Konstruktive Überlagerung
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22. Lektion: Schwebungen und<br />
erzwungene Schwingungen<br />
Zabel 22. Lektion: Erzwungene Schwingung 1
<strong>Überlagerung</strong> von Schwingungen<br />
gleicher Frequenz und δ = 0<br />
1. Welle, x 1(t) = x 01cos(ωt)<br />
2. Welle, x 2(t) = x 02cos(ωt)<br />
3. <strong>Überlagerung</strong> beider Wellen,<br />
Amplitude x 3(t) = x 01cos(ωt) + x 02cos(ωt)<br />
�<strong>Konstruktive</strong> <strong>Überlagerung</strong>,<br />
Amplitude wird größer<br />
x 1(t)<br />
x 2(t)<br />
Zabel 22. Lektion: Erzwungene Schwingung 2
<strong>Überlagerung</strong> von Schwingungen<br />
gleicher Frequenz und δ = 180°<br />
1. Welle, x 1(t) = x 01cos(ωt)<br />
2. Welle, x 2(t) = x 02cos(ωt+180°)<br />
3. <strong>Überlagerung</strong> beider Wellen,<br />
Amplitude x 3(t) = 0<br />
�Destruktiver <strong>Überlagerung</strong>, Amplitude<br />
verschwindet.<br />
Zabel 22. Lektion: Erzwungene Schwingung 3
<strong>Überlagerung</strong> von Schwingungen<br />
mit etwas unterschiedler Frequenz<br />
Entstehung einer „Schwebung“<br />
durch <strong>Überlagerung</strong> von<br />
zwei Schwingungen mit etwas<br />
verschiedenen Frequenzen<br />
Soltwisch 22. Lektion: Erzwungene Schwingung 4<br />
Gedämpfte Schwingung
X(t)<br />
Periode der<br />
Schwingung wird<br />
durch die antreibende<br />
Kraft aufgeprägt:<br />
Erzwungene, periodische<br />
Schwingung<br />
T a=2π/ω a<br />
t<br />
x(t)<br />
Zabel 22. Lektion: Erzwungene Schwingung 5<br />
Erzwungene Periodische<br />
ω 0<br />
ω a = Frequenz der<br />
antreibenden Kraft<br />
ω a
x(t)<br />
x 0<br />
Erzwungene, periodische<br />
Schwingung<br />
t<br />
Die Amplitude x 0 der<br />
erzwungenen Schwingung<br />
hängt von drei Faktoren ab:<br />
� Frequenz der antreibenden<br />
Kraft<br />
� Eigenfrequenz<br />
� Dämpfung<br />
Zabel 22. Lektion: Erzwungene Schwingung 6<br />
Erzwungene Periodische
x 0<br />
Güte eines Resonanzkreises<br />
ω 0<br />
∆ω<br />
Kleine Dämpfung,<br />
große Amplitude,<br />
große Güte Q<br />
Große Dämpfung,<br />
kleine Amplitude,<br />
kleine Güte Q<br />
ω a<br />
Q =<br />
Beispiele für unterschiedliche Güten von Resonanzkreisen:<br />
Radio, Fernsehen, Ohr, Kernspin-Resonanz etc.<br />
Güte ist<br />
definiert als:<br />
Zabel 22. Lektion: Erzwungene Schwingung 7<br />
ωo Δω
Tacoma Narrow Hängebrücke<br />
Vier Monate nach Einweihung am 7. November 1940 eingestürzt<br />
Zabel 22. Lektion: Erzwungene Schwingung 8
Herzschrittmacher<br />
Herzschrittmacher regen den<br />
Sinusknoten durch eine Elektrode<br />
an. Durch Rückkopplung wird die<br />
Herzfrequenz normalisiert. Der<br />
Schrittmacher wirkt wie eine<br />
externe antreibende Kraft, die die<br />
Schlagfrequenz des Herzens<br />
bestimmt.<br />
Zabel 22. Lektion: Erzwungene Schwingung 9
Zusammenfassung<br />
• <strong>Konstruktive</strong> <strong>Überlagerung</strong> (konst. Interferenz) bei Addition von Wellen<br />
gleicher Frequenz und Phasenverschiebung 0.<br />
• Destruktive <strong>Überlagerung</strong> (destrukt. Interferenz) bei Addition von Wellen<br />
gleicher Frequenz mit Phasenverschiebung 180°.<br />
• Schwebung: <strong>Überlagerung</strong> von Schwingunger unterschiedlicher<br />
Frequenz.<br />
• Bei erzwungener Schwingung kann die Amplitude zunehmen.<br />
• Resonanzkatastrophe, d.h. sehr große Amplitude bei ω a= ω 0 und<br />
schwacher Dämpfung<br />
• Güte eines Resonanzkreises hängt von der Dämpfung ab<br />
Zabel 22. Lektion: Erzwungene Schwingung 10
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