11 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen

11 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen
11.1 Elektromagnetischer Schwingkreis
Ein elektromagnetischer Schwingkreis besteht aus einer Induktivität L und einem
Kondensator C (LC-Kreis) Lädt man den Kondensator auf und schaltet die äußere Quelle
dann ab, so fließt durch die Spule durch die Spule der Entladestrom I0.
Dieser zeitlich veränderliche Strom führt zu einem veränderlichen B-Feld, das eine Spannung
induziert, die den Strom nach Entladen des Kondensators in die gleiche Richtung weitertreibt,
so dass sich der Kondensator mit der entgegengesetzten Polung wieder auflädt. Treten keine
Verluste auf (R= 0) dann ist die Ladungsmenge gleich groß wie am Anfang. Anschließend
findet der Vorgang in entgegengesetzter Richtung statt. Da im Schaltkreis immer Verluste
durch ohmschen Widerstand auftreten, tritt in einem solchen Schwingkreis immer eine
gedämpfte Schwingung auf, d.h. R + L sind parallel zu C geschaltet.
Man kann allerdings den Energieverlust durch eine geeignete Schaltung ausgleichen, die die
Energie synchronisiert zuführt (vgl. Staudt 2).
Die mathematische Beschreibung ist analog zur mechanischen Schwingung einer Masse m.
162

Analogien:
1 2
pot. E. m Epot =
2 kx 1 2 1 1 Q
↔ el. Energie geladener Kondensators E el = CU = QU =
2 2 2 C
kin.E. m
2 m ↔ magnet. Energie durch das in Spule erzeugte B-Feld Em
1 2
= LI
2
1 2
v
Reibung ↔ ohmscher Widerstand
m�L x�Q I � v
1
k �
C
R�R (Reibung entspricht ohmschemWiderstand)
Kirchhoffsche Maschenregel:
Q dI
− L = RI
C dt
dQ
Mit I = ergibt sich die homogene DGL 2. Ordnung
dt
L =
2
d I dI 1
2
dt dt C
+ R + I = 0
Lösung: I(t) = I0 e -βt cos (ωt + ϕ)
I0: Amplitude des Stroms zu Beginn der Schwingung
R
β : Dämpfungskostante β =
2L
ω: Kreisfrequenz ω= 2
1 R
− 2
LC 4L
= ω − β
ω0: Eigen-/Resonanzfrequenz
2 2
0
Legt man an den Schwingkreis eine äußere Wechselspannung U = U0 cos ωt an, so tritt dort
(nach einem Einschwingvorgang) eine erzwungene Schwingung des Stroms mit der Frequenz
ω auf.
2
163

Für die Stromamplitude gilt
I0
=
U 0
2
⎛ 1 ⎞ 2
⎜ωL− ⎟ + R
⎝ ωC
⎠
Die Phasenverschiebung ϕ zwischen Strom und Spannung ist tan ϕ =
1
ωL
−
ωC
R
Wie in der Mechanik tritt bei ω0 ein Maximum, eine Resonanz auf, die Phasenverschiebung
ist dort gerade null. Für ω < ω0 eilt der Strom der Spannung voraus (ϕ → -90°), für ω > ω0 die
Spannung dem Strom (ϕ → + 90°)
.
164

11.2 Gekoppelte Schwingkreise
2 induktiv gekoppelte LC-Kreise verhalten sich analog zu 2 gekoppelten Federn/Pendeln. Wie
in der Mechanik erhält man eine Schwebung. Lädt man den Kondensator des 1. Kreises auf,
fängt dieser an zu schwingen. Über die Kopplung fängt der 2. Kreis an zu schwingen,
wodurch dem 1. Kreis Energie entzogen wird, bis nur noch der 2. Kreis schwingt, dann kehrt
sich der Vorgang um. Man erhält Schwebungen nur bei zwei nahe beieinander liegenden
Eigenfrequenzen. Wie bei den Federn sind diese dadurch charakterisiert, dass in einem Fall
die Systeme (Mechanik: Masse; hier: Ströme) in Phase (ϕ = 0°) bzw. gerade in Gegenphase
(ϕ =180°) oszillieren. Die Schwebefrequenz ist wieder ωs = ωII - ωI
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11.3 Offener Schwingkreis: Hertzscher Dipol, elektromagnetische Wellen
Ein gerader Draht kann als offener Schwingkreis angesehen werden, wenn in ihm Ladungen
von einem zum anderen Ende oszillieren (Hertzscher Dipol)
Der Hauptunterschied zwischen geschlossenem und offenen Schwingkreis liegt im
elektromagnetischen Feld. Im geschlossenen Kreis ist das elektrische Feld überwiegend auf
das Innere des Kondensators konzentriert, das magnetische Feld auf das Innere der Spule.
Beim offenen System reichen beide weit in den Raum hinein. Ändern sich Strom- und
Ladungsdichte zeitlich, ändern sich die Felder.
Man kann die Ladungen im Leiter dadurch oszillieren lassen, dass man ihn induktiv an einem
Sender ankoppelt, dessen Frequenz ν so gewählt sein muss, dass sich gerade stehende
Ladungswellen ausbilden können. Die Länge � muss also x ⋅ λ 2 sein mit λ=c/ν . An den
Drahtenden muss die Stromstärke null sein.
Man stellt fest, dass sich E - und B- Feld im Nahfeld (direkt beim Dipol) anders verhalten als
im Fernfeld.
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Nahfeld:
• räumliche und zeitliche Phasenverschiebung von Strom und Spannung sind λ/4 bzw. T/4
• E– und B- Feld sind 90° phasenverschoben
• E- und B –Feld stehen senkrecht aufeinander
Nach dem Anregen fließt ein sich ändernder Strom, der von einem sich ändernden B-Feld
umgeben ist. Dieses induziert an den Enden eine Spannung, in deren E-Feld die Ladung
beschleunigt wird... .
Amperesches Durchflutungsgesetz 0 µ Bds I =
+ Faradaysches Induktionsgesetz
Fernfeld:
∫�
d
Ed s =− Bd A
dt
� ∫ ∫
Das Fernfeldverhalten versteht man nur, wenn man das Amperesche Durchflutungsgesetz um
einen Term erweitert, der besagt, dass ein sich zeitlich änderndes E-Feld von einem B-Feld
umgeben ist (siehe Lehrbücher).
1 d
� ∫ Bds= µ 0I + EdA
2
c dt∫
Der 2. Term heißt Maxwellscher Verschiebestrom.
Hat man also ein zeitlich variables B-Feld vorliegen, ist dieses von einem ebenfalls zeitlich
veränderlichen E-Feld umgeben, das wiederum von einem zeitlich veränderlichen B-Feld
umgeben ist.....⇒ Man erhält eine sich ausbreitende Verkettung von E- und B-Feldern, die
durch Wellengleichungen beschrieben werden ⇒ elektromagnetische Welle.
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2 2
∂ E 1 ∂ E
= ;
2 2 2
∂xc ∂t
Lösung: ebene, harmonische Wellen
E = E0 sin ( kx ± ω t)
B = B0 sin ( kx ± ω t)
2 π
k = ,ω = 2πν = 2 π / T
λ
2 2
∂ B 1 ∂ B
= 2 2 2
∂xc ∂t
• E – und B-Feld sind im Fernfeld in Phase ↔ Nahfeld
• E – und B-Feld stehen wie im Nahfeld senkrecht aufeinander.
• E –, B-Feld und Ausbreitungsrichtung bilden in dieser Reihenfolge eine Rechtsschraube.
• Ausbreitungsgeschwindigkeit im Vakuum
v0=
1
ε µ
= ν ⋅ λ0
0 0
λ0 : Wellenlänge im Vakuum
• Ausbreitungsgeschwindigkeit im Medium
v=
1
=
c c
= νλ =
εµ n
εεµµ r 0 r 0 r r
n= εµ r r heißt Brechungsindex und ist materialabhängig ⇒ s. später
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• Die Energie der elektromagnetischen Welle ist
1 2 1 1 2
W = Wel + Wmag = ε0E
+ B
2 2 µ 0
2
= 0E ε (da beide Anteile gleich groß sind)
E =
1
B = c ⋅ B
εµ
0 0
Man definiert die Energiestromdichte oder Intensität I:
2 2 1
I = ε0⋅c⋅ E = ε0c
EB = EB
µ
Poyntingvektor S:
S =
1
E× B
µ
0
0
zeigt in Ausbreitungsrichtung, der Betrag gibt die Intensität an.
Zusammenfassung Nahfeld/Fernfeld:
169

Wichtig: Auch schwingende molekulare Dipole sind Hertzsche Dipole, die elektrisch
magnetische Wellen empfangen und senden können!
Abstrahlcharakteristik
Man findet I ∼ sin 2 ϑ , d.h. ein Toroid um den Dipol
⇒ In Dipolrichtung findet keine Abstrahlung statt.
⇒ Die meiste Intensität findet man senkrecht zum Dipol.
Da es sich um eine Art der Energieausbreitung handelt, wird die Strahlung mit zunehmendem
Abstand gedämpft.
Wie mechanische Wellen können auch elektro-magnetische Wellen reflektiert werden,
besonders gut an metallischen Wänden. Dort muss die Randbedingung E = 0 erfüllt sein, so
dass die Amplitude des E-Feldes ihr Vorzeichen wechseln muss (Phasensprung = π). Dadurch
kompensieren sich die E-Vektoren der ein- und auslaufenden Welle in jedem Augenblick. Da
sich die Ausbreitungsrichtung ebenfalls umgekehrt und E-, B-Feld und Ausbreitungsrichtung
eine Rechtsschraube bilden, gibt es beim B-Feld keinen Phasensprung. Ein- und auslaufende
Wellen bilden stehende E- und B-Wellen. Die Bäuche der E-Wellen fallen dabei mit den
Knoten der B-Wellen zusammen und umgekehrt.
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11.4 Polarisation elektromagnetischer Wellen
Ein Hertzscher Dipol strahlt nicht in alle Raumrichtung gleichmäßig aus! Die Polarisation
einerelektromagnetischen Welle ist durch die Richtung des elektrischen Vektors E definiert.
Eine Lichtwelle, deren E-Vektor immer nur in einer Ebene schwingt, heißt linear polarisiert.
Der B-Vektor steht im Vakuum immer senkrecht auf dem E –Vektor beide sind in Phase. E
und B stehen senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung k, man redet deshalb von
Transversalwellen. (Häufig wechselwirkt überwiegend der elektrische Anteil der Welle.)
Läuft der E –Vektor (und damit auch der B-Vektor) auf einer Schraubenlinie um die
Ausbreitungsrichtung, spricht man von zirkular polarisiertem Licht.
Eine zirkular polarisierte Welle kann man als Überlagerung von zwei aufeinander senkrecht
stehenden linear polarisierten Wellen mit gleicher Amplitude und der Phasendifferenz π/2 =
λ/4 auffassen. Sind die beiden Amplituden nicht gleich, so erhält man elliptisch polarisiertes
Licht.
171

Ebenso kann linear polarisiertes Licht als Überlagerung einer links-(l-) und rechts (r-) zirkular
polarisierten Welle aufgefasst werden, die gleiche Amplitude und Umlauffrequenz haben.
Es gibt Stoffe, die die lineare Polarisation um einen Winkel α drehen können. Solche Stoffe,
die meist sog. chirale (asymetrische) C-Atome enthalten, heißen optisch aktiv. Da Rohrzucker
optisch aktiv ist und die Rotation ∆α = α0 ⋅ c ⋅d proportional zur Konzentration c ist, kann
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man so die Konzentration von Zuckerlösungen bestimmen (Saccharimetrie). α0 ist das
spezifische Drehvermögen, d die Länge des Lichtweges in der Lösung.
Atome und Moleküle strahlen ebenfallselektromagnetische Strahlung aus, da in ihnen
Ladungen oszillieren. Hat man viele Atome/Moleküle vorliegen, dann wird in alle
Raumrichtungen statistisch abgestrahlt, man erhält unpolarisiertes Licht. Normalerweise hat
man unpolarisiertes Licht vorliegen, das man anschließend polarisiert ⇒ später.
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11.5 Spektrum elektromagnetischer Strahlung
Es gibt elektromagnetische Wellen in einem sehr großen Wellenlängenbereich.
Monochromatisches (einfarbiges) Licht wird durch Angabe der Wellenlänge λ bzw. der
Frequenz ν angegeben:
ν ⋅ λ = c
c = 2,99792458 ⋅ 10 8 m/s ≈ 3 ⋅ 10 8 m/s � Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
Sichtbares Licht: ca. 400 nm (violett) bis ca. 800 nm (rot)
Viele Gesetze lassen sich (phänomenologisch) ableiten, ohne den Wellencharakter des Lichtes
im Detail zu beachten ⇒ geometrische Optik, Kap. 12.
Man stellt fest, dass man bei mikroskopischer Betrachtung der optischen Prozesse Licht
entweder als Welle betrachten muss (Wellenoptik) oder als Photon, d.h. als Teilchen. Ein
Photon ist ein Lichtquant der Energie hν (h=6,626 10 -34 Js, Plancksches Wirkungsquantum).
Licht wird in dieser Quantenoptik als Photon-Ensemble betrachtet. Das Nebeneinander von
Wellen- und Teilchen-Charakter heißt Dualität des Lichtes und ist gegensatnd der
Quantenmechanik
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