(z)
2
c
Abb. 2.17 Verformungsannahme
Die Nullinie geht nicht mehr durch die Schwerpunktsachse, sondern hat einen
Abstand c von dieser.
Ursprüngliche Krümmung:
Krümmungsänderung:
Längsdehnung:
M
x
ε(z) M
1
--
r
κ M
ε(z) M
=
=
dϕ
dϕ + ∆dϕ
Nullinie
dx
ds(z)
-----dϕ
dx
∆dϕ
---------dx
Abb. 2.18 Normalspannungsverlauf
r
M
x
∆ds(z)
= --------------- ∆ds(z) ≅ ( c + z)∆dϕ
ds(z)
---------------------------
( c+ z)∆dϕc+
z
= = ---------- r ⋅ κM ( r+ z)dϕr+
z
z
hyperbolischer Verlauf
Nullinie
x
σ(z) M

Normalspannung:
c+ z
σ(z) M = ε(z) M ⋅ E = ---------- r ⋅κM⋅E r + z
�
M = σ(z) M ⋅ z dA
=
A
mit
und
A
Grundlagen
Weggrößen eines ebenen Biegestabes
c
----------
+ z
r ⋅κM⋅ E⋅ z dA
r + z
rz
κM E c ---------rz
� dA
r+ z
2
� �
= ⋅ � + � ---------- dA�
� r + z �
�
A
Nach weiteren Entwicklungen (siehe Flügge, W.: Festigkeitslehre. Berlin - Heidelberg
- New York : Springer 1967, Seite 196) erhält man folgende Ergebnisse:
Der Normalspannungsverlauf ist nicht mehr geradlinig, sondern folgt einer Hyperbel.
Für r =
∞ ergeben sich die Normalspannungen des geraden Stabes. Bereits
bei verhältnismäßig kleinen Verhältnissen von r / h ( > 5 ) fällt die Nulllinie fast
mit der Schwerpunktsachse zusammen und die Normalspannungsverteilung verläuft
nahezu geradlinig, d.h. die Normalspannungen können in guter Näherung
nach der Theorie des geraden Stabes berechnet werden.
�
A
σ(z) M dA
�
A
z 2
----------- dA
=
z- r
+ 1
A
= 0 � c
α ⋅ I
rα
c
I
---
A
r 2 α I
= -------------------- κ ---------
M αI
M 1
+ --- αEI r
A
2 � �
= � + -------- � σ(z) M =
� A �
-----
M
αI
α2 �
-------
I rz �
� + ---------- �
� rA r+ z �
Baustatik 1
2-21
2-21

2-22 2-22
2-22
Baustatik 1
2 Grundlagen
Weggrößen eines ebenen Biegestabes
d) Ebener, gerader Stab mit reinem Schub (Querkraft):
h
Abb. 2.19 Wirkliche Querkraftverformung (Verwölbung) beim Rechteckquerschnitt
h
y,v
y,v
b
z,w
b
z,w
z
z
Abb. 2.20 Verformungsannahme und Spannungsverlauf
Q⋅S(z) Schubspannung: τ(z) = ------------------ (siehe VO Festigkeitslehre!)
I⋅b(z) I...Trägheitsmoment des Gesamtquerschnittes um die y-Achse
Q
γ max
Q
γ
z,w
z,w
Das statische Flächenmoment der abgetrennten Querschnittsfläche um die y-Achse
ergibt sich zu:
Die Schubspannung τ(z) nimmt parabolisch vom Rand bis zur Schwerpunktsachse
von Null auf den maximalen Wert τ max zu. Proportional zu τ(z) verläuft die entstehende
Schubverzerrung γ(z), die die Verwölbung der ursprünglich ebenen Querschnittsfläche
erzeugt. Es entsteht eine s-förmige Querschnittsverformung.
Aus der Näherung, daß die Schubverzerrung γ(z) für alle Querschnittsfasern als
gleich vorausgesetzt wird, ergibt sich eine Parallelverschiebung beider Schnittufer
�
dx
dx
γ
S(z) =
z dA
A
dw
Q
dw
Q
τ max
τ
0
τ =
0
Parabel
τ(z)
=
Q
---
A
3Q
------
2A
x,u,τ
x,u,τ

Grundlagen
Weggrößen eines ebenen Biegestabes
in z-Richtung. Die Verwölbung des Querschnitts wird auf diese Weise vernachlässigt,
dh. der Querschnitt bleibt eben.
g.L.
Verschiebung: dw = tanγ ⋅ dx = γ ⋅ dx (wegen geom. Linearität)
Mittlerer Schub- bzw. Gleitwinkel, Schubverzerrung:
GA Q ... Schubsteifigkeit
A Q ... effektive Schubfläche
Aus dem Vergleich der inneren Formänderungsarbeiten der wirklichen Schubspannung
τ(z) mit der angenommenen mittleren Schubspannung τ 0 folgt mit dem
Hooke´schen Gesetz der Schubbeiwert (Herleitung siehe Abschnitt 2.5.3 c):
Rechteckquerschnitt:
Kreisquerschnitt:
Stahlträger:
γ
dw
------
Q
= = w′ = ------------------ AQ = aQ ⋅ A
dx aQ ⋅ GA
a Q
a Q
≈
≈
a Q
5⁄ 6
6⁄ 7
aQ ≈ ASteg ⁄ A
a Q
< 1,0
Q
γ = w′ = -----------
�
A
GA Q
Der Schubbeiwert aQ gleicht die Folgen aus dem Unterschied der wirklichen
Schubspannungsverteilung τ(z) zur mittleren Schubspannung τ0 =
Q⁄ AQaus. I 2
S(z)
A
� --------- �
� b(z) �
2
= -----------------------------------------dA
Baustatik 1
2-23
2-23

2-24 2-24
2-24
Baustatik 1
2 Grundlagen
Weggrößen eines ebenen Biegestabes
e) Ebener, gerader Stab mit reiner Längsdehnung (gleichmäßige Temperaturänderung):
Abb. 2.21 Ebenes, gerades Stabelement mit gleichmäßiger Temperaturänderung
Verschiebung:
Längsdehnung:
α T
... Wärmeausdehnungszahl
Stahl:
Beton:
Temperaturänderungen erzeugen in statisch bestimmten Tragwerken keine inneren
Kraftgrößen oder sonstige Beanspruchungen sondern lediglich Verformungen der
Tragwerkselemente.
f) Ebener, gerader Stab mit reiner Biegung (ungleichmäßige Temperaturänderung):
Unter der Voraussetzung, daß die Temperaturdifferenz zwischen den äußeren
Querschnittsfasern einen linearen Verlauf besitzt, ergeben sich analog dem Biegemoment
(siehe Abschnitt b) folgende Ergebnisse:
Verschiebung:
h x,u,T
Längsdehnung:
z,w
dx du
α T
α T
du = εT ⋅ dx
ε T
du
= ----- = u′
dx
Temperaturverlauf:
T m
εT = u′ = αT⋅Tm – 5
= 1,2×10
/°C
– 5
= 1,0×10
/°C
ε(z) T
du(z) = z ⋅ dϕ
du(z)
------------ z
dx
dϕ
= = ⋅ -----dx
∆T
ε(z) T = αT ⋅ T(z) =
α ------ T ⋅ ⋅ z
h
T m bei Erwärmung
positiv

:
h
dϕ
dx
Grundlagen
Weggrößen eines ebenen Biegestabes
Abb. 2.22 Verformungsannahme bei ungleichmäßiger Temperaturänderung
Die Krümmung ergibt hier:
dϕ
------
2
du(z)/2
κ T
κ T
Die Verzerrungen folgen damit zu:
∆T = T – T
u o
g) Zusammenfassung der inneren Weggrößen beim ebenen, geraden Stab:
Das Ebenbleiben der Querschnitte wird vorausgesetzt (Bernoulli) !
ε = εN+ ε(z) M + εT + ε(z) T =
r
z
z,w
Temperaturverlauf:
T o
1
-dϕ
= = ------ = – w″
r dx
= – w″ = α
∆T ------ T ⋅
h
ε(z) T z dϕ
= ⋅ ------ = z ⋅ κT = – z⋅w″ dx
∆T
ε(z) T = u′ = α ------ T ⋅ ⋅ z
h
T u
Abkühlung
neutrale Achse,
Nullinie
T(z)
-------
N
EA
M
+ ----- ⋅ z + αT⋅Tm+ αT EI
ε = u′ = -------
N
+ αT ⋅ Tm EA
+
�----- M ∆T
+ α ------
� T ⋅
�
EI h � ⋅ z
konstanter Anteil veränderlicher Anteil
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Erwärmung
∆T
⋅ ------ ⋅z
h
x,u,T
Baustatik 1
2-25
2-25

2-26 2-26
2-26
Baustatik 1
2 Grundlagen
Weggrößen eines ebenen Biegestabes
und mit κ = κM+ κT für die Krümmung:
2.4.3 Kinematische Beziehungen
Die kinematischen Beziehungen beschreiben den Zusammenhang zwischen inneren
und äußeren Weggrößen eines Stabelementes. Im folgenden werden sie für ein
ebenes, gerades Stabelement abgeleitet.
Längsdehnung:
Die zweite kinematische Beziehung zeigt Abb. 2.23. ϕ beschreibt darin die Verdrehung
der ursprünglich horizontalen Stabachse infolge einer reinen Biegung (Biegemoment
und/oder ungleichmäßige Temperaturänderung). -dw/dx dagegen gibt die
Gesamtverdrehung der Stabachse an, die von ϕ gerade um die Schubverzerrung γ
abweicht.
Schubverzerrung:
Krümmung:
Q
γ = w′ = -----------
GA Q
M
κ ϕ′ – w″ ----- ∆T
= = = + α ------ T ⋅
EI h
γ
ε
du
= ----- = u′
dx
– dw ------ = ϕ– γ
dx
dw
= ------ + ϕ = w′ + ϕ
dx
dϕ
κ = ------ =
– w″
dx

z,w
ϕ
ϕ
x,u
dw
– -----dx
dx
Grundlagen
Weggrößen eines ebenen Biegestabes
Abb. 2.23 Kinematische Beziehung eines ebenen, geraden Stabelementes.
2.4.4 Hooke´sches Gesetz
γ
� �
� ε �
� �
� γ �
� �
�
�
κ �
�
Verzerrungen
u
=
w
γ
Achtung:
unverformtes Stabelement
verkrümmte Stabachse
verkrümmte und schubverformte
Stabachse
verformtes Stabelement
Das Hooke’sche Gesetz beschreibt den linearen Zusammenhang von inneren
Kraftgrößen zu inneren Weggrößen, wie er für linear elastische Materialien gilt.
+ϕ
{ ε}
= [ D]
⋅ { u}
d
----- 0 0
dx
0
0 0
d
----- 1
dx
d
---dx
{ S}
=
[ E]
⋅ { ε}
=
–
--------dw
dx
⋅
� �
� u �
� �
� w �
� �
�
�
ϕ �
�
Verformungen
Baustatik 1
2-27
2-27

2-28 2-28
2-28
Baustatik 1
2 Grundlagen
Formänderungsarbeiten
2.5 Formänderungsarbeiten
2.5.1 Arbeit
Definition der Arbeit:
Die Arbeit ist das Skalarprodukt eines Kraftgrößenvektors mit dem dazugehörigen
Weggrößenvektor. Die Arbeit ist positiv, wenn Kraft und Verschiebung die gleiche
Richtung besitzen.
Die Arbeit wird in der Statik als Formänderungsarbeit bezeichnet, wobei zwischen
Eigenarbeit und Verschiebungsarbeit unterschieden wird.
Verschiebt sich der Angriffspunkt einer Kraft P auf ihrem Weg u, sowirdeine
Arbeit W geleistet. Ihr Zuwachs auf dem Wegelement du beträgt:
Durch Integration ergibt sich die Arbeit zu:
Arbeit einer Kraft:
P
α
du P
Weg du
� �
� N �
� �
� Q � =
� �
�
�
M �
�
EA 0 0
0 GA Q 0
0 0 EI
dW = P ⋅ du.
u 2
�
W = ( P⋅du) u 1
� �
�
ε
�
� N �
� �
⋅ � γ �
� �
�
�
κ �
M �
� �
dW = P ⋅ du = P ⋅ du ⋅ cosα
= P ⋅ duP u 2
�
W =
P duP
u 1

Grundlagen
Formänderungsarbeiten
Für ein Kräftepaar mit dem Moment M gilt, analog den obigen Beziehungen:
Arbeit eines Moments:
dϕ
α
M
Rotation dφ
W = M ⋅ cosα dϕM
2.5.2 Äußere Formänderungsarbeit
ϕ 2
�
ϕ 1
dW = M ⋅ dϕ= M ⋅ dϕ ⋅ cosα
= M ⋅ dϕM W = M ⋅ dϕM
Die äußere Formänderungsarbeit W (ä) ist die Arbeit, die die äußeren Kräfte bei der
Verschiebung ihrer Lastangriffspunkte und die äußeren Momente bei der Verdrehung
der den Angriffspunkten benachbarten Querschnitte leisten.
z,w
ϕ
a
W ä ( )
+
P xi
a'
�
b
a
u
u i
0
Abb. 2.24 Kinematisch verträglicher Weggrößenzustand
eines ebenen, geraden Stabelements unter Belastung.
ϕ 2
�
ϕ 1
wi ϕi � � Midϕi 0
0
= � Pxi dui
+ Pzi dwi
+
� �
��qxdu+ � qz dw+
� m dϕ�
dx
M i
0
P zi
i
i'
u i
wi
w
0
m
ϕ i
ϕ
0
q x
b
q z
u b
w b
b'
ϕ b
x,u
Baustatik 1
2-29
2-29

2-30 2-30
2-30
Baustatik 1
2 Grundlagen
Formänderungsarbeiten
1. Äußere Eigenarbeit (aktive Arbeit):
Die äußere Eigenarbeit ist die Formänderungsarbeit, die von den äußeren
Kraftgrößen Pi auf den durch sie selbst hervorgerufenen elastischen Verformungswegen
δi geleistet wird. Für lineare Systeme ergibt sich der in Abb. 2.25 dargestellte
Zusammenhang zwischen Last und Verformung.
P i
0
P
dW ä ( )
dδ ii
Abb. 2.25 Linear elastisches Kraftgrößen-Verformungs-Diagramm.
Die Federsteifigkeiten C sind Proportionalitätsfaktoren, d.h. die äußeren Weggrößen
(Verformungen) δ sind linear abhängig von den äußeren Kraftgrößen P. Wenn
eine äußere Kraftgröße P i nach dem linearen Kraftgrößen-Verformungs-Diagramm
proportional zu der am Punkt i in Richtung der Kraft i auftretenden äußeren Weggröße
δ ii ansteigt, ergibt sich die äußere Eigenarbeit der Kraftgröße P i zu:
Z.B. beim Einfeldträger:
z,w
x,u
W ä ( )
δ ii
W ä ( )
Allgemein gilt für äußere Kraftgrößen:
=
δ ii
�
0
δ
P i dδ ii
P = C⋅δ P .......... allgemeine äußere Kraftgröße
C.......... Federsteifigkeit
δ .......... allgemeine Verformung
1
= -- Pi ⋅ δii .
2
Ort
i
P zi
w ii
Ursache
Kraftgröße × Weggröße
Äußere Eigenarbeit =
--------------------------------------------------------
2

2. Äußere Verschiebungsarbeit (passive Arbeit):
Grundlagen
Formänderungsarbeiten
Die äußere Verschiebungsarbeit ist die Formänderungsarbeit, die auf den
Verformungswegen i geleistet wird, die durch andere äußere Kraftgrößen und
Zwangslasten (Temperaturänderungen, Widerlagerverformungen, Schwinden und
Kriechen usw.) k hervorgerufen wird.
Beispiel 2.1: Einfeldträger
Der linear elastische Einfeldträger wird zuerst mit der Kraft P zi belastet, P zi leistet
die äußere Eigenarbeit
Danach wird die Kraft P zk aufgebracht, wobei P zk die äußere Eigenarbeit
leistet. Im Angriffspunkt i von P zi erzeugt P zk die Durchbiegung w ik ,P zi wird mitverschoben
und leistet während dieser Verschiebung die Verschiebungsarbeit
Bei der Integration über w ik ist die Kraft P zi konstant, d.h.
bzw.
z,w
x,u
Ort
W* ä ( )
w ik
i
P zi
w ii
Ursache
W ä ( ) =
1
W ä ( ) =
1
W* ä ( )
=
W* ä ( )
�
=
-- Pzi ⋅ wii 2
-- Pzk ⋅ wkk 2
w ik
0
.
P zi dw ik
Pzi ⋅ wik ,
.
k
P zk
w kk
Äußere Verschiebungsarbeit =
Kraftgröße × Weggröße
Baustatik 1
2-31
2-31

2-32 2-32
2-32
Baustatik 1
2 Grundlagen
Formänderungsarbeiten
Die äußere Verschiebungsarbeit einer in voller Größe aufgebrachten äußeren
Kraftgröße auf eine äußere Weggröße, die eine andere Ursache hat, ist gleich dem
vollen Produkt aus Kraftgröße und fremderzeugter Weggröße.
P i
0
P
W
*
( ä)
=
P ⋅ δ
i ik
δ ik
Abb. 2.26 Konstantes Kraftgrößen-Verformungs-Diagramm.
Im Gegensatz zur Eigenarbeit fehlt bei der Verschiebungsarbeit der Faktor 1/2, da
die äußere Kraftgröße P i von Beginn der Verformung δ ik in voller Größe vorhanden
ist und sich nicht erst den Verformungsweg selbst erzeugen muß. Deshalb wird
die Eigenarbeit auch als aktive Arbeit und die Verschiebungsarbeit als passive
Arbeit bezeichnet.
Die äußere Formänderungsarbeit (Eigenarbeit und Verschiebungsarbeit) der Kraft
P zi beträgt für Beispiel 1:
W ä ( ) W ä ( )
W* ä ( )
= + =
P zi
0
P z
�
�
Abb. 2.27 Elastisches Kraft-Durchbiegungs-Diagramm für Beispiel 1.
δ
P .......... allgemeine äußere Kraftgröße
δ .......... allgemeine Verformung
1
--Pzi ⋅ wii + Pzi ⋅ wik = Pzi 2
�
�
�
�
�
w ii
�
�
�
w ik
w
(
1
-- wii + w ) ik
2

Beispiel 2.2:
z,w
x,u
w i∆T
W ä ( ) 1
� Pzi belastet = -- Pzi ⋅ wii ... Eigenarbeit
2
W* ä ( )
� Temperaturverbiegung = Pzi ⋅ wi∆T ... Versch.-Arbeit
Die äußere Formänderungsarbeit der Kraft P zi beträgt:
W ä ( ) W ä ( )
2.5.3 Innere Formänderungsarbeit
Grundlagen
Formänderungsarbeiten
Erfährt ein Körper eine Verformung, so leisten die inneren Kraftgrößen längs ihrer
Verzerrungswege eine innere Formänderungsarbeit W (i) . Die innere Formänderungsarbeit
wird auch als Arbeit der Molekularkräfte (Spannungen) im Körper
bezeichnet.
Die Modelle (Abb. 2.28, Abb. 2.29, Abb. 2.30) zeigen deutlich, daß die Molekularkräfte
gegen die Verformung wirken, d.h. die innere Formänderungsarbeit ist
eine negative Arbeit.
a) Ebener, gerader Stab mit reiner Längsdehnung (Normalkraft):
Siehe Abschnitt 2.4.2 a) und Abb. 2.13 !
i
P zi
w ii
( ä)
= + W * =
P
�1 -- zi �
wii + w
�
i∆T
2 �
Baustatik 1
2-33
2-33

2-34 2-34
2-34
Baustatik 1
2 Grundlagen
Formänderungsarbeiten
h
N N
z,w
Abb. 2.28 Modell der inneren Formänderungsarbeit bei einer
Normalkraftbeanspruchung.
dW i ()
b) Ebener, gerader Stab mit reiner Biegung (Biegemoment):
Siehe Abschnitt 2.4.2 b) und Abb. 2.15 !
A
dx du
= – � σN dudA = –
N
� --- εdxdA = –
A
h
M
W i ()
dϕ
=
dx
A
–
N ε dx
N
--- ε dA dx
A �
z,w
Abb. 2.29 Modell der inneren Formänderungsarbeit bei Biegebeanspruchung.
dW i ()
�
M
A
x,u
= – σ(z) M du(z) dA
= –
M
---- zzdϕdA A�
�
=
I
=
–
M
---- z
I
2 � κdxdA A
=
–
A
M
---- κ z
I
2 � dAdx A
x,u

W i ()
c) Ebener, gerader Stab mit reinem Schub (Querkraft):
Siehe Abschnitt 2.4.2 d) und Abb. 2.20 !
=
–
M κ dx
Grundlagen
Formänderungsarbeiten
Die Schubverzerrung γ wird über die Querschnittshöhe als konstant vorausgesetzt.
Ihre Ursache sei eine mittlere Schubspannung
dW i ()
A
Abb. 2.30 Modell der inneren Formänderungsarbeit bei einer
Querkraftbeanspruchung
Die Annahme von einer konstanten Schubverzerrung γ ist eine kinematische Näherung.
Die geleistete innere Formänderungsarbeit beträgt nach dieser Annahme:
Die einzelnen Schubspannungen τ(z) (sie sind nicht konstant) leisten aber tatsächlich
die innere Formänderungsarbeit:
�
τ(z) = τ0 =
A
Q
---
A
= – � τ(z) dwdA = –
Q
� --- γ dxdA = –
A
h
Q
dW i ()
W i ()
z,w
=
dx
–
�
Q γ dx
dw
– Q γ dx – -------------- dx
aQGA ·
= =
Q
Q 2
Q
--- γ dA dx
A �
x,u
A
Baustatik 1
2-35
2-35

2-36 2-36
2-36
Baustatik 1
2 Grundlagen
Formänderungsarbeiten
dW i ()
�
= – τ(z) dw(z) dA
= – τ(z) γ(z) dxdA = –
A
dW i ()
Die beiden inneren Formänderungsarbeiten dW (i) müssen gleich groß sein. Durch
Gleichsetzen der beiden Arbeiten erhält man die Formel für den Schubbeiwert:
Q 2
d) Zusammenfassung der inneren Formänderungsarbeit
beim ebenen Verzerrungszustand eines Stabes:
Q 2
= – --------
GI 2
1. Innere Eigenarbeit (aktive Arbeit):
dS i
S i
0
S
�
A
�
A
Q 2
– -------------- dx = – -------aQGA
a Q
GI 2
�
A
� S(z)
�
--------- �
b(z)
�
2
� S(z)
�
---------
�
b(z)
�
2
dAdx dA dx
τ(z) 2
------------ dA dx
G
Abb. 2.31 Linear elastisches Kraftgrößen-Verzerrungs-Diagramm.
�
A
I 2
A
� S(z)
�
---------
�
b(z)
�
2
= -----------------------------------------dA
a b
W i ()
dW i ()
b
ε
0
dx
� �
= – � � N dε
+ � Q dγ
+ � M dκ�
� � �
dε ii
a
ε ii
γ
0
ε
κ
0
�
A
dx
ε ... allgemeine Verzerrung
x,u
S ... allgemeine innere Kraftgröße

Grundlagen
Formänderungsarbeiten
Mit dem Hooke´schen Gesetz ergibt sich für ebene, elastische Stäbe aus den inneren
Kraftgrößen folgende innere Eigenarbeit:
EA ... Dehnsteifigkeit
GA Q
... Schubsteifigkeit
EI ... Biegesteifigkeit
Beispiel 2.3: Kragträger aus Stahl mit konstantem Querschnitt
N
Q
M
P
Innere Eigenarbeit:
W i
W i
P
z,w
b
() 1
--
1
N ε --
1
= –
�
N + Q γ + -- M κ
�
� � M
2 2 2 �
dx
W i
a
() 1
= – --
2
- P x
N 2
Q
-------
EA
2
-----------
GAQ M2
b
� �
� � + + ------ � dx
� EI �
a
L
Biegelinie
P
- P
- P L
() 1
--
N
2
2
Q
-------
EA
2
-----------
GAQ M2
L � �
= – � � + + ------ � dx
=
0 � EI �
L
x,u
1
= ---------- P
2EA
2 ---------
E
( – P)
2 A
--- ( – Px)
I
2
–
�
�
+ +
�
�
�
dx
0
Ga Q
b
h
Baustatik 1
2-37
2-37

2-38 2-38
2-38
Baustatik 1
2 Grundlagen
Formänderungsarbeiten
L / h
BIEGESTÄBE:
8
---------
E
= ---------------------
2,06×10
≈ 3
GaQ 7
8×10
⋅
5
--
6
A
---
I
W i () P 2
= –
---------------bh
⋅ 12 12
= = -----
bh 3
Innere Eigenarbeit aus:
N Q M
5 1 3 100
10 1 3 400
20 1 3 1600
Bei den Biegestäben sind die Arbeitsanteile der Normalkräfte und Querkräfte im
Verhältnis zum Arbeitsanteil der Biegemomente sehr klein und je größer das Verhältnis
L / h der Biegestäbe wird, desto kleiner werden die Arbeitsanteile der Normalkräfte
und Querkräfte im Verhältnis zum Arbeitsanteil der Biegemomente.
Deshalb können die Arbeitsanteile der Normalkräfte und Querkräfte meistens vernachlässigt
werden.
Der Arbeitsanteil der Normalkräfte ist bei gedrungenen Biegestäben ( h > L / 4 )
und/oder dominanten Normalkräften zu berücksichtigen.
Der Arbeitsanteil der Querkräfte darf in der Regel vernachlässigt werden. Ausnahme:
sehr gedrungene Biegestäbe.
Bei ebenen, elastischen Biegestäben vereinfacht sich daher die innere Eigenarbeit
in den meisten Fällen auf die Form:
h 2
---------- 1 3 -----
12
x
2EA
2
L � �
� � + + � dx
0 � �
W i () P 2 L
h 2
---------- 1 3
4L
2EA
2
� �
= – � + + -------- �
� �
h 2
P 2 �
– ----------
L �
×
� �
� 2EA �

FACHWERKSTÄBE:
W i ()
= –
1--
2
�
alle Stäbe
Grundlagen
Formänderungsarbeiten
Bei elastischen Fachwerkstäben treten als innere Kraftgrößen nur über die Stablänge
konstante Normalkräfte auf, sodaß sich die innere Eigenarbeit vereinfacht
auf die Form:
W i
N 2
() 1
= � – -- ------- ds
2 � =
EA
alle Stäbe
2. Innere Verschiebungsarbeit (passive Arbeit):
S i
S
W *
i ()
=
S ⋅ ε
i ik
0
s
�
�
�
�
�
�
�
Einzelstab
0 ε ik
i
W * ()
ε
M 2 � �
� � ------ dx�
� EI �
Abb. 2.32 Konstantes Kraftgrößen-Verzerrungs-Diagramm.
=
–
a
b
�
Mit dem Hooke´schen Gesetz ergibt sich für ebene, elastische Stäbe aus den inneren
Kraftgrößen folgende innere Verschiebungsarbeit:
i
W * ()
=
–
b
�
a
L
0
–
1
--
2
�
alle Stäbe
Fachwerk
N 2 � �
� ------- ⋅ s�
� EA �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
S .......... allgemeine innere Kraftgröße
ε .......... allgemeine Verzerrung
( Ni ⋅ εNk + Ni ⋅ εT + Qi ⋅ γk + Mi ⋅ κMk + Mi ⋅ κT) dx
NiN Q
k
iQ ----------- Ni ⋅αT⋅T----------- k
m
EA
GAQ MiM �
------------- k
Mi α
∆T �
� + + + + ⋅ ------ T ⋅ � dx
� EI
h �
Baustatik 1
2-39
2-39

2-40 2-40
2-40
Baustatik 1
2 Grundlagen
Energiesätze
FACHWERKSTÄBE:
Wie bereits erwähnt, treten bei elastischen Fachwerkstäben als innere Kraftgrößen
nur Normalkräfte auf, sodaß sich die innere Verschiebungsarbeit vereinfacht auf
die Form:
W* i ()
2.6 Energiesätze
– �
alle Stäbe
2.6.1 Energiesatz der Mechanik (Arbeitssatz)
Für die Formänderungsarbeit W von einem durch Kraftgrößen im Gleichgewicht
befindlichen Körper, längs kinematisch verträglicher Weggrößen, gilt:
Der Energiesatz gilt nur bei unendlich langsamer Lastaufbringung und isothermen
Prozessen für Tragwerke in der Form, daß die bei einer Belastung in ein Tragwerk
hineingesteckte Arbeit bei dessen Entlastung wieder vollständig zurückgewonnen
wird.
Durch das Belasten (z.B. Aufziehen einer Uhrfeder) durch äußere Kraftgrößen
wird die Arbeit W (ä) im System gespeichert. Diese Energie wird beim Entlasten
(Entspannen der Uhrfeder) von den inneren Kraftgrößen als -W (i) wieder abgegeben.
2.6.2 Prinzip der virtuellen Arbeiten
=
� NiN k -----------
�
⋅ s + Ni ⋅ αT ⋅Tm⋅ s
�
EA
�
W W ä ( ) W i ()
= + =
0
Im Unterschied zur aktuellen ist virtuelle Arbeit eine gedachte Arbeit. Sie kann zu
einem Nachweis des Gleichgewichts oder der Verträglichkeit herangezogen werden.
a) Virtuelle Weggrößen - Gleichgewichtsnachweis:
An einem starren Körper wird das Gleichgewicht nachgewiesen, wenn die äußere
virtuelle Verschiebungsarbeit für beliebige virtuelle Verformungen gleich Null
wird (virtuelle Starrkörperverformungen).

Grundlagen
Energiesätze
Beim starren Körper ist die innere virtuelle Verschiebungsarbeit der inneren aktuellen
Kraftgrößen bei jeder beliebigen virtuellen Verformung gleich Null (verzerrungsfreie
virtuelle Verformungen).
An einem elastisch festen Körper wird das Gleichgewicht von aktuellen Kraftgrößen
nachgewiesen, wenn die äußere und die innere virtuelle Verschiebungsarbeit
für beliebige, kinematisch verträgliche, virtuelle Weggrößen gleich Null wird.
Aktuelle Kraftgrößen: P x,P z,M,q x,q z,m � N, Q, M
Virtuelle Weggrößen: Verf. δu, δw, δϕ � Verz. δε, δγ, δκ
Virtuelle Verschiebungsarbeit:
mit
Eigenschaften der virtuellen Weggrößen:
� klein im Vergleich zum Tragwerk
� nur gedacht (virtuell), nicht wirklich vorhanden
� von vorhandenen Kraftgrößen unabhängig
Bestimmung von Auflagerreaktionen
Bestimmung von Schnittkraftgrößen
δW* δW* ä ( )
= = 0
δW* δW* ä ( )
δW* i ()
= + = 0
δW * = Pxi δui + Pzi δwi + Mi δϕi + ( qx δu+ qzδw+ m δϕ)
dx–
–
a
�
b
( N δε + Q δγ + M δκ)
dx
δN
δε = ------- + αT ⋅ δTm δγ ----------δQ
δM
= δκ =
------- + α
δ∆T
T ⋅ ----------
EA
EI h
Bestimmung von Schnittkrafteinflußlinien (kinematische Methode) (siehe Vorlesung
„Statik der Tragwerke“)
a
�
b
=
GA Q
0
Baustatik 1
2-41
2-41

2-42 2-42
2-42
Baustatik 1
2 Grundlagen
Energiesätze
Beispiel 2.4: Kuppel des Petersdoms (Rom)
Dies stellt die erste Anwendung des Prinzips der virtuellen Weggrößen dar. Weil
die Kuppel Risse aufwies, mußte ein Zugband aus Eisen installiert werden. Es galt,
das Zugband zu bemessen, d.h. die Kraft im Zugband zu bestimmen.
Abb. 2.33 Peterskuppel in Rom.
Um eine vereinfachte Berechnung der Kraft im Zugband der Kuppel durchführen
zu können wurde bei der Kontrollrechnung 1742-43 das Flächentragwerk in ein
ebenes System zerlegt, d.h. es wurde für die Berechnung ein Streifen von 1m
Breite betrachtet (siehe Abb. 2.34). Das zugehörige statische System ist in Abb.
2.35 und Abb. 2.36 dargestellt.

Abb. 2.34 1m Streifen der Kuppel.
Abb. 2.35 Vereinfachtes ebenes statisches System der Kuppel.
Grundlagen
Energiesätze
Zunächst wird die gesuchte Horizontalkraft H zufolge der aktuellen Belastung
bestimmt, indem man eine virtuelle Verschiebung δu = ″1″ an der Stelle und in
Richtung der Horizontalkraft H anbringt. Diese virtuelle Verschiebung δu wird
entgegengesetzt der Orientierung der Horizontalkraft H angesetzt. Durch die virtuelle
Verschiebung δu ergeben sich auch bei den äußeren aktuellen Kräften Pzi dazugehörige virtuelle Verschiebungen δwi . Somit wird eine äußere virtuelle Verschiebungsarbeit
δW * ( ä)
geleistet, die im Gleichgewichtszustand zu Null wird.
Achtung:
Zugband
H Umfang
1m Streifen
H Umfang
Aufgrund der vereinfachten Annahmen (Vernachlässigung der 3-D Effekte,
Annahme eines Gelenks etc.) wird mit dem in Abb. 2.35 dargestellten statischen
System eine zu große Zugkraft ermittelt.
H
Baustatik 1
2-43
2-43

2-44 2-44
2-44
Baustatik 1
2 Grundlagen
Energiesätze
Virtuelle Verschiebungsarbeit:
Abb. 2.36 Idealisierte Darstellung der Kuppel.
Umrechnung der Kraft H in eine Zugkraft Z im Zugband:
Die Umrechnung der horizontalen Gleichlast H [kN/m] in eine Zugkraft Z [kN] im
Zugband erfolgt mit Hilfe der Abb. 2.37.
Die Zugkraft Z ergibt sich zu
Z =
H⋅R .
x,u
δw 1 1
P z1
z,w H
δW
( ä)
*
δw i
δw 2
i
P zi
i'
δu
2
2'
aktuelle Belastung
des Tragwerkes
virtuelle Verformung
des Tragwerkes
δu = ″1″
H gesuchte Kraft des
Zugbandes
= – H ⋅ δu + Pz1 ⋅ δw1 + Pz2 ⋅ δw2 + Pzi ⋅ δwi = 0
P z2
n
�
i = 3
H ⋅ ″1″ = Pz1 ⋅ δw1 + Pz2 ⋅ δw2 + Pzi ⋅ δwi n
�
H = Pzi ⋅ δwi i = 1
n
�
i = 3

Zugband
Abb. 2.37 Umrechnung der Kraft H in eine Zugkraft Z im Zugband.
b) Virtuelle Kraftgrößen - kinematischer Verträglichkeitsnachweis:
Grundlagen
Energiesätze
Die virtuellen Kraftgrößen sind ein komplementäres Prinzip zum Prinzip der virtuellen
Weggrößen.
An einem starren Körper werden aktuelle Verschiebungen nachgewiesen, wenn
die äußere virtuelle Verschiebungsarbeit für beliebige, im Gleichgewicht befindliche,
äußere virtuelle Kraftgrößen gleich Null wird.
An einem elastischen Körper werden aktuelle Weggrößen als kinematisch verträglich
nachgewiesen, wenn die äußere und innere virtuelle Verschiebungsarbeit
für beliebige, im Gleichgewicht befindliche, virtuelle Kraftgrößen gleich Null
wird.
Virtuelle Kraftgrößen: δP x , δP z , δM −− δN, δQ, δM
Aktuelle Weggrößen: Verf. u, w, ϕ −− Verzerrungen ε, γ, κ
Virtuelle Verschiebungsarbeit:
Z
R
R
dj
R
H(kN/m)
HRdj
H [kN/m]
( ä)
*
Z
δW * = δW = 0
( ä)
*
i * ()
dj
Z
δW * = δW + δW = 0
Z
HRdj
δW * =
ui ⋅ δPxi + wi ⋅δPzi + ϕi⋅δMi– ( ε ⋅ δN+
γ⋅ δQ+
κ ⋅ δM)
dx
= 0
�
b
a
Baustatik 1
2-45
2-45

2-46 2-46
2-46
Baustatik 1
2 Grundlagen
Energiesätze
mit
N
ε -------
Q
= + αT ⋅ Tm γ = ----------- κ
EA
M
= ----- + α
∆T
------ T ⋅
EI h
Eigenschaften der virtuellen Kraftgrößen:
� nur gedacht (virtuell), nicht wirklich vorhanden
� willkürlich
� von vorhandenen Weggrößen unabhängig
� im Gleichgewicht befindlich
Beispiel 2.5: Einfeldträger mit konstanter Biegesteifigkeit EI
Aktuelle Belastung:
Biegelinie:
Virtuelle Belastung:
ges.: maximale Durchbiegung
q L
--------- z
2
z,w
GA Q
M q L
z 2
------------
8
δM
1/2
m
L
m
wm
δP zm
L/4
=
″1″
qz
q L
--------- z
2
x,u
Parabel IV. Ordnung
1/2

Die virtuelle Verschiebungsarbeit ergibt sich zu:
wobei der Arbeitsanteil aus Querkräften vernachlässigt wird.
Mit
folgt weiter
δW* = wm ⋅ δPzm – � κ ⋅ δMdx
= wm⋅1– -----
M
� ⋅ δM dx
= 0
EI
w m
2.6.3 Satz von Castigliano
L--
tienten der Eigenarbeit auf.
Grundlagen
Energiesätze
stellte 1879 den Satz vom Differentialquo-
Der Satz wird am Einfeldträger mit vertikalen Punktlasten erklärt. Er gilt sowohl
für statisch bestimmte als auch für statisch unbestimmte Tragwerke mit beliebigen
äußeren Kraftgrößen unter folgenden Voraussetzungen:
� linear elastisches Tragwerk
� spannungslose Anfangszustände
� keine Temperaturänderungen
� starre Auflager (keine Widerlagerverformungen)
b
a
w m
=
L
�
0
M
--------------δM
dx
EI
M
und
qzx = ------- ( L– x)
δM
2
x
= --
2
2 qzx ----- ------- ( L– x)
EI 2
x
2
q
�
-- dx
-------- z Lx
2 2EI
2
x 3
2
= = � ( – ) dx
=
0
= qz -------- L
2EI
L3
---------
L
3 ⋅ 8
4
� � qzL � – ------------ �
� 4 ⋅ 16 �
4
= ----------
2EI
w m
5qzL 4
=
--------------
384EI
L--
0
L
0
� 8
-----------
– 3 �
� 192 �
Baustatik 1
2-47
2-47

2-48 2-48
2-48
Baustatik 1
2 Grundlagen
Energiesätze
1. Methode:
Ein Einfeldträger wird mit willkürlichen vertikalen Punktlasten P zi belastet:
z,w
Die entlang der Verschiebungswege w i geleistete äußere Eigenarbeit beträgt
Die vertikalen Punktlasten P zi werden um differentielle Zuwächse dP zi erhöht.
z,w
Es vergrößert sich die geleistete äußere Eigenarbeit um einen differentiellen
Zuwachs .
Die aufgebrachten differentiellen Zuwächse dP zi verrichten eine Eigenarbeit,
außerdem leisten die ursprünglichen Punktlasten P zi auf den differentiellen Verschiebungswegen
dw i eine Verschiebungsarbeit.
2. Methode:
dW ä ( )
W ä ( )
+
x,u
x,u
W ä ( ) =
1
dW ä ( )
P z1
1 2 3
w 1
Die Belastungsreihenfolge wird umgedreht. Der Einfeldträger wird zuerst mit den
differentiellen Zuwächsen dP zi belastet, anschließend wird die Belastung mit den
willkürlichen vertikalen Punktlasten P zi erhöht.
P z2
w2
--( Pz1 ⋅ w1 + Pz2 ⋅ w2 + Pz3 ⋅ w3) 2
dw 1
dP z1
dP z2
1 2 3
dw 2
P z3
w 3
.
dP z3
dw 3
=
1
--( Pz1 ⋅ w1 + Pz2 ⋅ w2 + Pz3 ⋅ w3)+ 2
+ 1
--( dPz1 ⋅ dw1 + dPz2 ⋅ dw2 + dPz3 ⋅ dw3)+ 2
+Pz1 ⋅
dw1 + Pz2 ⋅ dw2 + Pz3 ⋅ dw3

z,w
x,u
dP z1
1 2 3
1 2 3
Es ergibt sich die geleistete Arbeit analog der 1. Methode zu:
W ä ( )
+
dW ä ( )
Grundlagen
Energiesätze
In beiden Fällen muß die geleistete Arbeit gleich sein. Nach Unterdrückung der
von höherer Ordnung kleinen Arbeitsanteile
und durch Herauskürzen der äußeren Eigenarbeit ergibt sich:
dW ä ( )
Beide Arbeitszuwächse bilden vollständige Differentiale, wenn im 1. Fall als
Funktion der äußeren Weggrößen, im 2. Fall als Funktion der ursprünglichen
Kraftgrößen vorausgesetzt wird. Durch gliedweisen Vergleich ergibt sich:
∂W ä ( )
------------- = Pz1 ∂w1 dW ä ( )
dP z2
dw 1 dw 2 dw 3
dP z3
P z1 P z2 P z3
w 1 w 2
w 3
=
1
--( dPz1 ⋅ dw1 + dPz2 ⋅ dw2 + dPz3 ⋅ dw3)+ 2
+ 1
--( Pz1 ⋅ w1 + Pz2 ⋅ w2 + Pz3 ⋅ w3)+ 2
+dPz1 ⋅ w1 + dPz2 ⋅ w2 + dPz3 ⋅ w3 1
2
3
�
-- ( dPzi ⋅ dwi) i = 1
W ä ( )
= Pz1 ⋅ dw1 + Pz2 ⋅ dw2 + Pz3 ⋅ dw3 = ( Pzi ⋅ dwi) 3
�
i = 1
= dPz1 ⋅ w1 + dPz2 ⋅ w2 + dPz3 ⋅ w3 = ( dPzi ⋅ wi) ∂W ä ( )
------------- = Pz2 ∂w2 3
�
i = 1
W ä ( )
∂W
...
ä ( )
------------- =
Pzi ∂wi Baustatik 1
2-49
2-49

2-50 2-50
2-50
Baustatik 1
2 Grundlagen
Energiesätze
∂W ä ( )
------------- = w1 ∂Pz1 ∂W ä ( )
------------- = w2 ∂Pz2 ∂W
...
ä ( )
------------- = wi ∂Pzi Es gilt der Energiesatz, die äußere Eigenarbeit kann durch die innere ersetzt und
dasselbe kann ebenso für die innere Eigenarbeit abgeleitet werden.
Als Gesamtergebnis erhält man die zwei Sätze von Castigliano:
∂W ä ( )
1. Satz
------------- = – ------------ = PiP ... allg. äußere KG
∂δ i
∂W ä ( )
∂W i ()
2. Satz ------------- = – ------------ =
δi δ ... allg. Verformung
∂P i
Die partielle Ableitung der äußeren oder negativen inneren Eigenarbeit einer äußeren
Kraftgrößengruppe nach einer äußeren Weggröße (Kraftgröße) liefert die dazugehörige
äußere Kraftgröße (Weggröße).
Der 2. Satz von Castigliano ermöglicht auch die Berechnung von Verformungsgrößen
δ i an Punkten, wo keine entsprechenden äußeren Kraftgrößen P i angreifen,
wenn man in den Richtungen der gesuchten Verformungsgrößen δ i dazugehörige
äußere Kraftgrößen P i ansetzt, diese aber nach Durchführung der Differentiationen
gleich Null setzt.
Hierbei werden, wie teilweise auch dort, wo entsprechende äußere Kraftgrößen P i
angreifen (siehe Beispiel), einige Arbeitsanteile umsonst ausgerechnet. Diese
Arbeitsanteile fallen beim Differenzieren oder Nullsetzen heraus.
Allgemein - ohne die vorher genannten Voraussetzungen - gelten auch für nichtlinear
elastische Tragwerke die zwei Sätze von Castigliano. Dies bedarf aber weitere,
ausführlichere Erklärungen über die Formänderungsarbeiten, die nicht Sinn
und Zweck der Vorlesung Baustatik sind und sowieso in der Vorlesung Festigkeitslehre
behandelt werden. Außerdem werden diese Verfahren für Verformungsberechnungen
im allgemeinen nicht mehr verwendet. Sie besitzen, da sie
umständlicher sind als neuere Verfahren, in der Praxis nicht mehr ihre frühere
Bedeutung.
∂δ i
∂W i ()
∂Pi

Beispiel 2.6: Kragträger mit konstanter Biegesteifigkeit EI
ges.: vertikale Durchbiegung und Verdrehung am freien Ende
M*
M
z,w
Die innere Eigenarbeit folgt mit
W i
w
- M*
wobei der Arbeitsanteil aus Querkräften wieder vernachlässigt wird!
Mit dem 2. Satz von Castigliano folgt:
L
P z
ϕ
ϕ
- M* - P z x
L
Biegelinie
Grundlagen
Energiesätze
x,u
- M* - P z L
() 1
--
2
M2
– � ------ dx
--------
1
M*
EI 2EI
2
2 2
= = – �(
+ 2M*Pzx + Pzx) dx
=
=
–
δ i
0
--------
1
M*
2EI
2 L M*PzL 2 P � z �
� + + ----------- �
� 3 �
∂W i ()
------------
∂Pi = – =
w
L
0
2 L 3
--------
1
2EI
∂
------- M* 2 L M*PzL 2 P �
----------- z �
� + + �
� 3 �
∂W i ()
------------
∂Pz = – =
∂W i ()
∂P i
--------
1
M*L
2EI
2 2PzL 3
� �
� + -------------- �
� 3 �
ϕ – ------------ --------
1
2M*L PzL ∂M* 2EI
2
= =
( + )
2 L 3
Baustatik 1
2-51
2-51

2-52 2-52
2-52
Baustatik 1
2 Grundlagen
Energiesätze
2.6.4 Satz von Betti
Der Satz von der Gegenseitigkeit der Verschiebungsarbeiten wurde 1872 von
aufgestellt.
Der Satz wird am Einfeldträger mit vertikalen Punktlasten erklärt. Er gilt jedoch
allgemein für linear elastische Tragwerke mit beliebigen äußeren Kraftgrößen.
1. Methode:
Zuerst wird der Einfeldträger mit willkürlichen vertikalen Punktlasten P zi1 belastet.
z,w
x,u
P z11 P z21 P zi1
1 2 i
w 11
w 21
Längs der entstehenden Verschiebungswege wi1 wird eine äußere Eigenarbeit
( ä)
W1 geleistet. Weiters wird der Einfeldträger mit weiteren willkürlichen vertikalen
Punktlasten belastet.
z,w
x,u
P zi2
Die aufgebrachten vertikalen Punktlasten leisten eine äußere Eigenarbeit
( ä)
W2 längs der Verschiebungswege w . Auf den Verschiebungswegen wi2 wer-
i2
den die Punktlasten Pzi1 mitverschoben, wodurch eine äußere Verschiebungsarbeit
W *
12 ä ( )
w 12
der Belastung 1 auf den Wegen der Belastung 2 verrichtet wird.
Die insgesamt geleistete äußere Formänderungsarbeit summiert sich zu:
w i1
P z12 P z22 P zi2
1 2 i
w 12 w 22
W ä ( ) ( ä)
=
W1
w 22
w i2
P zi2
( ä)
W2
+ +
w i2
W *
12 ä ( )
.
Belastung 1
Verschiebungen w i1
Belastung 2
Verschiebungen w i2
Verschiebungen w i2

2. Methode:
Grundlagen
Energiesätze
Die Belastungsreihenfolge wird umgedreht. Der Einfeldträger wird zuerst mit den
willkürlichen vertikalen Punktlasten Pzi2 belastet und erst danach mit den willkürlichen
vertikalen Punktlasten Pzi1 .
z,w
x,u
P z12 P z22 P zi2
1 2 i
w 12 w 22
P z11
P z21
1 2 i
w 11
w 11
w 21
Es ergibt sich die geleistete äußere Formänderungsarbeit analog der 1. Methode zu:
W ä ( ) ( ä)
= W2
wobei W *
21 die äußere Verschiebungsarbeit der Belastung 2 auf den Verschiebungswegen
der Belastung 1 ist.
ä ( )
w i1
In beiden Fällen muß die geleistete Arbeit gleich sein:
W ä ( ) ( ä)
W1
( ä)
W2
Es gilt der Energiesatz, die äußere Formänderungsarbeit kann durch die innere
ersetzt und dasselbe kann ebenso für die innere Verschiebungsarbeit abgeleitet
werden.
w i2
P zi1
w i1
w 21
( ä)
W1
+ +
W *
12 ä ( )
= + + = W2
W 12 * ä
W 12 * i
( ) W *
21 ä ( )
=
() W *
21 i ()
=
w i1
W *
21 ä ( )
( ä)
,
( ä)
W1
+ +
Belastung 2
Verschiebungen w i2
Belastung 1
Verschiebungen w i1
Verschiebungen w i1
W *
21 ä ( )
Baustatik 1
2-53
2-53

2-54 2-54
2-54
Baustatik 1
2 Grundlagen
Energiesätze
Satz von der Gegenseitigkeit der Verschiebungsarbeiten (Satz von Betti):
Die linear elastische äußere (innere) Verschiebungsarbeit einer Belastung 1 längs
Verformungen (Verzerrungen) einer Belastung 2 entspricht derjenigen aus der
Belastung 2 längs Verformungen (Verzerrungen) der Belastung 1.
2.6.5 Satz von Maxwell
der elastischen Verformungen auf.
stellte 1864 den Satz von der Gegenseitigkeit
Anwendung des Satzes von Betti mit zwei Einschränkungen:
� Man beschränkt sich auf eine einzige Einzelkraftgröße pro Belastung.
� Die Einzelkraftgröße besitzt die Größe “1“.
Mit dem gleichen Belastungsvorgang von Abschnitt 2.6.4 (1. und 2. Methode) und
den Belastungen i und k erhält man das schon bekannte Ergebnis der gegenseitigen
äußeren Verschiebungsarbeiten:
z,w
x,u
Werden die Größen der beiden Einzelkraftgrößen gleich “1“ gesetzt, so erhält man
den Maxwell´schen Satz von der Gegenseitigkeit der elastischen Verformungen:
oder allgemein:
W *
ik ä ( )
( )
Pzi ⋅ wik Pzk ⋅ wki W *
ki ä
= = =
P zi = “1“
i k
w ii
i k
w ik
w kk
w ki
P zk = “1“
″1″ ⋅ wik = ″1″ ⋅ wki w ik
δ ik
=
=
w ki
δ ki
.
Belastung i
Verschiebungen w ni
Belastung k
Verschiebungen w nk

Grundlagen
Energiesätze
Die Verformung (Verschiebung oder Verdrehung) δ ik im Punkt i zufolge einer Einzelkraftgröße
“1“ im Punkt k entspricht der Verformung δ ki im Punkt k zufolge
einer Einzelkraftgröße “1“ im Punkt i.
Voraussetzungen:
Achtung:
� linear elastisches Tragwerk
� spannungslose Anfangszustände
� keine Temperaturänderungen
� starre Auflager (keine Widerlagerverschiebungen)
Auch wenn die beiden Einzelkraftgrößen “1“ herausgekürzt werden, so müssen
deren Dimensionen erhalten bleiben !
Beispiel 2.7:
z,w
ϕ
x,u
i
φ i
M i = “1“
δ
ki
k
i k
δ
ik
Mi ⋅ ( – δik) = Pzk ⋅ – δki ( )
P zk = “1“
″1″ [ kNm]
⋅ δik[] - =
″1″ [ kN]
⋅ δki[ m]
Es sei hier noch einmal betont, daß die Sätze von Betti und Maxwell nur für die
lineare Statik ( Theorie I. Ordnung: Werkstofflinearität + geometrische Linearität
� Superpositionsgesetz gültig ) sowohl für statisch bestimmte als auch für statisch
unbestimmte Tragwerke gelten. Die zwei Sätze von Castigliano sind zusätzlich
auch noch für nichtlinear elastische Tragwerke gültig.
Baustatik 1
2-55
2-55

2-56 2-56
2-56
Baustatik 1
2 Grundlagen
Energiesätze
2.6.6 Prinzip von Müller-Breslau
Anwendung des Satzes von Maxwell bei der Ermittlung von Einflußlinien für
äußere Weggrößen (Verformungseinflußlinien).
Beispiel 2.8: Einflußlinie “w i “ für die vertikale Durchbiegung im Punkt i
Um die Einflußlinie “w i“ für die vertikale Durchbiegung im Punkt i zu erhalten,
müßte der Einfeldträger an jedem Punkt x mit P zx = “1“ einzeln belastet und für
jeden Lastfall die Durchbiegung w ix an der Stelle i berechnet werden.
Nach dem Satz von Maxwell ist
wobei die w xi die Durchbiegungen (Biegelinie) der im Punkt i angreifenden Einzelkraft
P zi = “1“ sind.
Allgemein:
z,w
z,w
P zi = “1“
i
w ix
x
w ix
=
w xi ,
i x
w ii
x
w xi
P zx = “1“
Die Einflußlinie einer Verformung (Verschiebung oder Verdrehung) „δ i “ im Punkt
i ist gleich die Biegelinie δ xi , wenn im Punkt i in Richtung der Verformung eine
übereinstimmende Einzelkraftgröße der Größe “1“ wirkt, d.h. jede Einflußlinie für
eine Verformung ist eine Biegelinie.
w xx
Einflußlinie “w i “
″δi ″ =
δxi x,u
x,u

2.7 Integrationsverfahren
2.7.1 Analytische Integration
Grundlagen
Integrationsverfahren
Die analytische Integration ist nur für besonders einfach verlaufende Funktionen
zu empfehlen.
Beispiel 2.9: Fläche von konvexer Parabel
f(x)
x=0: f(0)=0 � f(x 0 )=0
x = L: f(L) = h �
Konkave Parabel:
( 3 ⁄ 4)L
L
C
f(x) 2px 2
= + f(x0 )
f(x)
L
L 2
2p
----h
x 2
=
----h
=
L 2
-----h 3
10
A � f(x) dx
----h
x 2 � dx
L 2 = = = -------- =
3
0
L 2
A =
hL
------
3
hL 3
h
x
C ... Schwerpunkt
-----hL
3
Baustatik 1
2-57
2-57

2-58 2-58
2-58
Baustatik 1
2 Grundlagen
Integrationsverfahren
Allgemeines Dreieck:
2.7.2 Numerische Integration
Die numerische Integration wird angewendet, wenn die analytische Integration zu
aufwendig ist oder die Funktionswerte nur in diskreten Punkten gegeben sind.
Trapezregel: n = beliebig
f 0
f(x)
f 1
( 5 ⁄ 8)L
C
L
A
L
C
=
2hL
---------
3
b c
(L+b)/3 (L+c)/3
f 2
f 3
A
=
hL
------
2
∆x ∆x ∆x ∆x ∆x ∆x
f 4
f 5
x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
2--h
5
h/3
Abb. 2.38 Numerische Integration.
f 6
h
h
x

Simpsonregel:
n=2:
n = gerade:
Grundlagen
Integrationsverfahren
Die Simpsonregel ist bis zur kubischen Parabel exakt. Für Polynome höherer Ordnung
( n > 3 ) ist eine engere Unterteilung zu wählen; z.B. bei Halbierung der
Intervalllänge verringert sich der Fehler auf 1/16.
Sind Knicke oder Sprünge in den Funktionsverläufen, so darf nur dann integriert
werden, wenn sich die Knicke oder die Sprünge an Stellen befinden, deren Werte
mit dem Multiplikationsfaktor 2 zu multiplizieren sind.
Newtonregel:
n=3
Beispiel:
�
� ∆x f 0
A = f(x) dx
=
A = f(x) dx
=
M
�
A = f(x) dx
=
�--- + f1 + f2 + f3 + … + f --- n – 1 +
�
�22� ∆x
------( f0 + 4f1 + f2) 3
------
∆x
( f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + 2f4 + … + 2fn – 2 + 4f + f n – 1 n)
3
�
A = f(x) dx
=
M L
3∆x
--------- ( f0 + 3f1 + 3f2 + f3) 8
M m
M
ML Mm L ⁄ 2
L ⁄ 2
L
f n
M r
M r
Baustatik 1
2-59
2-59

2-60 2-60
2-60
Baustatik 1
2 Grundlagen
Integrationsverfahren
Simpsonregel:
2.7.3 Tabellarische Integration
Beispiele:
M
M
M
M
A
Zerlegung in Teilintegrale:
L
L
I
I = � f(x) g(x) dx
= � MM dx
=
L
-- ( ML ML + 4MmMm + Mr Mr)
6
I = � f(x) g(x) dx
= Tabellenwert × Länge
B
D
D
0
L
�
I = MM dx
=
0
L
I = MM dx
=
0
�
L
1
-- BD ⋅ L
3
�
�
�
Tabellenwert
1
-- AD ⋅ L
6
�
�
�
Tabellenwert

I
M
M
Achtung:B und D sind negativ !
L
C
C
A
x
D
A
L / 2 L / 2
I = MM x
� 1
-- AC ( – D)
1
--
�
+ ( – B)
( C – 2D)
�
� d =
3
6
�
L
0
I
L
-- AC – AD BD
3
1
=
� + – --
�
BC�
2 �
L
C
x
B
D
Grundlagen
Integrationsverfahren
B
D
Baustatik 1
2-61
2-61

2-62 2-62
2-62
Baustatik 1
2 Grundlagen
Integrationsverfahren
L A B A A B
C AC
C
D
1--AD
2
1--AC
2
C D 1--A(
C+ D)
2
C 1--AC
γL δL 2
C * 2--AC
3
C
D *
D *
*
2--AD
3
2--AC
3
1--AD
3
C * 1--AC
3
C ** 1--AC
4
1--BC
2
1--BD
3
1--BC
6
* quadratische Parabel
** kubische Parabel
1--B(
C+ 2D)
6
1--BC(
1 + γ)
6
1--BC
3
-----BD
5
12
1--BC
4
1--BD
4
-----BC
1
12
-----BC
1
20
1--AC
2
1--AD
6
1--AC
3
1--A(
2C+ D)
6
1--AC(
1 + δ)
6
1--AC
3
1--AD
4
-----AC
5
12
-----AD
1
12
1--AC
4
1--AC
5
1--
( A + B)C
2
1--
( A + 2B)D
6
1--
( 2A + B)C
6
1--
[ A2C ( + D)
6
+B( 2D + C)]
1--
[ A1 ( + δ)
6
+B( 1 + γ)]C
1--
( A + B)C
3
A
1--AC
2
1--AD(
1 + α)
6
1--AC(
1 + β)
6
αL βL
1--A[
C1 ( + β)
6
+D( 1 + α)]
1--AC
2γ – γ2 α
6
2
---------------------------
–
βγ
γ ≥ α
1--AC(
1 + αβ)
3
----- 1
( 3A + 5B)D
12
1 -----AD 5 – β β
12
2
( – )
----- 1
( 5A + 3B)C
12
----- 1
( A + 3B)D
12
----- 1
( 3A + B)C
12
----- 1
( 4A + B)C
20
-----AC
1
5 – α α
12
2
( – )
-----AD
1
1 α α
12
2
( + + )
-----AC
1
1 β β
12
2
( + + )
-----AC
1
( 1 + β)
1 α
20
2
( + )

C
C
L
D
A
2--AC
3
1--AD
3
1--AC
3
C D 1--A(
C+ D)
3
C
C
C
γL δL
D *
D *
* quadratische Parabel
*
1--AC(
1 + γδ)
3
* 8 -----AC
15
-----AD
7
15
* -----AC
7
15
1
--AD
5
C * 1
--AC
5
C ** -----AC
2
15
2--BC
3
-----BD
5
12
1--BC
4
** kubische Parabel
ü
B *
-----B
1
( 3C+ 5D)
12
-----BC
1
5 – δ δ
12
2
( – )
-----BC
7
15
-----BD
8
15
11
-----BC
30
-----BD
3
10
-----BC
2
15
-----BC
1
12
A
2--AC
3
1--AD
4
-----AC
5
12
*
-----A
1
( 5C+ 3D)
12
-----AC
1
5 γ γ
12
2
( – – )
-----AC
7
15
11
-----AD
30
-----AC
8
15
-----AD
2
15
-----AC
3
10
-----AC
7
30
1--BC
3
1--BD
4
-----BC
1
12
B *
-----B
1
( C+ 3D)
12
-----BC
1
1 γ γ
12
2
( + + )
1--BC
5
-----BD
3
10
-----BC
2
15
1
--BD
5
-----BC
1
30
-----BC
1
60
Grundlagen
Integrationsverfahren
A
1--AC
3
-----AD
1
12
1--AC
4
-----A
1
( 3C+ D)
12
*
-----AC
1
1 δ δ
12
2
( + + )
1--AC
5
-----AD
2
15
-----AC
3
10
-----AD
1
30
1
--AC
5
1
--AC
6
Baustatik 1
2-63
2-63

2-64 2-64
2-64 Baustatik 1
2 Grundlagen
Integrationsverfahren

3
Verformungen ebener elastischer
Tragwerke
3.1 Berechnung von Biegelinien
Berechnung von Biegelinien
Verformungen einzelner Tragwerkspunkte
Williot-Verschiebungsplan
Eine Biegelinie ist eine Verformung von Stäben normal zu deren Schwerpunktsachsen.
3.1.1 Geometrische Beziehungen
z,w
ϕ
x,u
N
w
M
Q
ϕ
Q+dQ
M+dM
Abb. 3.1 Verformtes und unverformtes, differentielles Stabelement.
q x
dx
q z
u u+du
dx
N+dN
ϕ + dϕ
Baustatik 1
3-1
3-1

3-2
3-2
3
Baustatik 1
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Berechnung von Biegelinien
Voraussetzungen für Stabelemente:
� Kinematische Beziehungen (Abschnitt 3.4.3)
� Werkstoffgesetze (Abschnitt 2.3)
� Gleichgewichtsbedingungen
3.1.2 Differentialgleichungen ebener, gerader Stabelemente
Bei geraden Stabelementen tritt eine Entkopplung von der achsialen Verschiebung
u und der Durchbiegung w ein, bei gekrümmten Stabelementen sind diese gekoppelt.
Die Schubverzerrungen g werden gemäß der Normalhypothese nach
Bernoulli (Abschnitt 2.2.2) vernachlässigt.
1. Kinematische Beziehungen:
Verschiebung:
Durchbiegung:
Verdrehung, Neigung:
Längsdehnung:
Krümmung:
2. Werkstoffgesetze:
mit σ = ε ⋅ E folgt
3. Gleichgewichtsbedingungen:
�
P x
u
w
ϕ
ε
κ
dw
= – ------ = – w′
dx
du
= ----- = u′
dx
dϕ
------ d
dx
2 – --------w
= = = – w″
dx 2
N EA ⋅ εN EA du
= = ⋅ ----dx
M EI ⋅ κM EI d2 --------w
= = – ⋅
dx 2
= 0
N+ dN – N+
qx⋅dx = 0
q x
dN
d
– ------ ----- EA
dx dx
du
= =
–
�
� ⋅ ----- �
dx�

Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Berechnung von Biegelinien
Aus der ersten Ableitung des Biegemoments erhält man die Querkraft, bzw. aus
der Integration der Querkraft ergibt sich das Biegemoment.
Aus der zweiten Ableitung des Biegemoments erhält man die negative Belastung,
bzw. aus der Integration der negativen Belastung ergibt sich die Querkraft.
3.1.3 Analytische Integration der Differentialgleichungen
Belastung: q x ,q z (keine Temperaturänderungen)
Normalkraft:
Querkraft:
qz dx
� M = 0 M dM – M – Q⋅dx 2
⋅
+ + ----------------- = 0
�
P z
Biegemoment:
Verschiebung:
dM
Q = ------- = –
dx
M
Verdrehung, Neigung: ϕ = � κ dx
= � ----- dx
=
EI
2
II. Ordnung

3-4
3-4
3
Baustatik 1
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Berechnung von Biegelinien
Beispiel 3.1: Kragträger mit konstanter Biegesteifigkeit EI
ges.: maximale Durchbiegung
M
Biegelinie:
- P z L
z,w
w
∂ 2 w
∂x 2
---------
∂w
------
∂x
Randbedingungen:x = 0 :w(0) = 0�
∂w(0)
-------------- = 0 �C
∂x
1 = 0
x=L:
L
kubische Parabel
M
= – ----- = –
EI
P z (x-L)
Pz ----- ( x – L)
EI
Pz -----
EI
x2 � �
= – �---- – Lx�
+ C1 � 2 �
Pz -----
EI
x3
---- L
6
x2 � �
= – � – ---- � + C1⋅x+ C2 � 2 �
Biegelinie: w =
w max
C 2
P �
z 2 � x3
-------- �Lx – ---- �
2EI � 3 �
PzL 3
=
----------
3EI
=
0
P z
P L
z 3
------------
3EI
x,u

3.1.4 Die Analogie nach Mohr (1868)
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Berechnung von Biegelinien
Das Verfahren nutzt den analogen Aufbau der Differentialgleichungen des Gleichgewichtes
und der kinematischen Beziehungen nach Substitution der Werkstoffgesetze
aus.
Die Durchbiegungen w i eines Tragwerkes sind gleich die Biegemomente M e i eines
Ersatztragwerkes, wenn als Belastung die 1/EI-fache Biegemomentenfläche von
der wirklichen Belastung aufgebracht wird.
Die negativen Neigungen ϕi der Biegelinie eines Tragwerkes sind
gleich die Querkräfte Q e ( – ϕ = dw ⁄ dx)
i eines Ersatztragwerkes, wenn als Belastung die 1/EIfache
Biegemomentenfläche von der wirklichen Belastung aufgebracht wird.
Achtung:
d 2 ----------
M
= – qz dx 2
dQ
------ = – qz dx
Bei diesem Verfahren sind die Rand- und Übergangsbedingungen des Ersatztragwerkes
verschieden vom wirklichen Tragwerk !
Berechnungsvorgang:
dϕ
– -----dx
d 2 w
dx 2
---------
M
– -----
EI
� Bestimmung der Auflagerkräfte und Biegemomente M i infolge der wirklichen
Belastung q z am wirklichen Tragwerk.
� Belastung eines Ersatztragwerkes mit der nach Punkt 1 ermittelten Biegemomentenfläche
unter Berücksichtigung der verschiedenen Trägheitsmomente
M / EI.
� Bestimmung der Auflagerkräfte und Querkräfte Q e i am Ersatztragwerk;
diese stellen die negativen Neigungswinkel ϕi der Biegelinie vom wirklichen
Tragwerk dar.
� Bestimmung der Biegemomente M e i am Ersatztragwerk, die zugleich die
Durchbiegungen w i (Biegelinie) vom wirklichen Tragwerk darstellen.
=
d 2 = --------w
=
dx 2
– -----
M
EI
Baustatik 1
3-5
3-5

3-6
3-6
3
Baustatik 1
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Berechnung von Biegelinien
Rand- und Übergangsbedingungen:
Wirkliches Tragwerk Ersatztragwerk
Beispiel 3.2: Kragträger mit konstanter Biegesteifigkeit EI
ges.: maximale Durchbiegung
w = 0 ϕ = 0 M e = 0 Q e = 0
w ≠ 0 ϕ ≠ 0 M e ≠ 0 Q e ≠ 0
w = 0 ϕ ≠ 0 M e = 0 Q e ≠ 0
w = 0 ϕ ≠ 0 M e = 0 Q e ≠ 0
w = 0 ϕ l = ϕ r M e = 0 Q e l = Qe r
w ≠ 0 ϕ l ≠ ϕ r M e ≠ 0 Q e l ≠ Q e r
statisch bestimmtes Tragwerk statisch bestimmtes Ersatztragwerk
n-fach statisch unbestimmtes
Tragwerk
M
- P z L
z,w
e
Mmax n-fach kinematisch verschiebliches
Ersatztragwerk
L
PzL 2
----------
2EI
2 PzL ⋅ -- L
3
3
= = ---------- =
wmax 3EI
P z
x,u

M e
P L
--------- z
EI
Biegemomenten-
linie des Ersatzträgers
= Biegelinie vom
wirklichen Träger
Beispiel 3.3: Einfeldträger mit konstanter Biegesteifigkeit EI
ges.: maximale Durchbiegung
z,w
L/2
P L
z 2
------------
2EI
kubische Parabel
P z
P L
--------- z
4
Abb. 3.2 Momentenlinie aus Belastung
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Berechnung von Biegelinien
2--L
3
L/2
P L
z 3
------------
3EI
x,u
Baustatik 1
3-7
3-7

3-8
3-8
3
Baustatik 1
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Berechnung von Biegelinien
M e
Biegemomentenlinie
des Ersatzträgers
= Biegelinie vom
wirklichen Träger
e
Mmax Abb. 3.3 Ersatzträger
Beispiel 3.4: Einfeldträger mit konstanter Biegesteifigkeit EI
ges.: maximale Durchbiegung
M
P L
--------- z
4EI
P L
z 2
------------
16EI
L/3 L/6 L/6
kubische
Parabel
L/3
P L
z 2
------------
16EI
PzL 2
-----------
16EI
L P
⋅ -- zL 2
2
-----------
16EI
L P
– ⋅ -- zL 6
3
-----------
16EI
1
= =
�-- –
1
�
-- �
2 6 �
e
Mmax PzL 3
= ----------- = wmax 48EI
2/3
1/3
A B
z,w
ϕ
L
q z
�PL� �--------- z �L
�4EI� 2
----------------------
8
quadratische
Parabel
M B
M B
x,u

Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Berechnung von Biegelinien
Die Verdrehungen am Anfang und am Ende des Trägers lauten:
MBL MBL = – ----------- und ϕB = ----------- .
6EI
3EI
Die maximale Durchbiegung bei Q e = 0 ergibt:
Aus
Ersatzträger:
M
= Biegelinie vom
e
Q
= negative Neigungswirklichen
Träger
e
M L
------------ B
6EI
winkel der Biegelinie
vom wirklichen Träger
M L
------------ B
6EI
x max
kubische Parabel
ϕ A
Q e ( x)
x 2
----
L
und damit wird das Moment über
ϕ A
=
L/2
M x
------------ B
EIL
2-
L
3
L§ 3
M L
------------ B
2EI
MBL -----------
6EI
MB -------
EI
x
--
L
x
= – ⋅ -- = 0
2
L
--
L
= folgt xmax =
--------
3
3
.
L/3
quadratische Parabel
ϕ B
M
-------- B
EI
M L
------------ B
3EI
M L
– ------------ B
3EI
M L
B 2
----------------
9 3EI
M L
B 2
----------------
9EI
Baustatik 1
3-9
3-9

3-10 3-10
3-10
3
Baustatik 1
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Berechnung von Biegelinien
und weiter mit
zu
M e ( x)
e
Mmax MBL ----------- x
6EI
MB -------
EI
x
--
L
x
--
2
x
= – ⋅ -- =
3
MB -------- Lx
x
6EI
3 � �
� – ---- �
� L �
MB -------- L
6EI
L
--------
L
3
3
� � M
– ---------------
BL � �
� �
3 3 L
2
= = ----------------- �
1 –
1
-- �
�
6 3 EI
3 �
e
Mmax MBL 2
= ----------------- = wmax 9 3 EI
Beispiel 3.5: Beidseitig eingespannter Träger mit konstanter Biegesteifigkeit EI
und mittiger Einzelkraft - gesucht wird die maximale Durchbiegung w max
M
Ersatzträger
(freischwebend,
ungestützt):
M e
= Biegelinie vom
wirklichen Träger
M A
z,w
P L
z 2
------------
64EI
A C
B
----- L
12
L/2
4L ------
12
P z
P L
M = M = – --------- z
A B 8
P L
z
L/4
2
------------
64EI
----- L
12
M C
L/2
P L
--------- z
8EI
P L
= --------- z
8
L/4
P L
--------- z
8EI
M B
P L
--------- z
4
x,u

Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Berechnung von Biegelinien
Der Ersatzträger ist allein unter seiner Ersatzbelastung im Gleichgewicht, d.h. die
Ersatzbelastung bildet eine Gleichgewichtsgruppe, die Auflagerreaktionen entbehrlich
macht (Randbedingung: keine Auflager !).
3.1.5 Querkraftverformungen
Die Normalhypothese nach Bernoulli (Abschnitt 2.2.2) wird nicht angewendet,
d.h. die Schubverzerrungen γ werden nicht vernachlässigt. Es wird jedoch angenommen,
daß ebene Querschnitte auch nach der Verformung eben bleiben.
Q
z,w
dx
Abb. 3.4 Angenommene Querkraftverformung beim ebenen, geraden Stabelement.
Schubanteil der Biegelinie:
γ
GA Q
e
Mmax e
Mmax PzL 2
-----------
64EI
5L
=
�------ – -----
L �
�12 12 �
Q
PzL 3
= -------------- = wmax 192EI
dw
GA Q
x,u
dw Q
γ = ------ = w ′ = -----------dx
GA
Q
Q
w -----------
1
� dx
---------dM
-------
1
= = � dx
= ----------- dM
dx �
w
-----------
M
= + C
GA Q
GA Q
Der Schubanteil der Biegelinie eines Tragwerkes ist gleich dem Biegemoment M,
wenn als Belastung die 1/GA Q -fache wirkliche Belastung aufgebracht wird.
d 2 w
dx 2
---------
=
dQ
-----dx
-----------
1
= – q -----------
1
z
GA Q
GA Q
Baustatik 1
3-11
3-11

3-12 3-12
3-12
3
Baustatik 1
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Berechnung von Biegelinien
Gesamtbiegelinie (Biegungs- und Schubanteil):
dx 2
Beispiel 3.6: Einfeldträger mit konstanten Steifigkeiten (EI, GA Q )
ges.: maximale Durchbiegung
z,w
w max
d 2 w
dx 2
---------
q z
= – -----------
GA Q
d 2 -------wd
2 wB d------------
2 wS = + ----------- =
L/2
dx 2
dx 2
dx 2
M
– -----
EI
d 2 --------w
�
-----
M q �
z
= – � + ----------- �
� EI �
wS, max
P z
wB, max
L/2
GA Q
P L
--------- z
4
PzL 3
= -----------
48EI
Mmax PzL = ------------ = --------------
GA Q
4GA Q
q z
– -----------
GA Q
M
x,u
Biegelinie
PzL wB, max+
w --------
L
S, max
4
2 �
----------- + -----------
1
�
= =
� �
� 12EI �
GA Q

z.B.: Rechteckquerschnitt aus Stahl
A = b ⋅ h I
wS, max --------------wB,
max
bei h/L = 0,1 � w S,max = 0,03 w B,max
3
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Berechnung von Biegelinien
b ⋅ h
= ----------- G≅0, 4⋅E AQ = aQ ⋅ A =
12
PzL --------------
4GAQ 48EI
PzL 3
12EI
-----------
GAQL 2
-----------------
12Ebh 3 6
12 ⋅ 0,4 E5bhL 2
= = = ------------------------------------- =
wS, max
wB, max
--------------- 3 h �
�
-- �
L�
2
=
5--
b ⋅ h
6
bei h/L = 1,0 � w S,max = 3,0 w B,max (keinStabmehr)
Der Durchbiegungsanteil der Querkraft im Vergleich zum Biegemoment wird
umso kleiner, je kleiner das Quadrat des Verhältnisses von Querschnittshöhe zur
Trägerlänge wird. D.h. in allen Fällen, wo h

3-14 3-14
3-14
3
Baustatik 1
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Verformungen einzelner Tragwerkspunkte
3.2 Verformungen einzelner Tragwerkspunkte
3.2.1 Statisch bestimmte Tragwerke
Zur Berechnung der Verformung einzelner Tragwerkspunkte wird das Prinzip der
virtuellen Kraftgrößen angewendet. Es wird eine äußere virtuelle (gedachte) Kraftgröße
“1“ am Ort und in Richtung der gesuchten äußeren Weggröße δ aufgebracht
(siehe Abschnitt 2.6.2 b).
Grundfälle der Verformungsberechnung:
i
Gesuchte Verformung bei vorhandener
Beanspruchung (Schnittkräfte N, Q, M)
i
i'
i'
Gesuchte Verformung bei vorhandener
Beanspruchung (N, Q, M)
1.) Verschiebung eines Punktes
δ i
Äußere virtuelle Kraftgrößen im Punkt i
(N, Q, M).
2.) Tangentendrehung eines Punktes
ϕ i
i
i
“1“
“1“
Äußere virtuelle Kraftgrößen im Punkt i
(N, Q, M).

δ i
i i' k k'
∆δ = δ – δ
k i
Gesuchte Verformung bei vorhandener
Beanspruchung (N, Q, M)
ϕ G
3.) Relativverschiebung zweier Punkte
δ k
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Verformungen einzelner Tragwerkspunkte
Äußere virtuelle Kraftgrößen im Punkt i
(N, Q, M).
4.) Relativdrehung zweier Tangenten (im Gelenk)
Gesuchte Verformung bei vorhandener
Beanspruchung (N, Q, M)
ψ ki
=
G
G'
ϕ – ϕ
r L
δ – δ
= ---------------- k i
h
ϕ r
ϕ L
ϕ G
Gesuchte Verformung bei vorhandener
Beanspruchung (N, Q, M)
“1“
5.) Drehung einer Sehne (Sekante)
i
δ i
i'
ψ ki
k k'
δ k
i
G
“1“
Äußere virtuelle Kraftgrößen im Punkt i
(N, Q, M).
h
Äußere virtuelle Kraftgrößen im Punkt i
(N, Q, M).
k
k
i
“1“
“1/h“
“1/h“
Baustatik 1
3-15
3-15

3-16 3-16
3-16
3
Baustatik 1
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Verformungen einzelner Tragwerkspunkte
δ
k
k
k'
i
δi
i'
∆ψ
6.) Relativdrehung zweier Sehnen (Sekanten)
a b
∆ψ
δ – δ δ – δ
= ---------------- i k + ---------------- i L
a b
L
δ
L' L
Gesuchte Verformung bei vorhandener
Beanspruchung (N, Q, M)
Berechnungsvorgang für Biegestabtragwerke:
Äußere virtuelle Kraftgrößen im Punkt i
(N, Q, M).
Unter vorhandener Belastung ist z.B. die Verschiebung eines Punktes δ i und die
Verschiebungsrichtung α i zu bestimmen. Es wird nur ein allgemeiner Berechnungsvorgang
erklärt.
Verformtes Biegestabtragwerk unter vorhandener Belastung ( δi , αi) :
Äußere virtuelle Kraftgrößen der Größe “1“ ( H i =V i =“1“):
H i = “1“
z,w
i
x,u
i
δ i
“1/a“
u i
i'
k
α i
“1/a“
i
i
“1/b“
w i
V i = “1“
� u �
w
i
i
“1/b“
L

Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Verformungen einzelner Tragwerkspunkte
� Bestimmung der inneren Kraftgrößen am Biegestabtragwerk unter vorhanderner
Belastung (Schnittkräfte N, Q, M).
� Aufbringung von äußeren virtuellen Kraftgrößen der Größe “1“ an den
Orten und Richtungen der zu bestimmenden äußeren Weggrößen δ am
Biegestabtragwerk, wobei jeweils nur eine äußere virtuelle Kraftgröße
anzusetzen ist ( H i =V i =“1“).
� Bestimmung der inneren virtuellen Kraftgrößen am Biegestabtragwerk
unter den äußeren virtuellen Kraftgrößen (virtuelle Schnittkräfte
NHi,QHi,MHi,NVi,QVi,MVi). � Bestimmung der virtuellen Verschiebungsarbeiten δW* :
δW* i
a) Äußere virtuelle Verschiebungsarbeit:
δW* ä ( )
( ä)
δW*
Hi
( ä)
δW*
Vi
″1″ ⋅ δ
b) Innere virtuelle Verschiebungsarbeit:
=
=
=
″1″ ⋅ ui ″1″ ⋅ wi () NN
-------- N ⋅ αT ⋅ T -----------
QQ
m
EA
MM
�
---------- M α
∆T
�
= – � � + + + + ⋅ ------ T ⋅ �
� EI
h �
GA Q
Für schlanke Biegestabtragwerke können die Arbeitsanteile aus den
Normalkräften und den Querkräften vernachlässigt werden.
δW* i
() = –
MM
---------- ds
+
EI
� αT � N Tm ⋅ M ∆T
�
� + ⋅ ------ �
h �
() i MMHi δW* = – -------------- Hi � ds
+ αT NHi ⋅ Tm + MH �
i
EI
ds
� ∆T
� ⋅ ------
�
h
�
() i MMVi δW* =
– -------------- Vi � ds
+ α NV
T i ⋅ Tm + MV �
i
EI
�
⋅
∆T
------ �
� h �
ds
ds
ds
Baustatik 1
3-17
3-17

3-18 3-18
3-18
3
Baustatik 1
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Verformungen einzelner Tragwerkspunkte
� Prinzip der virtuellen Arbeiten:
″1″ ⋅ δ
EI0 ⋅ δ
EI0 ⋅ ui EI0 ⋅ wi =
I 0 ... Referenz- bzw. Vergleichsträgheitsmoment
=
=
� Stabweise Auswertung der Arbeitsintegrale.
� Berechnung der zu bestimmenden äußeren Weggrößen δ:
FACHWERKSTÄBE:
EA0 ⋅ δ
A 0 ... Referenz- bzw. Vergleichsquerschnittsfläche
s ... Stablänge
�
=
δW* ä ( )
δW* i ()
+ = 0
δW* ä ( )
MM
---------- ds
+
EI
=
–
δW* i ()
� αT � N Tm I0 --- MM ds
I
+ EI0αT ⋅ M ∆T
�
�
+ ⋅ ------ �
h �
�
ds
N⋅Tm M ∆T
�
+ ⋅ ------ �
� h �
I0 --- MMH � i ds
+ EI0α NH
T i ⋅ Tm + MH �
i
I
ds
� ∆T
�
⋅ ------ �
h �
I
--- 0 MMV � i ds
+ EI0α NV
T i ⋅ Tm + MV �
i
=
I
δ i
α i
=
u i ,w i
2 2
ui + wi
= arc tan
� ∆T
� ⋅ ------ �
h �
w
---- i
ui � A
----- 0
� NN ⋅ s
�
� A � + EA0αT � N⋅Tm⋅ s
alle Stäbe
alle Stäbe
( )
ds
ds

Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Verformungen einzelner Tragwerkspunkte
Beispiel 3.7: Kragträger mit konstanter Biegesteifigkeit EI (I 0 /I = 1,0)
ges.: Durchbiegung am Trägerende
Aktuelle Belastung:
M
M
Beispiel 3.8:
Virtuelle Belastung:
EI0 ⋅ wi i
w i
i'
z,w
P z
Abb. 3.5 Moment aus aktueller Belastung
i
“1“
Abb. 3.6 Moment aus virtueller Belastung
Ein Rechteckrahmen mit konstanter Biegesteifigkeit EI wird mit einer mittigen
Einzelkraft P z beansprucht. Die horizontale Verschiebung δ des beweglichen Auflagers
ist unter dieser Beanspruchung zu bestimmen!
L
- P z x
Biegelinie
L
L
I0 � --- MM dx
1 ⋅ ( – Pzx) ( – x)
dx
I � Pz x
0
0
2 L
� dx
0
- x
= = =
EI0 ⋅ wi = Pz w i
PzL 3
=
----------
3EI
L 3
-----
3
- P z L
- L
x,u
Baustatik 1
3-19
3-19

3-20 3-20
3-20
3
Baustatik 1
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Verformungen einzelner Tragwerkspunkte
Abb. 3.7 Virtuelle Belastung
Die Berechnung des Integrals erfolgt mittels Integrationstabelle:
EI ⋅ δ
=
h
1
-- h
2
PzL -------- ⋅ L
4
L/2
Beispiel 3.9: Fachwerk
geg.: P z =60kN
i
�
L
P z
i'
Biegelinie
Obergurte 12/20 cm
Untergurte 12/14 cm
δ
EI ⋅ δ = MM ds
“1“
δ =
Vertikalstäbe 2x6/10 cm
Diagonalstäbe D 1 ,D 4 12/16 cm
Diagonalstäbe D 2 ,D 3 12/14 cm
Bauholz - Fichte
0
s
�
2 PzL h
--------------
8EI
M
M
P L
--------- z
4
h h
h

4,0 m
D 1
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Verformungen einzelner Tragwerkspunkte
ges.: horizontale Verschiebungen und
4,0 m
Aktuelle Belastung:
N
Virtuelle Belastung 1:
N 1
Virtuelle Belastung 2:
N 2
V 1
U 1 U 2 U 3 U 4
P z
90 kN
1
O 2
D 2
A0 = 240 cm²
E = 1.000 kN/cm² ... für Fichte, Tanne, Kiefer lt. Ö-NORM B 4100/Teil 2
V 2
P z
O 3
D 3
V 3
P z
δ 1
δ 1
4,0 m 4,0 m 4,0 m
1
EA0 ⋅ δi =
1/4
�
alle Stäbe
D 4
δ 2
60 kN 60 kN 60 kN
A 0
� ----- NNi � ⋅ s
�
A �
“1“
1/4
δ 2
90 kN
“1“
Baustatik 1
3-21
3-21

3-22 3-22
3-22
3
Baustatik 1
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Verformungen einzelner Tragwerkspunkte
Stab A ----- s N N1 N2 A
O 2
- cm² - m kN - - kNm kNm
-120 0,50 0 -240,0 0
240 1,0 4,0
O3 -120 0,50 0 -240,0 0
U 1 90 0,750 1,0 386,1 514,8
U 2
A 0
A0 ----- NN1s
A
A0 ----- NN2s
A
90 0,750 1,0 386,1 514,8
168 1,43 4,0
U3 90 0,250 1,0 128,7 514,8
U 4 90 0,250 1,0 128,7 514,8
V 1 60 0 0 0 0
V 2 120 2,0 4,0 0 0 0 0 0
V 3 60 0 0 0 0
D 1 192 1,25 -127,3 0,354 0 -318,8 0
D2 168 1,43 42,4 -0,354 0 -121,5 0
5,66
D3 168 1,43 42,4 0,354 0 121,5 0
D 4 192 1,25 -127,3 -0,354 0 318,8 0
δ 1
EA0 ⋅ δ1 = 549,6 kNm
549,6
– 3
= -------------------------- = 2,29×10
m
1.000 ⋅ 240
δ 1
=
2,3 mm
δ 2
�
549,6 2059,2
EA0 ⋅ δ2 = 2059,2 kNm
2059,2
– 3
= -------------------------- = 8,58×10
m
1.000 ⋅ 240
δ 2
=
8,6 mm

3.2.2 Statisch unbestimmte Tragwerke
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Verformungen einzelner Tragwerkspunkte
Berechnungsvorgang für 1-fach statisch unbestimmte Tragwerke:
� Die überzählige Kraftgröße oder der überzählige Stab wird entfernt oder
durchschnitten gedacht. Es verbleibt ein statisch bestimmtes Grundtragwerk.
� Das verbleibende Tragwerk erfährt durch die Belastung an der Stelle der
entfernten Bindung eine Verformung δ 1 . Die Bestimmung der Verformung
δ 1 erfolgt nach Abschnitt 3.2.1 (Berechnungsvorgang für Stabtragwerke)
(Lastfall 1).
� An der Schnittstelle wird entsprechend der Art der gelösten Bindung eine
statisch unbestimmte Kraftgröße P entgegengesetzt der (Dreh-) Richtung
der berechneten Verformung δ 1 angesetzt.
� Es wird eine äußere virtuelle Kraftgröße “1“ am Ort und in Richtung der
gesuchten statisch unbestimmten Kraftgröße P am statisch bestimmten
Grundtragwerk aufgebracht.
� Aus der statisch unbestimmten Kraftgröße P und der virtuellen Kraftgröße
“1“ wird nach Abschnitt 3.2.1 eine Verformung δ 2 berechnet (Lastfall 2).
� Die gesuchte statisch unbestimmte Kraftgröße P muß so groß sein, daß
die Verformung an der Schnittstelle entsprechend dem ursprünglichen
Ausgangstragwerk Null wird ( δ1 größe P).
= δ2 � statisch unbestimmte Kraft-
Beispiel 3.10:
Ein 1-fach statisch unbestimmter Rechteckrahmen mit konstanter Biegesteifigkeit
EI wird mit einer mittigen Einzelkraft P z beansprucht. Der Biegemomentenverlauf
ist unter dieser Beanspruchung zu bestimmen !
Die Bedingung lautet:
δ 1
= δ2 � H
PzL LF 1: δ1 Siehe Abschnitt 3.2.1 Bsp. 2
2 h
=
--------------
8EI
Baustatik 1
3-23
3-23

3-24 3-24
3-24
3
Baustatik 1
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Verformungen einzelner Tragwerkspunkte
LF 2:
1-fach statisch unbestimmtes
Tragwerk:
Statisch unbestimmte
Kraft H als Belastung
am statisch
bestimmten
Grundtragwerk:
Virtuelle Belastung
am statisch
bestimmten
Grundtragwerk zur
Bestimmung der Auflagerverschiebung
aus Belastung H:
i
P z
i'
h
L/2
i
i'
L
P z
Statisch bestimmtes Grundtragwerk:
δ 1
LF 1 LF 2
H
“1“
-Hh
δ 2
-Hh -Hh
M2
H
-h
-h -h
M 2

Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Verformungen einzelner Tragwerkspunkte
Die Berechnung des Integrals erfolgt mittels Integrationstabelle:
EI ⋅ δ2 Wenn L = h :
h
Beispiel 3.11:
h/2
s
�
EI ⋅ δ2 = M2 M2 ds
=
1
-- (-Hh) (-h) ⋅h⋅ 2 + (-Hh) (-h) ⋅ L =
3
i
h
P z
δ 2
=
PzL 2 h
-------------- =
8EI
H
0
Hh 2
---------
EI
Hh 2
---------
EI
� 2
�
-- h + L
�
3 �
� 2
--
�
h + L
�
3 �
PzL 2
= -------------------------------
8h
� 2
--
�
h + L
�
3 �
δ 2
H
=
=
5Hh 3
------------
3EI
-----
3
Pz 40
2
-- Hh
3
3 Hh 2 + L
Ein statisch bestimmter Rechteckrahmen mit konstanter Biegesteifigkeit EI und
Querschnittsfläche A erfährt eine ungleichmäßige Temperaturänderung (Erwär-
M
P h
z
--------
4
-----P 7 h
40
z
3
– ----- P h
40 z
Baustatik 1
3-25
3-25

3-26 3-26
3-26
3
Baustatik 1
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Verformungen einzelner Tragwerkspunkte
mung der Innenseite). Die horizontale Verschiebung des beweglichen Auflagers
ist unter dieser Beanspruchung zu bestimmen !
LF 1:
h
Wenn L = h:
δ ∆T
L
δ ∆T
δ ∆T
Abb. 3.8 Aktuelle Belastung
Abb. 3.9 Virtuelle Belastung
Beim 1-fach statisch unbestimmten Rechteckrahmen gilt:
“1“
Temperaturänderung:
d
κ T
=
α T
EI ⋅ δ∆T EIαT M ∆T
= � ------ ds
d
= α
∆T
------ T M ds
d � =
s
0
δ ∆T
δ ∆T
s
0
α T
αT ∆Th
= -------------------- ( h + L)
d
2 αT ∆Th 2
=
---------------------------d
∆T
⋅ -----d
Abkühlung
Erwärmung
∆T
h h
h
M
∆T
-----d
1 �
�
-- hh ⋅ 2 + hL
�
2 �

LF 2:
Wenn L = h :
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Ermittlung der Biegelinie über Winkeländerungen (W-Gewichte)
Wenn nur der Riegel eine ungleichmäßige Temperaturänderung erfährt:
Wenn L = h :
3.3 Ermittlung der Biegelinie über
Winkeländerungen (W-Gewichte)
3.3.1 Anmerkung
δ ∆T
δ 2
=
δ ∆T
=
... Siehe Beispiel 1
Die Berechnung der Biegelinie über die sogenannten Winkelgewichte mit Hilfe
der virtuellen Kraftgrößen bietet eine Möglichkeit die Biegelinien von Stabtragwerken
auf einfache Weise in Tabellenform zu berechnen. Diese
δ 2
Hh 2
---------
EI
2 �
�
-- h + L
�
3 �
2 αT ∆Th 2
----------------------------
5Hh
d
3
= = ------------ = δ2 3EI
H
δ ∆T
6 αT ∆TEI
= ----------------------------
5dh
Stiel bleibt
gerade
δ ∆T
δ ∆T
αT ∆ThL
= -------------------------d
αT ∆Th 2
=
---------------------d
ψ
Baustatik 1
3-27
3-27

3-28 3-28
3-28
3
Baustatik 1
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Ermittlung der Biegelinie über Winkeländerungen (W-Gewichte)
3.3.2 Berechnung der Biegelinie über Sehnenknickwinkel
Die Biegelinie wird durch einen Polygonzug angenähert und durch Addition von
einzelnen Sehnenknicken ψ i ermittelt. Für Fachwerke ist dies die einfachste
Methode; der Polygonzug ist zugleich für das ideale Fachwerk die richtige Biegelinie.
Bei Biegestabtragwerken erhält man nur den in die Biegelinie eingeschriebenen
Polygonzug.
Die Sehnenknicke ψ i werden mit dem Prinzip der virtuellen Kraftgrößen nach
Abschnitt 3.2.1 bestimmt.
z,w
ϕ,ψ
x,u
1
c
ϕ 1 ϕ 0
ψ 1
2 3 4
c c c
w 2 w 3
ϕ 2 ϕ 3
t 1
ψ 2
Aktuelle Belastung
Biegelinie
Die virtuellen 1/c-Kräfte bilden in den Innenbereichen von Tragwerken lokale
Gleichgewichtssysteme � keine Auflagerreaktionen !
“2/c“
“1/c“ “1/c“
i -1 i i +1
c c
1,0
Abb. 3.10 Virtuelle Belastung je Punkt i für die Bestimmung der einzelnen
Sehnenknicke in den Innenbereichen von Tragwerken.
Ausnahme:Wenn innerhalb der virtuellen 1/c-Belastung ein Gelenk liegt � Auflagerreaktionen
� kein lokales Gleichgewichtssystem !
w 4
ψ 3
ψ
4
ϕ
4
5
q z
ϕ 5
t 5
Virtuelle Belastung
Mi
ψ 5

Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Ermittlung der Biegelinie über Winkeländerungen (W-Gewichte)
Durch die Anwendung des Prinzips der virtuellen Kraftgrößen für Biegestabtragwerke
(Normalkräfte und Querkräfte vernachlässigt) ergibt sich im Punkt i mit der
virtuellen Arbeitsgleichung der Sehnenknick ψ i .
EI0 ⋅ ψi =
Bei Fachwerken erhält man den Sehnenknick ψ i im Punkt i mit der virtuellen
Arbeitsgleichung:
EA0 ⋅ ψi =
Berechnungsvorgang:
� Bestimmung der inneren Kraftgrößen am Tragwerk unter vorhandener
Belastung (Schnittkräfte M und/oder N).
� Aufbringung von virtuellen 1/c-Kräften am Tragwerk, wobei jeweils nur
für einen Punkt i die zwei virtuellen 1/c-Kräftepaare anzusetzen sind.
� Bestimmung der inneren virtuellen Kraftgrößen am Tragwerk unter den
virtuellen 1/c-Kräften (virtuelle Schnittkräfte M i und/oder N i ).
� Berechnung der einzelnen Sehnenknicke ψ i mit der virtuellen Arbeitsgleichung.
� Berechnung der einzelnen Neigungswinkel ϕ i des Polygonzuges (Achtung
auf Anfangsbedingung ϕ 0 und Übergangsbedingungen).
� Berechnung der einzelnen Durchbiegungen w i des Polygonzuges.
Beispiel: geg.: Kragträger mit konstanter Biegesteifigkeit EI ( I 0 / I = 1,0 )
ges.: Biegelinie
I
--- 0 MMi � ds
+ EI0α Ni T T � m
I
⋅ Mi ∆T
�
�
+ ⋅ ------ �
h �
�A0 ----- NNi � ⋅ s
�
� A
� + EA0αT � Ni ⋅ Tm ⋅s
alle Stäbe
alle Stäbe
ϕi = ϕi – 1 +
w i 1
ψ i
+ =
wi – c ⋅ ϕi ds
( )
Baustatik 1
3-29
3-29

3-30 3-30
3-30
3
Baustatik 1
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Ermittlung der Biegelinie über Winkeländerungen (W-Gewichte)
Aktuelle Belastung:
M
Sehnenknicke ψ i :
EI ⋅ ψ1 EI ⋅ ψ2 EI ⋅ ψ3 EI ⋅ ψ4 EI ⋅ ψ5 - P z L
z,w
1 2 3 4 5
c = L/4 c c c
ϕ,ψ
EI0 ⋅ ψi =
�
- P z 3c
L
I0 --- MMi ds
I
- P z 2c
- P z c
1
--( 2( – Pz4c) – Pz3c)1,0 ⋅ c
11
----- Pzc 6
6
2
11PzL = = –
ψ1 2
= – -----------------
96EI
1
--( – Pz4c ⋅ 1,5 – Pz2c ⋅ 1,5)1,0
⋅ 2c 3Pzc 6
2
3PzL = = –
ψ2 2
= – --------------
16EI
1
--( – Pz3c ⋅ 1,5 – Pzc⋅1,5)1,0 ⋅ 2c 2Pzc 6
2
PzL = = –
ψ3 2
= – ----------
8EI
1
--( – Pz2c ⋅ 1,5)1,0
⋅ 2c Pzc 6
2
PzL = = –
ψ4 2
= – -----------
16EI
1
--( – Pzc )1,0 ⋅ c
1
-- Pzc 6
6
2
PzL = = –
ψ5 2
= – -----------
96EI
Virtuelle Belastung 1:
M1
“2/c“
“1/c“ “1/c“
1,0
1 2 3 4 5
P z
x,u

M5
Virtuelle Belastung 2:
M2
M3
M4
Virtuelle Belastung 5:
Neigungswinkel ϕ i :
ϕ 2
ϕ 3
ϕ 4
ϕ 1
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Ermittlung der Biegelinie über Winkeländerungen (W-Gewichte)
“2/c“
“1/c“ “1/c“
1 2 3 4 5
1,0
1,0
1,0
“2/c“
“1/c“ “1/c“
1 2 3 4 5
ϕi = ϕi – 1+
ϕ 0
=
0
ψ i
11PzL 0
2
-----------------
11PzL –
96EI
2
= = – -----------------
96EI
11PzL 2
3PzL – -----------------
96EI
2
--------------
29PzL –
16EI
2
= = – -----------------
96EI
ϕ 5
29PzL 2
PzL – -----------------
96EI
2
----------
41PzL –
8EI
2
= = – -----------------
96EI
41PzL 2
P
– ----------------- zL 96EI
2
-----------
47PzL –
16EI
2
= = – -----------------
96EI
47PzL 2
P
– ----------------- zL 96EI
2
-----------
PzL –
96EI
2
= =
– ----------
2EI
1,0
Baustatik 1
3-31
3-31

3-32 3-32
3-32
3
Baustatik 1
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Ermittlung der Biegelinie über Winkeländerungen (W-Gewichte)
Durchbiegungen w i :
Biegelinie:
w 3
w 4
w 5
w i 1
+ = wi – c ϕ
w 1
=
Bei diesem Beispiel ist aufgrund der Einspannung im Punkt 1 die Tangente t 1 an
die wirkliche Biegelinie horizontal. Die Anfangsbedingung ergibt für den Neigungswinkel
ϕ 0 die triviale Lösung Null.
Bei diesem Verfahren müssen die Anfangsbedingung und die Übergangsbedingungen
(bei Gelenken) für die Neigungen der Tangenten an die wirkliche Biegelinie
bekannt sein, z.B. beim Einfeldträger der Neigungswinkel ϕ 0 der wirklichen Biegelinie
beim Auflager. Dies erfordert, von Sonderfällen ausgenommen, zumindest
eine Berechnung nach Abschnitt 3.2 (Verformungen einzelner Tragwerkspunkte)
um die Anfangs- und/oder Übergangsbedingung zu erhalten.
0
⋅ i
w2 0 L 11P
-- zL 4
2 � � 11PzL – �– ----------------- �
� 96EI �
3
= = -----------------
384EI
11PzL 3
-----------------
384EI
L 29PzL --
4
2 � � 40PzL – �– ----------------- �
� 96EI �
3
5PzL -----------------
384EI
3
= = = --------------
48EI
40PzL 3
-----------------
384EI
L 41PzL --
4
2 � � 81PzL – �– ----------------- �
� 96EI �
3
27PzL -----------------
384EI
3
= = = -----------------
128EI
81PzL 3
-----------------
384EI
L 47PzL --
4
2 � � 128PzL – �– ----------------- �
� 96EI �
3
PzL --------------------
384EI
3
= = = ----------
3EI
t 1
ϕ 1
=
ψ 1
w 2
ψ 2
angenäherte Biegelinie (Polygonzug)
wirkliche Biegelinie (kubische Parabel)
ti ........ Tangente an die wirkliche Biegelinie
ϕ
1 2 2 3 4 5
w 3
ψ 3
ϕ 3
w 4
ψ 4
ϕ 4
w 5
ψ 5
ϕ 5
t 5

Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Ermittlung der Biegelinie über Winkeländerungen (W-Gewichte)
3.3.3 Berechnung der Biegelinie über Winkelgewichte
Ein besseres Verfahren zur Bestimmung der Biegelinie ist die Analogie nach Mohr
(Abschnitt 3.1.4). Hier erfolgt die Bestimmung der Biegelinie durch Aufbringung
der 1/EI-fachen Biegemomentenfläche der wirklichen Belastung als Belastung auf
ein Ersatztragwerk, das die Rand- (Anfangs-) und Übergangsbedingungen voll
erfüllt, sodaß diese nicht wie nach Abschnitt 3.3.2 gesondert bestimmt werden
müssen.
Aktuelle Belastung:
Ersatzträger:
1
z,w
c
ϕ,ψ
2 3 4
c c c
q L
z 2
------------ M
8EI
-----
EI
Die M/EI-Belastung wird durch Einzelkräfte W i ersetzt.
Q e
Ersatzträger:
= negative Neigungswinkel
der Polygone
der Biegelinie vom
wirklichen Träger
A = – ϕ
0
1
1
W 1
W
1
– ϕ
1
2 3 4
2 3 4
5
q z
W3 W2 W4
W5
W
2
– ϕ
2
W 3
– ϕ
3
W 4
– ϕ
4
W 5
5
5
B = – ϕ
5
x,u
Baustatik 1
3-33
3-33

3-34 3-34
3-34
3
Baustatik 1
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Ermittlung der Biegelinie über Winkeländerungen (W-Gewichte)
M
= durch Polygonzug
e
angenäherte Biegelinie
vom wirklichen Träger
Aus der Biegemomentenlinie und der Querkraftlinie des Ersatzträgers ist ersichtlich,
daß die Einzelkräfte W i gleich den Sehnenknickwinkeln ψ i sind
(� W i ... WINKELGEWICHTE).
Berechnungsvorgang:
� Bestimmung der inneren Kraftgrößen am Tragwerk unter vorhandener
Belastung (Schnittkräfte M und/oder N).
� Aufbringung von virtuellen 1/c-Kräften am Tragwerk, wobei jeweils nur
für einen Punkt i die zwei virtuellen 1/c-Kräftepaare anzusetzen sind.
� Bestimmung der inneren virtuellen Kraftgrößen am Tragwerk unter den
virtuellen 1/c-Kräften (virtuelle Schnittkräfte M i und/oder N i ).
� Bestimmung der einzelnen Winkelgewichte W i mit der virtuellen Arbeitsgleichung
(analog den Sehnenknicken ψ i ).
� Aufbringung der Winkelgewichte W i auf das Mohr´sche Ersatztragwerk.
� Bestimmung der Auflagerkräfte und Querkräfte Q e i am Ersatztragwerk;
diese stellen die negativen Neigungswinkel ϕi der Polygone der Biegelinie
vom wirklichen Tragwerk dar.
� Bestimmung der Biegemomentenlinie M e des Ersatztragwerkes, die
zugleich die durch einen Polygonzug angenäherte Biegelinie vom wirklichen
Tragwerk darstellt.
Bestimmung der Winkelgewichte:
ϕ 1
W i
=
w 2 w 3 w 4
z.B. Winkelgewicht W 2 für einen Einfeldträger, der mit einer Gleichlast q z beansprucht
wird:
W 2
MM2
ψ2 � ------------ ds
-----------
1
5 0,5 0,5
EI 12EI
2
( – – )M31,0 ⋅ 2c -----------
17
48EI
qzL2 ----------
8
L
= = = =
--
2
ψ i
ϕ 2
ψ 2
ϕ 3
ψ 3
ψ 4
ϕ 4

Aktuelle Belastung:
M
1
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Ermittlung der Biegelinie über Winkeländerungen (W-Gewichte)
Wird das Mohr´sche Ersatztragwerk mit trapezförmigen 1/EI-fachen Biegemomentenlinien
belastet, so können die Winkelgewichte W i mit folgenden Formeln
vereinfacht ermittelt werden:
Winkelgewicht:
Randwinkelgewichte:
2
c = L/4 c
W 2
3
17qzL ψ2 3
= = ----------------
768EI
q z
q L
z 2
------------
8
Ersatzträger:
W i
=
Wi – 1
Wi + 1
Virtuelle Belastung 2:
“2/c“
“1/c“ “1/c“
Wird das Mohr´sche Ersatztragwerk mit parabelförmigen 1/EI-fachen Biegemomentenlinien
belastet, so können die Winkelgewichte W i mit folgenden Formeln
vereinfacht ermittelt werden:
M2
W 2
1 2 3
-----
1
EI
c
⋅ --( Mi – 1 + 4Mi + Mi + 1)
6
=
=
-----
1
EI
c
⋅ --( 2Mi – 1+
Mi) 6
-----
1
EI
c
⋅ --( Mi + 2Mi + 1)
6
M
------ i
EI
M
M
i – 1
---------------
i + 1
---------------
EI
EI
i -1 i i +1
c c
1
2
1,0
3
Baustatik 1
3-35
3-35

3-36 3-36
3-36
3
Baustatik 1
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Ermittlung der Biegelinie über Winkeländerungen (W-Gewichte)
Winkelgewicht:
Randwigew.:
W i
Wi – 1
Wi + 1
=
=
=
Bei Fachwerken ermittelt man die Winkelgewichte W i mit folgender Formel:
W i
Beispiel 1: geg.: Kragträger mit konstanter Biegesteifigkeit EI ( I 0 / I = 1,0 )
ges.: Biegelinie
-----
1
EI
-----
1
EI
-----
1
EI
c
⋅ ----- ( Mi – 1+
10Mi + Mi + 1)
12
c
⋅ -----( 3,5Mi – 1+
3M
– 0,5M i i + 1)
12
c
⋅ ----- ( – 0,5Mi
– 1 + 3Mi + 3,5Mi + 1)
12
M
--------------- i – 1
EI
M
------ i
EI
M
--------------- i + 1
EI
i -1 i i +1
=
�
alle Stäbe
c c
� �
NNi �----------- s + αT ⋅Ni⋅ Tm ⋅ s�
� EA
�
(Vergleichsrechnung mit Beispiel nach Abschnitt 3.3.2)
Aktuelle Belastung:
Ersatzträger:
z,w
1 2 3 4 5
L/4
ϕ,ψ
L/4 L/4 L/4
W 1
1 2 3 4 5
W i
=
W 2
ψ i
W 3
W 4
P z
W 5
x,u

W 1
Q
= negative Neigungs-
e
x
winkel der Polygone
der Biegelinie vom
P z L2
------------
EI
wirklichen Träger
Beispiel 2: Fachwerk
geg.: P z =60kN
Obergurte 12/20 cm
Untergurte 12/14 cm
Vertikalstäbe 2x6/10 cm
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Ermittlung der Biegelinie über Winkeländerungen (W-Gewichte)
11PzL 2
3P
= – -----------------
zL W2 96EI
2
P
= – --------------
zL W3 16EI
2
= – ----------
8EI
W 1
W 4
– ϕ =
1
M
= durch Polygonzug
e
x
angenäherte Biegelinie
P z L3 w =
------------ 2
EI
vom wirklichen Träger
Diagonalstäbe D 1 ,D 4 12/16 cm
Diagonalstäbe D 2,D 3 12/14 cm
Bauholz - Fichte
ges.: Biegelinie
PzL 2
P
= – -----------
zL W5 16EI
2
= – -----------
96EI
W 2
11 -----
96
-------- 11
384
ϕ 1
– ϕ =
2
w 3
=
29 -----
96
– ϕ =
4
– ϕ = 41 -----
3 96
ϕ 2
----- 5
48
W 3
w 4
=
ϕ 3
-------- 27
128
W 4
47 -----
96
ϕ 4
W 5
B = – ϕ =
5
w 5
=
1--
3
1--
2
Baustatik 1
3-37
3-37

3-38 3-38
3-38
3
Baustatik 1
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Ermittlung der Biegelinie über Winkeländerungen (W-Gewichte)
4,0 m
1
Aktuelle Belastung:
N
D 1
U1 U2 U3 U4 2 3 4
4,0 m
Virtuelle Belastung 2:
N 2
� W2 = W4 Virtuelle Belastung 3:
N 3
�
W 3
90 kN
V 1
P z
“1/4“
O 2
D 2
V 2
P z
O 3
D 3
V 3
P z
4,0 m 4,0 m 4,0 m
D 1
U 1
60 kN 60 kN 60 kN
D2 V1 U2 2
“1/2“
V 1
O 2
D 2
“1/4“
D 3
O 3
V 3
3
“1/2“
“1/4“ “1/4“
D 4
5
90 kN

Stab A
O 2
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Ermittlung der Biegelinie über Winkeländerungen (W-Gewichte)
- cm² - m kN 1/m 1/m kN kN
-120 0 -0,250 0 120,0
240 1,0 4,0
O3 -120 0 -0,250 0 120,0
U 1 90 0,250 0 128,7 0
U 2
A0 ----- s N N2 N3
A
A0 ----- NN2s
A
A0 ----- NN3s
A
90 0,250 0 128,7 0
168 1,43 4,0
U3 90 0 0 0 0
U 4 90 0 0 0 0
V 1 60 0,50 -0,250 240,0 -120,0
V 2 120 2,0 4,0 0 0 0 0 0
V 3 60 0 -0,250 0 -120,0
D 1 192 1,25 -127,3 -0,354 0 318,8 0
D2 168 1,43 42,4 -0,354 0,354 -121,5 121,5
5,66
D3 168 1,43 42,4 0 0,354 0 121,5
D 4 192 1,25 -127,3 0 0 0 0
EA0 ⋅ Wi =
�
alle Stäbe
� 694,7 243,0
A0 = 240 cm²
E = 1.000 kN/cm² ... für Fichte, Tanne, Kiefer lt. Ö-NORM B 4100/Teil 2
A 0
� ----- NNi � ⋅ s
�
A �
EA0 ⋅ W2 = 694,7 kN
EA0 ⋅ W3 = 243,0 kN
EA0 ⋅ W4 = 694,7 kN
EA 0
4
=
24×10
kN
Baustatik 1
3-39
3-39

3-40 3-40
3-40
3
Baustatik 1
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Ermittlung der Biegelinie über Winkeländerungen (W-Gewichte)
Ersatzträger:
Kräfte x EA 0
M e x EA 0
Biegelinie:
1
816,2 kN
z,w
3.264,8 kNm
694,7 kN 243,0 kN
2 3 4
694,7 kN
4,0 m 4,0 m 4,0 m 4,0 m
13,6 mm
w 2 w 3 w 4
Kontrolle: Berechnung der vertikalen Durchbiegung w 3
mit dem Prinzip der virtuellen Kraftgrößen (Abschnitt 3.2.1)
Aktuelle Belastung:
N
Virtuelle Belastung 3:
N 3
90 kN
1/2
EA0 ⋅ w3 =
�
alle Stäbe
5 x,u
816,2 kN
3.264,8 kNm
3.750,8 kNm
15,6 mm
60 kN 60 kN 60 kN
A 0
3
“1“
� ----- NN3 � ⋅ s
�
A �
13,6 mm
90 kN
1/2
EA 0 = 24·10 4 kN

Stab A
O 2
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Ermittlung der Biegelinie über Winkeländerungen (W-Gewichte)
- cm² - m kN - kNm
-120 -1,0 480,0
240 1,0 4,0
O3 -120 -1,0 480,0
U 1 90 0,50 257,4
U 2
A0 ----- s N N3
A
90 0,50 257,4
168 1,43 4,0
U3 90 0,50 257,4
U 4 90 0,50 257,4
V 1 60 0 0
V 2 120 2,0 4,0 0 0 0
V 3 60 0 0
D 1 192 1,25 -127,3 -0,707 636,8
D2 168 1,43
42,4 0,707 242,6
5,66
D3 168 1,43 42,4 0,707 242,6
D 4 192 1,25 -127,3 -0,707 636,8
w 3
�
EA0 ⋅ w3 = 3.748,4 kNm
3.748,4
– 3
= ----------------- = 15,6×10
m
4
24×10
w 3
=
15,6 mm
A0 ----- NN3 s
A
3.748,4
Baustatik 1
3-41
3-41

3-42 3-42
3-42
3
Baustatik 1
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Graphische Bestimmung bei Fachwerken (Williot-Verschiebungsplan)
3.4 Graphische Bestimmung bei Fachwerken
(Williot-Verschiebungsplan)
3.4.1 Stäbe an ein festes Auflager angeschlossen
Längenänderung eines Stabes:
A = A'
Abb. 3.11 Verschiebung eines Dreigelenkknotens mit Verschiebungsplan.
Die Verbindung der beiden Stäbe S1 und S2 wird im Knoten C gelöst, sodaß sich
die Stäbe unabhängig voneinander verformen können. Danach werden die beiden
Stabenden durch Drehung der Stäbe um ihre festen Punkte A und B wieder zusammengeführt,
wobei die beiden Stabenden Kreisbogen beschreiben. Der Schnittpunkt
beider Kreisbogen ergibt die Lage des Knotens C nach der Verformung
(verformtes Tragwerk � A’, B’ und C’). Da die Längenänderungen δi der Stäbe i
gegenüber den Stablängen si sehr klein sind, werden die Kreisbogen durch deren
Tangenten ( ⊥
zu den Stäben des unverformten Tragwerkes) ersetzt.
Verschiebungsplan:
S 1
δ i
B = B'
N
=
�------- α
�
+ T ⋅ T �
m
EA �
⋅ s
C
S 2
δ 1
δ2
δ C
0 = A' = B'
δ
2
Die Punkte A und B sind unverschieblich und stimmen mit den Punkten A’ und B’
des verformten Tragwerkes überein. Diese Punkte werden deswegen als Bezugspunkt
0 gewählt, sie müssen im Verschiebungsplan zusammenfallen
( 0 = A’ = B’ ). Von diesem Bezugspunkt 0 ausgehend werden die Längenänderungen
δ i der Stäbe i unter Beachtung ihrer Vorzeichen (Verlängerung δ 1 , Verkürzung
δ 2 ) in Richtung der Stäbe des unverformten Tragwerkes aufgetragen. Die in
C'
δ 1
δ C
C'

Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Graphische Bestimmung bei Fachwerken (Williot-Verschiebungsplan)
den Endpunkten der aufgetragenen Längenänderungen δ i errichteten Senkrechten
(Tangenten) schneiden sich im Punkt C’.
3.4.2 Fachwerkstäbe an kein festes Auflager angeschlossen
Sind die Punkte A und B selbst verschieblich und die Verschiebungen δ A und δ B
bekannt, so wird die Verschiebung δ C des Knotens C wie folgt ermittelt:
Die Verbindung im Knoten C wird gelöst. Die Verschiebung δ C des Knotens C
läßt sich dann zergliedern in
A
� eine Parallelverschiebung (Translation)
� eine Längenänderung
� eine Drehung (Rotation).
δ A
A'
S 1
Abb. 3.12 Verschiebung eines Fachwerkknotens mit Verschiebungsplan.
Verschiebungsplan:
C
S 2
B δ B
B'
δ 2
δ 1
δ C
δ
0=A=B=C A δ
1
δ A'
B
B'
δ
δ2
C
Der Knoten C wird als Anfangspunkt 0 gewählt, er enthält gleichzeitig Punkt A
und B. An ihm werden die Punktverschiebungen (Translation) δ A und δ B aufgetragen.
An die erhaltenen Punkte A’ und B’ werden die Längenänderungen δ 1 und δ 2
aufgetragen und in den Endpunkten die Senkrechten (Rotation) errichtet. Der
Schnittpunkt beider Senkrechten ergibt den Punkt C’.
Durch wiederholte Anwendung der beiden Abschnitte 3.4.1 und 3.4.2 läßt sich die
Verschiebung δ jedes Fachwerkknotens ermitteln.
C'
C'
Baustatik 1
3-43
3-43

3-44 3-44
3-44
3
Baustatik 1
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Graphische Bestimmung bei Fachwerken (Williot-Verschiebungsplan)
3.4.3 Verschiebungspläne ganzer Fachwerke
Beispiel 3.12:
1
2
1 = 2
a
b
M : 1 cm = 1 mm
Untergurt
3
c
w 3
3
Obergurt
e
d
P 4
Abb. 3.13 Biegelinie und Verschiebungsplan - Beispiel 1
Der Verschiebungsplan liefert die Verschiebungen δ i der Knotenpunkte i relativ
zum Bezugspunkt 0. Da die Punkte 1 und 2 keine Verschiebungen erfahren, sind
die relativen Verschiebungen gleichzeitig die wirklichen Verschiebungen der Knotenpunkte.
Sollen für eine bestimmte Richtung die Knotenverschiebungen ermittelt werden,
so sind die totalen Verschiebungen der Knoten auf diese Richtung zu projizieren.
5
f
4
w 4 = w 5
4 = 5
Stab von bis δ[ mm]
a 1 3 1,0
b 2 3 -2,0
c 2 4 -2,5
d 3 4 0,5
e 3 5 0
f 5 4 0
4'
δ c
δ 4
0 = 1' = 2'
δ
a
δ b
5'
3'
δ 3
δ d

Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Graphische Bestimmung bei Fachwerken (Williot-Verschiebungsplan)
Damit können z.B. die Biegelinien von Ober- und/oder Untergurte, sofort ermittelt
werden.
Beispiel 3.13:
1
1
d
Untergurt
Diagonale
3
a b
2
w 3
w 2
c
P 2
3
Drehfessel
e
Abb. 3.14 Biegelinie und Verschiebungsplan - Beispiel 2
Bei diesem Fachwerk ist nur der Punkt 1 unverschieblich. Wegen der Symmetrie
von System und Belastung erfährt der Stab c bei der Verformung keine Verdrehung:
Der Punkt 2’ des Verschiebungsplanes wird daher als Bezugspunkt 0 gewählt.
Der Punkt 3’ ergibt sich, wenn die Längenänderung δ C parallel zum Stab c im
Punkt 2’ aufgetragen wird (Drehfessel). Im Verschiebungsplan sind damit zwei
Punkte bekannt und alle weiteren werden nach Abschnitt 3.4.1 ermittelt.
4
M : 1 cm = 1 mm
4
Stab von bis δ[ mm]
a 1 2 2,0
b 2 4 2,0
c 2 3 1,0
d 1 3 -1,5
e 3 4 -1,5
1' δ
4
4'
2 δ 0 = 2'
a
δ 2
δ 3
δ e
3'
δ c
δ d
δ b
Baustatik 1
3-45
3-45

3-46 3-46
3-46
3
Baustatik 1
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Graphische Bestimmung bei Fachwerken (Williot-Verschiebungsplan)
Der Auflagerpunkt 1 muß durch die Auflagerbedingungen liegenbleiben. Entgegen
der Annahme ist in Wirklichkeit nicht 2, sondern 1 der feste Punkt. Die totalen
Verschiebungen δ i ergeben sich somit als Abstände vom festen Punkt 1’ aus.
Bisher wurde bei der Ermittlung der Verschiebungen davon ausgegangen, daß die
Lage zweier benachbarter Knotenpunkte im Verschiebungsplan bekannt ist (entweder
beide Knoten unverschieblich oder eine Stabrichtung erfährt keine Verdrehung).
Im allgemeinen ist dies nicht der Fall.
Beispiel 3.14:
1
d
a b
2
Drehfessel
3
c
P 2
e
a 1 2 2,0
b 2 4 2,0
c 2 3 1,0
d 1 3 -1,5
e 3 4 -1,5
Es wird ein beliebiger Knotenpunkt (1) als Bezugspunkt 0 gewählt. Die Richtung
eines von diesem Knoten (1) ausgehenden Stabes (a) wird als festliegend betrachtet
(Drehfessel). Die daraus ermittelten Verschiebungen widersprechen zwar den
Auflagerbedingungen, diese werden aber durch eine zusätzliche Verdrehung
(Drehpol 1’) um 90° erfüllt.
Es sollte als Bezugspunkt 0 immer ein Knotenpunkt gewählt werden, der in der
Mitte des Fachwerkes liegt, damit sich Zeichenungenauigkeiten nicht zu sehr fortpflanzen
!
4
Stab von bis δ[ mm]

1
M : 1 cm = 1 mm
Diagonale
Untergurt
w3
3
w2
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Graphische Bestimmung bei Fachwerken (Williot-Verschiebungsplan)
δ 3
i''..........
um 90° gedrehtes, ähnliches Fachwerk
2
3''
δ e
3'
δ
a
δ
c δ
b
0 = 1' = 1'' 2'
δ
d
Abb. 3.15 Biegelinie und Verschiebungsplan - Beispiel 3
4
4''
2''
δ 2
δ 4
4'
Baustatik 1
3-47
3-47

3
3-48 3-48
3-48 Baustatik 1
Verformungen ebener elastischer Tragwerke
Graphische Bestimmung bei Fachwerken (Williot-Verschiebungsplan)

4
Statisch unbestimmte Systeme
4.1 Allgemeines
Gegenüberstellung des Kraftgrößen- und Weggrößenverfahrens
Statisch unbestimmte Systeme sind dadurch gekennzeichnet, daß sämtliche Auflagerkräfte
und innere Kräfte nicht mehr durch die Gleichgewichtsbedingungen
alleine bestimmbar sind.
Die Berechnung solcher Systeme kann mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens oder
des Weggrößenverfahrens erfolgen.
Zur Durchführung der Berechnung ist es erforderlich, den Grad der statischen bzw.
kinematischen Unbestimmtheit des Systems zu kennen. Die Ermittlung des Unbestimmtheitsgrades
eines Systems kann durch Rückführung auf ein statisch bzw.
kinematisch bestimmtes System erfolgen.
Es besteht eventuell auch die Möglichkeit das System auf ein statisch bzw. kinematisch
unbestimmtes zurückzuführen, sofern dessen Grad der statischen oder
kinematischen Unbestimmtheit bekannt ist.
4.1.1 Statisch bestimmtes Grundsystem
Es werden so viele Bindungen entfernt (Schnitt- oder Lagergrößen), bis das
System statisch bestimmt ist.
Die Anzahl der gelösten Bindungen entspricht dem Grad der statischen Unbestimmtheit.
Jeder dieser Bindungen entspricht eine Schnitt- oder Auflagergröße.
Baustatik 1
4-1
4-1

4-2 4-2
4-2
4
Baustatik 1
Statisch unbestimmte Systeme
Allgemeines
Beispiele für statisch bestimmte Grundsysteme:
System
4.1.2 Kinematisch bestimmtes Grundsystem
Es werden so viele Knotenweggrößen gesperrt, bis das System kinematisch
bestimmt ist, das heißt bis alle Knotenweggrößen fest vorgegeben sind.Beispiele
für kinematisch bestimmte Grundsysteme:
Beispiele für kinematisch bestimmte Grundsysteme:
System
Statisch bestimmtes Grundsystem
Kinematisch bestimmtes Grundsystem

Statisch unbestimmte Systeme
Gegenüberstellung des Kraftgrößen- und Weggrößenverfahrens
4.2 Gegenüberstellung des Kraftgrößen- und
Weggrößenverfahrens
Statisch unbestimmtes
System wird ersetzt durch
ein
Kraftgrößenverfahren
Kraftgrößenverfahren
Weggrößenverfahren
Weggrößenverfahren
Weggrößenverfahren
Deformationsmethode
Matrix Flexibility Method Matrix Stiffness Method
statisch bestimmtes
Grundsystem
Unbekannte sind Kraftgrößen Weggrößen
Gleichungssystem mit
Hilfe von
mit
System
Lösung ist Summe von
Verträglichkeitsbedingungen
virtuellen Kraftgrößen
n Spannungszuständen
aus unbekannten
Kraftgrößen
+
Lastspannungszustand
Kinematisch bestimmtes
Grundsystem
kinematisch bestimmtes
Grundsystem
Gleichgewichtsbedingungen
virtuellen Weggrößen
n Verformungszuständen
aus unbekannten
Weggrößen
+
Lastverformungszustand
Baustatik 1
4-3
4-3

4
4-4 4-4
4-4 Baustatik 1
Statisch unbestimmte Systeme
Gegenüberstellung des Kraftgrößen- und Weggrößenverfahrens

5 Kraftgrößenmethode
5.1 Allgemeines
Einführung
Grundlagen
Verformungsberechnung
Einflußlinien
Das Kraftgrößenverfahren ist eine Möglichkeit zur Berechnung von beliebigen
äußerlich und innerlich statisch unbestimmten Systemen.
Die in einem statisch unbestimmten System auftretenden Schnittgrößen und Auflagerkräfte
sind nicht nur auf äußere Lasten zurückzuführen, sondern können auch
durch Temperaturänderung und Verschiebungen (Auflagerverschiebung, Zwangseinbau)
entstehen.
Die Auflagerkräfte und Schnittgrößen sind auch nicht mehr durch die Gleichgewichtsbedingungen
alleine bestimmbar. Für ihre Berechnung werden so viele Verträglichkeitsbedingungen
benötigt, wie statisch unbestimmte Größen vorhanden
sind.
Um die Verträglichkeitsbedingungen aufstellen zu können, werden bei einem nfach
statisch unbestimmten System an den Lagern durch Freisetzen von gesperrten
Freiheitsgraden und durch Schnitte in den Stäben insgesamt n Bindungen gelöst,
sodaß ein statisch bestimmtes Grundsystem entsteht. An diesem Grundsystem werden
an allen Schnittufern die im Schnitt freigelegten Kraftgrößen angebracht.
Diese statisch unbestimmten Größen können sowohl Auflagerkräfte, Biegemomente,
Querkräfte, Normalkräfte als auch Torsionsmomente sein.
Bei mehrfach statisch unbestimmten Systemen kann es von Vorteil sein, anstatt
eines statisch bestimmtem Grundsystems ein statisch unbestimmtes zu wählen,
wenn für dieses System die Schnittkraftverteilungen bereits bekannt sind.
Baustatik 1
5-1
5-1

5-2 5-2
5-2
Baustatik 1
5 Kraftgrößenmethode
Einführung in das Kraftgrößenverfahren
5.2 Einführung in das Kraftgrößenverfahren
5.2.1 Träger und Rahmen
Der Rechengang wird anhand eines einfachen Beispiels, einem Einfeldträger laut
Abb. 5.1 a , erläutert. Der Träger ist an einem Auflager einspannt, am anderen Auflager
nur vertikal gestützt. Somit sind vier Auflagerkräfte vorhanden. Für ein ebenes
System stehen aber nur drei Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung, daher
ist dieses System 1-fach statisch unbestimmt.
Die nächste Aufgabe besteht nun darin ein statisch bestimmtes Grundsystem zu
wählen.
Für dieses Beispiel wird das Auflager B entfernt, sodaß als statisch bestimmtes
Grundsystem ein eingespannter Träger (Kragarm) entsteht (Abb. 5.1 b).
Es wäre auch möglich, ein Moment am Auflager A anzusetzen und als statisch
unbestimmte Größe zu verwenden, indem man die Einspannung löst. In diesem
Fall wäre das statisch bestimmte Grundsystem ein Einfeldträger. Diese Möglichkeit
wird später anhand eines weiteren Beispiels gezeigt.
Aufgrund der äußeren Last P wird sich der Träger im Punkt 1 um das Maß δ 10 nach
unten durchbiegen, und daher wird die Auflagerbedingung verletzt. Bei dem Formänderungsausdruck
für die Klaffung δ 10 gibt der erste Index „1“ den Ort an, und
der zweite Index „0“ weist auf die Ursache (Belastung) hin.
Tatsächlich ist das Auflager B aber vertikal unverschieblich, das heißt die endgültige
Klaffung δ 1 muß zu Null werden. Damit diese Bedingung erfüllt wird, muß
nun im Punkt 1 eine Kraft angebracht werden, die diese Klaffung δ 10 wieder
schließt.
Die statisch unbestimmte Größe wird zunächst mit X 1 = 1 angesetzt.
Diese Größe X 1 erzeugt nun eine Durchbiegung δ 11. Diese Zustandsgröße wird
nun solange erhöht, bis die Klaffung gleich Null ist.
Die Gesamtformänderung an der Stelle 1 kann somit durch die Verträglichkeitsbedingung
δ1 = X1 ⋅ δ11 + δ10 = 0
beschrieben werden. Aus dieser Gleichung ergibt sich
X 1
δ 10
=
– ------
δ 11

a
b
c
d
e
Kraftgrößenmethode
Einführung in das Kraftgrößenverfahren
Abb. 5.1 Vorgehensweise bei der Kraftgrößenmethode bei einfach statisch
unbestimmten Systemen
Wie anfangs erwähnt sind auch andere Einflüsse, wie Auflagerverschiebung und
Temperaturänderung möglich.
In diesem Fall lautet die Verträglichkeitsbedingung
Daraus folgt
A B
X 1 = 1
X1 δ11 + + +
δ 10
�
�
�
äußere Belastung
P
P
P
δ 1a
�
�
�
Auflagerverschiebung
1
δ 10
δ 11
System
Statisch bestimmtes
Grundsystem
Verformungsfigur
infolge der Last P
δ 1t
�
�
�
Temperaturänderung
=
0
Baustatik 1
5-3
5-3

5-4 5-4
5-4
Baustatik 1
5 Kraftgrößenmethode
Einführung in das Kraftgrößenverfahren
Nachdem die statisch unbestimmte Kraft bestimmt ist, können die übrigen statischen
Größen auf Grund der Gültigkeit des Superpositionsgesetzes ebenso
bestimmt werden.
Beispiel 5.1:
Lastfall 1: Gleichlast
X 1
Für die Schnittgrößen gilt:
δ10 + δ1a + δ1t = – ---------------------------------
Für die Formänderungen gilt:
S 0 … Schnittkraft am statisch bestimmten System
infolge der Belastung P.
S 1 … Schnittkraft am statisch bestimmten System
infolge X 1 =1.
δ o … Formänderung am statisch bestimmten System
infolge der Belastung P.
δ 1 … Formänderung am statisch bestimmten System
infolge X 1 =1.
Für einen auf einer Seite eingespannten Einfeldträger sollen die Auflager- und
Schnittkräfte infolge der Gleichlast q bestimmt werden.
Um dieses Beispiel lösen zu können, bieten sich zwei Möglichkeiten an:
q
δ 11
S = S0+ X1 ⋅ S1 δ = δ0+ X1 ⋅ δ1 A EI = const. = EIC B
L
Abb. 5.2 Als Unbekannte wird eine Kraft gewählt
L
X 1 =1

X 1=1
Kraftgrößenmethode
Einführung in das Kraftgrößenverfahren
Abb. 5.3 Als Unbekannte wird ein Moment gewählt
a) Als Unbekannte wird eine Kraft gewählt
Die Auflagerkraft B wird als Unbekannte eingeführt, wie aus Abb. 5.1 ersichtlich.
Die Auflagerkraft ergibt sich aus
L
qL 2
– ---------
2
q
L
X 1
x
Abb. 5.4 Kraftgrößenmethode für ein 1-fach statisch unbestimmtes System
L
δ 10
= – ---------
δ 11
X 1
„1“
M 1
M 0
System
Statisch bestimmtes Grundsystem
Einheitsbelastung (virtuelle Last
der Größe „1“)
Momentenverlauf aus der Einheitsbelastung
am statisch
bestimmten Grundsystem
Momentenverlauf aus der
Belastung q am statisch
bestimmten Grundsystem
Baustatik 1
5-5
5-5

5-6 5-6
5-6
Baustatik 1
5 Kraftgrößenmethode
Einführung in das Kraftgrößenverfahren
Mit Hilfe der Methode der virtuellen Kraftgrößen erhält man den Ausdruck
Die Auswertung des Integrals mit Hilfe der Integraltabelle ergibt
Aus denselben Überlegungen heraus ergibt sich
Mit diesen beiden Formänderungswerten wird nun X 1 berechnet:
Nachdem die Auflagerkraft B bestimmt worden ist, kann man nun mit Hilfe des
Superpositionsgesetzes die restlichen Schnittkräfte bestimmen.
Die Schnittkräfte an der Einspannungsstelle sind
Die Schnittkräfte in Stabmitte sind
L
�
EIC δ10 = M 1 M0 ds
EI C δ 10
0
1
-- .
4
qL2
---------- L
2
2
= –
2 1
EIC ⋅ δ11 �M
1ds
-- L
3
3
= = ⋅
X 1
M( x= L)
EIC δ10 = – ----------------- =
3
-- ql = B
EIC δ11 8
M = M0+ X1 ⋅ M1 Q = Q0+ X1 ⋅ Q1 qL 2
– ---------- 3
-- qL
2 8
2
= + = – ----------
8
= -- qL =
8
Q( x= L)
qL 3
–
M( x= L ⁄ 2)
Q( x= L ⁄ 2)
qL 2
qL 2
5qL
------------
8
qL 2
---------
3
– ----- qL
8 16
2
= + = ----------
16
qL
= ------- –
3
-- qL =
2 8
qL
-------
8
Um die Stelle des maximalen Momentes zu erhalten, wird Q = 0 gesetzt, da die
Momentenverteilung ein Extremum besitzt, an dem Q = 0 ist.

Kraftgrößenmethode
Einführung in das Kraftgrößenverfahren
Aus Q qx
3
--
3
= – qL = 0 folgt Mmax bei x = -- L .
8
8
Mit x =
3
-- L wird Mmax = – ------------- + --------------- = --------------- .
8
128 64 128
qL 2
– -----------
8
5qL
---------
8
qL 2
-----------
16
M max
Abb. 5.5 Endgültige Schnittkraftverteilungen
b) als Unbekannte wird ein Moment gewählt
L
L/2
3/8 L
9qL 2
3qL
– ------------
8
9qL 2
9qL 2
Momentenverteilung
Querkraftverteilung
Nun wird als statisch unbestimmte Größe das Moment im Auflager A, wie aus
Abb. 5.1 zu erkennen ist, gewählt. Analog zum vorangegangen Beispiel erhält man
das Moment über die Gleichung:
X 1
Die Formänderungsausdrücke δ 10 und δ 11 sind nun nicht wie zuvor Verschiebungen
(Durchbiegungen) sondern Verdrehungen.
δ 10
=
– ------
δ 11
Baustatik 1
5-7
5-7

5-8 5-8
5-8
Baustatik 1
5 Kraftgrößenmethode
Einführung in das Kraftgrößenverfahren
X 1
M 1
M 0
-1
Abb. 5.6 Kraftgrößenmethode für ein 1-fach statisch unbestimmtes System
Die Sehnenverdrehung δ 11 infolge X 1 = 1 ergibt
Die Sehnenverdrehung δ 10 infolge q ergibt
mit EIC δ
1
10 -- folgt
3
qL2
= – ---------- L
8
Man sieht, daß die Einspannmomente in beiden Fällen gleich groß sind. Die
Schnittkräfte werden wiederum mit Hilfe des Superpositionsgesetzes berechnet.
Die Momenten- und Querkraftverteilung sind daher dieselben wie in Abb. 5.5.
Lastfall 2: Temperatur
L
qL
L
2
---------
8
EI C δ 11
X 1 = 1
L
2
M1 �
= ds
=
0
X 1
Statisch bestimmtes Grundsystem
Knotenverdrehung infolge X 1
Temperaturveränderungen können Schnittkräfte an einem statisch unbestimmten
System aber niemals an einem statisch bestimmten System verursachen.
qL 2
=
--------
8
δ 11
Knotenverdrehung infolge q
1
-- L
3
.
q
δ 10

Kraftgrößenmethode
Einführung in das Kraftgrößenverfahren
Abb. 5.7 Kraftgrößenmethode für ein temperaturbeanspruchtes System
Aufgrund der Temperaturdifferenz zwischen der Oberkante und der Unterkante
des Trägers entsteht am statisch bestimmten Grundsystem eine Verformung d 1t .
Die Formänderungswerte betragen
Mit diesen beiden Formänderungswerten kann X 1 bestimmt werden.
Die Schnittkräfte können auf Grund der Gültigkeit des Superpositionsgesetzes
bestimmt werden.
Für die Formänderungen gilt aber
L
+T o
- T u
X 1 =1
M = X1⋅M1 weil M0 = 0
Q = X1⋅Q1 weil Q0 =
0
System
δ 10 Verformung infolge Temperatur
δ 11
Verformung infolge X 1
L
� Tu – To 0
δ10 = αt M
∆T
1------
ds
∆T = ( )
h
EI C δ 11
X 1
=
L
�
0
2
M1 δ 10
= – ------
δ 11
ds
Baustatik 1
5-9
5-9

5-10 5-10
5-10
Baustatik 1
5 Kraftgrößenmethode
Einführung in das Kraftgrößenverfahren
Lastfall 3: Auflagerverschiebung
Auflagersetzungen können Schnittkräfte an einem statisch unbestimmten aber niemals
an einem statisch bestimmten System verursachen.
Auflagerverschiebung = ∆
Abb. 5.8 Kraftgrößenmethode für ein System infolge einer Auflagerverschiebung
Da die Verschiebung ∆ des Auflagers in Richtung der statisch unbestimmten
Größe erfolgt ist die Klaffung δ 10 = ∆ positiv.
Mit Hilfe der Formänderungswerte wird
δ = δ0+ X1 δ1 X 1
δ 10
=
EIC δ11 =
X 1
System
Lösen der Bindung
δ 10 Auflagerverschiebung um ∆
δ 11
L
�
0
X 1 =1
∆
2
M1 dx

Für die Schnittkräfte gilt:
Für die Formänderungswerte gilt:
Beispiel 5.2:
X 1
M = X1⋅M1 weil M0 = 0
Q = X1⋅Q1 weil Q0 = 0
Kraftgrößenmethode
Einführung in das Kraftgrößenverfahren
Für einen Zweigelenkrahmen ist die Momentenverteilung zu berechnen.
h = 2,5 m
1
q = 10 kN/m
2
I 2 = 4 I 1 = 4 I 3
I 2 = I C
δ 10
= – ------
δ 11
δ = δ0+ X1 δ1 3
L = 3,0 m Statisch bestimmtes Grundsystem
X 1
Baustatik 1
5-11
5-11

5-12 5-12
5-12
Baustatik 1
5 Kraftgrößenmethode
Einführung in das Kraftgrößenverfahren
δ 11
Verformungsfigur infolge X 1 = 1
X 1
Verformungsfigur infolge Gleichlast q
Abb. 5.9 Beispiel für die Berechnung eines Zweigelenkrahmen
M max
2,5
M max
M 0
q L2
= ----- = 10 ⋅ ---- = 11, 25 kNm
8 8
2,5
M 1
Abb. 5.10 Momentenverteilung infolge der Belastung und der statisch
unbestimmten Größe X 1 am statisch bestimmten Grundsystem
3 2
2,5
2,5
X 1
δ 10

Kraftgrößenmethode
Einführung in das Kraftgrößenverfahren
Als statisch unbestimmte Größe wird eine horizontale Auflagerkraft (Abb. 5.9)
gewählt. Die Verträglichkeitsbedingung lautet:
Aus der Verträglichkeitsbedingung ergibt sich die statisch unbekannte Größe zu
Die Formänderungswerte ergeben sich aus
Daraus folgt
δ1 = X1 δ11 + δ10= 0
X 1
EIC δ10 = – -----------------
EIC δ11 2
EIC δ10 �M
1 M0 dx
-- L
3
qL2
= = – ---------- h = – 56,
25
8
EI C δ 11
2
M1 IC � ---- dx
4 2
I
1
-- h
3
2 ⋅ h h 2 = = + L = 60, 42
X 1
EIC δ10 = – ----------------- = 0, 93
EIC δ11 Die Momentenverteilung wird mit Hilfe des Superpositionsgesetzes bestimmt.
M = M0+ X1 M1 Verformungsfigur Endgültige Momentenlinie
Abb. 5.11 Graphische Ergebnisdarstellung mit dem Programm Ruckzuck
.
Baustatik 1
5-13
5-13

5-14 5-14
5-14
Baustatik 1
5 Kraftgrößenmethode
Einführung in das Kraftgrößenverfahren
5.2.2 Fachwerk
Für die Berechnung von Fachwerken gelten ebenso die im Abschnitt 5.1 erwähnten
Grundprinzipien.
Beispiel 5.3:
Lastfall 1: Einzellast P
Die Formänderungswerte ergeben sich zu
EA C δ 10
=
�
M
m = 1
Der Temperaturanteil in diesem Beispiel ist Null - nur die äußere Last P wirkt.
m … Stabnummer
s … Stablänge
A C
�N0N------ 1 s�
� A �
Die statisch unbestimmte Größe errechnet sich wieder mit
System
EA C δ 11
=
X 1
�
M
m
m = 1
+
EA C α t
�
�
�
�
� 2 AC N ------ 1 s�
� A �
δ 10
= – ------
P
δ 11
�
M
m = 1
Temperaturanteil
X 1
( N1 t0s ) m
�
�
�
�
�
�
�
m
Statisch bestimmtes Grundsystem
X 1

δ 10
Kraftgrößenmethode
Einführung in das Kraftgrößenverfahren
Abb. 5.12 Kraftgrößenmethode für ein Fachwerk mit der Belastung P
Wie Anfangs erwähnt können Auflagerreaktionen und Schnittkräfte nicht nur
durch äußere Lasten und Temperaturänderungen entstehen, sondern auch durch
den Einbau von zu langen oder zu kurzen Stäben (Zwangseinbau).
Lastfall 2: Zwangseinbau
Aus den Formänderungswerten folgt
P
X 1 = 1
Verformungsfigur infolge P Verformungsfigur infolge X1=1 Stabkräfte N0 Stabkräfte N1 System
a
∆
X 1
X 1
Abb. 5.13 Zwangseinbau
δ11
X 1 = 1
Der Stab a ist um die Länge ∆ zu kurz. Um
nun diese Klaffung ∆ schließen zu können,
wird eine Kraftgröße X 1 = 1 angebracht und
solange gesteigert, bis die Klaffung Null ist.
Da eine Verkürzung entgegen der virtuellen
Kraft „1“ wirkt, ist
EA C δ 11
=
δ 10
�
= – ∆
M
m = 1
� 2 AC N ------ 1 s�
� A �
m
Baustatik 1
5-15
5-15

5-16 5-16
5-16
Baustatik 1
5 Kraftgrößenmethode
Einführung in das Kraftgrößenverfahren
Die Kraftgröße muß aber nicht unbedingt an dem Stab, der einem Zwangseinbau
unterworfen wird, angesetzt werden, sondern sie kann auch an anderen Stäben
angesetzt werden (Abb. 5.14).
X 1
1
System
2 3
A B
Abb. 5.14 Zwangseinbau - alternativer Lösungsansatz
Aus den Formänderungswerten folgt
b
X 1
∆
4
δ 10
= – ------
X 1
δ 11
∆1 Die Bindung im Knoten 2 wird gelöst (Abb.
5.14), und danach wird das Stabende b zum
Auflager B hin verschoben. Die Klaffung ∆
X1 schließt sich, und es entsteht eine neue Klaffung
∆1. EA c δ 11
X 1
Die Kraftgröße X 1 = 1 wird angebracht und
solange gesteigert, bis die Klaffung Null ist.
=
X 1
�
M
m = 1
δ 10
� 2 Ac N -----
� 1 s�
A �
δ 10
=
– ------
δ 11
=
m
–
∆ 1
∆

Beispiel 5.4:
Kraftgrößenmethode
Einführung in das Kraftgrößenverfahren
Für ein Fachwerk sind die Auflager- und Normalkräfte zu berechnen.
1
P = 10 kN P = 10 kN
2
6
Abb. 5.15 Beispiel für ein1-fach statisch unbestimmtes Fachwerk
Stab N0 N1 s ------ N N
1N ------s 0 N ------s 1
A A A
1 10 1 5 1 50 5 7,50
2 0 1 5 1 - 5 -2,50
3 10 1 5 1 50 5 7,50
4 0 1 5 1 - 5 -2,50
5 0 -1,42 7,07 0,707 - 10 3,55
6 0 -1,42 7,07 0,707 - 10 3,55
Summe 100 40
Mit diesen Werten folgt
4
5
5,0 m
X 1
δ 10
δ 11
5,0 m
3
A C
X 1
A C
= – ------ = –
100
-------- =
– 2, 5 kN
40
X 1
2A C
Baustatik 1
5-17
5-17

5-18 5-18
5-18
Baustatik 1
5 Kraftgrößenmethode
Einführung in das Kraftgrößenverfahren
Abb. 5.16 Graphische Ergebnisdarstellung mit dem Programm Ruckzuck
Beispiel 5.5:
Verformungsfigur Endgültige Normalkräfte
Für einen Fachwerkausleger sind die Stabkräfte zu bestimmen.
Geg: EA = const.
Belastung P = 10 kN.
3,0m 3,0m
7
3.53
1 4
3
4 5
P = 10 kN
1
2
3.53
4,0m 4,0m
Abb. 5.17 Systemskizze
5
6
3
2
8
3.53
3.53

Mit diesen Werten folgt
X 1 =1
7
4
1
X 1 =1
Abb. 5.18 Statisch bestimmtes Grundsystem
Kraftgrößenmethode
Einführung in das Kraftgrößenverfahren
Stab N0 N1 s ------ N N
A 1N ------s 0 N ------s 1
A A
1 -16,67 1 5 1 -83,35 5 -11,51
2 0 1 5 1 0 5 5,16
3 0 -1,20 3 1 0 4,32 -6,19
4 13,33 -1,60 4 1 -85,31 10,24 5,07
5 13,33 -1,60 4 1 -85,31 10,24 5,07
6 0 -1,20 3 1 0 4,32 -6,19
7 0 1 5 1 0 5 5,16
8 0 1 5 1 0 5 5,16
Summe -253,59 49,12
X 1
δ 10
δ 11
6
3
A C
2
5
8
A C
– 253, 59
= – ------ = – --------------------- =
5, 16 kN
49, 12
2A C
Baustatik 1
5-19
5-19

5-20 5-20
5-20
Baustatik 1
5 Kraftgrößenmethode
Einführung in das Kraftgrößenverfahren
Verformungsfigur infolge der Belastung P
10.0
13.33
Abb. 5.19 Graphische Ergebnisdarstellung mit dem Programm Ruckzuck
5.2.3 Mehrfach statisch unbestimmte Systeme
Für die Berechnung mehrfach statisch unbestimmter Systeme gelten wiederum die
im Abschnitt 5.1 erwähnten Grundprinzipien. Es werden die statisch unbestimmten
Größen auch hier solange erhöht, bis jede der einzelnen Klaffungen aus der
Summe der verschiedenen Einflüsse (X 1 ,X 2 , ....) an den „entkoppelten“ Punkten
gleich Null sind.
-11,5
Abb. 5.20 System
Endgültige Stabkräfte
5,17
P P P
X 1
X 2
-6,21 -6,21
5,06 5,06
Abb. 5.21 Statisch bestimmtes Grundsystem
5,17
5,17

Kraftgrößenmethode
Einführung in das Kraftgrößenverfahren
Abb. 5.22 Verformungsfigur und Momentenverteilung zufolge äußerer Belastung
X 1= 1
Abb. 5.23 Verformungsfigur und Momentenverteilung zufolge X 1=1
Abb. 5.24 Verformungsfigur und Momentenverteilung zufolge X 2=1
Für dieses Beispiel lautet das Gleichungssystem:
1
M 2
δ 11
δ 12
δ 10
M 0
Aus diesem Gleichungssystem können die statisch unbestimmten Größen
bestimmt werden. Sobald diese Größen bekannt sind, können die übrigen statischen
Größen auf Grund der Gültigkeit des Superpositionsgesetzes bestimmt werden.
δ 21
X 2 = 1
δ10 + δ11 X1 + δ12 X2 = 0
δ20 + δ21 X1 + δ22 X2 = 0
M =
M0+ M1X 1 + M2X 2
1
δ 22
δ 20
M 1
Baustatik 1
5-21
5-21

5-22 5-22
5-22
Baustatik 1
5 Kraftgrößenmethode
Einführung in das Kraftgrößenverfahren
Q = Q0+ Q1X 1 + Q2X 2
δ = δ0+ δ1X 1 + δ2X 2
Abb. 5.25 Endgültige Verformungsfigur
Das Gleichungssystem (Kompatibilitätsbedingungen) für ein mehrfach statisch
unbestimmtes System in Matrizenform angeschrieben lautet
[ A]
δ 11 δ 12 δ 13 … δ 1n
… … … … …
δ n1 δ n2 δ n3 … δ nn
[ A]
{ x}
+ { D}
= 0
δ21 δ22 δ23 … δ2n = δ31 δ32 δ33 … δ3n , { x}
= X3 , { D}
=
Die Formänderungswerte bei mehrfach statisch unbestimmten Systemen in allgemeiner
Form angeschrieben lauten
EI C δ ik
=
�
I C
---- Mi Mk ds
+
I
�
I C
Formänderungen aus den statisch Unbestimmten (Glg. 5.1)
EI C δ i0
=
�
I C
---- Mi M0 ds
+
I
�
Formänderungen aus der Belastung (Glg. 5.2)
X 1
X 2
…
X n
---- Ni Nk ds
+
A
I C
---- Ni N0 ds
+
A
∆t
+ EICα �
t Nit 0 + M ---- �
�
i ds
� h �
+
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Temperatur
�
EI C δ
�
�
�
�
EI C
GA Q
δ 10
δ 20
δ 30
…
δ n0
----------- Qi Qk ds
EI C
----------- QiQ k ds
GA Q
Auflagerverschiebung

EI C
Kraftgrößenmethode
Vorgangsweise bei statisch unbestimmten Systemen
Das Integral ----------- Qi Qk ds
kann bei schlanken Stäben �L �
-- » � vernachlässigt
werden. GA �
Q
h �
5.3 Vorgangsweise bei statisch unbestimmten
Systemen
� System aufzeichnen und die Einwirkungen (Lasten) eintragen.
� Steifigkeiten EI n und EA n wählen. Diese Größen sind aus der Vorbemessung
bekannt. Für die Schnittkräfte sind nur die Verhältnisse der Steifig-
EI C
keiten -------- maßgebend; für die Verformungen aber sind die
EAC ; ----------
EI n
EA n
Steifigkeiten EI n und EA n von Bedeutung.
� Ermittlung des Grades der statischen Unbestimmtheit (n-Bindungen
lösen).
� Wahl des statisch bestimmtes Grundsystems.
� Ermittlung des Lastspannungszustandes (Schnittkräfte) am statisch
bestimmten Grundsystem mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen
(M 0 ,Q 0 ,N 0 ).
Bestimmung der Verformungsgrößen δ i0 an den Stellen mit den weggenommenen
Bindungen. Ermittlung der Formänderungswerte δ i0 über
(Glg. 5.2) (siehe Abschnitt 5.2.3).
� Aufbringen der n Einheitszustände am statisch bestimmten Grundsystem .
Bestimmung der Verformungsgrößen δ ik an den Stellen mit den weggenommenen
Bindungen. Ermittlung der Formänderungswerte δ ik über
(Glg. 5.1) (siehe Abschnitt 5.2.3).
� Die Kompatibilitätsbedingungen
[ A]
{ X}
+ { D}
= 0
aufstellen und für n unbekannte Faktoren {Xi } (statisch unbekannte
Kräfte aus den weggenommenen Bindungen) lösen.
� Superposition der wirklichen Schnittgrößen, Auflagergrößen und Formänderungen
(z.B. Verschiebungen, Verformungen) aus den Teilzuständen
am statisch bestimmten Grundsystem.
�
M = M0 + Mi Xi �
n
i = 1
n
Q =
Q0 + Qi Xi i = 1
... Moment
... Querkraft
Baustatik 1
5-23
5-23

5-24 5-24
5-24
Baustatik 1
5 Kraftgrößenmethode
Grundregeln für die Wahl des statisch bestimmten Grundsystems
... Normalkraft
... Auflagerkraft
... Formänderungen
5.4 Grundregeln für die Wahl des statisch
bestimmten Grundsystems
� Biegezustand und Spannungszustand am Grundsystem sollten ähnlich dem endgültigen
Zustand sein. Die Anteile M i X i etc. haben dann den Charakter von
Verbesserungen.
Beispiel 5.6: Zweigelenkbogen
�
N = N0 + Ni Xi �
n
i = 1
n
A = A0 + Ai Xi �
i = 1
n
δ = δ0+ δi Xi Momentenverteilung M q
i = 1

Momentenverteilung M 0
q
Kraftgrößenmethode
Grundregeln für die Wahl des statisch bestimmten Grundsystems
M 0
Die Momentenverteilung M 0 am Grundsystem
ist der endgültigen Momentenverteilung
nicht ähnlich.
Momentenverteilung M 1
Ungünstig
X 1 = 1
Momentenverteilung M 0
Abb. 5.26 Beispiel für die Wahl eines statisch bestimmten Grundsystems.
� Die Momentenflächen M j sollen sich über möglichst kleine Bereiche des
Systems erstrecken, damit bei großen Systemen viele Formänderungen δ ik =0
werden.
M 0
q
Momentenverteilung M 1
Besser
X 1 = 1
M 1 X 1 hat den Charakter einer Verbesserung.
Baustatik 1
5-25
5-25

5-26 5-26
5-26
Baustatik 1
5 Kraftgrößenmethode
Grundregeln für die Wahl des statisch bestimmten Grundsystems
[ A ] =
Abb. 5.27 Symbolische Darstellung der Nachgiebigkeitsmatrix
Beispiel 5.7: Durchlaufträger
x x x x x x x x x
Bei geschickter Wahl des stat.
bestimmten Grundsystems werden
viele δ ik = 0.
X 1 X 2 X 3
1 1 1
M 1 M 2 M 3
Abb. 5.28 Günstige Wahl der statisch Unbestimmten
Günstig: Integration erstreckt sich über kleine Bereiche, dadurch wird δ 13 =0:
δ 11 δ 12 0
δ 21 δ 22 δ 23
0 δ 32 δ 33

Kraftgrößenmethode
Grundregeln für die Wahl des statisch bestimmten Grundsystems
Abb. 5.29 Ungünstige Wahl der statisch Unbestimmten
Ungünstig: Integration erstreckt sich über die ganze Länge und kein Koeffizient
wird Null.
Beispiel 5.8: Symmetrischer Rahmen
X 1 X 2 X 3
Bei symmetrischen Systemen kann die Einheitsbelastung in einen symmetrischen
und einen antimetrischen Teil aufgeteilt werden:
System Statisch bestimmtes Grundsystem
M 1
M 2
M 3
Baustatik 1
5-27
5-27

5-28 5-28
5-28
Baustatik 1
5 Kraftgrößenmethode
Grundregeln für die Wahl des statisch bestimmten Grundsystems
Abb. 5.30 Zerlegung eines statisch unbestimmten Systems in ein symmetrisches und
ein antimetrisches Grundsystem
Bei symmetrischen Systemen mit beliebiger Belastung ist es oft sinnvoll, die Belastung
in einen symmetrischen und einen antimetrischen Anteil zu zerlegen und das
ursprüngliche System durch ein symmetrisches und ein antimetrisches Ersatzsystem
zu ersetzen.
Beispiel 5.9:
Einheitsbelastung
X 2
X 3
X 1
P
X 2
X 3
Symmetrie
Symmetrie
Antimetrie

Kraftgrößenmethode
Grundregeln für die Wahl des statisch bestimmten Grundsystems
Aufteilung in ein symmetrisches System mit
symmetrischer und antimetrischer Belastung
P/2 P/2 P/2 P/2
Verformungsfigur Verformungsfigur
P/2 P/2 P/2 P/2
X 1
X 1
1 1
M 1
X 1 -X1
Ersatzsysteme
symmetrisch antimetrisch
Abb. 5.31 Aufteilung eines statisch unbestimmten Systems in ein symmetrisches und
antimetrisches Grundsystem infolge der Belastung P
1
-1
Baustatik 1
5-29
5-29

5-30 5-30
5-30
Baustatik 1
5 Kraftgrößenmethode
Verformungsberechnung an statisch unbestimmten Systemen
5.5 Verformungsberechnung an statisch
unbestimmten Systemen
5.5.1 Reduktionssatz
Der Reduktionssatz besagt, daß man bei der Formänderungsberechnung an statisch
unbestimmten Systemen mit Hilfe des Prinzipes der virtuellen Arbeit nur einen der
beiden Kraftgrößenzustände eines Formänderungsarbeitsintegrals am statisch
unbestimmten System zu ermitteln braucht. Der andere kann aus einem beliebigen
statisch bestimmten Grundsystem hervorgehen.
Beispiel 5.10: zum Nachweis des Reduktionssatzes
Ges.: Durchbiegung δ an der Stelle a:
q
q
Verformungsfigur infolge q
q
L
a
M
M 0
δ a

X 1 =1
X 1
Kraftgrößenmethode
Verformungsberechnung an statisch unbestimmten Systemen
Abb. 5.32 Erläuterungsbeispiel zum Reduktionssatz
M und M können mit Hilfe des statisch bestimmten Grundsystems berechnet werden
und lassen sich wie folgt darstellen.
Mit dem Prinzip der virtuellen Kraftgrößen ergibt sich die Durchbiegung aus
Unter Verwendung der Beziehung für M ergibt sich die Durchbiegung zu
δ a
=
Die Formänderungsarbeitsintegrale
�
M 2
M 0
M
M 1
P=1
X 2 =1
P=1
M = M0 + X1 M X2 1 + M2 M = M0+ X1 M1 + X2 M2 δ a
=
MM0 -------------- ds
+ X1
EI
�
�
MM
------------ ds
EI
MM1 --------------ds + X2
EI
�
X 2
MM2 -------------- ds
EI
virtuelle Belastung
Baustatik 1
5-31
5-31

5-32 5-32
5-32
Baustatik 1
5 Kraftgrößenmethode
Verformungsberechnung an statisch unbestimmten Systemen
�
�
stellen die Formänderungen δ 1 und δ 2 - in diesem Beispiel sind es Verdrehungen -
des statisch unbestimmten Systems infolge der Belastung q in den Punkten dar, in
denen die statisch unbestimmten Größen X 1 und X 2 angreifen.
Auf Grund der Auflagerbedingungen des Systems - der Träger ist auf beiden Seiten
eingespannt - müssen die Formänderungsausdrücke δ 1 und δ 2 gleich Null sein.
Die Durchbiegung im Punkt a wäre somit
Wenn man nun die Beziehung für M statt für M verwendet, so ergibt sich die
Durchbiegung zu
Bei der Gegenüberstellung der beiden Ausdrücke für die Durchbiegung δ a kann
man erkennen, daß es gleich ist, ob man für die Berechnung der Momentenfläche
des statisch unbestimmten Systems die wirkliche oder die virtuelle Belastung verwendet.
Beispiel 5.11:
MM
--------------1 ds
EI
= ----ds
� ( M1 M0 + X1 M1 M1 + X2 M2 M1) EI
= δ10 + X1 δ11 + X2 δ12 = δ1 MM2 -------------- ds
EI
=
�
----ds
( M2 M0 + X1 M1 M2 + X2 M2 M2) EI
= δ20 + X1 δ21 + X2 δ22 = δ2 δ a
=
�
Für einen Durchlaufträger ist die Verdrehung im Auflager D mit Hilfe des Reduktionssatzes
zu berechnen.
Geg: Schnittkraftverlauf M am statisch unbestimmten System
δ a
δ a
=
=
�
�
MM0 -------------- ds=
EI
MM0 -------------- ds
EI
MM
-------------- 0 ds
EI
�
MM0 -------------- ds
EI

Trägheitsquotient I C /I
Ges: Verdrehung im Auflager D
Kraftgrößenmethode
Verformungsberechnung an statisch unbestimmten Systemen
P
IC / I=1 IC / I=1,5 IC /I=1
A B C D
8,0 4,0 10,0
130,8
-90,7
Abb. 5.33 Beispiel zum Reduktionssatz
ϕ = ?
Eine weitere Möglichkeit wäre, den Stab C-D vom System zu trennen und als isolierten
Stab zu betrachten. Als Belastung müssen die wirklichen Momente an den
Stabenden angebracht werden, damit die Verformungen und Schnittkräfte gleich
denen des Gesamtsystems sind.
17,0
M 0
M0
ϕ --------------
M
� ds
--------
1 1
28, 33
= = ⋅ -- ⋅ 1 ⋅ 17 ⋅10
=
-------------
6
EI C
EI C
M
EI C
M =1
1
Baustatik 1
5-33
5-33

5-34 5-34
5-34
Baustatik 1
5 Kraftgrößenmethode
Verformungsberechnung an statisch unbestimmten Systemen
Abb. 5.34 Anwendung des Reduktionssatzes auf den isolierten Stab C-D
Beispiel 5.12:
X 2
17,0
C D
Geg: Schnittkraftverlauf M am statisch unbestimmten System.
Ges.: Für den Rahmen sind die horizontale Verschiebung δ H im Punkt A
und die vertikale Verschiebung δ V im Punkt B gesucht.
A
q
B
M
Abb. 5.35 Momentenverteilung M infolge Gleichlast q
j
M=1
1

X=1
M 0
Momentenverteilung am
statisch bestimmten
Grundsystem für die
EI C δ H
�
Kraftgrößenmethode
Verformungsberechnung an statisch unbestimmten Systemen
Abb. 5.36 Beispiele zum Reduktionssatz
5.5.2 Superposition von Weggrößen
I C
Momentenverteilung am
statisch bestimmten
Grundsystem für die
Analog zur Gleichung für die Schnittkräfte gilt für die Weggrößen
q
M 0
X=1
= MM0 ---- ds
EIC δV = MM0
I
�
δa = δao + δak Xk System
�
IC ---- ds
I
L a
Ges: Durchbiegung δ an der
Baustatik 1
5-35
5-35

5-36 5-36
5-36
Baustatik 1
5 Kraftgrößenmethode
Einflußlinien an statisch unbestimmten Systemen
X 1
Verformungsfiguren
Abb. 5.37 Superposition von Weggrößen
5.6 Einflußlinien an statisch unbestimmten
Systemen
5.6.1 Allgemeines
q
q
δ a
δ a0
δ a1
δ a2
Einflußlinien werden dazu verwendet, um Auflagerkräfte, Schnittkräfte und Formänderungen
zu berechnen, und zwar an einer bestimmten Stelle des Systems für
jede mögliche Laststellung. Um zum Beispiel die Extremwerte (Minima oder
Maxima) von Stütz- oder Schnittgrößen aus Verkehrslasten zu erhalten, wird in der
Regel der Weg über die Einflußlinien eingeschlagen.
Für die Bestimmung der Einflußlinie läßt man eine Last P = “1“ über den Träger
wandern und untersucht deren Einfluß auf die gesuchte statische Größe in einem
betrachteten Punkt m. Die Einflußordinate gibt also an, wie groß in diesem
betrachteten Punkt die entsprechende Zustandsgröße ist, wenn die wandernde Last
P = “1“ über dieser Ordinate steht. Die Multiplikation der Ordinate mit Größe und
X 2
Durchbiegung im
Punkt a:
δ a
=
δ a0
+

Kraftgrößenmethode
Einflußlinien an statisch unbestimmten Systemen
Dimension der darüberstehenden Last ergibt die durch diese Last tatsächlich im
Punkt m wirkende Größe.
Voraussetzungen
� Die Wanderlast P = “1“ muß zu sich stets parallel bleiben. Sie muß dieselbe
Lastrichtung haben wie jene Lasten, für die die Einflußlinie ausgewertet werden
soll.
� Das Superpositionsgesetz muß gelten, d.h. lineare Materialgesetze und Theorie
I.Ordnung.
5.6.2 Berechnung von Einflußlinien für Schnittkräfte
Die Einflußlinien bei statisch bestimmten Systemen verlaufen geradlinig und können
rechnerisch mit den Gleichgewichtsbedingungen oder kinematisch mit Hilfe
des Prinzips der virtuellen Weggrößen ermittelt werden.
Die Einflußlinien bei statisch unbestimmten Systemen verlaufen im Gegensatz
dazu kurvenförmig, und zu ihrer Berechnung müssen Formänderungsbedingungen
herangezogen werden.
Einflußlinien für n = 1-fach statisch unbestimmte Systeme
x
i
P i = 1
Abb. 5.38 System
Abb. 5.39 Statisch bestimmtes Grundsystem
P i = 1
X 1
Abb. 5.40 Momentenlinie M i zufolge P i=1
Baustatik 1
5-37
5-37

5-38 5-38
5-38
Baustatik 1
5 Kraftgrößenmethode
Einflußlinien an statisch unbestimmten Systemen
Abb. 5.41 Verdrehung δ 1i infolge P i=1
Abb. 5.42 Momentenlinie M 1zufolge X 1=1
Abb. 5.43 Verdrehung δ 11 infolge X 1 = 1
Die statisch unbestimmte Größe X 1 läßt sich, wie schon bekannt , durch
berechnen. Für die Einflußlinie gilt analog dazu
δ 1i
„X 1“ stellt die Einflußlinie der statisch unbestimmten Größe X 1 und „δ 1i“ dieEinflußlinie
der Weggröße δ 1i infolge der wandernden Last P i =1dar.
Nach dem Satz von MAXWELL gilt aber
i
X 1
=
X 1=1
δi1 stellt also die Biegelinie (Durchbiegung an allen Stellen i ) am statisch
bestimmten Grundsystem infolge einer Belastung X1 = 1 dar. Die Einflußlinie der
Kraftgröße
1
X1 ist somit gleich der Biegelinie infolge X1 = 1 multipliziert mit
–
------ .
δ 11
1
–
δ1i -----δ11
δ 11
″δ1i ″
″X1 ″ = – -----------
δ 11
″δ1i ″ = δi1

Abb. 5.44 Biegelinie δ i1 infolge X 1=1
Kraftgrößenmethode
Einflußlinien an statisch unbestimmten Systemen
Abb. 5.45 Einflußlinie „X 1“ der statisch unbestimmten Größe X 1
Analog zur Berechnung von Schnittkräften nach der Kraftgrößenmethode ergeben
sich die Einflußlinien für Schnittkräfte an der Stelle m aus der Gleichung
„S m0 “ ... Einflußlinie der Schnittkraft am stat. best. Grundsystem
S m1 ... Schnittkraft aus Einheitsbelastung X 1 =1
Beispiel 5.13:
Ges: “M m “
X 1 =1
δ 11
″Sm ″ = ″Sm0 ″ + ″X1 ″ ⋅ Sm1 m
m
Abb. 5.46 System
X 1
Abb. 5.47 Statisch bestimmtes Grundsystem
1
Baustatik 1
5-39
5-39

5-40 5-40
5-40
Baustatik 1
5 Kraftgrößenmethode
Einflußlinien an statisch unbestimmten Systemen
Mm1
Abb. 5.48 Momentenlinie M 1 und Biegelinie (Einflußlinie “X 1“) zufolge X 1 = 1
Abb. 5.49 Einflußlinie “M m0“ am statisch bestimmten Grundsystem
Die Einflußlinie “M m “ergibtsichaus
Abb. 5.50 Einflußlinie “M m“
Einflußlinien für n-fach statisch unbestimmte Systeme
Hierbei sind die Formänderungen δ ik feste Werte aus dem Einheitslastzustand, und
die Einflußlinien „δ ni “ sind nach dem Satz von MAXWELL, wie vorher gezeigt,
die Biegelinien δ in .
Matrizenform der Kompatibilitätsbedingungen:
m
M 1
″Mm ″ = ″Mm0 ″ + ″X1 ″ Mm1 1
m
“M m “
δ11 ″X1 ″ + δ12 ″X2 ″ + …+ δ1n ″Xn ″ + ″δ1i ″ = 0
δ21 ″X1 ″ + δ22 ″X2 ″ + …+ δ2n ″Xn ″ + ″δ2i ″ = 0
δn1 ″X1 ″ + δn2 ″X2 ″ + …+ δnn ″Xn ″ + ″δni ″ =
0

Kraftgrößenmethode
Einflußlinien an statisch unbestimmten Systemen
Aus den Kompatibilitätsbedingungen folgen die Einflußlinien der statisch unbestimmten
Größen
Die Einflußlinien für die Schnittkräfte an der Stelle m ergeben sich dann aus
5.6.3 Bestimmung von Schnittkrafteinflußlinien mit Hilfe der
kinematischen Methode
Die virtuelle Verschiebung ist bei Einflußlinien für Kräfte (A, Q, N) eine Verschiebung
∆u=1 und bei Einflußlinien für Momente eine Relativverdrehung
∆ϕ=1.
[ A]
{ ″X″ } + { ″D″ } = 0 { ″D″ }
{ ″X″ } [ A]
1 –
= – { ″D″ }
� �
� ″δ1i ″ �
� �
� �
� ″δ2i ″ �
= � �
� · �
� �
� �
� ″δni ″ �
� �
{ ″X″ } = Überlagerung von Biegelinien × Koeffizienten
″Sm ″ =
″Sm0 ″ + ″X1 ″Sm1 + ″X2 ″ Sm2 + … + ″Xn ″ Smn Baustatik 1
5-41
5-41

5-42 5-42
5-42
Baustatik 1
5 Kraftgrößenmethode
Einflußlinien an statisch unbestimmten Systemen
Bestimmung der Einflußlinien an statisch bestimmten Systemen
Abb. 5.51 Kinematische Methode zur Ermittlung von Einflußlinien bei statisch
bestimmten Systemen
Vorgangsweise:
� Lösen der Bindungen im Punkt m und Aufbringen des Momentes M m .
� Vorgeben der virtuellen Verschiebungsfigur infolge der Einheitsverformung,
auf der die Kraftgröße negative Arbeit leistet.
Die äußere virtuelle Arbeit ergibt
daraus folgt
Ges: “M m “
A a ( )
m
M m
M m
P i = “1“
P i = “1“
Die innere virtuelle Arbeit A (i) ist gleich Null, da keine Formänderungsarbeit
geleistet wird. Um die Einflußlinie des Momentes M m zu bekommen, ist an der
gelösten Bindung eine Verdrehung “1“ anzubringen. Die Biegelinie stellt dann
bereits die Einflußlinie “M m “dar.
θ=1
w(x i )
= 1 ⋅ w( x)
+ Mm( – 1)
= 0
″Mm ″ =
wx ( )
.
x i
,

Kraftgrößenmethode
Einflußlinien an statisch unbestimmten Systemen
Bestimmung der Einflußlinien an statisch unbestimmten Systemen
Beispiel 5.14:
Ges.: „M m “
q=1
Abb. 5.52 Kinematische Methode bei statisch unbestimmten Systemen
M … Momente am statisch unbestimmten System aus der Belastung P
M … Momente aus der Einheitsverdrehung θ=1
Lösung des statisch unbestimmten Systems:
x i
A a ( )
m
m
M m
P i = “1“
P i = “1“
δ (xi)
= 1 ⋅ δ( x)
+ Mm( – 1)
= 0
äußere Kräfte × virtuelle Weggrößen
A i ()
=
�
MM s d
-----
EI
innere Kräfte × virtuelle innere Weggrößen
q=1
M 0
m
X 1
δ 10
= 0 M =
X1 ⋅ M1 Baustatik 1
5-43
5-43

5-44 5-44
5-44
Baustatik 1
5 Kraftgrößenmethode
Einflußlinien an statisch unbestimmten Systemen
A i ()
Daraus folgt
Die kinematische Methode gilt also uneingeschränkt auch für statisch unbestimmte
Systeme.
Beispiele:
MM s d
----- MX1 �
M ----ds
�
1
EI � ( M0 + X1 M1)X1M----- ds
�
1
EI ��EI �
2
X1 ( M0 M1 + X1 M1) s d
= = =
= � ----- = X1 ⋅ ( δ10 + δ11 ⋅ X1) EI
0
= 0
daher: A i ()
q=1
m
″Mm ″ = δ( x)
�
�
�
�
�
�
�
Abb. 5.53 Einflußlinie „M m“ des Momentes M im Punkt m
Abb. 5.54 Einflußlinie „H“ des Horizontalkraft H
m
Abb. 5.55 Einflußlinie „Q m“ der Querkraft Q in Punkt m
1
“1“
1
H

Kraftgrößenmethode
Berechnung von Einflußlinien für Weggrößen
5.7 Berechnung von Einflußlinien für
Weggrößen
Bei statisch bestimmten Systemen berechnet man die Einflußlinien für Weggrößen
(z.B. Verschiebungen, Verdrehungen), indem man eine Last P = „1“ bzw.
M = „1“ an der Stelle anbringt, an der die Einflußlinie für diese Formänderung
gesucht wird.
Danach berechnet man über die Momentenfläche infolge dieser virtuellen Belastung
die Biegelinie. Diese Biegelinie stellt dann bereits die Einflußlinie dar (Satz
von MAXWELL “δ nm “=δ mn ).
Die Berechnung der Einflußlinien für Weggrößen an statisch unbestimmten Systemen
verläuft gleich wie jene bei den statisch bestimmten.
Beispiel 5.15:
Abb. 5.56 Durchbiegung infolge einer wandernden Last P in den Punkten m und i
Nach dem Satz von MAXWELL
x
P = 1
i
i
δ im
″δmi ″ =
δim Die Einflußlinie für die Durchbiegung δ im Punkt m ist gleich der Biegelinie für
den Lastfall P m = „1“.
m
δ mi
P m = 1
Baustatik 1
5-45
5-45

5-46 5-46
5-46
Baustatik 1
5 Kraftgrößenmethode
Berechnung von Einflußlinien für Weggrößen
Beispiel 5.16:
Abb. 5.57 Einflußlinie der Durchbiegung im Punkt m
Geg: E = 210.10 6 kN/m 2
I = const. = 0,001 m 4
A>>
Ges: Einflußlinie der Verdrehung des Punktes 5 (“ϕ 5 “)
Lösung:
1
10
2 x 1,50 m
“1“
+ϕ
Die Einflußlinie für eine Verformung ist gleich jener Biegelinie, die entsteht, wenn
in Richtung der gesuchten Verformung eine „1“-Kraft(Moment) angreift.
Um die Einflußlinie für die Verdrehung im Knoten 5 mit geringem Aufwand
berechnen zu können, wird das symmetrische System durch ein antimetrisches
ersetzt. Diese Vereinfachung ist möglich, da das Moment M=“1“, welches im
Knoten 5 in Richtung +ϕ wirkt, für das symmetrische System ein antimetrischer
Lastfall ist. Mit Hilfe dieser kleinen Vereinfachung wurde aus dem einfach statisch
unbestimmten System ein statisch bestimmtes, und der Rechenaufwand für die
Einflußlinie wird erheblich verringert.
m
P m = 1
2 3 4 5 6 7 8 9
A>>
I = const. = 0,001 m 4
11
4 x 1,50 m 2 x 1,50 m
4,00 m
"δ m "

Biegelinie und Auflagerkräfte
Kraftgrößenmethode
Berechnung von Einflußlinien für Weggrößen
Abb. 5.58 Antimetrisches System (Ergebnisse aus dem Programm Ruckzuck)
M=1
M = 0,5
0.08 0.08
Abb. 5.59 Gesamtsystem (Ergebnisse aus dem Programm Ruckzuck)
1 2 3 4
5 6 7 8 9
Momentenlinie
Abb. 5.60 Einflußlinie der Verdrehung im Punkt 5
“ϕ 5 “
Baustatik 1
5-47
5-47

5-48 5-48
5-48 Baustatik 1
5 Kraftgrößenmethode
Berechnung von Einflußlinien für Weggrößen

6 Deformationsmethode
Drehwinkelverfahren
SteifigkeitsmatrixSymmetrie-Antimetrie
FachwerkeBelastungsumordnung
RahmentragwerkeEinflußlinien
Die Berechnung statisch unbestimmter Systeme mit Hilfe von Verformungs- größen
(Verschiebungen und Verdrehungen) als Unbekannten bezeichnet man als
Weggrößenverfahren bzw. Deformationsmethode. Die ersten Buchveröffentlichungen
darüber stammen von und aus den Jahren 1926/27,
ersterer führte auch den häufig verwendeten Begriff Deformationsmethode ein.
Diese Art der Berechnung statisch unbestimmter Systeme geht bereits auf
und zurück, die noch vor der Jahrhundertwende zur Analyse von Fachwerk-Nebenspannungen
Knotendrehwinkel als Unbekannte einführten.
6.1 Vorbemerkungen
Bei mehrfach statisch unbestimmten Systemen taucht die Frage auf, welches
Berechnungsverfahren (Kraftgrößen- oder Weggrößenverfahren) mit dem geringsten
Aufwand zum Ziel führt. Wenn die Zahl der statisch Unbestimmten gering ist,
so ist i.a. das Kraftgrößenverfahren zu bevorzugen, weil es unmittelbar die für die
Bemessung benötigten Kraftgrößen liefert. Bei gleicher Anzahl der Unbekannten
verlangt das Weggrößenverfahren insofern einen zusätzlichen Aufwand, als man
zunächst die Verschiebungsgrößen erhält, aus denen man dann in einem weiteren
Rechnungsgang die Kraftgrößen ermitteln muß. Ein Vorteil für das Weggrößenverfahren
ergibt sich, wenn es bei einem System mit weniger Unbekannten auskommt
als das Kraftgrößenverfahren, was immer dann der Fall ist, wenn die kinematische
Unbestimmtheit m kleiner als statische Unbestimmtheit n des Systems ist. Hinzu
kommen die bessere Programmierbarkeit.
6.1.1 Diskretisiertes Tragwerksmodell
Das Weggrößenverfahren basiert auf den Konventionen eines diskretisierten
Tragwerksmodells. Dieses Modell besteht aus Stabelementen, welche an ihren
Baustatik 1
6-1
6-1

6-2 6-2
6-2
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Vorbemerkungen
Stabenden, den Knotenpunkten, miteinander verknüpft oder auf Lagern gestützt
sind. In Abb. 6.1 ist das diskretisierte Tragwerksmodell eines Brückentragwerkes
dargestellt.
a) Ansicht
b) Längenschnitt und diskretisiertes Tragwerksmodell
y
x
i
i
Abb. 6.1 a) Ansicht b) Längenschnitt und diskretisiertes Tragwerksmodell einer
dreifeldrigen Plattenbrücke.
Die Geometrie der Tragwerke wird in einem globalen, rechtshändigen Koordinatensystem
x, y, z - im Sonderfall der Ebene x, y - definiert. Jedem einzelnen
Punkt bzw. Stabelement eines diskretisierten Tragwerksmodelles verleiht darüber
hinaus eine lokales, Koordinatensystem x’,y’,z’-bzw.x’,y’-eineOrientierung.
Die x’-Achse verläuft dabei stets in Richtung der Stabachse, vom linken (i)
zum rechten (j) Stabende weisend.( Abb. 6.1)
6.1.2 Kinematische Unbestimmtheit
j
j
i
Ein System ist kinematisch bestimmt, wenn alle Knotenverdrehungen und alle
Knotenverschiebungen bekannt, d.h. in der Regel gleich Null sind. Ein durch Stäbe
nur elastisch gehaltener Knoten hat im Raum sechs (3 Verschiebungen + 3 Verdrehungen),
in der Ebene drei (2 Verschiebungen + 1 Verdrehung) Freiheitsgrade. Die

Deformationsmethode
Vorbemerkungen
Summe der Freiheitsgrade aller Knoten entspricht der kinematischen Unbestimmtheit
eines Systems.
6.1.3 Zusammenhang zwischen Kraft- und Weggrößen
Zwischen den Kraft- und Weggrößen besteht eine vollständige Dualität, d.h. zu
bestimmten Kraftgrößen eines Systems gehören eindeutige Weggrößen, und umgekehrt
zu bestimmten Weggrößen eindeutige Kraftgrößen. In Abb. 6.2 sind die dualen
Berechnungsverfahren, sowie deren prinzipiellen Berechnungswege,
dargestellt. Daraus ist ersichtlich, daß von den Gleichgewichts- und den Verformungsbedingungen
jeweils nur eine Bedingung durch Ansätze oder Grundlösungen
von vornherein erfüllt wird.
Die verbleibende Bedingung hingegen folgt aus der Lösung eines algebraischen
Gleichungssystems. Gleichgewichtsbetrachtungen dominieren das Kraftgrößenverfahren,
wobei jene Kombination von Gleichgewichtszuständen gesucht wird,
die auch alle Verformungsbedingungen des Systems erfüllt. Dies erfolgt über
Nachgiebigkeitsbeziehungen (Flexibilitätsbeziehungen) der Gestalt:
Verformungsgrößen = Nachgiebigkeiten x Kraftgrößen.
Beim Weggrößenverfahren werden kinematisch kompatible Verformungszustände
so miteinander kombiniert, daß alle Gleichgewichtsaussagen erfüllt sind. Kraftund
Weggrößen sind dabei durch Steifigkeitsbeziehungen miteinander verknüpft:
Kraftgrößen = Steifigkeiten x Verformungsgrößen.
Baustatik 1
6-3
6-3

6-4 6-4
6-4
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Vorbemerkungen
Das wirkliche
System wird für
die Berechnung
ersetzt durch:
Unbekannte
sind: (genauer)
Sie werden
bestimmt aus
den Gleichungen
für:
Oder allgemeiner:
Die Lösung ist
die Summe von:
Kraftgrößen-Verfahren Weggrößen-Verfahren
statisch bestimmtes
Grundsystem
(n-fach statisch unbest.)
Kraftgrößen
(die Faktoren X i der
Einheitsspannungszustände)
Verträglichkeitsbedingungen
Prinzip der virtuellen
Kraftgrößen
Lastspannungszuständen +
n Einheitsspannungszuständen
∙ (X i )
Abb. 6.2 Übersicht der analogen Berechnungsverfahren für Stabtragwerke.
Die linearen Bestimmungsgleichungen für die unbekannten Weggrößen ergeben
sich aus den m Gleichgewichtsbedingungen (Knoten- und Verschiebungsgleichgewicht),
die zu den m Freiheitsgraden gehören.
6.1.4 Definition der inneren Kraftgrößen
Für die inneren Kraftgrößen wird eine neue Vorzeichenkonvention eingeführt. In
dieser Vorzeichenkonvention werden die positiven Wirkungsrichtungen der
Stabendkraftgrößen in Richtung positiver lokaler Koordinaten vereinbart. Die
Stabendmomente m’ i und m’ j sind beide entgegen dem Uhrzeigersinn (vektoriell:
+ z-Richtung) positiv.
Im ersten Augenblick erscheint diese Vorzeichenfestlegung unzweckmäßig. Sie
wirkt sich aber sehr vorteilhaft für die schematische Berechnung ganzer Systeme
aus, da in jedem Knoten die ankommenden Momente aller Stäbe vorzeichengerecht
superponiert werden können.
Achtung! Diese Vorzeichenkonvention stimmt nicht
kinematisch bestimmtes
Grundsystem
(m-fach kinemat.unbest.)
Weggrößen
(die Faktoren {u} der
Einheitsverformungszustände)
Gleichgewichtsbedingungen
Prinzip der virtuellen
Weggrößen
Lastverformungszuständen +
m Einheitsverformungszuständen
∙ {u}

p' yi
p' xi
mit der Kennfaserregelung überein.
m i
Deformationsmethode
Vorbemerkungen
Abb. 6.3 Definition der Stabendkraftgrößen im lokalen Koordinatensystem.
Die Gleichgewichtsbedingungen lauten somit
p' xi
Die Stabendkraftgrößen des Elementes s werden in der Spaltenmatrix
zusammengefaßt, mit
i
+ p'xj = 0 p'yi + p'yj = 0
s
{ p'}
i
Um eventuellen Verwechslungen vorzubeugen, sei noch einmal darauf hingewiesen,
daß die inneren Kraftgrößen als elementbezogene Stabendkraftgrößen an
den stabseitigen Ufern der Knotenschnitte definiert werden. Auf die Knoten wirken
die inneren Kraftgrößen in entgegengesetzter Richtung.
6.1.5 Definition der Verformungen
s
s
{ p'}
L
Das Stabelement s wird sich unter der äußeren Belastung verschieben und verformen
(Abb. 6.4). Die Gesamtverformungen lassen sich in Stabendverschiebungen
s
j
p' yj
� { p'}
�
i � �
= � �
� s �
� { p'}
�
�
p'
�
� xi �
� �
s
= � p'yi � { p'}
� �
� �
� mi �
j
y'
j
m j
p' xj
m i
m j
=
=
x'
m' i
m' j
mi + mj + p'yj L = 0
�
p'
�
� xj �
� �
=
� p'yj �
� �
� �
� mj �
Baustatik 1
6-5
6-5

6-6 6-6
6-6
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Vorbemerkungen
und Stabendverdrehungen zerlegen. Die Stabendverformungen sind positiv im
Sinne positiver Stabendkraftgrößen definiert.
u' yi
θ i
θ j
u' xi
Abb. 6.4 Definition der Stabendweggrößen.
Die Stabendweggrößen des Elementes s werden in der Spaltenmatrix
zusammengefaßt, mit
i
=
=
θ' i
θ' j
i
s
{ u'}
i
θ i
s
s
{ u'}
Beim allgemeinen Weggrößenverfahren werden Stabverformungen aus Momenten,
Längskräften und ggf. Querkräften berücksichtigt. Unbekannte sind die kinematischen
Freiheitsgrade der Knoten. Das Verfahren ist allgemein anwendbar, also
z.B. auch für Fachwerke oder aus Biege- und Dehnstäben zusammengesetzte Tragsysteme.
Für die in der Praxis vorkommenden, auf Biegung beanspruchten Rahmen ist es
i.a. zulässig, die Verformungsanteile aus Längs- und Querkräften zu vernachlässigen.
Die sich daraus ergebende einfachere Variante des allgemeinen Weggrößenverfahrens
ist als Drehwinkelverfahren bekannt.
y'
θ , θ
i j
u' , u' , u' , u'
xi yi xj yj
� s �
� { u'}
i �
= � �
� s �
� { u'}
�
�
u'
�
� xi �
� � s
= � u'yi � { u'}
� �
� �
� θi �
j
j
j
j
u' yj
u' xj
θ j
x'
Stabendverdrehungen
Stabendverschiebungen
�
u'
�
� xj �
� �
=
� u'yj �
� �
� �
� θj �

Deformationsmethode
Die Steifigkeit eines Stabes
Die dabei getroffenen Vereinfachungen zielen gemäß der ursprünglich verfolgten
Absicht auf manuelle Handhabbarkeit ab, da weniger unbekannte Weggrössen auftreten
als beim allg. Weggrößenverfahren. In diesem Fall lassen sich die Knotenverschiebungen
durch die Stabdrehwinkel ausdrücken. Unbekannte sind damit die
Knoten- und Stabdrehwinkel.
Das Drehwinkelverfahren ist also auf Biegestabsysteme beschränkt; es können
z.B. keine Fachwerksysteme damit berechnet werden. Im Einzelfall können allerdings
Längskraftverformungen einzelner Stäbe berücksichtigt werden.
6.2 Die Steifigkeit eines Stabes
Die Steifigkeiten eines Stabes sind jene an den Stabenden wirkenden Kraftgrössen,
die entstehen, wenn dem kinematisch bestimmten Stab Einheitsweggrössen (Verdrehungen
oder Verschiebungen) an den Stabenden erteilt werden. Die Steifigkeiten
werden in einer sogenannten Steifigkeitsmatrix zusammengefasst.
6.2.1 Berechnung der Steifigkeitskoeffizienten
Für die Ermittlung der Steifigkeitswerte für Längskraft- und Biegebeanspruchung
liegt der betrachtete Stab ( i - j ) in der x´-Achse eines lokalen Koordinatensystems.
Die Biegung erfolgt um eine Hauptträgheitsachse, um die der Stab das Trägheitsmoment
I besitzt ( I = konstant über die Stablänge). Weiters wird
vorausgesetzt, daß die Kraftgröße im Schubmittelpunkt angreift.
Dem kinematisch bestimmten Stab werden nun nacheinander einzelne Einheitsweggrößen
in Richtung positiver lokaler Koordinaten eingeprägt, und die durch
diese Zwangsverformung geweckten Kraftgrößen berechnet. Zur Demonstration
werden nur die Einheitsdeformationszustände vom Stabende j berechnet.
Längsverschiebung = 1 :
p' xi
u' xj
E , A
i j
L
u' xj
Abb. 6.5 Stabendkraftgrößen infolge einer Längsverschiebung.
=
1
p' xj
x'
Baustatik 1
6-7
6-7

6-8 6-8
6-8
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Die Steifigkeit eines Stabes
p' xj
Mit σ = ------- und ε -----σ
= = -- ergibt sich:
A
L E
Für eine eingeprägte Verlängerung um u'xj = 1 des Stabes erhält man als erforderliche
Längskraft ( = – ) die Dehnsteifigkeiten
p' xi
Querverschiebung = 1 :
u'xj = ε ⋅ L =
p' xj
Eine Querverschiebung des Stabendes j, erzeugt die in Abb. 6.6 dargestellten
Kraftgrößen, die mit Hilfe des Kraftgrößenverfahrens bestimmt werden, wobei
aufgrund des antimetrischen Lastfalles die Stabendmomente gleichgerichtet und
gleich groß sind.
p' yi
u' yj
p' xi
=
EA
– -------
L
Abb. 6.6 Stabendkraftgrößen infolge einer Querverschiebung des Stabendes j.
Aufgrund der Querverschiebung ergeben sich am statisch bestimmten Grundsystem
Verdrehungen der Stabenden ( θ i0 , θ j0 ), die direkt in die Kompatibilitätsbedingungen
eingehen und ebenfals gleichgerichtet und gleich groß sind.
u' xj
-------
L
⋅ p'xj EA
p' xj
i E , I
j
m
i
L
=
.
EA
-------
L
Aufgrund des antimetrischen Lastfalles sind m i =-m j
.
p' yj
m j
u' yj
=
1

tan θ = θ
θ i0
Deformationsmethode
Die Steifigkeit eines Stabes
Abb. 6.7 Statisch bestimmtes Grundsystem, Verformungszustand.
Mit dem Einheitskraftgrößenzustand der statisch Unbestimmten X i =X j =X 1
X 1
läßt sich schließlich die Kompatibilitätsgleichung anschreiben:
Aus dem Prinzip der virtuellen Arbeit (P.v.A.), bei Beschränkung auf die Arbeitsanteile
aus Biegemomenten, folgt die Verformungsgröße (Klaffung):
Diese in die Kompatibilitätsgleichung eingesetzt
=
-- 1
L
ergeben nach Lösung des Gleichungssystems die statisch Unbestimmten und damit
auch die Stabendmomente zu
Mit den Gleichgewichtsbedingungen der Stabendkraftgrößen (Abb. 6.3)
θ j0
Aufgrund des antimetrischen Lastfalles sind θ i =-θ j = θ 1
=
1
-1
θ 1
=
θ 1
θ1 = θ10 + X1θ 11 = 0
-- 1
L
I 1
0
EI0θ --- 11 = M2 � i dx = -- ⋅ L
I 3
X 1
EI 2
--
L
L
+ -- X i = 0
3
6EI
= – -------- = mi= mj L 2
+1
u' yj
=
X 1
1
=
1
M 1 0
Baustatik 1
6-9
6-9

6-10 6-10
6-10
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Die Steifigkeit eines Stabes
folgt
p' yj
Die Ergebnisse der Berechnung sind in Abb. 6.8 zusammengefaßt.
m i
=
Abb. 6.8 Zusammenfassung der Stabendkraftgrößen.
Bei der graphischen Darstellung der Schnittkräfte ist auf die Vorzeichen zu achten,
da diese stets auf die Kennfaser bezogen werden (Abb. 6.9).
Verdrehung =
1 :
Σ V = p'yi + p'yj = 0
Σ Mi = mi + mj + p'yj L = 0
6EI
mi + mj – -----------------
L
L
2
--------
6EI
L2 –
�
�
+ --------�
�
------------------------------------
12EI
= = –
= ----------- p'yi =
L
;
6EI
L2 – --------
6EI
L2 --------
θ j
+
p' yi
=
12EI
L3 – -----------
Abb. 6.9 Schnittkräfte; Achtung Kennfaserregel !!!
Bei einer Verdrehung des Stabendes j um den Winkel θ j werden die Stabendkraftgrößen
nach Abb. 6.10 geweckt. Die Ermittlung dieser erfolgt wiederum mit Hilfe
des Kraftgrößenverfahrens.
L 3
i j
+
L
-
,
6EI
L2 – --------
12EI
L3 -----------
p' yj
m j
12EI
L3 – -----------
=
=
M
Q
12EI
L3 -----------
6EI
L2 – --------
.

m i
p' yi
i E , I
j
Deformationsmethode
Die Steifigkeit eines Stabes
Abb. 6.10 Stabendkraftgrößen infolge einer Verdrehung des Stabendes j.
Mit dem Einheitkraftgrößenzustand der statisch Unbestimmten X i
X i
=
1
-1
und dem Einheitskraftgrößenzustand der statisch unbestimmten X j
θ ij
ergeben sich die Kompatibilitätsgleichungen
θ i
θ ii
-
=
0
Die Verformungsgrößen (siehe Querverschiebung) in das Gleichungssystem eingesetzt
und nach den statisch Unbestimmten aufgelöst, ergeben die Stabendmomente zu
L
θ j
θ jj
+
θi = θii Xi + θij Xj = 0
θj = θji Xi + θjj Xj = 1
L
--
L
Xi – -- Xj = 0
3 6
L
-- X
L
– i + -- Xj =
EI
6 3
=
θ ji
1
+1
p' yj
X j
=
M j 0
m j
1
M i 0
Baustatik 1
6-11
6-11

6-12 6-12
6-12
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Die Steifigkeit eines Stabes
X i
2EI
= -------- = mi L
Aus den Gleichgewichtsbedingungen der Stabendkraftgrößen folgt:
p' yi
Die Ergebnisse sind in Abb. 6.11 zusammengefaßt.
m i
2EI
= --------
L
p' yi
L 2
Abb. 6.11 Zusammenfassung der Stabendkraftgrößen.
Die Schnittkräfte sind wieder auf die Kennfaser zu beziehen (Abb. 6.12).
2EI
– --------
L
Abb. 6.12 Schnittkräfte
Im Anschluß sind die Einheitsdeformationszustände vom Stabende i mit deren
zugehörigen Stabendkraftgrößen dargestellt.
X j
6EI
= --------
p'yj =
6EI
L2 = --------
4EI
= -------- = mj L
6EI
L2 – --------
i j
-
2m =
– m
i j
+
L
+
4EI
--------
L
6EI
L2 --------
m j
p' yj
4EI
= --------
L
=
6EI
L2 – --------
M
Q

Längsverschiebung = 1 :
p' xi
=
EA -------
L
Querverschiebung = 1 :
u' yi
m i
=
Verdrehung = 1 :
m i
6EI
L2 = --------
1
θ i
4EI
= --------
L
u' xi
u' xi
u' yi
i
i
6.2.2 Die lokale Steifigkeitsmatrix
=
i
p' yi
1
12EI
L3 = -----------
L
Deformationsmethode
Die Steifigkeit eines Stabes
Jede einzelne Spalte der Steifigkeitsmatrix entspricht einem Einheitsdeformationszustand
und kann als ein Vektor aufgefaßt werden, dessen 6 Komponenten die sich
aus dem jeweiligen Deformationszustand in den Stabende i und j ergebenden
Kraftgrößen sind. In jeder einzelnen Zeile hingegen stehen gleichartige Kraftgrößen,
die aus den verschiedenen Deformations-zuständen in einem der beiden
Stabenden i oder j entstehen. Sämtliche Kraft- und Verformungsgrößen sind dabei
auf das lokale Koordinatensystem bezogen.
L
j
j
j
p' xj
p' yj
6EI
p'
yi
L2 = --------
p' =
yj
θ =
1
i
m j
=
=
m j
EA
– -------
L
12EI
L3 – -----------
6EI
L2 = --------
6EI
L2 – --------
2EI
= --------
L
Baustatik 1
6-13
6-13

6-14 6-14
6-14
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Die Steifigkeit eines Stabes
� �
� �
� p′ xi �
� �
� �
� �
� �
� p′ yi �
� �
� �
� �
� m �
i � �
� � =
� �
�
�
p′ �
xj �
� �
� �
� �
� p′ yj �
� �
� �
� �
� mj �
� �
� �
In Matrizenschreibweise:
s
[ K']
... lokale Steifigkeitsmatrix des Stabelementes s.
... für das Stabelement s
In Untermatrizen aufgespaltet hat die Steifigkeitsmatrix folgende Form:
Der erste Index weist auf den Ort hin, der zweite gibt die Ursache an.
Aus dem Satz von folgt:
Mit den Untermatrizen
u′ = 1 u′ = 1 θ = 1 u′ = 1 u′ = 1 θ = 1
xi yi i xj yj j
EA
------- 0 0
L
0
0
12EI
L3 ----------- 6EI
-------- 0
6EI
L2 --------
L 2
EA
– ------- 0 0
L
0
0
12EI
L3 – -----------
6EI
L2 --------
s
[ K']
s
{ p'}
=
s
4EI
-------- 0
L
--------
6EI
– 0
L 2
2EI
-------- 0
L
=
[ K']
s
EA
– ------- 0 0
L
s
[ K']
[ K']
s
[ K']
ji
=
12EI
L3 – -----------
6EI
L2 – --------
.
6EI
L2 --------
2EI
--------
L
EA
------- 0 0
L
ii
ji
s
{ u'}
s
K' [ ]
s
K' [ ]
s T
[ K']
ij
12EI
L3 -----------
6EI
L2 – --------
ij
jj
6EI
L2 – --------
4EI
--------
L
� �
� �
� u′ �
� xi �
� �
� �
� �
�
u′
�
� yi �
� �
� �
� �
� θi �
⋅ � �
� �
� �
� u′ xj �
� �
� �
� �
� �
u′ yj
� �
� �
� �
� θ �
� j �
� �

s
[ K']
s
[ K']
ii
ji
=
=
EA
------- 0 0
L
0
0
12EI
L3 -----------
6EI
L2 --------
EA
– -------
L
0 0
0
0
12EI
L3 – -----------
6EI
L2 --------
4EI
--------
L
[ K']
Deformationsmethode
Die Steifigkeit eines Stabes
ergeben sich die lokalen Stabendkraftgrößen nach den Stabenden geordnet, mit
s
6EI
L2 --------
{ p'}
s
i
{ p'}
j
=
=
6EI
L2 – --------
2EI
--------
L
[ K']
6.2.3 Die Eigenschaften der Steifigkeitsmatrix
s
s
[ K']
s
ii
s
ji
� Da jeder Stabendkraftgröße eine korrespondierende Stabendverformung
zugeordnet wird, ist [ K']
quadratisch.
� [ K']
ist symmetrisch. (siehe Maxwell- Betti-Theorem)
s
s
[ K']
i
� Ihre Hauptdiagonalglieder sind positiv, da am selben Ort nur eine positive
Kraftgrösse eine positive Weggrösse verursachen kann.
� [ K']
ist singulär: det K' =
0 ,daeinStabinderEbenemindestensdrei
Auflagerbedingungen braucht um unverschieblich gelagert zu sein. Der
Rangabfall entspricht der Anzahl der jeweils vorhandenen abhängigen
Stabendvariablen.
ij
jj
s
=
=
{ u'}
+ [ K']
ij
{ u'}
+ [ K']
i
s
jj
EA
– -------
L
0 0
s
0
0
EA
------- 0 0
L
0
0
{ u'}
s
j
{ u'}
j
12EI
L3 – -----------
6EI
L2 – --------
12EI
L3 -----------
6EI
L2 – --------
6EI
L2 --------
--------
2EI
L
6EI
L2 – --------
4EI
--------
L
Baustatik 1
6-15
6-15

6-16 6-16
6-16
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Die Steifigkeit eines Stabes
� [ K']
ist positiv definit : Diagonalglieder bleiben auch während der Dreieckszerlegung
positiv.
6.2.4 Die Transformation von lokalen auf globale Größen
Die Steifigkeitsmatrix [ K']
des Einzelstabes wurde im lokalen Koordinatensystem
( x’, y’ ) erstellt. Da für ein Tragwerk die lokalen Koordinaten der Einzelstäbe verschieden
gerichtet sind, müssen zur Formulierung der Verformungs-bedingungen
und zur Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen am Gesamttragwerk die
Stabendvariablen (Kraftgrößen und Verformungen), und damit auch die Steifigkeitsmatrizen
aller Stäbe, auf ein einheitliches globales Koordinatensystem ( x, y )
bezogen werden (Abb. 6.13).
p' yj ,u' yj
α
y'
j
m j ,θ j
p' xj ,u' xj
Abb. 6.13 Lokale bzw. globale Stabendvariablen.
Mit der Transformationsmatrix bzw. ihrer Transponierten
x'
p yj ,u yj m j ,θ j
folgt für die Transformation der Stabendvariablen vom lokalen ins globale Koordinatensystem:
bzw. für die umgekehrte Transformation vom globalen ins lokale Koordinatensystem
j
y
,
.
p xj ,u xj
lokales Koordinatensystem globales Koordinatensystem
[ T]
cosα sinα 0
= – sinα
cosα 0 bzw. [ T]
T =
0 0 1
{ p}
j
[ T]
T = { p'}
j { u}
j =
α
[ T]
T { u'}
j
{ p'}
j = [ T]
{ p}
j { u'}
j =
[ T]
{ u}
j
cosα – sinα
0
sinα cosα 0
0 0 1
x

Deformationsmethode
Die Steifigkeit eines Stabes
Diese Transformationen sind in analoger Weise für das Stabende i gültig. So läßt
sich z.B. die Transformation globaler in lokale Stabendverformungen für das Stabelement
s wie folgt anschreiben:
s
[ T]
... Element- Transformationsmatrix
Die in Abschnitt 6.2.2 erstellten Steifigkeitsbeziehungen wurden auf ein lokales
Koordinatensystem bezogen und lauten in einer etwas anderen Schreibweise
Mit [ T]
erweitert
T
und den vorherigen Transformationsbeziehungen
folgt
s
{ u'}
� s �
s s � { u'}
i �
= [ T]
{ u}
= � � =
� s �
� { u'}
j �
Die globale Steifigkeitsbeziehung
{ p'}
m = [ K']
mn{ u'}
n
[ T]
0
0 [ T]
[ T]
T { p'}
m [ T]
T
= [ K']
mn{ u'}
n
[ T]
T{ p'}
m = { p}
m { u'}
n = [ T]
{ u}
n
{ p}
m
[ T]
T
= [ K']
mn[ T]
{ u}
n
{ p}
m
[ K]
mn{ u}
n
m=i,j;n=i,j
eingesetzt, ergibt die endgültige Steifigkeitsmatrix im globalen Koordinatensystem
So gilt z.B. für die Transformation der lokalen Steifigkeitsmatrix [ K']
ii :
Aus dem Matrizenprodukt [ T]
folgt die Matrix
T
⋅ [ K']
ii
=
[ K]
mn [ T]
T
= [ K']
mn[ T]
[ K]
ii [ T]
T
= [ K']
ii[ T]
� s �
� { u}
i �
� �
� s �
� { u}
�
j
m=i,j;n=i,j
Baustatik 1
6-17
6-17

6-18 6-18
6-18
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Die Steifigkeit eines Stabes
[ T]
T
[ K']
ii =
EA
------- cosα
L
EA
------- sinα
L
0
12EI
L3 – ----------- sinα
12EI
L3 ----------- cosα
6EI
L2 --------
6EI
L2 – -------- sinα
6EI
L2 -------- cosα
4EI
--------
L
Die Komponenten jeder einzelnen Spalte sind die Stabendkraftgrößen im globalen
System, die infolge der Einheitsdeformationen im lokalen System in den Stabenden
entstehen. Durch Multiplikation dieser Produktmatrix mit [ T]
werden die Einheitsdeformationen
im lokalen System durch jene im globalen System ersetzt,
womit die endgültige Steifigkeitsmatrix [ K]
ii und [ K]
jj im globalen System
gefunden ist:
[ K]
ii
[ K]
jj
=
=
EA ------- cos α
L
2
12EI ----------- sin α 2 + α α EA ------- 12EI
sin cos � – ----------- �
� L �
L 3
α α EA ------- 12EI
sin cos � – ----------- �
� L �
EA ------- cos α
L
2
6EI
L2 – -------- sinα
L 3
EA ------- sin α
L
2
Die globale Steifigkeitsmatrix [ K]
ij kann auf die gleiche Weise berechnet werden:
[ K]
ij
=
+
L 3
12EI
L3 ----------- cos α 2
6EI
L2 -------- cosα
12EI ----------- sin α 2 + α α EA ------- 12EI
sin cos � – ----------- �
� L �
L 3
α α EA ------- 12EI
sin cos � – ----------- �
� L �
EA ------- cos
L
6EI
L2 – -------- sinα
L 3
– α–
----------- α
2 12EI
L3 EA
sinα
cosα
�– ------- + 12EI ----------- �
� L �
6EI
L2 – -------- sinα
L 3
EA ------- sin α
L
2 12EI
L3 ----------- cos α 2 +
6EI -------- cos
– α
L 2
sin2 EA
sinα
cosα
�– ------- + 12EI ----------- �
� L �
L 3
EA -------
L
12EI
L 3
– sin α 2 – ----------- cos α 2
L 3
6EI -------- cos
– α
L 2
6EI
L2 – -------- sinα
6EI
L2 -------- cosα
4EI --------
L
6EI
L2 – -------- sinα
6EI -------- cos
– α
L 2
4EI --------
L
6EI
L2 – -------- sinα
6EI
L2 -------- cosα
2EI
--------
L

Aus dem Satz von Maxwell folgt die Symmetriebedingung:
[ K]
ij [ K]
T
=
Deformationsmethode
Fachwerke
Demnach kann schließlich die globale Beziehung zwischen den Stabendkraftgrößen
und den Stabendverformungen angeschrieben werden mit
6.3 Fachwerke
ij
s
s
{ p}
i
{ p}
j
=
=
s
s
[ K]
[ K]
s
ii
s
ji
{ u}
+ [ K]
Ausgehend von den Annahmen eines idealen ebenen Fachwerkes besitzt jeder freie
Fachwerkknoten zwei Verschiebungsfreiheitsgrade ( u x,u y ). Die lokale Steifigkeitsmatrix
eines Fachwerkstabes läßt sich sehr einfach berechnen, da nur eine
Verformung u’ x in Richtung der Stabachse auftritt. Die Berechnung der Steifigkeitskoeffizienten
erfolgt analog Abschnitt 6.2.1.
p yi
s
{ p }
i
s
{ ui} i
y
p' xi
p xi
� �
�
p
�
� xi �
= � �
�
�
p
�
yi �
� �
�
u
�
� xi �
=
� �
�
�
u
�
yi �
u' xi
α
x
s
Abb. 6.14 Lokale bzw. globale Stabendkraftgrößen und Verschiebungen eines
Fachwerkstabes.
i
{ u}
+ [ K]
L
i
s
s
s
ij
s
jj
{ u}
j
{ u}
p yj
j
j
s
{ p }
j
s
{ u }
j
p' xj
p xj
x'
u' xj
� �
�
p
�
� xj �
= � �
�
�
p
�
yj �
� �
�
u
�
� xj �
= � �
�
�
u
�
yj �
Baustatik 1
6-19
6-19

6-20 6-20
6-20
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Fachwerke
So ergeben sich die lokalen Steifigkeiten der Stabenden zu:
Man erkennt, dass bei Berechnungen nach Theorie I. Ordnung Fachwerkstäbe
keine Steifigkeiten in Richtung normal zur Stabachse aufweisen.
Aus der bereits bekannten Transformation
folgen die globalen Steifigkeiten der Stabenden
mit
s
[ K']
s
ii
[ K]
EA
------- 0
L
s
s
= = [ K']
[ K']
ii
=
0 0
=
s
[ K]
ii
Die globale Steifigkeitsmatrix [ K]
ergibt sich somit zu
jj
[ K]
mn [ T]
T
= [ K']
mn[ T]
cosα – sinα
sinα cosα
s
s
= [ K]
= – [ K]
= – [ K]
jj
cosα EA ⁄ L 0
sinα EA ⁄ L 0
=
[ K]
ii
EA
-------
L
=
s
m=i,j;n=i,j
Das gleiche Ergebnis kommt auch zustande wenn aus der globalen Steifigkeitsmatrix
[ K]
ii
des Biegestabes alle EI enthaltenden Elemente gestrichen werden.
s
ij
ij
⋅
EA ⁄ L 0
⋅
0 0
⋅
EA
– ------- 0
L
= =
s
0 0
ji
cosα sinα
cosα sinα
– sinα
cosα
– sinα
cosα
cos α 2 sinα
cosα
sinα cosα
sin α 2
EA
-------
L
ii
cos α 2 sinα
cosα
sinα cosα
sin α 2
s
[ K']
ji

Grundlagen: Fachwerk
y
Deformationsmethode
Fachwerke
Abb. 6.15 Fachwerk mit der dazugehörigen Verschiebungsfigur.
i
i
i
i
x
1
2
1 j
2
Abb. 6.16 Verträglichkeitsbedingung.
Bei der Anwendung der Deformationsmethode ist es nicht erforderlich über den
Grad der statischen Unbestimmtheit Rechenschaft abzulegen. Vielmehr ist der
Grad der kinematischen Unbestimmtheit von Interesse, woraus sich die Anzahl der
zu ermittelnden unbekannten Verformungen ergibt. Im abgebildeten Fachwerk treten
im Knoten 1 zwei unbekannte Knotenverschiebungen ( u x1 ,u y1 ) auf (siehe
Abb. 6.15).
1 uy1
2 uy1
j
1
u y1
j
j
1 ux1
2 ux1
1
{u} 1
u x1
Baustatik 1
6-21
6-21

6-22 6-22
6-22
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Fachwerke
Kompatibilität:
Die Verträglichkeitsbedingungen (siehe Abb. 6.16) ordnen die Stabendverformungen
den Verformungen des Knotens zu. Die Bedingung, die eine Übereinstimmung
der Verformungen aller im Knoten 1 liegenden Stabenden fordert, lautet
u x1
1
= u = u und uy1 = u =
xj
In Matrizenschreibweise
Aus den Auflagerbedingungen folgt
Gleichgewicht:
Abb. 6.17 Gleichgewicht am Knoten 1.
Die Gleichgewichtsbedingung am Knoten 1 (Abb. 6.17) lautet
P x
1
= p + p und Py= p
xj
In Matrizenschreibweise
2
1
2
xj
{ u}
1
{ u}
xj
y
i
Für ein allgemeines Stabelement s gilt
1
1
yj
u
2
yj
= { u}
= { u}
( 1)
j
2
2
damit folgen die Stabendkraftgrößen der Stabelemente, z.B. für Stab 1
1
{ pj} j
= { 0},
{ u}
= { 0}
( 2)
{ P}
1
s
{ pj} 1
1
1
i
x
2
yj
1
2 px1
1 py1
1 px1
1 px1
P y
1
2 px1 1 py1
= { P}
+ { P}
( 3)
=
s
j
[ K]
ji
2
s
j
{ u}
+ [ K]
i
s
s
jj
{ u}
= [ K]
{ u}
+ [ K]
{ u}
= [ K]
ji
1
i
�
�
�
1
=
0 aus (2)
1
jj
j
1
j
jj
P x
1
{ u}
j

Diese in (3) eingesetzt ergibt
{ P}
1
=
[ K]
Aber aus (1) folgt
[ K]
11
1
1
jj
... globale Steifigkeitsmatrix für den Knoten 1
aus einer Einwirkung am Knoten 1.
Nach der Lösung des Gleichungssystems
Deformationsmethode
Fachwerke
das nur zwei Unbekannte ux1 und uy1 aufweist, werden die Stabkräfte durch
Rückeinsetzen von { u}
1 bestimmt.
Für den Stab 1 gilt:
{ u}
+
Dabei handelt es sich aber um die globalen Stabkräfte. Mit der Transformation
ergeben sich schließlich die endgültigen Stabnormalkräfte mit
Ein anderer Lösungsweg wäre:
1
{ p'}
j
j
2
[ K]
1
{ pj} 1
jj
2
{ P}
1
=
1
1
{ u}
=
j
{ P}
1
[ K]
{ p'}
1
( [ K]
+ [ K]
) { u}
1
jj
�
�
�
�
ji
1
{ pj} =
1
2
�
[ K]
11
jj
�
�
[ K]
11 { u}
1
{ u}
i
�
�
�
+
1
[ K]
jj
1
{ u}
j
�
�
�
= 0
{ u}
=
1
[ K]
{ } 1
jj u
{ p'}
= [ T]
{ p}
j
=
1
[ T]
1
[ K]
{ } 1
jj u
= [ K']
{ u'}
mit
{ u'}
jj
1
j
1
= 1
j
=
1
[ T]
{ u}
1
Baustatik 1
6-23
6-23

6-24 6-24
6-24
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Fachwerke
Beispiel:
y
2
j
Das Fachwerk weist zwei unbekannte Verschiebungen ( ux1 ,uy1 ) am Knoten 1
auf. Die Vorgansweise ist exakt die gleiche wie beim vorangegangenen Beispiel.
Aus diesem Grund werden gleich die notwendigen Steifigkeitsmatrizen berechnet
und die Gesamtsteifigkeitsmatrix gebildet.
Die globale Steifigkeitsmatrix [ K]
für Stab 1:
1
3
i
Die Steifigkeitsmatrix [ K]
für Stab 2 ergiebt sich zu:
2
[ K]
x
E, A
45°
E, A
2
1
1,0 m
1,41 m
45°
Stab 1:
cos 135° = -0,707, sin 135° = 0,707
Stab 2:
cos 0° = 1,0, sin 0° = 0,0
[ K]
jj
ii
1
jj
P = 10 kN
i
j
u y1
1
α=135°
u x1
EA cos α-------
L
2 sinα
cosα
sinα cosα
sin α 2
EA
----------
141 ,
05 , 0 5 , –
= =
– 05 , 0, 5
2
1
[ K]
jj
= EA ii
0, 355 0 355 , –
– 0, 355 0, 355
EA cos α-------
L
2 sinα
cosα
sinα cosα
sin α 2
EA
-------
10 ,
10
= =
, 0
=
0 0
EA 10 , 0
0 0

Deformationsmethode
Fachwerke
Wie im vorigen Beispiel ausführlich erläutert, kann nun das Gleichungssystem
wie folgt angeschrieben werden.
Als Lösung des Gleichungssystems folgen die zwei Knotenverschiebungen.
Durch Rückeinsetzen und Transformation können die Stabnormalkräfte gewonnen
werden.
Bestimmung der Stabkräfte:
y
Für die lokalen Verschiebungen gilt:
{ P}
1 = ( [ K]
+ ii [ K]
) ⋅ jj { u}
1
�
�
135 , – 035 , �
EA �
�
– 035 , 0, 35 �
�
�
�
ux �
�
�=
�
u � �
y �
�
�
�
0 �
�
�
– 10 �
�
u' xi
Daraus läßt sich die Normalkraft des Stabes 2 wie folgt errechnen.
p' xj
1
� �
� u � x
� �
EA � �=
� u �
y � �
� �
2
2
� �
� – 10 �
� �
� – 38, 2 �
� �
i j p’ xj
x
= 0 und u'xj 1
– 10
= --------
EA
EA EA – 10
= -------u' -------
xj = ⋅ -------- = – 10kN =
N2 L 10 , EA
(Druck)
Baustatik 1
6-25
6-25

6-26 6-26
6-26
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Fachwerke
Bestimmung der Stabnormalkraft des Stabes 1:
Für die lokalen Verschiebungen gilt.
1
{ u}
i' = [ T]
{ u}
i
Mit der Verschiebung uxi' kann die Stabnormalkraft N1 berechnet werden. Sie
ergiebt sich zu
p xi '
Daraus folg die Normalkraft:
N 1
=
Beispiel 6.1:
y
(Zug)
j
x
� �
� uxi' �
� �
� �
=
� uyi' �
� �
� �
1
p’ xi
cosα sinα
– sinα
cosα
i
α =135°
1
� �
�
u
�
� xi �
� �
� �
� uyi �
� �
EA EA
1
= -------u xi' = ---------- ( uxicosα + uyisinα) = ---------- ( 701 , – 270 , ) = – 14, 1
L 141 ,
141 ,
14, 1kN

y
2
j
3
i
45°
E, A
L=1,41m
Deformationsmethode
Fachwerke
Ein zusätzlicher Stab kann mit geringem Aufwand in das Gleichungssystem eingebaut
werden. Der Stab 3 wird nach der Berechnung der Stabsteifigkeitsmatrix
3
[ K]
in die globale Steifigkeitsmatrix assembliert.
ii
Die Steifigkeitsmatrix [ K]
lautet:
1
x
45°
E, A 2
L=1,0m
P = 1o kN
Stab 1:
cos 135° = -0,707, sin 135° = 0,707
Stab 2:
cos 0° = 1,0, sin 0° = 0,0
Stab 3:
cos 45° = 0,707, sin 45° = 0,707
3
[ K]
ii
3
ii
Das Gleichungssystem kann nun wie folgt angeschrieben werden
i
i
j 1
u y1
135°
45°
3 E, A
L=1,41m
u x1
EA cos α-------
L
2 sinα
cosα
sinα cosα
sin α 2
EA
----------
141 ,
05 , 0 5 ,
= =
05 , 0, 5
3
[ K]
ii
EA 035 , 0 35 ,
=
035 , 0, 35
{ P}
1
1 2 3
( [ K]
ii + [ K]
jj + [ K]
ii)
{ u}
�
�
�
�
�
0 �
�
�
=
– 10 �
�
�
�
17 , 0 �
EA �
�
0 0, 70 �
�
�
�
ux �
�
u �
y �
�
·
=
1
j
Baustatik 1
6-27
6-27

6-28 6-28
6-28
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Fachwerke
Als Lösung des Gleichungssystems folgen die zwei unbekannten Knotenverschiebungen.
Durch Rückeinsetzen und Transformation können wie beim vorangegangenen Beispiel
die Normalkräfte gewonnen werden.
Beispiel:
y
i
j
45°
E, A
L=1,41m
� �
� u � x
� �
EA � �=
� u �
� y �
� �
1
x
45°
E, A 2
L=1,0m
135°
Stab 1:
cos 135° = -0,707, sin 135° = 0,707
Stab 2:
cos 0° = 1,0, sin 0° = 0,0
Stab 3:
cos 45° = 0,707, sin 45° = 0,707
Stab 4:
cos 90° = 0,0, sin 90° = 1,0
i
j
4
L=1,0m
i
� �
� 0 �
� �
�
�
– 10 �
---------- �
� 070 , �
� �
P = 1o kN
Auch dieser zusätzliche Stab kann ebenso wie beim vorigen Beispiel mit geringem
Aufwand zusätzlich in das Gleichungssystem assembliert werden. Nach Berech-
4
nung der Steifigkeitsmatrix [ K]
ii
wird der Stab in die globale Steifigkeitsmatrix
eingebaut.
E, A
j 1
u y1
i
45°
3 E, A
L=1,41m
u x1
j

Die Steifigkeitsmatrix [ K]
lautet:
[ K]
Das Gleichungssystem kann wie folgt angeschrieben werden.
Deformationsmethode
Unverschiebliche Rahmentragwerke
Als Lösung des Gleichungssystems folgen die zwei unbekannten Knotenverschiebungen.
Durch Rückeinsetzen und Transformation können die Stabnormalkräfte gewonnen
werden.
6.4 Unverschiebliche Rahmentragwerke
6.4.1 Allgemeines
4
ii
4
ii
EA cos α-------
L
2 sinα
cosα
sinα cosα
sin α 2
EA 0 0
= = -------
10 ,
01
4
[ K]
ii
=
EA 00
Bei der manuellen Berechnung von Rahmensystemen können i.a. die Längenänderungen
der Stäbe, ohne Beeinträchtigung der Rechengenauigkeit der endgültigen
Schnittbelastungen, vernachlässigt werden ( EA ⁄ L =
∞ !! ). Wenn nun die
01
{ P}
1 = [ K]
11 { u}
1
�
�
�
�
�
0 �
�
�
=
– 10 �
�
�
�
17 , 0 �
EA �
�
0 1, 70 �
�
�
�
ux �
�
u �
y �
�
� �
� u � x
� �
EA � �=
� u �
� y �
� �
� �
� 0 �
� �
�
�
– 10 �
---------- �
� 170 , �
� �
Baustatik 1
6-29
6-29

6-30 6-30
6-30
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Unverschiebliche Rahmentragwerke
Lage der Knoten unter der gegebenen Belastung erhalten bleibt, so ist das Tragwerk
unverschieblich und es treten als Freiheitsgrade nur Knotenverdrehungen
auf. Damit lassen sich die in Abschnitt 6.2.2 erstellten lokalen Stabendsteifigkeitsmatrizen
als skalare Größen anschreiben. Aus der Transformations-matrix ist
ablesbar, daß der Stabenddrehwinkel und das Stabendmoment wegen ihrer Vektorrichtung
senkrecht zur x-y Ebene drehinvariant sind, wodurch keine Transformation
vom lokalen ins globale System notwendig ist.
Abb. 6.18 Definition der Stabendverdrehungen und Stabendmomente
Somit gilt für die Stabendsteifigkeiten:
i
s mi
bzw. für die globale Beziehung zwischen dem Stabendmoment und der Stabendverdrehung:
Beispiel 6.2: Durchlaufträger mit Einzelmoment
s
θ i
[ K']
s
[ K']
s
[ K']
ii
ij
jj
s
mi
s
mj
s
θ j
s
[ K]
ii
4EI
--------
L
k
s
= = =
s
[ K]
jj
4EI --------
L
k
s
s
[ K]
ij
2EI --------
L
k
= = =
s
= = =
=
=
k
s
ii θ
s
i
k
s
ji θ
s
i
+
+
k
s
ij θ
s
j
k
s
jj θ
s
j
1
i 1
M
2
j
θ
2
3
i 2 j
L 1
Anmerkung: E, I = konstant
ii
ij
jj
s mj
L 2
j

Deformationsmethode
Unverschiebliche Rahmentragwerke
Der dargestellte Durchlaufträger wird durch ein externes Moment im Knoten 2
belastet. Als einzige Unbekannte ist die Knotenverdrehung θ 2 zu berechnen.
Mit den bereits im Kapitel 6.2 bestimmten Stabsteifigkeiten kann man nun für die
einzelnen Stäbe die zugehörigen Steifigkeiten wie folgt anschreiben.
Stab 1:
Stab 2:
Kompatibilität:
Da an biegesteifen Knoten keine unterschiedlichen Stabendverdrehungen auftreten
können, ergibt sich die Verträglichkeitsbedingung für den Knoten 1:
θ 1
für Knoten 2:
θ 2
und für Knoten 3:
θ 3
1
= θ = 0
1
Gleichgewicht:
i
= θ =
2
j
θ
2
i
= θ = 0
1
kii
2
kii
k
1 4EI
= = --------, k
1
jj
L 1
k
2 4EI
= = --------, k
2
jj
L 2
Die Gleichgewichtsbedingung am Knoten 2 ergibt sich aus Abb. 6.19 zu
1
M = m
j
j
m
2
+ i
1
Abb. 6.19 Gleichgewicht am Knoten 2.
Mit den bereits bekannten Beziehungen für ein allgemeines Stabelement
M 2
2
j i
1
m
j
1
m
j
2
m
i
2
m
i
ij
ij
k
1 2EI
= = --------
ji
ji
L 1
k
2 2EI
= = --------
2
L 2
Baustatik 1
6-31
6-31

6-32 6-32
6-32
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Unverschiebliche Rahmentragwerke
und den Kompatibilitätsbedingungen ergibt sich durch Einsetzen in die Gleichgewichtsbedingung
die Gleichung
K 22
... globale Steifigkeit für den Knoten 2 aus einer Einwirkung am Knoten 2.
Somit folgt für die unbekannte Knotenverdrehung
Die Stabendmomente werden durch Rückeinsetzen von θ 2 bestimmt.
Stab 1:
Stab 2:
s
mi
s
ii θ
s
i
s
ij θ
s
j
= k + k m
Aus den Stabendmomenten werden die Querkräfte an den Stabenden mit der allgemeinen
Beziehung
gewonnen sofern keine Belastung zwischen den Knoten vorhanden ist. Um
schließlich die endgültigen Schnittkräfte zu erhalten sind die obigen Ergebnisse
auf die Kennfaser zu beziehen.
Beispiel 6.3: Durchlaufträger mit Einzelmoment und gelenkigem Auflager
s
j
=
k
s
ji θ
s
i
+
k
s
jj θ
s
j
M k
1
jj θ
1
j k
2
ii θ
2
+ i k
1
jj k
2 4EI 4EI
= = ( + ii )θ2= �-------- + -------- �θ2= K22 θ2 � �
1
pyi
1
mi
2
mi
θ 2
M
= -------
K 11
2EI
= --------θ 2 , m
1
L 1
4EI
= --------θ 2 , m
2
1
mi
L 2
m
1
j
+
=
---------------------
L
j
j
1
pyj
L 1
4EI
= --------θ 2 ,
L 1
2EI
= --------θ 2 ,
L 2
1
m
L 2
m
1
i + j
= – ---------------------
L

Gelenk
1
i
θ 1
1
Anmerkung: E, I sind konstant und A>>
Deformationsmethode
Unverschiebliche Rahmentragwerke
Der Unterschied zum vorangegangenen Beispiel liegt lediglich in der Lagerung
des Knotens 1, der hier als Gelenk ausgebildet ist.
Für die Bestimmung der unbekannten Knotenverdrehungen θ 1 und θ 2 ist je eine
Gleichgewichtsbedingung am Knoten 1 und 2 aufzustellen. Aus dem vorigen Beispiel
kann die Verträglichkeits- und Gleichgewichtsbedingung für den Knoten 2
übernommen werden.
Die Gleichgewichtsbedingung am Knoten 2 ergibt sich aus Abb. 6.20 zu
j
i
ji θ 1
Abb. 6.20 Gleichgewicht am Knoten 2.
Für den Knoten 1 ergibt sich die Verträglichkeitsbedingung
L 1
M m
1
m
2
+ k
1
k
1
k
2 2EI
= = + + =
1
1
m
j
jj θ 2
sowie die Gleichgewichtsbedingung mit Hilfe der Abb. 6.21 zu
M
M
j
2 3
ii θ 2
2
j i
1
m
j
θ 1
=
2
m
i
θ
1
i
θ 2
i 2 j
2
m
i
M 0 k
1
k
1 4EI
= = + =
ii θ 1
ij θ 2
L 2
--------θ 1
L1 --------θ 1
L1 2
2EI
+
4EI 4EI
+ �-------- + -------- �θ2 � �
L 1
--------θ 2
L1 L 2
Baustatik 1
6-33
6-33

6-34 6-34
6-34
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Unverschiebliche Rahmentragwerke
Abb. 6.21 Gleichgewicht am Knoten 1.
Das Gleichungssystem kann nun wie folgt in Matrizenform angeschrieben werden
[ K]
... globale Gesamt- Steifigkeitsmatrix.
Als Lösung des Gleichungssystems ergeben sich die beiden unbekannten Knotenverdrehungen
θ 1 und θ 2, wobei aus Gleichung 1 sich die Beziehung
berechnen läßt.
EI
Mit den unbekannten Knotenverdrehungen können die Stabendmomente berechnet
werden und in weiterer Folge die Querkräfte.
6.4.2 Belastung zwischen den Knoten
1
4
-----
L 1
2
-----
L 1
i
1
m
i
2
-----
L 1
4 4
----- + -----
L 1
L 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
[K]
θ 1
Die Belastung zwischen den Knoten wird durch die sog.
berücksichtigt. Diese entsprechen den Stabendmomenten am kinematisch
bestimmten Stab (Knotenverdrehungen gesperrt) infolge der Belastung. Um Verwechslungen
zu vermeiden sind die Starreinspannwerte mit dem zusätzlichen
Index "B" gekennzeichnet. Im Anschluß werden für einige Belastungsfälle die
Starreinspannwerte berechnet.
1
m
i
1
� �
� θ1 �
� �
� θ �
� 2 �
θ 2
=
– ----
2
� �
� 0 �
= � �
� M �
� �

1. Gleichlast
m iB
EI = const
i j
Deformationsmethode
Unverschiebliche Rahmentragwerke
Die Berechnung erfolgt mit dem Kraftgrößenverfahren. Zunächst wird der Belastungszustand
am statisch bestimmten Grundsystem ermittelt.
θ i0
Aufgrund der Symmetrie (System, Belastung, Trägheitsmoment) sind die beiden
Starreinspannwerte, und damit auch die statisch Unbestimmten X i und X j , gleich
groß. Durch den Ansatz eines entsprechenden Einheitskraftgrößenzustandes kann
diese Tatsache ausgenützt werden, sodaß nur eine Unbekannte auftritt.
X = 1
-1
θ i1
Somit lautet die Kompatibilitätsgleichung
Die Verformungsgrößen in die Gleichung eingesetzt
θ i
+
L
qL2 ---------
8
θ j0
q
θ j1
i j
θi = θi0 + θi1 X = 0
q
x'
– m
jB
M B 0
qL 2
2
--
3
qL2
= -------- ⋅ ( – 1)
⋅L+
L ⋅ X = 0 �
X = --------
8
12
X = 1
M 1 0
Baustatik 1
6-35
6-35

6-36 6-36
6-36
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Unverschiebliche Rahmentragwerke
und nach der statisch Unbestimmten aufgelöst, ergibt die Starreinspannwerte
m iB
qL2 = ---------
12
qL
------
2
2. Gleichmäßige Temperaturänderung
( p' )
xi Tm
m iB
Infolge einer gleichmäßigen Temperaturänderung gegenüber dem Aufstellzustand
erfährt der Fachwerkstab eine Längenänderung, wodurch wegen der Verformungsbehinderung
Zwangskräfte entstehen. Mit dem Verformungszustand am statisch
bestimmten Stab
folgen die Zwangskräfte aus
=
qL2 ---------
12
i j
L
m jB
=
qL2 – ---------
12
qL------
2
i ± T
m
j
+T
m
i j
L
σ T
( p' )
xi Tm
( p' )
xj Tm
= E ε = ------------------- � ( p' )
T
xj Tm
A
=
EAα T T m
L
( p' )
xj Tm
i j
( u' )
xj Tm
m jB
( p' )
xj Tm
=
= – EAα T
T m
=
qL2 = – ---------
12
ε T
�
�
�
α T T m L
– EAα T
T m

3. Ungleichmäßige Temperaturänderung
Deformationsmethode
Unverschiebliche Rahmentragwerke
Infolge einer ungleichmäßigen Temperaturänderung zwischen der oberen bzw.
unteren Querschnittsfaser gegenüber dem Aufstellzustand sind bei Stabwerken
zweierlei Verformungen zu beachten.
� Eine , die sich entsprechend der gleichmäßigen Temperaturänderung
T m in der Schwerpunktfaser einstellt. Bei doppeltsymmetrischen Quer-
schnitten ergibt sich
T m
� Eine (Biegeverformung) infolge der Temperaturdifferenz
∆T = Tu– To .
( m )
iB ∆T
Aus dem Verformungszustand am statisch bestimmten Grundsystem
und dem Einheitskraftgrößenzustand X
X = 1
T u
T o
ergibt sich die Kompatibilitätsgleichung
Mit den Verformungsgrößen
>
θ i0
-1
To + Tu = -----------------
2
i T j
u
θ i1
θ i0
0 αT ∆T
= �M
--------------- 1 ds
=
–
h
folgt aus der Gleichung die statisch Unbestimmte
T o
θi = θi0 + θi1 X = 0
α T
∆
------------
TL
h
θ j1
θ j0
θ i1
=
---- L
EI
( m )
jB ∆T
X = 1
M 1 0
Baustatik 1
6-37
6-37

6-38 6-38
6-38
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Unverschiebliche Rahmentragwerke
Die Starreinspannwerte lauten somit:
4. Auflagersetzung
Das Auflager eines Tragwerkes verschiebt bzw. setzt sich um den bekannten
Wert u* yn. Nach der Assemblierung der globalen Steifigkeitsmatrix ist das Gleichungssystem,
in dem die unbekannte Verschiebung u yn durch den vorgegebenen
Wert u* yn ersetzt wird, aufzulösen (siehe Abschnitt 7.7,
).
Die Auflagersetzung kann aber auch über die Starreinspannwerte der folgenden
Tabellen berechnet werden.
Es sei noch festgehalten, daß Knotenverschiebungen auch bei unverschieblichen
Systemen auftreten, wenn die Lastfälle Temperatur und Auflagersetzung zu
berücksichtigen sind.
Achtung:
θ i
– α ∆TL
T ------------
L
EI αT ∆T
= + ---- X = 0 � X = ----------------------h
EI
h
m iB
EI αT ∆T
EI αT ∆T
= ----------------------- mjB =
– ----------------------h
h
Wenn die Starreinspannmomente für beliebige Belastungsfälle aus Tabellen entnommen
werden, ist besonders auf die Vorzeichen zu achten. Es empfiehlt sich, in
einer kleinen Skizze die Wirkung der Stabendmomente auf den Stab einzutragen.
Positive Stabendmomente wirken entgegen dem Uhrzeigersinn.
In der ersten Tabelle sind für einige Belastungsfälle die Starreinspannmomente des
beiderseits eingespannten Stabes angegeben; in der zweiten die des einseitig einge

Deformationsmethode
Unverschiebliche Rahmentragwerke
spannten, einseitig gelenkigen Stabes. Die Starreinspannmomente sind dabei auf
die Vorzeichenkonvention der Deformationsmethode bezogen.
EI = const
m iB i j
m iB
+ qL2
--------
12
+ 11 -------- qL
192
2
+ qc
--------- 3L
24L
2 c2 ( – )
-----( 3qA + 2qB) 60
+ L2
+ qL2
--------
20
L
BELASTUNGSFALL
q
m jB
m jB
q qL 2
L/2 L/2
q
c
L/2 L/2
– --------
12
q q
A B L2 -------- 5
qL
192
2 –
q qL 2
qc
--------- 3L
24L
2 c2 – ( – )
– -----( 2qA + 3qB) 60
–
--------
30
Baustatik 1
6-39
6-39

6-40 6-40
6-40
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Unverschiebliche Rahmentragwerke
EI = const
m iB i j
m iB
+ 5 ----- qL
96
2
+ PL ------
8
+ Pab2
L2 -----------
+ M----
4
+ Mb ------- ( 3a – L)
L 2
L
BELASTUNGSFALL
q
L/2 L/2
P
L/2 L/2
P
a b
M
L/2 L/2
M
a b
m jB
m jB
----- 5 qL
96
2 –
–
PL ------
8
Pa2b L2 – -----------
+ M----
4
+ Ma ------- ( 3b – L)
L 2

EI = const
m iB i j
m iB
– 6EI --------( ∆A – ∆B)
L 2
+ EI T α -----------------------
∆ T
h
m iB
0
0
L
BELASTUNGSFALL
∆A
EI = const
kälter
wärmer
i j
L
Stützensenkung
DT
BELASTUNGSFALL
q
q
h
m jB
L/2 L/2
Deformationsmethode
Unverschiebliche Rahmentragwerke
m jB
∆B
m jB
–
6EI --------( ∆A – ∆B)
L 2
EI ∆T
αT – ----------------------h
m jB
qL 2
– --------
8
-------- 7
qL
128
2 –
Baustatik 1
6-41
6-41

6-42 6-42
6-42
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Unverschiebliche Rahmentragwerke
m iB
0
0
0
0
0
0
EI = const
i j
L
BELASTUNGSFALL
q
m jB
c
L/2 L/2
m jB
q q
A B L2 q
q
L/2 L/2
P
L/2 L/2
P
a b
qc
--------- 3L
16L
2 c2 – ( – )
– --------( 7qA + 8qB) 120
-------- 7
qL
120
2 –
----- 5
qL
64
2 –
– -----PL 3
16
–
Pab -------- ( L+ a)
2L 2

m iB
0
0
0
0
EI = const
i j
L
BELASTUNGSFALL
∆A
kälter
wärmer
M
m jB
L/2 L/2
M
a b
Stützensenkung
DT
h
Deformationsmethode
Unverschiebliche Rahmentragwerke
∆B
m jB
+ M----
8
+ M -------- L2 3a2 ( – )
2L 2
–
3EI --------( ∆A – ∆B)
L 2
3EI ∆T
αT –
--------------------------
2h
Baustatik 1
6-43
6-43

6-44 6-44
6-44
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Unverschiebliche Rahmentragwerke
6.4.3 Anwendung
Beispiel: Durchlaufträger mit Gleichlast
1
i
Der Durchlaufträger wurde von Beispiel 6 übernommen, wobei nun die Stäbe 1
und 2 mit einer Gleichlast q belastet werden. Bezüglich der Kompatibilität treten
keine Veränderungen auf.
Gleichgewicht:
Anmerkung: E, I = konstant
1
1
L 1
2
j
θ
2
3
i 2 j
2
j i
1 1
m m
j jB
1 1
m m
jB j
2 2
m m
i iB
2 2
m m
iB i
Abb. 6.22 Gleichgewicht am Knoten 2.
Nach Abb. 6.22 ergibt sich die Gleichgewichtsbedingung am Knoten 2 mit
1
0 = m
1
jB
2
iB
1
Mit dem Starreinspannwert infolge der Gleichlast (siehe Kapitel 6.4.2) und der
Verträglichkeits- und Gleichgewichtsbedingung (siehe Kapitel 6.4.1) kann die
unbekannte Knotenverdrehung wie folgt berechnet werden.
q
m + + m +
�
�
�
�
�
j
m
2
�
�
�
�
�
Starreinspannwerte aus der Kotenverdrehung
0 m m m m
= + + + = m
jB
2
K 22 θ 2
iB
1
j
2
i
1
i
jB
L 2
m
2
k iB
1
jjθ2 k
2
iiθ + + + 2
m
1
jB m
2 q
– ( + iB)
– ----- L
12
2
2 L 2
=
= ⋅ ( – 1)
θ 2
q
– -------------- L 2
L 2
=
⋅ ( – )
12K 22
2
1
2

Deformationsmethode
Unverschiebliche Rahmentragwerke
Der generelle Berechnungsablauf ist aus Abb. 6.23 ersichtlich. Am kinematisch
bestimmten Grundsystem ensteht aufgrund der Fixierung des Knotens ein Momentensprung
M. Dieser Momentensprung darf aber am ursprünglichen System nicht
auftreten, da der Knoten in Wirklichkeit ja nicht gehalten ist. Der Knoten muss
daher solange verdreht werden, bis der Momentesprung M wieder zu null wird.
SYSTEM + BELASTUNG
1
M m m
= + = M( θ2= 1)θ2
jB
2
1
i 1
2
j
i 2
3
j
Momentenverteilung
KIN. BESTIMMTES GRUNDSYSTEM
1
i 1
2
j
i 2
3
j
Momentenverteilung
1
m
jB
m
2
M
iB
EINHEITSVERDREHUNG θ 2
iB
1 2 θ = 1 3
i 1
j
2
i 2 j
Momentenverteilung
Abb. 6.23 Genereller Berechnungsablauf bei der Deformationsmethode.
q
q
q
M(θ 2 =1)
SYSTEM+BELASTUNG KIN. BEST. GRUNDSYSTEM EINHEITSVERDREHUNG
θ 2
Baustatik 1
6-45
6-45

6-46 6-46
6-46
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Unverschiebliche Rahmentragwerke
Beispiel: Durchlaufträger mit Gleichlast und gelenkigem Auflager
Gelenk
1
i
Anmerkung: E, I = konstant
Der Unterschied zum vorangegangenen Beispiel liegt lediglich in der Lagerung
des Knotens 1, der hier als Gelenk ausgebildet ist.
Die Gleichgewichtsbedingung am Knoten 2 ergibt sich aus Abb. 6.24 zu
1
Abb. 6.24 Gleichgewicht am Knoten 2.
Für den Knoten 1 kann die Verträglichkeitsbedingung wie folgt angeschrieben
werden.
Die Gleichgewichtsbedingung ergiebt sich aus Abb. 6.25 zu
θ 1
1
L 1
Abb. 6.25 Gleichgewicht am Knoten 1.
2 3
Das Gleichungssystem kann nun wie folgt in Matrizenform angeschrieben werden
q
j
θ 2
i 2 j
0 m m m m
+ + + m m
= = + + k θ1 + k + k =
jB
1
2
1
iB
1
=
j
2
1
mjB
i
m
2
+ iB
1
jB
2
iB
1
ji
1
L 2
jj θ 2
2EI 4EI 4EI
+ --------θ 1 + �-------- + -------- �θ2 � �
L 1
L 1
L 2
2
j i
1 1
m m
j jB
1 1
m m
jB j
2 2
m m
i iB
2 2
m m
iB i
θ 1
=
θ
1
i
0 m m
= + = m + k θ1 + k = m
iB
1
i
1
1
i
1
m
i
iB
m
2
iB
1
jj
1
ij θ 2
2 1
m m
iB i
1
1
iB
2
2
ii θ 2
4EI 2EI
+ -------- θ1 +
L 1
--------θ 2
L1

[ K]
EI
4
-----
L 1
2
-----
L 1
... globale Gesamt- Steifigkeitsmatrix.
Deformationsmethode
Unverschiebliche Rahmentragwerke
Als Lösung des Gleichungssystems ergeben sich die beiden unbekannten Knotenverdrehungen
θ 1 und θ 2 . Mit diesen unbekannten Knotenverdrehungen können die
Stabendmomente berechnet werden und in weiterer Folge die Querkräfte.
Beispiel 6.4: Unverschieblicher Rahmen
Es handelt sich hier um ein unverschiebliches Tragwerk mit zwei unbekannten
Knotenverdrehungen in den Knoten 1 und 2.
Für die numerische Rechnung sind die "absoluten" Steifigkeiten ( kii, ... ) infolge
des zahlenmäßig sehr großen E-Moduls unbequem. Die gesuchten Stabendmomente
ergeben sich auch dann mit ihrem richtigen Wert, wenn an Stelle der "absoluten"
nur "relative" (verzerrte) Steifigkeiten ( k∗ ii , ... ) verwendet werden. Es gilt
folgende Beziehung:
Mit dem Verzerrungsfaktor
2
-----
L 1
4 4
----- + -----
L 1
L 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
[K]
P = 40 kN q = 14 kN/m
� �
� θ1 �
� �
� θ �
� 2 �
i
1 j
j
i 2
i
6
I , I , I 800 ×10 mm
1 3 4
4
=
6
I 400 ×10 mm
2
4
2
1
=
E 210 kN/mm2 =
3
i
A
3
1
– miB
1
mjB
m
2
� �
� �
� �
= � �
� �
� – ( + iB)
�
� �
4 j
5
1,5m 3m 3m 3m
k∗ ii =
c⋅kii 4
j
4m
Baustatik 1
6-47
6-47

6-48 6-48
6-48
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Unverschiebliche Rahmentragwerke
wobei für das Vergleichsträgheitsmoment I 0 z.B. ein häufig wiederkehrendes Trägheitsmoment
innerhalb des Systems gewählt wird, ergeben sich die für die Berechnung
zu verwendenden "relativen" Steifigkeiten:
k ii
k ij
Achtung:
Allerdings erscheinen in diesem Fall die unbekannten Weggrößen nicht in ihrer
wahren Größe, sondern 1/c-fach verzerrt.
Konnektivität und Stabkennwerte:
Der Kragarm hat keinen Einfluss auf die Steifigkeit des Systems im Sinne des Weggrößenverfahrens,
da er einer Verdrehung des Knotens 1 keinen Widerstand entgegensetzt. Das Einspannmoment
des Kragarms in den Knoten 1 wird wie ein Starreinspannmoment
berücksichtigt.
Gleichgewicht:
Tab. 6.1
Stab L (m) I/I 0 k
c
-------
1
=
1 3 1 4 1 1/4 3/4 (3k) 0 -
2 1 2 6 0,5 1/12 1/3 (4k) 1/6 (2k)
3 2 4 5 1 1/5 4/5 (4k) 2/5 (2k)
4 2 5 5 1 1/5 4/5 (4k) 2/5 (2k)
Für die Berechnung der unbekannten Knotenverdrehungen θ 1 und θ 2 sind die
zugehörigen Knotengleichgewichtsbedingungen aufzustellen.
EI 0
4EI
= k -------jj
= k∗ ii k∗ --------- ---------------
4EI
jj 4
L
I
� = = = = --------- = 4k
k ij
EI 0
k ii
EI 0
2EI
= k -------ji
= � k∗ --------ij
= = 2k
L
g
= � k ∗
jj = 3k
L
g 3EI
k -------jj
6
I 800 ×10 mm
0
4
=
LEI 0
k
LI 0
I
= ---------
LI 0
k ... Stabkennwert
i – j
k ∗ = k ∗ k∗ ii jj ij

Knoten 1:
40 kN
1
m
j
M 1
=
=
40 ⋅ 1,5
60 kNm
1g
k
jj θ =
1
1
= 3 k EI θ
0 1
Deformationsmethode
Unverschiebliche Rahmentragwerke
Somit ergibt sich die Gleichgewichtsbedingung für den Knoten 1 zu
+M 1
�
�
�
=
Werden nun die Belastungsglieder auf der "rechten Seite" zusammengefaßt und die
Stabendmomente aus den Knotenverdrehungen mit ihren relativen Steifigkeiten
ausgedrückt, so lautet die Gleichung
Knoten 2:
2
m
jB
2
Es folgt daraus die Gleichgewichtsbedingung für den Knoten 2 mit:
1
1
m
2
iB
�
�
�
+
m
2
2
m
i
2
m
iB
i
+
2
k
ii θ 2
k
1 ij θ = +
2
2 2
= 4 k EI0θ + 2 k EI θ
1 0 2
=
m
1
2
�
�
�
�
�
qL2 ---------
12
Externes Starrein- aus Knoten-
Moment spannwert verdrehungen
1
2
14 62 = ---------------- ⋅ = 42 kNm
12
( 4 k+
3 k)EI0θ1
+ 2 k EI0θ2 = M1– m
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Steifigkeitskoeffizienten
(linke Seite)
2
= – 42 kNm
3
2
m
j
=
3
m
i
2
k
jj θ 2
2
+
j
2
iB
�
�
�
�
�
Belastung
(rechte Seite)
2
k
ji θ 1
2 2
= 4 k EI0θ + 2 k EI θ
2 0 1
3
k
ii θ =
2
3
= 4 k EI θ
0 2
4
4
m
i
4
k
ii θ =
2
4
= 4 k EI θ
0 2
Baustatik 1
6-49
6-49

6-50 6-50
6-50
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Unverschiebliche Rahmentragwerke
bzw.
Gleichungssystem:
2
2 kEI0θ1 0 = m
Aus den beiden Gleichgewichtsbedingungen läßt sich das Gleichungssystem für
die unbekannten Knotenverdrehungen allgemein anschreiben zu
EI 0
4 k
2
θ 1
2 k
2
Das Gleichungssystem kann auch ohne Gleichgewichtsbetrachtungen an jedem
Knoten über die Assemblierung gewonnen werden. Mit Zahlenwerten lautet das
Gleichungssystem
Die Auflösung liefert die Knotenverdrehungen
2
2
jB
2
m m + + +
3
Beide Werte sind positiv, d.h. die Knoten 1 und 2 verdrehen sich entgegen dem
Uhrzeigersinn (Abb. 6.26).
j
3
i
m
4
i
+ ( 4 k+
4 k+
4 k)EI0θ2
= – m
3 k
1
+ 2 k
2
EI 0
EI 0 θ 1
4 k
2
θ 2
3
+ 4 k +
1,0833 0,1666
0,1666 1,9333
4
4 k
4
� �
� θ1 �
� �
� θ �
� 2 �
� �
� θ1 �
� �
� θ �
� 2 �
2
jB
M1 m
2 � �
� – iB �
= � �
� 2 �
� – mjB
�
� �
� 18 �
= � �
� �
� 42 �
= 13,45
EI0θ2 =
20,56
.

Stabendmomente:
θ
i
1
j i 2
1 j 2
i
3
1 4
i
j
3
4 5
Abb. 6.26 Verzerrte Verformungsfigur.
Deformationsmethode
Unverschiebliche Rahmentragwerke
Die Stabendmomente werden durch Rückeinsetzen der Knotenverdrehungen für
die einzelnen Stäbe ermittelt.
1
2
3
1
mi
1
mj
2
mi
2
mi
2
mj
2
mj
3
mi
3
mj
4 m
4
i
4
mj
=
0
θ 2
θ 1
θ 2
=
=
j
------------- 13,45
EI
0
20,56 -------------
EI
0
3 k
1 = EI0θ1 m
1
j 3 1
-- EI0 13,45
4
1
= ⋅ ⋅ ⋅ ------- = 10,09 kNm
4 k
2 EI0θ1 2 k
2 EI0θ2 m
2
=
+ +
=
1
-- ⋅ 13,45 +
1
-- ⋅ 20,56 + 42
3 6
= 49,91 kNm
2
2
= 2 k EI0θ1+ 4 k EI0θ2+ iB
2
mjB
1
= -- ⋅ 13,45 +
1
-- ⋅ 20,56 – 42 = – 32,91
kNm
6 3
=
3
4 k EI0θ2 3
mi
3
= 2 k EI0θ2 m
3
=
16,45 kNm
=
8,22 kNm
j
EI 0
=
4
-- ⋅ 20,56 = 16,45 kNm
5
2
= -- ⋅ 20,56 = 8,22 kNm
5
Baustatik 1
6-51
6-51

6-52 6-52
6-52
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Unverschiebliche Rahmentragwerke
Querkräfte:
Die Querkräfte an den Stabenden werden aus den Lagerkräften des einfach gelagerten
Stabes zufolge der Belastung und den Stabendmomenten gewonnen.
1
m
j
1
2
3
4
2
m
i
j
i
i
1
p'
yj
2
p'
yi
j
2
1 4
1
p'
yi
1
p'yi
p
3
p'yj
2
m
3
m
j
3
3
p'yi
i
2
p'
yj
3
m
i
j
------
10,09
= = ------------- = 2,52 kN
L 4
1
'yj p
1 '
2
p'yi
2
p'yj
3
p'yi
= – yi = – 2,52 kN
2
m
2
j
m
2
j
i
4
p'yi
4
m
i
4
p'yj
qL
------
2
m
=
i + j
+ ---------------------
L
=
14
------------
⋅ 6 49,91
--------------------------------
– 32,91
+
2 6
= 44,83 kN
qL
------
2
m
2
i m
2
=
+ j
– ---------------------
L
= 42 – 2,833 = 39,16 kN
3
m
m
3
i + j
= --------------------- = 4,93 kN
L
3 3
p'yj
= – p'yi
= – 4,93 kN
4
p'yi
p
4
m
m
4
i + j
= --------------------- = 4,93 kN
L
4
'yj p
4 'yi
= – = – 4,93 kN
4
m
j
j

Vorzeichenkonventionen:
Deformationsmethode
Unverschiebliche Rahmentragwerke
Die ermittelten Stabendkraftgrößen beziehen sich auf die Vorzeichenkonvention
die für die Deformationsmethode (Abschnitt 6.1.4) vereinbart wurde. Somit ist
eine Rücktransformation in die Kennfaserregelung notwendig. Im Anschluß sind
die beiden Vorzeichenkonventionen gegenübergestellt.
Biegemomente:
+m i
+M
Querkräfte:
+ p' yi
+Q
Normalkräfte:
+ p' xi
i j
i j
i
„ Defo „
„ Kennfaser „
Der Verlauf der Momente bezogen auf die Kennfaser ist in Abb. 6.27 dargestellt.
Die in Klammer gesetzten Werte entsprechen der Vorzeichenkonvention der Deformationsmethode.
+M
+ p' yj
j
+m j
+Q
+ p' xj
+N +N
„ Defo „
„ Kennfaser „
„ Defo „
„ Kennfaser „
Baustatik 1
6-53
6-53

6-54 6-54
6-54
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Unverschiebliche Rahmentragwerke
KM: 1 mm = 3 kNm
- 60
-
10,09
(10,09)
-
- 32,91
(- 32,91)
qL
- - 16,45
(16,45)
+
-
-
2
- 49,91 M
(49,91)
---------
8
8,22
(8,22)
Abb. 6.27 Momentenverlauf.
Eine wichtige Kontrolle besteht darin, daß die Summe der Momente um die Knotenpunkte
null ist.
Knoten 1:
60
Knoten 2:
32,91
1
10,09
2
16,45 16,45
49,91
�M
1
�M
2
In Abb. 6.28 ist der Verlauf der Querkräfte dargestellt.
= 0: – 60 + 10,09 + 49,91 = 0
8,22
(8,22)
= 0: – 32,91
+ 16,45 + 16,45 = 0

KM: 1 mm = 2 kN
- 40
-
44,83
(44,83)
2,52
(- 2,52)
+
2,52
(2,52)
4,93
(- 4,93)
Abb. 6.28 Querkraftverlauf.
Deformationsmethode
Unverschiebliche Rahmentragwerke
Kontrollen ergeben sich aus der mathematischen Definition für die Querkraft
Für die Ermittlung der Normalkräfte sind die Auflagerkräfte A3, A4,A5 nach
Abb. 6.29 zu bestimmen.
+
Abb. 6.29 Berechnung der Auflagerkräfte.
-
- 39,16
(39,16)
4,93
(4,93)
dM
------- = Q Q = 0 → Tangentezu M ist Null.
dx
40 kN q = 14 kN/m
3
1
A 3
4,93
A 4
a
4,0
4
α 5
8,22
3,0
4,93
1,5m 3m 3m 3m
.
2
α
.
b
5,0
+
sinα
cosα
8,22
A 5
Q
4,93
(- 4,93)
=
=
3--
5
4--
5
Baustatik 1
6-55
6-55

6-56 6-56
6-56
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Unverschiebliche Rahmentragwerke
Die Auflagerkraft A3 folgt aus dem Kräftegleichgewicht am Knoten 1.
40 44,83
1 2
p'xi
Py1 �P
x1
2,52
1
p'xj
Aus der Geometrie ergeben sich die Normalabstände a und b zu
6⋅3 a = 6 ⋅ sinα
= --------- = 3,60 m
5
Die Momentengewichtsbedinungen am Knoten 5 und 4 liefern die Auflagerkräfte
A4 und A5.
�
�
M 5
M 4
Somit ergeben sich die in Abb. 6.30 dargestellten Normalkräfte.
�
= 0: �
= 0: �
� A3 = 84,83 kN
Abb. 6.30 Normalkraftverlauf.
1
'xj = 84
p
– ,83 kN
2
p'xi
= 2,52 kN
6 ⋅ 4
b = 6⋅cosα = --------- = 4,80 m
5
= 0: 8,22 + 8,22 + 40 ⋅ 10,50 + 14 ⋅ 6,0 ⋅6,0 – 84,83 ⋅ 9,0 –
– 4,93 ⋅ 3,60 – A4⋅4,80 = 0
KM: 1 mm = 3 kNm
�
A 4
=
33,17 kN
= 0: 8,22 + 8,22 + 40 ⋅ 4,50 – 4,93 ⋅ 3,60 – 84,83 ⋅ 9,0 +
+ A5 ⋅ 4,80 = 0
-
- 84,83
+ 2,52
�
-
- 33,17
A 5
=
15,79 kN
-
N
- 15,79

Verformung am Punkt A:
A
1
1 2 3 4
Deformationsmethode
Unverschiebliche Rahmentragwerke
Abb. 6.31 M - Verlauf am statisch bestimmten Grundsystem.
0
Die Anwendung des Reduktionssatzes
1 ⋅ δA
- 4,5
sowie dessen Auswertung mit Hilfe der numerischen Integration (Simpson),
Tab. 6.2
Pkt M M 0 I 0 /I f
1 0 0
1
2 -30 -0,75 2 4
0,75
----------
3
3 -60 -1,5 1 +90,0
3 -49,91 - 1,5
1
4 + 21,59 - 4,5 2 4
3,0
-------
3
5 - 32,91 - 7,5 1 -133,86
5 -16,47 -7,5
1
6 - 4,11 - 6,0 1 4
2,5
-------
3
7 + 8,24 - 4,5 1 +154,24
liefert die Verformung (Durchbiegung) am Punkt A.
7
=
�
6
-
-
5
MM0 ------------ ds
,
EI
Σ
- 7,5
- 7,5
∆
----x
MM
3
0 I 0
� ---- ds
I
+110,38
Baustatik 1
6-57
6-57

6-58 6-58
6-58
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Unverschiebliche Rahmentragwerke
EI0 ⋅ δA = + 110,38 �
δA = 0,000657 m

6.5 Verschiebliche Rahmentragwerke
6.5.1 Allgemeines
Deformationsmethode
Verschiebliche Rahmentragwerke
Für die nachfolgenden Betrachtungen wird vorausgesetzt, daß die Einzelstäbe
dehnstarr sind, d.h. daß keine Längenänderungen der Stäbe auftreten. Die Vereinfachung,
die durch die dehnstarren Stäbe entsteht ist aus Abb. 6.32 ersichtlich.
Allgemeines Wegrößenverfahren
-u y1
Drehwinkelverfahren
L
P
-u -u
x11 x2 2
-ux1 1
−θ 1
Abb. 6.32 Verschiebliches Rahmensystem.
Ein Tragwerk ist verschieblich wenn sich die Lage der Knoten unter der gegebenen
Belastung ändert. Es treten somit neben den Knotenverdrehungen auch Knotenverschiebungen
als Freiheitsgrade des Systems auf.
θ 2
6 unbekannte Weggrößen
(ux1 , uy1 , θ1 , ux2 , uy2 , θ2 )
-θ 1 θ2
-u x2
-u y2
A >> ... Längenänderung der Stäbe vernachlässigbar
y
u x2 = u x1
q
u y2 = u y1 = 0
ψ =u x2/L = u x1/L
3 unbekannte Weggrößen
(θ1 , θ2 , ψ)
ψ
2
Baustatik 1
6-59
6-59

6-60 6-60
6-60
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Verschiebliche Rahmentragwerke
Neben den Knotengleichungen müssen für die unbekannten Knotenverschiebungen
zusätzliche Gleichgewichtsbedingungen formuliert werden, die sich aus dem
Verschiebungszustand des Systems ergeben und deshalb
genannt werden.
Diese Verschiebungsgleichungen lassen sich entweder als Gleichgewichtsbedingungen
an herausgeschnittenen Teilen des Systems oder mit Hilfe des Prinzips
der virtuellen Weggrößen als Arbeitsgleichungen formulieren.
Die Anzahl der erforderlichen Verschiebungsgleichungen entspricht der Anzahl
der voneinander unabhängigen Knotenverschiebungen. Um diese zu bestimmen,
denkt man sich die biegesteifen Knoten durch Gelenke ersetzt und untersucht, wieviele
Festhaltungen (ideelle Stabilisierungsstäbe) für die jeweilige Belastung erforderlich
sind, damit ein stabiles (unverschiebliches) Gelenksystem entsteht. Die
Zahl der Stabilisierungsstäbe ist gleich dem Grad der Verschieblichkeit des
betrachteten Systems und damit gleich der Anzahl der erforderlichen Verschiebungsgleichungen.
Beispiel 6.5: 1-fach verschieblicher Rahmen
h--
2
P
2
j
1
i
i
1
∆ ∆
θ 2
Infolge der Annahme, daß sich die Längen der Stäbe unter Belastung nicht ändern
(EA >>), erfährt der Knoten 3 die selbe Verschiebung wie Knoten 2. Aus Abb.
6.33 geht hervor, daß ein Stabilisierungsstab ausreicht um das Gelenksystem
unverschieblich zu machen. Somit tritt neben den unbekannten Knotenverdrehungen
θ 2 und θ 3 nur eine zusätzliche Unbekannte auf, nämlich die Verschiebung ∆ .
2
L
V∆
θ 3
4
j
3
3
i
j
h

P
KD 2
Deformationsmethode
Verschiebliche Rahmentragwerke
Abb. 6.33 Gelenksystem - kinematisch bestimmtes Grundsystem
Die Berechnung nach dem Weggrößenverfahren geht vom kinematisch bestimmten
Grundsystem aus. Dazu werden entsprechend der Anzahl der unbekannten
Weggrößen zusätzliche ideelle Bindungen eingeführt, was dem Nullsetzen der
Unbekannten entspricht. So wird der Knoten 2 mit einer ideellen drehstarren Knotendrehfessel
(KD) gegen Verdrehung gesichert, ebenso der Knoten 3, der zusätzlich
eine ideelle Stützung (V) gegen Verschieben erhält (Abb. 6.33).
Die Belastung ruft Festhaltekräfte bzw. Festhaltemomente an den zusätzlichen
Bindungen des kinematisch bestimmten Grundsystems hervor. Die Knotendrehfessel
KD 2 erhält dabei jenes Moment, das notwendig ist, um Gleichgewicht am
Knote 2 herzustellen (Starreinspannmoment). Der Stabilisierungsstab erhält
die Auflagerkraft, die für Gleichgewicht der horizontalen Kräfte notwendig ist
(Abb. 6.34).
P
2 3
–
Ph
-----
8
–
Ph
-----
8
Abb. 6.34 Lastverformungszustand
V Stabilisierungsstab
KD Knotendrehfessel
KD 3
Das tatsächliche System erhält im Gegensatz zum kinematisch bestimmten Grundsystem
Knotenverdrehungen und Knotenverschiebungen. Um diese Weggrößen zu
berechnen, wird nacheinander je eine Bindung des kinematisch bestimmten
Grundsystems gelöst und eine Einheitsweggröße aufgebracht. Die einzelnen Einheitsverformungszustände
sowie deren zugehörigen Stabendkraftgrößen
(Stabendsteifigkeiten) sind in den nachfolgenden Skizzen, bezogen auf die Kennfaser,
dargestellt (siehe auch Kapitel 6.4.2).
+
M B
V∆
V ∆
P
--
2
Baustatik 1
6-61
6-61

6-62 6-62
6-62
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Verschiebliche Rahmentragwerke
�
�
�
θ 2
2
θ 3
=
=
1:
1:
∆ = 1:
θ 3
=
1
θ 2
∆ = 1
∆ =
1
=
1
3
2EI
– -------h
4EI
– --------
L
2EI
– --------
L
6EI
h2 – --------
Abb. 6.35 Einheitsverformungszustände
Aus den Abbildungen ist ersichtlich, daß sich jeder dieser Einheitsverformungszustände
im Gleichgewicht befindet, wenn an den Knotendrehfesseln bzw. an den
Stabilisierungsstäben die in Abb. 6.35 dargestellten externen Momente bzw. Festhaltekräfte
wirken.
4EI
-------h
6EI
h2 --------
M 3
M 2
M ∆
4EI
--------
L
2EI
--------
L
3EI
– -------h
3EI
h2 --------
6EI
h 2
--------
3EI
h 2
--------
15EI
h3 -----------

Deformationsmethode
Verschiebliche Rahmentragwerke
Die Aufgabe besteht nun darin, diejenigen Faktoren ( θ2, θ3, ∆ ) für die Einheitsverformungszustände
zu ermitteln, für die die zusätzlichen Bindungen des kinematisch
bestimmten Grundsystems bei der Summe aller Teilzustände kräftefrei und
damit überflüssig sind. Diese Forderung ist identisch mit zwei Arten von Gleichgewichtsbedingungen:
1. Knotengleichgewicht
Für eine Knotengleichgewichtsbedingung sind die in den Skizzen der Teilzustände
eingetragenen Werte der Momente am entsprechenden Knoten aufzusummieren
(Vorzeichen !!). Die Anteile aus den Einheitsverformungszuständen erhalten dabei
noch die zu bestimmenden Faktoren θ2, θ3, ∆. Für jeden zunächst festgehaltenen
Knoten ist eine Gleichung aufzustellen.
�M
2
�M
3
0:
2. Verschiebungsgleichgewicht
=
=
0:
Ph
– -----
8
--
2
EI θ2 L
Die an einem herausgeschnittenen Teilsystem wirkenden Kräfte in Richtung der
Stabilisierungsstäbe müssen mit den aufgebrachten Lasten im Gleichgewicht sein.
Das heißt, daß die Kraft im Stabilisierungsstab V∆ aus dem Lastverformungszustand
und aus den mit den Faktoren ( θ2, θ3, ∆ ) multiplizierten Einheitsverformungszuständen
Null sein muß.
�V
∆
0:
Aus den beiden Knotengleichungen und der Verschiebungsgleichung können nun
die Unbekannten θ2, θ3, ∆
errechnet werden. Somit lassen sich die Stab-endkraftgrößen
bestimmen.
6.5.2 Drehwinkelverfahren
=
4--
4
+ � + -- �
� h L �
EI
2
θ2 + -- EI θ ----EI
6
3 – ∆ = 0
L
P
– --
2
Wie bereits eingangs erwähnt, ist das Drehwinkelverfahren ein Sonderfall des allgemeinen
Weggrößenverfahrens, welches sich besonders für eine Handrechnung
von ebenen Rahmensystemen eignet.
Statt Knotenverschiebungen werden Stabsehnendrehungen als Unbekannte angesetzt.
Somit weisen verschiebliche Tragwerke Knoten- und Stabsehnendrehungen
als Freiheitsgrade auf.
h 2
-- 4 3
+ � + -- �
� L h �
EI
3
θ3 – ----EI ∆ = 0
h 2
+ ---- 6
EI θ ----EI
3
2 + θ
15 -----EI 3 – ∆ = 0
h 2
h 2
h 3
Baustatik 1
6-63
6-63

6-64 6-64
6-64
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Verschiebliche Rahmentragwerke
Eine Stabsehnendrehung tritt auf, wenn die Stabenden i und j eines Stabes ungleiche
Verschiebungen senkrecht zur Stabachse erfahren. Eine Sehnendrehung ψ ist
positiv wenn die Verdrehung entgegen dem Uhrzeigersinn erfolgt (Abb. 6.36).
u yi
L
i j
∆
i
θ i
Abb. 6.36 Verformungen eines Stabelementes
Die Herleitung der Steifigkeit aus einer Sehnendrehung bedarf keiner weiteren
Erklärung (Abb. 6.37, Abb. 6.38).
m i
6EI
= – --------
L
p' yi
=
12EI
L2 -----------
Abb. 6.37 Stabendkraftgrößen infolge einer Sehnendrehung:
beiderseits starre Lagerung
+ ψ
+ ψ
θ j
∆ = u – u
yi yj
tanψ ≈ ψ
ψ = 1
i E , I
j
L
p' yj
=
12EI
L2 – -----------
j
→
m j
u yj
ψ
=
6EI
= – --------
L
∆--
L
∆ = 1 ⋅ L
ψ =
1

p' yi
=
3EI
L2 – --------
ψ = 1
i E , I
j
Abb. 6.38 Stabendkraftgrößen infolge einer Sehnendrehung:
einseitig gelenkige Lagerung.
Deformationsmethode
Verschiebliche Rahmentragwerke
Die für die Berechnung zu verwendenden "relativen" Steifigkeiten lauten:
k iψ
L
Die Stabendmomente eines beiderseits eingespannten Stabelementes, das durch
eine Belastung, eine Sehnendrehung und Knotenverdrehungen beansprucht wird,
ergeben sich mit Abb. 6.36
Im Anschluß wird der 1-fach verschiebliche Rahmen aus der Sicht des Drehwinkelverfahrens
betrachtet.
p' yj
3EI
L2 = --------
Abb. 6.39 Kinematisch bestimmtes Grundsystem
m j
3EI
= – --------
L
∆ = 1 ⋅ L
ψ = 1
6EI
= k -------jψ
= –
k ∗
iψ k ∗
6EI
iψ – --------------- 6
L
I
� = = = – --------- = – 6k
g 3EI
k -------jψ
–
LEI 0
LI 0
g
= k
∗
I
� jψ = – 3k
k = ---------
L
1
KD 2
s
mi
s
mj
=
=
2
m
s
m
s
s
iB + kEI0( 4 θi + 2 θj – 6 ψ)
s
jB + kEI0( 4 θj + 2 θi – 6 ψ)
3
KD 3
SD α
SD Sehnendrehfessel
KD Knotendrehfessel
LI 0
Baustatik 1
6-65
6-65

6-66 6-66
6-66
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Verschiebliche Rahmentragwerke
Zur Gewinnung des kinematisch bestimmten Grundsystems wird anstatt der ideellen
Stützung (V) der Stab 3 durch eine Sehnendrehfessel SDα gegen Drehen gesichert.
Somit tritt neben den unbekannten Knotenverdrehungen θ2 und θ3 eine
unbekannte Sehnendrehung auf.
h--
2
– ψ
α
Abb. 6.40 Verformungsfigur mit Freiheitsgraden
Je unbekannter Knotenverdrehung steht eine Knotengleichgewichtsbedingung zur
Verfügung.
Gleichgewicht am Knoten 2:
2
P
ΣM 2
1
2
j
1
i
i
1
ψα
2
– θ
2
2
L
4 k
2 θ2 + 2 k θ3 Ph
– ----- 4 k
8
1 1
+ θ2 – 6 k ψ
2
α
– θ
3
3
– ψ
α
Ph
– ----- 4 k
8
1
4 k
2
2
1
= + ( + )θ2+ 2 k θ3 – 6 k ψα = 0
4
j
3
i
j
h

Gleichgewicht am Knoten 3:
ΣM 3
Verschiebungsgleichgewicht:
4 k
2 2
θ3 + 2 k θ2 2
2
3 k
3 3
θ3 – 3 k ψ
3
= ( 4 k+
3 k)θ3+
2 k θ – 2 3 k ψα = 0
Deformationsmethode
Verschiebliche Rahmentragwerke
Für die dritte Unbekannte, die unabhängige Sehnendrehung ψα ist ebenfalls eine
Gleichgewichtsgleichung zu formulieren. Dazu wird ein horizontaler Schnitt durch
die oberen Enden der Rahmenstiele geführt; in der Schnittstelle werden die
Stabendkraftgrößen angebracht. Die Formulierung der Gleichgewichtsbedingung
ΣPy = 0 liefert die Verschiebungsgleichung.
1
4 k θ2 1
pyj
P
1
2 k θ2 –
j
–
1
6 k ψα 1
6 k ψα Ph
– -----
8
1
pyj
Ph
+ -----
8
=
2
P--
1 1
1
--
Ph
6 k θ2 – 12 k ψ ----α
2 h
8
Ph
– � + – ----- �
� 8 �
1 3
3
– --( 3 k θ3 – 3 k ψα) h
2
α
3
3
3
3
3 k θ3 3
pyi
3
3 k ψα 1 h
1 3
3 h
i j
Σ P y
3
pyi
=
1
pyj
Σ P y
1
= p + p = 0
yj
3
pyi
Ph 1
3
----- – 6 k θ2 – 3 k θ3 12 k
2
1
3 k
3
= + ( + )ψα= 0
3
yi
–
i
Baustatik 1
6-67
6-67

6-68 6-68
6-68
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Verschiebliche Rahmentragwerke
Gleichungssystem:
EI 0
4 k
1
4 k
2
+ 2 k
2
2 k
2
– 6 k
1
4 k
2
Die Lösung des Gleichungssystems ergibt die unbekannten Weggrößen, aus denen
durch Rückeinsetzen die Stabendmomente gewonnen werden.
6.5.3 Alternative Gleichgewichtsbestimmung - Prinzip der
virtuellen Weggrößen
Dieses Prinzip stellt nur eine andere Form der Gleichgewichtsbedingungen dar und
ist im Kapitel "Grundlagen" ausführlich erläutert worden. Die nachfolgenden
Betrachtungen sind auf das Einführungsbeispiel bezogen.
Damit das Gleichungssystem für die Unbekannten positiv definit wird, sind die
virtuellen Verformungszustände in gleicher Reihenfolge und Form, aber mit entgegengesetzter
Drehrichtung wie die Einheitsverformungszustände anzusetzten (d.h.
entgegen der positiven Stabsehnendrehung nach Abschnitt 6.5.2).
Gleichgewicht am Knoten 2:
θ 2 θ 3 ψ α
– 6 k
1
3 k
3
+ – 3 k
3
– 3 k
3
12 k
1
3 k
3
Die Stabendmomente werden freigelegt, indem je ein Gelenk unmittelbar vor und
unmittelbar nach dem Knoten eingefügt wird. Dann werden die so freigelegten
Momente angebracht. Dabei wirken positive Momente am Knoten im Uhrzeigersinn.
Der Knoten wird der Übersichtlichkei halber als Dreieck dargestellt, hat in
Wirklichkeit aber keine Abmessungen.
Wird nur dem Knoten 2 des Gelenksystems (Abb. 6.41) eine virtuelle Verdrehung
δθ2 = 1 erteilt, so muß die virtuelle Arbeit aller auf diesen Knoten wirkenden
Momente Null sein. Positive Stabendmomente leisten positive virtuelle Arbeiten,
wenn die virtuelle Knotenverdrehung δθ2
im Uhrzeigersinn erfolgt.
+
� θ �
� 2 �
� �
� θ3 �
� �
�
� ψ
�
α �
� Ph �
� ----- �
� 8 �
� �
= � 0 �
� �
�
�
Ph �
– ----- �
� 2 �

δθ 2
Abb. 6.41 Virtuelle Verdrehung des Knotens 2
Deformationsmethode
Verschiebliche Rahmentragwerke
Die strichlierten Linien für den Stab 1 und 2, die die Lage dieser Stäbe nach der
Knotenverdrehung angeben soll, fallen entgegen der Abbildung mit der ursprünglichen
Lage der Stäbe zusammen, da bei unendlich klein gedachten Knotenabmessungen
bei einer Drehung des Knotens 2 keine Hebung der Punkte i und j eintritt
und i mit i’ bzw. j mit j’ zusammenfällt.
Damit bleiben die Stabenden an den gedachten Gelenken ungedreht, und es leisten
nur die Knotenmomente an der Knotenverdrehung die virtuelle Arbeit
Mit den Stabendmomenten
lautet die Gleichgewichtsbedingung am Knoten 2
bzw.
1
m
j
=
1
1
2
2m
i
δθ 2
1
mj
2
m
Dies ist dasselbe Ergebnis wie zuvor.
2
=
δW θ
=
1
1
P
2 i
δθ =
2
1
2
j 3
j' j i'
i
1
1 i j 4
= m ⋅ + m ⋅ = 0 .
m
1
2
j 1
1
2
i 1
jB + kEI0( 4 θ2 – 6 ψα) i = kEI0( 4 θ2 + 2 θ3) ( Ph 1
1
2
2
– ----- + 4 k θ2 – 6 k ψα ) + ( 4 k θ2 + 2 k θ3) = 0
8
1
2
( 4 k+
4 k)θ2+
2 k θ3 –
2
1
6 k ψα =
Ph -----
8
3
Baustatik 1
6-69
6-69

6-70 6-70
6-70
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Verschiebliche Rahmentragwerke
Gleichgewicht am Knoten 3:
In analoger Weise erhält man die Gleichgewichtsbedingung am Knoten 3. Aus der
Arbeitsgleichung
δW θ
ergibt sich mit den Stabendmomenten
2
m
3
m
schließlich die Gleichgewichtsbedingung zu
2
2 k θ2 Wäre im Knoten 2 ein Kragarm mit einer Last P sowie ein zusätzliches externes
e
Knotenmoment Mn nach Abb. 6.42 vorhanden, so ergäbe sich die Arbeitsgleichung
mit
a ⋅ 1
P
δθ 2
1
m
j
Abb. 6.42 Virtuelle Verdrehung des Knotens 2 mit Kragarm und ext. Moment
Verschiebungsgleichgewicht:
=
δW θ
a
1
e
M
2
2
1
2
= m ⋅ + m ⋅ = 0
2
j 1
Die Formulierung des Verschiebungsgleichgewichtes in Querkräften, welche dannach
durch Stabgleichgewichtsbetrachtungen in Stabendmomente transformiert
werden, kann sehr elegant unter Anwendung des Prinzips der virtuellen Weggrößen
erfolgen.
3
i 1
j = kEI0( 4 θ3 + 2 θ2) 3
i = kEI0( 3 θ3 – 3 ψα) 2
3
+ ( 4 k+
3 k)θ3–
3 k ψα = 0
1
= mj
⋅ 1 + mi
⋅ 1 – P⋅a– M2 ⋅ =
0
2m
i
2
δθ 2
2
=
1
3
e 1
e
M .....Externes Knotenmoment
2

Deformationsmethode
Verschiebliche Rahmentragwerke
Es werden in gerade sovielen Stabenden des belasteten und verformten Systems
Gelenke eingefügt, daß eine zwangsläufige kinematische Kette entsteht. Eine
zwangsläufige kinematische Kette ist ein aus starren Scheiben, reibungsfreien
Lagern und Anschlüssen bestehendes, bewegliches mechanisches System mit
einem Freiheitsgrad (1-fach verschieblich).
Wenn in den Gelenken die noch unbekannten endgültigen Stabendmomente als
äußere Kraftgrößen angebracht werden, bleibt der Spannungs- und Verformungszustand
des wirklichen Systems unverändert. Wird nun der kinematischen Kette
ein virtueller Verformungszustand = 1 erteilt, so ist die virtuelle Arbeit, die
dabei von der Belastung und den endgültigen Stabendmomenten geleistet wird,
gleich Null. Bei Systemen mit m-facher Verschieblichkeit wird dieser Vorgang mmal
durchgeführt, für jede Verschieblichkeit einmal, sodaß m Verschiebungsgleichungen
erhalten werden.
Zurück zum Einführungsbeispiel; in Abb. 6.43 ist der virtuelle Verformungszustand
δψα = 1 der kinematischen Kette dargestellt. Es sind nur die Arbeit leistenden
positiven Stabendmomente eingetragen. Auf die Knoten wirkende externe
Momente leisten in keine Arbeit, da sich die Knoten selbst nicht verdrehen.
Abb. 6.43 Virtuelle Stabsehnendrehung an der kinematischen Kette
Die Arbeitsgleichung lautet somit:
Mit den Stabendmomenten folgt
bzw.
P
1
1
δW ψ
δψ
α
1
m
i
1
m
j
δψ α
2 2
3
v
P, α
⋅
1
=
h--
⋅ 1
2
= 1
δψ
α
1
1
3
4
3
m
i
= P ⋅vP, α ⋅ 1 – ( mi
+ mj)
⋅ δψα– mi⋅δψα
= 0
Ph 1
1
3
3
----- – ( 6 k θ2 – 12 k ψα) – ( 3 k θ3 – 3 k ψα) = 0
2
1
3
– 6 k θ2 – 3 k θ3 12 k
1
3 k
3
+ ( + )ψα 3
=
=
1
Ph
– -----
2
h
Baustatik 1
6-71
6-71

6-72 6-72
6-72
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Verschiebliche Rahmentragwerke
Aus diesen Gleichungen leiten sich folgende Assemblierungsregeln ab:
Assemblierungsregeln - Rechteckiger Rahmen (Stiele gleicher Länge):
n
�
eg ( )
n, m
�
n, α
�
eg ( )
2
2
[ K]
⋅ { u}
= { p}
4�k+ 3�k 2�k e
θ 2 θ 3 ψ α
g
SYMMETRIE
2, 3
4 k+ 3 k
Summe über alle Stäbe,
die am anderen Ende eingespannt (gelenkig) gelagert sind
und an den Knoten n anschließen
Summe über alle Stäbe,
die an Knoten n und an Knoten m anschließen
(in der Regel nur ein Stab)
Summe über alle Stäbe,
die an Knoten n anschließen
und eine Sehnendrehung haben
Summe über alle Stäbe,
die eine Sehnendrehung haben
3
�
e
3
�
g
ψ α
α
� ψα eg ( )
�
M nB
=
e
Mn α
n
� mij ()B
eg ( )
� PαB = �(
miB + mjB) +
e
–
α
�
g
mij ()B
α
– �
2, α
�
2, α
�
– 6 k– 3 k
e
3, α
�
– 6 k– 3 k
e
α
�
g
3, α
�
12 k + 3 k
P ⋅ vP, α
e
g
α
�
e
Mn ..... Externes Knotenmoment
g

Deformationsmethode
Verschiebliche Rahmentragwerke
Achtung !
Die Lösung dieses Gleichungssystems liefert die unbekannten Weggrößen mit
ihren EI 0 -fachen Werten.
Allgemeine Rahmen - Einfach Verschieblich:
Für einen allgemeinen Rahmen sind nicht alle Sehnendrehungen gleich. Mit jeder
unabhängigen Sehnendrehung ψα eines bestimmten Stabes können abhängige
Sehnendrehungen ψ anderer Stäbe (s) verbunden sein.
s α
Die geometrische Abhängigkeit der einzelnen Sehnendrehungen wird am besten
über einen Verschiebungsplan ( ) gefunden. Dabei ergeben sich die Sehnendrehungen
aus der Verschiebung in Richtung senkrecht auf den Stab geteilt durch
die Stablänge.
Weiters können aus dem Verschiebungsplan die Verschiebungswege der äußeren
Kraftgrößen aus einer Einheitssehnendrehung abgelesen werden.
Im Anschluß werden zwei Systeme der Reihe nach etwas näher betrachtet, wobei
ausschließlich auf die Ermittlung des Verschiebungsgleichgewichtes eingegangen
werden soll. Das Aufstellen der Knotengleichungen erfolgt analog zu den vorangegangenen
Darstellungen und bedarf keiner weiteren Erklärung.
In Abb. 6.44 ist der Einheitsverformungszustand = 1 eines Rahmens dargestellt.
Da die Stiele unterschiedlich lang sind, ergeben sich unterschiedlich große,
jedoch von linear abhängige Sehnendrehungen.
ψ α
So verdreht sich z.B. die Sehne des Stabes 3 um den von ψα abhängigen Winkel
3ψα ⋅ ψα . Zur Illustration wurde als Belastung für den Stab 1 eine Kraft bzw. für
den Stab 3 ein externes Moment gewählt.
ψ α
P
ψ α
Sehnendrehung
1
1
Abb. 6.44 Einheitsverformungszustand: ψ =
1 abhängige Sehnendrehung.
α
ψ α
2 2
3
j i
j i
i
3 e
M
4
3
j
3
ψ
α
Abhängige
Sehnendrehung
ψ ⋅
α
Baustatik 1
6-73
6-73

6-74 6-74
6-74
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Verschiebliche Rahmentragwerke
Die Stabendmomente eines beiderseits eingespannten Stabelementes (s), das durch
eine Belastung, eine abhängige Sehnendrehung und Knotenverdrehungen beansprucht
wird, lauten in allgemeiner Schreibweise
s
mi
s
mj
m
s
iB
Wird dem Gelenksystem nach Abb. 6.45 ein virtueller Verformungszustand
δψα = 1 erteilt, so leisten die mit Pfeilen eingetragenen positiven Stabendmo-
3 e
mente sowie die Belastungen ( P, M ) virtuelle Arbeit. Das externe Moment leistet
dabei virtuelle Arbeit auf der Wegkomponente der virtuellen Sehnenverdrehung.
δψ α
Abb. 6.45 Virtueller Verformungszustand:
Die Arbeitsgleichung lautet somit
δW ψ
=
=
m
s
jB
P
1
k
s EI0 4 θi 2 θj 6 ψ
s
+ ( + – )
Die Stabendmomente mit ihren Werten eingetragen liefert
δW ψ
α ψ α
k
s EI0 4 θj 2 θi 6 ψ
s
+ ( + – )
α ψ α
2 2 3
j i
j i
1
1
δψ = 1
α
i
3
3
ψ
α 1 ⋅
1
m
j
v ⋅ 1
P, α
1
m
i
4 j m
3
1 ⋅ L
1
1 ⋅ L
1
3
m
i
3 e
M
j
1
δψ α
– ( mi
+ mj)
⋅ 1 ( mi
+ mj)
ψα1
– ⋅ ⋅ +
=
P vP, α ⋅ 1 M α 1 ⋅ ⋅ – ⋅ + 0 =
1
Nach den Unbekannten geordnet ergibt sich die Verschiebungsgleichung mit
3
3 e ψ
3
1 1
iB
1
jB
12 k
3 ψ
3
α ψ – α m
3
iB
3
+ +
M
3 e ψ
3
⋅ α =
6 k θ2 – 12 k ψα m m
= – ( + + ) ⋅ 1 –
3
6 k θ3 m
( ) ψ
3
– ⋅ +
P ⋅ vP, α
+ –
0 .
3
3
jB
=
1
α

α θ3 3
ψα
Deformationsmethode
Verschiebliche Rahmentragwerke
3 Die abhängige Sehnendrehung ψα
kann in diesem Fall sehr einfach ohne Verschiebungsplan
über die Geometrie ermittelt werden, so ergibt sie sich mit
L 1 ,L 3 ... Stablängen
Das die abhängigen Sehnendrehungen und Verschiebungswege nicht immer so
klar ersichtlich sind soll das nachfolgende Beispiel demonstrieren. In Abb. 6.46
sind die abhängigen Sehnendrehungen eines schiefwinkeligen Rahmens infolge
des Einheitsverformungszustandes = 1 dargestellt.
Abb. 6.46 Einheitsverformungszustand:
Dem Gelenksystem wird wiederum ein virtueller Verformungszustand
erteilt (Abb. 6.47) und sodann die Arbeitsgleichung formuliert.
Abb. 6.47 Virtueller Verformungszustand:
Somit ergibt sich die Arbeitsgleichung
3
1
6 k θ2 6 k ψ
3
– –
+
12 k
1
12 k
3
( ) 2
( +
)ψαm 1
m
1
( + ) m
3
m
3
( + ) ψ
3
+
=
+
⋅ –
ψ α
δψ α
δψ α
1
1
P
=
i
i
P
1
1
m
i
ψ α
1
1
2
3
ψα
i
j
ψ α
–
iB
P vP, α
⋅ + M
1⋅L ------------ 1
=
2
L 3
2
ψ
α ψ ⋅
α
2
jB iB
3 e ψ
3
⋅ α
ψ α
j 3
i
2
m
2
j
ψ
α
2 3
1 ⋅ j
i
i
j
v
P, α
⋅
1
m
j
1
2
m
i
=
3
4
1
jB
α
3
ψ
α ψ ⋅
α
3
j
δψ
α
=
1
4
3
m
i
3
m
j
δψ α
3
ψ
α 1 ⋅
j
=
1
Baustatik 1
6-75
6-75

6-76 6-76
6-76
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Verschiebliche Rahmentragwerke
δW ψ
1
Mit den Stabendmomenten folgt
i
bzw. nach den Unbekannten geordnet
1
j
2
i
2
j
Die geometrische Abhängigkeit der einzelnen Sehnendrehungen und Verschiebungen
von der vorgegebenen Verformungsgröße δψα schiebungsplanes ermittelt (siehe Abb. 6.48).
=
1 wird mittels eines Ver-
2
α
3
i
3
j
3
⋅ α P⋅vP, α
= – ( m + m ) ⋅ 1–
( m + m ) ⋅ ψ – ( m + m ) ψ + = 0
δW ψ
1
1
6 k θ2 – 12 k ψα m m
= – ( + + ) ⋅ 1–
1
2
2
– ( 6 k θ3 + 6 k θ2 – 12 k ) ⋅ ψ –
3
1
3 ψ
3
α ψα iB
1
jB
2 ψ
2
α ψα – ( 6 k θ3 – 12 k ) ψ
2 ψ
2
α
2 2
ψα
– 6( k⋅1 + k )θ2– 3 ψ
3
α
– 6( k + k )θ3+ 2
3
⋅ α P ⋅ vP, α
α
+ = 0 ,
1 2 2
12 k ⋅ 1 k ( ψ ) 2 3 3
k ( ψ ) 2
+ ( + + )ψαm 1
m
1
= ( + ) 1
α
α
iB
jB
⋅ –P⋅ vP, α

L P
0, 1', 4'
2
ψ
α
δψ = 1
α
Deformationsmethode
Verschiebliche Rahmentragwerke
Abb. 6.48 Verschiebungsplan, geometrische Beziehungen
Federn und Fachwerkstäbe:
1
1 ⋅ L
1
P
3
ψ
α L ⋅
3
δ
1 ⋅ Lp 1
β
v
P, α
p
β
p'
2
p'
v
P, α
3'
⋅
α + γ
β – γ
2'
1
2'
β– γ
γ
α+ γ
Um die Wirkung einer Wegfeder zu erklären soll das Beispiel in Abb. 6.49 dienen.
Der Knoten 3 ist durch eine Feder gestützt, deren Länge sich infolge des Einheitsverformungszustandes
ψα = 1 um vw, α ⋅ ψα ändert. Dabei wirkt bei der gegebenen
Federkonstante kw (dies ist die Kraft, die eine Verschiebung um 1 hervorruft)
eine Kraft
2
1 ⋅ L
1
2
ψ
α L ⋅
2
2
ψ
α 1 ⋅
2'3'
3
= – -------
ψ = 3'4' -------
v =
L
2
α L P, α
3
3
3
α
3'
4
δ = 180 – ( α+ β)
3
ψ
α 1 ⋅
L , L , L ..... Stablängen
1 2 3
sinδ
sin(
β – γ)
2'3' = ------------------------ ⋅ L 3'4' = ------------------------ ⋅ L
sin(
α+ γ)
1
sin(
α+ γ)
1
Pw =
kw vw, α
⋅ ⋅
ψ α
sinβ ⋅ L
P
Baustatik 1
6-77
6-77

6-78 6-78
6-78
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Verschiebliche Rahmentragwerke
auf den Knoten, entgegengesetzt der Verschiebungsrichtung vw, α (Abb. 6.49). Es
kann zusätzlich auch eine Federlängenänderung ( ± vw) , oder gleich die daraus
resultierende Federkraft PwB = kw ⋅ vw , als Belastung gegeben sein.
Abb. 6.49 Einheitsverformungszustand
Wird dem Gelenksystem nach Abb. 6.50 ein virtueller Verformungszustand
= 1 aufgezwungen, so leisten die Federkräfte virtuelle Arbeit.
δψ α
Die virtuelle Arbeit infolge der Stabendmomente wird hier nicht mehr angeführt,
sondern lediglich die zusätzlichen Arbeitsanteile der Wegfeder.
bzw.
2
1
ψ α
1
1
2
1
δψ α
=
1
2
2
v
w, α
ψ α
=
3 k w
4
3
ψ α L 3
3
3
4
v
w, α
P w
( P )
wB
⋅
1
⋅ ⋅
= k v
w w, α
ψ α
( P )....
wB
Federkraft
ψ α
Abb. 6.50 Virtueller Verformungszustand: δψα =
δW ψα
δW ψα
= … P + ⋅ = 0
+ w ⋅ vw, α PwB vw, α
… + kw ( vw, α)
2
= ⋅ ⋅ ψα+ PwB ⋅ vw, α =
0
=
1
P w
( P )
wB
1
+v w .

Deformationsmethode
Verschiebliche Rahmentragwerke
Der Vollständigkeit wegen sei hier der Einfluß mehrfach verschieblicher Systeme
auf die Arbeitsanteile vorweggenommen. Folgt die Längenänderung z.B. aus
einem Verformungszustand ψα = 1 und der virtuelle Zustand aus δψβ = 1 , so
gilt sinngemäß
δW ψβ
Bei Dreh- und Wegfedern ist zu beachten das nicht nur durch die Einheitsverformungszustände
Längenänderungen in den Federn entstehen können sondern auch
durch den Belastungszustand (Starreinspannwerte) hervorgerufen werden können,
wie im folgenden Beispiel gezeigt wird.
Beispiel: Brückentragwerk
4
1
1
Sehnendrehfessel
= … + kw
v v ⋅ + … = 0
⋅ ⋅ w, α w, β
Abb. 6.51 System und Belastung
Aufgrund der Annahme großer Fläche hat das System als einzigen Freuheitsgrad
die in der Angabeskizze dargestellte Sehnendrehung.
Aus der Belastung (siehe Abb. 6.52) können die Starreinspannwerte ermittelt werden.
Dazu wird die Sehnendrehfessel gehalten und die Temperaturbelastung aufgebracht.
Aufgrund der Sehnendrehfessel ist der Punkt 1 der Nullpunkt der
Verschiebung
ψ α
2 3
5 6
L 1 = L 2 = L 3
A 1,2,3,4,5 >>
Belastung: gleichmäßige Erwärmung der Stäbe
1bis3um∆T m
f w
Baustatik 1
6-79
6-79

6-80 6-80
6-80
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Verschiebliche Rahmentragwerke
Starreinspannwerte
Starreinspannwerte
1
4
Sehnendrehfessel
1
1
∆ 2∆ 3∆
2 3
5 6
5 ∆
3 k------
L
5
�
�
�
5
m
B
∆/L 5
6 2∆
3 k------
L
6
6
m
B
�
�
�
Abb. 6.52 Starreinspannwerte.
Die Steifigkeiten aus der Einheitssehnenverdrehung sind in Abb. 6.53 dargestellt.
Einheitssehnenverdrehung y a =1
4
3 4 k
1
ψ α = 1
1
5 ψα
3 5 k 5 ψ α
5 6
∆/L 6
2 3
6 ψα
x ψ α
3 6 k 6 ψ α
Abb. 6.53 Einheitssehnendrehung ψ α = 1.
v w,α
F B = k w 3∆
F w = v w,a k w

Virtueller Virtueller Verformungszustand
Verformungszustand
4
1
2 3
1 5 6
ψα
ψα
5 6
Abb. 6.54 Virtueller Verformungszustand: δψα = 1 .
Deformationsmethode
Verschiebliche Rahmentragwerke
Wird dem Gelenksystem nach Abb. 6.54 ein virtueller Verformungszustand
= 1 aufgezwungen, kann die virtuelle Arbeit angeschrieben werden.
δψ α
–
δW ψα
=
3 k
4 ⋅ ⋅ ψα
1 3 k
5 5
⋅ ⋅ ( ψ ) ψα ψ
5
⋅ +
⋅ ⋅ ( )
6
6
Die Federkonstante ist das Moment, das auf die Drehfeder wirken muß um eine
Drehung θ =
1 hervorzurufen.
α
α
v w,α
+ 3⋅ k⋅
( ψα)
⋅ψα⋅( ψα)
+ fw ⋅vw, α ⋅ψα⋅vw, α
3k ∆ 5
� ----- �
� �
ψ
5
( α)
3k 2∆ 5
� ------�
� �
ψ
6
⋅ –
⋅ ( α)
– ( kw3∆ ) ⋅ vw, α
L 5
�
�
�
�
�
5
m
L 6
�
�
�
�
�
B m
6
B
k d
6
�
�
�
�
�
F B
Baustatik 1
6-81
6-81

6-82 6-82
6-82
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Verschiebliche Rahmentragwerke
M d
k d
=
k d θ n
n
θ n
=
1
θ n
=
1
Abb. 6.55 a) Einheitsverformungszustand:
b) Virtueller Verformungszustand:
Bei einer positiven Drehung des Knotens n um θn bewirkt die Drehfeder ein rückhaltendes
Drehmoment Md , das im positiven Sinn auf den Knoten wirkt. Wird nun
dem Knoten n eine virtuelle Verdrehung δθn = 1 erteilt, so ergibt sich die zusätzliche
virtuelle Arbeit mit
Infolge eines Einheitsverformungszustandes ψα = 1 ändert sich die Länge des
Fachwerkstabes um ∆Ls, α ⋅ ψα (Abb. 6.56. a). Die daraus resultierende Stabkraft S
ergibt sich zu:
δθ n
a) b)
δWψ = … + Md
⋅ δθn = 0
= 1
�
�
�
S =
→
EAs --------- ∆Ls, α
Ls ⋅ ⋅
=
1
n
δθ n
M d
=
θ n
1
=
1
δθ n
δWψ = … + kd
⋅ θn = 0 .
ψ α
=
1

∆L
s, α
⋅
ψ α
Abb. 6.56 a) Einheitsverformungszustand:
b) Virtueller Verformungszustand:
Die zusätzliche virtuelle Arbeit des Fachwerkstabes ergibt sich mit
bzw. sinngemäß den Wegfedern ( δ = 1 !)
2
1
1
2
1
ψ α
1
δW ψα
δW ψβ
∆L s α
S
δψ α
∆L
s, α
=
1
⋅
Deformationsmethode
Verschiebliche Rahmentragwerke
Die Längenänderung ,
des FachwerkstabeskannindiesemFallübersehreinfache
geometrische Beziehungen bestimmt werden (Abb. 6.57).
2
�
�
�
S
=
δψ α
2
1
ψ α
δψ α
… EAs + --------- ( ∆Ls, α)
2 = ⋅ ⋅ψα= 0
ψβ
L s
3
3
3
4
ψ α
… EAs = --------- ⋅ ⋅ ψ = 0
+ ∆Ls, α Ls ∆Ls, β ⋅ α
=
1
3
4
=
1
a)
b)
Baustatik 1
6-83
6-83

6-84 6-84
6-84
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Verschiebliche Rahmentragwerke
L 1
∆L
s, α
2
∆L
s, α
1
1
∆ = 1⋅L 1
δψ α
Abb. 6.57 Ermittlung der Längenänderung:
Allgemeine Assemblierung - Einfach Verschieblich:
n
�
4 k+ 3 k +
e
+
k d
n
�
g
1
⋅ -------
EI 0
α
=
= ∆ ⋅ cos α → ∆L
s, α
m
�
n, m
2�k m
�
1
4 k+ 3 k+
e
+
k d
g
⋅ ------- 1
EI0 2
=
n, α
�
L 1
⋅
3
3
4
cos α
s
∆L
s, α
θ ...
n θm ψα SYMMETRIE
...
…
n, α
�
– 6 k ψα
– 3 k ψ
e
m, α
�
s
– 6 k ψα
– 3 k ψ
α
�
e
e
α
α
�
g
m, α
�
12 k ψ
s
( ) 2
3 k ψ
s
( ) 2
+
+
k w v
⋅ 2
w, α
⋅ ------- 1
EI0 +
…
g
α
g
EAs --------- ∆L 2
s, α
Ls s
s
α
α
------- 1
⋅ ⋅
EI 0

�
�
s
mi
s
mj
s
mi
s
ψα
M nB
=
α
�
e
Mn s
abhängige Sehnendrehung eines Stabes,
positiv entgegen dem Uhrzeigersinn
n
– �
s
mij
()B
Allgemeine Rahmen - Mehrfach Verschieblich:
Deformationsmethode
Verschiebliche Rahmentragwerke
PαB m m
= ( + ) ψ + ( m ) ψ – ⋅ , + M
=
=
=
m
s
iB
m
s
jB
m
s
iB
e
α
– �
iB
s
jB
PwB ⋅ vw, α
2 k
s 2 θi θj 3 ψ
s
+ ( + – )
s
α
s
iB
s
α
�
g
α
α
� P vPα α ψ α
2 k
s 2 θj θi 3 ψ
s
+ ( + – )
3 k
s θi ψ
s
+ ( – )
α ψ α
α ψ α
s e ψ
s
⋅ α
Bei mehrfach verschieblichen Systemen sind so viele linear unabhängige virtuelle
Verschiebungszustände anzusetzen, wie Stabilisierungen (Sehnendrehfesseln SD)
für das kinematisch bestimmte Hauptsystem erforderlich sind. Dabei kann ein Stab
Sehnendrehungen aus mehreren kinematischen Ketten erhalten. Die endgültige
Sehnendrehung eines Stabes setzt sich somit aus Anteilen mehrerer Verschiebungszustände
zusammen.
Für das Gelenksystem nach Abb. 6.58 sind zwei Sehnendrehfesseln SDα und SDβ
zur Seitenstabilisierung notwendig. Es werden z.B. die Stäbe 1 und 4 damit festgelegt.
Neben den vier Knotengleichungen für die Knoten 2, 3, 5 und 6 sind zwei
Verschiebungsgleichungen aufzustellen.
α
�
i j
i
eingespannt
gelenkig
–
Baustatik 1
6-85
6-85

6-86 6-86
6-86
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Verschiebliche Rahmentragwerke
SD β
SD α
1
5
1
4
2
2 3
Abb. 6.58 Stabilisiertes Gelenksystem
Wird dem Stab 1 eine Sehnendrehung ψα = 1 erteilt, so bleibt die Richtung des
Stabes 4 beim Einheitsverformungszustand = 1 unverändert.
SD β
1
5
1
4
5
2
2
2
ψ
α
3
ψ ⋅
α
ψ α
=
6
ψ
α ψ ⋅
α
1
6
3
Abb. 6.59 Einheitsverformungszustand: ψα = 1 , Verschiebungsplan
In Abb. 6.59 ist die verschobene Lage des Systems und der zugehörige Verschiebungsplan
dargestellt. Aus dem Verschiebungsplan sind die von ψα = 1 abhängigen
Sehnendrehungen zu entnehmen, wobei deren Größe aus der Geometrie
gewonnen wird. Folgende Sehnendrehungen treten somit auf:
ψ α
4
ψα
=
5
ψ
α ψ ⋅
α
1
= ψ =
+1
0
α
2
ψα
5
ψα
6
4
5
ψ α
3
ψ
α ψ ⋅
α
=
=
2'3'
– -------
L2 5'6'
– -------
L5 6
3
3'
3
ψα
6
ψα
6
4
2', 5'
=
=
6'
+
3'6'
– -------
L6 3'4'
-------
L3 ψ α
0, 1', 4'

Deformationsmethode
Verschiebliche Rahmentragwerke
Für den Einheitsverformungszustand ψβ = 1 treten nach Abb. 6.60 folgende Sehnendrehungen
auf:
SD α
1
4
ψβ
= ψβ = +1 ψ
5
5
4
1
5
ψ
β ψ ⋅
β
ψ β
=
5
1
2 2 3
β
3
6
+ 5'6'
= ------- ψ
6
Abb. 6.60 Einheitsverformungszustand: ψ = 1 , Verschiebungsplan
β
Auf die Darstellung der Einheitsverformungszustände θ2 = 1 , θ3 = 1 , θ5 = 1
und = 1 wurde verzichtet.
θ 6
Betrachtet man das Gesamtsystem mit den aus den einzelnen Verformungs- sowie
Belastungszuständen resultierenden endgültigen Stabendmomenten und erteilt
dem stabilisierten Gelenksystem einen virtuellen Verformungszustand, so muß die
Gesamtarbeit des Systems für diesen virtuellen Verformungszustand wieder Null
sein. Wird dieser Vorgang mit sämtlichen virtuellen Verformungszuständen
δθ2 = 1 , ...,δψα = 1 , ...usw. durchgeführt, so ergibt sich daraus das Gleichungssystem
für die unbekannten Weggrößen.
Wie aus Abb. 6.59 und Abb. 6.60 hervorgeht wird der Stab 5 neben den beiden
Einheitsknotenverdrehungen ( θ5 = 1, θ6 = 1)
auch durch Sehnendrehungen beansprucht,
die sowohl vom Einheitsverformungszustand ψα = 1 als auch vom Einheitsverformungszustand
ψβ = 1 herrühren. Die daraus resultierenden
endgültigen Stabendmomente lauten somit für den Stab 5
5
mi
5
mj
=
=
m
5
iB
m
5
jB
Auf das Aufstellen der einzelnen Arbeitsgleichungen wird nicht näher eingegangen.
Im Anschluß sind die Arbeitsanteile zweier Stabelemente angeführt.
4
L 5
6'
5'
β
=
+ 3'6'
-------
L6 6 ψ β
6
ψ
β ψ ⋅
β
k
5 EI0 4 θ5 2 θ6 6 ψ
5
6 ψ
5
+ ( + – – )
α ψ α
01'2'3'4' , , , ,
β ψ β
k
5 EI0 4 θ6 2 θ5 6 ψ
5
6 ψ
5
+ ( + – – )
α ψ α
β ψ β
Baustatik 1
6-87
6-87

6-88 6-88
6-88
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Verschiebliche Rahmentragwerke
Arbeitsanteil des Stabes 4:
4
k⋅EI0 Arbeitsanteil des Stabes 5:
5
k ⋅ EI0 4 2 – 6 ψ
Symmetrie
Allgemeine Assemblierung - Zweifach Verschieblich:
�
�
M nB
=
α
�
4
4
4 – 6 ψ
β
β
12 ψ
4
( ) 2
4 2 – 6 ψ – 6 ψ
Symmetrie
e
Mn s
n
– �
s
mij
()B
5
5
4 – 6 ψ – 6 ψ
α
α
12 ψ
5
( ) 2 12 ψ
α
β
5
θ 2
� � � �
� � � �
� � � �
⋅ � θ �+
� �
5 � � � �
� � � �
� ψ � � �
β
5
5
β
β
α ψ
5
β
12 ψ
5
( ) 2
β
BELASTUNG
�
θ
� � �
� 5 � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� θ6 � � �
⋅ + � �
� �
� �
� �
� ψ �
� α �
� �
� �
� ψ � β
PαB m m
= ( + ) ψ + ( m ) ψ – ⋅ , + M
–
e α
�
iB
s
jB
PwB ⋅ vw, α
s
α
s
iB
s
α
�
g
α
α
� P vPα α
�
s e ψ
s
⋅ α
BELASTUNG
� �
� �
� �
� �
� �
–

α
n n
n, m
4� k+ 3�k , ... , 2 � k , – 6 k ψ
s
α 3 k ψ
s
n, α
n, α
� – � α , – 6 k ψ
s
α 3 k ψ
s
θn … θm ψαψ n, β
β
n, β
∗
� – �
α, β
�
eg ( )
g
e
g
e
e
g
e
α
m m
4� k+ 3�k , – 6 k ψ
s
α 3 k ψ
s
m, α
m, α
� – � α , – 6 k ψ
s
α 3 k ψ
s
m, β
m, β
∗
� – �
g
e
g
e
g
e
Deformationsmethode
Verschiebliche Rahmentragwerke
Summe über alle eingespannt (gelenkig) gelagerten Stäbe,
die einer Sehnendrehung sowie einer Sehnendrehung
ψ β
…
…
…
unterworfen werden
∗
α ψ
s
β
β + 3 k ψ
s
α, β
α ψ
s
12 k ψ
s
( ) 2
3 k ψ
s
( ) 2 +
∗
� , 12 k ψ
s
α, β
α
α
�
�
α
�
α
ψ α
g
e
g
e
SYMMETRIE
3 k ψ
s
( ) 2 ∗
β
β
�
+
12 k ψ
s
( ) 2
β
β
�
g
e
∗ Die zusätzlichen Arbeitsanteile infolge Fachwerkstäbe, Weg- und Drehfedern
wurden nicht angeführt. (siehe Zusammenfassung !)
Baustatik 1
6-89
6-89

6-90 6-90
6-90
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Verschiebliche Rahmentragwerke
ZUSAMMENFASSUNG DREHWINKELVERFAHREN
Gleichungssystem:
I
Stabkennwert: k = -------
1
Konstante: c = -------
LI 0
Steifigkeitskoeffizienten (Linke Seite):
n
�
I 0 ... Bezugsgröße frei wählbar
K nn … K nm K nα … K nβ
SYMMETRIE
…
Knn = 4 k+ 3 k+ kd⋅c Knm = 2 k
K nα
e
nm ,
�
e
n, α
�
e
n
�
s
g
α
…
…
K mm K mα … K mβ
n, α
�
= – 6 k⋅ψ– 3 k⋅ψ α
s
2
α
Kαα = 12 k ⋅ ψ + 3 k⋅ψ g
α
g
K αα … K αβ
s
s
α
2
α
K ββ
� � � kw v +
e
� θn � MnB � �
� �
� �
� �
…
θ m
� �
� �
� ψ �
α � �
� �
� �
� �
� ψ � β
⋅ 2 ⋅ c w, α
� �
� �
� �
� �
� �
� MmB �
= � �
� P �
αB � �
� �
� �
� �
� P � βB
s
α
s
β
s
α
s
α, β
�
α, β
�
β �
e
g
kw v ⋅ w, α
--------- ⋅ ∆Ls, α ⋅ ∆Ls, β ⋅c
+
�
…
EI 0
EAs --------- ⋅ ∆L 2
s, α ⋅ c
Ls Kαβ 12 k ψ ψ ⋅ ⋅ 3 k ψ ψ
= + ⋅ ⋅ +
⋅ ⋅ c +
+
�
EA s
L s
k d
k w
g ...gelenkig
e ...eingespannt
Fachwerkstab "Seil"
vw, β
A s ,L s

Belastung (Rechte Seite):
M nB
P αB
=
=
e
Mn α
�
e
α
�
n
– �
Endgültige Momente:
s
s
mij
()B
m m ( + ) ⋅ ψ
iB
– + M
P⋅vP, α
Für ein beidseitig eingespanntes Stabelement:
Für ein im Knoten j gelenkig gelagertes Stabelement:
s
ψ
Algorithmus des Drehwinkelverfahrens:
s
Deformationsmethode
Verschiebliche Rahmentragwerke
Summe aller auftretenden Sehnendrehungen eines Stabes,
die aus den Einheitssehnendrehungen ψα,...,ψβ hervorgehen
d.h.
jB
s
α m
s
ij ()B ψ
s
α
+ � ⋅ α –
g
s e ψ
s
α
�
α
⋅ α – � PwB ⋅ vw, α
s
mi
s
mj
s
ψ
m
s
iB
2 k
s
� Ermittlung der Anzahl der unbekannten Knotenverdrehungen und der
Verschieblichkeit des Systems. Sämtliche Knoten- und Sehnenverdrehungen
blockieren → Kinematisch bestimmte Grundsystem.
� Stabsteifigkeiten k bestimmen.
=
=
s
mi
=
s
m
s
jB
s
ψ
=
+
+
2 k
s
m
s
iB
+
s
⋅ ( 2 θi + θj – 3 ψ)
⋅ ( 2 θj + θi – 3 ψ)
3 k
s
⋅ ( – ψ)
+m iB
+m jB
i j
m B ...Starreinspannmomente
� Einheitsverformungen ( θn = 1, …ψ , α = 1 ) anbringen; wenn erforderlich
Verschiebungsplan zeichnen; Assemblierung → Linke Gleichungsseite.
� Starreinspannwerte aus Belastung →
Rechte Gleichungsseite. Sollen
einzelne Lastfälle getrennt betrachtet werden, so sind nur die Werte der
θ i
α ψα ψβ
ψ ⋅ + ⋅ β + …
s
s
s
M e
Baustatik 1
6-91
6-91

6-92 6-92
6-92
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Verschiebliche Rahmentragwerke
rechten Seite neu zu berechnen.
� Lösung des Gleichungssystems → unbekannten Weggrößen
θn, …ψ , α werden EI0 -fach erhalten. Die wahren Werte der Weggrößen
werden für die Momentenberechnung nicht benötigt.
� Ermittlung der endgültigen Momente mit den EI0 -fachen Weggrößen;
Vorzeichen auf Kennfaser beziehen.
DEFO KENNFASER
i j i j
� Querkräfte und Normalkräfte aus Gleichgewichtsbetrachtungen.
� Durchführung von Gleichgewichtskontrollen.

6.6 Symmetrische Tragwerke
Deformationsmethode
Symmetrische Tragwerke
Bei symmetrisch ausgebildeten Tragwerken ( Symmetrie bezüglich Geometrie,
Lagerbedingungen und Trägheitsmomente ) ergeben sich erhebliche Vereinfachungen
in der zahlenmäßigen Durchführung der Berechnung, da unter Ausnutzung
der Symmetrieeigenschaften nur das halbe System in Betracht zu ziehen ist.
In diesem Zusammenhang sei kurz auf die Symmetrieeigenschaften hingewiesen:
Nach der Form des Tragwerkes ist grundsätzlich zu unterscheiden, ob die Symmetrale
Stäbe schneidet oder Knotenpunkte trifft. Beide Fälle werden anschließend
getrennt behandelt, wobei zwischen einer symmetrischen und einer antimetrischen
Belastung unterschieden wird.
6.6.1 Tragwerke mit Stabsymmetralen
Symmetrische Belastung:
System Belastung M Q N
symmetrisch
2 2
2'
1 3
symmetrisch s a s
antimetrisch a s a
s ... symmetrisch a ... antimetrisch
1
1'
q q
Abb. 6.61 Symmetrisch belastetes System - halbes System
Aus der Biegelinie lt. Abb. 6.61 ist zu ersehen, daß sich der Mittelpunkt des Stabes
2 weder verdrehen noch horizontal verschieben wird, lediglich eine vertikale Verschiebung
tritt auf.
Um nun am halben System rechnen zu können müssen die entsprechenden Freiheitsgrade
an der Schnittstelle gesperrt werden die das ursprüngliche Systemverhalten
gewährleisten. Anhand dieser Freiheitsgrade ergibt sich somit das
Ersatzlager an der Schnittstelle. Im rechten Teil der Abbildung ist das für die
q
KD 2
2
1
SD α
Baustatik 1
6-93
6-93

6-94 6-94
6-94
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Symmetrische Tragwerke
Berechnung relevante kinematisch bestimmte Grundsystem dargestellt. Es weist
eine unbekannte Knotenverdrehung sowie eine unbekannte Sehnendrehung auf.
Eine einfachere Berechnungsvariante ergibt sich bei Ausnutzung der Symmetrieeigenschaften
des Stabes 2. Aus (Abb. 6.61) geht hervor, daß die Drehwinkel der
Knoten 2 und 2’ infolge der symmetrischen Belastung gegensinnig gleich groß
sind.
Betrachtet man ein allgemeines Stabelement (Abb. 6.62), das zur Systemmittelachse
symmetrisch liegt, dann läßt sich folgende Steifigkeitsbeziehung herleiten:
s
m
i
s
mi
4EI
-------- θ
2EI
= i + -------- θj mit θj = – θi → m
L L
s
Abb. 6.62 Steifigkeit eines symmetrisch belasteten Stabes.
Unter Berücksichtigung der Steifigkeit des Symmetriestabes ist am
System nach (Abb. 6.61) nur eine unbekannte Knotenverdrehung aber keine unbekannte
Sehnenverdrehung vorhanden, da sich die Sehne des Symmetriestabes nicht
verdreht. Für die Ermittlung der Starreinspannmomente ist der gesamte Symmetriestab
zu betrachten.
Antimetrische Belastung:
L
Abb. 6.63 Antimetrisch belastetes System, Halbes System.
Beim antimetrisch belasteten System wird sich, wie wiederum aus der Biegelinie
hervorgeht, der Mittelpunkt des Stabes 2 horizontal verschieben sowie verdrehen,
aber nicht vertikal verschieben. Das Ersatzlager an der Schnittstelle ist somit ein
gewöhnliches bewegliches Lager.
i
=
2EI
-------- θi L
= 2EI -------i
s
m
L
θ θ = –
j
θ
i
j i
s
=
j
2 2
2'
KD 2
1 3
SD
α
1
q q
1' 1
q
2
2EI
– --------
L

Deformationsmethode
Symmetrische Tragwerke
Aus (Abb. 6.63) ist ersichtlich, daß aufgrund der antimetrischen Belastung die beiden
Knotenverdrehungen θi und θj gleich groß sind und auch den selben Drehsinn,
also gleiches Vorzeichen haben. In Abb. 6.64 sind die
Steifigkeitsbeziehungen eines allgemeinen, antimetrisch belasteten Stabes angeführt.
s
m
i
Abb. 6.64 Steifigkeit eines antimetrisch belasteten Stabes.
Die Verwendung der Steifigkeiten eines antimetrisch belasteten Stabes bringt Vorteile
sofern der Stab keine Belastung aufweist, da die Starreinspannmomente für
eine antimetrische Belastung kaum tabelliert sind.
6.6.2 Tragwerke mit Knotensymmetralen
Symmetrische Belastung:
2
1
θ =
j
θ
s
i
=
6EI --------
m
L i
θ
j
i
s
=
j
3
3
4
L
Abb. 6.65 Symmetrisch belastetes System, Halbes System.
Der Knoten 3 wird infolge der symmetrischen Belastung keine Verdrehung erleiden.
Alle dort biegesteif angeschlossenen Stäbeverhaltensichsoalswärensiean
diesem Knoten voll eingespannt. Der mit der Symmetrale zusammenfallende Stab
wird sich nicht verformen. Somit kann der Knoten 3 durch eine feste Einspannung
ersetzt werden.
q
2'
q
KD 2
1' 1
6EI --------
L
2 3
Baustatik 1
6-95
6-95

6-96 6-96
6-96
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Symmetrische Tragwerke
Antimetrische Belastung:
2
1
+q
3
4
Abb. 6.66 Antimetrisch belastetes System, Halbes System.
Beim antimetrischen Lastfall führt der Knoten 3 eine Drehung aus (Abb. 6.66), die
je zur Hälfte aus +q bzw. -q herrührt. Es kann daher wieder das halbe System mit
der entsprechenden Belastung betrachtet werden, wenn für die Steifigkeit des in
der Symmetralen gelegenen Stabes (3) der halbe Wert in Rechnung gestellt wird.
Die sich daraus ergebenden Stabendmomente des Stabes (3) sind für den endgültigen
Momentenzustand zu verdoppeln, weil auch in der zweiten Tragwerkshälfte
die gleichen Werte auftreten.
Mit der Symmetrale können auch Fachwerkstäbe oder Wegfedern zusammenfallen.
Für das halbe System sind sie im Falle einer symmetrischen Belastung mit
ihren halben Werten ( As/ 2, kw/ 2)
bzw. bei antimetrischen Belastung überhaupt
nicht in Rechnung zu stellen.
k w
k w /2
symm.
antim.
-q
Bei Tragwerken, deren Symmetrale sowohl Knotenpunkte als auch Stabmitten
schneidet, sind die vorhin für beide Tragwerkstypen getrennt gebrachten Darlegungen
sinngemäß zu kombinieren.
2'
q
1' 1
KD KD
2
3
2 3
3 SD I 2
α 3
A s
A s /2
kein Stab
symm. antim.
⁄
4

6.6.3 Beispiele
k w
A s
A s
KD KD
KD
KD
KD
Deformationsmethode
Symmetrische Tragwerke
KD
SD
SYMM. ANTIM.
SD
A s /2
KD
SD
SYMM. ANTIM.
SD
A s
SD
k w /2
KD
SD
SYMM. ANTIM.
I ⁄ 2
Baustatik 1
6-97
6-97

6-98 6-98
6-98
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Symmetrische Tragwerke
A s
A s
A s
A s
KD
SD
KD
A s
SD
KD
SD
SD
A s
SYMM. ANTIM.
KD KD
k w /2
SD
KD
KD
I ⁄ 2
KD
SYMM. ANTIM.
SD
ANTIM.
KD
SD
SD
KD
SYMM.
SD

6.6.4 Belastungsumordnung
Deformationsmethode
Symmetrische Tragwerke
Bei symmetrischen Systemen mit einer beliebigen unsymmetrischen Belastung
kann durch die Belastungsumordnung der Vorteil der Symmetrie auch bei nicht
symmetrischer Belastung ausgenutzt werden.
Ein beliebiger nicht symmetrischer Belastungszustand B wird dabei zerlegt in
einen zur Symmetrieachse des Tragwerkes
� symmetrischen Belastungsanteil B s und
� einen antimetrischen Belastungsanteil B a .
P P/2 P/2 P/2
P/2
B B s B a
Abb. 6.67 Umordnung der Belastung
Für jeden Belastungsanteil können die Stabendkraftgrößen getrennt berechnet werden.
Die Superposition der beiden Zustände ergibt den Endzustand
B = B +
s
B
a
Der Vorteil des B-U-Verfahrens liegt nun darin, daß die Berechnung der Stabendkraftgrößen
beider Belastungsanteile ( [ Bs] ,
[ Ba] ) unter Ausnutzung der Symmetriebedingungen
jeweils nur am halben System durchgeführt werden braucht. Je
höher die statische Unbestimmtheit eines Systems ist, desto günstiger kann sich u.
U. das B-U-Verfahren auswirken.
Im anschließenden Beispiel wird auf die praktische Anwendung der Symmetrieeigenschaften
sowie die der Belastungsumordnung eingegangen.
Baustatik 1
6-99
6-99

6-100
6-100
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Beispiel
6.7 Beispiel
Gegeben:
�
E = 210
Stäbe 1, 3:
Stab 2:
Stäbe 4, 5:
� Belastung:
Gesucht:
4 m
∆u
2 i
j
� LF 1: Gleichlast: q = 20 kN/m
q
t a
6
×10 kN/m 2 , α T
1 3
t i
1i
j4
I 0,004 m 4 = ,A
I 0,002 m 4 = ,A
� LF 2: Temperaturbelastung der Stäbe 1, 2 und 3
ti = +80°C, ta= + 40 °C, h = 0,50 m
Aufstelltemperatur + 10 °C
� LF 3: Horizontalverschiebung des Knotens 1
� Schnittkraftverläufe [M], [Q], [N] für die gegebenen Lastfälle
5
Das oben dargestellte System ist 3-fach kinematisch unbestimmt. Da es sich um
ein symmetrisches System handelt ist es naheliegend die Symmetrieeigenschaften
zu nutzen und somit die Berechnung am halben System durchzuführen. In Abb.
6.68 sind die kinematisch bestimmten Grundsysteme mit ihren Freiheitsgraden
dargestellt.
2
6 m
– 5
= 1,2 ×10 1/°C
I 0, A 0,0002 m 2
= =
t a
t i
4
t i
j 3
i
t a
∆u =
0,05 m

KD 2
2
1
1
2
Deformationsmethode
Beispiel
Abb. 6.68 Symmetrie - Antimetrie: Kinematisch bestimmte Grundsysteme
6.7.1 Linke Gleichungsseite
Stabkennwerte:
Stab i
SD α
5
5
Tab. 6.3
- j L (m) I (m 4 ) I/I 0 k I 0 = 0,002 m 4
1 1 2 4,0 0,004 2 1/2
2 2 5 3,0 0,002 1 1/3
5 2 4 7,211 A s = 0,0002 m 2
4
SD α
KD 2
SYMMETRIE
SDα ... Sehnendrehung α
KDn ... Knotendrehfessel n
ANTIMETRIE
c
EA s
---------
L s
6
210×10
⋅ 0,0002
= ----------------------------------------- = 5824,435 kN/m
7,211
2
1
1
2
k
5
5
-------
I
=
LI 0
-------
1
1
– 6
= = -------------------------------------- = 2,381×10
1⁄ kNm
EI 6
0 210×10
⋅ 0,002
2
4
Baustatik 1
6-101
6-101

6-102
6-102
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Beispiel
Symmetrie:
θ 2
ψ α
=
=
1:
1:
2
1
1
1
2
1
θ 2
=
2
2
1
θ = 1
2
5
ψ α
K22 4 k
2
3 k
1
+ 4 1--
3
3
1
= = ⋅ + ⋅ --
2
= 2,8333
K2α 6 k
2
= – = – 6 ⋅
1--
3
= – 2,0
Kαα 12 k
2
12 1
= = ⋅ --
3
= 4,0
EI 0
� � � �
2,833 – 2,0 � θ2 � � M2B �
⋅ ⋅ � � =
� �
�
– 2,0 4,0
ψ � �
α P �
αB
� � � �
5
5
5
=
1
4
4

Antimetrie:
θ 2
ψ α
=
=
1:
1:
VERSCHIEBUNGSPLAN:
α =
33,69 °
2
2', 5'
1
1
2
1
1
2
θ 2
ψ α
=
=
2
1
1
L 1
θ 2
5
= 1
5
5
α
5
∆L
s, α
01'4' , ,
Deformationsmethode
Beispiel
α
= L ⋅ cos α = 3,328 m
1
4
4
Baustatik 1
6-103
6-103

6-104
6-104
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Beispiel
K 22
K 2α
K αα
Für die einzelnen Lastfälle sind nun die Belastungskoeffizienten (Rechte Seite) zu
ermitteln. Unsymmetrische Belastungen wie z.B. LF 1 müssen mittels Belastungsumordnung
in einen symm. und antim. Anteil zerlegt werden.
6.7.2 Lastfall 1: Einseitige Gleichlast
Belastungsumordnung:
3 k
1
3 k
2
+ 3 1--
3
2
1
= = ⋅ + ⋅ --
3
= 2,5
3 k
1
= – = – 3⋅
1--
2
= – 1,5
1 EA --------- s ∆Ls, α
Ls 3 k ( ) 2 = + ⋅ ⋅ c =
3 1--
5824,435 ( 3,328)
2
2 – 6
= ⋅ + ⋅ ⋅ 2,381×10
= 1,6536
EI 0
� �
2,5 – 1,5 � θ2 �
⋅ ⋅ � � =
– 1,5 1,6236 � ψ �
� α �
q = 10 kN/m q = 10 kN/m
� �
� M2B �
� �
� P �
� αB �
q = 10 kN/m
SYMMETRIE ANTIMETRIE

2
1
1
Symmetrie:
2
m
iB
ψ α
=
P αP
1
2
5
L = 3,0 m
q = 10 kN/m
5
i j
P
v
P, α
3,0
4
q = 10 kN/m
2
m
jB
2
1
2
m
iB
Aus dem Prinzip der virtuellen Arbeit folgt:
1
2
Deformationsmethode
Beispiel
5
5
q = 10 kN/m
+ qL2
--------- + 7,50 kNm m
12
2
= = = –
jB
M 2B
P = q ⋅ L = 30 kN ;
P αP
2
= – m – 7,50kNm
iB
=
L
L
� ( q⋅dx) ( ψα⋅x) ψ
0
α ⋅ q⋅�( x ⋅ dx)
ψ
0
α ( qL)
L
= = = ⋅ ⋅ --
2
PαP ψα P L
= ⋅ ⋅ --
2
⋅
v
P, α
= – P v – 45,0kNm
P, α
=
=
4
1,50 m
Baustatik 1
6-105
6-105

6-106
6-106
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Beispiel
Für ein allgemeines Stabelement gilt: z.B. für den Knoten i
Stab i/k m ⋅ θi θj – ψ m M
s
1 k - - - 3/2 -16,364 - - - 0 -24,55 -24,55
2
Stab i/j m
M
s
⋅ 2 ⋅ θi θj3 ψ
s
– m
s
i +7,5
-32,727 0 58,295 +24,55 -24,55
2/3
k -7,5 0 -16,364 58,295 +20,45 +20,45
Als Kontrolle der Berechnung muß die Summe der Momente am Knoten gleich
Null sein (siehe vorletzte Spalte). In der letzten Spalte sind die kennfaserbezogenen
Vorzeichen der Momente angegeben.
Die Querkräfte ergeben sich aus den Gleichgewichtsbedingungen
M – M
Stab L M -------------------
j i Q0 Q N
L
1 4,0
EI0 θ2 = – 16,3637
EI0 ψα = – 19,4318
( = – 0,0000389)
( ψα= – 0,0000463)
θ 2
s
mi
s
mi
p' yi
=
=
s
s
EI 0
� �
2,833 – 2,0 � θ2 �
⋅ ⋅ � �
� ψ �
– 2,0 4,0 � α �
m
s
iB
m
s
iB
+
+
2 k
s
3 k
s
( i ⁄ j)B3
k
s
( i ⁄ j)B2
k
s
m
⋅ ( 2 θi + θj – 3 ψ)
⋅ ( – ψ)
θ i
m
s
i
s
� �
� – 7,5 �
= � �
� – 45,0 �
� �
i 0
0 -6,14
- 6,14
j -24,55 0 -6,14
s
eingespannt (e)
s
gelenkig (g)
s
m
i ⁄ j
i ⁄ j
m
s
i
j –
j –
= p' ------------------- yi( B)
+ ; p'yj = – p'yj(
B)
+ -------------------
L
L
-30,0

2 3,0
i -24,55 +15,0 +30,0
+15,0
j +20,45 -15,0 0
Deformationsmethode
Beispiel
M – M
Stab L M ------------------- j i Q0 Q N
L
KM: 1 mm = 2 kN
Q
KM: 1 mm = 2 kNm
+30,0
+
-6,14
- 24,55
-
- -
-
N
+
-30,0
+20,45
M
-6,14
-6,14
-
Baustatik 1
6-107
6-107

6-108
6-108
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Beispiel
Antimetrie:
2
m
iB
i j
L = 3,0 m
q = 10 kN/m
2
m
iB
M 2B
P αP
+ qL2
= --------- = + 11,25 kNm
8
2
= – m – 11,25 kNm
iB
=
EI0 θ2 = – 9,874
EI0 ψα = – 8,957
( = – 0,0000235)
( ψα= – 0,0000213)
θ 2
EI 0
s
� � � �
2,5 – 1,5 � θ2 � � – 11,25 �
⋅ ⋅�
� = � �
– 1,5 1,6236 � ψ � � 0 �
� α � � �
( i ⁄ j)B3
k
s
Stab i/k m ⋅ θi θj – ψ m M
s
1 k - - - 3/2 -9,874 - - - -8,957 -1,38 -1,38
2 i +11,25 3/3 -9,874 - - - 0 +1,38 -1,38
p' yi
s
m
m
s
i
=
0
s
s
m
i ⁄ j
m
s
i
j –
j –
= p' ------------------- yi( B)
+ ; p'yj =
– p'yj(
B)
+ -------------------
L
L

Die Normalkraft des Stabes 5 folgt aus
Abb. 6.69 Momentenlinie aus der antimetrischen Belastung
Deformationsmethode
Beispiel
M – M
Stab L M j i
------------------- Q0 Q N
L
1 4,0
2 3,0
2
5
p'x
1
p'x
=
i 0
0 -6,14
- 0,34
j -1,38 0 -6,14
i -1,38
+15,0 +15,46
+0,46
j 0 -15,0 -14,54
EAs --------- ∆Ls, α
Ls ⋅ [ ⋅ ] ⋅ c
EI 0 ψ α
-15,23
= 5824,435 ⋅ [ 3,328 ⋅ ( – 8,957)
] ⋅ 2,381×10
= – 0,41 kN
α
- 0,34
+15,46
KM: 1 cm = 4 kNm
0
- 0,41
�P
y
�P
x
=
=
0:
0:
α = 33,69 °
-1,38
�
-1,38
-
– 6
15,46 – 0,41 ⋅ sinα
p
1 + 'x = 0
0,34– 0,41 cosα
= 0
9,08
+
⋅
0
1
p'x
= – 15,23 kN
9,54
+10,56
M
Baustatik 1
6-109
6-109

6-110
6-110
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Beispiel
KM: 1 mm = 2 kN
N
Abb. 6.70 Normalkraft- und Querkraftverteilung aus der antimetrischen Belastung
Überlagerung LF 1:
-
- 15,23
KM: 1 mm = 2 kNm
KM: 1 mm = 2 kN
- 25,92
-
0
+45,46
-6,48
-
-
+
- 0,41
+
+20,45
Q
+15,46
-
- 14,54
+
- 0,34
-
- 23,17
-
+
+5,79
-
- 14,54
M
Q

KM: 1 mm = 2 kN
6.7.3 Lastfall 2: Temperatur
Deformationsmethode
Beispiel
- 45,23 -
- - 14,77
Da alle Stäbe die gleiche Temperaturverteilung aufweisen ist dieser Lastfall symmetrisch.
Für die Berechnung ist von der Aufstelltemperatur +10 °C auszugehen.
Daraus ergeben sich die maßgebenden Temperaturänderungen in den Stäben.
t a
t i
Nach Abschnitt 1.4.2 (3) ist der Rahmen für Stablängenänderungen infolge
und Krümmumgsänderungen infolge
zu berechnen.
gleichmäßige Temperatur T m:
+ 0,41
- 6,14
-
- 0,41
= 40 °C
to= ta – 10 °C = 40– 10 = 30 °C
�
= 80 °C
tu = ti – 10 °C = 80 – 10 = 70 °C
T m
to + tu = ------------- = 50 °C
2
∆T = tu– to =
40 °C
Zunächst sind die Längenänderungen der Stäbe und die sich daraus ergebenden
Stabdrehwinkel zu bestimmen.
N
Baustatik 1
6-111
6-111

6-112
6-112
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Beispiel
∆L 1
2
α
∆L 2
1
1
2'
∆L
s, Tm
2
1
ψ
( Tm )
0,0018 m
β
0,003
γ
5'
5
5
0,0024 m
0, 1', 4'
Mit der Stabsehnendrehung läßt sich das Starreinspannmoment nach Kapitel 6.5.2
(Abb. 6.37) für den Stab 1 berechnen.
1
mjB
3EI
-------- ψ
L
1
= – ⋅ ( Tm) �
M 2B
θ 2
1
1
m
∆L 1
∆L 2
L ⋅ α ⋅ T
1 T m
=
= 4,0
– 5
1,2 ×10 50 =
4
⋅ ⋅ 0,0024 m
L ⋅ α ⋅ T
2 T m
=
= 3,0
– 5
1,2 ×10 50 =
α = 33,69 ° ,
γ = β – α = 19,44 °
∆L s Tm
,
⋅ ⋅ 0,0018 m
β = 53,13 °
= 0,003 ⋅ cos γ = 0,00283 m
1 0,0018
ψ = ---------------- = 0 ,00045
( T )
m 4,0
jB 3 EI 1
= – ⋅ ⋅ -- ⋅ 0,00045 = – 283,5 kNm
4
= – m = + 283,50 kNm
PαB = 0
EI 0
jB
� � � �
2,833 – 2,0 � θ2 � � + 283,5 �
⋅ ⋅ � � =
� �
�
– 2,0 4,0
ψ � � 0 �
� α � � �
= + 154,636
EI0 ψα = + 77,318
EI0 θ2 ( = 0,000368)
( ψα= 0,000184)

Die Normalkraft des Stabes 5 folgt aus
Deformationsmethode
Beispiel
Stab i/k m ⋅ θi θj – ψ m M
s
1 k -283,5 3/2 154,64 - - - 0 -51,54 -51,54
2
Stab i/j m
M
s
⋅ 2 ⋅θiθj3ψ s
– m
s
i 0
309,28 0 -231,96 +51,54 -51,54
2/3
k 0 0 154,64 -231,96 -51,54 -51,54
M – M
Stab L M j i
------------------- Q0 Q N
L
1 4,0
2 3,0
5
p'x
2
1
p'x
EAs Ls s
s
( i ⁄ j)B3
k
s
( i ⁄ j)B2
k
i 0
0 -12,89
-12,89
j -51,54 0 -12,89
i -51,54
0 0
0
j -51,54 0 0
s
i ⁄ j
i ⁄ j
-9,14
-26,60
= --------- ⋅ ∆L p
s Tm
5 'x = 5824,435 ⋅ 0,00283 = 16,48 kN
α
- 12,89
0
,
2
p'x
+16,48
�P
y
�P
x
1
p'x
=
=
0:
0:
1
p'x
+ 16,48 sinα
= 0
⋅
12,89 16,48 ⋅ cosα
p
2 + + 'x = 0
2
= – 9,14 kN p'x
= – 26,60 kN
Baustatik 1
6-113
6-113

6-114
6-114
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Beispiel
KM: 1 mm = 5 kNm
KM: 1 mm = 2 kNm
Q
-
- 51,54
ungleichmäßige Temperaturänderung ∆T:
0
- 12,89 - -9,14
-
Die Starreinspannmomente für eine ungleichmäßige Temperaturänderung sind in
Abschnitt 6.4.2 Tabelle 1 angeführt.
-
- - 26,60
+
M
+16,48
N

2
m
iB
M 2B
i h
∆T
= 0,50m j
L = 3,0 m
∆T
i h = 0,50 m j
1
m
jB
2
m
iB
L = 4,0 m
2
m
jB
1
m
iB
2
m
iB
6
– 5
= 210 ×10 0,002 1,2 ×10 ------ 40
=
0,5
EI ∆T α
= + ---------------------------- 2 T
,
h
⋅ ⋅ ⋅ 403,20 kNm ;
2
m
jB
=
– 403,20 kNm
1
m
jB
Deformationsmethode
Beispiel
2
m
jB
3EI ∆T α
1 T
– ---------------------------------
2h
6
– 5
= – 1,5 ⋅ 210 ×10 ⋅ 0,004 ⋅ 1,2 ×10 ⋅ ------- 40
= – 1209,60
kNm
0,5
2
m m
= – ( + ) = – ( 403,20 – 1209,60)
= + 806,40 kNm
θ 2
M 2B
EI 0
iB
=
1
jB
+ 806,40 kNm
=
P αB
� � � �
2,5 – 1,5 � θ2 � � + 806,40 �
⋅ ⋅ � � =
� �
– 1,5 1,6236 � ψ � � 0 �
α � � � �
= +439,855
EI0 ψα = +219,928
EI0 θ2 ( = 0,001047)
( ψα= 0,000524)
=
0
2
= – m
iB
Baustatik 1
6-115
6-115

6-116
6-116
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Beispiel
Stab i/k m ⋅ θi θj – ψ m M
s
1 k -1209,9 3/2 439,86 - - - 0 -549,81 -549,81
2
Stab i/j m
M
s
⋅ 2 ⋅ θi θj3 ψ
s
– m
s
i +403,2 879,72 0 -659,79 549,81 -549,81
2/3
k -403,2 0 439,86 -659,79 -549,81 -549,81
M – M
Stab L M j i
------------------- Q0 Q N
L
1 4,0
2 3,0
s
s
( i ⁄ j)B3
k
s
( i ⁄ j)B2
k
KM: 1 mm = 50 kNm
i 0
0 -137,45
-137,45
j -549,81 0 -137,45
i -549,81 0 0
0
j -549,81 0 0
- 549,81
-
-
s
i ⁄ j
i ⁄ j
0
-137,45
M

KM: 1 mm = 20 kNm
Q N
Deformationsmethode
Beispiel
Besonders augenfällig ist der große Unterschied in den Momentenflächen infolge
Beanspruchung des Rahmens durch gleichmäßige und ungleichmäßige Temperaturänderung.
Auf die Darstellung der resultierenden Schnittkraftverläufe dieses
Lastfalles wurde verzichtet, da es sich lediglich um eine Addition handelt.
6.7.4 Lastfall 3: Auflagerverschiebung
Belastungsumordnung:
∆u
------
2
-
0
-137,45
∆u
------
2
∆u
------
SYMMETRIE 2
ANTIMETRIE
Die antimetrischen Belastung bewirkt eine reine Translation des Systems, d. h. die
Stäbe sind Spannungsfrei. Somit braucht nur der symmetrische Anteil betrachtet
werden.
0
-
∆u
------
2
Baustatik 1
6-117
6-117

6-118
6-118
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Beispiel
1'
1
2
1
2
5
5
∆u = 0,025m
∆u = 0,025 m
0,025 m 0,025 m
02'5' , , 4'
α
∆L
s, ∆u
∆L
s, ∆u
Abb. 6.71 Verformung mit Verschiebungsplan bei antimetrische Belastung
1
mjB
1
mjB
4
= 0,025 ⋅ cos α = 0,0208 m
6
3 210 ×10 0,004 1
3EI
-------- ψ
L
= – ⋅ ⋅ ⋅ -- ⋅ ( – 0,00625)
= +3937,50 kNm
4
1
= – ⋅ ( ∆u)
M 2B
1
= – m = – 3937,50 kNm
PαB = 0
jB
EI0 θ2 = – 2147,731
EI0 ψα = – 1073,866
( = – 0,0051136)
( ψα = – 0,0025568)
θ 2
EI 0
� � � �
2,833 – 2,0 � θ2 � � – 3937,5 �
⋅ ⋅ � � =
� �
�
– 2,0 4,0
ψ � � 0 �
� α � � �

Die Normalkraft des Stabes 5 folgt aus
Deformationsmethode
Beispiel
Stab i/k m ⋅ θi θj – ψ m M
s
1 k 3937,5 3/2 -2147,7 - - - 0 715,9 +715,9
2
Stab i/j m
M
s
⋅ 2 ⋅θiθj3ψ s
– m
s
i 0
-4295,4 0 3221,5 -715,9 +715,9
2/3
k 0 0 -2147,7 3221,5 +715,9 +715,9
M – M
Stab L M j i
------------------- Q0 Q N
L
1 4,0
2 3,0
5
p'x
2
1
p'x
s
s
EA
--------- s ⋅ ∆Ls, ∆u
Ls ( i ⁄ j)B3
k
s
( i ⁄ j)B2
k
i 0
0 +179,0
+179,0
j +715,9 0 +179,0
i +715,9 0 0
0
j +715,9 0 0
s
i ⁄ j
i ⁄ j
-67,20
-78,17
= p
5 'x = 5824,435 ⋅ 0,0208 = 121,15 kN
α
+178,98
0
2
p'x
+121,15
�P
y
�P
x
=
=
1
p'x
0:
0:
p
1 'x + 121,15 sinα
= 0
= – 67,20 kN
p
2 'x
⋅
2
– 178,98 + 121,15 ⋅ cosα
+ p'x
= 0
=
+78,17 kN
Baustatik 1
6-119
6-119

6-120
6-120
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Die Berechnung von Einflußlinien
M
6.8 Die Berechnung von Einflußlinien
Die Einflußlinie einer Weggröße / Kraftgröße ist gleich der Biegelinie, die entsteht,
wenn man dem System diejenige Kraftgröße / Weggröße vom Wert
„Eins“ virtuell einprägt, die als komplementäre Größe mit der gesuchten Einflußgröße
Arbeit leistet (siehe Kapitel 2.6 - 2.7).
6.8.1 Einflußlinien für Weggrößen
Beispiel 6.6:
KM: 1 mm = 50 kNm
+ 715,91
+
KM: 1 mm = 10 kN
+
-
- 67,20
Gesucht ist die Einflußlinie der vertikalen Verschiebung im Punkt s.
Q
KM: 1 mm = 10 kN
+178,98
+
+ +78,17
+
+121,15
0
N

Abb. 6.72 System mit Einheitsbelastung
Deformationsmethode
Die Berechnung von Einflußlinien
An der Stelle an der die Weggrößeneinflußlinie bestimmt werden soll ist die Einheitsbelastung
= 1 aufbringen.
Es gilt der : = (siehe Grundlagen).
Daraus folgt bekanntlich, daß die Einflußlinie für die vertikale Verschiebung im
Punkt s gleich der Biegelinie für den Lastfall Ps = 1 ist. Mit Hilfe der Deformationsmethode
werden für diesen Lastfall die Stabendmomente ermittelt.
Abb. 6.73 Stabendmomente des Systems- mittels Defo
Aus diesen Stabendmomenten läßt sich nun die Biegelinie mit Hilfe des Prinzips
der virtuellen Arbeit bestimmen.
Abb. 6.74 Einflußlinie der Durchbiegung im Punkt s
6.8.2 Einflußlinien für Kraftgrößen
Beispiel 6.7:
1 2 3 4
Ps
Gesucht sei die Momenteneinflußlinie im Punkt s.
-
s
″δnm″ δmn
s
s
s
1 2 3 4
P s
5 6
Abb. 6.75 Statisches System
=
1
-
M
″δ s ″
Baustatik 1
6-121
6-121

6-122
6-122
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Die Berechnung von Einflußlinien
Man erhält die Einflußlinie für eine Kraftgröße (Auflager, Schnittgröße)
indem man die virtuelle Einheitsweggröße, die mit der gesuchten Kraft negative
Arbeit leistet, als vorgegebenen Verformungsfall dem kinematisch
bestimmten Hauptsystem einprägt (Müller Breslau).
1 2 s 3 4
5 6
Abb. 6.76 Biegelinie am kinematisch bestimmten Grundsystem
Die Starreinspannmomente für einige aufgezwungene Verformungen sind in
Tabelle 3 angegeben. Man berechnet dann mit Hilfe der Deformationsmethode die
Verformungen ( θ2 , θ3 , ψα ) am wirklichen System.
1 2 3 4
θ 2
=
1
s
5 6
Abb. 6.77 Biegelinie infolge der Knotenverdrehung:
s
1 2 3 4
Abb. 6.78 Biegelinie infolge der Knotenverdrehung:
1
Die gesuchte Einflußlinie ″Ms″
ist dann gleich der Biegelinie des Systems, die aus
Superposition (der Einheitsbiegelinien) bestimmt werden kann.
θ 3
5 6
=
1
θ 2
θ 3
w 0
=
=
w 2
1
w 3
1

w 0
η ≡ w = w0 + wiθ i + wjθ j + …
Biegelinie am kinematisch bestimmten Grundsystem.
w , w
i j
Biegelinie infolge Knoten- oder Stabdrehwinkel.
w , w
0 ij ()
können für den Einzelstab angegeben werden.
Die Momenteneinflußlinie ″Ms″ ergibt sich somit aus
″Ms″ ≡ w = w0 + w2θ 2 + w3θ 3
s
1 2 3 4
5 6
Abb. 6.79 Momenteneinflußlinie für den Punkt s
Deformationsmethode
Die Berechnung von Einflußlinien
″M s ″
Baustatik 1
6-123
6-123

6-124
6-124
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Die Berechnung von Einflußlinien
0
m iB
m iB
EI = const
i j
+ 23β 1 – ( )EI
-----------------------------
L
+ 3β EI
--------------
L
L
AUFGEZWUNGENE
VERFORMUNG
+ 4EI
---------- 1
L
m jB
αL βL
1
αL βL
1
αL βL
1
m jB
23α ( – 1)EI
– -----------------------------
L
0
3α EI
– --------------
L
2
----------
EI
L

0
m iB
m iB
+ 3EI
----------
L
EI = const
i j
L
AUFGEZWUNGENE
VERFORMUNG
1
m jB
Deformationsmethode
Die Berechnung von Einflußlinien
m jB
+ 2EI
---------- 1 +
L
4EI
----------
L
6EI
L2 – ----------
1
1 + 3EI
----------
L
0
6EI
L2 –
----------
Baustatik 1
6-125
6-125

6-126
6-126
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Die Berechnung von Einflußlinien
0
m iB
m iB
3EI
----------
EI = const
i j
L
AUFGEZWUNGENE
VERFORMUNG
– 1
L 2
m jB
6.8.3 Hermite’sche Ansatzfunktionen
Die Biegelinie unbelasteter Stäbe kann mit Hilfe von Ansatzfunktionen aus den
bekannten Knotenverformungen ermittelt werden.
m jB
1 3EI
0
–
----------
L 2

Allgemeine Formel:
Biegelinie aus einer Knotenverdrehung:
Deformationsmethode
Die Berechnung von Einflußlinien
Mit den am Stabelement auftretenden Stabendverformungen läßt sich aus der allgemeinen
Formel der Verlauf der Biegelinie über die Stablänge anschreiben.
bzw.
H i
H j
H i
H j
=
=
=
1
-- ( 1 – ξ)
4
2 ( 2 + ξ)
1
-- ( 1 + ξ)
4
2 ( 2 – ξ)
1
-- ( 1 – ξ)
4
2 ( 1 + ξ)
j
�
{ u}
= Hn{ u}
n +
n = i
1
-- ( 1 + ξ)
4
2 = – ( 1 – ξ)
i
θ i
x
L
H
d
------------
{ u}
dξ
Damit kann der Verlauf der Biegelinie infolge einer Knotenverdrehung punktweise
berechnet werden.
j
�
n = i
ξ = – 1
0
ξ = +1
w
=
w
=
1--
( 1 – ξ)
4
2 ( 1 + ξ)
dw
------ ,
dξ
1--
( 1 – ξ)
4
2 ( 1 + ξ)
L--
2
dw -----dx
1
j
mit
1
ξ
dw ------ = θi dx
1
2x
= -----
L
1
Baustatik 1
6-127
6-127

6-128
6-128
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Die Berechnung von Einflußlinien
ξ
ξ
=
– 1:
= – 0,75 :
ξ = – 0,5 :
ξ
= – 0,25 :
ξ = 0:
ξ = 0,25 :
ξ = 0,5 :
ξ = 0,75 :
ξ = 1:
w = 0
ξ = – 1 - 0,75 - 0,5 - 0,25 0 0,25 0,5 0,75 ξ = +1
Biegelinie aus einer Sehnenverdrehung:
Aus der allgemeinen Formel folgt für diesen Fall
x
w
w
w
w
w
w
w
1--
( 1 + 0,75)
4
2( 0,25)
L--
0,766
2
L
= = --
8
1--
( 1 + 0,5)
4
2( 0,5)
L--
1,125
2
L
= = --
8
1--
( 1 + 0,25)
4
2( 0,75)
L--
1,171
2
L
= = --
8
1--
4
L--
1,0
2
L
= = --
8
1--
( 1 – 0,25)
4
2( 1,25)
L--
0,703
2
L
= = --
8
1--
( 1 – 0,5)
4
2( 1,5)
L--
0,375
2
L
= = --
8
1--
( 1 – 0,75)
4
2( 1,75)
L--
0,109
2
L
= = --
8
w = 0
L
i
0
ξ = – 1
ξ = +1
H j
=
L
1--
( 1 + ξ)
4
2 ( 2 – ξ)∆
j
∆

Deformationsmethode
Die Berechnung von Einflußlinien
Für das vorangegangene Beispiel kann somit die Biegelinie durch superponieren
der einzelnen Einheitsbiegelinien errechnet werden.
2 3
φ
s
= 1
6.8.4 Starreinspannwerte mit Einflußlinien
Mit Hilfe der Einflußlinien lassen sich die Starreinspannwerte für beliebige Belastungen
errechnen.
1
m iB
p' yi
s
Die Auswertung der Einflußlinien mit den gegebenen Belastungen ergeben die
gesuchten Starreinspannwerte; z.B. das Starreinspannmoment .
θ 2
θ 2
i j
1
P q
L
1
1
p' yj
m jB
θ 3
φ s
m jB
″m i ″
″p' yi ″
″p' yj ″
″m j ″
=
θ 3
1
Baustatik 1
6-129
6-129

6-130
6-130
Baustatik 1
6 Deformationsmethode
Die Berechnung von Einflußlinien
P q
i j
″m j ″

7
Matrix Stiffness Method
Flußdiagramm
Steifigkeitsmatrix und Assemblierung
Belastung
Lösung des Gleichungssystems
Im vorigen Kapitel ist das Weggrößenverfahren in einer vornehmlich auf manuelle
Handhabbarkeit abzielende Weise vorgestellt worden. Nun soll das allgemeine
Weggrößenverfahren in Matrizenform unter computerorientierten Aspekten
betrachtet werden.
Im anschließenden Flußdiagramm (flow chart) wird das Ablaufschema eines derartigen
Programmes verdeutlicht. Danach werden die einzelnen Programmphasen
etwas näher betrachtet.
Koordinatensystem festlegen
Idealisierte Struktur aufzeichnen
Knoten und Stäbe numerieren
Eingabe: Knotenkoordinaten, Connectivity,
Material- und Querschnittswerte (E, I, A,..)
Lokale Steifigkeitsmatrix für die Stabelemente berechnen
s
[ K′ ]
Steifigkeitsmatrizen
ins globale Koordinatensystem transformieren
s
[ K]
Baustatik 1
7-1
7-1

7
7-2 7-2 7-2 Baustatik 1
Matrix Stiffness Method
Assemblierung der globalen System-Steifigkeitsmatrix
[ K]
Rand- (Auflager) bedingungen aufbringen
Belastung aufbringen
Gleichungssystem lösen
Stabendkraftgrößen bestimmen
Schnittkraftverlauf
Bemessung
{ p}
→ { u}
n

7.1 Eingabe
Beispiel 7.1:
y
x
3
i
j
2
i
2j
i
1
1i
3
4
j
4
i
5
j i5
7 j
j i
i7
6 8
j6
8 m 8 m
Matrix Stiffness Method
Eingabe
j8
8 m
8 m
Baustatik 1
7-3
7-3

7-4 7-4
7-4
7
Baustatik 1
Matrix Stiffness Method
Lokale Element- Steifigkeitsmatrix
7.1.1 Knotenkoordinaten, Freiheitsgrade
Knoten x y u x u y θ
1 0 0 0 0 0
2 0 8,0 1 1 1 0 ... gesperrt
3 0 16,0 1 1 1 1 ... frei
... ... ... ... ... ...
Tab. 7.1
7.1.2 Connectivity, Material, Querschnitte
Stab i - j E I A
1 1 2 ... ... ...
2 2 3 ... ... ...
3 3 4 ... ... ...
... ... ... ... ... ...
Tab. 7.2
i - j → legt die
Kennfaser fest.
7.2 Lokale Element- Steifigkeitsmatrix
Für jedes Stabelement wird im lokalen Stabkoordinatensystem die lokale Steifigkeitsmatrix
gebildet (siehe Abschnitt 6.2.2), z.B. für das Stabelement 1
1
[ K']
=
E
1
1
[ K']
[ K']
ii
ji
1
K' [ ]
1
K' [ ]
ij
jj

mit der Untermatrix
EinebenesStabelementweist6Freiheitsgradeauf→6x6Matrix. 7.3 Globale Steifigkeitsmatrix
Matrix Stiffness Method
Globale Steifigkeitsmatrix
Mit Hilfe der Transformationsmatrix [ T]
werden die lokalen Steifigkeitsmatrizen
der einzelnen Stäbe in das globale Koordinatensystem transformiert (siehe
Abschnitt 6.2.4).
1
[ T]
mit
[ K']
... Transformationsmatrix des Stabelementes 1
7.4 Assemblierung
1
T
ii
1
[ K]
=
=
=
1
[ T]
A
--- 0 0
L
0
0
1 T
[ T]
=
12I
-------
Unter Assemblierung versteht man das Einordnen der Stabsteifigkeitsmatrizen in
die globale Systemsteifigkeitsmatrix.
1
L 3
6I
-----
L 2
⋅ [ K']
⋅
[ T]
0
0 [ T]
6I
-----
L 2
4I
----
L
1
[ T]
cosα sinα 0
– sinα
cosα 0
0 0 1
Baustatik 1
7-5
7-5

7-6 7-6
7-6
7
Baustatik 1
Matrix Stiffness Method
Assemblierung
1
2
3
4
5
6
7
8
i
j
z.B. Stab 7:
Bandbreite
1 2 3 4 5 6 7 8
ux1 uy1 θ1 ux2 uy2 θ2 1
1
[ K]
[ K]
0
ii
ji
1
1
[ K]
ij
[ K]
jj
4
+ [ K]
ii
2
+ [ K]
2
[ K]
0 0
0
4
ji
[ K]
ji
ii
2
2
[ K]
[ K]
3
3
jj
[ K]
ij
+ [ K]
ji
ii
3
3
[ K]
[ K]
5
Abb. 7.1 Systemsteifigkeitsmatrix [ K]
.
Diese Gesamt-Steifigkeitsmatrix ist, wie das Bild belegt, eine dünn besiedelte,
symmetrische Matrix mit Diagonalcharakter.
jj
ij
+ [ K]
5
[ K]
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0
0
ji
ii
5
4
5
[ K]
[ K]
6
7
[ K]
[ K]
ij
ij
ji
ji
6
6
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
[ K]
[ K]
0 0 0 0 0 0
5 7
7
i j
i j
[ K]
jj
4
+ [ K]
jj
6
+ [ K]
ii
7
+ [ K]
ii
7
0
ij
jj
[ K]
ii
7
�
7
[ K]
[ K]
8
jj
ij
+ [ K]
8
[ K]
ji
ii
8
8
0
0 0
Spalte 5/5
[ K]
[ K]
ij
jj

7.5 Auflager- (Rand) bedingungen
Starre Auflager:
Elastische Auflager:
k
yA ,
Matrix Stiffness Method
Auflager- (Rand) bedingungen
Die Assemblierung der Federn erfolgt analog zu den Stabsteifigkeiten, allerdings
treten diese nur in den Diagonalgliedern auf.
7.5.1 Numerische Behandlung - Starre Auflager
1. Möglichkeit:
Die zu den gesperrten Freiheitsgraden gehörenden Spalten und Zeilen werden
weggelassen. Auf das Beispiel bezogen bedeutet dies, daß die Spalten und Zeilen
1, 6 und 8 aus Abb. 7.1 gestrichen werden, was den Vorteil eines kleineren Gleichungssystems
bringt. Allerdings können die Auflagerkräfte nicht direkt ermittelt
werden.
2. Möglichkeit:
⋅
u y
u x
=
=
0
0
u = u = 0
x y
k
yA ,
p =
yA
k
yA ,
u
yA
p =
yA
p =
xA
k
x, A
k
yA ,
k
xA ,
Die Größe des Gleichungssystems wird beibehalten (kein Streichen von Zeilen und
Spalten). Die Auflagerbedingungen werden durch Wahl der Steifigkeitswerte
erfaßt. Die Zahl der Unbekannten ist damit zwar größer, der Rechenprozeß jedoch
⋅
⋅
u yA
u xA
u x
u x
= θ = 0
= u = θ = 0
y
k
dA ,
m A
k
y, A
p xA
p yA
=
=
=
k
xA ,
k
yA ,
k
dA ,
k
x, A
⋅
⋅
⋅
u xA
u yA
θ A
Baustatik 1
7-7
7-7

7-8 7-8
7-8
7
Baustatik 1
Matrix Stiffness Method
Auflager- (Rand) bedingungen
einfacher. Eine starre Auflagerbedingung kann z.B. durch den Ersatz mit einer sehr
steifen Feder simuliert werden. Die Federsteifigkeit k 10 wird in das zum
Freiheitsgrad gehörende Diagonalglied assembliert (Abb. 7.2), und die zugehörigen
Werte des Belastungsvektors werden gleich Null gesetzt. Die Auflagerkräfte
können damit direkt ermittelt werden.
20 ( ≈ )
5
6
7
Abb. 7.2 Ausschnitt aus der Gesamt- Steifigkeitsmatrix.
7.5.2 Schiefe Auflager
Starre Auflager:
5 6 7
u x6
u y6
uy' = 0
θ 6
y
j
1
1 i
α x
A
x'
k∞ + ! 1020 =
Zunächst wird ein lokales Koordinatensystem ( x', y')
eingeführt. Anstatt der Freiheitsgrade
ux1, uy1 treten nun ux'1 , uy'1 . Die Steifigkeiten aller am Knoten 1
anschließenden Stäbe werden nun transformiert, sodaß die Beziehung lokal- global
ist.
1
[ K']
1
[ K']
ii
ij
=
=
[ T]
T
[ T]
T
y'
1
[ K]
1
[ K]
2
3
[ ]
ii T
[ ]
ij T
j
j
6

Stabende i lokal ( , , , )
j → global( uxj , uyj, pxj, pyj )
Die Transformationsmatrix für das Auflager lautet
Matrix Stiffness Method
Auflager- (Rand) bedingungen
Da für den Knoten 1 ein lokales Koordinatensystem gilt, erhält man natürlich auch
das Ergebnis in lokaler Richtung.
Federn:
Die lokalen Federsteifigkeiten
→ ux'i uy'i px'i py'i
[ T]
kx', A
sind in die globalen Richtungen rückzutransformieren
Danach kann die Assemblierung wie gehabt durchgeführt werden.
=
[ K']
A
y
α A
cos – sinα
A
sinα A cosαA
ky', A
=
α
y'
kx', A
x
x'
0
0 ky', A
[ K]
A [ T]
T
=
⋅ [ K']
A ⋅ [ T]
Baustatik 1
7-9
7-9

7-10 7-10
7-10
7
Baustatik 1
Matrix Stiffness Method
Auflager- (Rand) bedingungen
7.5.3 Gelenke
1
2
( θ )
n li
n
pyn
p xn
1
Links
2
p xn
p yn
n
n
( θ )
n re
Es treten zwei Verdrehungsfreiheitsgrade ( θn)
li und ( θn)
re am Knoten n auf. Bei
der Assemblierung werden die Steifigkeiten, die zu ux, uy gehören für alle Stäbe
addiert. Die Steifigkeiten, die zu ( θn)
li gehören, werden für alle linken Stäbe und
die zu ( θn)
re gehörenden für alle rechten Stäbe addiert (d.h Matrix erweitern).
Steifigkeitskoeffizienten
der Verschiebungen
(Stäbe 1, 2, 3, 4)
Steifigkeitskoeffizienten
der Verdrehung ( θn) (Stäbe 1, 2)
li
n
u xn
u yn
n
θ
n, li
Abb. 7.3 Ausschnitt aus der Gesamt- Steifigkeitsmatrix.
0
3
3
Rechts
4
4
θ
nre ,
0
( u )
xn li
( u )
yn li
=
=
( u )
xn re
( u )
yn re
( θ ) , ( θ )
n li n re
Steifigkeitskoeffizienten
der Verdrehung ( θn) (Stäbe 3, 4)
re

7.6 Belastung
7.6.1 Knotenkräfte
� → gehen in die rechte Seite ein.
7.6.2 Belastung zwischen den Knoten
� → auf Knotenbelastung umrechnen - Starreinspannwerte.
m iB
( p' )
yi B
i j
Matrix Stiffness Method
Belastung
Längskräfte ( p'xi) B treten nur auf, wenn entlang dem Stab Längsbelastungen eingeleitet
werden.
Belastung
Temperatur
Zwangseinbau
Starreinspannwerte für Standard- Lastfälle
programmieren (Tabelle).
Für jeden belasteten Stab werden die Starreinspannwerte im lokalen Koordinatensystem
berechnet.
s
{ p'B} � s �
� { p'iB} �
= � � mit
� s �
� { p'jB} �
Diese werden in das globale System transformiert
s
{ pB} s
{ p'iB} und in den Systembelastungsvektor { p}
eingeordnet.
=
s T
[ T]
⋅
s
{ p'B} m jB
( p' )
yj B
� p' �
� xi �
� �
= � p'yi �
� �
�
� m
�
i �
B
Baustatik 1
7-11
7-11

7-12 7-12
7-12
7
Baustatik 1
Matrix Stiffness Method
Auflösung des Gleichungssystems
7.7 Auflösung des Gleichungssystems
7.7.1 Gauß- Reduktion (Gauß‘scher Algorithmus)
⁄
→
kin knn
n)
i)
i ) – n )
-fache Gleichung n) von Gleichung i) abziehen
reduzierte (dreieckszerlegte) Steifigkeitsmatrix.
Rekursionsformeln:
� Dreieckszerlegung: (triangular decomposition)
→ Reduzierte Steifigkeitsmatrix
k ∗
ij = kij � Vorwärtseinsetzen: (forward substitution)
Nach der Dreieckszerlegung der Steifigkeitsmatrix kann die für
die einzelnen Lastfälle getrennt behandelt werden.
� Rückeinsetzen: (back substitution)
[ K]
⋅ { X}
= { p}
… + knnXn + … + knjXj + … = pn⋅kin ⁄ knn … + kin Xn + … + kij Xj + … = pi … + knnXn + … + knjXj + … = pn � kin � kin 0 + … + �k------k ij–
nj �Xj+
… = pi– ------ pn � knn �
knn kin ⋅ knj – -----------------
k nn
p ∗
i = pi 0
kin pn –
-------------
k nn

Matrix Stiffness Method
Auflösung des Gleichungssystems
Ist eine Weggröße bereits vorgegeben z.B. Auflagersenkung X 0 so folgt
7.7.2 Spezielle Methoden zur Lösung von schwach
besetzten Matrizen
Bei den zur Gewinnung des Lösungsvektors auszuführenden Maschinenoperationen
steigen Speicherplatz- und Rechenzeitbedarf mit der Belegung außerhalb der
Hauptdiagonalen, der , rapide an. Die Bandbreite ist als maximale Knotennummerdifferenz
eines Stabes mal der Anzahl der Freiheitsgrade (2-D = 3, 3-D
= 6) definiert.
Um nun den Speicherplatz und die Rechenzeit zu minimieren wurden spezielle
Methoden entwickelt, die hauptsächlich auf einer Reduzierung des Gleichungssystems
aufbauen. Diese Methoden näher zu erläutern würde den Rahmen dieses
Skriptums sprengen, es sei aber auf die beiden gängigsten Methoden hinge-wiesen.
� Skyline Solution
X n
------
1 � N
�
= – � � kni Xi – pn �
� �
k nn
i = n + 1
… + knnXn + … + knjXj + … = pn … + kin Xn + … + kij Xj + … = pi … + knjXj + … = pn– knnu0 … + kij Xj + … = pi– kinu0 Symm.
Abb. 7.4 Skyline der Systemsteifigkeitsmatrix (Beispiel Abschnitt 7.1).
Aus Abb. 7.4 ist zu erkennen, daß die Skyline von der Knotennummerierung
abhängt. Die Speicherung der Skyline von [ K]
erfolgt als Vektor.
X n
{ ....}
0
=
X 0 ......bekannt
Baustatik 1
7-13
7-13

7-14 7-14
7-14
7
Baustatik 1
Matrix Stiffness Method
Auflösung des Gleichungssystems
� Frontal Solution
Dieses Verfahren ist nicht von der Knotennummerierung, sondern von der
Elementnummerierung abhängig (Front muß sich ideal ausbreiten).
7.7.3 Iterative Lösung von Gleichungssystemen (Gauß-
Seidel Iteration)
k-ter Iterationsschritt:
Man beginnt mit Xi = 0 oder mit einem bekannten Schätzwert. Xisind die
zuletzt errechneten Werte. Es wird so lange angenähert bis der Unterschied zwischen
zwei Iterationen klein genug ist.
7.7.4 Lösung
0
k 1
Xn =
knn � N
k – 1�
------ �pn– � kniXi �
� �
(Konvergenz gegen Null)
Durch Lösen des Gleichungssystems [ K]
⋅ { u}
= { p}
erhält man die Verformungen
{ u}
der Systemknoten in Bezug auf das globale Koordinatensystem. Die endgültige
Verformung eines Stabelementes wird aus den Stabendverformungen { u}
n
(mit Hilfe der Hermite‘schen Funktion) und den Verformungen des kinematisch
bestimmten Stabes (wenn belastet) ermittelt.
u' yi
i = 1
i ≠ n
k k – 1
Xn Xi
– � 0
i j
i j
u' xi
θ i
ENDGÜLTIGE
VERFORMUNGEN
u' xj
u' yj
θ j
k – 1
Kinematisch
bestimmt
(aus Tabellen)
Mit Hermite‘schen
Funktionen

7.8 Stabendkraftgrößen
{ p'}
s
{ u}
i
7.9 Schnittkraftverlauf
m iB
m i
s
i
=
s
i
6
s
{ u}
→ { u}
i 6
[ K']
�
�
[ T]
{ u}
ii
�
�
�
s
�
�
�
{ u'}
i
�
�
aus Verformungen
Stabende i
q
s
6
s
s
j
7
s
{ u}
→ { u}
j 7
+ [ K']
{ u'}
+
�
�
[ T]
{ u}
ij
�
�
�
s
�
�
�
j
�
�
aus Verformungen
Stabende j
i j
i j
ENDGÜLTIGER
s
7
m jB
m j
SCHNITTKRAFTVERLAUF
Matrix Stiffness Method
Stabendkraftgrößen
s
{ u}
j
s
{ }
p' iB
�
�
�
Starreinspannung
Kinematisch
bestimmt
Aus Tabellen oder
mit Hermite‘schen
Funktionen
Aus Stabendverformungen
Baustatik 1
7-15
7-15

7
7-16 7-16
7-16 Baustatik 1
Matrix Stiffness Method
Schnittkraftverlauf

8
Räumliche Systeme
8.1 Allgemeines
Kräfte und Steifigkeiten im Raum
Transformation
Trägerrost
Torsion
Die Berechnungsgrundlagen räumlicher Systeme entsprechen jenen der ebenen,
das heißt auch bei räumlichen Systemen werden nur relativ kleine Formänderungen
zugelassen; die Lasten werden am unverformten System angesetzt, und es gilt
das Superpositionsgestz.
Für die Berechnung räumlicher Stabwerke kann sowohl das Kraftgrößenverfahren
als auch das Weggrößenverfahren angewendet werden.
Ein Unterschied zu ebenen Systemen liegt darin, daß der für die Berechnung zu
leistende Arbeitsaufwand sehr viel größer wird. Zu dem kommt noch die oft mangelnde
Übersichtlichkeit und in vielen Fällen die größere Schwierigkeit der
Berechnung hinzu.
Dies sind sicherlich auch Gründe dafür, weshalb in der Praxis sowohl für Hand-als
auch für EDV-Berechnungen, wenn irgendwie statisch vertretbar, räumliche
Systeme als ebene Systeme idealisiert werden.
Besonders zu beachten ist die räumliche Tragwirkung z.B. bei Gerüsten, Turmbauten,
breiten Brückenbauten (Torsion), Raumüberdeckungen, sowie allgemein im
Industriebau, Behälterbau (Zylinderschalen), Wasserbau, Schiffsbau und Flugzeugbau.
Baustatik 1
8-1
8-1

8-2 8-2
8-2
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Kräfte im Raum
8.2 Kräfte im Raum
Komponenten einer Kraft:
x
Abb. 8.1 Darstellung einer Kraft im Raum
mit den Komponenten des Einheitsvektors
z
e x
P x
Der Absolutbetrag für den Vektor der Kraft P ergibt sich aus
Komponente einer Kraft in eine beliebigen Richtung:
P x
P z
P
Die Komponente einer Kraft P in eine beliebige Richtung s erhält man aus dem
Skalarprodukt (Vektorprojektion)
P s
Abb. 8.2 Projektion einer Kraft
Die Kraft kann entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden, ohne daß das
Kräftegleichgewicht beeinflußt wird.
P y
y
P y
= ---- ey = ---- ez =
P
P
P = P = P 2
x + Py
2 + Pz
2
P
=
� P �
� x �
� �
� Py �
� �
�
� P
�
z �
Px = P cosαx = P ⋅ ex Py = P cosα y = P ⋅ ey Pz = P cosα z = P ⋅ ez Pz ----
P
= P⋅s = P ⋅ ( exsx+ ey sy + ez sz) = P ⋅ cosα
Ps
s
e
s
α Ps
P
s

Moment einer Kraft in einem Abstand a:
{P}
Abb. 8.3 Moment einer Kraft
den drei Einheitsvektoren in Richtung der Koordinaten x, y und z.
Kräftepaar:
P
M
α
{r}
a
{M}
m
Abb. 8.4 Kräftepaar
Räumliche Systeme
Kräfte im Raum
Das Moment der Kraft P in bezug
auf den Punkt m ergibt sich aus dem
Vektorprodukt
M = r× P
M = M = r sinα P = P ⋅ a
�
i j k ry Pz – rz P � �
� y �
M �
� x �
� � � �
= rx ry r = z � rz Px – rx Pz � = � My �
� � � �
Px Py P
�
z � rx Py – ry P
� �
x � � M
�
z �
� r �
� � � �
� x �
� 1 � � 0 �
� �
� � � �
mit r = � r sowie , und
y � i = � 0 � j = � 1 � k
� �
� � � �
�
� r
�
�
z �
�
0 � �
� �
0 �
�
a
P
b
2 2 2
My Mz
M = Mx+ +
M
m
� �
� 0 �
� �
= � 0 �
� �
�
�
1 �
�
Für einen beliebigen Punkt m im Raum
beträgt das Moment infolge des Kräftepaares
M = P ⋅ ( a+ b)
– P ⋅ b = P ⋅ a
Das Moment M kann parallel zu seiner
Wirkungslinie verschoben werden, da
für jeden Punkt im Raum der Absolut-
Baustatik 1
8-3
8-3

8-4 8-4
8-4
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Kräfte im Raum
Resultierende Wirkung von mehreren Kräften im Raum:
Resultierendes Moment (bezogen auf einen Punkt im Raum; z.B.Koordinatenursprung)
sowie die resultierende Kraft:
M
� M � � ( ry Pz – rz Py) �
� x � � �
� � � �
= � � My � = � �(
rz Px – rx Pz) � R
� � � �
�
� M
� � �
z � � ( rx Py – ry Px) �
Komponente des Momentes einer Kraft in eine beliebigen Richtung:
Die Komponente des Momentes einer Kraft P in bezug auf einen Punkt m in eine
beliebige Richtung s erhält man aus dem Skalarprodukt
Orthogonale Systeme:
v 3
v 2
s
M s
�
�
= M⋅s = M ⋅ cosα
Ms
M
α Ms
s
Abb. 8.5 Projektion eines Momentes
v 1
v3 = v1 × v2 Abb. 8.6 Vektorprodukt
s
�
�
P x
� �
� �
=
� �
� �P
y �
� �
� �
� �
P z
Der Vektor v3 steht zu den Vektoren
und senkrecht.
v 1
v 2
Der Betrag v3 ist gleich dem Zahlenwert
der Fläche des von den Vektoren
v1 und
Parallelogramms.
v2 gebildeten

8.3 Der Einzelstab im Raum
Räumliche Systeme
Der Einzelstab im Raum
Für eine vorzeichenrichtige Berechnung von Stabkräften und Verschiebungen in
dreidimensionalen Systemen spielt die Einhaltung von Vorzeichenkonventionen
eine große Rolle.
Die Vorzeichenkonvention beim Weggrößenverfahren (Deformationsmethode)
ist so geregelt, daß die positiven Wirkungsrichtungen der an den Stabenden angreifenden
Kräfte in Richtung der positiven lokalen Koordinatenachsen zeigen.
Das lokale Koordinatensystem ist ein Rechtssystem, bei dem die lokale x-Achse x’
in Stabachsenrichtung weist, vom linken (i) zum rechten (k) Stabende weisend.
Die beiden anderen lokalen Achsen y’ und z’ liegen im allgemeinen in den Querschnittshauptachsen.
In den Abbildungen Abb. 8.7 und Abb. 8.9 sind die positiven Wirkungsrichtungen
der Kräfte dargestellt. Für die Verdrehungen und Verschiebungen gilt dieselbe Vorzeichenkonvention.
z’
m z’i
y’
i
m y’i
m x’i
x’
m z’k
x’, y’ und z’ sind die lokalen Koordinatenachsen
I y’ und I z’
Hauptträgheitsmomente
Abb. 8.7 Definition der Momente beim WGV
m y’k
k
m x’k
Baustatik 1
8-5
8-5

8-6 8-6
8-6
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Der Einzelstab im Raum
z’
p y’i
p z’i
y’
i
p x’i
{ u}
e
x’
=
Abb. 8.8 Definition der Kräfte beim WGV
Die Verformungsgrößen eines Einzelstabes ergeben den links angeführten Vektor
(12 Komponenten).
Die Einführung dieser Vorzeichenkonvention für die inneren Variablen ermöglicht
eine einfachere Berechnung ebener und räumlicher Tragstrukturen mittels
EDV. Die Darstellung der Schnittkräfte erfolgt aber mit den bisherigen Vorzeichenkonventionen.
Die Vorzeichenkonvention beim Kraftgrößenverfahren erfolgt nach der bisherigen
Vorzeichenkonvention. Die Schnittgrößen sind positiv, wenn ihre Vektorkomponenten
am positiven Schnittufer in Richtung der positiven, lokalen Basis weisen.
u xi
� �
� �
� u �
� yi �
� �
� uzi �
� �
� �
� θxi �
� �
� θ �
yi
� �
� �
� θzi �
� �
� u �
� xk �
� �
� uyk �
� �
�
�
u �
zk �
� �
� θxk �
� �
�
� θ
�
yk �
� �
� θ � zk
p z’k
p y’k
k
p x’k

M x’i
M y’i
z’
y’
x’
Räumliche Systeme
Steifigkeit des Einzelstabes im Raum
Abb. 8.9 Definition der positiven Stabschnittgrößen
am positiven und am negativen Schnittufer beim KGV
8.4 Steifigkeit des Einzelstabes im Raum
Unter der Steifigkeit eines Stabes sind jene Kraftgrößen (Kraftgrößenwiderstände)
an den Stabenden zu verstehen, die durch Einheitsverformungen in den Stabenden
hervorgerufen werden.
Zusammenstellung der Steifigkeiten des Einzelstabes im Raum:
z’
M z’i
y’
N x’i
Q y’i
Q z’i
negatives Schnittufer
positives Schnittufer
Q z’k
Q y’k
Verformungsfall Einspannkräfte
p x’i i k
u y ’=1
m z’i
i
u x ’=1
y
p y’i
i
m z’k
k
p y’k
x’
x’
p x'i
p x'k
p y'i
m z'i
=
=
-------
EA
L
EA
– -------
L
12 EIz' = ---------------- = – py'k L 3
6EI z'
= ------------- =
mz'k L 2
k
N x’k
M z’k
M y’k
M x’k
Baustatik 1
8-7
8-7

8-8 8-8
8-8
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Steifigkeit des Einzelstabes im Raum
Verformungsfall Einspannkräfte
my’i uz’=1 i
pz’i
k
pz’k x’
m x’i
m z’i
my’i
z’
q x’i =1
z’
i
y’
p y’i
G ... Schubmodul
m y’k
ν ... Querdehnungszahl
k
i k
q z’i=1
m z’k
i k
q y’i =1
m y’k
p z’i pz’k
p y’k
x’
x’
x’
p z'i
m y'i
m x'i
m z'i
m z'k
p y'i
m y'i
m y'k
p z'i
E
G =
-------------------
21 ( + ν)
12 EIy' = ---------------- = – pz'k L 3
6EI y'
= – ------------- = my'k GI D
L 2
= --------- = – mx'k L
=
=
4EIz' -------------
L
2EI
------------- z'
L
6EIz' L 2
-------------
= – = – py'k 4EI y'
= -------------
L
2EI y'
= -------------
L
6EI y'
= – ------------- = – pz'k L 2

I D ... Drillwiderstand
Elementsteifigkeitsmatrix:
Räumliche Systeme
Steifigkeit des Einzelstabes im Raum
Die Elementsteifigkeitsmatrix [ K]'
enthält die durch die Einheitsverformungen
hervorgerufenen Kraftgrößenwiderstände; sie ist quadratisch und symmetrisch.
Die Steifigkeitsmatrix für ein Stabelement im Raum lautet:
e
[ K]'
e
Die Matrix lautet gleich wie die Matrix mit dem einzigen Unterschied,
daß die Vorzeichen jener Koeffizienten umgekehrt werden, die außerhalb
der Hauptdiagonalen liegen ( 6I / L 2 [ K]'kk
[ K]'ii
).
Um die Matrix [ K]'ikzu
erhalten, wird auch hier das Vorzeichen der Koeffizienten
außerhalb der Diagonalen der Matrix [ K]'kiumgekehrt,
was in diesem Fall der
transponierten Matrix [ K]'kientspricht.
Die einzelnen Teilsteifigkeitsmatrizen lauten:
[ K]'ii
=
=
[ K]'ii
[ K]'ik
[ K]'ki
[ K]'kk
u x'i u y'i u z'i θ x'i θ y'i θ z'i
AE
------- 0 0 0 0 0
L
0
0 0
12 EIz' L 3
--------------- 0 0 0
12 EIy'
---------------- 0
L 3
0 0 0
0 0
0
6EIy'
– -------------
L 2
6EIy'
– -------------
L 2
6EIz'
------------
L 2
0
GI
-------- D 0 0
L
6EIz'
------------ 0 0 0
L 2
0
4EIy'
------------- 0
L
4EIz'
------------
L
p x'i
p y'i
p z'i
m x'i
m y'i
m z'i
Baustatik 1
8-9
8-9

8-10 8-10
8-10
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Steifigkeit des Einzelstabes im Raum
[ K]'ki
=
u x'i u y'i u z'i θ x'i θ y'i θ z'i
AE
– ------- 0 0 0 0 0
L
0
0 0
12E I
--------------- z'
– 0 0 0
L 3
0 0 0
0 0
0
12E Iy' – --------------- 0
L 3
6EI y'
L 2
6EI y'
6EIz' L 2 – ------------
------------- 0
Um nun ein dreidimensionales Stabwerk berechnen zu können, muß man als nächsten
Schritt die Element-Steifigkeitsmatrizen der einzelnen Stabelemente, die ja
am lokalen Koordinatensystem berechnet wurden, in das globale Koordinatensystem
transformieren. Die Transformation in einem dreidimensionalen System von
einem lokalen in ein globales System verläuft vom Prinzip her gleich wie eine
Transformation in der Ebene. Der einzige Unterschied besteht darin, daß sich die
Transformationsmatrix vergrößert und statt einer 2x2 Matrix eine 3x3 Matrix zur
Anwendung kommt.
GI D
– ------------- 0
L 2
– -------- 0 0
L
6EIz' L 2
------------ 0 0 0
2EIy' ------------- 0
L
2E I
------------ z'
L
p x'i
p y'i
p z'i
m x'i
m y'i
m z'i

8.5 Transformation Lokal - Global
x
i
(xi , yi , zi )
z
Abb. 8.10 Lokales und globales Koordinatensystem
Räumliche Systeme
Transformation Lokal - Global
Die Vektoren v1 , v2 und v3 sind Einheitsvektoren und werden wie folgt
bestimmt.
v 1
� v � �
� 1x �
xk – x �
� i �
� � 1 � �
= � v , und
1y � = -- � yk – yi � v3 = v1 v
� � L�
�
�
� v
� �
1z � � zk – z
�
i �
Der Vektor ergibt sich aus dem Kreuzprodukt (äußeres Produkt)
v ref
v 2
Wobei ein vom Benutzer vorgegebener Referenzvektor ist, der die Ebene
v1 × v2 definiert. Bei symmetrischen Querschnitten geht diese Ebene z.B. durch
eine Hauptachse.
Die Transformationsmatrix lautet dann
y
L
Referenzebene
v 3
v ref
v2 = v1 × v3 [ T]
= [ T]
R =
k
.
v 2
v 1
(x k, y k, z k)
v ref
... liegt in der Referenzebene
v 1x v 2x v 3x
v 1y v 2y v 3y
v 1z v 2z v 3z
× ref
Baustatik 1
8-11
8-11

8-12 8-12
8-12
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Transformation Lokal - Global
Bei unsymmetrischen Profilen ist eine zusätzliche Transformation durch eine
Rotation um die x’-Achse notwendig.
v 3
z’
Abb. 8.11 Rotation um die x’-Achse
Die Transformationsmatrix für die Rotation lautet:
y’
[ T]
γ
Die entgültige Transformationsmatrix ergiebt sich dann zu
=
v 2
γ
x’
Referenzebene
Hauptachsen
1 0 0
0 cosγ sinγ
0 – sinγ
cosγ
[ T]
= [ T]
R [ T]
γ
(Glg. 8.1)
(Glg. 8.2)
Die Transformation der Element-Steifigkeitsmatrix von einem lokalen in ein globales
System lautet
[ K]
[ T]
T =
⋅ [ K]'
⋅[
T]

Räumliche Systeme
Vorgehensweise bei der Berechnung von dreidimensionalen Tragwerken
8.6 Vorgehensweise bei der Berechnung von
dreidimensionalen Tragwerken
4
6
8
8
9
6
10
12
11
9
2
5 7
2
3 7
1
1
Abb. 8.12 Räumlicher Rahmen
� Alle Stäbe und Knoten werden numeriert, die Stäbe von 1 bis s und die
Knoten von 1 bis n.
� Die Element-Steifigkeitsmatrizen der einzelnen Stäbe werden in ihren
lokalen Koordinatensystemen berechnet.
� Die Element-Steifigkeitsmatrizen werden vom lokalen in das globale
Koordinatensystem transformiert.
� Bildung der Steifigkeitsmatrix des Gesamtsystems aus den einzelnen Steifigkeitsmatrizen
der Stäbe (assemblieren der Steifigkeitsmatrix).
� Einbau der Rand- (Auflager-) und Belastungsbedingungen. Diese werden
ebenso im lokalen System eingebaut, danach in das globale System transformiert
und anschließend assembliert.
� Lösen des Gleichungssystems
5
[ K]
e
{ u}
n
[ K]'
e
� Berechnung der Stabkräfte M, N, Q über die Gleichung
3
4
10
[ T]
T [ K]'
e = ⋅ ⋅ [ T]
=
[ K]
{ R}
[ K]
1 –
⋅ { P}
{ S}
=
[ K]
⋅ { u}
n
11
13
12
Baustatik 1
8-13
8-13

8-14 8-14
8-14
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Vorgehensweise bei der Berechnung von dreidimensionalen Tragwerken
Schnittkräfte:
S ... Stabkräfte
Die entgültigen lokalen Schnittkräfte werden nach der Kennfaserregel
bestimmt.
Hauptachsen
z’
Mz’
y’
Qy’
My’
Qz’
Abb. 8.13 Lokale Schnittkräfte
Für die linken und rechten Schnittufer (Knoten i und k) ergeben sich die
Schnittkräfte zu
{ S}
i
T
N
{ S}
� �
� �
� �
� �
� – px'
�
� px' �
� �
� �
� p �
�
y'
– p �
y'
� �
� �
� �
� �
� pz' �
� – pz' �
= � � { S}
k =
� �
� – m �
�
x'
m �
x'
� �
� �
� �
� �
� – my'
�
� my' �
� �
� �
�
�
– m �
�
z' �
�
m �
z' �
� �
� �
� �
� N �
� �
� Q �
y'
� �
� �
Qz' =
� �
� �
� T �
� �
� �
� My' �
� �
� M �
z'
� �

8.7 Allgemeine Biegung
8.7.1 Normalspannung
Räumliche Systeme
Allgemeine Biegung
Abb. 8.14 Stab parallel zu seiner Achse mit der Normalkraft N belastet
Die Normalspannung einer parallel zur Stabachse angreifenden Kraft lautet
Die Hauptträgheitsmomente des lokalen Koordinatensystems lauten
Voraussetzungen:
ez ’ N
ey’ Mz ’
N x’
Iy' z' und
2 = dA
Iz' y' 2 = dA
� y’ und z’ sind Hauptträgheitsachsen d.h.:
z’
�
A
� und y’ und z’ schneiden sich im Schwerpunkt d.h.:
�
A
σ
y'dA =
I y'z'
y’
M y ’
N
---
A
M ------y'
z'
Iy' Mz '
+ – -------y'
Iz' �
= y'z'dA = 0
A
My' = N⋅ez' Mz' = – N⋅ey'
= 0 und z'dA =
0
�
A
�
A
Baustatik 1
8-15
8-15

8-16 8-16
8-16
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Allgemeine Biegung
8.7.2 Schubspannungen infolge von Querkräften
Im Kapitel 8.7.1 wurden bei der Berechnung von Spannungen in Biegestäben nur
die Normalspannungen (Längsspannungen) berücksichtigt, die durch Biegemomente
und Normalkräfte hervorgerufen werden.
Um aber die Festigkeit eines Stabes beurteilen zu können, muß man auch die Verteilung
der Schubspannungen kennen.
Für die Berechnung von Schubspannungen werden die Querschnitte in dünnwandige
Querschnitte und Vollquerschnitte unterteilt. Die dünnwandigen Querschnitte
werden weiters in offene und geschlossene Querschnitte eingeteilt.
Im Folgenden werden nur offene dünnwandige Querschnitte untersucht. Auf die
dünnwandigen geschlossenen Querschnitte 1) und die Vollquerschnitte 2) wird nur
kurz eingegangen.
8.7.3 Schubspannung aus Biegung
Die Schubspannungen, die an der freien Oberfläche auf den Längsseiten des Stabes
angreifen, sind Null.
Nach dem Satz von der Dualität der Schubspannungen ist folglich in der Querschnittfläche
überall am Rand die Schubspannungskomponente senkrecht zum
Rand Null.
Z’
y’
s
s=0
Abb. 8.15 Schubspannungsverteilung bei einem dünnwandigen offenen Querschnitt
Um den Mittelwert der Schubspannung τ x’s berechnen zu können, müssen einige
Annahmen über die Schubspannung getroffen werden.
1) Zur Behandlung geschlossener Querschnitte s. z.B. Flügge [7] und Neuber [8]
2) Zur Behandlung von Vollquerschnitten s. z.B. E. Pestel/J. Wittenburg [4]
t(s)
x’
Koordinatensystem x, s, n
τ nx’
τ außen
τ x’n
s
t (s)
T x’s
τ innen
τ x’s

Räumliche Systeme
Allgemeine Biegung
� Wie vorher erwähnt, sind die Schubspannungen τ x’n am Rand tangential zur
Kontur gleich Null, da die Mantelfläche in x-Richtung unbelastet ist.
� Wegen der Dünnwandigkeit (t

8-18 8-18
8-18
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Allgemeine Biegung
Für die Berechnung des Mittelwertes der Schubspannung infolge einer Querkraft
wird zunächst die Schubspannung infolge Q z berechnet, das heißt Q y wird Null
gesetzt.
Aus der Beziehung
und
∂σx'( x')
∂Tsx'( s)
∂σx'( x')
∂τ ( x's( s)ts
( ) )
------------------t( s)
+ ------------------ = ------------------t( s)
+ ------------------------------- = 0
∂x' ∂s ∂x'
∂s
∂σx' ---------
∂x'
kann der Mittelwert der Schubspannung berechnet werden.
σ x'
=
∂M y'
I y'
Bei „offenen“ Querschnitten läßt man s vom Rand ausgehen. Die Schubspannung
ist dort Null.
τx's( 0)
Bei offenen Querschnitten ergeben sich die Schubspannungen infolge Qz und Qy
zu
... infolge Q z
... infolge Q y
Bei „geschlossenen“Querschnitten läßt man s von einer beliebigen Stelle ausgehen.
Die Schubspannung ist dann ≠ 0 .
Die Stellen, an denen τx's( 0)
=
0 ist, sind im allgemeinen nicht bekannt. Hohlquerschnitte
sind für den Schub also statisch unbestimmt.
M y'
-------z'
I y'
----------
∂x' Qz' = ----------- z' = ------z'
I y'
τx's( s)ts
( ) τx's( 0)t0
( ) Qz' =
– ------ z'
τx's( s)
τx's( s)
τx's( 0)
I y'
s
�
0
Qz' Sy'( s)
= – ----------------------
Iy'ts ( )
Qy' Sz'( s)
= – ----------------------
Iz'ts ( )
�
dA
ts ( ) ds
Sy'( s)
�
�
�
�
�
�
�

Symmetrische Querschnitte:
Räumliche Systeme
Allgemeine Biegung
Solche Querschnitte sind statisch bestimmt, da bei ihnen in der Symmetrieachse
die Schubspannungen gleich Null sind. Sie können dort gedanklich getrennt werden
und wie offene Querschnitte behandelt werden
Unsymmetrische Querschnitte:
Der Querschnitt wird aufgeschnitten, und am offenen System werden die Verteilung
der Schubspannungen sowie die Schubdeformation bestimmt. An der Schnittstelle
wird eine statisch unbestimmte Kraft der Größe „1“ angebracht und so
bestimmt, daß die Klaffung wieder geschlossen wird (s. 8.8.2).
8.7.4 Schubmittelpunkt
Der Schubmittelpunkt ist jener Punkt der Querschnittsebene, an dem eine Querbelastung
am Querschnitt wirken muß, damit keine Torsion hervorgerufen wird, und
somit keine Schubspannungen aus Torsion entstehen.
Für die Berechnung der Koordinaten des Schubmittelpunktes wird wie zuvor ein
Stabquerschnitt betrachtet, an dem zuerst nur Q z angreift und Q y =0 ist.
y*
y’
ds
s
τ(s)t(s)ds
Q z’
z*
M
p(s)
S
y M
z’
s=0
t(s)
Abb. 8.17 Unsymmetrischer dünnwandiger offener Querschnitt
mit der Querkraft Q z’ belastet
Um nun die Koordinaten ermitteln zu können, muß das resultierende Moment aller
im Querschnitt angreifenden Kräfte um den Schubmittelpunkt gleich Null sein.
Die Koordinate y M kann daher mit Hilfe des Gleichgewichts berechnet werden.
e
y’ ... Hauptträgheitsachse
z’ ... Hauptträgheitsachse
M ... Schubmittelpunkt
Baustatik 1
8-19
8-19

8-20 8-20
8-20
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Allgemeine Biegung
Um dieses Integral lösen zu können, wenden wir die Regel der partiellen Integration
an.
Partielle Integration
und
Somit wird das Integral zu
e
�
0
Die Gleichung für die Koordinate des Schubmittelpunktes lautet
Der Ausdruck –
------ 2as ( )Sy'( s)
ist Null, da die Schubspannungen an den
0
Enden s=0 und s=e gleich Null sind.
e
�
0
Q z'
yMQ z' = ps ( )τ( s)ts
( ) ds
= – ------ ps ( )Sy'ds s
�
0
�
ps ( ) ds
s
Die Koordinate y M des Schubmittelpunktes lautet somit
I y'
� v du
= uv– � udv 0
S
e
a(s)
e
�
0
0
S
e
�
0
e
A(m)
= 2as ( ) und p( s)
ds
=
�
2 as ( ) = u → p( s)
ds
= u→p( s)
=
z'( s)ts
( ) ds
ps ( )Sy'( s)
ds
Q z'
I y'
e
�
0
=
= Sy'( s)
= v → z'( s)ts
( ) =
e
2as ( )Sy'( s)
0
Q z'
I y'
+
e
�
0
2A( m)
----du
ds
dv
----ds
2a ⋅ z′ ( s)bs
( ) ds
yM Q ------ z' = – ps ( )Sy'ds = – ------ 2as ( )Sy'( s)
+ ------ 2a( s)z'(
s)bs
( ) ds
0
Q z'
I y'
e
e
Q z'
I y'
e
�
0
.
.

Die Koordinate z M kann analog aus der Äquivalenzbedingung
Räumliche Systeme
Allgemeine Biegung
berechnet werden. Die Koordinate z M des Schubmittelpunktes lautet dann
8.7.5 Schubmittelpunktslage einiger Querschnitte
M
S
Abb. 8.18 Schubmittelpunktslage bei Querschnitten
aus zwei sich schneidenden Streifen
Für Querschnitte (Profile) aus zwei sich schneidenden Streifen liegt der Schubmittelpunkt
M immer im Schnittpunkt der Systemlinien.
Kreisquerschnitte:
y M
z M Q y'
z M
= ----
2
as ( )z'( s)
dA
I y'
=
e
�
0
�
A
ps ( )τ( s)bs
( ) ds
---
2
= – a( s)y'(
s)
dA
�
Iz' A
M
M=S M=S
M=S
Abb. 8.19 Schubmittelpunktslage: Vollkreis, Kreisrohr
S
b
Baustatik 1
8-21
8-21

8-22 8-22
8-22
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Allgemeine Biegung
Dünnwandige Hohlquerschnitte (mit t = const.) als Dreieck und Quadrat:
M
Abb. 8.20 Graphische Ermittlung der Schubmittelpunktslage
von Quadrat und Dreieck mit t=const
Um den Schubmittelpunkt graphisch bestimmen zu können, werden die Wandstärken
als Kräfte aufgefaßt. Der Schubmittelpunkt befindet sich dann im Schnittpunkt
der Resultierenden der Kräfte.
Die hier oben angeführten baupraktisch wichtigsten Querschnitte sind wölbfreie
Querschnitte, das heißt die Torsionsmomente werden nur über Schub durch die
sogenannte „reine Torsion“ oder „St. Venantsche Torsion“ abgetragen und es
tritt keine Verwölbung in diesen Querschnitten auf.
Alle anderen baupraktischen Querschnitte sind nicht wölbfrei. Kann die Verwölbung
ungehindert auftreten, sprechen wir von „St. Venantschen Torsion“, werden
diese Verwölbungen aber be- oder verhindert, von „Wölbkrafttorsion“.
Hohlquerschnitte (mit t ≠ const.):
t 2
t 2
M
Abb. 8.21 Graphische Ermittlung der Schubmittelpunktslage von
Hohlquerschnitt mit t ≠ const
M
t 1
t
t
t 1
t
t
M
t
t

Symmetrische nicht wölbfreie Querschnitte:
Räumliche Systeme
Torsion
Abb. 8.22 Schubmittelpunktslage bei symmetrischen, nicht wölbfreien Querschnitten
8.8 Torsion
M=S
Die Torsionsbeanspruchung M T eines Stabes tritt immer dann auf, wenn die Querbelastung
am Stabquerschnitt nicht im Schubmittelpunkt angreift. Das Torsionsmoment
verursacht Verdrehungen des Stabes um die Stabachse, Verwölbungen
der Querschnitte in Längsrichtung und sowohl Schubspannungen als auch Längsnormalspannungen
im Stab.
Das Ebenbleiben der Querschnitte, welches in der klassischen Biegelehre vorausgesetzt
wird, muß bei einer Torsionsbeanspruchung im allgemeinen aufgegeben
werden. Die Verwölbung der Querschnitte in Längsrichtung hängt sehr stark von
der Querschnittsform ab.
� offene Querschnitte verwölben sich stark
M=S
� geschlossene Querschnitte (auch Vollquerschnitte) verwölben sich nur gering
� wölbfreie Querschnitte bleiben bei Torsion eben
Wenn die Verwölbung in allen Querschnitten ungehindert auftreten kann, werden
die Torsionsmomente, sowohl bei offenen als auch bei geschlossenen Querschnitten
nur über Schub abgetragen. Diese Art der Torsion nennt man “reine Torsion“
oder “St. Venantsche Torsion“.
Wenn die Verwölbung der Querschnitte aber be- oder verhindert wird (z.B. durch
Auflagerbedingung oder durch Momente, die sich entlang des Stabes ändern), werden
zusätzlich zu den Schubspannungen Längsspannungen aktiviert, welche über
den Querschnitt integriert keine resultierende Schnittlast ergeben. Diese Art der
Torsion wird als “Wölbkrafttorsion“ bezeichnet.
Die “St. Venantsche Torsion“ und die “Wölbkrafttorsion“ treten grundsätzlich bei
nicht wölbfreien Querschnitten gekoppelt auf. Für die vereinfachte praktische
Berechnung kann man vielfach mit folgender Vorgehensweise das Auslangen finden:
Baustatik 1
8-23
8-23

8-24 8-24
8-24
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Torsion
� bei den geschlossenen Querschnitten (Hohlquerschnitte) überwiegt die
„St. Venantsche Torsion“ sehr stark
→ nur “St. Venantsche Torsion“ in Rechnung stellen
� bei den offenen Querschnitten überwiegt meist die “Wölbkrafttorsion“
→ nur “Wölbkrafttorsion“ in Rechnung stellen
8.8.1 Torsion von Stäben mit Kreis- oder
Kreisringquerschnitt
Die hier behandelten Querschnitte sind wölbfreie Querschnitte, welche stets über
reine Torsion abtragen.
M T
Abb. 8.23 Verformung eines Torsionsstabes mit Kreisringquerschnitt
Zwischen der Scherung γ (r) und der Verdrehung ϕ besteht der Zusammenhang
Die Schubverzerrung ist also
Aufgrund der Beziehung
ergibt sich die Schubspannung zu
γ(r)
Aus der Bedingung, daß das Torsionsmoment gleich dem Moment der inneren
Kräfte sein muß, folgt
L
γ() r L=ϕ r
γ() r
τ() r
τ() r
=
=
ϕ
-----r
L
G γ() r
ϕ r
=
G ------
L
.
.
r
ϕ
M T

woraus sich
,
Räumliche Systeme
Torsion
ergibt. Das Intergral in dieser Gleichung wird als polares Trägheitsmoment
bezeichnet:
Für einen Kreisringquerschnitt mit dem Außenradius r a und dem Innenradius r i
beträgt seine Größe
für einen Kreisquerschnitt
somit lautet die Gleichung für die Verdrehung:
Das Verhältnis
M T
M T
I P
– �
A
r τ() r dA = 0
G ϕ
---- r
L
2 � dA
,
,
GI P ... Torsionssteifigkeit
heißt Drillung des Stabes. Die Schubspannung als Funktion des Radius ergibt
Die maximale Schubspannung tritt am Außenradius auf und lautet
=
I P
=
=
�
A
A
r 2 dA
π 4 4
-- ( ra – ri )
2
I P
=
π
-- r
2
4
ϕ MT L
= --------------
GI P
M T
ϕ
-- = ---------
L G IP τ() r
M T
=
------- r
I P
.
Baustatik 1
8-25
8-25

8-26 8-26
8-26
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Torsion
τ max
8.8.2 Torsion dünnwandiger Hohlquerschnitte (Bredt’sche
Formeln)
M T
D
t(s)
p
Tds
s = 0 (L)
ds
=
Abb. 8.24 Dünnwandiger Hohlquerschnitt
T
=
2A m
.
1. Bredtsche Formel
Die zweite Bredtsche Formel wird mit Hilfe von Formänderungsbedingungen
berechnet.
Ein dünnwandiger Hohlquerschnitt, wie Abb. 8.25 zeigt, wird mit einem Torsionsmoment
belastet. Schneidet man nun den Querschnitt gedanklich auf, so entsteht
eine Klaffung (Verwölbungssprung) an der Schnittstelle.
Es muß also eine Schubkraft T am Schnitt angebracht werden, die diese Klaffung
wieder schließt (siehe Abb. 8.26).
Abb. 8.25 Dünnwandiger Hohlquerschnitt mit einem Torsionsmoment belastet
M T
------- r a
I P
Aus der Gleichgewichtsbedingung
für die Momente M T =M TD und aus
der Bedingung
folgt
M T
T = τ( s)
ts ( ) =
=
�°
⋅ const.
�°
ps ( ) Tds= T p( s)
ds
M T
M M T
T
----------- → τ = ---------------
2Am t
t
dx
=
2TA m
M T

Räumliche Systeme
Torsion
Abb. 8.26 Verwölbung eines offenen dünnwandigen Querschnittes
infolge einer Torsionsbeanspruchung
Die Klaffung (Verwölbungssprung) infolge des Torsionsmomentes ist
(siehe 8.8.5)
Die Integrationskonstante u 0 kann beliebig gewählt werden, da sie nur eine starre
Verschiebung (Translation) des Querschnittes in u-Richtung bedeutet. Für die weitere
Berechnung ist die Integrationskonstante daher nicht von Bedeutung. Mit
wird
∆u = – ϕ' p ( s)ds
+ u0 ϕ’ ... Drillung des Stabes
Die Schubkraft T wird am Schnitt angebracht, damit die Klaffung = 0 wird.
Die Schubspannung infolge der Schubkraft T ist
der Scherwinkel infolge der Schubkraft T daher
und die Klaffung infolge der Schubkraft T lautet somit
∆u T
=
Die endgültige Klaffung (Verwölbungssprung) ist Null:
�°
�°
�°
,
t
,
T
p ( s)ds
= 2 Am ∆u = – 2 Amϕ' γ
τ
=
=
T
--
t
T
t G
-------
γ ds = ---
1
τ ds
G �°
=
---
T
G
∆u
T
ds
�°
---t
.
∆u ges
Baustatik 1
8-27
8-27

8-28 8-28
8-28
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Torsion
Aus dieser Gleichung folgt
Damit nimmt die Gleichung folgende Form an
T ... Schubkraft, die zur Schließung der Klaffung erforderlich ist.
Mit der 1. Bredtschen Formel erhält man
Zur Abkürzung wird das sogenannte Torsionsflächenmoment
eingeführt. Damit ist
∆uges = ∆u + ∆uT = 0
2Am ϕ' T
– + ---
G
ϕ'
ϕ'
= ------------------
T
=
2GA m
MT -----------------
2
4GAm I T
=
ds
�°
---- = 0
t
2
4Am --------------
1
�°
-- ds
t
ϕ' =
----------
ds
�°
---t
1
�°
--- ds
t
.
.
2. Bredtsche Formel
Das Torsionsträgheitsmoment I T ist nur für Verformungsberechnungen erforderlich.
M T
GI T

Beispiel 8.1:
b
t 2
Abb. 8.27 Einzelliger dünnwandiger Hohlquerschnitt
Räumliche Systeme
Torsion
8.8.3 Torsion mehrzelliger dünnwandiger Hohlquerschnitte
Auch hier gilt, daß der Schubfluß an jeder Stelle einer betrachteten Wand konstant
ist, nicht aber für verschiedene Wände. Die Gleichgewichtsbetrachtung reicht nicht
mehr aus, um die Schubflüsse der einzelnen Wände bestimmen zu können.
Mehrzellige Hohlquerschnitte sind daher hinsichtlich ihrer Schubspannungen
innerlich statisch unbestimmt. Die noch zusätzlich benötigten Bestimmungsgleichungen
erhält man aus den Formänderungsbedingungen, daß jede Zelle die gleiche
Verwindung ϕ’ wie der Gesamtquerschnitt erfährt.
Mit der 2. Bredtschen Formel
für die Verwindung ϕ’ des Gesamtquerschnittes (Verträglichkeitsbedingung), der
Bedingung für den Schubfluß
und der Gleichgewichtsbedingung
a
t 1
t 1
können die Schubflüsse eines mehrzelligen Querschnittes berechnet werden. Die
Vorgehensweise bei der Berechnung der Schubflüsse wird nun anhand eines zweizelligen
Hohlquerschnittes gezeigt.
t 2
�° τ( s)
ds = 2G Am ϕ'
T = τ( s)
ts ( ) = const
�
�
MT =
MTi = 2 tiA m
Am = a ⋅ b
I T
4a 2 b 2
2 a
--- 2
t1 b
= --------------------------
+ --t2
Baustatik 1
8-29
8-29

8-30 8-30
8-30
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Torsion
Beispiel 8.2: Zweizelliger Querschnitt
Zelle 1 Zelle 2
Abb. 8.28 Zweizelliger dünnwandiger Querschnitt
Formulierung der Bestimmungsgleichungen:
Aus der Momentengleichgewichtsbedingung ergibt sich die Gleichung
Aus der Bedingung, daß die Verwindung der einzelnen Zelle gleich der des gesamten
Querschnittes ist (Verträglichkeitsbedingung), ergeben sich die Gleichungen
ϕ'
ϕ'
Mit diesen 4 Gleichungen können T 1,T 2,T 3 und ϕ’ berechnet werden.
T 1
A
B
T3 = T2 – T1 MT = 2Am1 T1 + 2Am2 T2 2GA m1
B
-------------------
1 �
T
1
-- 1 ds ( T1 – T2) 1 �
= � � +
-- ds
t � �
� t �
2GA m2
A
A
-------------------
1 �
T
1
-- 2 ds ( T2 – T1) 1 �
= � � +
-- ds
t � �
� t �
A m1
T 1
T 1
T 1
T 3
B
T 2
Abb. 8.29 Mittlere eingeschlossene Querschnittsflächen
T 2
A m2
T 2
A
B
B
A
T 2
(1)
(2)
(3)
(4)

Räumliche Systeme
Torsion
8.8.4 St. Venantsche Torsion von Stäben mit beliebigen
konstanten Querschnitten
Es genügt aber nicht, die Torsionsproblematik nur bei Stäben mit Kreis- und Kreisringquerschnitten
und bei dünnwandigen Hohlquerschnitten zu untersuchen, da im
Bauwesen auch andere Querschnittsformen, wie aus Abb. 8.30 ersichtlich ist, vorkommen.
In diesem Abschnitt werden die Berechnungen der Schubspannungsverteilung und
der Torsionssteifigkeit für gerade Stäbe mit längs der Stabachse konstanten Vollquerschnitten
mit Hilfe der Prandtlschen Membrananalogie erklärt.
Die Beschränkung auf Vollquerschnitte schließt einzellige und mehrzellige Hohlquerschnitte
aus.
Abb. 8.30 Verschiedene baupraktische Querschnitte
Um sich die Spannungsverteilung besser vorstellen zu können verwendet man die
Membrananalogie von . Das Prandtl’sche Membrangleichnis besagt:
Wenn man in den ebenen Deckel eines Behälters ein Loch in der Form eines Stabquerschnittes
schneidet und über das Loch eine Membran, am besten eignet sich
eine Seifenhaut von der Art, die man beim Seifenblasen verwendet, spannt und im
Behälter einen leichten Überdruck erzeugt, wölbt sich die Membran nach außen.
Die dabei entstehende Fläche hat dieselbe Form, wie der Verlauf der Spannungsfunktion
ψ des gleichen Stabquerschnittes.
Abb. 8.31 Spannungshügel über einem Stabquerschnitt
Diese Analogie dient nicht nur zur leichteren Vorstellung der Spannungsverläufe,
sondern sie hat auch für die Lösung des Torsionsproblemes eine große Bedeutung.
Baustatik 1
8-31
8-31

8-32 8-32
8-32
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Torsion
Sie bildet die Grundlage für eine experimentelle Ermittlung, welche Zahlenwerte
für die Schubspannungen und die Torsionssteifigkeit liefert.
Gegenüberstellung Membran - Torsion
DGL für die
Durchbiegung einer Membran
infolge eines leichten Überdruckes p
∂ 2 w
∂z 2
---------
∂ 2 -------w
– p
+ = -----
S
∂y 2
Prandtl’sche Membrananalogie zum Torsionsproblem
DGL für die
Spannungsfunktion eines Querschnittes
infolge eines Torsionsmomentes M T
Durchbiegung w Spannungsfunktion ψ
p
Belastung -- 2 G ϕ'
S
∂ 2 ψ ∂
--------
2 ψ
+ -------- = – 2Gϕ'
S ... Haltekräfte der Membran in tangentialer Richtung
Aus der Gegenüberstellung der Differentialgleichungen kann man erkennen, daß
sich die Spannungen aus Torsion aus der Ableitung der Spannungsfunktion ψ in
Richtung normal zur Schubspannung ergeben.
Aus Abb. 8.32 ist ersichtlich, daß sich die größten Neigungen am Rand befinden,
da dort die Steigung der Membran am größten ist und sich damit auch die größten
Schubspannungen am Rand einstellen.
∂z 2
∂y 2
Neigung
Schubspannungen
∂w
------
∂w
, ------
∂z ∂y
τyx =
∂ψ
------ , τzx ∂z
=
∂ψ
------
∂y
Volumen (Verformte Membran) Torsionsmoment
��
��
V = w dz dy
MT =
2 ψ dz dy

x (w)
τxy τzx z y
Behälter
∂ψ
------
∂z
p
∂ψ
------
∂y
p ... Überdruck
Membran
Abb. 8.32 Membrananalogie.
Abb. 8.33 Verformung der Membran aus FE-Berechnung
Räumliche Systeme
Torsion
z
τ y
zx
τzx =0
Bei der Verwendung der Membrananalogie müssen die Randbedingungen für
beide Probleme äquivalent sein.
Für die Schubkraft aus Torsion gilt das gewisse Schubspannungen am Rande des
Querschnitts zu null werden müssen (siehe Abb. 8.32). Dies ergibt sich aus der
Dualität der Schubspannunge und der Bedingung, daß an der Oberfläche keine
Schubspannungen auftreten können.
∂w
Die Abb. 8.34 zeigt, daß diese Bedingung einer Sperrung der Verdrehung ------
∂y
∂w
und------ entspricht. D.h. für das äquivalente Membranproblem ist nur die relative
∂z
Verschiebung w von Bedeutung. Zur Lösung des Problems muß daher der Querschnitt
entlang des Umfangs an allen vier Seiten gehalten werden. Bei dünnwandigen
Profilen (siehe Abb. 8.35) muß darauf geachtet daß, damit eine relativ
Verschiebung entstehen kann, der Querschnitt nur entlang eines Umfanges an den
Kanten gehalten wird (siehe Abb. 8.37).
τ xy
M T
x
Stabquerschnitt
Baustatik 1
8-33
8-33

8-34 8-34
8-34
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Torsion
Membran Spannungsfunktion
∂w
------ = 0
∂z
w = const. = 0
∂w
------ = 0
∂y
∂w
------- = 0
∂y
∂w
------ = 0
∂z
y y
∂ψ
τ = ------ = 0
yx ∂z
Abb. 8.34 Randbedingungen.
Beispiel 8.3: Verformung der Membran (Seifenhaut) eines Hohlquerschnittes
unter Druckbeanspruchung.
z
t
Abb. 8.35 Dünnwandiger Hohlquerschnitt.
Membran Spannungsfunktion
∂w
------ = 0
∂z
x
∂w
------- = 0
∂y
t
Membran
y
∂w
------- = 0
∂z
∂ψ
τ = ------ = 0
yx ∂z
∂ψ
τ = ------ = 0
zx ∂y
∂ψ
τ = ------ = 0
zx ∂y
∂ψ
τ = ------ = 0
yx ∂z
Abb. 8.36 Randbedingungen: Membran und Spannungsfunktion.
z
x
∂ψ
τ = ------ = 0
zx ∂y
∂w
∂ψ
------- = 0
∂y
τ = ------ = 0
zx ∂y
y

Räumliche Systeme
Torsion
Abb. 8.37 Verformung der Membran und Schubspannungsverlauf.
Abb. 8.38 Verformung der Membran mittels FE-Berechnung
Für einen schmalen (dünnwandigen) Rechtecksquerschnitt (siehe Abb. 8.39) werden
nun mit Hilfe der Membrananalogie die maximale Schubspannung und das
Torsionsträgheitsmoment abgeleitet. Aufgrund der Tatsache, daß b>>t kann das
Problem als 2-D Problem betrachtet werden, bei dem man annimmt, daß sich alle
Querschnitte gleich verformen. Dabei werden Einflüsse am Ende des Rechteckquerschnittes
vernachlässigt. Aus der Differentialgleichung der Membran ist
ersichtlich, daß eine parbolische Form der Membran angenommen werden kann.
z’
Membran Membran
b
x’
fixierte Kante x y
M T
p
y’
Annahme b >> t
t
t
Schubspannungsverteilung
Die max. Schubspannung befindet sich am
Rand, da dort die Neigung der Membran
z’
τ max
Abb. 8.39 Torsionsstab
z
y’
τ max
Baustatik 1
8-35
8-35

8-36 8-36
8-36
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Torsion
z’ p y’
Abb. 8.40 Membrananalogie
Für einen typischen Querschnitt erhält man:
S
α
Parabel
Abb. 8.41 Verformung der Membran infolge einer Belastung p
Die Schubspannung ergibt sich aus der Beziehung
τ
Membran
Die max. Schubspannung befindet sich an der Stelle y = t/2.
b
Annahme b >> t
Behälter
Aus der Gleichgewichtsbedingung für die Membran ergibt sich
x’
w
p wm
w
t
4wm y
w wm 2
= – ------------------- ≡ ψ
t 2
dψ
= ------ ≡
dy
τ max
≡
�V = 0 ptb– 2bSsinα = 0 .
p
dw
-----dy
�dw ------ �
�dy� y
t
t 2
α
8wm y
= -------------------
= --
t
2
=
4wm -----------t
S
y

Daraus folgt mit
α α 4w ------------ m
sin ≈ =
Aus der Membrananalogie folgt weiters
Aus dieser Gleichung erhält man die Verformung w m der Membran
Mit der Gleichung aus der Membrananalogie
ergibt sich das Torsionsmoment zu
und für die Verdrillung erhält man
Räumliche Systeme
Torsion
Im Falle des schmalen Rechtecks lautet die Formel für das Torsionsträgheitsmoment
Die max. Schubspannung des Querschnittes lautet dann
t 2
t 2
p 8w
-- m
= ------------ → wm =
S
V Membran
M T
τ max
2twm b
= --------------------- ≡
3
--
p
S
t 2
⋅ ---
8
4twm b
= --------------------- → wm =
3
p
-- ≡ 2Gϕ'
S
M T
t 3 bGϕ'
= --------------------- = GITϕ' 3
ϕ'
I T
=
=
M T
--------
GI T
t 3 -------b
3
1
-- MT 2
3MT ------------
4tb
4wm 4⋅3 MT 3MT ------------ ------------------- ------------ .
t 4tbt
MT = = = =
------- t
bt 2
I T
Baustatik 1
8-37
8-37

8-38 8-38
8-38
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Torsion
Torsionsträgheitsmomente dünnwandiger offene Querschnitte
t
t
i = 2
w
8.8.5 Wölbkrafttorsion
b
i = 3
i = 1
b
(d - t)
d
τ max
t
=
Bei einem Stab, der in seiner Verwölbung nicht behindert wird, nimmt sein
ursprünglich ebener Stabquerschnitt bei Torsionsbeanspruchung i. allg. eine verwölbte
Form an.
Werden die axialen Verschiebungen, welche die Ursache für die Verwölbung sind,
be- oder verhindert, werden Längsspannungen aktiviert, und die zugehörige Torsionswirkung
wird als Wölbkrafttorsion bezeichnet.
MT IT I T
I T
------- t
=
I T
τ
=
n 1
3
-- bi ti 3 �i
= 1
b t 3
--------
3
MT t
= -----------
I T
1
-- 2bt
3
3
( d – t)
w 3
=
( + )

Räumliche Systeme
Torsion
Die Be- oder Verhinderung der Verwölbung wird entweder durch Auflagerbedingungen
oder durch eine Veränderung des Momentes entlang des Stabes verursacht.
Zusätzlich zu den St. Venantschen Schubspannungen gibt es dann Normalspannungen
σ w und Schubspannungen τ w aus der Wölbbehinderung heraus (sekundäre
Schubspannungen). Die Ableitung der Spannungen und des Torsionsmomentes
werden im folgenden nur für dünnwandige offene Querschnitte entwickelt.
Damit man die Ableitung der Spannungen durchführen kann, muß die Verwölbung
u bekannt sein. Diese Verwölbungsfunktion ergibt sich aus einigen geometrischen
Überlegungen heraus. In Abb. 8.42 a wird ein offener dünnwandiger Querschnitt
mit einem Torsionsmoment beansprucht.
Wie aus Abb. 8.42 b und Abb. 8.46 ersichtlich, verursacht die Beanspruchung
sowohl eine tangentiale Verschiebung des Punktes S als auch eine Verschiebung
des Punktes S in axialer Richtung um du.
Da die St. Venant’schen Schubspannungen in der Mittelfläche von dünnwandigen
Querschnitten verschwinden, ist die Annahme einer unverzerrten Mittelflache
gerechtfertigt.
S
M T
y
M T
x
e
0
s = 0
z
a ⋅
dϕ ⋅ sinβ
Centerline of section
Wandmittellinie
Abb. 8.42 Verformung eines torsionsbeanspruchten Querschnittes im Grundriß
S’’
schubstarre Wandmittellinie
S’
β
S
e
β
dϕ
a) b)
y
a
SS'= adϕ
SS''= adϕ sinβ
( )
a sinβ
= ρ0 s
ρ 0(s)
z
M
0
Baustatik 1
8-39
8-39

8-40 8-40
8-40
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Torsion
Abb. 8.43 Darstellung der Verschiebung und Verdrehung eines Elementes eines
torsionsbeanspruchten Querschnittes
Die Funktion der Verwölbung im Punkt S kann damit aus der Gleichung
berechnet werden.
Wenn wir die Gleichung integrieren, erhalten wir die Verwölbung mit der Integrationskonstanten
u 0 .
Wird mit
S
ds
e
die Einheitsverwölbung ω0( s)
eingeführt, so folgt
0
x
du dx
S
S’’
y
z
u = u0– ω0( s)ϕ'.
Die Einheitsverwölbung ω0( s)
ist auf den Schubmittelpunkt M bezogen.
Die Änderung der Verwölbung zwischen zwei Punkten ist daher proportional zur
Fläche die aus den zwei Geraden vom Schubmittelpunkt aus zu den beiden auf
dem Querschnitt liegenden Punkten (siehe Abb. 8.44)gebildet wird.
du
adϕ sinβ
⁄ dx
du a dϕ
------ β ds ρ0( s)
dx
dϕ
= – sin = – ------ ds
dx
S’’
u = u0– ϕ' ρ0( s)
ds
ω0( s)
= ρ0( s)
ds
s
�
0
s
�
0
.
ds
adϕ sinβ
dx

P 1
Fläche
P 2
Abb. 8.44 Centerline of section
Räumliche Systeme
Torsion
Der Wert u 0 hängt von der Lage des Nullpunktes des Koordinatensystems ab.
Abb. 8.45 Verwölbung eines dünwandigen Querschnittes (aus FE-Berechnung)
Die Längsspannungen, über den Querschnitt integriert, ergeben keine resultierende
Schnittlast, da keine äußeren Kräfte als Ursache vorhanden sind. Daher muß gelten:
y
ρ 0 (s)
M
z
M
Baustatik 1
8-41
8-41

8-42 8-42
8-42
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Torsion
w
Mz N w
w
My zs ( )σ w dA
= 0
Wenn die Verwölbung behindert ist, entsteht eine Normalspannung:
Die Längsdehnung der Wandmittelfläche ist
ε w ( xs , )
∂u( xs , ) ∂
= ------------------- = ----- ( u0 – ω .
∂x ∂x 0( s)ϕ')
= – ω0(
s)ϕ''
Für die Normalspannung erhält man den Ausdruck
σ w
=
=
=
�
A
�
A
σ w
=
�
A
σ w dA
= 0
ys ( )σ w dA
= 0
=
E ε w
Ändert sich die Spannung σ w , erhält man eine zusätzliche Schubspannung. Ihre
Größe ergibt sich aus der Gleichgewichtsbedingung der Stabkräfte in x-Richtung
eines Stabelementes.
σ w t
dx
τ w t
Abb. 8.46 Darstellung der Verschiebung und Verdrehung eines Elementes eines
torsionsbeanspruchten Querschnittes
ε w
– Eϕ''
ω0( s)
τ( 0)
= 0
t
s
e
0
σ w ∂σ w
� �
� + ---------- dx � t
� ∂x �

Aus dieser Gleichung erhält man den Ausdruck
Die Schubspannung nimmt somit die Form an
In dieser Formel ist S w durch die Gleichung
definiert. ( S w heißt statisches Wölbmoment des Stabes )
Das Torsionsmoment kann aus der Gleichung
berechnet werden.
Räumliche Systeme
Torsion
Auf das Integral wird nun die Regel der partiellen Integration angewendet.
mit
s
τ w ts ( ) dx t( s)
σ w ∂σ w � � w
+ � � + --------- dx�ds
– � t( s)
σ ds
= 0
� �
M W
=
e
uv
0
s
�
0
M w
0
∂σ x
τ w ts ( ) ts ( ) ∂σw
= – --------- ds
∂x
S w
M W
τ w
=
=
=
s
�
0
s
�
0
0
-----
∂v
= ρ0( s)
.
∂s
Der Ausdruck ist Null, weil an allen Stegenden s = 0 und s = e die Schubspannung
verschwindet. Mit den Gleichungen
s
�
E ϕ''' Sw
----t
ω0( s)
ts ( ) ds
ρ0( s)ts
( )τ w ds
ρ0( s)ts
( )τ w s u ∂v
e
d = � ----- ds = uv 0
∂s
u τ w = ts ( ),
s
0
s
0
–
s
�
0
v ∂u
----- ds
∂s
Baustatik 1
8-43
8-43

8-44 8-44
8-44
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Torsion
τ und
w ts ( ) ts ( ) ∂σw
= – --------- ds
ω0( s)
= ρ0( s)
ds
∂x
wird der zweite Ausdruck zu
= – --------- ds und v = ω0( s)
.
∂x
Damit ergibt sich für das Tosionsmoment aus Wölbkrafttorsion
Die Konstante C M in der Formel wird Wölbwiderstand (z.B. aus Profiltabellen)
genannt und ist durch die Gleichung
definiert.
M w
8.8.6 Spannungen aus Biegung + Torsion dünnwandiger
Querschnitte
Die Normalspannung aus Biegung und Torsion dünnwandiger Querschnitte lautet
Die Schubspannung wird zu
�
s
�
0
∂u
-----
∂s
∂σ w
ω0( s)
∂σw
= --------- dA
= E ϕ''' ω0 ( ) dA
=
∂x
τ
A
σ
=
C M
E ω0( s)
ϕ'' … Wölbkraftanteil
E Sw ϕ''
------------------t
… Wölbkraftanteil
Gϕ' t … St. Venantscher Anteil
C M
=
2 s
… Wölbwiderstand (Profiltabellen)
�
A
N
---
A
My' + ------- z' +
Iy' �
A
2
ω0 ( s)
dA
Mz' – -------y'–
E ω0( s)
ϕ''
Iz' Qz' Sy'( s)
----------------------
Iy'ts ( )
Qy' Sz' s ( )
– ---------------------- G ϕ' t
Iz'ts ( )
ESwϕ''' = –
+ + ---------------t
s
�
0
E ϕ''' C M

I T
… Torsionsträgheitsmoment
8.8.7 Querkraftanalogie
Allgemeine Differentialgleichung der Torsion
Abb. 8.47 Gleichgewicht am Element
Aus dem Gleichgewicht am Element erhält man
EC M ϕ""
GI T ϕ''
C M
I T
M T
… Wölbkraftanteil
… St. Venantscher Anteil
MT = ECMϕ''' – G ITϕ' … Wölbwiderstand (Profiltabellen)
… Torsionsträgheitsmoment
Räumliche Systeme
Torsion
Je nach Profiltyp wirken sich die beiden Anteile verschieden stark aus, sodaß bei
dünnwandigen Querschnitten in guter Näherung nur jeweils ein Anteil zu berücksichtigen
ist.
bei offenen Profilen: Wölbkraftanteil
bei geschlossenen Profilen: St. Venantscher Anteil
Analogie der Differentialgleichung mit der des gezogenen Stabes:
P
EI
p
w
m T
dx
m T
m T
=
∂MT ----------
∂x
= E CMϕ"" – G ITϕ'' P
∂M
M + ----------- T
dx
T ∂x
Diffgl. des gezogenen Biegestabes
nach Theorie II. Ordnung:
p =
E I w"" – P w''
Baustatik 1
8-45
8-45

8-46 8-46
8-46
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Torsion
EIw""
Pw''
… Anteil der Balkenbiegung
Analogie zur Wölbkrafttorsion
… Anteil der Normalkraftwirkung (Seilkraftsanteil)
Analogie zur St. Venantschen Torsion
Analogie: St. Venantsche Torsion ↔ gezogener Biegestab
m T
M T
= – GIT ϕ'' Belastung p = – P w''
= – GIT ϕ' Schnittkraft Q = – P w'
�M T dx= – G ITϕVerformung M = – P w
Bei statisch bestimmter Lagerung ist die Anwendung der Querkraftsanalogie möglich.
Bei statisch unbestimmter Lagerung ist sie nur unter bestimmten Voraussetzungen
anwendbar: wenn entweder das Torsionsträgheitsmoment I T über die ganze Trägerlänge
konstant ist, oder Symmetrie für das Torsionsträgheitsmoment I T und die
Belastung vorliegt.
Bei all diesen statisch bestimmten, oder quasi statisch bestimmten Torsionsträgern
ist die Analogiebetrachtung von Vorteil.
Die Analogiebetrachtung gilt auch für die Bestimmung der Einflußlinien.
Bei statisch unbestimmten Torsionsträgern wird die Torsionsmomentenverteilung
wie bei der Kraftgrößenmethode mit der Elastizitätsgleichung berechnet.
Für einfach statisch unbestimmt gelagerte Torsionsträger lautet die Elastizitätsgleichung
δ 10
δ 11
δ = δ10 + δ11 X1 = 0
… Verformung infolge des Torsionsmomentes am statisch
bestimmten oder quasi statisch bestimmten Torsionsträger
… Verformungen infolge des Torsionsmomentes X 1 =1.
Die Torsionsmomentenverteilung erhält man aus der Gleichung
M T0
MT = MT0 + X1 MT1 … Momentenverteilung infolge des Torsionsmomentes M TB

M T1
am stat. best. Grundsystem.
Räumliche Systeme
Torsion
… Momentenverteilung infolge des Torsionsmomentes X 1 =1
Beispiel 8.4: Torsionsträger
m L
-------------
T
2
L
am stat. best. Grundsystem.
I T = const. → “ “ Torsionsträger
m T
m T
≡
m L
T 2
----------------
8GI
T
p
m L
– -------------
T
2
ϕ
M ≡ Q
T
≡
----------- M
GI
T
M TB
L/2 L/2
M
------------
TB
2
M L
----------------
TB
4GI
T
Abb. 8.48 Quasi statisch bestimmter Torsionsträger
M ≡ P
TB
M
– ------------
TB
2
Diese Spitze kann sich in Wirklichkeit nicht
ausbilden. Sie ergibt sich aus der Vernachlässigung
der Wölbkrafttorsion.
(Analogie des Seiles ohne “EI“)
Baustatik 1
8-47
8-47

8-48 8-48
8-48
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Torsion
Beispiel 8.5: Statisch unbestimmter Einfeldträger
A MTB = 400 kNm B
10 m 20 m 10 m
I TC / I T 1,50 1,0 1,50
- 400 kNm
M TB
GI TC ϕ 11
GI TC ϕ 10
M 1 = 1
M T0
M T1
An der Stelle B wird die Gabellagerung
gelöst. Die statisch Überzählige ist das
Torsionsmoment am Auflager B. Das Torsionsmoment
wird gedanklich so lange
vergrößert, bis die Verdrehung j B am Auflager
Null wird.
GIT ϕB = MT0 MT1 ds
= 0
Abb. 8.49 Statisch unbestimmter Einfeldträger
= �i
�
= �i
Die Torsionsmomentenverteilung ergibt sich aus der Gleichung
X 1
2 ITC MT1 ITi �
�
Statisch bestimmtes Grundsystem
Momentenverteilung infolge M TB
Momentenverteilung infolge M T1 = 1
GITC ϕ10 = – ---------------------
GITC ϕ11 ------ ds
= 1, 50 ⋅ ( 10 + 10)
+ 1, 0 ⋅ 20 = 50
M T1 M T0
X 1
I TC
------ ds
= – 400 ⋅ 1, 5 ⋅ 10 = – 6000
I Ti
– 6000
= – ---------------- = 120 kNm
500
MT =
MT0 + X1 MT1

- 280 kNm
120 kNm
Abb. 8.50 Endgültige Momentenverteilung
8.9 Räumliche Tragwerke
8.9.1 Statisch bestimmte Systeme
Räumliche Systeme
Räumliche Tragwerke
Bei einem statisch bestimmten räumlichen Tragwerk lassen sich die Auflagerkräfte
und die Schnittkräfte mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen bestimmen.
In der Ebene stehen 3 und im Raum 6 Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung.
z
M z
Pz Py P x
M x
M y
x
y
Zur statisch bestimmten Stützung eines starren Körpers werden 6 Stützstäbe benötigt.
Abb. 8.51 Statisch bestimmte Stützung
Räumliche Tragwerke, die auf vier Punkten gelagert werden, sind statisch unbestimmt.
M T
Gleichgewichtsbedingungen
� Px = 0 � Mx = 0
� Py = 0 � My = 0
� Pz = 0 � Mz = 0
Baustatik 1
8-49
8-49

8-50 8-50
8-50
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Räumliche Tragwerke
Auflagersymbole
Abb. 8.52 Statisch unbestimmte Stützung
Anstelle der in Abb. 8.51 und Abb. 8.52 verwendeten Stützstäbe werden oft auch
Auflagersymbole verwendet, die die Art der Stützung kennzeichnen. Man unterscheidet
das bewegliche und das feste Auflager, die Einspannung und die Gabellagerung.
Tab. 8.1 enthält die üblichen Auflagersymbole.
z’
z’
z’
z’
z’
Lager F x’ F y’ F z’
x’
y’
x’
y’
x’
y’
x’
y’
x’
y’
M x’
(Torsion)
Tab. 8.1 Auflagersymbole
M y’
(Biegung
)
M z’
(Biegung
)
nein nein ja nein nein nein
ja ja ja nein nein nein
ja ja ja ja ja ja
ja ja ja ja nein nein
... lokales (stabbezogenes) Koordinatensystem

8.9.2 Fachwerk
i
L x
L
L’
Abb. 8.53 Abstützung eines Knotens
Abb. 8.54 Komponenten einer Kraft
S 1
S 2
S 3
k
L y
Abb. 8.55 Knotenschnit
Räumliche Systeme
Räumliche Tragwerke
Zur Abstützung eines Knotens im Raum
werden3Stäbe,dienichtineinerEbene
liegen dürfen, benötigt.
Pro Knoten sind 3 Gleichgewichtsbedingungen
zu erfüllen.
Knotenschnitt → 3 Gleichungen
L z
z
�
v 1
Fx = 0, Fy= 0 und Fz = 0
Bei statisch unbestimmten räumlichen Fachwerken ist die Berechnungsgrundlage
dieselbe wie für ebene Fachwerke. Die Schnittkräfte und Auflagerkräfte lassen
sich nicht mehr mit den Gleichgewichtsbedingungen alleine bestimmen; es
müssen zusätzlich so viele Elastizitätsgleichungen zu Hilfe genommen werden,
wie statisch Unbekannte vorhanden sind.
S n
y
�
x
v 1
� S �
� x �
� �
� Sy �
� �
�
� S
�
Z �
�
� Lx ⁄ L �
� �
� �
= � Ly ⁄ L �
� �
�
� Lz ⁄ L
�
�
n
=
S n
� Lx ⁄ L �
� �
� �
� Ly ⁄ L �
� �
�
� Lz ⁄ L
�
�
Aus den Gleichgewichtsbedingungen
�
�
Fx = 0, Fy= 0 und Fz = 0
erhält man S 1 ,S 2 und S 3 .
�
Baustatik 1
8-51
8-51

8-52 8-52
8-52
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Räumliche Tragwerke
8.9.3 Räumliche Rahmen
Bei räumlichen Stabwerken sind die Stäbe in der Lage, Biegemomente, Querkräfte
und Normalkräfte aufzunehmen. Für räumliche Stabwerke gelten ebenso die im
Kapitel besprochenen Grundprinzipien. Für die Schnittgrößen
gilt, daß sie dann positiv sind, wenn ihre Vektorkomponenten am positiven
Schnittufer in Richtung der positiven, lokalen Basis weisen.
M xi
M zi
zi
Abb. 8.56 Definition der positiven Schnittkräfte
am positiven und am negativen Schnittufer
8.9.4 Statisch bestimmte Rahmen
Bei einem statisch bestimmten Rahmen lassen sich sämtliche Auflager- und
Schnittkräfte mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen (in der Ebenen 3, im Raum
6) bestimmen.
Beispiel 8.6: Kragarm
z
M yi
N xi
Q zi
y
y
negatives Schnittufer
Q yi
i
z
x
x
L
positives Schnittufer
Q yk
k
q
L/2
N xk
Qzk Myk M zk
M xk

Räumliche Systeme
Räumliche Tragwerke
Abb. 8.57 Biegemomentenverteilung und Torsionsmomentenverteilung
8.9.5 Statisch unbestimmte Rahmen (Kraftgrößenmethode)
Die Auflagerkräfte und Schnittgrößen sind nicht mehr durch die Gleichgewichtsbedingungen
allein bestimmbar. Für ihre Berechnung werden so viele Elastizitätsgleichungen
benötigt wie statisch unbestimmte Größen vorhanden sind. Für die
Berechnung räumlicher unbestimmter Rahmen gelten ebenso die im Kapitel
Kraftgrößenmethode besprochenen Grundlagen.
Die Formänderungsarbeit infolge eines Biegemomentes, der Normalkraft und der
Querkraft wurde bereits abgeleitet.
Bei räumlichen Systemen kommt noch die Formänderungsarbeit aus Torsion
hinzu.
Formänderungsarbeit aus Torsion:
M T
Verschiebung:
Spannung:
qL 2
– ---------
2
M
qL 2
– ---------
8
γ(r)
dx
r
dϕ
Kennfaser
M T
qL 2
– ---------
8
ϑ dx = dϕ
Abb. 8.58 Verformung eines Torsionsstabes
du() r
τ() r
=
ϑ dx r
M T
=
------- r
I P
T
ϑ =
dϕ
-----dx
… Verdrillung
γ dx = r ϑ dx = r dϕ
Baustatik 1
8-53
8-53

8-54 8-54
8-54
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Räumliche Tragwerke
Formänderungsarbeit:
dW = τ r
A
() du r
Mit der Gleichung für die Verdrillung
ergibt sich die Formänderungsarbeit aus Torsion zu
Beispiel 8.7: Balkon
b
�
() dA
=
q
a
�
M
------- T r ϑ dx r dA
IP M -------ϑ T r
IP 2 = � dAdx
= MTϑdx ϑ
=
MT --------
GIT dW MT MT
= ---------------- dx
GI T
A
Geg: q, a, b, I und I T
Ges: Biege- und Torsionsmomente
Dieses System ist 6-fach statisch unbestimmt,
aber für die gegebene symmetrische
Belastung reduziert sich der Grad
der statischen Unbestimmtheit. Für die
gegebene Belastung ist das System 1fach
statisch unbestimmt.

M z = 0
Q z = 0
X 1
Nx = 0
Mx = 0
Räumliche Systeme
Räumliche Tragwerke
Abb. 8.59 System mit Belastung und statisch bestimmtes Grundsystem
Abb. 8.60 Momentenverteilung
Die Formänderungsausdrücke ergeben sich somit zu
Mit diesen Ausdrücken erhält man
z
X 1
M y
Biegemomente Torsionsmomente
M 0
T 0
EI C ϕ 11
EI C ϕ 10
=
=
�
�
Die endgültigen Biegemomente und die Torsionsmomente lassen sich mit den
Gleichungen
x
Q y = 0
y
2 IC M1 M 1 M 0
X 1
b
X 1
a
X 1
a/2 a/2
Biegemomente Torsionsmomente
�
M 1
1
2 EIC GIT ---- ds + T -------- 1 ds
I
IC ---- ds + T1T 0
I �
δ 10
=
– ------
δ 11
EI C
-------- ds
GI T
T 1
1
Baustatik 1
8-55
8-55

8-56 8-56
8-56
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Räumliche Tragwerke
bestimmen.
Beispiel 8.8: Schiefe Brücke
I, I T = •
A
M = M0+ X1 M1 T = T0+ X1T 1
Biegemomente Torsionsmomente
M T
Abb. 8.61 Endgültige Momentenverteilung
C
Hohlkasten
Abb. 8.62 Schiefe Brücke
I, I T
q
Grundriß
I, I T
L
a a
Abb. 8.63 Statisches System der schiefen Brücke
B
D
I, I T = •
b

Räumliche Systeme
Räumliche Tragwerke
Das System ist 1-fach statisch unbestimmt. Als statisch unbekannte Größe X 1 wird
der Auflagerdruck in A gewählt (siehe Abb. 8.64).
Abb. 8.64 Statisch bestimmtes Grundsystem
Mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen erhält man die Auflagerdrücke infolge
der Kraft X 1 =1.
Kontrolle:
a
Abb. 8.65 Auflagerkräfte zufolge X 1=1
Abb. 8.66 Biegemoment- und Torsionsmomentverläufe infolge X 1=1
Belastung: Gleichlast q
A
C
C
X 1 = 1
� MCD = 0 1⋅b = B⋅b → B = 1
�M AC = 0 B⋅L = D ⋅ L → D = B = 1
�M AB = 0 D⋅b = C ⋅ b → C = D = 1
M 1
�V = 0 1 + D– B – C = 0
C = 1
X 1 = 1 B = 1
b
B
B
D
D
D = 1
M 1 a -- 1
2
a
= ⋅ + ⋅ -- = a
T 1
2
b--
1
2
b
=
⋅ + ⋅ -- = b
2
T 1
Baustatik 1
8-57
8-57

8-58 8-58
8-58
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Räumliche Tragwerke
Abb. 8.67 Statisch bestimmtes Grundsystem mit der Belastung q
Die Auflagerdrücke am statisch bestimmten Grundsystem erhält man ebenso mit
den Gleichgewichtsbedingungen.
Kontrolle:
qL
------
2
a
– --
2
Abb. 8.68 Biegemoment- und Torsionsmomentverläufe infolge q
Die EI C fachen Formänderungswerte lauten:
A
C
X 1 = 0
� MBD = 0 q L L
⋅ ⋅
� MAB = 0 C b q L b
⋅ + ⋅ ⋅
� MAC = 0 B L q L L
⋅ + ⋅ ⋅
q
B
-- + C ⋅ L = 0 → C = –
q
----------
⋅ L
2
2
D
-- – D ⋅ b = 0 → D = 0
2
-- = 0 → B = –
q
----------
⋅ L
2
2
�V = 0 q L L
⋅ ⋅ -- + C+ B = 0
2
M 0
qL 2
--------
8
EIC δ11 =
EI C ϕ 10
=
�
�
2 IC M1 M 1 M 0
X 1
qL
------ a
– --
2
2
�
2 E
---- s T --- 1
I G
I d + ---- C ds
IC ---- ds + T1T 0
I �
δ 10
=
– ------
δ 11
I T
--------
EIC ds
GIT T 0
qL
------
2
b – --
2

Räumliche Systeme
Räumliche Tragwerke
Die endgültigen Biegemoment- und die Torsionsmomentverläufe lassen sich mit
den Gleichungen
bestimmen.
Beispiel 8.9: Durchlaufträger im Bogen
starr r
a
a
M = M0+ X1 M1 T = T0+ X1T 1
starr
Abb. 8.69 Durchlaufträger im Bogen mit starren Querträgern
Der Bogen ist auf Grund seiner starren Querträger 3-fach statisch unbestimmt.
Im Punkt C werden der linke und der rechte Teil des Bogens vom Querträger freigeschnitten.
Die dadurch freigewordenen statisch unbestimmten Größen sind X 1,X 2 und X 3.
starr
Biegemoment- und Torsionsmomentverläufe infolge X 2 =1:
A
B
r sinϕ
a
C
r sinα r
j
0
sinα
⋅ 1
X 2 = 1
T 2 ϕ
Der Momentenverlauf für X 3 = 1 ist spiegelverkehrt zu dem für X 2 =1.
C
X 1
X 2
�
C
M AB
= 0
X 3
X 1
– r sinα
C = sinα
→ C = –
1
--
r
M 2 ϕ
( ) = Crsinϕ + sinϕ
≡ 0
( ) = – Cr1 ( – cosϕ)
+ cosϕ
≡ 1
C
Baustatik 1
8-59
8-59

8-60 8-60
8-60
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Räumliche Tragwerke
Biegemoment- und Torsionsmomentverläufe infolge X 1 =1:
A
B
r sinα
Biegemoment- und Torsionsmomentverläufe infolge unterschiedlicher Belastungen:
Belastung: Einzellast P
A
P
Belastung: Gleichlast q
r sinϕ
C
cos
a
j P
j
0
C
r sinα j
r
B
a
0
r
α ⋅ 1
X 1 = 1
�
M AB
= 0
– r sinα
C = cosα
→ C = – --------------cosα
r sinα
M1 = Crsinϕ+ cosϕ
= cosϕ–
-----------cosα
sinϕ
sinα
T1 = – Cr1 ( – cosϕ)
+ sinϕ
=
=
sinϕ
+ -----------cosα
( 1 – cosϕ)
sinα
�
M AB
= 0
Crsinα = Prsin( α– ϕP) → C
Für ϕ < ϕP sin(
α– ϕP) = P --------------------------sinα
MP = Crsinϕ TP = – Cr( 1– cosϕ)
MP = Cr
Für ϕ > ϕP sinϕ
– Prsin( ϕ – ϕP) TP = – Cr( 1– cosϕ)
+ P r[ 1– cos(
ϕ – ϕP) ]

A
B
Belastung: Gleichstreckenmoment m
A
q dj
B
r 1– cosα
a
a
j
Die EI C fachen Formänderungsgrößen lauten:
j q
C
0
r
M AB
= 0
Räumliche Systeme
Räumliche Tragwerke
Mit den Formänderungsgrößen können die Elastizitätsgleichungen, z. B. für die
Einzellast P, aufgestellt werden.
Aus diesen Gleichungen lassen sich die statisch unbestimmten Größen X 1 ,X 2 und
X 3 bestimmen und in weiterer Folge die Schnittkräfte.
�
α
�
C r sinα
= qr sin( α– ϕq) dϕq
0
Mq = Crsinϕ – qr sin( ϕ – ϕq) dϕq
Tq = – Cr( 1– cosϕ)
+ q r [ 1 – cos(
ϕ– ϕq) ] dϕq
C
m �M
AB = 0
( )
j r
0
EI C ϕ ik
=
�
M i M k
ϕ
�
0
ϕ
�
– C r sinα
= mr1 ( – cosα)
Mm = Crsinϕ + mr1 ( – cosϕ)
Tm = – Cr1 ( – cosϕ)
+ m r sinϕ
IC ---- ds + Ti Tk I �
0
EI C
-------- ds
GI T
δ11 X1 + δ12 X2 + δ13 X3 + δ1P = 0
δ21 X1 + δ22 X2 + δ23 X3 + δ2P = 0
δ31 X1 + δ32 X2 + δ33 X3 +
δ3P = 0
Baustatik 1
8-61
8-61

8-62 8-62
8-62
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Räumliche Tragwerke
Beispiel 8.10: Trägerrost
y
z
1
3,00 m 1,50 m 1,50 m 3,00 m
3
2
Abb. 8.70 Trägerrost
E = 210 . 10 6 kN/m 2 ,
G = 80 . 10 6 kN/m 2 ,
I c = I Bieg. = 0,008 m 4 ,
2,00 m
Ges: M B und M T infolge der Widerlagersenkung des Knotens 5 um 5 cm, sowie
die Vertikalverschiebung des Punktes 3 (z-Richtung).
Das System ist 1-fach statisch unbestimmt. Als statisch unbestimmte Größe wird
die Auflagerkraft im Knoten 5 gewählt.
�
Schnittkraftverläufe infolge X 1 = 1 am statisch bestimmten Grundsystem:
1
4
5 cm
Abb. 8.71 Statisch bestimmtes Grundsystem
5
EIC GIT EICδ MM IC = ---- ds
+ M M -------- T ds
I
2,50 m
EI
-------- C
GIT IC IB 0 008 cm 4
= = ,
8
21 , ×10 ⋅ 0, 008
= --------------------------------------- = 10, 50
7
8×10
⋅ 0, 002
3
3,00 m 1,50 m 1,50 m 3,00 m
2
2,50 m
4
�
X 1 = 1
X1 = 1
5
x
2,00 m

Räumliche Systeme
Räumliche Tragwerke
Die Abb. 8.72 zeigt die Zerlegung der einzelnen Momente infolge X 1 =1inBiegeund
Torsionsmomente.
+ 9
1
Abb. 8.72 Zerlegung der einzelnen Momente in
Biege- und Torsionsmomente und Bemaßung
+ 3,6
a = 53,13 °
Abb. 8.73 Biegemomentenverlauf infolge X 1 = 1
0
4,8
+ 6
+ 1,1
2,4
2
+ 3
+ 4,3
Abb. 8.74 Torsionsmomentenverlauf zufolge X 1 = 1
3
1,1
2,4 m
+ 1,8
0
4
2,4
2,4 m
2,4 m
1,8
2,4
4,3
2,4
2,4
5
M B1
M T1
Baustatik 1
8-63
8-63

8-64 8-64
8-64
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Räumliche Tragwerke
Ermittlung der Arbeitsintegrale (� Klaffungen)
Da die Verschiebung des Auflagers in Richtung der statisch unbestimmten Größe
erfolgt, lautet der Formänderungsausdruck infolge der Widerlagersenkung
Die endgültigen Schnittkräfte lassen sich mit den Gleichungen
berechnen.
EI C δ 11
=
1
-- ⋅ 3⋅ 3⋅ 3 = 900 ,
3
+
1
--( 182 , ( ⋅ 18 , + 43 , ) + 432 , ( ⋅ 43 , + 18 , ) )2, 5 = 24, 56
6
+
1
--( 112 , ( ⋅ 11 , + 36 , ) + 362 , ( ⋅ 36 , + 11 , ) )2, 5 = 15, 11
6
X 1
1
+ --( 62 ( ⋅ 6+ 9)
+ 92 ( ⋅ 9+ 6)
)3=
171, 00
6
8
δ 10
=
48 2 + , ⋅ 25 , ⋅ 105 , = 604, 80
24 2 + , ⋅ 25 , ⋅ 105 , = 151, 20
5cm
21 , ×10 ⋅ 0, 008 ⋅ 0, 05
= – ------------------------------------------------------- = – 86, 0 kN
976, 67
M B
M T
=
X 1 M B1
=
X1M T1
-------------------------
Summe 975, 67

-774,00
Vertikalverschiebung im Pkt. 3
Abb. 8.75 Biegemomentenverlauf
Abb. 8.76 Torsionsmomentenverlauf
Räumliche Systeme
Räumliche Tragwerke
Die Vertikalverschiebung des Punktes 3 wird mit Hilfe des Reduktionssatzes
ermittelt.
Im Punkt 3 wird eine 1-Last am statisch bestimmten Grundsystem angebracht Die
Schnittkraftverläufe M B und M T werden infolge der 1-Last ermittelt.
-4,5
-309,6
0
-412,80
M B
-2,5
-1,5
-516,00
-94,60
206,4
-258,00
-154,80
-369,80
Abb. 8.77 Biege- und Torsionsmoment infolge X 1 = 1
0
MT
2,0
M T
M B
0
Baustatik 1
8-65
8-65

8-66 8-66
8-66
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Trägerrost
1
EIC w3 = --( ( – 4,
5)
( 2( – 774,
0)
+ ( – 516,
0)
)) ⋅ 3, 0 = 4644, 0
6
Die Durchbiegung im Punkt 3 ist 4,0 mm.
8.10 Trägerrost
1
+ --( ( – 1,
5)
( 2( – 516)
+ ( – 774,
0)
) ) ⋅ 3, 0 = 1354, 5
6
1
+ --( 2( – 309,
6)
+ ( – 94,
6)
) ⋅( – 2,
5)
⋅ 2, 5 = 743, 5
6
w3 = 0, 004 m → w3 = 40mm ,
Der Trägerrost ist ein Spezialfall eines 3-D Tragwerkes und ist hauptsächlich bei
Brückentragwerken zu finden. Das Tragsystem liegt in einer Ebene, und die Belastung
ist normal zur Ebene. Auf Grund dieser Vorgaben hat jeder Knoten nur 3
Freiheitsgrade (2 Verdrehungen und 1 Durchbiegung).
Abb. 8.78 Trägerrost
I z’ → I … Trägheitsmoment
P
I x’ → I T … Torsionsträgheitsmoment
m z ’
z’
q z ’
----------------------------
Summe 6742,0
Abb. 8.79 Darstellung der Freiheitsgrade eines Knotens
y’
p y ’
u y ’
q
mx ’ qx ’
x’

8.10.1 Trägerrost mit starren Querträgern
Abb. 8.80 Trägerrost mit starren Querträgern
Räumliche Systeme
Trägerrost
Zur Berechnung des hochgradig statisch unbestimmten Systems gibt es viele Möglichkeiten
(z.B. Computerprogramme). Eine einfache ingenieurmäßige Berechnungsmöglichkeit
stellt das Verfahren von Engesser dar. Die Voraussetzungen für
die Anwendung dieses Verfahrens sind
� Starre Querträger: I Q = ∞ (d.h. geradlinige Querverteilung)
� Torsionssteifigkeit der Hauptträger ist vernachlässigbar (I T = 0)
� Querträger werden als verschmiert vorrausgesetzt
� Hauptträger haben dasselbe Längssystem
x
Hauptträger
� Hauptträger haben gleichen Verlauf der Trägheitsmomente
Für das Trägheitsmoment eines Hauptträgers gilt
Iix ( )
Die Durchbiegung des Hauptträgers i unter einem Lastsystem P ist dann
yix ( )
=
=
Iimax ,
c (x) … Konstante, die mit den üblichen Methoden der Statik berechenbar
c( x)
ist, jedoch bei der vereinfachten Berechnung herausfällt.
Der Vorteil dieses Verfahrens ist es, daß die Belastung auf die einzelnen Hauptträger
querverteilt wird, und damit jeder Hauptträger mit seinem Lastanteil gesondert
berechnet werden kann.
⋅
f( x)
P
-----------
Iimax ,
Starrer Querträger
Hauptträger
2 3 4
1
a 1 a 2 a 3
Baustatik 1
8-67
8-67

8-68 8-68
8-68
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Trägerrost
Die Querschnittsverformungen werden in einen reinen und einen
reinen zerlegt.
w 1
Abb. 8.81 Durchbiegung infolge einer Belastung P
P i … Lastanteil des Hauptträgers
Verschiebungszustand w’ = const.
Querträger
Abb. 8.82 Durchbiegungszustand
w’ º Durchbiegung an einer gewählten Stelle, z. B. in Trägermitte
e º Schwerpunktsabstand, wenn man I i als Massenpunkte auffaßt
Gleichgewichtsbedingung:
Aus der Gleichgewichtsbedingung folgt
w’
w’’
P
j
r m
Schwerlinie
M
P
w 4
1 2 3 4
Hauptträger 1 2 3
a 1 a 2 a 3
e 1
e 2
P = �P
i' P1' Pi' w' ----- c ---- c P1' Pi' I1 = =
→ = ---
I 1
I i
e
e 3
P
e 4
I i
P i
w’

Der Schwerpunktsabstand e ergibt sich zu
�I
i
�
I i e i
entspricht der Gesamtmasse
entspricht dem statischen Moment
Verdrehungszustand ϕ = const.
Gleichgewichtsbedingung:
Geometrische Bedingung:
�I1I2� P = Pi' �--- + --- + …�
→ Pi' P
� �
Ii = ----------
w 1 ’’
Aus der Gleichgewichtsbedingung folgt
I i
j
I i
r 1
e
=
� Pi 'ei -------------------
P
r 2
+ r i
M
Abb. 8.83 Verdrehungszustand
r 3
r 4
�
�P i'' ⋅ ri = M mit M = P r
wi'' = ri ⋅ ϕ
⋅ m
I i
w 4’’
w1'' P1'' c wi'' ϕ ------- ----------- -------
Pi'' c
�I1r� 1
= = = = ---------- → P1'' = Pi'' �--------- �
r1 I1 r1 ri Ii r I i
� i ri �
2 I1
2 I2
�r1r2� Ii ri M = Pi'' �-------- + --------- + …�
→ Pi'' =
------------------- M
2
�IiriIiri� ( Ii ri )
�
Räumliche Systeme
Trägerrost
Baustatik 1
8-69
8-69

8-70 8-70
8-70
8
Baustatik 1
Räumliche Systeme
Trägerrost
Gesamtzustand
�
2
I r
i i
P i
wges, i = wi' + wi'' Pges, i = Pi'+ Pi'' = Pi entspricht dem Trägheitsmoment der gedachten Massenpunkte
Quereinflußlinie infolge der Belastung P des Trägers i
=
P = 1
P
Ii Ii ri ---------- + ------------------- r
2 m
Ii ( Ii ri )
�
r k
Abb. 8.84 Trägerrost mit der Belastung P = 1
P ik ist die Kraft, die auf den Träger i wirkt, wenn die Last P = 1 im Punkt k steht.
P ik kann daher als Quereinflußlinie für die Belastung des Trägers i (Querverteilungslinie)
aufgefaßt werden.
�
M = r k
P = 1
k
1 2 3
P ik
=
P
r 1
�
r 2
r 3
r 4
Ii Ii ri ---------- + ------------------- r
2 k
Ii ( Ii ri )
�
P ik

Träger 1:
Träger 2:
P 11
P 21
2
I r
1 1
Ir 2
-----------------
�
1 2 3 4
P 12
P 13
P 14
Abb. 8.85 Querverteilungslinie für den Träger 1
I2r 1r2 ------------
Ir 2
�
Abb. 8.86 Querverteilungslinie für den Träger 2
Räumliche Systeme
Trägerrost
I
1
------------
I
�
1 2 3 4
P 22
P 23
P 24
I
2
------------
I
�
Baustatik 1
8-71
8-71

8
8-72 8-72
8-72 Baustatik 1
Räumliche Systeme
Trägerrost

Index
A
abhängige Sehnendrehung 73
Antimetrie 103
Antimetrische Belastung 94, 96
Arbeit 28
aktive 30, 36
Eigenarbeit 30, 36
Formänderungsarbeit 29
negative 33
passive 31, 39
Verschiebungsarbeit 31, 39
Arbeitssatz 40
Assemblierung 2, 5
Auflagerarten 2
Auflagerverschiebung 3
B
back substitution 12
Beispiel
Einseitig eingespannten Einfeldträger 4
Fachwerk 14
Fachwerkausleger 18
Reduktionssatz 30
Zweigelenkrahmen 11
Belastungsumordnung 99, 104
Berechnungsverfahren 4
Bernoulli 11
Betti 52
Biegelinie 1, 126
W-Gewichte 27
Biegestäbe 38
Baustatik 1

Baustatik 1
Index
Bredt’sche Formeln 26
C
Castigliano 47
Connectivity 1, 4
Coulomb 1
Culmann 2
D
Deformationsmethode 1, 5
Differentialgleichung der Torsion 45
Drehfeder 81
Drehwinkelverfahren 63
Vorgangsweise 91
Dreieckszerlegung 12
E
Eigenarbeit 28
Einflußlinien 36, 120
für Kraftgrößen 121
für Schnittkräfte 37, 41
für Weggrößen 45, 120
Einheitsverformungszustände 61, 102, 103
Einheitsverwölbung 40
Elementsteifigkeitsmatrix 9
Energiesatz 40
Ersatzsystem 28
F
Fachwerk 19, 24, 26, 51
Fachwerkstäbe 39, 77, 82
Federkonstante 77, 81
Federn 77
Formänderungsarbeiten 28
Formänderungsberechnung 30
forward substitution 12
frontal solution 14
G
Gauß‘scher Algorithmus 12
Gleichgewicht 22, 31
Gleichgewichtsbedingungen 49
Gleichungssystem 12

H
Hauptträgheitsmomente 15
Hermitesche Ansatzfunktionen 126
Hooke´sches Gesetz 11, 18, 27
I
Integration 57
Analytische 57
Numerische 58
Tabellarische 60
K
Kinematisch bestimmtes Grundsystem 2
Kinematische Bestimmtheit 2
Kinematische Methode 41
Klaffung 2
Knotendrehfessel 61
Knotengleichgewicht 63
Knotensymmetralen 95
Knotenverschiebungen 59
Kompatibilität 22, 24, 27, 29, 31
Kompatibilitätsbedingungen 22, 41
Kraftgrößen 1
Äußere Kraftgrößen 1
Innere Kraftgrößen 3
Kraftgrößenverfahren 1, 6
L
Lasten 1
M
Matrix Stiffness Method 1
Matrizenform 22, 40, 1
Maxwell 54, 14
Mehrfach verschiebliche Systeme 85
Mohr 2, 5
Müller-Breslau 2, 56
N
Navier 1
Newtonregel 59
Index
Baustatik 1

Baustatik 1
Index
P
Prandtl’sches Membrangleichnis 31
Prinzip
der virtuellen Arbeiten 40
der virtuellen Kraftgrößen 14
von Müller-Breslau 56
Q
Querkraftanalogie 45
Querkraftverformungen 11
Querschnitte
dünnwandig 16
geschlossene 16
Hohl- 26
offene 16
Voll- 16
Querverteilungseinflußlinie 70
R
Rahmenkreuz 30
Randbedingungen 9, 6
Räumliche Systeme 1
Räumliche Tragwerke 49
Räumliche Tragwirkung 1
Reduktionssatz 30
Rekursionsformeln 12
Ritter 2
Rückeinsetzen 12
S
Satz
von Betti 52
von Castigliano 47, 50
von der Gegenseitigkeit der elastischen Verformungen 54
von der Gegenseitigkeit der Verschiebungsarbeiten 54
von MAXWELL 38
von Maxwell 54
Schnittkraftverlauf 15
Schubmittelpunkt 40
Schubspannungen 16, 39, 43
Schubsteifigkeit 23
Schwerpunkt 15
Sehnendrehung
abhängige 73

unabhängige 73
Simpsonregel 59
Skyline Solution 13
Spannungs-Dehnungs-Diagramm 12
Spannungsresultierenden 3
Stabendkraftgrößen 5, 15
Stabsehnendrehungen 63
Stabsymmetrale 93
Starrkörperverformungen 16
Statisch bestimmtes Grundsystem 1, 2
Grundregeln 24
Statisch unbestimmte Systeme 1
Vorgangsweise 23
Statisch unbestimmte Tragwerke 23
Steifigkeitsmatrix 16
Element- 4
Gesamt- 6
global 18
Globale 5
im Raum 7
Reduzierte 12
Superposition von Weggrößen 35
Superpositionsgesetz 13, 4
Symmetrie 102
Symmetrische Belastung 93, 95
Symmetrische Systeme 28
Symmetrische Tragwerke 93
T
Temperatur 24, 3, 111, 114
Theorie großer Verformungen 15
Theorie I. Ordnung 13
Torsion 23
Tosionsmoment 44
Trägerrost 66
Transformationsmatrix 16, 5, 10
Trapezregel 58
triangular decomposition 12
U
Unverschiebliche Rahmentragwerke 29
V
Verdrehungen 15
Index
Baustatik 1

Baustatik 1
Index
Verformungen 15, 1, 30
Berechnungsvorgang 16
Fachwerkstäbe 18
Graphische Bestimmung 42
Grundfälle 14
Querkraft 11
Tragwerkspunkte 14
Verformungsbedingungen 6
Verschiebungen 15
Verschiebungsarbeit 28
Verschiebungsgleichgewicht 63
Verschiebungsgleichungen 60
Verschiebungsplan 42, 73
Verträglichkeitsbedingungen 1, 3
Verwölbung 39
Verzerrungen 16
Virtuelle
Arbeit 40
Kraftgrößen 45
Verschiebungsarbeit 41, 45
Weggrößen 40, 41
Vorwärtseinsetzen 12
Vorzeichenkonvention 3, 4, 5
W
Wegfeder 77
Weggrößen 15, 26
Äußere Weggrößen 15
Innere Weggrößen 16
Weggrößenverfahren 1, 5
Werkstoffgesetze 11
Williot 42, 73
Winkelgewichte 27, 35, 36
Berechnungsvorgang 29
Wölbmoment
statisches 43
Wölbwiderstand 44
Z
Zwangseinbau 15

Dies ist eine Veröffentlichung des
FACHBEREICHS INGENIEURBAUKUNST (IBK) AN DER TU GRAZ
Der Fachbereich Ingenieurbaukunst umfasst die dem konstruktiven
Ingenieurbau nahe stehenden Institute für Baustatik, Betonbau, Stahlbau
& Flächentragwerke, Holzbau & Holztechnologie, Materialprüfung &
Baustofftechnologie, Baubetrieb & Bauwirtschaft, Hochbau & Industriebau,
Bauinformatik und Allgemeine Mechanik der Fakultät für
Bauingenieurwissenschaften an der Technischen Universität Graz.
Dem Fachbereich Ingenieurbaukunst ist das Bautechnikzentrum (BTZ)
zugeordnet, welches als gemeinsame hochmoderne Laboreinrichtung zur
Durchführung der experimentellen Forschung aller beteiligten Institute
dient. Es umfasst die drei Laboreinheiten für konstruktiven Ingenieurbau,
für Bauphysik und für Baustofftechnologie.
Der Fachbereich Ingenieurbaukunst kooperiert im gemeinsamen
Forschungsschwerpunkt „Advanced Construction Technology“.
Dieser Forschungsschwerpunkt umfasst sowohl Grundlagen- als auch
praxisorientierte Forschungs- und Entwicklungsprogramme.
Weitere Forschungs- und Entwicklungskooperationen bestehen mit anderen
Instituten der Fakultät, insbesondere mit der Gruppe Geotechnik, sowie
nationalen und internationalen Partnern aus Wissenschaft und Wirtschaft.
Die Lehrinhalte des Fachbereichs Ingenieurbaukunst sind aufeinander
abgestimmt. Aus gemeinsam betreuten Projektarbeiten und gemeinsamen
Prüfungen innerhalb der Fachmodule können alle Beteiligten einen
optimalen Nutzen ziehen.
Durch den gemeinsamen, einheitlichen Auftritt in der Öffentlichkeit
präsentiert sich der Fachbereich Ingenieurbaukunst als moderne
Lehr- und Forschungsgemeinschaft, welche die Ziele und Visionen der
TU Graz umsetzt.
Nummerierungssystematik der Schriftenreihe
S – Skripten, Vorlesungsunterlagen | F – Forschungsberichte
V – Vorträge, Tagungen | D – Diplomarbeiten
Institutskennzahl:
1 – Allgemeine Mechanik | 2 – Baustatik | 3 – Betonbau
4 – Holzbau & Holztechnologie | 5 – Stahlbau & Flächentragwerke
6 – Materialprüfung & Baustofftechnologie | 7 – Baubetrieb & Bauwirtschaft
8 – Hochbau & Industriebau | 9 – Bauinformatik
Fortlaufende Nummer pro Reihe und Institut / Jahreszahl