Praktikums-Anleitung Teil I - I. Physikalisches Institut B
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Anfängerpraktikum Physik<br />
<strong>Teil</strong> I<br />
RWTH Aachen<br />
I. <strong>Physikalisches</strong> <strong>Institut</strong> B<br />
Prof. Dr. W. Braunschweig, Prof. Dr. K. Eggert, Prof. Dr. L. Feld,<br />
Dr. S. Fopp, Dr. Th. Kirn, Dr. K. Klein, Dr. S. König,<br />
Priv. Doz. Dr. W. Krenz, Dr. A. Ostaptschouk, Dr. D. Pandoulas,<br />
Prof. Dr. F. Raupach, Prof. Dr. St. Schael, Dr. G. Schwering,<br />
Dr. Th. Siedenburg, Prof. Dr. W. Wallraff<br />
http://www.physik.rwth-aachen.de/phys1b/∼kirn/praktikum<br />
Version vom 10.09.2004<br />
1
Inhaltsverzeichnis<br />
0 Einleitung 5<br />
0.1 Arbeitsablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
0.2 Benutzung der Notebooks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
0.3 Versuchsvorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
0.4 Bewertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
0.5 Zeitlicher Ablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
1 Mechanik 10<br />
1.1 Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
1.1.1 Das mathematische Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
1.1.2 Das physikalische Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
1.1.3 Versuchsaufbau und Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
1.2 Schwingungen von gekoppelten Pendeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
1.2.1 Die Bewegungsgleichung für das gekoppelte Pendel . . . . . . . . . . . . . 18<br />
1.2.2 Messgrössen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
1.2.3 Versuchsaufbau und Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
1.3 Trägheitsmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
1.3.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
1.3.2 Versuchsbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />
1.3.3 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27<br />
1.3.4 Hinweise zum Experimentieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29<br />
1.3.5 Bestätigung von J = f(r 2 ) und Bestimmung des Direktionsmomentes D . . 31<br />
1.3.6 Vergleich der Trägheitsmomente von Zylindern gleicher Masse mit verschiedener<br />
Massenverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br />
1.3.7 Trägheitsmoment der Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br />
1.3.8 Bestätigung des Steinerschen Satzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35<br />
2 Akustik 36<br />
2.1 Schallgeschwindigkeit in Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />
2.1.1 Versuchsziel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />
2.1.2 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />
2.1.3 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39<br />
2.1.4 Messung und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39<br />
2.2 Schallgeschwindigkeit in Festkörpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49<br />
2.2.1 Versuchsziel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49<br />
2
INHALTSVERZEICHNIS 3<br />
2.2.2 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49<br />
2.2.3 Messung und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50<br />
2.3 Schwebungen von Schallwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br />
2.3.1 Versuchsziel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br />
2.3.2 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br />
2.3.3 Messung und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br />
2.4 Doppler-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59<br />
2.4.1 Versuchsziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59<br />
2.4.2 Physikalische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59<br />
2.4.3 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62<br />
2.4.4 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />
3 Wärmelehre 72<br />
3.1 Dampfdruckkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72<br />
3.1.1 Theoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73<br />
3.1.2 Versuchsaufbau und Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85<br />
3.1.3 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88<br />
3.2 Adiabatic Coefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91<br />
3.2.1 Rüchardt method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91<br />
3.2.2 Setup and Carrying out the Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93<br />
4 Elektrizitätslehre 97<br />
4.1 Charakterisierung der Ohmschen Widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98<br />
4.1.1 Versuchsbeschreibung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98<br />
4.1.2 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98<br />
4.1.3 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98<br />
4.1.4 Versuchsauswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99<br />
4.2 Auf- und Entladung eines Kondensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101<br />
4.2.1 Versuchsbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101<br />
4.2.2 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103<br />
4.2.3 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104<br />
4.2.4 Versuchsauswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106<br />
4.3 Auf- und Entladung einer Spule (optional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107<br />
4.3.1 Versuchsbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107<br />
4.3.2 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109<br />
4.3.3 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110<br />
4.3.4 Versuchsauswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114<br />
4.4 Gedämpfter LC-Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116<br />
4.4.1 Versuchsbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116<br />
4.4.2 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124<br />
4.4.3 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124<br />
4.4.4 Versuchsauswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126<br />
4.5 Gekoppelte LC-Schwingkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127<br />
4.5.1 Versuchsbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127<br />
4.5.2 Analogie zu gekoppelten Pendeln in der Mechanik . . . . . . . . . . . . . . 128
4 INHALTSVERZEICHNIS<br />
4.5.3 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131<br />
4.5.4 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133<br />
4.5.5 Versuchsauswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133<br />
4.6 Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Kapitel 0<br />
Einleitung<br />
In dem Anfängerpraktikum für Physiker sollen die Studenten moderne Arbeitsmethoden in der<br />
Physik kennen- und anwenden lernen. Dabei sollen folgende Kompetenzen erworben werden:<br />
• Anwendung physikalischen Wissens aus den Vorlesungen<br />
• Aufbau eines Experimentes<br />
• Computerunterstützte Messung und Auswertung<br />
• Präsentation der Ergebnisse<br />
• Arbeiten in der Gruppe<br />
Die Studenten sollen sich intensiv mit dem Versuch, dem physikalischen Hintergrund, den Messmethoden<br />
und der Auswertung der Daten auseinandersetzen. Für jeden Versuch stehen daher 2,5<br />
Tage zur Verfügung.<br />
Das Praktikum wird wie folgt gegliedert:<br />
• Die Studenten erarbeiten insgesamt vier Versuche in vier Wochen aus den Arbeitsgebieten:<br />
Mechanik, Akustik, Wärmelehre und Elektrizitätslehre.<br />
• Der Stoff orientiert sich an der Vorlesung.<br />
• Eine Arbeitsgruppe besteht aus vier Studenten und einem Tutor. Jeder Tutor betreut einen<br />
Versuch während der vier Wochen und jeweils zwei Arbeitsgruppen gleichzeitig.<br />
• Maximal vier Arbeitsgruppen arbeiten in einem Raum unter der Betreuung von zwei Tutoren.<br />
Zu Beginn des <strong>Praktikums</strong> gibt es eine zweitägige (im WS eintägige) Veranstaltung, in der den<br />
Studenten Grundkenntnisse in Fehlerrechung (Statistik) und in Gerätekunde vermittelt werden.<br />
Diese Lehrveranstaltungen sind kombinierte Vorlesungen und Übungen.<br />
Für jeden der Versuche gibt es einen oder zwei verantwortliche Physiker am I. Physikalischen<br />
<strong>Institut</strong> an die sich die Studenten mit Problemen, Fragen und Anregungen zur Versuchsbeschreibung<br />
oder Durchführung wenden können (siehe Tabelle 0).<br />
5
6 KAPITEL 0. EINLEITUNG<br />
Versuch Name Telefon Raum<br />
802- 28-<br />
1. Mechanik<br />
1.1 Mathematisches Pendel Prof. W. Braunschweig 7180 A212<br />
1.1 Doppelpendel Prof. W. Braunschweig 7180 A212<br />
1.3 Trägheitsmomente Prof. W. Wallraff 7187 B208<br />
2. Akustik<br />
2.1 Schallgeschwindigkeit in Gasen Dr. Th. Siedenburg 7186 B203<br />
2.2 Schallgeschwindigkeit in Festkörpern Dr. Th. Siedenburg 7186 B203<br />
2.3 Schwebungen von Schallwellen Dr. Th. Siedenburg 7186 B203<br />
2.4 Dopplereffekt Dr. G. Schwering 7202 C208<br />
3. Wärmelehre<br />
3.1 Dampfdruckkurve Dr. K. Klein 7205 C203<br />
3.2 Adiabatenkoeffizienten Dr. A. Ostaptchouk 7182 B209<br />
4. Elektrizitätslehre<br />
4.1 Charakterisierung Ohmscher Widerstände Dr. Th. Kirn 7186 B203<br />
4.2 Auf- und Entladung von Kondensatoren Priv. Doz. Dr. W. Krenz 7206 A214<br />
4.3 Auf- und Entladung von Spulen<br />
4.4 LC-Schwingkreis<br />
4.5 Gekoppelte Schwingungen<br />
Tabelle 1: Verantwortliche Physiker für die Versuche im Anfängerpraktikum Physik, <strong>Teil</strong> I.
0.1. ARBEITSABLAUF 7<br />
0.1 Arbeitsablauf<br />
Das Praktikum wird im Sommersemester (Wintersemester) für 192 (32) Studenten ausgelegt,<br />
die in 48 (8) Arbeitsgruppen A01-A16 (A01-A04), B01-B16 (B01-B04) und C01-C16 eingeteilt<br />
werden. Die A- und B-Gruppen sind vormittags (von 08:30 Uhr bis 13:00 Uhr) im Wechsel und<br />
die C-Gruppen nachmittags (von 14:00 Uhr bis 18:30 Uhr) jeweils drei Tage aktiv und bereiten<br />
einen Tag die Versuche vor.<br />
• 1. Tag:<br />
Besprechung mit dem Tutor, Erarbeitung eines geeigneten Versuchsaufbaus. Versuchsaufbau,<br />
incl. Inbetriebnahme aller für die Messung erforderlicher Geräte und Computer. Pro<br />
Arbeitsgruppe sollen zwei Versuchsaufbauten in Betrieb genommen werden, die identisch<br />
oder unterschiedlich sein können, je nach Fragestellung. Die Messdaten werden aufgezeichnet<br />
und die Auswertung soweit durchgeführt, dass erste, vorläufige Ergebnisse diskutiert<br />
werden können.<br />
• 2. Tag:<br />
Die Auswertung der Versuche wird im CIP-Pool der Physik oder auf eigenen Computern<br />
zu Hause weitergeführt und abgeschlossen. Das Protokoll und die Abschlusspräsentation<br />
werden von der Arbeitsgruppe gemeinsam erarbeitet.<br />
• 3. Tag:<br />
Die Arbeitsgruppe gibt direkt zu Beginn ein Protokoll ab, welches die Messergebnisse beider<br />
Versuchsaufbauten beschreibt und vergleicht. Die Tutoren lesen und bewerten das Protokoll.<br />
Im Anschluß werden die Versuchsergebnisse in den Arbeitsgruppen präsentiert und<br />
diskutiert. Die Präsentation erfolgt für die maximal vier Arbeitsgruppen, die an dem gleichen<br />
Arbeitsgebiet (Mechanik, Akustik, Wärmelehre, E.-Lehre) experimentiert haben, zusammen<br />
in einem Raum. Die beiden betreuenden Tutoren wählen aus allen Präsentationen<br />
die für ihren Versuch Beste aus.<br />
Die Studenten wählen aus, welchen Versuch aus einem Arbeitsgebiet sie durchführen wollen. Dies<br />
ist natürlich nur in dem Umfang möglich, wie es die vorhandenen Versuchsaufbauten zulassen.<br />
Die Studenten müssen sich daher auf alle Versuche eines Arbeitsgebietes vorbereiten.<br />
Das Praktikum wird mit einem Kolloquium und der Vorstellung der besten Präsentationen durch<br />
die Arbeitsgruppen für jeden Versuch am Ende der vier Wochen abgeschlossen. Die Abschlusspräsentationen<br />
sollen den Studenten noch einmal eine Wiederholung der Lehrinhalte des <strong>Praktikums</strong><br />
ermöglichen und damit eine gute Vorbereitung auf das abschliessende Kolloquium sein.<br />
Alle Studenten wählen am vorletzten Tag aus diesen Präsentationen die Beste aus. Dieser Student<br />
und die punktbeste Arbeitsgruppe werden mit einem Sachpreis ausgezeichnet.<br />
Jeder Student aus einer Gruppe muss in den vier Wochen mindestens einmal:<br />
• einen Versuch aufgebaut haben,<br />
• die Ergebnisse der Gruppe präsentiert haben und<br />
• ein Protokoll auf dem Computer erstellt haben.
8 KAPITEL 0. EINLEITUNG<br />
0.2 Benutzung der Notebooks<br />
Für die Durchführung der Versuche erhält jede Arbeitsgruppe zwei Notebooks. Diese stehen nur<br />
für die Arbeiten im Praktikum zur Verfügung und können nicht mit nach Hause genommen<br />
werden. Auf den Notebooks läuft als Betriebssystem Windows XP und UNIX. An Software ist<br />
das CASSY-Messwerterfassungssystem (siehe http://www.leybold-didactic.de), das OpenOffice<br />
1.1.0 und das Numerik Programm Maple 9.0 installiert. Weiterhin steht eine Digitalkamera zur<br />
Verfügung, um die Versuchsaufbauten zu dokumentieren. Protokolle und Präsentationen sollten<br />
mit OpenOffice 1.1.0 erstellt werden. Die statistische Auswertung der Versuche (Mittelwerte,<br />
lineare Regression, etc.) sollen mit MAPLE durchgeführt werden.<br />
Die Studenten haben nur Schreibzugriff auf den User-Bereich. Als ersten Arbeitsschritt legt jeder<br />
Student, sobald er ein Notebook erhält, im User-Bereich ein Verzeichnis mit seinem Namen an. In<br />
diesem Verzeichnis sollten alle Dateien, die zu dem Versuch gehören, abgespeichert werden und<br />
am Ende der eintägigen Arbeitsphase auf Disketten oder USB-Memory-Sticks überspielt werden.<br />
Der User-Bereich wird bei jedem Wechsel zwischen A- , B- und C-Gruppen gelöscht, so dass alle<br />
ungesicherten Daten unwiederbringlich verloren sind.<br />
Alle Notebooks sind über ein WLAN vernetzt und haben somit auch Zugang zum Internet. Alle<br />
Versuchsergebnisse können über scp zum CIP-Pool Bereich oder nach Hause überspielt werden.<br />
Eine ssh Verbindung (Programm Putty) zu dem CIP-Pool können die Studenten herstellen.<br />
Für Experten sind auf den Notebooks zusätzlich die Programmpakete LATEX (TEXnicCenter,<br />
Textverarbeitung) und GHOSTSCRIPT/GHOSTVIEW (Verarbeitung von Post-Script-Dateien)<br />
installiert. Es stehen die Texteditoren GVIm und XEmacs zur Verfügung, um eigene C-Programme<br />
zu erstellen. Mit dem Grafikprogramm GIMP können die Bilder von der Digitalkamera bearbeitet<br />
werden und Screen-Shots erstellt werden. Zusätzlich sind für einige Versuche spezielle Programme<br />
installiert (z.B. Digitaloszilloskope) die in den <strong>Anleitung</strong>en näher erläutert sind.<br />
0.3 Versuchsvorbereitung<br />
Die Versuchsbeschreibungen sollen den Studenten eine qualifizierte Vorbereitung auf den Versuch<br />
ermöglichen und eine <strong>Anleitung</strong> für die Versuchdurchführung sein. Die physikalischen Grundlagen<br />
zu den Versuchsthemen werden in den Versuchsanleitungen nur bedingt hergeleitet. Es ist daher<br />
unerlässlich, entsprechende Physikbücher für die Vorbereitung zu verwenden. Besonders geeignet<br />
sind die folgenden Bücher:<br />
• W. Walcher, ”Praktikum der Physik”, Teubner Taschenbuch.<br />
• Demtröder, ”Experimentalphysik”, Band 1 und 2.<br />
• P.A. Tipler, ”Physik”, Spektrum Verlag.<br />
• Gerthsen, Kneser, Vogel, ”Physik”, Springer Verlag
0.4. BEWERTUNG 9<br />
0.4 Bewertung<br />
Die erbrachten Leistungen werden für jeden Versuch durch die Tutoren im Rahmen eines Punktesystems<br />
testiert. Dabei werden die verschiedenen Arbeitsschritte mit 0, 2, 4, 6, 8 oder 10 Punkten<br />
beurteilt. Bei der Durchführung des Versuches wird jeder Student individuell durch den Betreuer<br />
bewertet. Für das Protokoll erhält jeder Student der Gruppe dieselbe Punktzahl. Die Präsentation<br />
wird für denjenigen Studenten einer Gruppe gewertet, der die Präsentation vorträgt. Sie<br />
wird doppelt gewertet, also mit 0, 4, 8, 12, 16 oder 20 Punkten. Ein Student kann somit maximal<br />
100 Punkte in dem Praktikum erreichen, 51 Punkte sind mindestens erforderlich um zum<br />
abschliessenden Kolloquium zugelassen zu werden. Wer mindestens 81 Punkte erreicht, braucht<br />
an dem Kolloquium nicht mehr teilzunehmen. Die Studenten, die am Tag vor dem Kolloquium<br />
eine der Abschlusspräsentationen gehalten haben, brauchen an dem Kolloquium ebenfalls nicht<br />
mehr teilzunehmen.<br />
In besonderen Härtefällen entscheidet der zuständige <strong>Praktikums</strong>leiter über die Zulassung zum<br />
Kolloquium. Wird das Kolloquium nicht bestanden, kann es einmal wiederholt werden. Wird<br />
auch das zweite Kolloquium nicht bestanden, muss das Praktikum wiederholt werden.<br />
Studenten die mehr als einmal nicht auf einen Versuch vorbereitet sind, müssen das Praktikum<br />
wiederholen. Aus Krankheitsgründen kann ein Student bei einem Versuch entschuldigt fehlen<br />
(ärztliches Attest muss vorgelegt werden), bei zwei Versuchen muss das Praktikum wiederholt<br />
werden.<br />
Studenten die ihre Versuchsergebnisse, Protokolle oder Präsentationen nicht selber<br />
erarbeiten sondern abschreiben, werden von dem Praktikum unverzüglich ausgeschlossen.<br />
0.5 Zeitlicher Ablauf<br />
Das Praktikum beginnt mit der Einführungsveranstaltung und endet mit der Abschlussbesprechung<br />
und dem Kolloquium. Der zeitliche Ablauf des <strong>Praktikums</strong>, die Raumeinteilung, sowie die<br />
Einteilung der Studenten in die Arbeitsgruppen wird gesondert bekannt gegeben. Die Einteilung<br />
der Studenten in das Kolloquium wird in der Abschlussbesprechung bekannt gegeben.<br />
Das Praktikum ist von 08:30 Uhr bis 18:30 Uhr für die Studenten geöffnet.
Kapitel 1<br />
Mechanik<br />
1.1 Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem Pendel<br />
Aufgaben<br />
In diesem Experiment werden die Schwingungen eines physikalischen Pendels untersucht. Aus<br />
den Messungen der Schwingungsdauern bei verschiedenen Pendellängen wird die Erdbeschleunigung<br />
ermittelt.<br />
Vorkenntnisse/Grundlagen :<br />
Schwerpunktssatz, Beschreibung von Schwingungen, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung,<br />
Drehmoment, Trägheitsmoment, Direktionsmoment, einfache lineare Differentialgleichungen.<br />
Literatur :<br />
• Paul A.Tipler : Physik<br />
Spektrum Lehrbuch, ISBN 3-86025-122-8, S.379 - S.399<br />
• W.Walcher : Praktikum der Physik<br />
Teubner Studienbücher Physik, ISBN 3-519-13038-6, S.83 - S.89<br />
• F.Kohlrausch : Praktische Physik 1<br />
ISBN 3-519-23001-1 S.62 - S.64 (Orts-und Zeitabhängigkeit der Erdbeschleunigung)<br />
• F.Kohlrausch : Praktische Physik 3<br />
ISBN 3-519-23000-3 S.293 - S.295 (Tabellenwerte der Erdbeschleunigung)<br />
10
1.1. BESTIMMUNG DER ERDBESCHLEUNIGUNG MIT DEM PENDEL 11<br />
1.1.1 Das mathematische Pendel<br />
Das einfache mathematische Pendel besteht aus einer punktförmigen schweren Masse mS, die an<br />
einem masselosen Faden der Länge l aufgehängt ist. In der Ruhelage bewirkt die Schwerkraft<br />
Fg = mS ·g mit g als Erdbeschleunigung, dass das Pendel senkrecht hängt. Nach Auslenkung aus<br />
der Ruhelage um einen kleinen Winkel ϕmax (klein bedeutet hier sinϕmax ∼ ϕmax) bewirkt xFg<br />
ein rückstellendes Drehmoment, das das Pendel wegen seines Trägheitsmomentes in harmonische<br />
Schwingungen versetzt. Die Bewegungsgleichung lautet<br />
J · ¨ϕ = −mS · g · l · sin(ϕ) ∼ −mS · g · l · ϕ (1.1)<br />
wobei J = mT · l 2 das Trägheitsmoment der trägen Masse mT in der Entfernung l vom Aufhängpunkt<br />
ist und die rechte Seite das rücktreibende Drehmoment darstellt; ϕ ist der momentane<br />
Auslenkwinkel und ¨ϕ = d 2 ϕ/dt 2 die momentane Winkelbeschleunigung. Mit mT = mS (Einstein’sches<br />
Äquivalenzprinzip der Gleichheit von schwerer und träger Masse) wird die Bewegung<br />
unabhängig von den Massen :<br />
¨ϕ = − g<br />
l · ϕ = −ω2 · ϕ (1.2)<br />
Dies ist eine lineare, homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung deren allgemeine Lösung<br />
eine harmonische Schwingung darstellt :<br />
ϕ(t) = A · cos(ωt) + B · sin(ωt) (1.3)<br />
ω = � g<br />
ist die Kreisfrequenz der Schwingung. Die Anfangsbedingungen legen die Integrations-<br />
l<br />
konstanten A und B fest. Mit ϕ(t = 0) = ϕmax und ˙ϕ(t = 0) = 0 (Start der Pendelbewegung<br />
vom Auslenkwinkel ϕmax ohne Anfangswinkelgeschwindigkeit) ergibt sich<br />
Die Schwingungsdauer beträgt<br />
bzw.<br />
ϕ(t) = ϕmax · cos(ωt) (1.4)<br />
T = 2π<br />
ω<br />
= 2π ·<br />
�<br />
l<br />
g<br />
(1.5)<br />
T 2 = 4π 2 · 1<br />
· l (1.6)<br />
g<br />
Das Quadrat der Schwingungsdauer wächst linear mit der Pendellänge l.
12 KAPITEL 1. MECHANIK<br />
1.1.2 Das physikalische Pendel<br />
Die Beqwegungsgleichung für ein physikalisches Pendel, d.h. eines ausgedehnten, massebehafteten<br />
Systems, das um einen Aufhängepunkt bzw. um eine Achse schwingen kann, ist formal mit der<br />
des mathematischen Pendels identisch :<br />
bzw.<br />
Mit ω 2 = ( 2π<br />
T )2 wird die Schwingungsdauer T dann<br />
J · ¨ϕ = −m · g · ls · ϕ = −ω 2 · ϕ (1.7)<br />
· ¨ϕ = −ω 2 · ϕ (1.8)<br />
T 2 = 1<br />
g · 4π2 · J<br />
mls<br />
Das rücktreibende Drehmoment wird wieder von der Schwerkraft erzeugt. Nach dem Schwerpunktssatz<br />
verhält sich das System so, als ob die Gesamtmasse m im Schwerpunkt konzentriert<br />
ist. Demgemäss ist ls die Distanz von Aufhängepunkt bzw. Drehachse zum Schwerpunkt S. Die<br />
Trägheit ist gegeben durch das Gesamtträgheitsmoment J um die Drehachse. Das vorliegende<br />
physikalische Pendel besteht aus dem Winkelaufnehmer-Profil, der Pendelstange und dem<br />
zylindrischen Pendelkörper (Abb. 1.1).<br />
Bestimmung des Schwerpunktes<br />
(1.9)<br />
• Die Pendelstange der Masse mst hat einen über die Gesamtlänge lst konstanten Querschnitt;<br />
ihr Schwerpunkt S liegt in der Stangenmitte. Die Entfernung von S von der Drehachse ist<br />
lst/2 + rw, wobei rw die Distanz von Drehachse zum Anfang der Stange ist.Die Breite der<br />
Stange (senkrecht zur Drehachse) ist bst.<br />
• Der Schwerpunkt des zylindrischen Pendelkörpers der Masse mp liegt im Zentrum des<br />
Zylinders; seine Entfernung von der Drehachse ist lp.<br />
• Das Winkelaufnehmerprofil der Gesamtmasse mw wird als symmetrischer Hohlzylinder angenähert,<br />
wobei die Symmetrieachse die Drehachse ist. Der Schwerpunkt wird also als in<br />
der Drehachse liegend angenommen.<br />
Für die Lage des Gesamtschwerpunktes ergibt sich damit<br />
m · ls = ( 1<br />
2 · lst + rw) · mst + lp · mp<br />
Bestimung des Gesamtträgheitsmomentes<br />
(1.10)<br />
Das Trägheitsmoment J einer Massenverteilung bezüglich einer Drehachse ist gegeben durch den<br />
Ausdruck<br />
�<br />
J = r 2 dm (1.11)<br />
wobei r die Entfernung des Massenelementes dm von der Drehachse ist und über die gesamte<br />
Verteilung integriert wird.
1.1. BESTIMMUNG DER ERDBESCHLEUNIGUNG MIT DEM PENDEL 13<br />
Abbildung 1.1: Pendel im Versuchsaufbau<br />
• Für die Pendelstange ergibt sich für das Trägheitsmoment um ihre Symmetrieachse<br />
Jst,◦ = 1<br />
12 · mst · (l 2 st + b 2 st) (1.12)<br />
• Nach dem Steinerschen Satz folgt für das Trägheitsmoment um die Drehachse<br />
Jst = Jst,◦ + mst · (rw + 1 2<br />
lst)<br />
2<br />
• Für das Trägheitsmoment des Pendelkörpers folgt<br />
Jp = 1<br />
2 mpr 2 p + mpl 2 p<br />
(1.13)<br />
(1.14)<br />
• Für den als Hohlzylinder angenäherten Winkelaufnehmer mit Symmetrieachse in der Drehachse<br />
folgt<br />
Damit wird das Gesamtträgheitsmoment<br />
Jw = mw · r 2 w<br />
J = Jp + Jst + Jw = mp · l 2 p + K1<br />
(1.15)<br />
(1.16)
14 KAPITEL 1. MECHANIK<br />
Der erste Term auf der rechten Seite ist dominant, für K1 ergibt sich<br />
K1 = mst · ( 1<br />
3 l2 st + rwlst + 1<br />
12 b2st + r 2 w) + mw · r 2 w + 1<br />
2 mpr 2 p<br />
Damit ergibt sich für das Quadrat der Schwingungsdauer (s.Gl.(8) und Gl.(9))<br />
mit<br />
T 2 = 4π2<br />
g · mpl 2 p + K1<br />
mplp + K2<br />
K2 = ( 1<br />
2 lst + rw) · mst<br />
Nach Division von Zähler und Nenner in Gl.(17) durch mp wird<br />
Die Grössen K1<br />
mp<br />
und K2<br />
mp<br />
Bestimung der Erdbeschleunigung g<br />
T 2 = 4π2<br />
g · l2 p + K1<br />
mp<br />
lp + K2<br />
sind kleine, aber keineswegs vernachlässigbare Korrekturen.<br />
mp<br />
(1.17)<br />
(1.18)<br />
(1.19)<br />
(1.20)<br />
Die Messung der Erdbeschleunigung g kan auf zweierlei Wegen erfolgen. Zum einen können die<br />
Schwingungsdauern für verschiedene Werte von lp = l0+x+rp (s.Abb. 1.1) gemessen werden. Mit<br />
Hilfe einer sogenannten Tiefenlehre wird zunächst der Abstand l0 genau vermessen und dann der<br />
Abstand x. Zur Auswertung wird der Ausdruck T 2 ·(l0+x+rp+ K2<br />
mp ) gegen (l0+x+rp) 2 aufgetragen.<br />
Aus der Steigung der Geraden wird g ermittelt. Aus dem Achsenabschnitt ergibt sich ein Wert<br />
für K1 der mit dem berechneten verglichen werden kann. Die Massen und die geometrischen<br />
Grössen zur Bestimmung der Korrekturfaktoren K1 und K2 werden zuvor gemessen.<br />
Eine weitere Möglichkeit g zu bestimmen besteht darin, das Pendel als mathematisches Pendel<br />
zu behandeln, und den systematischen Fehler, der durch das Trägheitsmoment JSt und das<br />
Rückstellmoment DSt · ϕ der Stange auftritt, zu minimieren.<br />
Man geht dabei so vor, daß zunächst die Schwingungsfrequenz der Stange allein bestimmt wird.<br />
Danach wird die Masse an der Stelle angebracht, an der die Kombination Stange/Pendel dieselbe<br />
Eigenfrequenz hat wie die Stange allein. In diesem Fall beeinflussen sich Masse und Stange nicht,<br />
und man kann die Formeln für das mathematische Pendel verwenden.<br />
Dies ist auch leicht aus den Gleichungen zu ersehen. Für die Stange allein gilt:<br />
Für die Masse allein gilt:<br />
ω 2 st = Jst<br />
Dst<br />
ω 2 m = Jm<br />
Dm<br />
(1.21)<br />
(1.22)<br />
Man beachte, daß Jm nicht das Trägheitsmoment des mathematischen Pendels mit Masse m ist,<br />
sondern zusätzlich das Trägheitsmoment des Vollzylinders um die Zylinderachse enthält ( Jm =<br />
Jp, s.Gl. 1.14). Das physikalische Pendel, bestehend aus Stange und Masse hat die Eigenfrequenz:<br />
ω 2 p = Jst + Jm<br />
Dst + Dm<br />
= ω 2 m ·<br />
1 + Jst<br />
Jm<br />
1 + Dst<br />
Dm<br />
= ω 2 st ·<br />
1 + Jm<br />
Jst<br />
1 + Dm<br />
Dst<br />
(1.23)
1.1. BESTIMMUNG DER ERDBESCHLEUNIGUNG MIT DEM PENDEL 15<br />
Hat man nun das Pendel so eingestellt, daß ωp = ωst gilt, so sieht man aus Gl.1.23, daß dann<br />
auch gelten muß: Jst<br />
Jm<br />
= Dst<br />
Dm<br />
. Umgeformt ergibt sich:<br />
Jm<br />
Dm<br />
= Jst<br />
Dst<br />
⇔ ω 2 m = ω 2 st = ω 2 p<br />
1.1.3 Versuchsaufbau und Durchführung<br />
(1.24)<br />
Das Pendel besteht aus einer Masse, die verschiebbar an einer Stange angebracht ist. Die Aufhängung<br />
des Pendels ist ein U-Profil mit zwei Spitzen und zwei Permanentmagneten (Abb.<br />
1.3). Die Spitzen bilden das Lager und werden in die Nut des Winkelaufnehmers gesetzt. Der<br />
Winkelaufnehmer enthält eine Hall-Sonde, die das Magnetfeld senkrecht zur Nut misst. Dreht<br />
sich nun die Aufhängung mit den Permanentmagneten um den Winkelaufnehmer, so liefert die<br />
Hallsonde eine Spannung die proportional zum Sinus des Winkels ist. Für kleine Winkel ist diese<br />
Spannung näherungsweise proportional zum Winkel selbst.<br />
Mit Hilfe von Stativstangen, Tischklemmen und Verbindungsmuffen wird ein Gestell konstruiert,<br />
das den Winkelaufnehmer hält (Abb. 1.2). Der Aufbau sollte so stabil sein, daß bei der<br />
Pendelbewegung die Aufhängung nicht mitschwingt.<br />
Der Winkelaufnehmer kann direkt an das CASSY-Modul über zwei Leitungspaare angeschlossen<br />
werden (Abb. 1.4). Das eine dient zur Spannungsversorgung und ist besonders gekennzeichnet,<br />
das zweite liefert die gemessene Hallspannung. Durch Regeln der Versorgungsspannung kann die<br />
Nulllage eingestellt werden.<br />
Bei der Datenaufnahme wird zunächst die Spannung aufgenommen, die die Schwingung des<br />
Pendels wiedergibt. Anschliessend wird die Fouriertransformierte bestimmt, aus der man die<br />
Frequenz des Pendels erhält. Um ein Maß für den Fehler der Frequenzmessung zu erhalten wird<br />
jede Messung mehrmals durchgeführt und die mittlere quadratische Abweichung des Mittelwertes<br />
bestimmt.<br />
Um die Erdbeschleunigung g zu bestimmen wird die Pendelmasse entlang der Stange verschoben<br />
und die Schwingungsdauer an den verschiedenen Positionen gemessen. Aus dem Verlauf der<br />
Schwingungsdauer als Funktion der Position der Masse kann bei geeigneter Auftragung g ermittelt<br />
werden (Gl. 1.18). Alternativ kann auch das zweite Verfahren benutzt werden. Dabei läßt<br />
man zunächst die Stange ohne Pendelmasse schwingen und bestimmt die Frequenz ωst. Danach<br />
bringt man die Pendelmasse an der Stange an und sucht iterativ die Stelle an der ωp = ωst wird.<br />
Man kann nun die Formeln für das mathematische Pendel anwenden.
16 KAPITEL 1. MECHANIK<br />
Abbildung 1.2: Versuchsaufbau
1.1. BESTIMMUNG DER ERDBESCHLEUNIGUNG MIT DEM PENDEL 17<br />
Abbildung 1.3: Aufhängung des Pendels<br />
Abbildung 1.4: Anschluss des Winkelaufnehmers
18 KAPITEL 1. MECHANIK<br />
1.2 Schwingungen von gekoppelten Pendeln<br />
Aufgaben<br />
In diesem Experiment werden die Schwingungen von zwei Pendeln untersucht, die durch eine<br />
Feder miteinander gekoppelt sind. Für verschiedene Kopplungsstärken werden die Schwingungsdauern<br />
der beiden Grundschwingungen sowie der Schwebung des Systems gemessen und die<br />
Schwebungsdauer mit der Erwartung verglichen.<br />
Vorkenntnisse/Grundlagen :<br />
Federverhalten (Hooke’sches Gesetz),Beschreibung von Schwingungen, Winkelgeschwindigkeit,<br />
Winkelbeschleunigung, Drehmoment, Trägheitsmoment, Direktionsmoment, einfache lineare Differentialgleichungen.<br />
Literatur :<br />
• Paul A.Tipler : Physik<br />
Spektrum Lehrbuch, ISBN 3-86025-122-8, S.379 - S.399<br />
• W.Walcher : Praktikum der Physik<br />
Teubner Studienbücher Physik, ISBN 3-519-13038-6, S.89 - S.98<br />
1.2.1 Die Bewegungsgleichung für das gekoppelte Pendel<br />
Die Anordnung ist schematisch dargestellt in Abb. 1.5. Die Kopplungsfeder ist befestigt in der<br />
Entfernung lF von den Drehachsen. Die (identischen) physikalischen Pendel P 1 und P 2 werden<br />
so montiert, dass die Feder bei Ruhestellung der Pendel gespannt ist. Dadurch hängen die Pendel<br />
in der Ruhestellung (im Gleichgewicht) nicht in der vertikalen V , sondern um den Winkel ϕ◦<br />
nach innen. Das durch die Feder erzeugte Drehmoment ist<br />
MF,◦ = −DF · x◦ · lF<br />
(1.25)<br />
wobei DF die Federkonstante und x◦ ihre Verlängerung gegenüber dem entspannten Zustand<br />
ist. In der Ruhestellung ist MF,◦ entgegengesetzt gleich dem durch die Schwerkraft erzeugten<br />
Drehmoment<br />
MS,◦ = m · g · ls · ϕ◦<br />
(1.26)<br />
wobei ls die Entfernung des Schwerpunktes jedes der beiden Pendel von seiner Drehachse und m<br />
die Gesamtmasse jedes Pendels bedeuten. Wird P 2 um ϕ2 aus der Nullage ausgelenkt, so wirkt
1.2. SCHWINGUNGEN VON GEKOPPELTEN PENDELN 19<br />
insgesamt das Drehmoment<br />
oder<br />
Abbildung 1.5: Gekoppelte Pendel<br />
M2 = −m · g · ls · (ϕ2 − ϕ◦) − DF · (x◦ + lF ϕ2) · lF<br />
M2 = − · g · ls · ϕ2 − DF · l 2 F · ϕ2<br />
(1.27)<br />
(1.28)<br />
Wird ausserdem P 1 um −ϕ1 verschoben, so kommt durch die Feder das Drehmoment DF l 2 F ϕ1<br />
hinzu, so dass sich insgesamt ergibt<br />
Analog wird für P 1<br />
Die Bewegungsgleichungen beider Pendel lauten somit<br />
bzw. mit den Abkürzungen<br />
M2 = −m · g · ls · ϕ2 − DF · l 2 F · (ϕ2 − ϕ1) (1.29)<br />
M1 = −m · g · ls · ϕ1 + DF · l 2 F · (ϕ2 − ϕ1) (1.30)<br />
J · ¨ϕ1 = M1 = −m · g · ls · ϕ1 + DF · l 2 F · (ϕ2 − ϕ1) (1.31)<br />
J · ¨ϕ2 = M2 = −m · g · ls · ϕ2 − DF · l 2 F · (ϕ2 − ϕ1) (1.32)<br />
ω 2 s = mgls<br />
J<br />
Ω 2 = DF l 2 F<br />
J<br />
(1.33)<br />
(1.34)<br />
¨ϕ1 = −ω 2 s · ϕ1 + Ω 2 · (ϕ2 − ϕ1) (1.35)<br />
¨ϕ2 = −ω 2 s · ϕ2 + Ω 2 · (ϕ2 − ϕ1) (1.36)
20 KAPITEL 1. MECHANIK<br />
Dies ist ein System gekoppelter linearer Differentialgleichungen. Die Lösung wird mit Hilfe der<br />
Substitutionen α = ϕ2 + ϕ1, β = ϕ2 − ϕ1 erreicht : Summe und Differenz der beiden Gleichungen<br />
(24 ) und (25 ) führen auf die einfachen Differentialgleichungen<br />
mit den Lösungen<br />
¨α = −ω 2 s · α (1.37)<br />
¨β = −(ω 2 s + 2Ω 2 ) · β = −ω 2 sf · β (1.38)<br />
α(t) = ϕ2(t) + ϕ1(t) = A · sin(ωst) + B · cos(ωsft) (1.39)<br />
β(t) = ϕ2(t) − ϕ1(t) = C · sin(ωst) + D · cos(ωsft) (1.40)<br />
Die Konstanten werden durch die Anfangsbedingungen festgelegt. Liegen beim Start der Bewegung<br />
keine Anfangswinkelgeschwindigkeiten vor, d.h. ϕ2(t ˙ = 0) = 0 und ϕ1(t ˙ = 0) = 0, so wird<br />
A = C = 0 und aus der Summe der Gleichungen (32) und (33) wird<br />
2ϕ2(t) = B · cos(ωst) + D · cos(ωsft) (1.41)<br />
2ϕ1(t) = B · cos(ωst) − D · cos(ωsft) (1.42)<br />
Werden die Pendel aus den Positionen ϕ1(t = 0) = ϕmax und ϕ2(t = 0) = ϕmax gestartet, so<br />
wird D = 0 und B = 2ϕmax und die Pendel schwingen gleichsinnig gemäss<br />
ϕ2(t) = ϕmax · cos(ωst) (1.43)<br />
ϕ1(t) = ϕmax · cos(ωst) (1.44)<br />
mit der Kreisfrequenz ωs, d.h. der Kreisfrequenz jedes Pendels ohne Kopplung.<br />
Werden die Pendel aus den entgegengesetzten Positionen ϕ1(t = 0) = −ϕmax, ϕ2(t = 0) = +ϕmax<br />
gestartet, so wird B = 0 und D = 2ϕmax und die Pendel schwingen gegensinnig :<br />
mit der Kreisfrequenz ωsf :<br />
ϕ2(t) = ϕmax · cos(ωsft) (1.45)<br />
ϕ1(t) = −ϕmax · cos(ωsft) (1.46)<br />
ω 2 sf = ω 2 s + 2Ω 2<br />
(1.47)<br />
Wird die Schwingung mit Pendel P 1 mit ϕ1(t = 0) = ϕmax und Pendel P 2 in Ruheposition,<br />
ϕ2(t = 0) = 0 gestartet, so wird B = D = ϕmax und<br />
ϕ2(t) = 1<br />
2 ϕmax · cos(ωst) + 1<br />
2 ϕmax · cos(ωsft) (1.48)<br />
ϕ1(t) = 1<br />
2 ϕmax · cos(ωst) − 1<br />
2 ϕmax · cos(ωsft) (1.49)<br />
Jedes Pendel schwingt mit einer Überlagerung von zwei verschiedenen Frequenzen. Mit Hilfe eines<br />
Additionstheorems für trigonometrische Funktionen lassen sich die Gleichungen umschreiben in<br />
ϕ1(t) = ϕmax · cos( ωsf − ωs<br />
2<br />
t) · cos( ωsf + ωs<br />
t) (1.50)<br />
2
1.2. SCHWINGUNGEN VON GEKOPPELTEN PENDELN 21<br />
Mit den Abkürzungen<br />
wird daraus<br />
ϕ2(t) = ϕmax · sin( ωsf − ωs<br />
2<br />
ωk = ωsf + ωs<br />
2<br />
ωsch = ωsf − ωs<br />
2<br />
t) · sin( ωsf + ωs<br />
t) (1.51)<br />
2<br />
(1.52)<br />
(1.53)<br />
ϕ1(t) = ϕmax · cos(ωscht) · cos(ωkt) (1.54)<br />
ϕ2(t) = ϕmax · sin(ωscht) · sin(ωkt) (1.55)<br />
Die Bewegung jedes der beiden Pendel besteht also aus der Überlagerung zweier Schwingungen<br />
mit den Kreisfrequenzen ωsch und ωk. Sie kann als Schwingung der höheren Frequenz ωk angesehen<br />
werden, die mit der niedrigeren Frequenz ωsch moduliert ist. Diese Erscheinung wird Schwebung<br />
genannt.<br />
1.2.2 Messgrössen<br />
Der Messung zugänglich sind die Schwingungsdauern :<br />
Tk = 2π<br />
Ts = 2π<br />
ωs<br />
Tsf = 2π<br />
ωk<br />
Tsch = 2π<br />
ωsch<br />
=<br />
=<br />
ωsf<br />
4π<br />
ωsf + ωs<br />
4π<br />
ωsf − ωs<br />
(1.56)<br />
(1.57)<br />
(1.58)<br />
(1.59)<br />
Durch Einsetzen von ωs und ωsf ergeben sich folgende Beziehungen zwischen den Schwingungsdauern<br />
:<br />
Tk = 2 · TsTsf<br />
Ts + Tsf<br />
(1.60)<br />
Tsch = 2 · TsTsf<br />
Ts − Tsf<br />
Als Kopplungsgrad κ des Pendelsystems wird das Verhältnis<br />
definiert. Mit ω 2 sf = ω 2 s + 2Ω 2 folgt<br />
κ =<br />
κ =<br />
Ω2<br />
ω2 =<br />
s + Ω2 DF l 2 F<br />
mgls + DF l 2 F<br />
1<br />
2 (ω2 sf − ω2 s)<br />
1<br />
2 (ω2 sf + ω2 s) = T 2 s − T 2 sf<br />
T 2 s + T 2 sf<br />
(1.61)<br />
(1.62)<br />
(1.63)
22 KAPITEL 1. MECHANIK<br />
Abbildung 1.6: Aufbau des gekoppelten Pendels<br />
Der Kopplungsgrad ist umso kleiner (die Kopplung also umso schwächer), je näher die Befesti-<br />
gungspunkte der Feder an den Drehachsen der Pendel liegen. Trägt man 1<br />
κ<br />
als Funktion von 1<br />
l 2 F<br />
auf so ergibt sich eine Gerade, aus deren Steigung die Federkonstante ermittelt werden kann :<br />
1<br />
κ<br />
= 1 + mlsg<br />
DF<br />
· 1<br />
l 2 F<br />
1.2.3 Versuchsaufbau und Durchführung<br />
(1.64)<br />
Der Versuchsaufbau ist ähnlich wie beim einfachen Pendel (Kap. 1.1.3). Es werden nun zwei<br />
Pendel im Abstand von ca. 50 cm an dem Gestell befestigt und über ein Federpaar gekoppelt<br />
(Abb. 1.6). Die Federn können in verschiedenen Höhen an den Pendelstangen befestigt werden,<br />
wodurch unterschiedliche Kopplungskonstanten erzielt werden. Da die Federn nicht gestaucht<br />
werden können, müssen die Pendel so weit auseinander sein, dass die Federn in der Ruhelage<br />
schon gespannt sind. Es muß darauf geachtet werden, daß die Pendelauschläge so klein bleiben,<br />
daß die Federn nie völlig entspannt sind.<br />
Beide Winkelaufnehmer können gleichzeitig mit einem CASSY-Modul ausgelesen werden und<br />
haben einen unabhängigen Nullabgleich. Um eine günstige Darstellung auf dem Bildschirm zu
1.2. SCHWINGUNGEN VON GEKOPPELTEN PENDELN 23<br />
erzielen, kann die Nulllage eines Pendels entweder durch die Versorgungsspannung des Winkelaufnehmers<br />
oder durch Einstellung eines Offsets in der CASSY-Software verschoben werden.<br />
Es werden die Pendelausschläge aufgenommen und die Fouriertransformierten bestimmt. Im<br />
allgemeinen Fall erhält man eine Schwebung, die eine Überlagerung aus zwei Schwingungen<br />
mit dicht benachbarten Frequenzen ist. Im Fourierspektrum erkennt man deshalb zwei Spitzen,<br />
die mit wachsender Kopplungsstärke zusammenrücken. Lässt man die Pendel gleichsinnig (in<br />
Phase) schwingen, so taucht nur die kleinere der beiden Frequenzen auf. Schwingen die Pendel<br />
gegensinnig, so erhält man im Spektrum nur die Spitze der höheren Frequenz. Um den Fehler<br />
der Frequenzmessung zu erhalten wird eine Messung mehrmals durchgeführt und die mittlere<br />
quadratische Abweichung zum Mittelwert bestimmt.<br />
Aus den gemessenen Frequenzen wird der Kopplungsgrad κ bestimmt (Gl.1.63). Außerdem werden<br />
die Abstände lF zwischen dem Aufhängepunkt des Pendels und der Befestigung der Feder<br />
gemessen. Trägt man 1<br />
1 gegen κ l2 auf, so erhält man eine Gerade, aus deren Steigung man die<br />
F<br />
Federkonstante ermitteln kann (Gl. 1.64).
24 KAPITEL 1. MECHANIK<br />
1.3 Trägheitsmomente<br />
Abbildung 1.7: Versuchsaufbau für die Messung von Trägheitsmomenten.<br />
Physikalische Grundlagen<br />
Definition des Trägheitsmomentes, Satz von Steiner, Direktionsmoment, Schwingungen<br />
1.3.1 Einführung<br />
Bei einem beliebigen starren Körper, dessen Massenelemente ∆mi den Abstand ri zur Drehachse<br />
haben, ist das Trägheitsmoment<br />
J = �<br />
(1.65)<br />
i<br />
∆mi · r 2 i<br />
Für eine punktförmige Masse m auf einer Kreisbahn mit dem Radius r gilt:<br />
J = m · r 2
1.3. TRÄGHEITSMOMENTE 25<br />
Das Trägheitsmoment wird aus der Schwingungsdauer<br />
einer Drillachse bestimmt,<br />
�<br />
J<br />
T = 2π<br />
(1.66)<br />
D<br />
auf die der Probekörper gesteckt wird und die<br />
über eine Schneckenfeder elastisch mit dem Stativ<br />
verbunden ist (siehe Abb. 1.7). Das System<br />
wird zu harmonischen Schwingungen angeregt.<br />
Aus der Schwingungsdauer T errechnet man bei<br />
bekanntem Direktionsmoment D das Trägheitsmoment<br />
des Probekörpers gemäß<br />
� �2<br />
T<br />
J = D<br />
2π<br />
(1.67)<br />
Die Messwerte werden mit den theoretischen<br />
Vorhersagen für einen Körper der Masse m, dessen<br />
Massenelemente ∆mi um eine feste Achse<br />
im Abstand ri rotieren, verglichen:<br />
J = �<br />
∆mir 2 �<br />
i = r 2 dm (1.68)<br />
i<br />
Der Schwingungsvorgang wird mit Hilfe eines<br />
Winkelaufnehmers (siehe Abb. 1.8) in elektrische<br />
Signale umgewandelt. Der Aufnehmer liefert<br />
für kleine Auslenkungen eine winkelproportionale<br />
Spannung. Er besteht aus einem vernickelten<br />
Messingrohr (10 mm Durchmesser) mit<br />
angeschraubtem Kleingehäuse für die elektrischen<br />
Bauteile. In dem Messingrohr befindet<br />
sich eine Nut an deren Ende in einem Langloch<br />
eine magnetfeldempfindliche Sonde (Hall-<br />
Sonde) eingeklebt ist. Die Sonde ist so orientiert,<br />
dass sie auf die zur Nut senkrecht stehende<br />
Komponente des Magnetfeldes anspricht.<br />
Die zwei felderzeugenden Permanentmagnete sind<br />
so auf die Innenseiten einer U-förmigen Gabel<br />
geklebt, dass sich Nord- und Südpol gegenüberliegen.<br />
Im Ruhezustand verschwindet daher die<br />
vertikale Feldkomponente; die Ausgangsspan-<br />
nung des Winkelaufnehmers ist somit 0. Wird<br />
nun die Drillachse um den Winkel α aus der horizontalen<br />
Richtung ausgelenkt, tritt eine Feldkomponente<br />
in vertikaler Richtung auf.<br />
Abbildung 1.8: Drillachse mit Winkelaufnehmer.
26 KAPITEL 1. MECHANIK<br />
Die exakte Abhängigkeit wird durch die Gleichung<br />
B⊥ = B · sin α<br />
beschrieben. Im Falle kleiner Winkel kann sin α durch α approximiert werden, so dass die Ausgangsspannung<br />
proportional dem Auslenkwinkel α wird. Die Abweichung von diesem linearen<br />
Verhalten liegt bis zu einem Winkel von α = ±14 Grad (entsprechend sin α = 0, 24) unter 1%.<br />
Die Versorgungsspannung wird über das entsprechend gekennzeichnete Leitungspaar zugeführt<br />
und soll im Bereich 12-16 V liegen. Es ist auf die Polarität gemäß den Farben der Anschlussstecker<br />
(rot-positiv, blau-negativ) zu achten. Bei Fehlbeschaltung tritt keine Ausgangsspannung auf.<br />
Die von dem Winkelaufnehmer gelieferten Spannungssignale werden mit Hilfe des computerunterstützten<br />
Messwerterfassungssystems CASSY aufgezeichnet. Mit Hilfe einer Fourieranalyse<br />
lässt sich aus dem aufgezeichneten Schwingungsvorgang mit großer Genauigkeit die Frequenz<br />
und damit die Schwingungsdauer bestimmen.<br />
Im ersten <strong>Teil</strong> des Versuches wird das Trägheitsmoment eines ”Massenpunktes” in Abhängigkeit<br />
vom Abstand r zur Drehachse bestimmt. Dazu wird ein Stab mit zwei gleichen Massenstücken<br />
in Querrichtung auf die Drillachse gesteckt. Die Schwerpunkte der beiden Massenstücke haben<br />
den gleichen Abstand r zur Drehachse, so dass das System ohne Unwucht schwingt.<br />
Im zweiten <strong>Teil</strong> des Versuches werden die Trägheitsmomente eines Hohlzylinders, eines Vollzylinders<br />
und einer Vollkugel miteinander verglichen. Dazu stehen zwei Vollzylinder mit gleicher<br />
Masse jedoch unterschiedlichen Radien zur Verfügung. Weiterhin ein Hohlzylinder, der in Masse<br />
und Radius mit einem Vollzylinder übereinstimmt, und eine Vollkugel, deren Trägheitsmoment<br />
mit einem der Vollzylinder übereinstimmt.<br />
Im dritten <strong>Teil</strong> des Versuchs wird der Steinersche Satz am Beispiel einer flachen Kreisscheibe<br />
experimentell verifiziert. Dazu werden die Trägheitsmomente Ja einer Kreisscheibe für verschiedene<br />
Abstände a der Drehachse zum Schwerpunkt gemessen und mit dem Trägheitsmoment J0<br />
um die Schwerpunksachse verglichen. Es soll der Steinersche Satz<br />
bestätigt werden.<br />
1.3.2 Versuchsbeschreibung<br />
Ja = J0 + m · a 2<br />
(1.69)<br />
Die Versuchskörper zur Drillachse sind so ausgewählt, dass sich folgende Fragestellungen untersuchen<br />
lassen:<br />
• Messung des Zusammenhangs J = f(r 2 ) für einen ”Massenpunkt”, der im Abstand r um<br />
eine feste Achse rotiert.<br />
• Vergleich der Trägheitsmomente von Zylindern mit nahezu gleicher Masse, aber verschiedener<br />
Massenverteilung.
1.3. TRÄGHEITSMOMENTE 27<br />
• Bestimmung der Trägheitsmomente von Zylindern und Kugeln aus gleichem Material, deren<br />
Massen und Radien so abgestimmt sind, dass sich gleiche Trägheitsmomente ergeben.<br />
• Bestätigung des Steinerschen Satzes.<br />
1.3.3 Versuchsaufbau<br />
Zum Versuchsaufbau gehören<br />
1. Drillachse mit zweifach kugelgelagerter Welle, durch eine Schneckenfeder an eine Gabel<br />
angekoppelt.<br />
Richtmoment der Feder: ca. 0,025 N m<br />
Höhe der Drillachse: ca. 0,2 m<br />
Gewicht der Drillachse: ca. 0,39 kg<br />
2. Stab mit Kupplungsstück zum Aufstecken auf die Drillachse; je 5 Kerben in 0, 05 m<br />
Abständen zu beiden Seiten der ebenfalls gekerbten Stabmitte.<br />
Länge des Stabes: ca. 0,6 m<br />
Masse des Stabes: ca. 0,13 kg<br />
3. Zwei Massen (als Modell von Massenpunkten), längs des Stabes (2) verschiebbar, mit Kugelrasten,<br />
die in die Kerben des Stabes greifen, so dass die Massen in definierten Abständen<br />
von der Stabmitte gehalten werden.<br />
Masse jedes Massenstückes: ca. 0,24 kg<br />
4. Vollzylinder aus Holz (Holzscheibe), Durchmesser ca. 225 mm, mit Buchse zum Aufstecken<br />
auf die Drillachse.<br />
Durchmesser: ca. 0,225 m<br />
Höhe: ca. 0,015 m<br />
Masse: ca. 0,35 kg
28 KAPITEL 1. MECHANIK<br />
5. Vollzylinder aus Holz, Durchmesser ca. 90 mm.<br />
Durchmesser: ca. 0,09 m<br />
Höhe: ca. 0,09 m<br />
Masse: ca. 0,35 kg<br />
6. Hohlzylinder aus Metall, Durchmesser ca. 90 mm.<br />
Durchmesser: ca. 0,09 m<br />
Höhe: ca. 0,09 m<br />
Masse: ca. 0,35 kg<br />
7. Aufnahmeteller aus Metall für die Zylinder (5) und (6) mit Buchse zum Aufstecken auf die<br />
Drillachse und mit Schraube zum fixieren der Zylinder.<br />
Durchmesser: ca. 0,1 m<br />
Masse: ca. 0,12 kg<br />
Durchmesser und Höhe der Zylinder (5) und (6) stimmen überein (nachmessen !), die<br />
Massen der 3 Zylinder (4), (5) und (6) sind näherungsweise gleich (nachmessen !).<br />
8. Kugel aus Holz, Durchmesser ca. 145 mm, mit Buchse zum Aufstecken auf die Drillachse.<br />
Die Trägheitsmomente der Kugel und des Zylinders (4) sind etwa gleich.<br />
Durchmesser: ca. 0,145 m<br />
Masse: ca. 0,99 kg
1.3. TRÄGHEITSMOMENTE 29<br />
9. Kreisscheibe mit Halterung zum Aufstecken auf die Drillachse mit 9 Löchern zum Aufspannen<br />
der Scheibe auf der Halterung in der Scheibenmitte, sowie im Abstand von<br />
0, 02; 0, 04; . . . 0, 14; 0, 16 m von der Scheibenmitte.<br />
Durchmesser: ca. 0,4 m<br />
Masse: ca. 0,74 kg<br />
1.3.4 Hinweise zum Experimentieren<br />
Schrauben (10) welche die federnden Kugelrasten der Massen (3) gen den Stab (2) drücken, nicht<br />
betätigen. Die Schrauben sind so eingestellt, dass man einerseits die Massen entsprechend den<br />
Versuchsbedingungen längs des Stabes verschieben kann, und dass die Massen anderseits gegen<br />
die Zentrifugalkraft auf dem Stab gehalten werden.<br />
Die Anordnung stets so aus der Gleichgewichtslage auslenken, dass die Feder zusammengedrückt<br />
und nicht aufgebogen wird. Die maximale Auslenkung wird druch die Halterungen für die Magnete<br />
auf ca. 60 Grad beschränkt.<br />
Die Schwingungsdauern sollten zweckmäßigerweise durch Mittelwertbildung aus mehreren Messungen<br />
für z.B. 5 Schwingungen bestimmt werden. Aus der Varianz der Messwerte ergibt sich<br />
auch der Fehler für die Schwingungsdauern.<br />
Zusätzlich gibt es Fehler durch die Art und Weise wie mit der CASSY-Software der Schwerpunkt<br />
im Frequenzspektrum bestimmt wird. Um diesen Fehler abzuschätzen, sollte zumindestens eine<br />
Messung mit MAPLE ausgewertet werden, d.h. die mit CASSY aufgzeichneten Spannungswerte<br />
werden in MAPLE eingelesen, die Fouriertransformation mit der Prozedur ”fourier” aus der<br />
MAPLE-Bibliothek ”app maple” durchgeführt und mit der Prozedur ”peak” der Schwerpunkt<br />
der Verteilung bestimmt. Durch Variation des Messbereichs für die Fouriertransformation, durch<br />
Variation des Fensters in dem der Schwerpunkt bestimmt wird und durch Vergleich mit dem<br />
Ergebnis aus der CASSY Software kann der systematische Fehler in der Frequenzbestimmung<br />
abgeschätzt werden.<br />
Ein Beispiel einer solchen Messung mit dem Messwerterfassungssystem CASSY ist in Abb. 1.9<br />
gezeigt. Aus der Fouriertransformation (siehe Abb. 1.10) ergibt sich in diesem Beispiel eine<br />
Schwingungsdauer von 4.88 s. Die gleiche Messung wurde 5 mal wiederholt um die statistischen<br />
Schwankungen zu ermitteln. Es ergaben sich die Messwerte: 4,88s, 4,87s, 4,87s, 4,88s, 4,87s. Für<br />
den Mittelwert also: T = (4, 874 ± 0, 002) s.
30 KAPITEL 1. MECHANIK<br />
Abbildung 1.9: Messreihe eines Schwingungsvorgangs mit der Drillachse.<br />
Abbildung 1.10: Fouriertranformation der in Abb. 1.9 gezeigten Messreihe. Mit dem ”Peakfinder”<br />
aus der CASSY Software ergibt sich eine Schwingungsdauer von 4,87 s.
1.3. TRÄGHEITSMOMENTE 31<br />
Das Trägheitsmoment der Drillachse liegt in der Grössenordung von 10 −5 kgm 2 . Es ist in der<br />
Auswertung nicht berücksichtigt, so dass die experimentell ermittelten Trägheitsmomente stets<br />
etwas größer als die theoretisch erwarteten Werte sind.<br />
1.3.5 Bestätigung von J = f(r 2 ) und Bestimmung des Direktionsmomentes<br />
D<br />
Zunächst wir das Gewicht der Massen mW 1, mW 2 und das Gewicht des Stabes mStab mit einer<br />
Waage gemessen und die Länge des Stabes lStab mit einem Massband bestimmt.<br />
Dann wird der Stab ohne Massen auf die Drillachse gesteckt und die Schwingungsdauer gemessen.<br />
Anschliessend werden die Massen (mW 1, mW 2) symmetrisch im Abstand r = 0, 05; 0,10;<br />
0,15; 0,20; 0,25 m von der Stabmitte angeordnet und ebenfalls die Schwingungsdauern gemessen.<br />
Beispiel einer solchen Messreihe:<br />
Das Trägheitsmoment für den Stab alleine ist<br />
r m 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25<br />
T s 2,52 2,71 3,76 4,86 6,08 7,40<br />
JStab = 1<br />
12 · mStab · l 2 Stab<br />
und für die ”Massenpunkte” im Abstand r von der Drillachse:<br />
JMassen = (mW 1 + mW 2) · r 2 = mW · r 2<br />
Es sollte also folgender funktionaler Zusammenhang gelten:<br />
T 2 = 4π 2 JMassen + JStab<br />
D<br />
= 4π2<br />
D mW · r 2 + 4π2<br />
· JStab<br />
D<br />
Die Messung mit dem Stab alleine entspricht also dem Messwert für r = 0.<br />
Der linearer Zusammenhang zwischen dem Quadrat der Schwingsdauern (T 2 ) und dem Quadrat<br />
des Abstandes (r 2 ) (siehe Abb. 1.11) erlaubt es, mit Hilfe einer linearen Regression,<br />
T 2 = m · r 2 + a<br />
= 737, 34 s2<br />
m 2 · r2 + 6, 36 s 2<br />
aus der Steigung der Geraden m das Direktionsmoment D zu bestimmen:<br />
D = 4π2<br />
· mW<br />
m<br />
=<br />
4π2 · 0, 48 N m<br />
737, 34<br />
= 0, 0257 N m
32 KAPITEL 1. MECHANIK<br />
Abbildung 1.11: Grafische Darstellung der Messwerte T 2 (r 2 ) zusammen mit der Ausgleichsgeraden.<br />
Mit bekanntem Direktionsmoment D kann anschliessend aus dem Achsenabschnitt a das Trägheitsmoment<br />
des Stabes experimentell bestimmt werden<br />
J exp.<br />
Stab<br />
und mit der theoretischen Vorhersage<br />
verglichen werden.<br />
aD<br />
=<br />
4π2 = 6, 36 · 0, 0257<br />
4π2 = 0, 414 · 10 −2 kg m 2<br />
J theo.<br />
Stab = 1<br />
12 · mStab · l 2 Stab<br />
= 1<br />
12 · 0, 132 · 0, 62 kg m 2<br />
= 0, 396 · 10 −2 kgm 2<br />
1.3.6 Vergleich der Trägheitsmomente von Zylindern gleicher Masse<br />
mit verschiedener Massenverteilung<br />
Dünner Vollzylinder aus Holz<br />
Die Masse des Vollzylinders aus Holz (Holzscheibe - HS) mHS wird durch wiegen und sein Durchmesser<br />
dHS mit dem Massband bestimmt. Dann wird die Holzscheibe auf der Drillachse befestigt<br />
und die Schwingungsdauer gemessen.<br />
Beispiel:<br />
THS = 1, 82 s<br />
J exp<br />
HS = 1<br />
4π 2 · D · T 2 HS<br />
= 1<br />
4π 2 · 0, 0257 · 1, 822 Nms 2<br />
= 2, 16 · 10 −3 kg m 2
1.3. TRÄGHEITSMOMENTE 33<br />
Der theoretisch zu erwartende Wert ergibt sich zu:<br />
J theo<br />
HS = 1<br />
2 mHS<br />
� �2 dHS<br />
2<br />
= 2, 05 · 10 −3 kg m 2<br />
Vollzylinder (VZ) und Hohlzylinder (HZ)<br />
Beide Zylinder werden auf einen Aufnahmeteller (T) gesetzt, so dass sich die Trägheitsmomente<br />
JV Z und JHZ nicht unmittelbar experimentell, sondern durch Differenzbildung ermitteln lassen:<br />
Aufnahmeteller:<br />
Aufnahmeteller + Vollzylinder:<br />
JV Z = JV Z+T − JT<br />
JHZ = JHZ+T − JT<br />
T = 0, 564 s<br />
J exp<br />
T = 1<br />
4π 2 · D · T 2 T<br />
= 1<br />
4π 2 · 0, 0257 · 0, 5642 Nms 2<br />
= 0, 207 · 10 −3 kg m 2<br />
T = 0, 92 s<br />
JV Z+T = 1<br />
4π 2 · D · T 2 V Z+T<br />
= 1<br />
4π 2 · 0, 0257 · 0, 922 Nms 2<br />
= 0, 552 · 10 −3 kg m 2<br />
Damit ergibt sich für das Trägheitsmoment des Vollzylinders<br />
J exp<br />
V Z = JV Z+T − JT = 0, 345 · 10 −3 kg m 2<br />
im Vergleich zu dem theoretisch zu erwartenden Wert von<br />
Aufnahmeteller + Hohlzylinder:<br />
J theo<br />
V Z = 1<br />
2 mV Z<br />
� dV Z<br />
2<br />
� 2<br />
= 0, 337 · 10 −3 kg m 2<br />
T = 1, 18 s<br />
JV Z+T = 1<br />
4π 2 · D · T 2 V Z+T<br />
= 1<br />
4π 2 · 0, 0257 · 1, 182 Nms 2<br />
= 0, 907 · 10 −3 kg m 2
34 KAPITEL 1. MECHANIK<br />
Damit ergibt sich für das Trägheitsmoment des Hohlzylinders<br />
J exp<br />
HZ = JHZ+T − JT = 0, 700 · 10 −3 kg m 2<br />
im Vergleich zu dem theoretisch zu erwartenden Wert von<br />
J theo<br />
HZ = mV Z<br />
1.3.7 Trägheitsmoment der Kugel<br />
T = 1, 82 s<br />
� dHZ<br />
2<br />
� 2<br />
= 0, 652 · 10 −3 kg m 2<br />
J exp<br />
K = 1<br />
4π 2 · D · T 2 V Z+T<br />
= 1<br />
4π 2 · 0, 0257 · 1, 822 Nms 2<br />
= 2, 16 · 10 −3 kg m 2<br />
Um das experimentelle Ergebnis mit der theoretischen Vorhersage<br />
J theo<br />
K<br />
= 2<br />
5 mKR 2 K<br />
vergleichen zu können, benötigen wir den Radius der Kugel RK. Dieser lässt sich mit dem<br />
Massband nur sehr ungenau abschätzen. Wesentlich genauer ist es, die Dichte der Kugel ρK<br />
zu verwenden, um über die Beziehung<br />
mK = VK · ρK = 4<br />
3 πR3 KρK<br />
den Radius zu bestimmen. Mit ρK = (0, 63 ± 0, 02) · 103 kg/m3 erhalten wir:<br />
RK =<br />
�<br />
mK<br />
4<br />
3πρK � 1<br />
3<br />
und damit<br />
= 0, 0716 m<br />
J theo<br />
K = 2<br />
5 mKR 2 K<br />
= 2<br />
5 · 0, 99 kg · 0, 07162 m 2<br />
= 2, 03 · 10 −3 kg m 2<br />
Der Vergleich mit der Messung für die Holzscheibe zeigt, dass die Trägheitsmomente übereinstimmen.<br />
Bestimmt man Massen und Radien der Versuchskörper, so lässt sich experimentell bestätigen,<br />
dass Kugel und Holzscheibe das gleiche Trägheitsmoment haben wenn gilt:<br />
mHS · R 2 HS = 4<br />
5 mK · R 2 K
1.3. TRÄGHEITSMOMENTE 35<br />
1.3.8 Bestätigung des Steinerschen Satzes<br />
In diesem Versuchsteil soll die Abhängigkeit des Trägheitsmomentes J vom Abstand a zwischen<br />
Rotations- und Schwerpunktachse untersucht werden. Der Steinersche Satz<br />
Ja = J0 + m · a 2<br />
soll bestätigt werden. J0 ist hierbei das Trägheitsmoment bei Rotation um die Schwerpunktsachse.<br />
Die Kreisscheibe wird zunächst um ihre Schwerpunktsachse rotieren gelassen (a = 0). Zur besseren<br />
Genauigkeit und um die Schwankung der Messwerte abzuschätzen wird die Messung mehrfach<br />
wiederholt und die Schwingungsdauer durch Mittelwertbildung bestimmt.<br />
In gleicher Weise wird die Schwingungsdauer T als Funktion des Abstandes a = 0, 02; 0, 04;<br />
. . . 0, 16 m zwischen Rotations- und Schwerpunktsachse bestimmt.<br />
Wichtig:<br />
Nach jeder Änderung von a den Stativfuss mit Hilfe der Dosenlibelle wieder so ausrichten, dass<br />
die Kreisscheibe in der Horizontalen rotiert.<br />
Ergebnis:<br />
a[m] T[s] J [kg m2 −2 ] 10 J−J0<br />
a2 0,00 4,782 1,490<br />
[kg]<br />
0,02 4,800 1,501<br />
0,04 4,961 1,604<br />
0,06 5,230 1,782<br />
0,08 5,532 1,994 0,75<br />
0,10 5,884 2,256<br />
0,12 6,313 2,597<br />
0,14 6,710 2,951<br />
0,16 7,220 3,400<br />
Für das Trägheitsmoment J eines Körpers der Masse m, dessen Rotationsachse um a von der<br />
Schwerpunktsachse entfernt ist, gilt:<br />
Ja = J0 + const. · a 2<br />
Die Auswertung des Diagramms J = f(a 2 ) liefert für den konstanten Proportionalitätsfaktor in<br />
befriedigender Übereinstimmung mit der Masse der Kreisscheibe von 0, 75 kg. Damit bestätigt<br />
der Versuch den Steinerschen Satz:<br />
Ja = J0 + m · a 2
Kapitel 2<br />
Akustik<br />
Bei den Versuchen zur Akustik kann prinzipiell zwischen 2 Meßprogrammen gewählt werden.<br />
(I und II mit etwa gleichem Meß- und Auswerteaufwand – s.u.)<br />
Da jeweils nur 4 Aufbauten zur Verfügung stehen, sollte vor der Vorbereitung die Aufteilung auf<br />
die Versuche unter den Gruppen koordiniert werden.<br />
Meßprogramm I: V 2.1.A und ein Versuch aus V 2.1.B und entweder V 2.2 oder V 2.3<br />
V 2.1 Schallwellen in Gasen / Ausbeitungsgeschwindigkeit<br />
A Laufende Welle – Laufzeit gegen Laufstrecke<br />
B1 Stehende Welle – Schalldruck gegen Ort<br />
B2 Stehende Welle – Schalldruck gegen Rohrlänge<br />
B3 Stehende Welle – Schalldruck gegen Frequenz<br />
V 2.2 Schallwellen in Festkörpern / Elastizitätsmodul<br />
1 Bestimmung der Stab-Dichte<br />
2 Aufzeichnung der Grundschwingung<br />
V 2.3 Schwebungen von Schallwellen zweier Stimmgabeln<br />
1 Aufzeichnung der Schwingung einzeln und in Schwebung<br />
2 Periodenlängen und Fourier Auswertung<br />
Meßprogramm II: V 2.4 komplett<br />
V 2.4 Doppler-Effekt<br />
1 Schallgeschwindigkeit aus Phasenverschiebung<br />
2 Frequenzverschiebung gegen Quellengeschwindigkeit<br />
3 Echolot<br />
36
2.1. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN GASEN 37<br />
2.1 Schallgeschwindigkeit in Gasen<br />
2.1.1 Versuchsziel<br />
A Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Luft aus Laufzeitmessungen.<br />
B Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Luft mit stehenden Wellen:<br />
– durch Messung des Schalldruckverlaufs<br />
– oder Messung der Resonanzlängen<br />
– oder Messung der Resonanzfrequenzen<br />
Vorkenntnisse: Wellen<br />
Schallausbreitung in Gasen<br />
Überlagerung von Wellen<br />
Stehende Wellen<br />
Schallwandler (Piezo/Lautsprecher/Mikrophon)<br />
Benötigte Geräte: Sensor CASSY 1x<br />
Timer-Box 1x<br />
Stromquellen-Box 1x<br />
Temperatursensor 1x<br />
Plexiglas Rohr ø 10cm L 50cm mit Ständer 1x<br />
Endstück mit Lautsprecher 1x<br />
Endstück mit Durchführung 1x<br />
im Rohr verschiebbare Scheibe 1x<br />
Universalmikrophon mit Stativstange u. Sockel 1x<br />
Piezo Hochtöner mit Stativstange u. Sockel 1x<br />
Wegaufnehmer mit Stativstange 1x<br />
Faden 1m mit Gummiring und Gewicht 1x<br />
Tischklemme 1x<br />
Führungsschiene Alu 30x3mm^2 L 50cm 1x<br />
Funktionsgenerator 0-200 kHz 1x<br />
BNC -> 4mm Übergangsstecker 2x<br />
BNC -> Lemo Übergangsstecker 2x<br />
4mm Laborkabel 25cm/1.0mm Paar rot/blau 1x<br />
4mm Laborkabel 100cm/1.0mm Paar rot/blau 2x<br />
4mm Laborkabel 200cm/1.0mm Paar schwarz 1x
38 KAPITEL 2. AKUSTIK<br />
2.1.2 Grundlagen<br />
Schallgeschwindigkeit in Gasen<br />
Die Ausbreitung von Schallwellen in Gasen ist ein adiabatischer Prozeß. Das Schallfeld ist durch<br />
die Angabe von Schallschnelle u(x, t) (lokale Geschwindigkeit der Gasmoleküle) oder Schalldruck<br />
p(x, t) (lokale Abweichung des Drucks vom Außendruck) beschrieben. Ist der Schalldruck p klein<br />
gegenüber dem Außendruck p0, so gelten die Euler-Gleichungen:<br />
∂<br />
∂<br />
p(x, t) = −ϱ u(x, t) und<br />
∂x ∂t<br />
∂<br />
1<br />
u(x, t) = −<br />
∂x κp0<br />
∂<br />
∂t p(x, t) mit κ = cP /cV (2.1)<br />
Eine Lösung der Wellengleichung ∂2u ∂t2 = v2 ∂2u ∂x2 sind ebene Wellen: u(x, t) = u0sin(ωt ± kx − φ)<br />
mit Kreiswellenzahl k = 2π/λ, Kreisfrequenz ω = 2πf und Phasengeschwindigkeit vph = ω/k.<br />
Ohne Dispersion entsprechen Phasen- und Gruppengeschwindigkeit vgr = ∂ω/∂k der Ausbreitungsgeschwindigkeit<br />
v, die für ein ideales Gas von der Temperatur T allein abhängig ist:<br />
v =<br />
�<br />
�<br />
�<br />
R · κ<br />
p0 · κ/ϱ = v0 T/T0 mit v0 = T0<br />
Mmol<br />
allg. Gaskonstante: R = 8.3145 J/(mol K)<br />
Adiabatenexponent: κ = 7/5 für ein zweiatomiges Gas (N2, O2)<br />
Molmasse von Luft: Mmol = 28.984 · 10 −3 Kg/mol<br />
üblicherweise wählt man: T0 = 273.15 K (=0 ◦ C)<br />
Stehende Wellen<br />
In einem geschlossenen Rohr bilden sich durch Überlagerung von einlaufenden mit reflektierten<br />
periodischen Schallwellen sog. stehende Wellen aus. Im Gegensatz zu frei laufenden (z.B. ebenen)<br />
Wellen gibt es hier Orte, an denen zu jeder Zeit die Schallschnelle oder der Schalldruck<br />
verschwinden (Knoten) und Zeiten, zu denen an jedem Ort Schalldruck oder Schnelle verschwinden.<br />
Befindet sich bei x=0 ein schallharter Abschluß, so ist dort die Schallschnelle zu jeder Zeit<br />
ux=0 = 0 (Schnelleknoten) und die Amplitude des Schalldrucks extremal (Druckbauch).<br />
Allgemein gilt in einem Rohr der Länge L mit schallhartem Abschluß bei x=0 und Schallquelle<br />
bei x=L mit Schallschnelle u(x = L, t) = uL · sin ωt: u(x, t) = uL<br />
Damit ist der Effektivwert<br />
� 1<br />
T<br />
� T<br />
0 p2 (x, t)dt des Schalldrucks ˆp(x) =<br />
sin kx · sin ωt<br />
ϱ · v · uL<br />
√ ·<br />
2<br />
cos kx<br />
sin kL<br />
sin kL<br />
Die Druckknoten haben somit einen Abstand ∆x = λ/2 und liegen bei:<br />
(2.2)<br />
xn = n · λ/2 − λ/4 n = 1, 2, . . . (2.3)<br />
Am schallharten Abschluß bei x=0 ist der Effektivwert des Schalldrucks:<br />
�<br />
ϱ · v · uL 2πf<br />
ˆpx=0 = √ / sin<br />
2 v L<br />
�<br />
d.h. bei fester Rohrlänge L liegen Resonanzen bei fn = n·v/2L n = 1, 2, . . . (2.4)<br />
und bei fester Frequenz f liegen Resonanzen bei Ln = n·v/2f n = 1, 2, . . . (2.5)
2.1. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN GASEN 39<br />
2.1.3 Vorbereitung<br />
Zur Vorbereitung ist es eine gute Übung, die Eulergleichungen 2.1 aus Beschleunigungs- und<br />
Kompressionsvorgängen eines diskreten Gasvolumens herzuleiten. Daraus wird die Wellengleichung<br />
ableitet, und die Ausbreitungsgeschwindigkeit abgelesen. Die Umrechnung in 2.2 sollte<br />
auch linear nach TC in o C entwickelt werden.<br />
Zur Herleitung von Gl. 2.3 sind ein- und auslaufende Wellen nach Diskussion der Randbedingungen<br />
an der reflektierenden Wand phasenrichtig zu überlagern und mit Additionstheoremen<br />
zusammenzufassen. Weiterhin sind p und u über die Euler-Gl. 2.1 verknüpft.<br />
2.1.4 Messung und Auswertung<br />
Vier verschiedene Messungen sind möglich:<br />
A Laufzeit einer Störung in Abhängigkeit der Laufstrecke<br />
Mit dieser Messung wird die Schallgeschwindigkeit bei Raumtemperatur gemessen.<br />
B1 Schalldruck in Abhängigkeit des Ortes entlang des Rohres<br />
Das Schalldruckprofil einer stehenden Welle wird vermessen.<br />
B2 Schalldruck am schallharten Abschluß in Abhängigkeit der Resonatorlänge<br />
Diese Messung zeigt die Resonanzlängen einer stehenden Welle in einem geschlossenen<br />
Rohr. Warum wird am schallharten Abschluß gemessen?<br />
B3 Schalldruck am schallharten Abschluß in Abhängigkeit der Frequenz<br />
Diese Messung zeigt die Resonanzfrequenzen einer stehenden Welle in einem geschlossenen<br />
Rohr.<br />
Aus allen Messungen wird die Schallgeschwindigkeit bestimmt und mit der Erwartung nach Gl.<br />
2.2 verglichen. Dazu ist jedesmal eine Messung der Lufttemperatur nötig, deren Unsicherheit<br />
ebenfalls berücksichtigt werden muß.<br />
Fehlerabschätzung<br />
Die Messungen zur Schallausbreitung in Luft werden mit Sensor-CASSY aufgezeichnet. Dabei<br />
kommen verschiedene Meßaufnehmer zum Einsatz, die teilweise vor der Messung kalibriert werden<br />
(Wegaufnehmer), deren systematische Unsicherheiten ansonsten aber nach Herstellerangaben<br />
abgeschätzt werden müssen (Zeitbasis, Temperatur).<br />
Die Schätzung der statistischen Fehler geschieht durch Mehrfachmessungen (Mittelwert/RMS)<br />
oder durch Variation der Meßwertintervalls z.B. für Peakwertbestimmungen. Mittels Fehlerfortpflanzung<br />
wird schließlich die Güte der Messung (Vertrauensbereich) ermittelt. I. A. reduziert<br />
sich der Fehler durch eine sinnvolle Verteilung der Meßwerte (kleinere Abstände und damit mehr<br />
Meßwerte an kritischen Stellen wie z.B. Resonanzfrequenzen oder Schalldruckknoten).<br />
Um die begrenzte Meßzeit effektiv auszunutzen, ist es sinnvoll, schon während der Messung die<br />
einzelnen Fehlerbeiträge getrennt zu bestimmen. Dominiert ein Beitrag den Meßfehler, sollte der<br />
weitere Aufwand in dessen Reduzierung investiert werden.
40 KAPITEL 2. AKUSTIK<br />
2.1.4.1 Laufzeit gegen Laufstrecke<br />
Wird die Laufzeit t einer Störung a(x − vt) für verschiedene Orte x gemessen, so ergibt sich die<br />
Ausbreitungsgeschwindigkeit v als Steigungsfaktor der Auftragung x gegen t auch ohne absolute<br />
Ortskenntnis der Störquelle.<br />
Hierzu werden Stoßwellen mit dem Piezo-Hochtonlautsprecher erzeugt und mit Sensor-CASSY<br />
aufgezeichnet. Abb. 2.1 zeigt den Aufbau:<br />
Mikrofon<br />
58626<br />
=<br />
~<br />
Trigger<br />
12 V<br />
INPUT A<br />
INPUT B<br />
R<br />
TIMER−BOX<br />
R P +<br />
E<br />
T<br />
F<br />
524034<br />
STROMQUELLEN−BOX<br />
+<br />
T<br />
524031<br />
S<br />
− +<br />
SENSOR−CASSY 524010<br />
Piezo<br />
Hochtöner<br />
Abbildung 2.1: CASSY Meßaufbau Laufzeit gegen Laufstrecke<br />
Am Tischende fixiert die Tischklemme die 50cm lange Alu-Schiene. An ihrem anderen Ende<br />
schließt sich die Rohr-Halterung an. Das Schallrohr wird mittig darauf gelegt und auf der hinteren<br />
Seite mit dem Piezo-Hochtöner abgeschlossen.<br />
Der Rohrabschluß mit Durchführung wird auf die vordere Rohrseite gesteckt. Das eingeschaltete<br />
1 Mikrophon wird im Trigger-Modus ∼ = ⊓ auf mittlere Empfindlichkeit eingestellt und<br />
im Sockel auf der Alu-Schiene verschiebbar durch die mittige Durchführung in das Rohrinnere<br />
geführt.<br />
1 Das Mikrophon schaltet sich nach ca. 10 Min. selbständig aus, um den Akkulaufzeit zu schonen. Bei Verschwinden<br />
des Signals (’kein Trigger’) daher zuerst durch Wiedereinschalten dieses Problem ausschließen.<br />
+<br />
−
2.1. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN GASEN 41<br />
An der Tischklemme wird der Wegaufnehmer befestigt und ein an der Mikrophon-Stativstange<br />
befestigter Faden parallel zur Schiene über das Rad geführt, und mit einem Gewicht beschwert.<br />
An Kanal A wird die Timer-Box angeschlossen. Sie benötigt zur Laufzeitmessung ein Start-<br />
Signal am Eingang E und ein Stop-Signal am Eingang F. An den Eingang E wird der Piezolautsprecher<br />
richtig herum gepolt (E an +/gelb) angeschlossen. Parallel dazu wird das rechte<br />
Relais-Schalterpaar (R2/R3) geschaltet. Schließt das Relais, wird das Piezoelement entladen und<br />
sendet eine Stoßwelle aus. Gleichzeitig fällt die am Eingang E intern anliegende Spannung auf<br />
0V, Startzeit ist somit die negative Flanke an E. Öffnet der Relais Schalter, so wird das Piezoelement<br />
– über den internen 15 kΩ Widerstand RP von Eingang E mit größerer Zeitkonstante<br />
ohne meßbare Schallaussendung – wieder auf +5V aufgeladen. Das Mikrophon im Triggermodus<br />
liefert bei Eintreffen der Stoßwelle das Stop-Signal und wird an Eingang F angeschlossen.<br />
Zur Streckenmessung wird der Wegaufnehmer (Mehrgangpotentiometer) über die Stromquellen-<br />
Box (liefert konstanten Strom) an Kanal B angeschlossen. Die Laufrichtung kann durch die<br />
Wechsel des Potentiometer-Endabgriffs umgekehrt werden. Der Nullpunkt wird so eingestellt<br />
(und während der Messung kontrolliert), daß der gesamte Verschiebebereich des Mikrophons gemessen<br />
werden kann.<br />
Wegen der Bauteiletoleranz des Potentiometers im Prozentbereich muß der Wegaufnehmer in<br />
einem Vorversuch mit dem Bandmaß kalibriert werden. Dazu werden die mit dem Bandmaß gemessenen<br />
Orte S gegen den Widerstand Rb1 des Wegaufnehmers wie in Abb. 2.2 aufgezeichnet.<br />
Bei äquidistanten Kalibrationspunkten mit ähnlichen Einzelfehlern reduziert die Parametrisierung<br />
S −S0 = K ·(R−R0) die Anpassung auf eine Ursprungsgerade (S0 und R0 sind die mittleren<br />
Orte und Widerstände). Die Steigung der Ausgleichsgeraden liefert den Kalibrationsfaktor K, zur<br />
Umrechnung von Widerstandseinheiten auf Längeneinheiten.<br />
CASSY / Kanal B / Strombox<br />
Widerstand Rb1, 0-3kOhm,<br />
gemittelt 1000 ms<br />
Meßparameter / manuell<br />
Formel / neue Größe S = 60-2*n<br />
(Messungen bei 58,56,...)<br />
Darstellung / X-Achse Rb1<br />
Y-Achse S<br />
Abbildung 2.2: CASSY-LAB Kalibration des Wegaufnehmers.<br />
Wie bei allen Ausgleichsrechnungen sind die Einzelfehler auf der x- und y-Achse zu berücksichtigen.<br />
Liefert die Geradenanpassung ein χ 2 von etwa 1 pro Freiheitsgrad, so ist die Fehlerabschätzung<br />
– und damit auch der Fehler des Steigungsfaktors – sinnvoll. Diese Unsicherheit von<br />
K muß bei den folgenden Messungen als systematischer Fehler berücksichtigt werden, d.h. er liefert<br />
unabhängig von den jeweiligen Einzel-Meßwerten einen zusätzlichen Beitrag als Skalenfehler<br />
bei der Umrechnung des Endergebnisses von kΩ auf m.
42 KAPITEL 2. AKUSTIK<br />
Zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit wird die Laufzeit an ca. 8 Orten in Abständen von<br />
ca. 5cm gemessen. Dazu wird das Mikrophon in die gewünschte Position verfahren und die Stabilisierung<br />
der Ortskoordinate abgewartet. Mit Start/Stop [F9] wird für diesen Ort eine Meßreihe<br />
gestartet und nach ca. 10 Werten wieder beendet. Die aufgenommenen Meßreihen werden zur<br />
weiteren Auswertung in einer Datei gespeichert.<br />
CASSY-Lab Tip zur Aufzeichnung der Meßwerte:<br />
CASSY / Kanal A / Laufzeit Dta1 E->F, 0.002s, Flanken invertiert<br />
Kanal B / Widerstand Rb1, 0-3kOhm, gemittelt 1000 ms<br />
Relais / frac(t)
2.1. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN GASEN 43<br />
2.1.4.2 Druckknoten einer stehenden Welle<br />
Gemessen wird das Schalldruckprofil einer stehenden Welle, also die Ortsabhängigkeit der Schalldruckamplitude<br />
entlang des Rohrs. Abb. 2.4 zeigt den Aufbau:<br />
Mikrofon<br />
58626<br />
12 V<br />
INPUT A<br />
INPUT B<br />
=<br />
~<br />
R<br />
p eff<br />
I<br />
U<br />
STROMQUELLEN−BOX<br />
+<br />
T<br />
524031<br />
S<br />
− +<br />
SENSOR−CASSY 524010<br />
Frequenz Bereich Amplitude<br />
0.2<br />
FEIN<br />
− +<br />
FG 200<br />
2.4<br />
x100k<br />
x10k<br />
x1k<br />
x100<br />
x10<br />
x1<br />
Signal Form<br />
min max<br />
DC<br />
AC<br />
low<br />
Offset<br />
0<br />
− +<br />
Abbildung 2.4: CASSY Meßaufbau Schalldruck gegen Ort<br />
AC<br />
high<br />
Lautsprecher<br />
Das Mikrophon im Effektivwertmodus ∼ = ⊓ wird nun direkt an CASSY Kanal A angeschlossen<br />
und ansonsten wie in Versuch 2.1.4.1 durch die mittige Öffung der Abschlußkappe ins<br />
Rohrinnere geführt.<br />
Als Schallquelle dient der Klein-Lautsprecher in der Kappe, die das Rohr am hinteren Ende<br />
abschließt. Mit dem BNC-Lemo-Adapter wird er an den niederohmigen DC-Ausgang des Funktionsgenerators<br />
angeschlossen und dieser wie folgt betrieben, um Sinusschwingungen bei ca. 2400<br />
Hz zu erzeugen:<br />
Signalform ∼ (Sinusschwingung)<br />
Bereich x1k (0.2 - 2.4 x 1 kHz)<br />
Offset 0 (kein Konstantstrom durch den Lautsprecher)<br />
Amplitude mittig (Minimum für sichere Frequenzmessung)<br />
Vor der eigentlichen Messung wird eine Resonanz-Frequenz bei ca. 2400Hz eingestellt und nach<br />
Versuchsaufbau aus Abb. 2.10 mit der Timer-Box an CASSY Kanal B gemessen.
44 KAPITEL 2. AKUSTIK<br />
Im weiteren wird mit CASSY Kanal B die Mikrophonposition gemessen. Wie bei Messung 2.1.4.1<br />
wird dazu der Wegaufnehmer über die Strombox angeschlossen. Am schallharten Rohrende wird<br />
er auf x=0 eingestellt, mit Anstieg zum hinteren Ende hin.<br />
Vor Aufnahme einer Meßreihe sollte der dynamische Bereich des Mikrophonkanals an den Maximalwert<br />
im Druckbauch angepaßt werden.<br />
CASSY-Lab Tip zur Aufzeichnung der Meßwerte:<br />
CASSY / Kanal A / Spannung Ua1 0-Umax Nullpunkt links, gemittelt 1000 ms<br />
Kanal B / Widerstand Rb1 0-3kOhm gemittelt 1000 ms<br />
Meßparameter / manuell<br />
Formel / neue Größe S=Rb1*15.91 (Wegaufnehmer Kalibration)<br />
Darstellung / X-Achse S<br />
Y-Achse Ua1<br />
Nach Einstellen einer Position und Stabilisierung des Ortswertes wird mit Start/Stop [F9] ein<br />
Meßwert aufgenommen. Die Wahl der weiteren Positionen sollte wie in Abb. 2.5 auf die optimale<br />
Bestimmung der Druckknoten und -Bäuche ausgerichtet sein.<br />
Abbildung 2.5: Messung der Schalldruckamplitude gegen den Ort.<br />
Es werden die Positionen xn der<br />
Druckbäuche und -Knoten a bestimmt<br />
und über n aufgetragen. Nach Gl. 2.3<br />
liegen diese Werte auf einer Geraden<br />
mit Steigung λ/2.<br />
Mit v = λf wird aus diesen Messungen<br />
die Schallgeschwindigkeit bestimmt:<br />
a Wird die Knotenlage mit dem Peakfinder<br />
ermittelt, so muß die Kurve invertiert werden!<br />
Warum?<br />
Abbildung 2.6: Schallgeschwindigkeit aus Peaklage der Druckknoten und -Bäuche.
2.1. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN GASEN 45<br />
2.1.4.3 Resonanzlängen einer stehenden Welle<br />
Gemessen wird die Abhängigkeit der Schalldruckamplitude einer stehenden Welle von der Resonatorlänge.<br />
Abb. 2.7 zeigt den Aufbau:<br />
Mikrofon<br />
58626<br />
12 V<br />
INPUT A<br />
INPUT B<br />
=<br />
~<br />
R<br />
p eff<br />
I<br />
U<br />
STROMQUELLEN−BOX<br />
+<br />
T<br />
524031<br />
S<br />
− +<br />
SENSOR−CASSY 524010<br />
Frequenz Bereich Amplitude<br />
0.2<br />
FEIN<br />
− +<br />
FG 200<br />
2.4<br />
x100k<br />
x10k<br />
x1k<br />
x100<br />
x10<br />
x1<br />
Signal Form<br />
min max<br />
DC<br />
AC<br />
low<br />
Offset<br />
0<br />
− +<br />
AC<br />
high<br />
Lautsprecher<br />
Abbildung 2.7: CASSY Meßaufbau Schalldruck gegen Resonatorlänge<br />
Auf das Ende des Mikrophons im Effektivwertmodus ∼ = ⊓ wird vorsichtig die Lochscheibe<br />
geschoben, um an einem im Rohr verschiebbaren schallharten Abschluß im Druckbauch die<br />
Schalldruckamplitude zu messen. Es wird direkt an Sensor-CASSY Kanal A angeschlossen.<br />
Als Schallquelle dient der Lautsprecher in der Kappe, die das Rohr am hinteren Ende abschließt,<br />
um Sinusschwingungen bei ca. 2400 Hz zu erzeugen. Angeregt wird er vom Funktionsgenerator,<br />
mit folgenden Einstellungen:<br />
Signalform ∼ (Sinusschwingung)<br />
Bereich x1k (0.2 - 2.4 x 1 kHz)<br />
Offset 0 (kein Konstantstrom durch den Lautsprecher)<br />
Amplitude mittig (Minimum für sichere Frequenzmessung)<br />
Der Lautsprecher wird mit dem BNC-Lemo-Adapter an den niederohmigen DC-Ausgang angeschlossen.
46 KAPITEL 2. AKUSTIK<br />
Vor der eigentlichen Messung wird die höchste Frequenz (ca. 2400Hz) eingestellt und nach Versuchsaufbau<br />
aus Abb. 2.10 mit der Timer-Box an CASSY Kanal B gemessen.<br />
Im weiteren wird mit CASSY Kanal B die Mikrophonposition gemessen. Wie bei Messung 2.1.4.1<br />
wird dazu der Wegaufnehmer über die Strombox angeschlossen.<br />
Vor der Aufnahme der Meßwerte empfiehlt es sich, den dynamischen Bereich des Mikrophon-<br />
Kanals an die maximale Schalldruckamplitude bei Resonanz anzupassen, d.h. die Empfindlichkeit<br />
des Mikrophons möglichst niedrig einstellen und ggf. die Amplitude am Funktionsgenerator<br />
erhöhen, um den gewählten Meßbereich von CASSY Kanal A optimal auszunutzen.<br />
CASSY-Lab Tip zur Aufzeichnung der Meßwerte:<br />
CASSY / Kanal A / Spannung Ua1 0-Umax Nullpunkt links, gemittelt 1000 ms<br />
Kanal B / Widerstand Rb1 0-3kOhm gemittelt 1000 ms<br />
Meßparameter / manuell<br />
Formel / neue Größe S=Rb1*15.91 (Wegaufnehmer Kalibration)<br />
Darstellung / X-Achse S<br />
Y-Achse Ua1<br />
Nach Einstellen einer Position und Stabilisierung des Ortswertes wird mit Start/Stop [F9] ein<br />
Meßwert aufgenommen. Die Wahl der weiteren Positionen sollte auf die optimale Bestimmung<br />
der Resonanzlängen ausgerichtet sein. Abb. 2.8 zeigt eine solche Messung.<br />
Abbildung 2.8: Messung der Schalldruckamplitude gegen die Resonatorlänge.<br />
Zur quantitativen Auswertung werden die<br />
Messungen in einer Datei abgespeichert. Es<br />
werden die Resonanzlängen Ln bestimmt<br />
und über n aufgetragen. Nach Gl. 2.5 liegen<br />
diese Werte auf einer Geraden mit Steigung<br />
v/2f. Bei bekannter Frequenz f wird mit dieser<br />
Messung die Schallgeschwindigkeit v bestimmt.<br />
Abbildung 2.9: Bestimmung der Schallgeschwindigkeit aus den Resonanzlängen.
2.1. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN GASEN 47<br />
2.1.4.4 Resonanzfrequenzen einer stehenden Welle<br />
Gemessen wird die Frequenz-Abhängigkeit der Schalldruckamplitude einer stehenden Welle am<br />
schallharten Abschluß bei fester Resonatorlänge. Abb. 2.10 zeigt den Aufbau:<br />
Mikrofon<br />
58626<br />
=<br />
~<br />
p eff<br />
12 V<br />
INPUT A<br />
INPUT B<br />
R<br />
TIMER−BOX<br />
R P +<br />
E<br />
T<br />
F<br />
I<br />
U<br />
524034<br />
S<br />
− +<br />
SENSOR−CASSY 524010<br />
Frequenz Bereich Amplitude<br />
0.2<br />
FEIN<br />
− +<br />
FG 200<br />
2.4<br />
x100k<br />
x10k<br />
x1k<br />
x100<br />
x10<br />
x1<br />
Signal Form<br />
min max<br />
DC<br />
AC<br />
low<br />
Offset<br />
0<br />
− +<br />
AC<br />
high<br />
Lautsprecher<br />
Abbildung 2.10: CASSY Meßaufbau Schalldruck gegen Frequenz<br />
Das Mikrophon im Effektivwertmodus ∼ = ⊓ wird an das Rohrende verschoben, um am<br />
schallharten Abschluß im Druckbauch die Schalldruckamplitude zu messen. Es wird direkt an<br />
Sensor-CASSY Kanal A angeschlossen.<br />
Als Schallquelle dient der Lautsprecher in der Kappe, die das Rohr am hinteren Ende abschließt,<br />
um Sinusschwingungen zwischen 200 Hz und 2400 Hz zu erzeugen. Angeregt wird er vom Funktionsgenerator,<br />
der folgendermaßen eingestellt wird:<br />
Signalform ∼ (Sinusschwingung)<br />
Bereich x1k (0.2 - 2.4 x 1 kHz)<br />
Offset 0 (kein Konstantstrom durch den Lautsprecher)<br />
Amplitude mittig (Minimum für sichere Frequenzmessung)<br />
Der Lautsprecher wird mit dem BNC-Lemo-Adapter an den niederohmigen DC-Ausgang angeschlossen.<br />
Zur Frequenzmessung wird der rechte Hochpegel AC-Ausgang an den Eingang E der<br />
CASSY Timer-Box in Sensor-CASSY Kanal B angeschlossen.
48 KAPITEL 2. AKUSTIK<br />
Vor der Aufnahme der Meßwerte empfiehlt es sich, den dynamischen Bereich des Mikrophon-<br />
Kanals an die maximale Schalldruckamplitude bei Resonanz anzupassen, d.h. die Empfindlichkeit<br />
des Mikrophons möglichst niedrig einstellen und ggf. die Amplitude am Funktionsgenerator<br />
erhöhen, um den gewählten Meßbereich von CASSY Kanal A optimal auszunutzen.<br />
CASSY-Lab Tip zur Aufzeichnung der Meßwerte:<br />
CASSY / Kanal A / Spannung Ua1 0-Umax Nullpunkt links, gemittelt 1000 ms<br />
Kanal B / Timerbox / Frequenz fb1(E) 5000 Hz Torzeit 1s<br />
Meßparameter / manuell<br />
Darstellung / X-Achse fb1<br />
Y-Achse Ua1<br />
Nach Einstellen einer Frequenz und Stabilisierung des Frequenzwerts wird mit Start/Stop [F9]<br />
ein Meßwert pro Frequenz aufgenommen. Die Wahl der weiteren Frequenzwerte sollte auf die<br />
optimale Bestimmung der Resonanzfrequenzen ausgerichtet sein. Abb. 2.11 zeigt eine solche<br />
Messung. Wie zu erkennen ist, sind diese Resonanzen recht schmal. Daher empfiehlt es sich,<br />
deren Lage vorher abzuschätzen. Mit der Frequenz-Feineinstellung kann ein Resonanzbereich<br />
dann komplett durchgestimmt werden.<br />
Abbildung 2.11: Messung der Schalldruckamplitude gegen die Frequenz<br />
Zur quantitativen Auswertung werden die<br />
Messungen in einer Datei abgespeichert. Es<br />
werden die Resonanzfrequenzen fn bestimmt<br />
und über n aufgetragen. Nach Gl. 2.4 liegen<br />
diese Werte auf einer Geraden mit Steigung<br />
v/2L. Bei bekannter Resonanzlänge L<br />
des Rohres (zwischen den Endkappen) wird<br />
mit dieser Messung die Schallgeschwindigkeit<br />
v bestimmt:<br />
Abbildung 2.12: Bestimmung der Schallgeschwindigkeit aus den Resonanzfrequenzen.
2.2. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN FESTKÖRPERN 49<br />
2.2 Schallgeschwindigkeit in Festkörpern<br />
2.2.1 Versuchsziel<br />
Messung der Schallgeschwindigkeit in Metallen zur Bestimmung des Elastizitätsmoduls.<br />
Vorkenntnisse: Wellen<br />
Schallausbreitung in Festkörpern<br />
Überlagerung von Wellen<br />
Stehende Wellen<br />
Fourier-Analyse<br />
Benötigte Geräte: Sensor CASSY 1x<br />
Universalmikrophon mit Stativstange 1x<br />
Sockel 1x<br />
Tischklemme 1x<br />
Metallstange 20cm 1x<br />
Kreuzmuffe 1x<br />
Metallstift ø 4mm L 30mm 1x<br />
Gummi-Hammer 1x<br />
Mikrometermaß 0-25mm 1x<br />
Stahl-Bandmaß 2m 1x<br />
Metallstangen 1.3m Cu, Al, Fe, Messing je 1x<br />
Analysewaage im Raum<br />
2.2.2 Grundlagen<br />
Der Elastizitätsmodul E ist eine Materialkonstante und charakterisiert die relative Längenaus-<br />
dehnung eines Materials abhängig von der angreifenden Zugspannung: E := F ∆L / A L .<br />
Für Metalle ist E in der Größenordnung 10 11 N/m 2 und damit nur für dünne Drähte statisch<br />
meßbar. Mit Metallstäben�ist jedoch eine dynamische Messung möglich, indem die Ausbreitungsgeschwindigkeit<br />
vl = E/ϱ von longitudinalen Schallwellen bestimmt wird.<br />
Ein mittig eingespannter Stab der Länge L wird durch geeignetes Anschlagen zur longitudinalen<br />
Grundschwingung der Wellenlänge λ0 = 2L angeregt. Die Frequenz f0 und die Dichte ϱ werden<br />
gemessen und mit vl = f0 · λ0 ergibt sich<br />
E = ϱ · f 2 0 · 4L 2<br />
(2.6)
50 KAPITEL 2. AKUSTIK<br />
2.2.3 Messung und Auswertung<br />
Ausmessen des Stabes zur Dichtebestimmung<br />
a Länge L mit dem Bandmaß<br />
b Durchmesser D mit dem Mikrometermaß, gemittelt über<br />
mehrere Positionen entlang des Stabs (kann variieren)<br />
in mehreren Orientierungen (Elliptizität)<br />
c Masse M auf der Analysewaage<br />
Die Dichte berechnet sich zu ϱ = M/V = M/(L · πD 2 /4)<br />
Einspannen des Stabes<br />
Abb. 2.13 zeigt den mechanischen Aufbau zusammen mit der Sensor-CASSY Datenaufnahme.<br />
Mikrofon<br />
58626<br />
=<br />
~<br />
Ampl.<br />
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
Abbildung 2.13: CASSY Meßaufbau Schallgeschwindigkeit in Stäben<br />
12 V<br />
INPUT A<br />
INPUT B<br />
R<br />
S<br />
I<br />
U<br />
U<br />
− +<br />
SENSOR−CASSY 524010<br />
Die Kreuzmuffe wird an der kurzen Metallstange mit der Tischklemme am Tisch befestigt. Der<br />
1.3m Metallstab wird – von einem Metallstift unterstützt – parallel zur Tischfläche so in der<br />
Kreuzmuffe eingespannt, daß er nur an 2 Punkten (Pfeile) gehalten wird und damit frei schwingen<br />
kann.
2.2. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN FESTKÖRPERN 51<br />
Aufnahme der Meßwerte<br />
Als Meßaufnehmer dient das Mikrophon. Es wird im Amplitudenmodus ∼ = ⊓ auf niedrigster<br />
Empfindlichkeit in ca. 5mm Abstand vom Stabende aufgestellt und eingeschaltet 2 . Aufgezeichnet<br />
werden die Meßwerte mit Sensor CASSY. Bei geeigneter Einstellung der Zeitbasis können sowohl<br />
die Schwingungen, als auch deren Fast-Fourier-Frequenzspektren (FFT) dargestellt werden.<br />
CASSY-Lab Tip zur Aufzeichnung der Meßwerte:<br />
CASSY / Kanal A / Spannung Ua1 +-0.3V Momentanwerte<br />
Meßparameter / automatisch Intervall 100 mu s x16000<br />
Darstellung / X-Achse t<br />
Y-Achse Ua1<br />
FFT / Fast Fourier Transformation von Ua1<br />
Angeregt wird die Schwingung durch einen leichten Schlag auf das Stabende mit dem Gummihammer.<br />
Der Anschlag wird solange variiert, bis der Höreindruck bzw. das Frequenzspektrum<br />
eine saubere Anregung der Grundschwingung zeigt. Bessere Ergebnisse werden erzielt, wenn die<br />
Messung mit [F9] ([n]) erst im Ausklingen der Schwingung gestartet wird, da so die Einschwingvorgänge<br />
direkt nach dem Anschlagen nicht mit aufgezeichnet werden. Abb. 2.14 zeigt ein solches<br />
FFT-Spektrum für einen Messingstab.<br />
Abbildung 2.14: FFT-Spektrum mit Oberschwingung in log-Darstellung erkennbar<br />
2 Das Mikrophon schaltet sich nach ca. 10 Min. selbständig aus, um die Akkulaufzeit zu verlängern. Bei<br />
Verschwinden des Signals (’kein Trigger’) daher zuerst durch Wiedereinschalten dieses Problem ausschließen.
52 KAPITEL 2. AKUSTIK<br />
Fünf solcher Schwingungen mit etwa 1000 Perioden sowie deren FFT-Spektren incl. der Bestimmung<br />
des Peakschwerpunktes von f0 werden zur weiteren Auswertung abgespeichert.<br />
Diese Messungen sollten mit den anderen Gruppen im Raum koordiniert werden, denn ein weiterer<br />
zur selben Zeit angeschlagener Metallstab gleichen Materials würde die Messung verfälschen.<br />
Ein zur selben Zeit angeschlagener Metallstab anderern Materials ist im Fourier-Spektrum problemlos<br />
bei seiner Frequenz zu erkennen und beeinträchtigt wegen der schmalen Linienbreite die<br />
Auswertung nicht. Er wäre auch mit wesentlich kleinerer Amplitude zusätzlich auswertbar.<br />
Auswertung der Meßdaten<br />
a Aus einem Ausschnitt der aufgezeichneten Schwingung wird wie z.B. in Abb. 2.15 die<br />
Frequenz f0 aus der Zeitdauer für mindestens 20 Perioden ermittelt.<br />
b Aus dem diskreten FFT-Frequenzspektrum wird f0 wie z.B in Abb. 2.16 aus der Peaklage<br />
der Grundschwingung bestimmt.<br />
c Eine Fouriertransformation der gesamten aufgezeichneten Schwingung ui(ti) liefert eine genauere<br />
Frequenzbestimmung. Dazu wird der Betrag der Fouriertransformierten a in einem<br />
Bereich f = f0 � ± 10 Hz in geeigneter Schrittweite berechnet:<br />
��<br />
� n�<br />
�2 �<br />
n�<br />
�2 |a(f)| ∼ �<br />
ui · cos (2πfti) + ui · sin (2πfti)<br />
i=1<br />
i=1<br />
Die Lage des Maximums von |a(f)| und damit f0 wird durch Anpassung einer Parabelfunktion<br />
oder den Peakfinder bestimmt. Für diese Auswertung gibt es ein Maple-Script<br />
Beispiel.<br />
Fehlerabschätzung<br />
Systematische Fehler resultieren z.B. aus Gerätegenauigkeiten oder Ablesefehlern. Sie werden<br />
für jede Einzelmessung geschätzt. Statistisch verteilte Fehler werden durch die Streuung von<br />
Mehrfachmessungen abgeschätzt. Der Gesamtfehler ergibt sich mittels Fehlerfortplanzung aus<br />
den Einzelfehlern, hier zu: ∆E = E · �<br />
(2 ∆f0<br />
- Zeitbasis und FFT Peaklagen-Fehler für f0<br />
f0 )2 + ( ∆M<br />
M )2 + ( ∆L<br />
L )2 + (2 ∆D<br />
D )2<br />
- Meßfehler für Stab-Länge, -Durchmesser und -Masse<br />
- Temperatur: L = L0(1 + αl(T − T0)) mit Längenausdehnungskoeffizient αl<br />
Wie groß ist dieser Beitrag für f0 und ϱ ?<br />
Bei dieser Messung ist eine Abschätzung der Einzelfehlerbeiträge sehr aufschlußreich.
2.2. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN FESTKÖRPERN 53<br />
Abbildung 2.15: Ausschnitt der aufgezeichneten Messingstab-Schwingungen<br />
Abbildung 2.16: FFT-Peakposition der Messingstab-Grundschwingung
54 KAPITEL 2. AKUSTIK<br />
2.3 Schwebungen von Schallwellen<br />
2.3.1 Versuchsziel<br />
Spektralanalyse von Wellenüberlagerungen<br />
Vorkenntnisse: Wellen<br />
Überlagerung von Wellen<br />
Fourier-Analyse<br />
Benötigte Geräte: Sensor CASSY 1x<br />
Universalmikrophon mit Stativstange 1x<br />
Sockel 1x<br />
Stimmgabel Resonanzkörper Schiebe-Gewicht je 2x<br />
Anschlaghammer 1x<br />
2.3.2 Grundlagen<br />
Schallwellen breiten sich in einem Medium aus. Da z.B. in Luft dieselben Gasmoleküle von verschiedenen<br />
Schallquellen zu Schnelleoszillationen angeregt werden, überlagern sich alle in einem<br />
Punkt eintreffenden Schallwellen. Schalldruck p und Schallschnelle u sind bei ebenen fortlaufenden<br />
Wellen mit u(x, t) = u0 cos (2πft − 2πx/λ) in Phase: p(x, t) = ϱfλ · u(x, t)<br />
Der Schalldruck p am Ort x ergibt sich als Summe aller eintreffenden Wellen: p(x, t) = �<br />
pi(x, t)<br />
Für zwei einander entgegenlaufende Wellen i=1,2 mit Kreisfrequenzen ωi = 2πfi, Kreiswellenzahlen<br />
ki = 2π/λi gleicher Amplitude p0 � und beliebiger Phasendifferenz φ ergibt sich:<br />
ω1 + ω2<br />
p(x = 0, t) = p1 + p2 = 2p0 cos t −<br />
2<br />
φ<br />
� �<br />
ω1 − ω2<br />
· cos t +<br />
2<br />
2<br />
φ<br />
�<br />
,<br />
2<br />
d.h. eine Schwingung mit mittlerer Frequenz ¯ f und Schwebungsfrequenz fs:<br />
¯f = f1 + f2<br />
2<br />
fs = f1 − f2<br />
2<br />
Mit Ts = 1/fs haben zwei aufeinanderfolgende Schwebungsknoten einen Abstand Tk = Ts/2.<br />
2.3.3 Messung und Auswertung<br />
Mit dem eingeschalteten 3 Mikrophon im Amplitudenmodus ∼ = ⊓ auf niedrigster Empfindlichkeit<br />
wird der Schalldruck mittig zwischen den Resonanzkörpern der zwei Stimmgabeln<br />
gemessen, die mit Zusatzmassen unterschiedlich gestimmt werden können. Die Meßwerte werden<br />
mit Sensor-CASSY in geeigneter Schrittweite aufgezeichnet, sodaß sowohl die Schwingungen als<br />
auch deren Fast-Fourier-Frequenzspektren (FFT) sinnvoll dargestellt werden. Abb. 2.17 zeigt den<br />
Aufbau.<br />
3 Das Mikrophon schaltet sich nach ca. 10 Min. selbständig aus, um die Akkulaufzeit zu verlängern. Bei<br />
Verschwinden des Signals (’kein Trigger’) daher zuerst durch Wiedereinschalten dieses Problem ausschließen<br />
i<br />
(2.7)
82 CASSY Lab<br />
Akustische Schwebungen<br />
2.3. SCHWEBUNGEN VON SCHALLWELLEN 55<br />
Abbildung Beispiel laden 2.17: CASSY Meßaufbau Akustische Schwebungen<br />
Versuchsbeschreibung<br />
Es wird die Schwebung aufgezeichnet, die durch zwei geringfügig gegeneinander verstimmte Stimmgabeln<br />
erzeugt wird. Die Einzelfrequenzen f1 und f2, die neue Schwingungsfrequenz fn und die<br />
Schwebungsfrequenz fs werden ermittelt und können mit den theoretischen Werten<br />
Vor der Aufnahme der Meßwerte den dynamischen Bereich des Mikrophon-Kanals an die maximale<br />
Schalldruckamplitude anpassen.<br />
fn = ½ (f1 + f2) und fs = | f1 − f2 |<br />
verglichen werden.<br />
CASSY-Lab Tip zur Aufzeichnung der Meßwerte:<br />
Benötigte Geräte<br />
1 Sensor-CASSY 524 010<br />
1 CASSY Lab 524 200<br />
1 Paar Resonanzstimmgabeln 414 72<br />
1 Trigger Universalmikrofon Ua1 0.1 V steigend 586 26<br />
1 Sockel 300 11<br />
1 PC ab Windows 95/98/NT<br />
CASSY / Kanal A / Spannung Ua1 +- Umax V Momentanwerte<br />
Meßparameter / automatisch Intervall 500 mu s x16000<br />
Darstellung / X-Achse t<br />
Y-Achse Ua1<br />
FFT / Fast Fourier Transformation von Ua1<br />
Versuchsaufbau (siehe Skizze)<br />
Das Universalmikrofon (Funktionsschalter auf Betriebsart “Signal” und Einschalten nicht vergessen)<br />
wird zwischen beiden Stimmgabeln positioniert und an Eingang A des Sensor-CASSYs angeschlossen.<br />
Eine der Stimmgabeln wird durch eine Zusatzmasse geringfügig verstimmt.<br />
Für die Schwebung ist – wie in Abb. 2.18 ausschnittweise zu sehen – auf eine möglichst vollständige<br />
Auslöschung in den Schwebungsknoten zu achten, d.h. die Amplituden der beiden Schallwellen<br />
müssen beim Mikrophon gleich groß sein.<br />
Versuchsdurchführung<br />
Einstellungen laden<br />
• Erste Stimmgabel anstoßen und Messung mit F9 auslösen<br />
• Signalstärke mit Einsteller am Mikrofon optimieren<br />
• Frequenz f1 ermitteln (z. B. durch senkrechte Markierungslinien in der Standard-Darstellung oder<br />
als Peakschwerpunkt im Frequenzspektrum)<br />
Neben der Schwebung für drei verschiedene Frequenzdifferenzen sind auch die Schwingungen<br />
und FFT-Frequenzspektren der einzeln angeschlagenen Stimmgabeln aufzuzeichnen. Diese Messungen<br />
sollten mit den anderen Gruppen im Raum koordiniert werden, um störungsfreie Daten<br />
aufzuzeichnen.
56 KAPITEL 2. AKUSTIK<br />
Abbildung 2.18: Schwebung mit nahezu vollständiger Auslöschung in den Schwebungsknoten<br />
Auswertung der Meßdaten<br />
a Aus einem Ausschnitt der aufgezeichneten Schwingungen werden die Frequenzen f1, f2 und<br />
¯f aus der Zeitdauer für mindestens 20 Perioden ermittelt.<br />
Die Schwebungsfrequenz fs wird aus dem Zeitabstand Tk der Schwebungsknoten bestimmt.<br />
Decken sich die Messungen von ¯ f und fs mit den Vorhersagen aus Gl.2.7?<br />
b Aus den diskreten FFT-Frequenzspektren der einzeln und gemeinsam angeschlagenen Stimmgabeln<br />
werden die Frequenzen f1 und f2 – wie z.B in Abb. 2.19 für die Schwebung gezeigt<br />
– aus den Peaklagen bestimmt.<br />
Abbildung 2.19: Bestimmung der Einzelfrequenzen aus den FFT-Peaklagen<br />
c Die Fouriertransformation der gesamten aufgezeichneten Schwingungen ui(ti) zeigt deren<br />
spektrale Zusammensetzung. Dazu wird der Betrag der komplexen Fouriertransformierten<br />
a(f) ∼ � +∞<br />
−∞ u(t)e−i2πf·tdt in einem Bereich ±2fs um f1, f2 bzw. ¯ f in geeigneter Schrittweite<br />
durch Summen-Näherung �<br />
des Fourierintegrals berechnet:<br />
��<br />
� n�<br />
�2 �<br />
n�<br />
�2 |a(f)| ∼ �<br />
ui · cos (2πfti) + ui · sin (2πfti)<br />
i=1<br />
i=1
2.3. SCHWEBUNGEN VON SCHALLWELLEN 57<br />
Die Lage der Maxima von |a(f)| und damit f1 bzw. f2 werden – wie in Abb. 2.20 gezeigt<br />
– durch Anpassung von Parabelfunktionen bestimmt.<br />
In der Fouriertransformierten der Schwebung können die zwei Frequenzen noch getrennt<br />
werden, wenn ihr Abstand ∆f größer ist, als die eineinhalbfache Halbwerts-Breite σf<br />
der Einzelspektren. Diese Breite fällt mit der Anzahl N der aufgezeichneten Perioden:<br />
σf/f ≈ 1/2N, sodaß sich als Trenn-Bedingung ergibt: Tmess = N ¯ T > 1.5Tk.<br />
Damit ist auch in der Fouriertransformierten eine Trennung der zwei Frequenzen erst<br />
möglich, wenn mindestens zwei Schwebungsknoten aufgezeichnet wurden. Dies kann durch<br />
Einschränkung der verwendeten Meßwerte in den Fouriersummen gezeigt werden.<br />
Fehlerabschätzung<br />
Die Abschätzung der Fehler beschränkt sich hier auf die Genauigkeit mit der die Zeitdauer für<br />
die gemessenen Schwingungsperioden ermittelt werden kann. Wegen der diskreten Abtastung des<br />
Signals ui zu Zeiten ti mit Abstand ∆ti ist selbst durch Interpolation zwischen zwei Meßwerten<br />
keine Verbesserung unter 0.1 ∆ti zu erwarten.<br />
Im Allgemeinen lassen sich Nulldurchgänge präziser ermitteln als die Extrema, dabei ist aber ein<br />
evtl. vorhandener Offset der Schwingung, d.h. eine Abweichung der Nullage von u zu berücksichtigen.<br />
Für die Fouriertransformierten sind die Fehler der Fit-Parameter der Peak-Maxima eine Abschätzung.<br />
Dabei ist auf eine sinnvolle Güte der Anpassung zu achten (χ 2 pro Freiheitsgrad ≈ 1).<br />
Da diese Messung nur ein relativer Vergleich ist, heben sich die systematischen Fehler auf und es<br />
bleiben die statistisch verteilten Fehler. Diese können auch aus der Schwankung von Mehrfachmessungen<br />
abgeschätzt werden.
58 KAPITEL 2. AKUSTIK<br />
u/V<br />
u/V<br />
abs(a)<br />
0.5<br />
0<br />
-0.5<br />
0.05<br />
0<br />
-0.05<br />
0.15<br />
0.1<br />
0.05<br />
0<br />
0 2 4 6 8<br />
t/s<br />
2.45 2.5 2.55 2.6 2.65<br />
t/s<br />
f1 = 439.334 Hz f2 = 439.835 Hz<br />
439 439.5 440<br />
Abbildung 2.20: Fouriertransformation für nah beieinander liegende Einzelfrequenzen<br />
Oben: Die gesamte aufgezeichnete Schwebung<br />
Mitte: Ein Ausschnitt mit Knoten bei t=2.55s<br />
Unten: Die Fouriertransformierte mit Parabelanpassungen für f1 und f2<br />
f/Hz
2.4. DOPPLER-EFFEKT 59<br />
2.4 Doppler-Effekt<br />
a) Messung der Schallgeschwindigkeit in Luft<br />
b) Doppler-Effekt<br />
c) Echolot<br />
2.4.1 Versuchsziele<br />
α) Abstrahlcharakteristik des Senders (Schallumwandler)<br />
Hierbei handelt es sich um einen Vorversuch, um einen guten, langzeitstabilen Senderbetrieb<br />
zu garantieren.<br />
a) Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Luft<br />
Mit einem Oszilloskop wird die Phasenverschiebung bei Veränderung des Abstandes zwischen<br />
Sender und Empfänger sichtbar gemacht. Das Durchfahren von 100 Wellenlängen bei<br />
fester Senderfrequenz ermöglicht die Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Luft.<br />
b) Überprüfung des Doppler-Effektes<br />
Das Frequenzspektrum einer periodisch hin- und herfahrenden Schallquelle wird ausgemessen<br />
und mit der theoretischen Erwartung verglichen.<br />
c) Das Echolot-Prinzip wird an einer reflektierenden Wand erprobt.<br />
2.4.2 Physikalische Grundlagen<br />
Kenntnisse:<br />
Wellengleichungen, Schall als harmonische Welle, Dopplereffekt, Echolot-Prinzip<br />
Schall ist eine longitudinale Welle mit den Feldgrößen Schalldruck p (skalar) und Schallschnelle<br />
u (Bewegung der Einzelteilchen entlang Ausbreitungsrichtung). In diesem Versuch werden Ultraschallwellen<br />
(hörbarer Schall endet – je nach Güte des menschlichen Ohres – bei 15 bis 20 kHz)<br />
benutzt, um die Schallgeschwindigkeit in Luft und den Doppler-Effekt zu messen. Als letzter<br />
Versuchsteil wird das Sender–Empfänger–System ebenfalls in Luft als Echolot betrieben.<br />
Eine ebene Welle, die sich o.B.d.A in x-Richtung ausbreitet, wird durch die Wellengleichung der<br />
Form:<br />
d2a 1<br />
=<br />
dx2 c2 · d2a dt2 beschrieben, wobei a die Feldgröße (p und u) bezeichnet. Zur Herleitung der Wellengleichung in<br />
Gasen benötigt man die Eulerschen Gleichungen für adiabatische Prozesse:<br />
dp<br />
dx<br />
= −ρ · du<br />
dt<br />
,<br />
dp<br />
dt = −p0κ · du<br />
dx<br />
wobei ρ, p0 und κ Dichte, Druck und Adiabatenkoeffizient (= cp/cV = 1,4 bei zweiatomigen<br />
Gasen) des Mediums sind.<br />
(2.8)<br />
(2.9)
60 KAPITEL 2. AKUSTIK<br />
Aufgabe: Man leite die Wellengleichung 2.8 aus 2.9 her und zeige, dass für die Schallgeschwindigkeit<br />
c (im dispersionslosen Fall) gilt:<br />
c =<br />
� κ · p0<br />
Da ρ und p0 temperaturabhängig sind, ist es auch die Schallgeschwindigkeit.<br />
Aufgabe: Man zeige mit Hilfe der idealen Gasgleichung die Beziehung:<br />
c =<br />
ρ<br />
�<br />
R · κ<br />
Mmol<br />
(2.10)<br />
· √ T (2.11)<br />
und entwickle diese für Raumtemperatur ϑ (in ◦ C, d. h. T = 273 + ϑ). Einsetzen der Werte für<br />
Luft (80%N2, 20%O2) ergibt:<br />
c =<br />
�<br />
331, 6 + 0, 6 ϑ<br />
◦ C<br />
� m<br />
s<br />
ϑ in ◦ C (2.12)<br />
Die Lösung der Wellengleichung gibt den zeitlichen und räumlichen Verlauf – z.B. der Druckamplitude<br />
p – wider:<br />
�<br />
p(x, t) = ˆp · sin 2π f0 · t − x<br />
λ0<br />
�<br />
+ Φ<br />
(2.13)<br />
Die Phase Φ kann in unserem Fall o.B.d.A. zu Null gesetzt werden.<br />
Aufgabe: Man zeige durch Einsetzen von 2.13 in 2.8, dass für die Wellenlänge λ0<br />
Frequenz f0 gilt:<br />
und die<br />
c = λ0 · f0<br />
(2.14)<br />
Somit kann die Schallgeschwindigkeit durch gleichzeitige Messung der Wellenlänge und der<br />
Frequenz bestimmt werden. Sendet z. B. ein Sender mit konstanter Frequenz f, so kann ein<br />
Empfänger an einem festen Ort eine zeitliche Schwingung mit dieser Frequenz registrieren:<br />
p(t) = p0 · sin 2π (f0 · t + Φ ′ ) (2.15)<br />
Die Phase Φ ′ ist nun durch den Abstand zwischen Sender und Empfänger in Wellenlängeneinheiten<br />
bestimmt.<br />
Zur Piezo-Elekritzität:<br />
Bestimmte Kristalle können entlang ausgezeichneter (polarer) Symmetreiachsen bei mechanischem<br />
Druck eine elektrische Polarisation erfahren, die eine messbare Spannung an den Außenflächen<br />
des Kristalls erzeugt. Andererseits kann eine angelegte Spannung zu einer mechanischen<br />
Verschiebung der kristallinen Struktur führen. Diese Effekte können wegen der kleinen Auslenkungen<br />
sehr schnell ablaufen. In diesem Versuch werden Piezokristalle als sogenannte Ultraschallwandler<br />
benutzt. Trotz der für ein Material immer gleichen Kristallstruktur, die im Prinzip<br />
immer zu derselben Resonanzfrequenz führen müsste, besitzt jeder Kristall aufgrund seiner geometrischen<br />
Dimensionen eine eigene Resonanzfrequenz, bei der er maximalen Ausschlag zeigt.<br />
Die Resonanzfrequenz der verwendeten Ultraschallwandler liegt bei 40 kHz.
2.4. DOPPLER-EFFEKT 61<br />
Abbildung 2.21: Der Doppler-Effekt bei bewegter Quelle<br />
Zum Doppler-Effekt:<br />
Wenn sich Sender und Empfänger relativ zueinander bewegen, misst der Empfänger eine von<br />
der Senderfrequenz f0 verschiedene Frequenz f. Bewegen sie sich mit einer Geschwindigkeit v<br />
aufeinander zu, so wird die Welle ’zusammengedrückt’, bewegen sie sich voneinander weg, wird<br />
die Welle ’auseinandergezogen’.<br />
Aufgabe: Man leite die unterschiedlichen Bezeihungen für die vom Empfänger registrierte Fre-<br />
quenz f her:<br />
und<br />
f = f0 ·<br />
1<br />
1 ± v/c<br />
f = f0 · (1 ± v/c)<br />
�<br />
�<br />
v<br />
+ : Sender entfernt sich<br />
− : Sender nähert sich<br />
�<br />
+ : Empfänger nähert sich<br />
− : Empfänger entfernt sich<br />
�<br />
(2.16)<br />
(2.17)<br />
Meist ist die Geschwindigkeit des Senders klein gegenüber der Schallgeschwindigkeit c (wir erwarten<br />
in diesem Versuch 1 : 350), sodass die erste Formel gemäß der Taylorentwicklung umgeformt<br />
werden kann in:<br />
f = f0 ·<br />
�<br />
1 ∓ v<br />
c ±<br />
� � �<br />
v 2<br />
�<br />
∓ . . . ≈ f0 ·<br />
c<br />
1 ∓ v<br />
c<br />
�<br />
(2.18)<br />
Aufgabe: Die Schallgeschwindigkeit und die Sendergeschwindigkeit sei jeweils auf 0,1% genau<br />
bestimmt. Ist für v : c = 1 : 350 messbar, ob die exakte oder die genäherte Formel stimmt?<br />
Somit kann man von einem proportionalen Zusammenhang zwischen v und Frequenzverschiebung<br />
∆f ausgehen:<br />
∆f<br />
f0<br />
= f − f0<br />
f0<br />
= ∓ v<br />
c<br />
�<br />
− : Sender entfernt sich<br />
+ : Sender nähert sich<br />
�<br />
(2.19)
62 KAPITEL 2. AKUSTIK<br />
Zum Echolot:<br />
Das Echolotprinzip ist aus dem Alltag wohlbekannt: Schall (und natürlich auch Ultraschall) wird<br />
an Grenzflächen zwischen Medien unterschiedlichen Schallwellenwiderstandes gut reflektiert. Das<br />
Echolot benutzt eine gepulste Schallquelle, um Wellenpakete zu senden, welche reflektiert und<br />
mit einem Empfänger registriert werden.<br />
Aufgabe: Warum muss die Quelle gepulst sein? Warum benutzt man Ultraschall?<br />
Es wird der Zeitunterschied ∆t zwischen Aussendung des Signals und Einlauf des reflektierten<br />
Signals gemessen. Dann ist der Abstand zur Grenzfläche:<br />
d = 1<br />
· ∆t · c (2.20)<br />
2<br />
Zur Erzeugung und Messung der Ultraschallwellen werden sogenannte Ultraschallwandler benutzt.<br />
Die Umwandlung zwischen elektrischer und mechanischer Energie erfolgt durch den piezoelektrischen<br />
Effekt. Im beweglichen Sendergehäuse wird die Piezo-Fläche von einer kontinuierlichen<br />
Rechteckspannung angeregt und sendet eine harmonische Schallwelle (mit nur einer<br />
Frequenz f0) aus.<br />
2.4.3 Versuchsaufbau<br />
Es steht folgendes Material zur Verfügung:<br />
• Pendelbahn mit 16 Schienenabschnitten (≈ 2m, Firma LEGO),<br />
Kontrollelektronik Pendelzug zur automatischen Pendelbewegung und Zeitmessung mit<br />
Netzteil und 4 Lichtschranken.<br />
Es soll eine möglichst lange Messstrecke aufgebaut werden, wobei ein wenig Auslaufreserve<br />
dazugegeben werden muss (probieren bei maximaler Versorgungspannung ≈ 4,5 V).<br />
Die Pendelbahn wird gemäß Abb. 2.22 an das Gerät Pendelzug angeschlossen. Die äuße-<br />
Netzteil<br />
12V<br />
Pendelzug Kontrollelektronik<br />
SDS200<br />
L1 L2 L3 L4<br />
Pendelzug mit Batterie und Sender<br />
Abbildung 2.22: Schematischer Versuchsaufbau<br />
zum PC<br />
¡ ¢ ¡ ¡ ¡<br />
MXG−9802A<br />
,,<br />
Empfanger<br />
ren Lichtschranken L1 und L4 werden zum Stoppen des Triebwagens und Rücksetzen der
2.4. DOPPLER-EFFEKT 63<br />
Stoppuhr, die inneren Lichtschranken L2 und L3 zur Zeitmessung benutzt. Die Pendelzugkontrolle<br />
schaltet automatisch an den Endpunkten von Vor- auf Rücklauf (bzw. umgekehrt)<br />
um, wobei der Triebwagen an den Endpunkten einige Zeit verweilt, damit die Messwerte<br />
notiert werden können und die Senderfrequenz f0 beim Doppler-Effekt gemessen wird.<br />
Die Kontrollelektronik Pendelzug (Abb. 2.23) besitzt folgende Bedienelemente:<br />
– Drehpotentiometer: Versorgungsspannung (0.0 . . . ≈ 4, 5 V)<br />
– linker Schalter: Mit START und STOP wird die Versorgungsspannung des Triebwagens<br />
kontrolliert. Die Stoppuhr ist davon unabhängig. Sie reagiert nur auf Signale<br />
der Lichtschranken L2 und L3. Während des Versuchs wird der Schalter nur für den<br />
Doppler-Effekt in START-Stellung gebracht, ansonsten wird der Triebwagen von Hand<br />
bewegt.<br />
– rechter Schalter: Umschalten zwischen manuellem (MAN) und automatischem Betrieb<br />
(AUTO).<br />
Während des ganzen Versuchs belässt man den Schalter in der Stellung AUTO.<br />
– linke Anzeige: Versorgungsspannung des Pendelzugs in Volt<br />
– rechte Anzeige: Stoppuhr in ms<br />
Netzteil− CANON−D Buchse<br />
anschluss Bahn & Lichtschranke<br />
PENDELZUG<br />
U<br />
2.80<br />
START<br />
SPEED<br />
T<br />
1604.3<br />
MAN<br />
STOP AUTO<br />
Abbildung 2.23: Pendelzug Kontrollelektronik<br />
• piezoelektrischer Schallumwandler als Empfänger mit angeschlossenem LEMO-Kabel.<br />
• Sender-Box (siehe Abb. 2.24) mit batteriebetriebenem piezoelektrischem Schallumwandler,<br />
kontinuierlicher oder gepulster Betrieb.<br />
Ein Frequenzgenerator erzeugt eine Rechteckspannung mit einer Frequenz von ≈ 40 kHz,<br />
die der Schallumwandler in eine harmonische (sinusförmige) Schallwelle umwandelt. Schaut<br />
man von vorne auf den Sender, so befinden sich an der rechten Seite die Batterieanschlüsse<br />
und an der linken Seite ein Drehpotentiometer und eine LEMO-Buchse. Mit dem Drehpotentiometer<br />
ist die Anregerfrequenz in einem Bereich von einigen Hundert Hertz einstellbar.
64 KAPITEL 2. AKUSTIK<br />
gepulstes Signal<br />
Aus/Ein<br />
Poti. fur<br />
Frequenz−<br />
Abstimmung<br />
LEMO−Buchse:<br />
elektr. Erregersignal<br />
PULSE<br />
OFF<br />
BAT<br />
OFF<br />
Abbildung 2.24: Sender-Box<br />
Betriebsschalter<br />
Aus/Ein<br />
Ultraschall−<br />
wandler<br />
An der LEMO-Buchse kann das Erregersignal abgegriffen werden. Oben auf der Sender-Box<br />
befinden sich zwei Kippschalter: der rechte schaltet die Versorgungsspannung (OFF/BAT)<br />
durch, der linke schaltet zwischen kontinuierlichem (OFF) und gepulstem Betrieb (PULSE).<br />
DEN SENDER ERST EINSCHALTEN, WENN DER AUFBAU KOMPLETT IST UND<br />
MIT DEN MESSUNGEN BEGONNEN WERDEN KANN (Kap. 2.4.4).<br />
• Funktionsgenerator/messer CONRAD MXG-9802 A, der als computerauslesbarer Frequenzmesser<br />
betrieben wird, Kabel für serielle Schnittstelle.<br />
Der Schalter FC/FG schaltet die Digitalanzeige zwischen internem (Frequenzgenerator) und<br />
externem Signal um (Frequenzmesser). Der Frequenzmesser misst während einer einstellbaren<br />
Zeit (Gate) die Frequenz und zeigt sie auf dem Display an.<br />
Aufgabe: Mit welcher Genauigkeit lässt sich die Frequenz bestimmen bei Gate-Zeiten von<br />
1/10s, 1s, 10s?<br />
Beim Einschalten des Gerätes wird automatisch das Gate auf 1 Sekunde und der ausgelesene<br />
Kanal (CHAN) A gewählt. Diese Einstellungen sollten für die gesamte Versuchsdauer beibehalten<br />
werden. Überprüfen Sie die Einstellungen auf dem Display (untere LED-Leiste).<br />
Als Kabelanschluss für das Empfängersignal wird der zweite von rechts (CH-A 200MHz)<br />
benutzt. Der Frequenzmesser ist über die serielle Schnittstelle (Anschluss an der Rückseite)<br />
mit dem <strong>Praktikums</strong>-Computer auslesbar. Das Ausleseprogramm “doppler” mit graphischer<br />
Anzeige wird vom Assistenten bereitgestellt. Eine detaillierte Beschreibung über die Bedienung<br />
findet sich in Kap. 2.4.4. Bitte kopieren Sie dieses Programm in Ihren Bereich, da<br />
sonst alle Datein mit Ihren Messungen auf dem Desktop abgelegt werden.<br />
• LEMO– und BNC–Kabel mit Adaptern (“T”).<br />
• computerausgelesenes, digitales Speicheroszilloskop SDS 200, USB-Kabel.<br />
Das Oszilloskop wird über das USB-Kabel an den <strong>Praktikums</strong>-Computer angeschlossen.<br />
Die Spannungsversorgung des Gerätes wird über das USB-Kabel geliefert. Das Programm<br />
SoftScope 1.2 zum Auslesen und Darstellen der Messwerte wird vom Desktop des <strong>Praktikums</strong>-<br />
Computers gestartet.<br />
Beim Starten des Programms schaltet das Oszilloskop einige Relais durch, NICHT ER-<br />
SCHRECKEN!
2.4. DOPPLER-EFFEKT 65<br />
Zum besseren Kennenlernen des Oszilloskops kann das Signal des Frequenzgenerators auf<br />
einen Kanal (z. B. Ch1) gegeben werden. Die verschiedenen Funktionen (Trigger, Delay,<br />
Cursor, Messungen, usw.) können dann sozusagen an einer selbst bestimmbaren “Schwingungsquelle”<br />
ausprobiert werden. Die Beschreibung der einzelnen Bedienelemente würde<br />
den Rahmen dieser Versuchsbeschreibung sprengen. Der <strong>Praktikums</strong>assistent wird die wichtigsten<br />
Punkte vorstellen und für weitere Fragen zugegen sein. Es liegt auch eine kurze<br />
Bedienungsanleitung bei.<br />
• 1 Metermaßband.<br />
2.4.4 Versuchsdurchführung<br />
α) Bestimmung der Abstrahlcharakteristik des Senders<br />
• zeitabhängig<br />
Beim Einschalten des Senders wärmt sich die Treiberelektronik langsam auf. Dies kann<br />
zu einer Frequenzverschiebung führen. Messen Sie die Frequenz mit dem Frequenzmesser<br />
CONRAD MXG-9802 A nach dem Einschalten alle 30 Sekunden. Beobachten Sie,<br />
ob die Frequenz ab einer gewissen Zeit stabil bleibt. Danach sollte der Sender nicht<br />
mehr ausgeschaltet werden, um Frequenzschwankungen während der Messungen zu<br />
unterdrücken.<br />
Für diese Messung kann auch das Programm “doppler” benutzt werden, das im Abschnitt<br />
b) genauer beschrieben wird.<br />
• frequenzabhängig Diese Messung erfolgt mit dem Oszilloskop. Die angezeigte Spannung<br />
(linke Menü-Leiste, von Spitze zu Spitze) ist proportional zur Druckamplitude.<br />
Da es sich hier um eine relative Amplitudenmessung handelt, sollte der Messbereich<br />
bzw. Abstand zum Empfänger so gewählt werden, dass der Messbereich vollkommen<br />
ausgenutzt wird (z. B. einmal die Frequenz durchfahren und beim maximalen Messwert<br />
den Abstand entsprechend festsetzen).<br />
Die Schallintensität des Senders variiert etwas. Einige Messwerte im Abstand von einigen<br />
Sekunden notieren und mitteln. Die Messwerte in ein Diagramm U(f) eintragen.<br />
a) Messung der Schallgeschwindigkeit<br />
Über eine Veränderung des Abstandes zwischen Sender und Empfänger wird die Phase der<br />
gemessenen Wellenfront zur ausgesendeten Wellenfront verändert. Aus Gl. 2.13 erkennt<br />
man, dass zwischen den Schwingungen (Gl. 2.15) an zwei verschiedenen Orten mit dem<br />
Abstand d entlang der Ausbreitungsrichtung x der harmonischen Welle ein Phasenunterschied<br />
besteht:<br />
Φ ′ = 2π · d<br />
(2.21)<br />
Fährt man nun den Sender (mit der Hand) vom Empfänger weg, so läuft dieser Phasenunterschied<br />
in der registrierten Schwingung durch. Nach einer komplett zurückgelegten<br />
Wellenlänge λ0 ist die Schwingung wieder deckungsgleich mit der Startschwingung.<br />
Diese Messung wird mit dem Oszilloskop durchgeführt: Auf Kanal 1 (Ch1) wird das elektrische<br />
Ausgangssignal des Senders gegeben. Der Trigger wird auf Ch1 festgesetzt. Der<br />
λ0
66 KAPITEL 2. AKUSTIK<br />
Messbereich sollte so gewählt werden, dass zwei bis drei Rechteckstufen zu sehen sind. Auf<br />
Kanal 2 (Ch2) wird nun das Ausgangssignal des Empfängers gegeben. Bei einer leichten<br />
Verschiebung des Senders ist zu sehen, wie sich das sinusförmige Empfängersignal gegen das<br />
Rechtecksignal verschiebt (siehe Abb. 2.25). Hinweise zur Durchführung und Auswertung:<br />
Chan 2<br />
Chan 1<br />
Abbildung 2.25: Abbildung der Schwingungen mit dem Oszilloskop beim Durchfahren einer Wellenlänge<br />
• Eine eindeutig gut ablesbare Phase als Ausgangspunkt nehmen.<br />
Einen guten Anfangspunkt für die Streckenmessung nehmen (LEGO-Steinchen . . . )<br />
Bei welchem Signal (Rechteckspannung oder Sinusschwingung) ist der Trigger stabiler?<br />
• Langsam fahren, da das Oszilloskop sampled, was bei unregelmäßigem Signal zu breiten<br />
Bändern in der Anzeige führt.<br />
• Um einen möglichst kleinen relativen Fehler in der Streckenbestimmung zu erhalten,<br />
werden 100 Wellenlängen durchgeschoben. Zur besseren Kontrolle des Zählvorgangs<br />
alle 20 Wellenlängen den Wert der zurückgelegten Strecke und der Frequenz aufschreiben.<br />
Sind bei jeder Messung genau 20 Wellenlängen durchfahren worden? Ist<br />
die Senderfrequenz konstant?<br />
• Die Wellenlänge wird durch lineare Regression im (nλ, d)–Diagramm bestimmt.<br />
Wie groß ist der Fehler der Einzelmessung? Wie groß ist der Fehler von λ?<br />
• Vergleichen Sie mit dem theoretisch erwarteten Wert (Gl. 2.12). Ein Thermometer ist<br />
im Versuchsraum aufgehängt.<br />
Wie groß ist der Fehler des erwarteten Wertes?<br />
b) Messung des Doppler-Effekts<br />
Bei verschiedenen Geschwindigkeiten (→ funktionaler Zusammenhang mit Versorgungsspannung)<br />
wird die Frequenzänderung während der Fahrt des Senders auf den Empänger<br />
zu, bzw. von ihm weg, gemessen.<br />
Der Versuch setzt sich aus zwei Messungen zusammen:<br />
(1) Bestimmung der Geschwindigkeit der Pendelbahn (in Abhängigkeit von der Versorgungsspannung)<br />
(2) Bestimmung der Frequenzverschiebungen
2.4. DOPPLER-EFFEKT 67<br />
Die beiden Messungen können kombiniert werden, d. h. es sollte gleichzeitig zur Laufzeitmessung<br />
des Wagens die Freqenzverschiebung mit dem Programm “doppler” bestimmt<br />
werden. Sie sind hier nur getrennt aufgeführt, um zu verdeutlichen, dass sie beide einer<br />
entsprechenden Auswertung und Fehlerbetrachtung bedürfen.<br />
zu (1): Geschwindigkeitsmessung<br />
Bauen Sie die Pendelbahn mit den vier Lichtschranken entsprechend der Abb. 2.22 auf.<br />
Die Funktionsweise der Elektronik wurde in Abschnitt 2.4.3 beschrieben. Für ein besseres<br />
Verständnis der Apparatur lässt man die Pendelbahn einige Mal auf der Schalterstellung<br />
AUTO laufen.<br />
Die Bestimmung des Anfangs- und Endpunktes der Messstrecke bereitet einige Schwierigkeiten.<br />
Die Lichtschranke wird ausgelöst, wenn der kontinuierliche Lichtstrahl aus der<br />
linken Öffnung an dem Reflexionsstreifen auf dem Triebwagen in die rechte Öffnung reflektiert<br />
wird (siehe Abb. 2.26). Dieser Zeitpunkt (und damit Ortspunkt) ist nicht identisch<br />
mit dem Vorbeifahren der Streifenkante an der Lichtschranke. Am besten fährt man sehr<br />
langsam den Wagen mit der Hand durch (Pendelzug-Kontrolle auf STOP) und achtet auf<br />
den Augenblick des Auslösens (bzw. Stoppens) der Stoppuhr. Mit etwas Geschick und<br />
Ausnutzen der LEGO-Rasterstruktur kann durch Verschieben der Lichtschranken eine Genauigkeit<br />
von unter 1 mm errreicht werden! Es ist zu prüfen, ob die Strecken in Hin- und<br />
Rückrichtung gleich lang sind.<br />
Lichtschranke<br />
Reflexionsstreifen<br />
Triebwagen<br />
Lichtsignal<br />
Abbildung 2.26: Funktionsweise der Lichtschranke (Sicht von oben)<br />
Hinweise zur Durchführung und Auswertung:<br />
- Befolgen Sie eine sinnvolle Messreihe: z.B. von 2.5 V an in Schritten von 0.5 V. (Bei<br />
einer Versorgungsspannung unterhalb von 2.5 V reicht das Drehmoment des Triebwagens<br />
nicht für eine gleichmäßige Bewegung aus.)<br />
- Probieren Sie bei maximaler Geschwindigkeit, ob die Auslaufstrecken lang genug sind.<br />
- Die Geschwindigkeit für Hin- und Rückfahrt kann unterschiedlich sein, z. B. durch<br />
nicht horizontalen Aufbau.
68 KAPITEL 2. AKUSTIK<br />
- Wie gut ist die Reproduzierbarkeit, d.h. sind die Messwerte der Laufzeiten statistisch<br />
verteilt? Der Fehler der Laufzeit wird durch einfaches Mittel über jeweils fünf bis zehn<br />
Hin- und Herfahrten bestimmt.<br />
- (Zusatz:) Wie ist der funktionale Zusammenhang zwischen Versorgungsspannung und<br />
Geschwindigkeit? Bei linearem Zusammenhang zwischen Versorgungsspannung und<br />
Geschwindigkeit kann eine Ausgleichsgerade mittels linearer Regression berechnet werden.<br />
zu (2): Frequenzverschiebung<br />
Für die Messung der Frequenzverschiebung wird der Frequenzmesser über die serielle<br />
Schnittstelle des <strong>Praktikums</strong>-Computers ausgelesen. Das Programm “doppler” kann zwar<br />
vom Desktop aus gestartet werden, jedoch ist es günstiger, es von einem DOS-Fenster<br />
(“Eingabeaufforderung”) mit dem Befehl “doppler” zu aktivieren. Wenn Sie keine weiteren<br />
Parameter angeben, liest das Programm den Frequenzmesser aus. Wenn Sie den Namen<br />
einer alten, gespeicherten Messung anfügen (Dateityp Frequenz, nicht Histogramm), stellt<br />
das Programm diese Werte dar. Verifizieren Sie, dass das Programm die gleiche Empfängerfrequenz<br />
liest wie die Anzeige des Frequenzmessers darstellt. Das Programm liest einmal pro<br />
Sekunde den Frequenzmesser aus und stellt die Daten auf zwei Fenstern dar (Abb. 2.27):<br />
MGX 9802 Frequenzmessung<br />
Statistik<br />
f = 40012 Hz<br />
mean = −0.23 Hz<br />
emean = 0.25 Hz<br />
rms = 2.68 Hz<br />
Abbildung 2.27: Graphische Darstellung des Programms doppler zur Messung des Doppler-Effekts<br />
• Das größere Fenster zeigt den zeitlichen Verlauf der Messungen, wobei der letzte gelesene<br />
Wert oben in der Mitte dargestellt wird. Befindet sich der Cursor in diesem<br />
Fenster, erhält man mit der rechten Klick-Fläche (Maustaste) ein Menü zur Kontrolle<br />
des Programms. Es ist ratsam, das Menüfenster nicht unnötig zu bedienen, da keine<br />
neuen Daten aufgenommen werden, solange das Menü aktiviert ist. Das Programm<br />
kann mit folgenden Optionen kontrolliert werden:<br />
– Start: Weiterführung der Messung, falls vorher gestoppt<br />
– Stop: Stoppen der gegenwärtigen Messung
2.4. DOPPLER-EFFEKT 69<br />
– Reset: Löschen der aktuellen Messung. ACHTUNG: Dieser Befehl löscht nur die<br />
Darstellung. Bei einer späteren Speicherung werden alle Daten ab dem ersten<br />
Start des Programms in eine Datei geschrieben (s.u.). Deswegen ist es besser,<br />
für jede Messung das Programm neu zu starten und gleich mit der Messung zu<br />
beginnen.<br />
– Save: Die Daten werden in einer Datei im aktuellen Verzeichnis abgespeichert,<br />
wobei deren Name automatisch generiert wird<br />
(jahr-monat-tag-stunde-minute-sekunde doppler typ.dat,<br />
mit typ: f=Frequenz, h=Histogramm). Am besten startet man das Programm<br />
für jede Messung neu, da die Reset-Funktion nur den Bildschirminhalt löscht,<br />
aber alle Daten behält und bei einer nachträglichen Auswertung auch diese in die<br />
Berechnungen mit einbezieht.<br />
– Change ymax: Die Obergrenze des angezeigten Frequenzbereichs kann in verschieden<br />
großen Schritten verändert werden.<br />
– Change ymin: Die Untergrenze des angezeigten Frequenzbereichs kann in verschieden<br />
großen Schritten verändert werden.<br />
• Das kleinere Fenster zeigt die Verteilung (das Histogramm) der gemessenen Frequenzen.<br />
Es rechnet automatisch bei jedem dazukommenden Wert den Mittelwert neu aus<br />
und zieht ihn von den Messungen ab. Somit ergeben sich drei Häufungen (Rückfahrt,<br />
Stillstand, Hinfahrt), die um 0 Hz gruppiert sind. Die Werte (mean = Mittelwert,<br />
emean = Fehler des Mittelwertes, rms = Standardabweichung) der einzelnen Häufungen<br />
können mit einem darüber gelegten Fenster angezeigt werden. Wenn das Fenster<br />
nicht aktiviert ist (“Peak finder off”), wird der Mittelwert aller Daten angezeigt (die<br />
Fehler sind somit statistisch unsinnig). Aktivieren Sie die Kontrolle mit der rechten<br />
Klickfläche (der Cursor muss sich natürlich in dem Histogrammfenster befinden), und<br />
wählen Sie den Menü-Punkt “Peak finder on”. Das Fenster wird mit roten senkrechten<br />
Linien angezeigt. Mit den Cursor-Tasten ← und → können die Begrenzungslinien<br />
verschoben werden. Tippt man die Taste U so wird das obere Limit, tippt man die<br />
Taste L so wird das untere Limit verschoben.<br />
Starten Sie nun die Pendelbahn im AUTO-Betrieb und schauen, wie das Programm reagiert.<br />
Nehmen Sie für jede Geschwindigkeit einen eigenen, sinnvoll großen Datensatz auf.<br />
Hinweise zur Durchführung und Auswertung:<br />
- Überprüfen Sie von Zeit zu Zeit die Umgebungstemperatur.<br />
- Wie kommt das eigentümliche Histogramm zustande (es sind mehr als nur drei Häufungen<br />
zu sehen)?<br />
- Achten Sie darauf, dass das richtige ∆f genommen wird! Wie groß ist der Fehler von<br />
∆f (Achtung: Differenzmessung!)?<br />
- Tragen Sie zum Schluss die Ergebnisse der gesamten Messreihe in ein Diagramm ein.<br />
Welche Darstellung ist sinnvoll? Überlegen Sie, welche Fehler in diese Messung eingehen.<br />
Eine Möglichkeit der Auftragung ist in Abb 2.28 zu sehen.
70 KAPITEL 2. AKUSTIK<br />
f / f 0<br />
0,001<br />
Abbildung 2.28: Graphische Darstellung des Ergebnisses des Doppler-Effekts<br />
- Verifizieren sie die theoretische Vorhersage unter Berücksichtigung des Ergebnissis von<br />
Versuchsteil a) mittels linearer Regression (mit Fehler auf der Abszisse und Ordinate).<br />
- Meist sind die beiden äußeren Häufungen des doppler-Histogramms asymmetrisch.<br />
Dies ist durch die Systematik der Messung gegeben. (Warum? Welche?) Dort ist<br />
zu überlegen, ob die angegebene Standardabweichung des Mittelwertes (Grundlage:<br />
statistische Gauß-Verteilung) den tatsächlichen Fehler richtig abschätzt. Man kann<br />
den Fehler auch durch Verändern des Intervalls abschätzen, indem man die Variation<br />
des sich dann verändernden Mittelwertes betrachtet. Zu überlegen ist auch, ob man<br />
den Schwerpunkt (=Mittelwert) der Verteilung nimmt oder den Wert der maximalen<br />
Häufung.<br />
- Alternativ zur genäherten Formel (Gl. 2.18) kann die Auswertung auch über die exakte<br />
Formel durchgeführt werden. Durch leichtes Umformen erhält man die Beziehung:<br />
∆f<br />
f<br />
0,001<br />
= ∓v<br />
c<br />
v / c<br />
(2.22)<br />
c) Echolot<br />
Ultraschallwellen werden an Grenzflächen zwischen Medien unterschiedlichen Schallwellenwiderstandes<br />
reflektiert. Wie in Versuchsteil a) gesehen, kann man mittels der Phasenverschiebung<br />
einer kontinuierlichen Welle nur Strecken vermessen, die kürzer als eine<br />
Wellenlänge sind. Deshalb benutzt man eine gepulste Schallquelle, die kurze Wellenzüge<br />
einiger Wellenlängen aussendet. Der Abstand zum reflektierenden Hindernis wird dann<br />
gemäß Gl. 2.20 bestimmt.<br />
(1) Stellen Sie Empfänger und Sender auf (Fast-)Berührung gegenüber auf (direkter Kontakt<br />
kann zu elektrischem Übersprechen zwischen Sender und Empfänger führen). Geben<br />
Sie analog zur Messung der Schallgeschwindigkeit das Sendersignal auf Kanal 1<br />
und das Empfängersignal auf Kanal 2 des Oszilloskops. Wählen sie die Zeiteinteilung
2.4. DOPPLER-EFFEKT 71<br />
so, dass Sie das gesamte Sender- und Empfängersignal gleichzeitg auf dem Schirm<br />
sehen.<br />
Warum hat das Empfängersignal eine andere Form als das Sendersignal (abgesehen<br />
von der Rechteckspannung)?<br />
Messen sie die Zeit zwischen erster Senderschwingung und erster Empfängerschwingung.<br />
Sie können einen Cursor im Oszilloskop-Bildschirm durch Klicken auf das Pfeil-<br />
Symbol oben links aktivieren. Der Cursor lässt sich mit dem touchpad bei gedrückter<br />
linker Taste verschieben. Der gegenwärtige Wert wird unten angezeigt. Diese Zeitdifferenz<br />
t0 muss bei allen folgenden Versuchen abgezogen werden, da ja der Abstand<br />
zwischen Sender- und Empfängergehäuse gleich Null ist.<br />
Schieben Sie den Sender langsam vom Empfänger weg und schauen Sie sich die beiden<br />
Signale bei groberer Zeitauflösung an. Messen sie den Abstand zum Sender mit dem<br />
Maßband und die Zeitdifferenz mit dem Oszilloskop. Man kann ein wenig mit der<br />
Zeitauflösung, dem Trigger-Delay und dem Cursor spielen, um ein möglichst exaktes<br />
Ergebnis zu erhalten. Führen Sie einige Messungen durch und vergleichen Sie das<br />
Ergebnis mit der in <strong>Teil</strong> a) gemessenen Schallgeschwindigkeit.<br />
(2) Stellen Sie Empfänger und Sender nebeneinander auf. Schauen sie sich erst das gepulste<br />
Signal bei großer Zeitauflösung an.<br />
Stört das direkte Sendersignal das Empfängersignal (Übersprechen)? Durch eine Trennwand<br />
und leichtes Drehen des Senders oder Empfängers lässt sich womöglich die Situation<br />
verbessern. (Der Sender strahlt nicht unbedingt exakt geradeaus.) Eventuell<br />
andere Störfaktoren (Schienen, nah placierte Geräte) entfernen.<br />
Stellen Sie die Reflexionswand in einem Abstand von ungefähr 50 cm auf. Messen Sie<br />
den Zeitunterschied ∆t zwischen gesendetem und reflektiertem Signal. Berechnen Sie<br />
unter Verwendung des Ergebnisses aus Versuchsteil a) den Abstand zur Reflexionswand<br />
(Gl. 2.20) und vergleichen mit dem Wert, den Sie mit dem Maßband bestimmt<br />
haben. Wiederholen Sie die Messung bei verschiedenen Abständen.<br />
Wie gut ist Ihr Echolot? Schätzen Sie den Fehler der berechneten Lauflänge (Fehler<br />
in ∆t , t0 und c) ab. Wie groß sind die Abweichungen zur Messung mit dem Metermaßstab?
Kapitel 3<br />
Wärmelehre<br />
3.1 Dampfdruckkurve<br />
Aufgaben<br />
In diesem Versuch wird die Dampfdruckkurve von Wasser vermessen und die Verdampfungsenthalpie<br />
bestimmt.<br />
Grundlagen<br />
Wärme, Temperatur, Zustandsgrößen, ideale und reale Gase, ideale Gasgleichung, 1. und 2.<br />
Hauptsatz der Wärmetheorie, Zustandsänderung, Zustandsdiagramm, Phasenübergänge, Verdampfungsenthalpie,<br />
Clausius-Clapeyron-Gleichung, kritische Parameter.<br />
Literatur<br />
• Gerthsen/Vogel, Physik<br />
• Bergmann/Schäfer, Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 1, Mechanik Akustik Wärme<br />
• Hänsel/Neumann, Physik<br />
• Tipler, Physik<br />
• Baehr, Thermodynamik<br />
• Stumpf/Rieckers, Thermodynamik<br />
• http://www.physik.rwth-aachen.de/∼hebbeker/lectures/ph1−0102/p112−l07/p112−l07.html<br />
• http://physik1.physik.uni-heidelberg.de/vrlsg/data/home2.htm<br />
• http://www.fm.fh-muenchen.de/labore/waas/skripten/kap10.pdf<br />
• http://www.chm.davidson.edu/ChemistryApplets/PhaseChanges/<br />
72
3.1. DAMPFDRUCKKURVE 73<br />
• Landolt-Börnstein, Zahlenwerte und Funktionen, Band II, 2. <strong>Teil</strong>, Gleichgewichte außer<br />
Schmelzgleichgewichten<br />
• Landolt-Börnstein, Zahlenwerte und Funktionen, Band II, 4. <strong>Teil</strong>: Kalorische Zustandsgrößen<br />
3.1.1 Theoretische Grundlagen<br />
Wärme und Temperatur<br />
Wärme ist eine Form von Energie. Wird einem Körper Wärme zugeführt oder wird ihm Wärme<br />
entzogen, ändert sich seine Temperatur (Ausnahme: latente Wärme, siehe Abschnitt “Änderung<br />
von Aggregatszuständen”), wie aus dem Alltag bekannt ist. Die Temperatur ist eine Zustandsgröße.<br />
Hierunter versteht man eine eine Stoffmenge charakterisierende Größe, deren Wert nur<br />
vom momentanen Zustand der Stoffmenge abhängt, es also egal ist, auf welchem Weg dieser<br />
Zustand erreicht wurde. Andere Zustandsgrößen sind Druck, Volumen, innere Energie. Arbeit<br />
und Wärme sind dagegen keine Zustandsgrößen.<br />
Um die Temperatur zu messen, braucht man eine physikalische Größe, die sich mit der Temperatur<br />
ändert, und eine Skala, die über zwei (willkürliche) Fixpunkte festgelegt wird. Falls die<br />
Temperaturabhängigkeit der zur Temperaturmessung verwendeten Größe linear ist, wird der Bereich<br />
zwischen den Fixpunkten gleichmäßig in z.B. 100 Einheiten eingeteilt und die so gewonnene<br />
Skala über die Fixpunkte hinaus verlängert.<br />
Beispiele für Temperatur-Skalen:<br />
• Celsius-Skala (1741): 0 ◦ C = Schmelztemperatur von Eis, 100 ◦ C = Siedetemperatur von<br />
Wasser.<br />
• Die offizielle Temperaturskala ist die Kelvin-Skala, in der als einziger Fixpunkt seit 1954<br />
der mit großer Genauigkeit bestimmbare Tripelpunkt (siehe später) des Wassers (T =<br />
0.0098 ◦ C) verwendet wird: 0 K = tiefste theoretisch denkbare Temperatur (absoluter Nullpunkt),<br />
273.16 K = Tripelpunkt von Wasser. Die Kelvinskala bezieht sich also auf den<br />
absoluten Nullpunkt. Die in Kelvin gemessene Temperatur wird als absolute Temperatur<br />
bezeichnet. Das Kelvin ist auch die Einheit für Temperaturdifferenzen.<br />
Ein Beispiel für einen häufig für Temperaturmessungen ausgenutzten physikalischen Effekt ist<br />
die Ausdehnung von Stoffen (meist Flüssigkeiten) mit steigender Temperatur. Eine Besonderheit<br />
ergibt sich für Wasser: normalerweise hat der feste Aggregatszustand eines Stoffes eine höhere<br />
Dichte als der flüssige. Wasser hat aber bei T = 4 ◦ C seine größte Dichte (Eis schwimmt auf<br />
Wasser). Für Wasser ist γ also negativ für T < 4 ◦ C, positiv für T > 4 ◦ C.<br />
Gesetze für ideale Gase<br />
In einem idealen Gas werden die Moluküle als punktförmig angenommen (kein Eigenvolumen)<br />
und die Wechselwirkung zwischen den Molekülen vernachlässigt.
74 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE<br />
Das Volumen eines Gases hängt vom Druck ab. Bei gleicher Masse (geschlossenes Gefäß) erhöht<br />
sich bei Kompression die Dichte des Gases:<br />
p = ρ · const.<br />
Daraus folgt das Boyle-Mariottsche Gesetz, welches für ideale Gase bei konstanter Temperatur<br />
gilt:<br />
p · V = const.<br />
Der Zusammenhang zwischen den drei Zustandsgrößen Druck, Volumen und Temperatur wird<br />
durch die Zustandsgleichung idealer Gase (ideale Gasgleichung) beschrieben:<br />
pV = νRTabs<br />
Hierbei ist ν die Stoffmenge (Anzahl der Mole). R wird als allgemeine Gaskonstande bezeichnet.<br />
Mit dem Molvolumen V0 = 22.4 l/Mol, dem Normaldruck p0 = 1.013 bar und T0 = 273.15 K gilt:<br />
R = p0V0/T0 = 8.31 J/(mol · K).<br />
Mit der Avogadrozahl NA = <strong>Teil</strong>chenzahl pro Mol = 6.022 · 10 23 und ν = N/NA lässt sich<br />
Gleichung 3.1 auch schreiben als<br />
pV = NkTabs<br />
mit der Boltzmann-Konstanten k = R/NA = 1.38 · 10 −23 J/K.<br />
Die Isothermen, d.h. p-V-Kurven für T=const., sind demnach für ein ideales Gas Hyperbeln,<br />
wie in Abb. 3.1 links exemplarisch für ein Gas, welches bei 0 ◦ C und Athmosphärendruck ein<br />
Volumen von 1 l einnimmt, gezeigt ist.<br />
Abbildung 3.1: Links: Isothermen eines idealen Gases. Rechts: Van der Waals-Isothermen von<br />
CO2.<br />
(3.1)
3.1. DAMPFDRUCKKURVE 75<br />
Reale Gase<br />
In realen Gasen haben die Moleküle ein endliches Eigenvolumen. Dies führt zum sogenannten<br />
Kovolumen b, welches wegen der Packungslücken ungefähr dem vierfachen Eigenvolumen<br />
der Moleküle entspricht. Desweiteren wechselwirken die <strong>Teil</strong>chen untereinander durch Van der<br />
Waals-Kräfte, wodurch zum äußeren Druck ein innerer Druck addiert werden muß. Die ideale<br />
Gasgleichung geht über in die Van der Waals-Gleichung:<br />
(p + a/V 2 )(V − b) = νRTabs<br />
Die Isothermen sehen damit anders aus als für ein ideales Gas, wie man in Abb. 3.1 rechts am<br />
Beispiel von Kohlendioxid sieht. Außerdem ist zu beachten, daß für ein reales Gas die Wechselwirkung<br />
der <strong>Teil</strong>chen so stark werden kann, daß es seinen Aggregatszustand ändert und sich<br />
verflüssigt. Dies wird später behandelt.<br />
Spezifische Wärmekapazität<br />
Wenn zwei Körper mit den Temperaturen T1 und T2 < T1 in Kontakt gebracht werden, stellt<br />
sich eine gemeinsame Temperatur T mit T1 < T < T2 ein. Es wird also Wärme von Körper 1 auf<br />
den Körper 2 übertragen. Die übertragene Wärmemenge ∆Q ist<br />
∆Q = c1m1∆T = c2m2∆T<br />
c ist dabei eine materialabhängige Größe und wird als spezifische Wärmekapazität bezeichnet.<br />
Die Einheit für die Wärmemenge ist das Joule. Im Alltag noch gebräuchlich ist die Kalorie (cal),<br />
wobei 1 cal = 4.1868 Joule die Wärmemenge ist, die man benötigt, um 1 g Wasser von 14.5 ◦ C auf<br />
15.5 ◦ C zu erwärmen. Die Einheit der spezifischen Wärmekapazität ist [c] = J/(gK).<br />
Weiterhin ist definiert die Wärmekapazität C:<br />
C = mc = ∆Q/∆T<br />
mit [C] = J/K, sowie die molare Wärmekapazität<br />
Cm = Mc<br />
mit [Cm] = J/(Mol · K).<br />
Bei tiefen Temperaturen ist c allerdings selbst temperaturabhängig.<br />
Außerdem hängt die spezifische Wärmekapazität davon ab, ob man sie bei konstantem Druck<br />
(cp) oder konstanten Volumen (cV ) bestimmt. Bei konstantem Druck führt die zugeführte Wärme<br />
nicht nur zu einer Erwärmung, sondern auch zu einer Ausdehnung der Körpers. Es ist also immer<br />
cP > cV . Wegen der kleinen Ausdehnung von Festkörpern und Flüssigkeiten mit der Temperatur<br />
fällt dies praktisch nur bei Gasen ins Gewicht. Das Verhältnis der beiden spezifischen Wärmen<br />
wird als Adiabatenexponent κ bezeichnet (warum wird später klar werden):<br />
κ = cp/cV<br />
Diese Größe spielt auch in der Akustik (Schallwellen, siehe Versuche zur Akustik) eine Rolle.<br />
(3.2)
76 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE<br />
1. Hauptsatz<br />
Wie schon erwähnt wurde, ist Wärme eine Form von Energie, sie kann z.B. durch Reibung mechanisch<br />
erzeugt werden.<br />
Der Energieerhaltungssatz besagt, daß die Gesamtenergie innerhalb eines abgeschlossenen Systems<br />
durch beliebige (mechanische, thermische, elektrische, chemische) Vorgänge nicht erhöht<br />
werden kann. Es gibt also kein Perpetuum Mobile.<br />
In einem abgeschlossenen System findet weder Materie- noch Energieaustausch mit der Umgebung<br />
statt. Von einem geschlossenen System spricht man, wenn nur Energieaustausch stattfindet,<br />
und in einem offenem System wird sowohl Energie als auch Materie mit der Umgebung ausgetauscht.<br />
In der Thermodynamik werden i.A. geschlossene Systeme behandelt.<br />
Als innere Energie U eines Systemes bezeichnet man seine Energie im Schwerpunktsystem,<br />
also die Summe von thermischer, chemischer und elektrischer Energie, d.h. die Gesamtenergie<br />
abzüglich äußerer mechanischer (kinetischer, potentieller) Energie. Es gilt:<br />
∆U = ∆Q + ∆A (3.3)<br />
mit ∆Q = zugeführter Wärme und ∆A = zugeführter Arbeit. Die Vorzeichenkonvention ist<br />
die folgende: für ∆Q > 0 wird Wärme zugeführt, für ∆A > 0 Arbeit am System verrichtet.<br />
Ist dagegen ∆Q < 0, wird die Wärme ∆Q ′ = −∆Q abgeführt, für ∆A < 0 wird die Arbeit<br />
∆A ′ = −∆A vom System verrichtet. In einem sogenannten Kreisprozeß landet man nach Zu-<br />
/Abführung von Wärme und Arbeit wieder beim Ausgangszustand, es gilt also U1 = U2 und<br />
damit:<br />
∆U = ∆Q + ∆A = 0 (3.4)<br />
also entweder ∆Q > 0 (Wärme wird zugeführt) und ∆A < 0 (Arbeit wird vom System verrichtet)<br />
oder umgekehrt. Die Gleichungen 3.3 und 3.4 bilden zusammen den 1. Hauptsatz der<br />
Wärmetheorie.<br />
Die Arbeit A ist die Arbeit, die von äußeren Kräften geleistet wird. Im Allgemeinen führt der<br />
Außendruck pa zu einer Volumenänderung dV :<br />
dA = −padV<br />
Falls dV < 0, verübt der Druck Arbeit am System (dA > 0), im anderen Fall dehnt sich das<br />
System aus und verrichtet dabei Arbeit. Die Arbeit ist dann − � pdV und damit die Fläche unter<br />
einer Zustandsänderung im p-V-Diagramm, siehe Abb. 3.2. In einem Kreisprozeß wird eine geschlossene<br />
Kurve im p-V-Diagramm durchlaufen, ihr Flächeninhalt entspricht der freigewordenen<br />
oder geleisteten Arbeit (je nach Umlaufrichtung).<br />
Im Allgemeinen kann man den äußeren, vom Experimentator frei wählbaren Druck nicht durch<br />
den inneren, durch die Zustandsgleichung vorgegebenen Druck ersetzen. Dies ist nur in sogenannten<br />
quasi-statischen Prozessen erlaubt, in denen der äußere Druck dem inneren Druck numerisch<br />
immer fast gleich gewählt ist, wobei die Prozesse dann unendlich langsam ablaufen. Dies hat den<br />
Vorteil, daß man für pi die ideale Gasgleichung verwenden kann: piV = νRT .
3.1. DAMPFDRUCKKURVE 77<br />
Abbildung 3.2: Arbeitsdiagramme von quasi-statischen Prozessen. Im rechten Bild ist ein<br />
Kreisprozeß gezeigt.<br />
Zustandsänderungen<br />
1.) Isochore Zustandsänderung: V = const.<br />
dU = dQ = mcV dT<br />
U = mcV T + U0<br />
Die innere Energie hängt für eine feste Masse also nur von T ab.<br />
2.) Isobare Zustandsänderung: p = const.<br />
Hieraus folgt Cmp − CmV<br />
= R.<br />
3.) Isotherme Zustandsänderung: T = const.<br />
dU = mcpdT − pdV = mcV dT<br />
U = mcV T + U0 ⇒ dU = 0 ⇒ dQ = pdV<br />
Zugeführte Wärme wird komplett in Arbeit umgesetzt.<br />
4.) Adiabatische Zustandsänderung: Q = const.<br />
dU = −pdV = mcV dT<br />
Läuft der Prozeß quasi-statisch ab, gilt p = pi = νRT/V .<br />
mcV dT = −νRT dV/V<br />
McV dT/T + RdV/V = 0
78 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE<br />
Abbildung 3.3: Isothermen (gestrichelte Linien) und Adiabaten (durchgezogene Linien) eines<br />
idealen Gases.<br />
CmV<br />
�<br />
�<br />
dT/T + R<br />
dV/V = 0<br />
CmV ln T/T0 + R ln V/V0 = 0<br />
ln T/T0 + ln V/V0 R/Cm V = 0<br />
⇒ T<br />
� �R/Cm V<br />
V<br />
= 1<br />
T0<br />
Mit den Gleichungen 3.2 und Cmp − CmV<br />
Mit der idealen Gasgleichung folgt:<br />
V0<br />
= R folgt daher:<br />
T V κ−1 = const. (3.5)<br />
pV κ = const. (3.6)<br />
pT κ<br />
1−κ = const. (3.7)<br />
Dies sind die drei Poissonschen Gleichungen. Eine Druckänderung führt also zu einer Temperaturänderung<br />
(Beispiele für adiabatische Prozesse: Luftpumpe, Schallwellen). Im p-V-Diagramm<br />
verlaufen die Adiabaten steiler als die Isothermen und schneiden diese daher, wie in Abb. 3.3 zu<br />
sehen ist.<br />
Änderung von Aggregatszuständen<br />
Wenn man einem Festkörper Wärme mit einer konstanten Rate zuführt, ändert sich die Temperatur<br />
wie in Abb. 3.4 exemplarisch für 1 g Wasser gezeigt. Zuerst steigt die Temperatur wie<br />
erwartet an: ∆Q = cpEis m(T − T0). Bei 0 ◦ C allerdings passiert etwas Neues: trotz Wärmezufuhr<br />
bleibt die Temperatur konstant. Beim Übergang vom festen zum flüssigen Aggregatszustand muß<br />
die kristalline Anordnung der Moleküle mit ihrer räumlich stabilen Struktur von Ionen und Elektronen<br />
aufgebrochen werden. Die zugeführte Wärmemenge von 335 J wird gebraucht, um 1 g Eis
3.1. DAMPFDRUCKKURVE 79<br />
zu schmelzen. Die Schmelzwärme beträgt also<br />
λSchmelz = 334.9 J/g<br />
ΛSchmelz = 6.03 kJ/Mol<br />
Zwischen 0 ◦ C und 100 ◦ C steigt die Temperatur nach ∆Q = cpW asser m(T −TSchmelz) weiter an. Bei<br />
der Siedetemperatur Ts = 100 ◦ C muß wieder eine Umwandlungswärme, die Verdampfungswärme,<br />
zugeführt werden:<br />
λVerd = 2256.7 J/g<br />
ΛVerd = 40.6 kJ/Mol<br />
denn beim Übergang vom flüssigen zum gasförmigen Aggregatszustand wird die durch Van<br />
der Waals-Kräfte vermittelte Nahordnung zerstört. Solche Umwandlungswärmen zwischen Aggregatszustanden<br />
oder Phasen (z.B. verschiedenen Kristallstrukturen) werden auch als latente<br />
Wärmen bezeichnet. Beim Umkehrvorgang, also Kondensation und Erstarrung, werden die gleichen<br />
Energiemengen frei. Wie in der Chemie spricht man, je nachdem ob Wärme verbraucht oder<br />
frei wird, von endothermen oder exothermen Prozessen.<br />
Abbildung 3.4: Temperaturverlauf bei konstanter Erwärmung von 1 g Wasser.<br />
Ein <strong>Teil</strong> der Umwandlungswärme geht in Volumenarbeit über, denn das Volumen der Aggregatszustände<br />
ist i.A. unterschiedlich. Beim Übergang vom flüssigen zum gasförmigen Aggregatszustand<br />
muß eine dem Differenzvolumen entsprechende Menge Luft verdrängt werden: dA = −pdV .<br />
Die Änderung der inneren Energie ist also dU = dQ − pdV < λVerdm. In den obigen Zahlen ist
80 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE<br />
die Volumenarbeit schon enthalten. Zur Verdeutlichung spricht man statt von Wärme auch von<br />
Enthalpie H, wenn die Volumenarbeit schon addiert ist:<br />
H = U + pV<br />
∆H = ∆U + ∆(pV ) = ∆Q − V dp<br />
Für dp = 0 ist die Enthalpie also mit der Wärme identisch.<br />
Im Folgenden soll der Übergang vom flüssigen zum gasförmigen Aggregatszustand betrachtet<br />
werden. Hat man eine Flüssigkeit in einem evakuierten geschlossenen Gefäß, so verdampfen und<br />
kondensieren Moleküle, bis sich ein Gleichgewicht einstellt. Der Dampf hat dann einen von der<br />
Temperatur und Stoffart abhängigen Druck, den Dampfdruck oder Sättigungsdruck. Der Zusammenhang<br />
zwischen Sättigungsdampfdruck und Temperatur wird durch die Dampfdruckkurve beschrieben.<br />
Abb. 3.5 zeigt die Dampfdruckkurve von Wasser. Ist das Gefäß nicht evakuiert, müssen<br />
die Moleküle durch z.B. Luft diffundieren. Das Gleichgewicht stellt sich langsamer ein, aber der<br />
Dampfdruck ist der gleiche, denn nach Dalton ändert sich an den Partialdrücken der einzelnen<br />
Gase durch die Anwesenheit anderer Gase nichts. Ist zu wenig Flüssigkeit vorhanden, verdampft<br />
alles und es kann sich kein Gleichgewicht einstellen. Flüssigkeit in einem offenen Gefäß wird also<br />
unabhängig von Druck und Temperatur immer vollständig verdampfen (Verdunstung).<br />
Abbildung 3.5: Dampfdruckkurve von Wasser.<br />
Die Isothermen des Flüssigkeit-Gas-Systemes von CO2 sind auf der linken Seite von Abb. 3.6<br />
gezeigt. Sie folgen nicht mehr dem Boyle-Mariottschen Gesetz für ideale Gase, sondern zeigen
3.1. DAMPFDRUCKKURVE 81<br />
einen komplizierteren Verlauf. Wir betrachten die Isotherme bei T1 = 10 ◦ C. Rechts vom Punkt<br />
A ist das CO2 gasförmig, Kompression führt also zu einem Druckanstieg. Am Punkt A setzt<br />
Sättigung ein, Kompression führt zu Kondensation bei konstantem Druck. Schließlich ist bei B<br />
nur noch Flüssigkeit vorhanden, weitere Kompression führt zu starkem Druckanstieg. Das durch<br />
die Punkte A und B der Isothermen definierte Gebiet wird als Sättigungsgebiet bezeichnet. Für<br />
T2 = 31 ◦ C sind am Punkt C die Volumina von Gas und Flüssigkeit gleich, beide Aggregatszustände<br />
haben die gleiche Dichte. Dieser Punkt wird als kritischer Punkt bezeichnet, entprechend<br />
die zugehörigen Zustandsgrößen als kritische Temperatur, kritische Dichte etc.. Oberhalb<br />
der kritischen Temperatur kann ein Gas auch durch beliebig hohen Druck nicht verflüssigt werden.<br />
Nur für Zustände weit entfernt vom kritischen Punkt gilt die Thermodynamik eines idealen<br />
Gases.<br />
Die aus der Van der Waals-Gleichung berechneten Isothermen (Van der Waals-Isothermen) sehen<br />
anders aus als die im Experiment gewonnen Kurven (Abb. 3.6, rechte Seite). Man erhält die den<br />
Punkten A und B von oben entprechenden Punkte A und C, wenn man eine Gerade so durch<br />
die Van der Waals-Isotherme legt, daß die schraffierten Flächen gleich groß sind.<br />
Wird die Wärmezufuhr einer Flüssigkeit so groß, daß die Wärme nur durch inneres Verdampfen<br />
(Vergrösserung der Oberfläche) mittels Gasblasen, welche an die Oberfläche steigen, abgeführt<br />
werden kann, spricht man vom Sieden. Die Temperatur ist dann konstant (Siedetemperatur),<br />
d.h. ein stationärer Zustand erreicht, wenn der Druck in den Blasen dem äußeren Druck entspricht.<br />
Die Siedetemperatur hängt also vom Außendruck ab (Abb. 3.8.) Die Blasen entstehen<br />
an “Keimen”, z.B. gelösten Gasen, Spitzen, Ionen, ... In sehr sauberen Flüssigkeiten gibt es daher<br />
Siedeverzug.<br />
Abbildung 3.6: Links: Isothermen von CO2 mit Sättigungsgebiet. Rechts: Van der Waals-<br />
Isothermen von CO2 mit Sättigungsgebiet.
82 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE<br />
Clausius-Clapeyronsche Gleichung<br />
Die quantitative Beschreibung des Sättigungsdampfdruckes leistet die Clausius-Clapeyronsche<br />
Gleichung. Zur Herleitung betrachten wir den in Abb. 3.7 gezeigten Kreisprozeß im p-V-Diagramm.<br />
• Start bei A mit ν, V2, T , c2<br />
• A → B: ∆Q = νCm2dT wird zugeführt<br />
• B → C: Verdampfen, ∆Q = νΛ ′ wird zugeführt<br />
• C → D: ∆Q = νCm1dT wird entzogen<br />
• D → A: Kondensieren, ∆Q = νΛ wird frei<br />
Es gilt also mit Λ ′ = Λ + dΛdT<br />
und dem ersten Hauptsatz:<br />
dT<br />
Der zweite Hauptsatz ( � δQ<br />
T<br />
∆Q = ν(Cm2dT + Λ ′ − Cm1dT − Λ)<br />
= ν((Cm2 − Cm1)dT + dΛ<br />
dT dT<br />
= ∆A<br />
= dp(V1 − V2)<br />
⇒ ν((Cm2 − Cm1)dT + dΛ<br />
dT dT = dp(V1 − V2) (3.8)<br />
ν<br />
= 0) liefert die Gleichung:<br />
� Cm2dT<br />
T<br />
+ Λ′<br />
T + dT<br />
− Cm1dT<br />
T<br />
− Λ<br />
�<br />
= 0<br />
T<br />
Abbildung 3.7: Kreisprozeß zur Herleitung der Clausius-Clapeyron-Gleichung.
3.1. DAMPFDRUCKKURVE 83<br />
102 Siedetemperatur von Wasser als Funktion des Druckes<br />
100<br />
98<br />
96<br />
Siedetemperatur [degC]<br />
94<br />
102 102<br />
92<br />
101.5<br />
101 101<br />
90<br />
100.5<br />
100 100<br />
88<br />
99.5 99.5<br />
99 99<br />
86<br />
98.5 98.5<br />
98 98<br />
84<br />
97.5 97.5<br />
950 950 960 960 970 970 980 980 990 990 1000 1010 1020 1030 1040 1050 1060<br />
97 97<br />
82<br />
500 600 700 800 900 1000 1100<br />
Umgebungsdruck [hPa]<br />
Abbildung 3.8: Temperaturabhängigkeit des Siedepunktes von Wasser.<br />
80
84 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE<br />
Hierbei wurde 1<br />
1+ dT<br />
T<br />
Λ + dΛ<br />
dT dT<br />
(Cm2 − Cm1)<br />
Λ<br />
dT + − = 0<br />
T<br />
T (1 + dT/T ) T<br />
�<br />
(Cm2 − Cm1)dT + Λ + dΛ<br />
dT dT<br />
�<br />
(1 − dT/T ) − Λ = 0<br />
= 1 − dT<br />
T<br />
Gleichungen 3.8 und 3.9 ergibt sich:<br />
(Cm2 − Cm1)dT + dΛ<br />
dT − ΛdT/T = 0 (3.9)<br />
dT<br />
gesetzt und der quadratische Term in dT vernachlässigt. Aus<br />
dp<br />
ν (V1 − V2) = Λ dT<br />
T<br />
⇒ Λ(T ) = T dp<br />
dT (V1 − V2)/ν<br />
⇒ dp<br />
dT =<br />
νΛ<br />
T (V1 − V2)<br />
Dies ist die Clausius-Clapeyronsche Gleichung. Sie gilt für beliebige Phasenübergänge. Eine<br />
Integration, wobei die Temperaturabhängigkeiten von Λ und dV bekannt sein müssen, ergibt<br />
p(T ).<br />
Beim Verdampfen, wenn Vgas >> Vfl, gilt:<br />
Integration ergibt<br />
ΛV erd(T ) = T dp<br />
dT (Vgas − Vfl)/ν<br />
� p<br />
dp<br />
dT =<br />
p0<br />
=<br />
νΛV erd<br />
T (Vgas − Vfl)<br />
νΛ<br />
T Vgas<br />
�<br />
1 Λ V<br />
dp =<br />
p R V0<br />
ln(p/p0) = − Λ 1<br />
(<br />
R T<br />
= pΛ<br />
RT 2<br />
1<br />
dT<br />
T 2<br />
1<br />
− )<br />
T0<br />
Bei entsprechender Auftragungsweise kann die Verdampfungswärme also direkt aus der Steigung<br />
bestimmt werden, wobei wegen der Temperaturabhängigkeit von Λ streng genommen nur kurze<br />
Temperaturbereiche genommen werden dürfen.<br />
Zustandsdiagramm<br />
Für alle Phasenübergange wird p(T ) im Zustandsdiagramm dargestellt. Abb. 3.9 zeigt die Zustandsdiagramme<br />
für CO2 (links) und Wasser (rechts) mit den Phasenübergängen Sublimation,
3.1. DAMPFDRUCKKURVE 85<br />
Schmelzen und dem ausführlich behandelten Verdampfen. Die Steigung von dp/dT ist i.A. positiv.<br />
Eine Ausnahme bildet die Schmelzkurve von Wasser, deren Steigung negativ ist. Der Grund<br />
ist die schon behandelte Anomalie des Wassers, also VEis > Vfl. Man kann also durch Druck Eis<br />
schmelzen (Anwendung: Schlittschuhlaufen). Der Punkt, an dem sich alle drei Kurven treffen,<br />
wird Tripelpunkt genannt. Hier herrscht Koexistenz aller drei Aggregatszustände.<br />
Abbildung 3.9: Links: Zustandsdiagramm von Kohlendioxid. Rechts: Zustandsdiagramm von<br />
Wasser.<br />
3.1.2 Versuchsaufbau und Durchführung<br />
Benötigte Geräte<br />
Sensor-CASSY;<br />
Heizhaube;<br />
Absolutdrucksensor mit Stativstange;<br />
6-poliges Verbindungskabel;<br />
B-Box;<br />
Temperatursensor;<br />
Temperaturbox;<br />
Kolben;<br />
Messbecher;<br />
Glasventil;<br />
Handpumpe;<br />
Stativ mit Stange;<br />
Schläuche;<br />
Verbindungsstücke;<br />
Muffen.<br />
Ein Piezowiderstand auf Siliziumbasis (Motorola MPX2100AP) ist als Drucksensor (p < 1500<br />
hPa) in das Gehäuse des Leybold-Absolutdrucksensors eingebaut. Der Sensor ist zwischen 0 ◦ und<br />
85 ◦ C temperaturkompensiert und kann von −40 ◦ C bis 125 ◦ C betrieben werden. Um zu verhin-
86 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE<br />
dern, daß Kondensat in den Sensor zurückfließt, ist der Sensor mit der Messöffnung abwärts zu<br />
montieren. Das analoge Drucksignal (40mV/1000hPa, ±1% Linearitätsfehler) des Piezo-Sensors<br />
wird verstärkt (Output des Absolutdrucksensors: 1V/1500hPa), der Fehler des Sensors wird mit<br />
< 1% angegeben. Dann wird das Signal über einen Pegelkonverter (B-Box, Verstärkungsfehler<br />
1%) an die Digitalisierung (CASSY, 12bit A/D Wandler) weitergereicht.<br />
Der Temperaturfühler (Betriebsbereich −200 ◦ C< T < 400 ◦ C, Fehler für −40 ◦ C< T < 335 ◦ C:<br />
±2.5 ◦ C) basiert auf einem NiCr-Ni-Thermoelement. Dieser Sensor ist an der Spitze eines hermetisch<br />
verschlossenen dünnen Edelstahlrohres montiert (Vorsicht beim Einführen in die mit<br />
einem durchbohrten Stopfen verschlossene Messöffnung). Die Ansprechzeit (99% des Temperaturendwertes)<br />
in Gasen ist 2s. Das analoge Temperatursignal (4.1mV/100 ◦ C) wird über einen<br />
Pegelkonverter (Temperatur-Box, Messfehler < 1 %) an die Digitalisierung (CASSY, 12bit A/D<br />
Wandler) weitergereicht. CASSY kann Messwerte mit bis zu 100kHz Wiederholrate aufnehmen<br />
und puffern.<br />
Allgemeines<br />
• Bei allen Messungen darf die Funktion “Meßwerte mitteln” in der CASSY-Software nicht<br />
verwendet werden, da sie die Bestimmung der Meßfehler stark verfälscht!<br />
• Sorgfältig protokollieren! Wichtig sind insbesondere die Zeitpunkte und Dauer der Messungen,<br />
die Nummer der verwendeten Apparatur, Ergebnisse der Vorversuche und jeder<br />
Handgriff an der Apparatur.<br />
• Immer die Rohdaten mit abspeichern. Z.B. gehören neben ln(p) und 1/T auch p und<br />
T selbst mit in den CASSY-Datensatz. Das spätere Zurückrechnen ist, wenn überhaupt<br />
möglich, eine ergiebige Fehlerquelle.<br />
Die unten angegebenen Zeitdauern pro Messung sollen nur ein Anhaltspunkt für<br />
Sie sein. Falls Sie allerdings wesentlich länger brauchen, könnten Sie am Ende in<br />
Zeitdruck geraten.<br />
Messung des Rauschens der Sensoren<br />
Dauer der Messung: ca. 15 Minuten<br />
Um die statistische Messgenauigkeit abzuschätzen, kann man die Sensoren über ein kurzes Zeitintervall<br />
mit hoher Rate auslesen (Raumtemperatur bzw. Normaldruck). Unter der Annahme<br />
eines stabilen Messwertes in diesem Zeitintervall ergibt die Streuung der beobachteten Daten die<br />
statistische Messungenauigkeit (Digitalisierungsartefakte). Aus diesen Messwerten anschließend<br />
in Maple mit der Routine mean aus der <strong>Praktikums</strong>bibliothek das RMS bestimmen. Dies ist der<br />
gesuchte Messfehler der Sensoren. Die von Leybold angegebenen Fehler können als systematische<br />
Fehler betrachtet und behandelt werden. Die Messwerte sollen zusätzlich in ein Histogramm<br />
eingetragen werden, um einen Überblick über ihre Verteilung zu erhalten.
3.1. DAMPFDRUCKKURVE 87<br />
Kalibrierung des Temperatursensors<br />
Dauer der Messung: ca. 15 Minuten<br />
Der Temperatursensor wird mit Eiswasser und kochendem Wasser kalibriert. Eiswürfel erhalten<br />
Sie vom Assistenten. Die Kalibration mit kochendem Wasser führen Sie später während des<br />
Haupversuches durch. Die gemessenen Temperaturwerte sollen nachträglich in der Auswertung<br />
mit Hilfe der Kalibrationsmessung korrigiert werden, falls signifikante Abweichungen bestehen.<br />
Messung der Gasdichtigkeit<br />
Dauer der Messung: ca. 30 Minuten<br />
In einer Vormessung soll die Gasdichtigkeit geprüft werden. Hierzu wird im Kolben mittels einer<br />
Handpumpe ein Unterdruck (p < 200 hPa) erzeugt, welcher durch Undichtigkeiten mit der Zeit<br />
ausgeglichen wird. Der Druckverlauf sollte über ca. 10 Minuten gemessen werden.<br />
Der prinzipielle Versuchsaufbau ist in Abb. 3.10 gezeigt. Zu Beginn des Versuches wird der Kolben<br />
entleert und wenn nötig getrocknet. Verbinden Sie die Pumpe über das Ventil mit dem<br />
Kolben und montieren Sie den Drucksensor. Erzeugen Sie einen möglichst großen Unterdruck<br />
und messen Sie den Druckverlauf. Die Kompensation des Drucksensors sollte in allen Messungen<br />
ausgeschaltet sein (die LED auf der B-Box also nicht leuchten). Falls nötig, kann zur Verbesserung<br />
der Dichtigkeit der Anordnung die Schlauchschelle vorsichtig weiter angezogen werden. Außerdem<br />
steht ein Dichtungsmittel zur Verfügung, das auf die Normschliffe der Glasbehälter/Ventile aufgetragen<br />
werden kann. Allgemein ist zu empfehlen, das Öffnen der einmal abgedichteten Glas- und<br />
Schlauchverbindungen möglichst zu vermeiden. Der Aufbau sollte nach dieser Messung möglichst<br />
nicht mehr geändert werden (Schraubverschlüsse nicht mehr auf und zu drehen, Temperatursensor<br />
nicht entfernen etc.).<br />
Messung der Dampfdruckkurve<br />
Dauer der Messung: ca. 1 1/2 Stunden<br />
Im Hauptversuch soll die Dampfdruckkurve von Wasser aufgenommen werden.<br />
Gefüllt wird das Gefäß durch Ansaugen aus einem Messglas (Eintauchen des Schlauches in das<br />
Messglas bei geschlossenem Ventil, kurzzeitiges Öffnen des Ventils, eventuell erneutes Abpumpen).<br />
Es sollte soviel Wasser angesaugt werden, daß die Temperatur des Wassers als auch des<br />
Dampfes gemessen werden kann.<br />
Sodann wird das Wasser mit Hilfe der elektrischen Heizhaube zum Sieden gebracht, und dabei<br />
der Temperaturverlauf aufgezeichnet. Während der Aufwärmphase bleibt der Auslaß geöffnet<br />
(wieso?). Lassen Sie den erzeugten Dampf in einem Glas kondensieren. Vergleichen Sie die Temperatur<br />
in als auch oberhalb der Flüssigkeit. Nutzen Sie die Aufwärmphase, um sich von der<br />
starken Druckabhängigkeit der Siedetemperatur zu überzeugen. Nach Einstellung des Gleichgewichtes<br />
sollte das Wasser noch einige Minuten sieden, damit die Luft weitgehend aus dem Gefäß<br />
entweichen kann. Ihr Partialdruck führt sonst zu einer Verfälschung der Druckmessung. Der Anteil<br />
der Luft im austretenden Gas läßt sich recht gut abschätzen, indem der Abgasschlauch einige<br />
Zentimeter unter den Flüssigkeitsspiegel – z.B. in einem Meßglas – getaucht wird. Während der<br />
Dampfanteil sofort kondensiert, treten nur die Luftblasen bis an die Oberfläche.<br />
Der Dampfdruck wird beim Abkühlen bei verschlossenem Gefäß gemessen. Unbedingt den Hahn
88 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE<br />
am Auslaßschlauch schließen, kurz bevor die Heizhaube abgeschaltet oder entfernt wird. Der entstehende<br />
Druckabfall führt sonst sofort zum Ansaugen von Luft oder Wasser in das Gefäß. Nach<br />
dem Schließen des Hahns nicht zu lange warten, der Überdruck kann sonst den Glasstopfen aus<br />
dem Rundkolben herausdrücken. Wählen sie eine geeignete Auftragungsweise und berechnen Sie<br />
zu Ihrer Kontrolle sofort die Verdampfungswärme.<br />
Zweite Dichtigkeitsmessung (nur, falls genügend Zeit vorhanden ist)<br />
Um eine eventuelle Änderung der Gasdichtigkeit während des Versuches auszuschliessen, wiederholen<br />
Sie die Dichtigkeitsmessung nach der Aufnahme der Dampfdruckkurve. Hierfür muß das<br />
Wasser vollständig auf Raumtemperatur abgekühlt sein, da die Temperaturänderung sonst den<br />
Druck beeinflußt.<br />
3.1.3 Auswertung<br />
• Bestimmung des statistischen Fehlers der Druck- und Temperaturmessung.<br />
• Eventuell Korrektur der Temperaturdaten mit Hilfe der Kalibrationsmessung.<br />
• Bestimmung der Leckraten vor (und eventuell nach) der Haupmessung, Abschätzung des<br />
für die Enthalpiebestimmung verwendbaren Zeitraumes.<br />
• Bestimmung der Verdampfungsenthalpie aus der Verteilung von ln(p) gegen 1/T mittels<br />
linearer Regression. Für den Drucksensor wurde keine Kalibrationsmessung durchgeführt.<br />
Berüchsichtigen Sie daher den von Leybold angegebenen Fehler als systematischen Fehler.<br />
Wie ändert sich die Verdampfungsenthalpie, wenn alle Druckwerte um den systematischen<br />
Fehler zu niedrig oder zu hoch gemessen wären? Für die lineare Regression<br />
kann die Funktion “LineareRegressionXY” der <strong>Praktikums</strong>bibliothek “MapleLibs” verwendet<br />
werden. Sie berücksichtigt Fehler in der x- und y-Koordinate (Dokumentation unter<br />
http://accms04.physik.rwth-aachen.de/%7Ekirn/praktikum/ maple−new/maple−new.html).<br />
Weiterhin sind die Funktionen “plot−data−xy” sowie “plot−data−xy−fun” sehr nützlich.<br />
• Alle Werte/Resultate sollen mit Fehlern angegeben, die Punkte in den Plots mit Fehlerbalken<br />
gezeichnet werden!<br />
• Vergleichen Sie Ihr Resultat mit dem Literaturwert, stimmt es im Rahmen des Fehlers<br />
überein?<br />
• Eigentlich ist die Verdampfungsenthalpie temperaturabhängig, wie in Abb. 3.11 gezeigt<br />
ist. Verwenden Sie für die Geradenanpassung nur kurze Ausschnitte der Geraden. Sind die<br />
Werte signifikant unterschiedlich, stimmen sie mit den Theoriewerten überein?<br />
• Diskutieren Sie in Ihrer Zusammenfassung die Resultate, systematische Fehlerquellen sowie<br />
Mängel des angewendeten Verfahrens.
3.1. DAMPFDRUCKKURVE 89<br />
Abbildung 3.10: Versuchsaufbau zur Messung der Dampfdruckkurve.
90 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE<br />
44<br />
Molare Verdampfungsenthalpie von Wasser<br />
43.5<br />
43<br />
42.5<br />
42<br />
41.5<br />
41<br />
40.5<br />
Verdampfungsenthalpie [kJ/mol]<br />
40<br />
39.5<br />
300 320 340 360 380 400<br />
Temperatur [K]<br />
Abbildung 3.11: Temperaturabhängigkeit der Verdampfungsenthalpie von Wasser.
3.2. ADIABATIC COEFFICIENT 91<br />
Rubber<br />
bung<br />
Marriot’s<br />
flask<br />
Ball<br />
F = AΔp<br />
D<br />
Gas<br />
pV κ = const<br />
Differential<br />
manometer<br />
Δp<br />
Hand<br />
pump<br />
Abbildung 3.12: Scheme of the Rüchardt method for the ratio cp<br />
cv measurement<br />
3.2 Adiabatic Coefficient<br />
Purposes<br />
In this experiment the ratio cp<br />
Keywords<br />
cv<br />
is measured by the Rüchardt method.<br />
Specific heat, equation of state, processes of state transformation (adiabatic, isothermic, isobaric),<br />
pressure oscillations<br />
Literature<br />
See list of sources in Section 3.1<br />
3.2.1 Rüchardt method<br />
The Rüchardt method to determine the ratio cp<br />
for a gas is based on the measurement of<br />
cv<br />
oscillations of a steel ball supported by a column of the gas in a precision glass tube.<br />
Scheme of the experiment is shown in Fig. 3.12.
92 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE<br />
The ball fits exactly into the tube having a diameter of about 16 mm. The precision glass tube<br />
is inserted vertically into a glass bottle (Marriot’s flask) which has a rubber stopper with a hole<br />
fitting the glass tube. Gas pressure inside the bottle is measured by a differential manometer.<br />
A hand pump can provide a slow influx of air into the bottle. The increased air pressure raises<br />
the ball along the tube. After air influx is stopped the ball will sink down very slowly. It takes<br />
considerable time to fall through the tube, for the air enclosed in the tube below the ball escapes<br />
very slowly through the narrow gap between ball and tube walls.<br />
If the ball hight is increased sharply by the use of two small permanent magnets the ball starts<br />
to oscillate up and down a few times before continuing to sink down slowly. The oscillations are<br />
damped due to the unavoidable losses of energy by friction. Variations of the air pressure inside<br />
the bottle during these oscillations have to be measured and stored. Analysis of these data in<br />
accordance with a theory described below allows to determine the air adiabatic coefficient κ.<br />
The parameters relevant for the analysis are<br />
• m - mass of the ball<br />
• A = πD 2 /4 - cross-section area of the glass tube<br />
• V - volume of enclosed air<br />
• p0 - atmospheric pressure<br />
• p - pressure inside the bottle<br />
• cp - specific heat at constant pressure<br />
• cv - specific heat at constant volume<br />
• κ = cp<br />
cv<br />
- adiabatic coefficient<br />
The ball is in equilibrium if the pressure p inside the bottle is equal to the sum of the atmospheric<br />
pressure p0 and the pressure due to the weight of the ball:<br />
p = p0 + mg<br />
A<br />
(3.10)<br />
When the ball moves a distance x beyond its equilibrium position, the pressure changes by dp.<br />
By this a force Adp is exerted on the ball. Friction force is proportional to the ball velocity<br />
. Then by Newton’s second law:<br />
Ffr = −αfr dx<br />
dt<br />
m d2x dx<br />
= Adp − αfr<br />
dt2 dt<br />
(3.11)<br />
The process may be considered practically adiabatic. Therefore, according to 3.15 (Section 3.1.1)<br />
By differentiation:<br />
pV κ = const (3.12)<br />
V κ dp + pκV κ−1 dV = 0 (3.13)
3.2. ADIABATIC COEFFICIENT 93<br />
dp = pκ<br />
dV (3.14)<br />
V<br />
The ball was supposed to move a distance x in the glass tube; this gives a change of volume<br />
By substituting 3.15 in 3.14<br />
dp = − pκAx<br />
V<br />
The equation of motion 3.11 takes now the form<br />
dV = Ax (3.15)<br />
(3.16)<br />
d2x dx pκA2<br />
− αfr + x = 0<br />
dt2 dt mV<br />
(3.17)<br />
This is the differential equation of harmonic oscillations with damping from which the angular<br />
frequency of the ball oscillations can be deduced, which is<br />
�<br />
ω =<br />
pκA2 mV<br />
(3.18)<br />
from this follows for κ = cp<br />
cv :<br />
2 mV<br />
κ = ω<br />
pA2 (3.19)<br />
All the quantities on the right side of equation 3.19 are accessible to measurements, therefore κ<br />
can be determined in this way.<br />
3.2.2 Setup and Carrying out the Experiment<br />
Apparatus<br />
Oscillation tube;<br />
Stand base, V-shape;<br />
Stand rod, 50 cm;<br />
Clamp with jaw clamp;<br />
Two Marriot’s flasks of different volumes;<br />
Hand vacuum and pressure pump;<br />
Differential pressure sensor;<br />
Absolute pressure sensor;<br />
Sensor-CASSY;<br />
PVC tubes;<br />
Connectors;<br />
Permanent magnets;<br />
Digital balance;<br />
Precision micrometer.<br />
The pressure sensor enables differential pressures ∆p = p1 − p2 between 0 and ±70 hP a to be<br />
measured. It can be connected directly to the Sensor-CASSY.<br />
Technical data:
94 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE<br />
• Measuring ranges: ±0.7 hP a, ±7 hP a, ±70 hP a<br />
• Resolution: 0.05% of measuring range<br />
The technical data of the absolute pressure sensor are described in Section 3.1.2.<br />
Setup<br />
Set up the experiment as shown in Fig.3.13:<br />
• Insert the oscillation tube vertically into the dry Marriot’s flask. Both sides of the tube<br />
should be closed to avoid fast movements of the ball inside the tube.<br />
• Fix the vertical position of the tube by clamping it with the jaw clamp connected with the<br />
stand.<br />
• Connect the outlet of the Marriot’s flask with the hand pump and with the differential<br />
pressure sensor using the PVC tubes and T-connector.<br />
• Insert the pressure sensor in the INPUT A channel of the CASSY box.<br />
• Open the upper end of the oscillation tube.<br />
The setup is ready for the oscillation measurements.<br />
Carrying out the experiment<br />
The parameters which define the value of the adiabatic coefficient κ, namely<br />
• ω - the ball oscillation frequency<br />
• A = πD2<br />
4 - cross-section of the tube<br />
• m - mass of the ball<br />
• V - volume of the bottle<br />
• p - gas pressure in the equilibrium state of the ball<br />
have to be measured using the provided tools:<br />
• relative pressure sensor<br />
• absolute pressure sensor<br />
• precise micrometer<br />
• digital balance
3.2. ADIABATIC COEFFICIENT 95<br />
Abbildung 3.13: Experiment setup for measuring the ratio cp<br />
cv
96 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE<br />
The measurement of the parameter V can be performed by weighing of the empty bottle and of<br />
the bottle filled with water. This can be done only after performing the oscillation measurement<br />
because the air inside the Marriot’s flask has to be dry then.<br />
Ball oscillation frequencies for different ball positions (heights) inside the tube have to be measured<br />
for both Marriot’s flasks.<br />
All the measurements have to be done several times. Evaluation of sources and values of systematic<br />
and stochastic errors for all the measured parameters should be presented.<br />
The values of the adiabatic coefficient κ together with its measurement errors should be calculated<br />
using all the measurements done. The resulting κ value measured in the experiment have to be<br />
calculated using either weighted mean or linear regression method (or both).<br />
Analysis of the κ error budget (sources of the dominant errors, possible ways to improve the<br />
experiment performance, etc.) has to be presented.
Kapitel 4<br />
Elektrizitätslehre<br />
Vorversuche:<br />
4.1 Charakterisierung der Ohmschen Widerstände<br />
4.2 Auf- und Entladung eines Kondensators<br />
4.3 Auf- und Entladung einer Spule<br />
Hauptversuche:<br />
4.4 LC-Schwingkreise<br />
4.5 gekoppelte Schwingungen<br />
Physikalische Grundlagen<br />
Ohmsches Gesetz, Kirchhoffsche Regeln, Schaltungen von Widerständen, Kondensatoren, Spulen,<br />
Auf- bzw. Entladevorgänge, Schwingungen, gedämpfte Schwingungen, gekoppelte Schwingungen,<br />
Wechselströme, Wechselstromwiderstände, Verlustwiderstände<br />
97
98 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE<br />
4.1 Charakterisierung der Ohmschen Widerstände<br />
4.1.1 Versuchsbeschreibung:<br />
Es soll der Betrag der Ohmschen Widerstände bestimmt werden, die bei den folgenden Versuchsteilen<br />
zur Charakterisierung der Kondensatoren und der Spulen benutzt werden. Des weiteren<br />
sollen die Messfehler der Strom- und Spannungsmessungen bestimmt werden. Dazu werden zwei<br />
Messreihen benötigt:<br />
1.) Es wird eine Gleichspannung eingestellt und der Spannungsabfall an dem Ohmschen Widerstand<br />
und der im Kreis fließende Strom gegen die Zeit gemessen. Aus der Häufigkeitsverteilung<br />
der Strom- bzw. Spannungsmessung wird der jeweilige Mittelwert, die Standardabweichung<br />
(Fehler des Einzelwertes) und der mittlere Fehler des Mittelwertes bestimmt.<br />
X = 1<br />
�<br />
n�<br />
�<br />
�<br />
Xi, σX = �<br />
n i=1<br />
1<br />
n�<br />
(Xi − X)<br />
n − 1 i=1<br />
2 , σX = σX<br />
√n<br />
2.) Die anliegende Gleichspannung wird variiert, der Spannungsabfall am Ohmschen Widerstand<br />
und der fließende Strom gemessen. Die Fehler der Einzelmessungen wurden mit<br />
Messreihe 1.) vorher bestimmt. Mittels linearer Regression wird die Steigung und damit<br />
der Wert des Ohmschen Widerstandes gemäß dem Ohmschen Gesetz bestimmt.<br />
4.1.2 Versuchsaufbau<br />
U = I · R<br />
Die verschiedenen Ohmschen Widerstände werden gemäß Abbildung 4.1 auf der Rastersteckplatte<br />
aufgebaut und an Spannung gelegt. Als Spannungsquelle dient die Gleichspannungsquelle S (0-<br />
16 V) des Sensor CASSY-Interface. Zur Strommessung wird das Amperemeter des Eingangs A<br />
und zur Spannungsmessung das Voltmeter des Eingangs B benutzt.<br />
4.1.3 Versuchsdurchführung<br />
Messreihe 1<br />
Die Spannungsquelle kann über das Menü Einstellungen CASSY automatisch bei Beginn<br />
der Messung eingeschaltet werden (Änderung des Zustands 0 auf 1). Die Messzeit wird im<br />
Menü Messparameter anzeigen (Abb. 4.1b) eingestellt, die Messgrößen werden als Momentanwerte<br />
(Intervall 10 µs) aufgezeichnet. Die an dem Ohmschen Widerstand abfallende Spannung<br />
wird mit dem Spannungsmessgerät des Eingangs B, der im Kreis fließende Strom wird mit dem<br />
Amperemeter des Eingangs A gemessen.<br />
Achtung: Auf Grenzwerte und Messbereiche achten!<br />
Messreihe 2<br />
Die Spannungsquelle wird über das Menü Einstellungen CASSY eingeschaltet (Zustand 1).<br />
Die Messwertaufnahme wird in dem Menü Messparameter anzeigen von automatischer auf<br />
manuelle Aufnahme umgeschaltet (Abb. 4.1c). Es wird ein Messwert pro Start einer Messung<br />
(4.1)
4.1. CHARAKTERISIERUNG DER OHMSCHEN WIDERSTÄNDE 99<br />
aufgezeichnet. Variiert wird manuell am Drehknopf die anliegende Spannung und es werden<br />
der Spannungsabfall am Ohmschen Widerstand und der Strom aufgezeichnet in einem U-I-<br />
Diagramm. Achtung: Auf Grenzwerte und Messbereiche achten!<br />
a)<br />
12 V<br />
INPUT A<br />
INPUT B<br />
R<br />
S<br />
− +<br />
I<br />
U<br />
U<br />
SENSOR−CASSY 524010<br />
b) c)<br />
Benötigte Geräte:<br />
1 Sensor-CASSY<br />
1 CASSY Lab<br />
1 Rastersteckplatte, DIN A4<br />
1 STE Widerstand 100 Ω !<br />
1 STE Widerstand 47 Ω<br />
1 STE Widerstand 20 Ω<br />
1 STE Widerstand 10 Ω<br />
1 STE Widerstand 5,1 Ω<br />
1 STE Widerstand 1 Ω<br />
3 Paar Kabel, 50 cm rot/blau<br />
Abbildung 4.1: a) Versuchsaufbau zur Charakterisierung des Ohmschen Widerstandes. b)<br />
Messreihe 1. c) Messreihe 2<br />
4.1.4 Versuchsauswertung<br />
Messreihe 1<br />
Bestimmen Sie aus der Häufigkeitsverteilung der Strom- bzw. Spannungsmessung (Abb. 4.1b)<br />
den jeweiligen Mittelwert, die Standardabweichung (statistischer Fehler des Einzelwertes), den<br />
mittleren Fehler des Mittelwertes (Gleichungen 4.1) und berechnen sie den Ohmschen Widerstand
100 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE<br />
sowie den Fehler mittels Fehlerfortpflanzung.<br />
R = U<br />
I , σR<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
=<br />
� �2 1<br />
· σ<br />
I<br />
2 �<br />
U<br />
U +<br />
I 2<br />
�2 · σ2 I,<br />
σR<br />
R =<br />
�<br />
�σU �2 U<br />
+<br />
� �<br />
σI<br />
2<br />
I<br />
Variieren Sie die Anzahl der Messpunkte, wiederholen Sie die Messung und fassen Sie die Ergebnisse<br />
tabellarisch zusammen (Tabelle 4.1)!<br />
Berücksichtigen Sie ebenfalls den systematischen Fehler mittels Fehlerfortpflanzung:<br />
σU,sys = 0, 01 · Ui + 0, 005 · UBereichsendwert<br />
σI,sys = 0, 02 · Ii + 0, 005 · IBereichsendwert<br />
Messpunkte 1000 16000<br />
Messbereich<br />
I (A)<br />
σ I (A)<br />
σI (A)<br />
Messbereich<br />
U (V)<br />
σ U (V)<br />
σU (V)<br />
R ± ∆Rstat ± ∆Rsys (Ω)<br />
Tabelle 4.1: Beispiel einer Ergebnistabelle.<br />
Messreihe 2<br />
Stellen Sie die Messreihe in einem U-I-Diagramm dar und bestimmen Sie mittels linearer Regression<br />
den Wert und Fehler des Ohmschen Widerstandes (Abb. 4.2). In die lineare Regression gehen<br />
die statistischen Fehler der Strom- und Spannungsmessungen ein, die in Messreihe 1 bestimmt<br />
worden sind. Um den systematischen Fehler in R abzuschätzen, verschieben Sie die Messpunkte<br />
mit ihren statistischen Fehlern um die systematischen Fehlern, so dass der Einfluss auf die<br />
Steigung der Ausgleichsgeraden maximal wird (Abbildung 4.2). Systematische Verschiebungen:<br />
bzw.:<br />
Ui,verschoben = Ui − (0, 01 · Ui + 0, 005 · UBereichsendwert)<br />
Ii,verschoben = Ii + (0, 02 · Ii + 0, 005 · IBereichsendwert)<br />
Ui,verschoben = Ui + (0, 01 · Ui + 0, 005 · UBereichsendwert)<br />
Ii,verschoben = Ii − (0, 02 · Ii + 0, 005 · IBereichsendwert)<br />
Geben Sie ihre Ergebnisse zusammenfassend an.<br />
Diskutieren Sie die Ergebnisse der beiden Messreihen und vergleichen Sie diese mit den Herstellerangaben<br />
(Tabelle 4.2).
4.2. AUF- UND ENTLADUNG EINES KONDENSATORS 101<br />
Abbildung 4.2: Messreihe 2: Bestimmung des Ohmschen Widerstandes mittels linearer Regression<br />
(rote, mittlere Kurve) und des systematischen Fehlers (blaue und grüne Kurven).<br />
Ohmscher Widerstand Belastbarkeit Toleranz<br />
1 Ω 2 W 5 %<br />
5,1 Ω 2 W 5 %<br />
10 Ω 2 W 5 %<br />
20 Ω 2 W 5 %<br />
47 Ω 2 W 5 %<br />
100 Ω 2 W 5 %<br />
Tabelle 4.2: Spezifikationen der Ohmschen Widerstände nach Herstellerangaben<br />
4.2 Auf- und Entladung eines Kondensators<br />
4.2.1 Versuchsbeschreibung<br />
Mit diesem Vorversuch sollen die Kapazitäten der Kondensatoren bestimmt werden, die später<br />
bei den Hauptversuchen der LC-Schwingkreise eingesetzt werden! Der bei diesem Vorversuch<br />
verwendete Ohmsche Widerstand muß im vorherigen Vorversuch charakterisiert worden sein!<br />
Wird ein Kondensator an eine Spannungsquelle angeschlossen (Abb. 4.3), so wird er geladen.<br />
Innerhalb einer gewissen Zeit fließen Ladungen auf die Platten (Ladestrom), bis der Kondensator<br />
die gleiche Spannung wie die Quelle hat. Wird dann die Spannungsquelle abgetrennt und die<br />
Kondensatorplatten leitend miteinander verbunden, so entlädt sich der Kondensator, im Kreis<br />
fließt dann für eine gewisse Zeit ein Entladestrom.<br />
Im folgenden wird ein Kondensator über einen Widerstand aufgeladen oder entladen. Es wird
102 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE<br />
der Spannungsabfall am Kondensator sowie der Lade- bzw. Entladestrom gemessen. Daraus kann<br />
die Zeitkonstante τ = R · C bestimmt werden.<br />
+<br />
U0<br />
B<br />
A<br />
I<br />
R<br />
Abbildung 4.3: Schaltung zur Aufnahme von Strom- und Spannungskennlinien bei Lade- und<br />
Entladevorgängen eines Kondensators<br />
Ladevorgang des Kondensators (Schalterstellung A):<br />
Der Ladevorgang beginnt beim Zeitpunkt t = 0, zu diesem Zeitpunkt fließt der maximale Strom<br />
I0 = U0 . Dann wird der Kondensator immer mehr geladen, die sich dabei aufbauende Spannung<br />
R<br />
UC wirkt als Gegenspannung zu U0, so daß der Ladestrom I immer kleiner wird. Wenn UC = U0<br />
geworden ist, kommt der Strom zum Erliegen (I = 0).<br />
Wird von einem beliebigen Punkt ausgehend der Kreis (Abb. 4.3) einmal vollständig umfahren,<br />
muß die Summe aller Spannungen Null ergeben gemäß der Kirchhoffschen Maschenregel. Eine<br />
andere Formulierung der Maschenregel lautet, daß die Summe der anliegenden Spannungen gleich<br />
der Summe der abfallenden Spannungen ist. Es gilt also zu jedem Zeitpunkt:<br />
Wegen C · UC = Q und I = dQ<br />
dt<br />
C<br />
U<br />
C<br />
U0 − UR(t) − UC(t) = 0 → U0 − UC(t) = I(t) · R<br />
gilt dann:<br />
U0 − UC(t) = R · C dUC<br />
(4.2)<br />
dt<br />
Die Differentialgleichung 4.2 wird integriert mit der Randbedingung, daß beim Zeitpunkt t = 0<br />
keine Ladung auf dem Kondensator ist und daher UC(t = 0) = 0 ist. Für den Spannungsabfall<br />
am Kondensator zu einer beliebigen Zeit t gilt dann:<br />
UC(t)<br />
�<br />
0<br />
dUC<br />
U0 − UC<br />
= 1<br />
R · C<br />
�t<br />
0<br />
dt → ln<br />
� �<br />
U0 − UC(t)<br />
U0<br />
= −t<br />
R · C → UC(t) = U0 · � � t<br />
−<br />
1 − e R·C (4.3)<br />
also steigt die Spannung am Kondensator exponentiell mit der Zeit auf U0 an. Damit ergibt sich<br />
für den Ladestrom:<br />
I(t) = dQ<br />
dt<br />
= C · dUC<br />
dt<br />
= U0<br />
R<br />
t<br />
· e− R·C = U0 t<br />
t<br />
−<br />
· e− τ = I0 · e R·C (4.4)<br />
R
4.2. AUF- UND ENTLADUNG EINES KONDENSATORS 103<br />
mit der Zeitkonstanten des RC-Kreises τ = R · C.<br />
Entladevorgang des Kondensators (Schalterstellung B):<br />
Zum Zeitpunkt t = 0 wird die Spannungsquelle durch einen Leiter überbrückt, so daß keine<br />
Spannung mehr am Kreis anliegt und der Kondensator gemäß U0 aufgeladen ist. Dann liefert die<br />
Maschenregel:<br />
Mit Q = C · UC und I = dQ<br />
dt<br />
R · I(t) + UC(t) = 0<br />
folgt die homogene Differentialgleichung:<br />
R · C · dUC(t)<br />
dt + UC(t) = 0 (4.5)<br />
Die Lösung der Differentialgleichung 4.5 erfolgt durch “Separation der Variablen“ unter Berücksichtigung<br />
der Randbedingung (t = 0 → UC = U0):<br />
�UC<br />
U0<br />
dUC<br />
UC<br />
= −1<br />
R · C<br />
�t<br />
0<br />
dt → ln<br />
� �<br />
UC<br />
U0<br />
= −t<br />
R · C<br />
und damit ergibt sich für den zeitabhängigen Spannungsabfall am Kondensator:<br />
Für den Stromverlauf ergibt sich bei der Entladung:<br />
I = dQ<br />
dt<br />
4.2.2 Versuchsaufbau<br />
t<br />
t<br />
− −<br />
UC(t) = U0 · e R·C = U0 · e τ (4.6)<br />
= C · dUC<br />
dt = C · U0 · −1<br />
R · C<br />
t<br />
· e− R·C → I(t) = − U0 t<br />
· e− R·C (4.7)<br />
R<br />
Der Kondensator und der Ohmsche Widerstand werden gemäß Abbildung 4.4 auf der Rastersteckplatte<br />
aufgebaut. Als Spannungsquelle dient die Gleichspannungsquelle S (0-16 V) des Sensor-<br />
CASSY-Interface. Zur Strommessung wird das Amperemeter des Eingangs A und zur Spannungsmessung<br />
das Voltmeter des Eingangs B benutzt. Zur Überbrückung der Spannungsquelle<br />
(Entladevorgang) wird ein Taster parallel zu dem Ohmschen Widerstand und dem Kondensator<br />
geschaltet.<br />
Bei dem Aufladevorgang des Kondensators wird die Spannungsquelle im Menü Einstellungen<br />
CASSY von AUS (0) auf EIN (1) automatisch bei Beginn einer Messung umgeschaltet.<br />
Bei dem Entladevorgang bleibt die Spannungsquelle eingeschaltet (1), wird aber durch den Taster<br />
überbrückt, so das sich der Kondensator über den Widerstand entlädt.
104 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE<br />
12 V<br />
INPUT A<br />
INPUT B<br />
R<br />
S<br />
− +<br />
I<br />
U<br />
U<br />
SENSOR−CASSY 524010<br />
Benötigte Geräte:<br />
1 Sensor-CASSY<br />
1 CASSY Lab<br />
1 Rastersteckplatte, DIN A4<br />
1 STE Widerstand 100 Ω<br />
1 Kondensator 10 µF<br />
1 Kondensator 4,7 µF<br />
1 Kondensator 2,2 µF<br />
1 Kondensator 1 µF<br />
1 Satz Brückenstecker<br />
3 Paar Kabel, 50 cm rot/blau<br />
1 Taster<br />
Abbildung 4.4: Schaltbild zur Aufnahme einer Auf- oder Entladekurve eines Kondensators<br />
4.2.3 Versuchsdurchführung<br />
a) Aufladung<br />
– Ladespannung U0 auf z.B. 5 V einstellen - dazu Drehknopf an Spannungsquelle S<br />
entsprechend einstellen und Ladespannung messen.<br />
– Im Menü Einstellungen CASSY die automatische Umschaltung der Spannungsquelle<br />
von AUS (0) auf EIN (1) bei Start der Messung markieren<br />
– Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs<br />
und die Anzahl auf 500 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 5ms<br />
– Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen weiterhin einen Trigger auf<br />
z.B. IA1 = 0, 04 A, fallende Tendenz einstellen!<br />
– Aufladung mit F9 starten, Ladekurven gemäß Gleichungen 4.4, 4.3 und Abb. 4.5a<br />
aufnehmen<br />
b) Entladung<br />
– Ladespannung U0 auf z.B. 6 V einstellen - dazu Drehknopf an Spannungsquelle S<br />
entsprechend einstellen und Ladespannung messen.<br />
– Im Menü Einstellungen CASSY die Spannungsquelle auf EIN (1) stellen<br />
– Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs<br />
und die Anzahl auf 1000 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 10 ms<br />
– Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen weiterhin einen Trigger auf<br />
UB1 = 5 V, fallende Tendenz einstellen!<br />
– Messung mit F9 starten, Entladekurven gemäß Gleichungen 4.6, 4.7 und Abb. 4.5b<br />
aufnehmen<br />
– Nach Meldung “Triggersignal fehlt“, den Taster zur Überbrückung der Spannungsquelle<br />
betätigen<br />
Achtung: Mögliche Nullpunktsschwankungen der Strom- oder Spannungsmessgeräte korrigieren<br />
im Menü Einstellungen CASSY!
4.2. AUF- UND ENTLADUNG EINES KONDENSATORS 105<br />
a)<br />
b)<br />
Abbildung 4.5: a) Auf- bzw b) Entladekurve eines Kondensators
106 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE<br />
4.2.4 Versuchsauswertung<br />
Für die Bestimmung der Kapazität C werden die Strom- bzw. Spannungsmessreihen logarithmisch<br />
dargestellt. Die statistischen Fehler der Einzelmesswerte der Strom- und Spannungsmessungen<br />
wurden bereits im ersten Vorversuch ermittelt und müssen in die logarithmierte Darstellung<br />
transformiert werden.<br />
S = ln(X) → σS = dS<br />
dX · σX = σX<br />
X<br />
An die jeweilige logarithmierte Messreihe wird mittels linearer Regression eine Gerade y = a·t+b<br />
angepaßt. Für die Kapazität C und den Fehler σC der Kapazität des Kondensators gilt dann:<br />
C = − 1<br />
a · R<br />
→ σC<br />
C =<br />
�<br />
�σa �2 a<br />
+<br />
� �<br />
σR<br />
2<br />
R<br />
Um den systematischen Fehler in C abzuschätzen, verschieben Sie die Messpunkte mit ihren<br />
statistischen Fehlern um die systematischen Fehlern.<br />
σUi,sys = 0, 01 · Ui + 0, 005 · UBereichsendwert<br />
damit ergibt sich für die verschobenen Messwerte:<br />
σIi,sys = 0, 02 · Ii + 0, 005 · IBereichsendwert<br />
Ui,+ = Ui + σUi,sys bzw. Ui,− = Ui − σUi,sys<br />
Ii,+ = Ii + σIi,sys bzw. Ii,− = Ii − σIi,sys<br />
An die nun jeweilige logarithmierte Messreihe wird mittles linearer Regression eine Gerade angepaßt<br />
und die Steigung (a+ bzw. a−) bestimmt (Abbildung 4.6). Es gilt dann:<br />
σsys,+ = a+ − a bzw. σsys,− = a− − a → σa,sys = σsys,+ + σsys,−<br />
2<br />
Der systematische Fehler der Steigung und der des Ohmschen Widerstandes R (erster Vorversuch)<br />
setzen sich wie folgt auf den Fehler der Kapazität fort:<br />
σ a C,sys = 1<br />
a2 · R · σa,sys σ R C,sys = 1<br />
· σR,sys<br />
a · R2 Geben Sie ihre Ergebnisse zusammenfassend an:<br />
C ± σC,stat ± σ a C,sys ± σ R C,sys<br />
Bestimmen Sie dann aus den durch Auf- bzw. Entladung gewonnenen Kapazitäten und deren<br />
statistischen und systematischen Fehlern den Mittelwert und den Fehler der Kapazität mit dem<br />
Verfahren des gewichteten Mittelwertes:<br />
C =<br />
n�<br />
Ci<br />
σ<br />
i=1<br />
2 i<br />
n� 1<br />
σ<br />
i=1<br />
2 i<br />
�<br />
�<br />
� 1<br />
σC = �<br />
� n�<br />
Vergleichen Sie ihre Ergebnisse mit der Erwartung aufgrund der Herstellerangaben (Tabelle 4.3).<br />
i=1<br />
1<br />
σ 2 i
4.3. AUF- UND ENTLADUNG EINER SPULE (OPTIONAL) 107<br />
Abbildung 4.6: Bestimmung der Kapazität mittels linearer Regression (rote, mittlere) Kurve und<br />
des systematischen Fehlers (blaue und grüne Kurven)<br />
Kapazität max. zul. Spannung Toleranz<br />
1 µF 100 V 5 %<br />
2,2 µF 63 V 5 %<br />
4,7 µF 63 V 5 %<br />
10 µF 100 V 5 %<br />
Tabelle 4.3: Spezifikationen der Kondensatoren laut Herstellerangaben<br />
4.3 Auf- und Entladung einer Spule (optional)<br />
Mit diesem Vorversuch sollen die Induktivität L und der innere Ohmsche Widerstand RL der<br />
Spulen bestimmt werden, die später bei den Hauptversuchen der LC-Schwingkreise eingesetzt<br />
werden! Des weiteren soll der Innenwiderstand des Strommessgerätes ermittelt werden, da dieser<br />
später die Dämpfung der freien Schwingung beeinflussen wird.<br />
4.3.1 Versuchsbeschreibung<br />
Eine Spule wird über einen Widerstand aufgeladen oder entladen. Es werden die Spannungsabfälle<br />
an der Spule sowie der Lade- oder Entladestrom gemessen. Daraus kann die Zeitkonstante τ = L<br />
R ,<br />
die Induktivität L und der innere Widerstand RL der Spule bestimmt werden.
108 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE<br />
+<br />
U0<br />
B<br />
A<br />
I<br />
R<br />
Abbildung 4.7: Schaltung zur Aufnahme von Strom- und Spannungskennlinien bei Lade- und<br />
Entladevorgängen einer Spule<br />
L<br />
U<br />
L<br />
Ladevorgang einer Spule (Abbildung 4.7, Schalterstellung A):<br />
Eine Spule wird über einen Ohmschen Widerstand aufgeladen. Bei der Änderung des Stromes im<br />
Kreis ändert sich das Magnetfeld und damit auch der magnetische Fluß im Querschnitt der Spule.<br />
Nach dem Induktionsgesetz wird dann in der Spule selbst eine Induktionsspannung Ui = −L · dI<br />
dt<br />
induziert (Selbstinduktion). Für den bei Änderung des Stromes im Kreis durch Selbstinduktion<br />
auftretenden Spannungsabfall UL an der Spule gilt: UL = L · dI , mit dem Selbstinduktionskoef-<br />
dt<br />
fizienten L (auch Induktivität genannt), der von der geometrischen Gestalt der Spule abhängt.<br />
Für die Induktivität L einer Spule vom Querschnitt A, der Länge l und mit N Windungen gilt<br />
annähernd:<br />
L = µ0 · µr · N 2 · A<br />
l<br />
Nach dem Einschalten wächst I(t) von Null an, wird durch U0 angetrieben und durch Ui behindert.<br />
Die Spannung U0 kann einen maximalen Strom I0 = U0 im Kreis erzeugen. Mit der<br />
R<br />
Kirchhoffschen Maschenregel folgt eine inhomogene lineare Differentialgleichung (DGL) 1. Ordnung:<br />
U0 = L · dI<br />
dt<br />
+ R · I → dI<br />
dt<br />
R U0<br />
+ · I =<br />
L L<br />
Die Lösung einer solchen DGL setzt sich zusammen aus der Summe einer allgemeinen homogenen<br />
Lösung mit einer beliebigen sog. partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung:<br />
I(t) = Ih(t) + Ip(t)<br />
Für Lösung Ih der homogenen DGL ergibt sich:<br />
dI<br />
dt<br />
R<br />
+ · I = 0 →<br />
L<br />
I(t)<br />
�<br />
0<br />
dI<br />
I<br />
= −R<br />
L<br />
�t<br />
0<br />
dt → ln<br />
(4.8)<br />
� �<br />
I(t)<br />
= −<br />
I(0)<br />
R<br />
L · t → Ih(t)<br />
R<br />
−<br />
= Ih(0) · e L ·t
4.3. AUF- UND ENTLADUNG EINER SPULE (OPTIONAL) 109<br />
Ih(0) ist die Integrationskonstante, die durch die Anfangsbedingung festgelegt wird. Für die<br />
inhomogene Lösung Ip folgt:<br />
L · dI<br />
dt + I · R = U0 → Ip = U0<br />
Damit folgt für die Gesamtlösung:<br />
R<br />
R<br />
−<br />
I(t) = Ih(0) · e L ·t + U0<br />
R<br />
Mit der Anfangsbedingung I(0) = 0 folgt: I(0) = Ih(0) + U0<br />
R = 0 und damit Ih(0) = − U0<br />
R .<br />
Der Ladestrom ist dann:<br />
I(t) = U0<br />
R<br />
�<br />
R<br />
−<br />
· 1 − e L ·t�<br />
Dabei ist τ = L die Zeitkonstante des Stromkreises. Für den zeitabhängigen Spannungsabfall UL<br />
R<br />
an der Spule folgt damit:<br />
UL(t) = L · dI<br />
dt = U0<br />
R<br />
−<br />
· e L ·t<br />
Entladevorgang einer Spule (Abbildung 4.7, Schalterstellung B):<br />
(4.9)<br />
(4.10)<br />
Zur Zeit t = 0 wird der Schalter von A nach B gelegt und dadurch die Spannungsquelle durch<br />
Überbrückung abgeschaltet. Im RL-Kreis folgt dann aus der Maschenregel die homogene Differentialgleichung:<br />
mit der Lösung:<br />
L · dI<br />
dt<br />
+ R · I = 0 → dI<br />
dt<br />
R<br />
−<br />
Ih(t) = Ih(0) · e L ·t<br />
R<br />
+ · I = 0 (4.11)<br />
L<br />
mit der Anfangsbedingung, daß zur Zeit t=0 der maximale Strom I(0) = U0<br />
R<br />
I(t) = U0<br />
R<br />
Für den Spannungsabfall an der Spule gilt:<br />
4.3.2 Versuchsaufbau<br />
· e− R<br />
L ·t<br />
R<br />
−<br />
UL(t) = −U0 · e L ·t<br />
fließt, gilt dann:<br />
(4.12)<br />
(4.13)<br />
Die Spule und der Ohmsche Widerstand werden gemäß Abbildung 4.8 auf der Rastersteckplatte<br />
aufgebaut. Die Strommessung erfolgt mit dem Amperemeter des Eingangs A und die Spannungsmessung<br />
mit dem Voltmeter des Eingangs B des Sensor-CASSY-Interface.<br />
Die Spannungsquelle S des Sensor-Cassy-Interface wird bei dem Ladevorgang im Menü Einstellungen<br />
CASSY auf AUS (Zustand 0) gestellt und mit Beginn der Messung automatisch auf<br />
EIN (Zustand 1) geschaltet.<br />
Beim Entladevorgang wird die Spannungsquelle vom eingeschalteten Zustand 1 automatisch bei<br />
Beginn der Messung in den ausgeschalteten Zustand 0 umgeschaltet. Die Datenaufnahme erfolgt<br />
erst nach Erfüllung einer Triggerbedingung.
110 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE<br />
12 V<br />
INPUT A<br />
INPUT B<br />
R<br />
S<br />
− +<br />
I<br />
U<br />
U<br />
SENSOR−CASSY 524010<br />
a) b)<br />
Benötigte Geräte:<br />
1 Sensor-CASSY<br />
1 CASSY Lab<br />
1 Rastersteckplatte, DIN A4<br />
1 STE Widerstand 100 Ω<br />
1 Spule 250, 500 oder 1000 Windungen<br />
1 Experimentierkabel, 50 cm, blau<br />
3 Paar Kabel, 50 cm rot/blau<br />
12 V<br />
INPUT A<br />
INPUT B<br />
R<br />
S<br />
− +<br />
I<br />
U<br />
U<br />
SENSOR−CASSY 524010<br />
Abbildung 4.8: Schaltbild zur a) Aufnahme von Auf- und Entladekurven und Bestimmung des<br />
inneren Ohmschen Widerstandes RL einer Spule und b) Bestimmung des inneren Ohmschen<br />
Widerstandes des Amperemeters.<br />
4.3.3 Versuchsdurchführung<br />
a) Aufladung<br />
– Ladespannung U0 auf etwa 5 V einstellen - dazu Drehknopf an Spannungsquelle S entsprechend<br />
einstellen und Ladespannung messen. Achtung: Grenzwerte beachten!<br />
– Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs<br />
und die Anzahl auf 250 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 2.5 ms<br />
– Spannungsquelle einschalten - dazu in Einstellungen CASSY, Spannungsquelle<br />
S die Eingabe von 0 nach 1 ändern durch automatische Umschaltung bei Beginn der<br />
Messung.<br />
– Aufladung mit F9 starten, Ladekurven gemäß Gleichungen 4.9,4.10 und Abb. 4.9a<br />
aufzeichnen.
4.3. AUF- UND ENTLADUNG EINER SPULE (OPTIONAL) 111<br />
a)<br />
b)<br />
Abbildung 4.9: a) Auf- und b) Entladekurven einer Spule
112 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE<br />
b) Entladung<br />
– Ladespannung U0 auf etwa 5 V einstellen - dazu Drehknopf an Spannungsquelle S entsprechend<br />
einstellen und Ladespannung messen. Achtung: Grenzwerte beachten!<br />
– Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs<br />
und die Anzahl auf 250 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 2.5 ms.<br />
– Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen weiterhin einen Trigger auf<br />
z.B. UB1 = −3 V, steigende Tendenz einstellen!<br />
– Spannungsquelle bei Beginn der Messung ausschalten - dazu in Einstellungen Spannungsquelle<br />
S1 die Eingabe von 1 nach 0 ändern durch automatische Umschaltung<br />
bei Beginn der Messung.<br />
– Entladung mit F9 starten, Entladekurven gemäß Gleichungen 4.12, 4.13 und Abb.<br />
4.9b aufzeichnen.<br />
c) Innerer Ohmscher Widerstand RL der Spule (zusätzliche Widerstände entfernen)<br />
– Spannungsquelle S über das Menü Einstellungen CASSY einschalten (Zustand 1).<br />
– Messwertaufnahme in dem Menü Messparameter anzeigen von automatischer auf<br />
manuelle Aufnahme umschalten (Abb. 4.10a). Es wird ein Messwert pro Start einer<br />
Messung aufgezeichnet.<br />
– Variation der anliegenden Spannung U0 (manuell am Drehknopf), Aufzeichnung des<br />
Spannungsabfalls an der Spule und des Stroms (Abb. 4.10a).<br />
d) Innenwiderstand des Amperemeters des Eingangs A<br />
– Spannungsquelle S über das Menü Einstellungen CASSY einschalten (Zustand 1).<br />
– Messwertaufnahme in dem Menü Messparameter anzeigen von automatischer auf<br />
manuelle Aufnahme umschalten. Es wird ein Messwert pro Start einer Messung aufgezeichnet.<br />
– Variation der anliegenden Spannung U0 (manuell am Drehknopf), Aufzeichnung des<br />
Spannungsabfalls am Amperemeter und des Stroms (Abb. 4.8b und 4.10b).
4.3. AUF- UND ENTLADUNG EINER SPULE (OPTIONAL) 113<br />
a)<br />
b)<br />
Abbildung 4.10: Bestimmung des inneren Ohmschen Widerstandes a) einer Spule, b) des Amperemeters<br />
mittels Ohmschen Gesetzes.
114 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE<br />
4.3.4 Versuchsauswertung<br />
Induktivität L:<br />
Für die Bestimmung der Zeitkonstanten τ = L werden die Strom- bzw. Spannungsmessreihen<br />
R<br />
logarithmisch dargestellt. Die statistischen Fehler der Einzelmesswerte der Strom- und Spannungsmessungen<br />
wurden bereits im ersten Vorversuch ermittelt und müssen in die logarithmierte<br />
Darstellung transformiert werden.<br />
S = ln(X) → σS = dS<br />
dX · σX = σX<br />
X<br />
An die jeweilige logarithmierte Messreihe wird mittels linearer Regression eine Gerade y = a·t+b<br />
angepaßt. Damit ergibt sich für die Induktivität L und deren Fehler σL:<br />
L = − R<br />
a ,<br />
σL<br />
L =<br />
�<br />
�σa �2 a<br />
+<br />
� �<br />
σR<br />
2<br />
R<br />
Um den systematischen Fehler in L abzuschätzen, verschieben Sie die Messpunkte mit ihren<br />
statistischen Fehlern um die systematischen Fehlern.<br />
σUi,sys = 0, 01 · Ui + 0, 005 · UBereichsendwert<br />
damit ergibt sich für die verschobenen Messwerte:<br />
σIi,sys = 0, 02 · Ii + 0, 005 · IBereichsendwert<br />
Ui,+ = Ui + σUi,sys bzw. Ui,− = Ui − σUi,sys<br />
Ii,+ = Ii + σIi,sys bzw. Ii,− = Ii − σIi,sys<br />
An die nun jeweilige logarithmierte Messreihe wird mittles linearer Regression eine Gerade angepaßt<br />
und die Steigung (a+ bzw. a−) bestimmt. Es gilt dann:<br />
σsys,+ = a+ − a bzw. σsys,− = a− − a → σa,sys = σsys,+ + σsys,−<br />
2<br />
Der systematische Fehler der Steigung und der des Ohmschen Widerstandes R (erster Vorversuch)<br />
setzen sich wie folgt auf den Fehler der Induktivität fort:<br />
σ a L,sys = R<br />
· σa,sys σ<br />
a2 R L,sys = 1<br />
· σR,sys<br />
a<br />
Geben Sie ihre Ergebnisse zusammenfassend an L ± σL,stat ± σ a L,sys ± σ R L,sys. Bestimmen Sie dann<br />
aus den durch Auf- bzw. Entladung gewonnenen Induktivitäten und deren Fehlern (statistische<br />
und systematische) den Mittelwert und den Fehler der Induktivität mit dem Verfahren des gewichteten<br />
Mittelwertes:<br />
L =<br />
n�<br />
Li<br />
σ<br />
i=1<br />
2 i<br />
n� 1<br />
σ<br />
i=1<br />
2 i<br />
�<br />
�<br />
� 1<br />
σL = �<br />
� n�<br />
Vergleichen Sie ihre Ergebnisse mit der Erwartung aufgrund der Herstellerangaben.<br />
i=1<br />
1<br />
σ 2 i
4.3. AUF- UND ENTLADUNG EINER SPULE (OPTIONAL) 115<br />
Innerer Widerstand RL der Spule<br />
Methode 1:<br />
Bei den Aufladekurven in Abbildung 4.9a fällt auf, daß der Spannungsabfall an der Spule nicht<br />
exponentiell mit der Zeit gegen Null, sondern gegen einen konstanten Anteil geht. Der Grund<br />
dafür ist der innere Ohmsche Widerstand RL der Spule. Bestimmen Sie aus den Aufladekurven<br />
den Sättigungsstrom I0 und den konstanten an der Spule abfallenden Gleichspannungsanteil UL<br />
und berechnen Sie den inneren Ohmschen Widerstand der Spule:<br />
RL = UL<br />
I0<br />
σRL<br />
RL<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
=<br />
� σUL<br />
Methode 2:<br />
Stellen Sie die manuell aufgenommene Messreihe in einem U-I-Diagramm dar und bestimmen Sie<br />
den Wert und Fehler des inneren Ohmschen Widerstandes RL mittels linearer Regression (Abb.<br />
4.10a). In die lineare Regression gehen die Fehler der Strom- und Spannungsmessungen ein, die<br />
im ersten Vorversuch, Messreihe 1, bestimmt worden sind.<br />
Diskutieren Sie die Ergebnisse der beiden Methoden mitsamt ihrer statistischen und systematischen<br />
Fehler und vergleichen Sie diese mit den Herstellerangaben.<br />
Innenwiderstand Ri des Amperemeters<br />
Stellen Sie die manuell aufgenommene Messreihe in einem U-I-Diagramm dar und bestimmen<br />
Sie den Wert und Fehler des Innenwiderstandes des Amperemeters Ri mittels linearer Regression<br />
(Abb. 4.10b). In die lineare Regression gehen die Fehler der Strom- und Spannungsmessungen<br />
ein, die im ersten Vorversuch, Messreihe 1, bestimmt worden sind. Geben Sie das Ergebnis mit<br />
statistischen und systematischen Fehlern an.<br />
UL<br />
� 2<br />
+<br />
� σI0<br />
I0<br />
� 2
116 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE<br />
4.4 Gedämpfter LC-Schwingkreis<br />
4.4.1 Versuchsbeschreibung<br />
I<br />
R<br />
L<br />
C<br />
Abbildung 4.11 LCR-Schwingkreis<br />
+<br />
U<br />
Wird ein Kondensator C auf die Spannung U0 aufgeladen<br />
und über eine parallel geschaltete Spule<br />
entladen, so müssen zu jeder Zeit die Spannungen<br />
am Kondensator und an der Spule gleich<br />
groß sein, bzw. die Gesamtenergie bei einer freien,<br />
ungedämpften Schwingung muß konstant bleiben.<br />
Die Gesamtenergie ist gleich der Summe der<br />
elektrischen und magnetischen Feldenergien. Ein<br />
tatsächlich aufgebauter Schwingkreis besitzt neben<br />
einer Kapazität C und einer Induktivität L<br />
immer auch einen unvermeidlichen Ohmschen Widerstand<br />
R. Kondensatoren und Spulen sind keine<br />
idealen Bauelemente, sondern weisen neben der<br />
Kapazität bzw. Induktivität auch Ohmschen Widerstände<br />
auf (siehe Anhang 4.6). Diese üben eine<br />
dämpfende Wirkung auf die Schwingung aus und<br />
am Gesamtwiderstand R wird in der Zeit dt die<br />
Stromenergie dE = I 2 · R · dt in Wärme umgewandelt.<br />
Diese wird der Gesamtenergie des Kreises<br />
entzogen.<br />
Die elektrischen Schwingungen lassen sich anregen, indem man entweder den Kondensator entlädt<br />
oder auflädt. Sowohl Auf- wie Entladung werden durch Schwingungsgleichungen mit einem<br />
Dämpfungsterm beschrieben. Es hängt entscheidend vom Dämpfungsterm ab, wie der Einschwingvorgang<br />
auf die angelegte Spannung (U0 bzw. Null) verläuft. Bei kleiner Dämpfung wird<br />
sich die Spannung nach einem Einschwingvorgang am Kondensator einstellen. Bei sehr starker<br />
Dämpfung kommt es zu keiner Schwingung und der Kondensator erreicht sehr langsam die<br />
angelegte Spannung. Zwischen diesen beiden Fällen gibt es einen Spezialfall, bei dem sich die<br />
Spannung ohne Schwingung nach kürzester Zeit auf den richtigen Wert einstellt.<br />
Diese Situationen entsprechen vollkommen den mechanischen freien Schwingungen. Analoge Beziehung<br />
bzw. Bezeichnungen mechanischer und elektromagnetischer Schwingungen sind in Tabelle<br />
4.4 aufgezeigt.
4.4. GEDÄMPFTER LC-SCHWINGKREIS 117<br />
Schwingungen<br />
mechanische elektromagnetische<br />
d2y dt2 + b dy c · + · y = 0<br />
m dt m<br />
Differentialgleichung DGL:<br />
d2Q dt2 + R dQ 1 · + · Q = 0<br />
L dt L·C<br />
y Elongation Q elektrische Ladung<br />
m Masse L Induktivität<br />
b Dämpfungskonstante R Ohmscher Widerstand<br />
c Federkonstante 1/C inverse Kapazität<br />
Geschwindigkeit: v = dy<br />
dt<br />
ω0 =<br />
δ = b<br />
2m<br />
=<br />
Stromstärke: I = dQ<br />
dt<br />
Kreisfrequenz ohne Dämpfung:<br />
�<br />
c/m ω0 =<br />
�<br />
1/(LC)<br />
Abklingkoeffizient, Dämpfungskonstante:<br />
δ = R<br />
Kreisfrequenz: ω =<br />
�<br />
c/m − b 2 /(4m 2 ) =<br />
D = δ<br />
ω0<br />
= b<br />
2 · � 1<br />
mc<br />
2L<br />
Dämpfungsgrad:<br />
�<br />
ω 2 0 − δ 2<br />
�<br />
1/(LC) − R 2 /(4L 2 )<br />
D = δ<br />
ω0<br />
= R<br />
2 ·<br />
� C<br />
L<br />
Potentielle Energie: Elektrostatische Energie:<br />
Epot = 1<br />
2cy2 EC = 1<br />
2<br />
Q 2<br />
C<br />
= 1<br />
2 CU 2 C<br />
Kinetische Energie: Magnetische Energie:<br />
Ekin = 1<br />
2 mv2 EL = 1<br />
2 LI2<br />
Güte (wird meist auch mit Q bezeichnet):<br />
Q = 1<br />
2D = √ mc/b Q = 1<br />
2D<br />
= 1<br />
R ·<br />
�<br />
L/C<br />
Tabelle 4.4: Analogien zwischen mechanischen und elektromagnetischen Schwingungen
118 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE<br />
Differentialgleichung für freie elektrische Schwingung:<br />
An eine Gleichspannung U0 wird eine Serienschaltung von R, L und C angeschlossen. Nach der<br />
Kirchhoffschen Maschenregel ist U0 gleich der Summe aller Spannungsabfälle an den Komponenten<br />
R, L und C:<br />
U0 = UR + UL + UC = R · I + L dI<br />
dt<br />
Wegen I = dQ/dt gilt dann für die elektrische Ladung:<br />
L · d2Q dQ<br />
+ R ·<br />
dt2 dt<br />
+ Q<br />
C .<br />
+ Q<br />
C = U0. (4.14)<br />
Weil eine so aufgebaute Differentialgleichung (DGL) für alle freien gedämften Schwingungen gilt,<br />
bei denen die Schwingungsamplituden nicht so groß werden, dass nicht-lineare Terme berücksichtigt<br />
werden müssen, schreibt man:<br />
mit<br />
δ = R<br />
2L<br />
d2Q dQ<br />
+ 2 δ<br />
dt2 dt + ω2 0 Q = U0<br />
. (4.15)<br />
L<br />
und ω0 = 1<br />
√ LC<br />
(4.16)<br />
δ heißt Abklingkoeffizient, Dämpfungskonstante (in s −1 ) und ist ein Maß für die Dämpfung;<br />
ω0 ist die Kreisfrequenz der ungedämpften freien Schwingung.<br />
Das Verhältnis von Abklingkoeffizient und Kreisfrequenz ist dimensionslos und heißt Dämpfungsgrad<br />
D der gedämpften Schwingung:<br />
D = δ<br />
ω0<br />
= R<br />
2 ·<br />
�<br />
C<br />
L .<br />
d = 2 ·D ist der Verlustfaktor und das Inverse davon die Güte:<br />
Q = 1 1<br />
=<br />
2D R ·<br />
�<br />
L<br />
. (4.17)<br />
C<br />
Der gesamte Ohmsche Widerstand R des Schwingkreises, in dem unter anderem auch der Ohmsche<br />
Widerstand der Spule enthalten ist, trägt zu Energieverlusten bei. Durch diese Dämpfung<br />
verringern sich die Kreisfrequenz und die Güte des Schwingkreises.<br />
Gleichung 4.15 ist eine inhomogene lineare DGL 2. Ordnung. Die allgemeine Lösung dieser DGL<br />
ist die Summe aus der allgemeinen Lösung der homogenen und einer beliebigen Lösung der<br />
inhomogenen Gleichung: Q(t) = Qh(t) + Qp(t). Qp(t) nennt man partikuläre Lösung. Die Gesamtlösung<br />
enthält zwei Integrationskonstanten, die durch die Anfangsbedingungen des Schwingungsproblems<br />
bestimmt werden müssen.
4.4. GEDÄMPFTER LC-SCHWINGKREIS 119<br />
Lösung der homogenen Differentialgleichung<br />
Die homogene Differentialgleichung<br />
wird gelöst durch den Ansatz:<br />
d2Q dQ<br />
+ 2 δ<br />
dt2 dt + ω2 0 Q = 0 (4.18)<br />
Q(t) = Q0 · e λt ˙ Q(t) = λ · Q(t) ¨ Q(t) = λ 2 · Q(t)<br />
Einsetzen in die Differentialgleichung liefert:<br />
mit den Lösungen:<br />
(λ 2 + 2δλ + ω 2 0) · Q(t) = 0 → λ 2 + 2δλ + ω 2 0 = 0<br />
λ1,2 = −δ ±<br />
�<br />
δ 2 − ω 2 0 = −δ ± √ − ω 2 = − δ ± iω (4.19)<br />
mit ω 2 = ω 2 0 − δ 2 . Die allgemeine Lösung der homogenen DGL orientiert sich daran, ob der<br />
Dämpfungsgrad D größer, gleich oder kleiner als 1 ist. Allgemein gilt:<br />
Qh(t) = A · e λ1t + B · e λ2t<br />
Die homogene DGL entspricht dem Fall, dass keine Spannung anliegt. Die Lösungen dieser Gleichung<br />
beschreiben folglich die Entladung eines bereits aufgeladenen Kondensators. Das muss<br />
bei den Randbedingungen berücksichtigt werden. Für die drei folgenden Situationen haben die<br />
Randbedingungen für die exakte Lösung immer die gleiche Form:<br />
Kriechfall (δ > ω0, D > 1)<br />
Qh(0) = Q0 = CU0 und<br />
dQh<br />
dt |(0) = I(0) = 0 (4.20)<br />
Beim Kriechfall ist die Dämpfung so stark, dass der Kondensator sehr langsam entladen wird<br />
und nur asymptotisch seine Spannung verliert. Es findet keine Schwingung statt!<br />
Mit den beiden Integrationskonstanten folgt:<br />
Qh(t) = A · e<br />
�<br />
−δ+ √ δ 2 −ω 2 0<br />
�<br />
t<br />
+ B · e<br />
�<br />
−δ− √ δ 2 −ω 2 0<br />
Mit den Randbedingungen ergibt sich für die Konstanten in Gleichung 4.21:<br />
�<br />
δ +<br />
A = CU0 · �<br />
2<br />
δ 2 − ω 2 0<br />
δ 2 − ω 2 0<br />
−δ +<br />
, B = CU0 · �<br />
2<br />
�<br />
t<br />
�<br />
δ 2 − ω 2 0<br />
δ 2 − ω 2 0<br />
(4.21)<br />
Abb. 4.11 zeigt für R = 320 Ω, L = 9,0 mH und C = 2,2 µF den Spannungsabfall am Kondensator<br />
und den Strom I. Der Kondensator war zu Beginn geladen mit einer Spannung von 10 V.<br />
Beim Kriechfall stellt sich die Spannung nur sehr langsam und ohne überzuschwingen ein. Auch
120 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE<br />
Spannung (V)<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
-2<br />
-4<br />
-6<br />
-8<br />
Aperiodischer Grenzfall<br />
Schwingfall<br />
Kriechfall<br />
-10<br />
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005<br />
Zeit (s)<br />
Strom (A)<br />
0.15<br />
0.1<br />
0.05<br />
0<br />
-0.05<br />
-0.1<br />
Schwingfall<br />
Kriechfall<br />
Aperiodischer Grenzfall<br />
-0.15<br />
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005<br />
Abbildung 4.11: Kondensatorspannung und Strom beim Entladen (Schwingfall, Kriechfall und<br />
Aperiodischer Grenzfall)<br />
der Entladestrom schwingt nicht über und bleibt relativ klein.<br />
Aperiodischer Grenzfall (δ = ω0, D = 1)<br />
Beim aperiodischen Grenzfall wird die Dämpfung so gering, dass der Kondensator in der kürzesten<br />
Zeit entladen wird. Auch in diesem Fall kommt es zu keinen Schwingungen. Der Strom zeigt ebenfalls<br />
keine Schwingungen, ist aber wegen der kürzeren Entladungszeit größer als der im Kriechfall.<br />
Wegen δ = ω0 verschwindet in Glg. 4.19 die Wurzel. Damit man für die einzustellenden Anfangsbedingungen<br />
wieder zwei Integrationskonstanten zur Verfügung hat, nimmt die Lösung folgende<br />
allgemeine Form an (mit den Anfangsbedingungen folgt: A = CU0 und B = δA):<br />
Qh(t) = e −δt · (A + Bt) → Qh(t) = CU0 · e −δt · (1 + δ · t) (4.22)<br />
UC(t) = U0 · e −δt · (1 + δ · t) und I(t) = −δ 2 e −δt CU0 · t (4.23)<br />
Abb. 4.11 zeigt für den gleichen Schwingkreis neben dem Kriechfall � auch den aperiodischen<br />
Grenzfall. Der Ohmsche Widerstand beträgt hier jedoch R = 2· L/C = 127,9 Ω.<br />
Schwingfall (δ < ω0, D < 1)<br />
Wenn die Dämpfung noch kleiner wird, stellt sich die Spannung am Kondensator erst nach einem<br />
Einschwingvorgang auf den endgültigen Wert ein. Die Wurzel im Exponenten von Glg. 4.19 wird<br />
jetzt rein imaginär. Die allgemeine Lösung nimmt dann die folgende Form an:<br />
Qh(t) = e −δt · �<br />
A ′ e iωt + B ′ e −iωt�<br />
Zeit (s)
4.4. GEDÄMPFTER LC-SCHWINGKREIS 121<br />
In dieser Relation ist sowohl Real- wie auch Imaginärteil Lösung der DGL. Man kann daher mit<br />
anderen Integrationskonstanten schreiben:<br />
Qh(t) = e −δt · (A cos ωt + B sin ωt)<br />
Mit den bekannten Anfangsbedingungen (Glg. 4.20) findet man A = CU0 und B = Aδ/ω, also:<br />
Qh(t) = CU0 · e −δt ·<br />
�<br />
cos ωt + δ<br />
�<br />
sin ωt<br />
ω<br />
(4.24)<br />
Abb. 4.11 zeigt für den gleichen Schwingkreis, jedoch mit einem kleineren Ohmschen Widerstand<br />
(R = 12, 8Ω) die Situation, bei der es deutlich zu einem Überschwingen kommt.<br />
Bei kleiner Dämpfung verläuft Qh(t) und damit auch UC(t) annähernd wie ein Cosinus. Der<br />
Strom ergibt sich durch die Zeitableitung von Glg. 4.24 und hat die Form eines gedämpften<br />
Sinus:<br />
UC(t) = U0 · e −δt �<br />
· cos ωt + δ<br />
�<br />
sin ωt<br />
(4.25)<br />
ω<br />
I(t) = − CU0 · e −δt ·<br />
�<br />
ω + δ2<br />
ω<br />
�<br />
· sin ωt (4.26)<br />
Zwischen beiden hat man also ungefähr eine Phasenverschiebung von π/2. Der Strom eilt der<br />
Spannung voraus.<br />
Lösung der inhomogenen Differentialgleichung<br />
Wenn nicht die Entladung sondern die Aufladung des Kondensators in einem Schwingkreis untersucht<br />
wird, muss die inhomogene DGL 4.15 gelöst werden. Dies geschieht, indem man eine<br />
beliebige partikuläre Lösung dieser Glg. sucht. Da in diesem Fall der inhomogene <strong>Teil</strong> eine<br />
Konstante ist, erfüllt Qp = CU0 die DGL. Zu allen allgemeinen Lösungen der homogenen DGL<br />
tritt der partikuläre <strong>Teil</strong> additiv hinzu. Bei allen drei im folgenden aufgeführten Fällen sind die<br />
Anfangsbedingungen gegeben durch:<br />
Kriechfall (δ > ω0, D > 1)<br />
Die allgemeine Lösung lautet:<br />
Q(0) = 0 und<br />
Q(t) = CU0 + A · e<br />
�<br />
−δ+ √ δ 2 −ω 2 0<br />
�<br />
t<br />
dQ(0)<br />
dt<br />
+ B · e<br />
= I(0) = 0<br />
�<br />
−δ− √ δ 2 −ω 2 0<br />
Mit den Anfangsbedingungen findet man für die Integrationskonstanten:<br />
�<br />
δ +<br />
A = −CU0 · �<br />
2<br />
δ 2 − ω 2 0<br />
δ 2 − ω 2 0<br />
�<br />
δ −<br />
B = CU0 · �<br />
2<br />
�<br />
t<br />
δ 2 − ω 2 0<br />
δ 2 − ω 2 0
122 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE<br />
Spannung (V)<br />
20<br />
18<br />
16<br />
14<br />
12<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
Schwingfall<br />
Kriechfall<br />
Aperiodischer Grenzfall<br />
0<br />
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005<br />
Zeit (s)<br />
Strom (A)<br />
0.15<br />
0.1<br />
0.05<br />
0<br />
-0.05<br />
-0.1<br />
-0.15<br />
Aperiodischer Grenzfall<br />
Kriechfall<br />
Schwingfall<br />
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005<br />
Abbildung 4.12: Kondensatorspannung und Strom beim Aufladen (Schwingfall, Kriechfall und<br />
Aperiodischer Grenzfall)<br />
Aperiodischer Grenzfall (δ = ω0, D = 1)<br />
Allgemeine Lösung:<br />
Q(t) = CU0 + e −δt · (A + Bt)<br />
Mit den Integrationskonstanten A = −CU0 und B = δA folgt für die Lösung:<br />
Schwingfall (δ < ω0, D < 1)<br />
Allgemeine Lösung:<br />
Q(t) = CU0 · �<br />
1 − e −δt · (1 + δ · t) �<br />
Q(t) = CU0 + e −δt · (A cos ωt + B sin ωt)<br />
Mit den Anfangsbedingungen folgt für die Lösung:<br />
Q(t) = CU0 ·<br />
und damit für Spannung UC und Strom I:<br />
�<br />
1 − e −δt ·<br />
�<br />
cos ωt + δ<br />
��<br />
sin ωt<br />
ω<br />
�<br />
UC(t) = U0 · 1 − e −δt �<br />
· cos ωt + δ<br />
��<br />
sin ωt<br />
ω<br />
I(t) = CU0 · e −δt �<br />
· ω + δ2<br />
�<br />
sin ωt<br />
ω<br />
Zeit (s)
4.4. GEDÄMPFTER LC-SCHWINGKREIS 123<br />
Elektrische und Magnetische Energie<br />
Der Energiesatz ist ein erstes Integral der zugrunde liegenden Bewegungsgleichung (Differentialgleichung).<br />
Daher kann man aus dem Energiesatz wieder die DGL herleiten.<br />
Wenn im Schwingkreis ein Strom fließt, sorgt der Ohmsche Widerstand für Verluste durch Umwandlung<br />
der Energie in Wärme. Wenn Eges die zur Zeit t noch vorhandene Gesamtenergie ist,<br />
beträgt die Verlustleistung: − dEges<br />
dt = I · UR = I2 · R<br />
Die Gesamtenergie des Schwingkreises setzt sich zu jedem Zeitpunkt aus der Summe der magnetischen<br />
(Induktivität) und der elektrostatischen Energien (Kapazität) zusammen:<br />
Eges = 1<br />
2 LI2 + 1<br />
2<br />
Mit der Verlustleistung und mit I = dQ/dt folgt:<br />
− d<br />
�<br />
1<br />
dt<br />
2 LI2 + 1<br />
2<br />
Q2 �<br />
C<br />
Diese Gleichung ist identisch mit Glg. 4.14.<br />
Q 2<br />
C<br />
= I 2 R → L · d2Q dQ<br />
+ R ·<br />
dt2 dt<br />
+ 1<br />
C<br />
· Q = 0<br />
Während des Entladeprozesses, aber auch während des Aufladeprozesses, schwingt die Energie<br />
zwischen der magnetischen Feldenergie der Spule Emagn = 1<br />
2LI2 und der elektrischen Feldenergie<br />
des Kondensators Eel = 1 Q<br />
2<br />
2<br />
hin und her. Bei sehr kleinem Dämpfungsgrad (D
124 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE<br />
mit<br />
ω = 2π · f =<br />
�<br />
ω 2 0 − δ 2 , ω0 =<br />
1<br />
√ L · C<br />
und δ = R<br />
2 · L<br />
(4.28)<br />
Wurde der Vorversuch zur Charakterisierung der Spulen nicht durchgeführt, müssen die Spulen<br />
mit Hilfe der Ergebnisse der Schwingungsversuche charakterisiert werden. Mit den Gleichungen<br />
4.28 folgt:<br />
L =<br />
4.4.2 Versuchsaufbau<br />
1<br />
(ω 2 + δ 2 ) · C<br />
und R =<br />
2δ<br />
(ω 2 + δ 2 ) · C<br />
Der Schwingkreis wird gemäß Abbildung 4.13 auf der Rastersteckplatte aufgebaut. Der Strom<br />
fließt durch Eingang A des Sensor-CASSYs und die Kondensatorspannung wird an Eingang B<br />
gemessen. Zu Beginn des Experiments wird der Kondensator aus der Spannungsquelle S aufgeladen.<br />
Zum Start der Schwingung wird der Taster gedrückt, welcher dabei die Spannungsquelle<br />
S kurzschließt.<br />
12 V<br />
INPUT A<br />
INPUT B<br />
R<br />
S<br />
− +<br />
I<br />
U<br />
U<br />
SENSOR−CASSY 524010<br />
Benötigte Geräte:<br />
1 Sensor-CASSY<br />
1 CASSY Lab<br />
1 Rastersteckplatte, DIN A4<br />
1 Kondensator 1 µF<br />
1 Kondensator 2,2 µF<br />
1 Kondensator 4,7 µF<br />
1 Kondensator 10 µF<br />
1 Spule 250 Windungen<br />
1 Spule 500 Windungen<br />
1 Spule 1000 Windungen<br />
1 Satz Brückenstecker<br />
3 Paar Kabel, 50 cm rot/blau<br />
1 Taster<br />
Abbildung 4.13: Schaltbild zur Aufnahme von freien, gedämpften Auflade- bzw. Entlade-<br />
Schwingungen<br />
4.4.3 Versuchsdurchführung<br />
• Ladespannung U0 am Kondensator auf etwa 6 V einstellen - dazu Spannungsquelle S entsprechend<br />
einstellen<br />
• Spannungsquelle S auf EIN (1) bei Messung Entladevorgang, auf AUS (0) mit automatischer<br />
Umschaltung auf EIN (1) bei Beginn der Messung des Ladevorgangs.
4.4. GEDÄMPFTER LC-SCHWINGKREIS 125<br />
a)<br />
b)<br />
Abbildung 4.14: a) Auflade- bzw. b) Entlade-Schwingungen
126 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE<br />
• Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs und die<br />
Anzahl auf 2000 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 20 ms<br />
• Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen weiterhin einen Trigger auf z.B.<br />
UB1 = 5 V, fallende Tendenz (Entladevorgang) bzw. UB1 = 0, 5 V, steigende Tendenz<br />
(Ladevorgang) einstellen!<br />
• Messung mit F9 starten (wartet dann auf Triggersignal)<br />
• Schwingkreis mit Taster schließen (erzeugt Triggersignal)<br />
4.4.4 Versuchsauswertung<br />
Zur Sichtbarmachung der Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung normiert man die<br />
beiden gemessenen Verläufe I(t) und UC(t) und stellt sie graphisch in einem Diagramm dar oder<br />
vergleicht z.B. die Nulldurchgänge der Spannungsmesung mit der Lage der Maxima der Strommessung<br />
(Abbildung 4.14b).<br />
Die Frequenz f der Schwingung lässt sich am leichtesten im Frequenzspektrum ermitteln, welches<br />
mittels einer Fouriertransformation der gemessenen Kondensatorspannung UB1 bzw. dem<br />
gemessenen Strom IA1 bestimmt werden kann und dann die Frequenz f z.B. mit der Peakschwerpunktsmethode<br />
oder mit der PeakfinderFanomethode berechnet wird (Abbildung 4.15a).<br />
Die Dämpfungskonstante δ ergibt sich aus der Anpassung einer Einhüllenden an die Messung<br />
UC(t) (Abbildung 4.15b).<br />
Bestimmen Sie die Kreisfrequenz ω, die Dämpfungskonstante δ und vergleichen Sie ihre Ergebnisse<br />
mit den Vorhersagen gemäß den Ergebnissen der Voruntersuchungen, eingesetzt in<br />
die Gleichungen 4.28. Aufgrund der Umpolarisierung des Dielektrikums des Kondensators und<br />
der Ummagnetisierung des Spulenmaterials durch die Wechselspannung bzw. Wechselstrom der<br />
Schwingung treten zusätzliche Verlustwiderstände auf (siehe Anhang 4.6). Berücksichtigen Sie<br />
den Beitrag der Verlustwiderstände zu den Ergebnissen der Voruntersuchungen und vergleichen<br />
Sie dies mit ihren Ergebnissen.<br />
a) b)<br />
Abbildung 4.15: Beispielmessung einer freien, gedämpften Schwingung (C = 2, 2 µF, Spule mit<br />
500 Windungen (L = 9 mH, RL = 2, 2 Ω)). a) Frequenzspektrum mittels Fouriertransformation,<br />
Anpassung mittels Fanofunktion, b) Anpassung einer Einhüllenden an UC(t)
4.5. GEKOPPELTE LC-SCHWINGKREISE 127<br />
4.5 Gekoppelte LC-Schwingkreise<br />
4.5.1 Versuchsbeschreibung<br />
Ein elektrischer Schwingkreis 1 kann induktiv mit einem zweiten erregten Schwingkreis 2 koppeln.<br />
Der Kreis 1 wird dadurch zu erzwungenen Schwingungen erregt. Die Resonanz tritt auf,<br />
wenn ω1 = ω2 ist. Dann wird die Erscheinung der Schwebung beobachtet: Die Schwingungsenergie<br />
pendelt zwischen den Kreisen hin und her (gekoppelte Schwingungen).<br />
Bei diesem Versuch werden die Fundamentalschwingungen und die Schwebung der gekoppelten<br />
Schwingkreise aufgezeichnet. Dazu wird das Frequenzspektrum der gekoppelten Schwingkreise<br />
mit dem Spektrum eines ungekoppelten Schwingkreises verglichen. Das fouriertransformierte<br />
Signal der gekoppelten Schwingkreise zeigt die Aufspaltung in zwei symmetrisch um das ungekoppelte<br />
Signal liegende Verteilungen, deren Abstand von der Kopplung der Schwingkreise<br />
abhängt.<br />
Ausgehend von den Differentialgleichungen der gekoppelten Schwingkreise:<br />
Ï1 + k · Ï2 + I1<br />
L · C<br />
Ï2 + k · Ï1 + I2<br />
L · C<br />
= 0 (4.29)<br />
= 0 (4.30)<br />
mit Kopplung k (0 < k < 1) folgen die beiden Eigenfrequenzen ω+ und ω− zu<br />
ω0<br />
√ 1 + k = ω+ < ω0 < ω− = ω0<br />
√ 1 − k .<br />
Insbesondere ist die Schwingungsfrequenz des gekoppelten Systems gleich (für kleine k).<br />
→ k1 =<br />
� �2 ω0<br />
ω+<br />
− 1, k2 = 1 −<br />
ω+ + ω−<br />
2<br />
� ω0<br />
ω−<br />
=<br />
ω0<br />
√ 1 − k 2<br />
≈ ω0<br />
�2 � �<br />
2ω0<br />
, σk = ·<br />
1/2<br />
ω+/−<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� σω0<br />
ω+/−<br />
� 2<br />
+<br />
� ω0<br />
ω+/−<br />
� 2<br />
·<br />
� σω +/−<br />
Hinweis:<br />
Die Aufspaltung in zwei exakt gleich große Signale gelingt nur bei genau gleichen Schwingkreisen.<br />
Durch Toleranzen der Induktivitäten L und der Kapazitäten C ist das nicht immer genau gegeben.<br />
Es sollen die Kondensatoren und Spulen verwendet werden, die bei den Voruntersuchungen<br />
und den freien gedämpften Schwingungen charakterisiert worden sind.<br />
Die Kopplungen k1 und k2 werden aus den beiden Frequenzen der Fundamentalschwingungen<br />
(Moden) f1 und f2 berechnet und sollten innerhalb der Fehler den gleichen Zahlenwert für die<br />
Kopplung ergeben. Für die im weiteren Verlauf gezeigten Messungen trifft das zu, wenn σω0 ≈<br />
σω +/− ≈ 10 Hz beträgt. Dann findet man k1 = 0,109, k2 = 0,133 und σk = 0,029.<br />
ω+/−<br />
� 2
128 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE<br />
4.5.2 Analogie zu gekoppelten Pendeln in der Mechanik<br />
Die Situation der induktiv gekoppelten elektrischen Schwingkreise entspricht der von gekoppelten<br />
Pendeln (<strong>Teil</strong> I, Mechanik), mit dem Unterschied, dass die Kopplung bei den Schwingkreisen<br />
durch Spannungen hervorgerufen wird, die in den Spulen induziert werden. In den Differentialgleichungen<br />
treten daher Terme der Form kL · ˙ I auf. Die Konstante k gibt den Kopplungsgrad<br />
an. Das führt im Gegensatz zu gekoppelten Pendeln dazu, dass die Kopplungsstärke für beide<br />
Fundamentalschwingungen eine Rolle spielt.<br />
Bei Schwingkreisen, die mit identischen Komponenten aufgebaut werden, gelten die Differentialgleichungen<br />
(Summen der Spannungen verschwinden):<br />
� I1<br />
C · dt + L · I1<br />
˙ + kL · ˙ I2 = 0 (Schwingkreis 1)<br />
�<br />
I2<br />
C · dt + L · I2<br />
˙ + kL · ˙ I1 = 0 (Schwingkreis 2)<br />
Hier wurden Dämpfungsterme zunächst vernachlässigt. Differentiation nach der Zeit führt zu<br />
der Standardform der gekoppelten Differentialgleichungen (Gleichungen 4.29, 4.30). Addition<br />
der Gleichungen 4.29 und 4.30 ergibt:<br />
Durch Umformung findet man:<br />
( Ï1 + Ï2) + 1<br />
L C · (I1 + I2) + k · ( Ï1 + Ï2) = 0<br />
Ï+ +<br />
1<br />
LC · (1 + k) · I+ = 0<br />
wobei I+ = I1 + I2 einer der beiden ’Fundamentalströme’ ist. Daraus erhält man die Kreisfrequenz<br />
dieser Fundamentalschwingung:<br />
ω+ =<br />
1<br />
�<br />
LC · (1 + k) =<br />
ω0<br />
√ 1 + k<br />
(4.31)<br />
ω0 = 1/ √ LC ist dabei die Kreisfrequenz jedes der Schwingkreise ohne Kopplung. Diese Fundamentalschwingung<br />
kann angeregt werden, wenn man in der Schaltung beide Kondensatoren in<br />
der Art auflädt, dass die Ströme I1 und I2 parallel durch die Spulen fließen (Abbildung 4.16a).<br />
In gleicher Weise ergibt Subtraktion der beiden Gleichungen:<br />
Ï− +<br />
1<br />
LC · (1 − k) · I− = 0<br />
wobei I− = I1 − I2 der zweite ’Fundamentalstrom’ ist.<br />
Diese Fundamentalschwingung hat die Kreisfrequenz:<br />
ω− =<br />
1<br />
�<br />
LC · (1 − k) =<br />
ω0<br />
√ 1 − k<br />
(4.32)
4.5. GEKOPPELTE LC-SCHWINGKREISE 129<br />
a)<br />
U C1<br />
C<br />
1<br />
+ U0<br />
L<br />
C<br />
L<br />
1 2 2<br />
+<br />
U 0<br />
U<br />
C2<br />
b)<br />
U C1<br />
C<br />
1<br />
+ U0<br />
L<br />
C<br />
L<br />
1 2 2<br />
Abbildung 4.16: Fundamentalschwingungen zweier gekoppelter Schwingkreise a) gleichsinnige<br />
und b) gegensinnige Anregung<br />
Diese Schwingung kann angeregt werden, wenn man in der Schaltung die Kondensatoren entgegengesetzt<br />
aufgeladen werden, so dass die Ströme in entgegengesetzter Richtung durch die Spulen<br />
fließen (Abbildung 4.16b).<br />
Beide Fundamentalschwingungen zeigen, wie in der Mechanik, keine Schwebungserscheinungen<br />
sondern wegen der Dämpfung einen einfachen exponentiellen Abfall der maximalen Amplituden.<br />
Die Strom-Kombination I+ entspricht dem Fall gleichsinnig ausgelenkter Pendel; dies führt zu<br />
einer kleinen Schwingungsfrequenz. I− dagegen entspricht den gegensinnig ausgelenkten Pendeln<br />
(die Kopplung wirkt sich dann stärker aus) und führt zu einer größeren Schwingungsfrequenz.<br />
Wenn man die Frequenzen der Fundamentalschwingungen und vielleicht der nicht-gekoppelten<br />
Schwingkreise gemessen hat, kann man mit Hilfe der Gleichungen 4.31 und 4.32 den Kopplungsgrad<br />
der Schwingkreise bestimmen:<br />
k = f 2 − − f 2 +<br />
f 2 − + f 2 +<br />
= ω2 − + ω 2 + − 2 · ω 2 0<br />
ω 2 − − ω 2 +<br />
Wenn durch die Wahl der Anfangsbedingungen ’Schwebung’ eingestellt wird, ergibt sich wie<br />
in der Mechanik durch die Mittelung der Schwingungsfrequenzen f+ unf f− die Frequenz der<br />
gekoppelten Schwingung:<br />
fk = f− + f+<br />
2<br />
≈ f0 ,<br />
und aus der halben Differenz erhält man die Frequenz der Schwebung:<br />
fschw = f− − f+<br />
.<br />
2<br />
Berücksichtigung der Dämpfung (einige wichtige Relationen):<br />
Die Differentialgleichungen für die beiden Fundamentalschwingungen haben dann folgende Form:<br />
Mit den Definitionen<br />
Ï+ +<br />
Ï− +<br />
β± =<br />
R<br />
· ˙<br />
1<br />
I+ +<br />
L(1 + k) LC · (1 + k) · I+ = 0<br />
R<br />
· ˙<br />
1<br />
I− +<br />
L(1 − k) LC · (1 − k) · I− = 0<br />
R<br />
2L(1 ± k) , ω2 ±0 =<br />
1<br />
LC(1 ± k)<br />
+<br />
U 0<br />
U<br />
C2
130 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE<br />
folgt:<br />
Die Lösungen der Gleichungen 4.33 sind:<br />
ϱ + 2β± · ˙<br />
I± + ω 2 ±0 · I± = 0 (4.33)<br />
I± = e −β±t · (a± sin ω±t + b± cos ω±t)<br />
mit den Kreisfrequenzen ω2 ± = ω2 ±0 −β 2 ±. Die Größen a± und b± sind vier Integrationskonstanten,<br />
die durch die Anfangsbedingungen festgelegt werden.<br />
Die messbaren Größen sind nicht die Kombinationen I±, sondern die Ströme und z. B. Kondensatorspannungen<br />
in den beiden Schwingkreisen. Die Kondensatorspannungen sollen jetzt<br />
andeutungsweise berechnet werden. Die Ströme in den Schwingkreisen berechnen sich durch<br />
I1 = (I+ + I−)/2 bzw. I2 = (I+ − I−)/2. Daraus lassen sich die gesuchten Spannungen (etwas<br />
aufwendig) berechnen:<br />
U1/2 = 1<br />
C ·<br />
= 1<br />
C<br />
± 1<br />
C<br />
�<br />
I1/2dt<br />
· e−β+t<br />
ω 2 +0<br />
· e−β−t<br />
ω 2 −0<br />
· { a+<br />
2 · (−β+ sin ω+t − ω+ cos ω+t)<br />
+ b+<br />
2 · (−β+ cos ω+t + ω+ sin ω+t)}<br />
· { a−<br />
2 · (−β− sin ω−t − ω− cos ω−t)<br />
+ b−<br />
2 · (−β− cos ω−t + ω− sin ω−t)}<br />
Die Anfangsbedingungen werden meist so gewählt, dass die Kondensatoren für t = 0 durch<br />
Spannungen U10 und U20 aufgeladen sind und zunächst kein Strom fließt. Aus I1(0) = I2(0) = 0<br />
folgt immer b+ = b− = 0. Für die Kondensatorspannungen für t = 0 findet man dann<br />
a+ω+<br />
2ω 2 +0<br />
a+ω+<br />
2ω 2 +0<br />
+ a−ω−<br />
2ω 2 −0<br />
− a−ω−<br />
2ω 2 −0<br />
= − U10(0) · C<br />
= − U20(0) · C<br />
Damit ergeben sich folgende Lösungen für die Kondensatorspannungen:<br />
• Gleichsinnige Aufladung: U10 = U20 = U0:<br />
U1 = U2 = U0 · e−β+t<br />
ω+<br />
· (β+ sin ω+t + ω+ cos ω+t)<br />
Abbildung 4.17a zeigt oben die Spannung am Kondensator 1 und 2.<br />
• Gegensinnige Aufladung: U10 = −U20 = U0:<br />
U1 = −U2 = U0 · e−β−t<br />
ω−<br />
· (β− sin ω−t + ω− cos ω−t)<br />
Abbildung 4.17a zeigt unten die Spannung am Kondensator 1. Am 2. Kondensator ist die<br />
Spannung entgegengesetzt. Die Frequenz ist höher, als bei gleichsinniger Aufladung!
4.5. GEKOPPELTE LC-SCHWINGKREISE 131<br />
a)<br />
Spannung (V)<br />
Spannung (V)<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
-5<br />
-10<br />
-15<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
-5<br />
-10<br />
-15<br />
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5<br />
x 10 -2<br />
t(s)<br />
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5<br />
x 10 -2<br />
t(s)<br />
b)<br />
Spannung (V)<br />
Spannung (V)<br />
10<br />
7.5<br />
5<br />
2.5<br />
0<br />
-2.5<br />
-5<br />
-7.5<br />
-10<br />
10<br />
7.5<br />
5<br />
2.5<br />
0<br />
-2.5<br />
-5<br />
-7.5<br />
-10<br />
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02<br />
t(s)<br />
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02<br />
t(s)<br />
Abbildung 4.17: a) Fundamentalschwingungen und b) Schwebung zweier gekoppelter Schwingkreise<br />
mit R = 2, 5 Ω, L = 9 mH und C = 1, 0 µF<br />
• Schwebung: U10 = U0 und U20 = 0:<br />
· (−β+ sin ω+t − ω+ cos ω+t)}<br />
2ω+<br />
± e −β−t 1<br />
· { · (−β− sin ω−t − ω− cos ω−t)}]<br />
2ω−<br />
U1/2 = U0 · [e −β+t · { 1<br />
Abbildung 4.17b zeigt oben die Spannung am Kondensator 1 und unten am Kondensator<br />
2.<br />
4.5.3 Versuchsaufbau<br />
Der erste Schwingkreis wird gemäß den Abbildungen 4.18 und 4.19 auf der Rastersteckplatte<br />
aufgebaut. Die Kondensatorspannung wird an Eingang B des Sensor CASSYs gemessen. Zu Beginn<br />
des Versuchs wird der Kondensator aus der Spannungsquelle S aufgeladen. Zum Start der<br />
Schwingung wird der Taster gedrückt, welcher dabei die Spannungsquelle S kurzschließt.<br />
Der zweite Schwingkreis wird separat aufgebaut. Seine Spule wird für die Kopplung der Schwingkreise<br />
direkt neben die erste Spule gestellt. Es kann die Spannung am zweiten Kondensator an<br />
Eingang A des Sensor-CASSYs gemessen werden. Bei gleichsinniger bzw. gegensinniger Anregung<br />
wird ebenfalls der zweite Kondensator aus der Spannungsquelle S aufgeladen. Zum Start<br />
der Schwingung wird der zweite Taster ebenfalls betätigt, welcher dabei die Spannungsquelle S<br />
kurzschließt.
12 V<br />
132 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE<br />
a)<br />
INPUT A<br />
INPUT B<br />
R<br />
S<br />
−<br />
12 V<br />
INPUT A<br />
INPUT B<br />
R<br />
S<br />
− +<br />
I<br />
U<br />
U<br />
SENSOR−CASSY 524010<br />
Benötigte Geräte:<br />
1 Sensor-CASSY<br />
1 CASSY Lab<br />
1 Rastersteckplatte, DIN A4<br />
2 Kondensator 1, 2,2, 4,7, 10 µF<br />
2 Spulen 250, 500, 1000 Windungen<br />
5 Paar Kabel, 50 cm rot/blau<br />
1 Taster<br />
Abbildung 4.18: Schaltbild zur Aufnahme der Schwebung von gekoppelten Schwingungen<br />
I<br />
U<br />
U<br />
+<br />
SENSOR−CASSY 524010<br />
a) b)<br />
¡ ¡<br />
¡ ¡<br />
¡ ¡<br />
R<br />
S<br />
−<br />
SENSOR−CASSY 524010<br />
Abbildung 4.19: Schaltbild zur Aufnahme von gekoppelten Schwingungen bei a) gleichsinniger<br />
und b) gegensinniger Anregung<br />
12 V<br />
INPUT A<br />
INPUT B<br />
I<br />
U<br />
U<br />
+<br />
¡ ¡<br />
¡ ¡<br />
¡ ¡
4.5. GEKOPPELTE LC-SCHWINGKREISE 133<br />
4.5.4 Versuchsdurchführung<br />
• Ladespannung U0 auf etwa 9 V einstellen - dazu Spannungsquelle S entsprechend einstellen,<br />
Spannungsquelle eingeschaltet lassen.<br />
• Polung der an den Schwingkreisen anliegenden Spannungen bei gleichsinniger bzw. gegensinniger<br />
Anregung einstellen.<br />
• Zur Beobachtung der Schwebung nur an einen Schwingkreis Spannung anlegen<br />
• Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs und die<br />
Anzahl auf 2000 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 20 ms<br />
• Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen weiterhin einen Trigger auf z.B.<br />
UB1 = 5 V, fallende Tendenz einstellen!<br />
• Messung mit F9 starten (wartet dann auf Triggersignal)<br />
• Schwingkreis mit Taster schließen (erzeugt Triggersignal)<br />
• Abstand der Spulen und damit die Kopplungsstärke variieren<br />
4.5.5 Versuchsauswertung<br />
Fall der Schwebung:<br />
Im ungekoppelten Fall ergibt sich eine gedämpfte harmonische Schwingung (Abbildung 4.20a).<br />
Die gekoppelte Schwingung besitzt die gleiche Einhüllende (Abbildung 4.20a).<br />
Im ungekoppelten Fall zeigt das Frequenzspektrum nur ein Signal, dessen Frequenz sich durch<br />
die Berechnung des Signalschwerpunkts ermitteln lässt (Abbildung 4.20b).<br />
Im gekoppelten Fall spaltet die Frequenz symmetrisch in zwei Frequenzen auf. Die Amplituden<br />
sind nur halb so groß wie im ungekoppelten Fall und der Abstand hängt von der Kopplung ab<br />
(Abbildung 4.20b).<br />
Die Abbildung 4.20c zeigt die gemessenen Spannungsabfälle an den beiden Kondensatoren für<br />
den Fall der Schwebung bei den gekoppelten Schwingungen. Die Abbildung 4.20d zeigt die ungekoppelte<br />
und die Fundamentalschwingungen der gekoppelten Schwingungen bei gleich- bzw.<br />
gegensinniger Anregung.<br />
Bestimmen Sie den Kopplungsgrad k aus diesen verschiedenen Messungen und geben Sie die<br />
Ergebnisse mit Fehlern an.
134 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE<br />
a)<br />
c) d)<br />
Abbildung 4.20: a) Ungekoppelter (grüner Verlauf) und gekoppelter Schwingkreis (Schwebung,<br />
blaue Linie), b) Frequenzspektren der ungekoppelten und der gekoppelten Schwingungen c) Spannungsabfälle<br />
an den beiden Kondensatoren im Fall der Schwebung, d) Fundamentalschwingungen<br />
bei gleich- bzw. gegensinniger Anregung<br />
b)
4.6. ANHANG 135<br />
4.6 Anhang<br />
Verlustfaktoren<br />
Im Hauptteil des Versuches sollen freie, gedämpfte elektromagnetische Schwingungen untersucht<br />
werden. Solche Schwingungen in Spannungsabfällen und Strömen gehören streng genommen in<br />
das Gebiet der Wechselströme, die eingehender im <strong>Teil</strong> II des <strong>Praktikums</strong> behandelt werden. Um<br />
die einzelnen Komponenten besser verstehen zu können, werden Grundlagen der Theorie von<br />
<strong>Teil</strong> II bereits hier stark verkürzt zusammen gefasst.<br />
Wenn eine Reihenschaltung einer idealen Spule (L) und eines idealen Kondensators (C) von<br />
einem Strom durchflossen wird, gibt es zwischen Strom und Spannungsabfall an L bzw. C immer<br />
eine Phasenverschiebung von exakt ±90 o . Phasenverschiebungen um beliebige Winkel können<br />
elegant in der komplexen Gaußschen Zahlenebene (Operatordiagramm) dargestellt werden. Reale<br />
Komponenten werden auf der Realteil-Achse (x-Achse), imaginäre Anteile auf der Imaginärteil-<br />
Achse (y-Achse) aufgetragen. Eine genauere Diskussion zeigt folgendes:<br />
• Bei rein Ohmschen Widerständen sind, wegen der Gültigkeit des Ohmschen Gesetzes, Strom<br />
und Spannung in Pase. Der Ohmsche Widerstand ist rein reell. Im Operatordiagramm wird<br />
der Ohmsche Widerstand R auf der reellen Achse aufgetragen.<br />
• Bei einem idealen Kondensator ist die Situation komplizierter. Solche Kondensatoren existieren<br />
real nicht!<br />
Mit den Relationen UC(t) = Q(t)/C bzw. dUC/dt = I/C kann man zeigen, daß der Strom<br />
der Spannung um π/2 vorauseilt. Dies wird durch den rein imaginären kapazitiven Widerstand<br />
XC = −i/(ωC) bewirkt. Im Operatordiagramm wird XC auf der imaginären Achse<br />
in negaiver Richtung aufgetragen.<br />
• Bei einer idealen Spule eilt der Strom wegen UL = L · dI/dt der Spannung um π/2 nach.<br />
Der ideale induktive Widerstand XL = iωL ist ebenfalls rein imaginär und wird in positiver<br />
Richtung aufgetragen.<br />
Im Ohmschen Widerstand geht elektrische Energie verloren, da sie in Joulesche Wärme umgewandelt<br />
wird. Das ist nur möglich, weil hier U und I in Phase sind. Wenn dagegen U und I um<br />
90 o gegeneinander phasenverschoben sind, wird im zeitlichen Mittel keine elektrische Leistung<br />
verbraucht. Ideale Kondensatoren und Spulen haben diese Eigenschaft, sie sind verlustfrei. Diese<br />
Betrachtungen gelten nur, wenn es zu Schwingungen kommt.<br />
Reale Kondensatoren und Spulen haben elektrische Verluste. Sie werden in realen oder fiktiven<br />
sog. Ohmschen Verlustwiderständen zusammen gefaßt. Im folgenden wird eine stark vereinfachte<br />
Darstellung gezeigt, nach der solche Verlustwiderstände charakterisiert werden können.<br />
Ohmsche Widerstände sollen hier nicht diskutiert werden. Sie haben zwar meist neben den rein<br />
Ohmschen Anteilen auch kapazitive und induktive Komponenten, diese sind aber bei diesem<br />
Versuch vernachlässigbar klein.
136 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE<br />
Spulen: Die Verluste bei Spulen nehmen im allgemeinen mit steigender Frequenz zu.<br />
Ursachen für Verluste:<br />
• Ohmscher Widerstand der Spulenwicklung (frequenzunabhängig)<br />
• Skineffekt (frequenzabhängig), er muss beachtet werden bei<br />
Drahtdurchmesser = 1 mm ab etwa 100 kHz,<br />
Drahtdurchmesser = 0,1 mm ab etwa 10 MHz,<br />
Drahtdurchmesser = 0,01 mm ab etwa 1 GHz.<br />
spielt daher bei diesem Versuch keine Rolle.<br />
• Hysteresis- und Wirbelstromverluste im Kernmaterial und Spulendrahtmaterial<br />
Da der Spulenstrom für die Induktivität der Spule wesentlich ist, wird der Verlustwiderstand<br />
meist als Reihenwiderstand dargestellt. Kleine Verluste sind dann gleichbedeutend mit kleinen<br />
Verlustwiderständen. Den Verlustwinkel θL kann man im Zeigerdiagramm ablesen, in dem der<br />
rein imaginäre induktive Widerstand XL = iωL gegen den reellen Ohmschen Widerstand der<br />
Spule RL aufgetragen wird.<br />
Es gilt für den komplexen Widerstand XL = RL + iωL.<br />
Für den Verlustwinkel gilt:<br />
= dL.<br />
ωL<br />
Dies ist auch gleichzeitig der Verlustfaktor der Spule, den man oft mit dL kennzeichnet. Er<br />
wird für die meist kleinen Verlustwinkel durch den Winkel selbst angenähert (dL ≈ θL).<br />
tan θL = RL<br />
Kondensatoren: Die Verluste bei Kondensatoren nehmen im allgemeinen mit steigender Frequenz<br />
ab.<br />
Ursachen für Verluste:<br />
• Geringe Leitfähigkeit des Dielektrikums und Widerstand der Zuleitungen und Folien bei<br />
Folienwiderständen,<br />
• Geringe Wärmeentwicklung im Dielektrikum durch ständige Umpolarisation der Moleküle.<br />
Da die Kondensatorspannung für die Kapazität des Kondensators wesentlich ist, wird der Verlustwiderstand<br />
meist als Serienwiderstand dargestellt. Kleine Verluste sind dann gleichbedeutend<br />
mit kleinen Verlustwiderständen. Den Verlustwinkel θC kann man im Zeigerdiagramm ablesen,<br />
in dem der rein imaginäre induktive Widerstand XC = −i<br />
ωC<br />
stand des Kondensators RC aufgetragen wird.<br />
Es gilt dann für den Verlustwinkel gilt:<br />
tan θC = ω · C · RC = dC.<br />
gegen den reellen Ohmschen Wider-<br />
Dies ist auch gleichzeitig der Verlustfaktor des Kondensators, den man oft mit dC kennzeichnet.<br />
Er wird für die meist sehr kleinen Verlustwinkel durch den Winkel selbst angenähert<br />
(dC ≈ θC).
4.6. ANHANG 137<br />
a)<br />
ωL<br />
δ L<br />
RL<br />
b)<br />
−1<br />
ωC<br />
δ C<br />
RC<br />
Abbildung 4.21: Operatordiagramm für Verlustwiderstand a) einer Spule, b) eines Kondensators<br />
Bauteile Verlustfaktor<br />
100 Hz 1000 Hz<br />
Kondensatoren tan δC tan δC<br />
1 µF 2, 0 · 10 −3 2, 9 · 10 −3<br />
2,2 µF 1, 7 · 10 −3 3, 3 · 10 −3<br />
4,7 µF 2, 0 · 10 −3 3, 5 · 10 −3<br />
10 µF 1, 8 · 10 −3 4, 1 · 10 −3<br />
Spulen tan δL tan δL<br />
N=250 0,41 0,047<br />
N=500 0,40 0,049<br />
N=1000 0,41 0,045<br />
Tabelle 4.5: Experimentell bestimmte Verlustfaktoren der im Praktikum verwendeten Kondensatoren<br />
und Spulen