erzwungene Schwingungen - Energiebilanz

Schwingungen
Grundbausteine zum Verständnis vieler dynamischer
Vorgänge in der Makro- und Mikrophysik
Objekte in stabilem System haben Ruhelage ro
Auslenkung aus Ruhelage → rücktreibende Kraft
→ Schwingungen
ohne Dämpfung
mit Dämpfung
mit äußerer periodisch variierender Kraft
Kopplung und Anregung von Schwingungen
Energieübertrag durch und zwischen Schwingungen
Mechanische Systeme
Mikroskopische Systeme (Moleküle, Festkörper)
419

F = - D x = m ��x → m ��x + D x = 0
��x + ωo 2 x = 0 ωo 2 = D/m
Bewegungsgleichung (Diff.- Gleichung, Dgl)
freie, harmonische, ungedämpfte Schwingung
� frei: keine (externe) periodische Kraft
� harmonisch: rücktreibende Kraft ∝ - x
� ungedämpft: keine Term ∝ �x in Dgl
420

Lösung der Schwingungsgleichung
��x + ωo 2 x = 0 ωo 2 = D/m
durch einsetzen überprüfen:
x(t) = A sin ωo t + B cos ωo t
ist Lösung. A und B aus Anfangsbedingungen
z.B.: x(0) = 0 → B = 0
oder: x(0) = xmax → A = 0
oder auch „Ansatz” (nur andere Darstellung) :
x(t) = C cos (ωo t + ϕ o)
C und ϕ aus Anfangsbedingung
z.B.: x(0) = 0 → ϕ o = π/2
oder: x(0) = xmax → ϕ o = 0
421

allgemeiner Lösungsansatz (1)
x(t) = C cos (ωo t + ϕ o) = C cos ϕ(t)
charakteristische Größen:
Frequenz ωo: gegeben durch System
Phase ϕ o: gegeben durch Anfangsbedingung
Amplitude C: gegeben durch C = xmax
x(t) charakterisiert durch Amplitude und Phase
→ Ansatz mit komplexen Variablen
z(t) = a(t) + i b(t)
|z| =
Realteil(z) = Re(z) = a
Imaginärteil(z) = Im(z) = b
2 2
a + b
tan ϕ = b/a
422

Darstellung im Amplitude-Phase Diagramm
ungedämpfte freie
Schwingung
gedämpfte freie
Schwingung
gedämpfte erzwungene
Schwingung
423

allgemeiner Lösungsansatz
x�� + ωo 2 x = 0
Lösungsansatz: x = c e λt →
λ 2 c e λt + ωo 2 c e λt = 0
λ 2 + ωo 2 = 0
λ =
2
± −ω o
zwei Lösungen: λ1 = + i ωo ; λ2 = - iωo
(i 2 = -1)
i ot
→ x1(t) = c1 e ω − ω o
; x2(t) = c2 e
daraus allgemeine Lösung:
i ot
x (t) = c1
e ω − ω o + c2 e
i t
x(t) muss reelle Funktion sein
i t
→ c1 = c = a + i b c2 = c* = a - i b
i ot
x (t) = c
e
e ω − ω o + c*
i t
= f(z(t)) + cc
„conjugate complex“
Konjugiert Komplex
424

sei
c = |c| e iϕo , c* = |c| e -iϕo
es gilt
x (t) = |c| [
( )
i t
o o e ω +ϕ +
( )
i t
o o e − ω +ϕ ]
e ix = cos x + i sin x Euler’sche Formel für
komplexe Zahlen
x (t) = c [ cos ωo t + i sin ωo t ]
+ c* [ cos (-ωo) t + i sin (-ωo) t ]
cos (–x) = cos x; sin (-x) = - sin x
x (t) = (c + c*) cos ωo t + i (c – c*) sin ωo t
x (t) = C1 cos ωo t + C2 sin ωo t
eine vierte äquivalente Schreibweise ist (s. auch S. 421)
A =
x (t) = A cos (ωo t + ϕ o)
C + C
2 2
1 2
C
C
tan ϕo = - 2
1
C1 = A cos ϕo
425

� x (t) = A cos (ωo t) Position(t)
� x� (t) = - ωo A sin (ωo t) Geschwindigkeit(t)
� x��(t) = - ωo 2 A cos (ωo t) Beschleunigung(t)
nach der Zeit
erreicht, d.h.
x( t+ T) = x( t)
2π
t = = T
ω
o
wird dieselbe Auslenkung
T = Schwingungsdauer oder Schwingungsperiode
1
ν= Schwingungsfrequenz
T
2π
ω= 2πν=
Kreisfrequenz
T
426

Überlagerung von Schwingungen
Fourier-Synthese
N N
∑ ∑
() = () = ( ω +ϕ )
x t x t a cos t
n n n n
1 1
Aufbau von periodischem Verlauf x(t) aus endlicher
Anzahl von Schwingungen (ωn)
wenn ωn = n ω1 ,
dann: Periode T = 2π / ω1
acos 1 ω 1t:
Grundschwingung, Fundamentalschwingung
alle anderen Anteile: Oberschwingungen
andernfalls: ωn / ωg = n/m,
größten gemeinsamen Teiler ωg aller ωn suchen
dann: Periode T = 2π / ωn
427

428

Fourier-Analyse
gegeben: periodische Funktion f(t),
gesucht: Frequenzkomponenten ωn
derart, dass
mit Amplitude an und Phase ϕn
f(t) = ao + ∑ an cos(ωn t + ϕn)
zentrales Verfahren zu Analyse und Verständnis
physikalischer Prozesse
bei Spektrum mit diskreten Frequenzen ωn:
Anmerkung:
f(t) ist periodische Funktion
Zerlegung auch bei nicht-periodischer Funktion:
∞
∫
f(t) = ( ) ( ) ( ) ( )
0
⎡⎣a ω cos ω t + b ω sin ωt ⎤⎦dω
Spektrum mit kontinuierlich verteilten ω
429

Fourier-Zerlegung
3 5 7 9 11 13
periodische
Rechteck-
funktion
Fourier-Zerlegung einer Rechteck-Mäanderfunktion
f(t) = A für |t| < T
T
, f(t) = 0 für
2 2
f(t) = ao + ∑ an sin(n ω t) ω = 2π / T
mit ao = A
2 ; a2n-1 =
< |t| < T
2A
(2n-1)π ; a2n = 0
Spektrum
430

Überlagerung von Schwingungen
N N
∑ ∑
() = () = ( ω +ϕ )
x t x t a cos t
n n n n
1 1
z.B. 2 Schwingungen verschiedener Frequenz
x(t) = a1 cos(ω1 t + ϕ1) + a2 cos(ω2 t + ϕ2)
für ϕ1 = ϕ2 = 0 und a1 = a2 = a
x(t) = a cos ω1 t + a cos ω2 t
→ Addition trigonometrischer Funktionen
x(t) = 2 a cos[½ (ω1 - ω2) t] cos[½ (ω1 + ω2) t]
431

wenn ω1 ≈ ω2, also |ω1 - ω2|

Freier gedämpfter Oszillator
Bewegung → x� ≠ 0 → Reibung
Reibungskraft FR ∝ x�� → zusätzliche Rückstell-
kraft: FR = - b x�
modifizierte Bewegungsgleichung:
m x�� = - D x – b x�
x�� + 2 γ x� + ωo 2 x = 0
ωo 2 = D
m
2 γ = b
m
Gedämpfter
Oszillator
433

x�� + 2 γ x� + ωo 2 x = 0
Lösungsansatz x(t) = c e λt →
allgemeine Lösung:
x(t) = e -γt [ c1
x(t) = e -γt [ c1
x(t) = e -γt [ c1
λ 2 + 2 γλ + ωo 2 = 0
λ1,2 = - γ ∓
2 2
o t
e + γ −ω + c2
e
e
2 2
o
+ i ω −γ t
+ c2
2
⎛ γ ⎞
+ i ωo 1−⎜ ⎟ t
ω
⎝ o ⎠ + c2
2 2
γ −ω o
2 2
o t
e − γ −ω ]
2 2
o
i t
e − ω −γ ]
e
2
⎛ γ ⎞
−i ωo 1−⎜ ⎟ t
ω
⎝ o ⎠ ]
für γ = 0 → Lösung für freie Oszillation (b = 0)
Abweichung davon gegeben durch
Reibungskraft ∝ γ
Rückstellkraft ∝ ωo
γ
ω
o
434

x(t) = e -γt [c
e
γ
i 1 t
+ ωo −
ωo
+ c *
γ
i 1 t
− ωo −
ωo
qualitativ unterschiedliche Lösungen für γ ≥ ωo <
„schwache Dämpfung“:
2
e
]
2
⎡ ⎤
⎛ γ ⎞
⎛ γ ⎞
γ < ωo → 1− ⎜ ⎟ > 0, ⎢1− ⎜ ⎟ ⎥ = reelle Zahl
⎝ωo⎠ ⎢ ⎝ωo ⎣ ⎠ ⎥⎦
„Schwingfall”, wie freie Schwingung
jedoch: geänderte Frequenz ω = (ωo 2 - γ 2 ) 1/2
Amplitude nimmt wie e -γt ab.
1 2
435

„spezielle - relativ starke - Dämpfung“
2
2
⎡ ⎤
⎛ γ ⎞
⎛ γ ⎞
γ = ωo → 1− ⎜ ⎟ = 0 ⎢1− ⎜ ⎟ ⎥
⎝ωo⎠ ⎢ ωo
⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦
„aperiodischer Grenzfall“
1 2
= 0
keine Schwingung, x(t) = e -γt [ c + c* ]
schnellstmögliche Rückkehr in die Ruhelage
„starke Dämpfung“
2
2
⎡ ⎤
⎛ γ ⎞
⎛ γ ⎞
γ > ωo → 1− ⎜ ⎟ < 0, ⎢1− ⎜ ⎟ ⎥ = imagin. Zahl
⎝ωo⎠ ⎢ ⎝ωo ⎣ ⎠ ⎥⎦
„Kriechfall“, keine Schwingung
langsame Rückkehr in die Ruhelage
1 2
436

gedämpfte Schwingungen -- Energiebilanz
Energieverlust aus schwingendem System:
m x�� + b x� + D x = 0
m x�� + D x = - b x� // x� (← Trick)
m x�� x� + D x x� = - b x� 2 b = 2 γ m
d[ ½ m x� 2 + ½ D x 2 ]/dt = - 2 γ m x� 2
d[Ekin(t) + Epot(t)]/dt = dEg/dt = - 2 γ m x� 2
integriert über Schwingungsperiode: Verlust W
W = - 2 γ m
W = - 2 γ m
T
2
∫ x
0
� dt x = A e -γt cos ω t
x� = A [e -γt (-ω) sin ω t + (-γ) e -γt cos ω t]
x� 2 = A 2 e -2γt (ω sin ω t + γ cos ω t) 2
T
2
∫ A e
0
-2γt (ω sin ω t + γ cos ω t) 2 dt
W = ½ m A 2 (ωo 2 + γ 2 ) (e -2γT - 1)
für schwache Dämpfung
γ

Erzwungene Schwingungen
schwingungsfähiges System mit Dämpfung
zusätzlich: periodisch wirkende Kraft
F(t) = Fo cos ω t in der Regel ω ≠ ωo
m x�� = - D x – b x� + Fo cos ωt
x�� + 2 γ x� + ωo 2 x = K cos ω t K = Fo/m
inhomogene Diff.-Gleichung:
Lösung = allgemeine Lösung der homogenen Gleichung
plus spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung
x(t) = A1e -γ t cos (ω1 t + ϕ1) + A2 cos (ω t + ϕ)
ω 1 =
2 2
ωo −γ
Frequenz der freien
gedämpften Schwingung
„erzwungene“ Frequenz
438

x(0) ≠ 0 → „Einschwingvorgang“:
freie gedämpfte Schwingung wird überlagert
vom Einfluss der periodisch treibenden Kraft
1. Term → 0 für t → ∞
„stationärer“ Zustand → 2. Term bleibt übrig
daher Ansatz x(t) = A cos (ω t + ϕ)
ω = Frequenz der treibenden Kraft
� A2 = A2 (ω) = Amplitude der Schwingung
� ϕ = ϕ (ω) = relative Phase zwischen
Kraft und Schwingung
Ansatz x(t) in Diff.-Gleichung einsetzen
Parameter A2 und ϕ bestimmen
2γω
⇒ tanϕ
ω = − Rechnung: s. Demtröder-Buch
ω −ω
( ) 2 2
o
die Phasenverschiebung ϕ ist negativ, d.h. die erzwungene
Schwingung „hinkt“ der Erregerschwingung nach
A
2
( )
ω =
F/m
o
2 2 ( ωo−ω ) + ( 2γω)
2 2
„Resonanz-Nenner“
439

( ω)
A maximal
für
2 2 ( 2 )
R o
ω=ω
∆ω ≈ 23 γ
ω = ω − γ
R
1 2
1 2
ϕ( ω)
440

Schwingungen
Energien
Energie im schwingenden System:
Ekin = ½ m x� 2 = ½ m ωo 2 A 2 sin 2 ωot
gemittelt über eine Schwingungsperiode (Zeit T):
= (1/T)
Epot =
T
1
∫ 2m
x�
0
2 dt = (1/4) m ωo 2 A 2
x
∫ F
0
dx = ½ D x2 = ½ D A 2 cos 2 ωot
Epot = ½ m ωo 2 A 2 cos 2 ωot da D = m ωo 2
gemittelt über eine Schwingungsperiode (Zeit T)
= (1/T)
T
1
∫ 2 D x
0
2 dt = (1/4) m ωo 2 A 2 =
Ekin + Epot = ½ m ωo 2 A 2 (sin 2 ωot + cos 2 ωot) = Eg
Egesamt = ½ m ωo 2 A 2
441

erzwungene Schwingungen - Energiebilanz
erzwungene Schwingungen - stationärer Zustand:
zugeführte Energie = W (Reibungsverlust)
m x�� + b x� + D x = F(t)
m x�� + D x = - b x� + F(t) // x�
m x�� x� + D x x = - b x� 2 + F(t) x� b = 2 γ m
d [ ½ m x� 2 + ½ D x 2 ] / dt = - 2 γ m x� 2 + F(t) x�
d [Ekin(t) + Epot(t)] / dt = 0 (stationär)
aufgenommene (und in Wärme umgewandelte) Energie,
gemittelt über T:
|W| =
t+ T
∫ F(t)
x� dt =
t
t+ T
∫ 2 γ m x�
t
2 dt
stationär: x() t = A2cos( ω t+ϕ
)
x� () t =−ωA sin( ω t+ϕ)
|W| = 2 γ m ω 2
|W| = γ m ω
2 2
2
2
t+ T
2 2
2
t
A ∫ sin (ω t + ϕ) dt
A T
aufgenommene Leistung P = |W| /T = γ m ω 2 A 2
1 2
442

Resonanz, erzwungene Schwingungen
Leistungsaufnahme P = γ m ω 2 A 2 (ω)
je kleiner Dämpfung γ (i. Vgl. zu ω) .....
.... desto höher ist maximales Pmax
.... desto schärfer ist P(ω) um ωo konzentriert
443

Parametrische Oszillatoren
Anregung durch zeitliche (periodische) Variation des
charakteristischen Parameters ωo
x�� + ωo 2 x = 0 → x�� + ωo 2 (t) x = 0
Kinderschaukel: Kind ändert periodisch den Schwerpunkt
periodische Änderung von Trägheitsmoment für Drehung
um Achse, mit geeigneter Frequenz und Phase
mathematische Lösung siehe Demtröder S. 349
444

Gekoppelte Oszillatoren
m1 x��1 = - D1 x1 – D12 (x1 – x2)
m2 x��2 = - D2 x2 – D12 (x2 – x1)
gekoppelte Differentialgleichungen
„entkoppeln“ durch Transformation, Substitution
(oder andere „Tricks“), Rückführung auf bekannte Lösungen
hier: m1 = m2 = m und D1 = D2 = D
Addition und Subtraktion der Diff.-Gleichungen:
+ : m (x�� 1 + x�� 2 ) = – D (x1 + x2)
- : m (x�� 1 – x�� 2 ) = – D (x1 – x2) – 2 D12 (x1 – x2)
Transformation: ξ + = ½ (x1 + x2 )
−
ξ = ½ (x1 – x2 )
synchrone Auslenkung: x1(t) = x2(t) → −
ξ ≡ 0
�� + +
m�� − −
ξ =− ( D+ 2D12
) ξ
mξ = −Dξ entkoppelte Diff.-Gleichungen
445

Lösungen bekannt:
ξ + (t) = A1 cos (ω1 t + ϕ1), ω1 2 = D/m
−
ξ (t) = A2 cos (ω2 t + ϕ2), ω2 2 = (D + 2D12)/m
ξ +/- = Normalkoordinaten
ξ +/- (t) = Normalschwingungen
Rücktransformation von ξ +/- auf xi :
für A1 = A2 = A
x1 = ξ + + −
ξ = A [cos (ω1 t + ϕ1) + cos (ω2 t + ϕ2)]
x2 = ξ + – −
ξ = A [cos (ω1 t + ϕ1) – cos (ω2 t + ϕ2)]
mit
x1 = + 2 A cos(∆ω+∆ϕ) cos(ω∑ + ϕ∑)
x2 = – 2 A sin (∆ω+∆ϕ) sin (ω∑ + ϕ∑)
∆ω = ½ (ω1 – ω2) ∆ϕ = ½ (ϕ1 – ϕ2)
ω∑ = ½ (ω1 + ω2) ϕ∑ = ½ (ϕ1 + ϕ2)
446

gekoppelte Pendel
Bewegung als Überlagerung von zwei Normalschwingungen
mit (leicht) unterschiedlicher Frequenz
Schwebungsdauer τ’ = 2 π / [½ (ω1 – ω2)]
4π 4π
τ ' = =
ω−ω 1 2 D+ D12 D
−
m m
für D12

Normalschwingungen gekoppelter Pendel
=
D
m
Für x1(t) = x2(t) wird
−
ξ = 0 , wenn ϕ1 = ϕ2 und A1 = A2 = A →
da ξ + (t) = ½ (x1(t) + x2(t))
ξ + (t) = A cos (ω1 t + ϕ) nur D ist wirksam
Für x1(t) = – x2(t) wird
ξ + = 0, wenn ϕ1 = ϕ2 und A1 = – A2 = – A →
da
−
ξ (t) = ½ (x1(t) – x2(t))
−
ξ (t) = A cos (ω2 t + ϕ) D und D12 ist wirksam
Normalschwingung:
Alle Oszillatoren schwingen mit konstanter
Amplitude, fester Phase und gleicher Frequenz
448

449

erzwungene Schwingungen gekoppelter Systeme
periodisch bei x1 angreifende Kraft
Dämpfung γ für beide Schwinger
m x�� 1 = – D1 x1 – D12 (x1 – x2) – 2 m γ x� 1 + Fo cos ωt
m x�� 2 = – D2 x2 + D12 (x1 – x2) – 2 m γ x� 2
450

m x�� 1 = – D1 x1 – D12 (x1 – x2) – 2 m γ x� 1 + Fo cos ωt
m x�� 2 = – D2 x2 – D12 (x1 – x2) – 2 m γ x� 2
mit
ξ + = ½ (x1 + x2 )
−
ξ = ½ (x1 – x2 )
folgt für D1 = D2 = D
m +
+ +
ξ�� = – D ξ – 2 m γ ξ� + ½ Fo cos ωt
m −
ξ�� = – (D + 2 D12) −
ξ – 2 m γ −
ξ� + ½ Fo cos ωt
Diff.-Gleichung für gedämpfte erzwungene Schwingung
für ξ + und −
ξ
mit Eigenfrequenz ω+ =
ω– =
D
m
− γ
2
D+ 2D
m
und Resonanzen bei diesen Frequenzen
12
− γ
2
451

erzwungene Schwingungen gekoppelter Systeme
Amplitude der Schwinger als Funktion
der anregenden Frequenz ω
ω1 = ω+ * =
ω2 = ω– * =
D
imaginärer Teil
der Amplitude
von Schwinger A
imaginärer Teil
der Amplitude
2
m −γ x1(t) = x2(t)
D+ 2D
m
von Schwinger B
12 2
−γ x1(t) = - x2(t)
452

Eigenschwingungen eines dreiatomigen
nicht-linearen Moleküls
N Schwinger, pro Schwinger 3 Freiheitsgrade
→ insgesamt 3 N Freiheitsgrade
Translation als Ganzes: 3 Freiheitsgrade
Rotation als Ganzes: 3 Freiheitsgrade
„interne Rotation“ in der Regel nicht möglich
daher:
(3 N – 6) Schwingungs-Freiheitsgrade
453