Mathematik für Physiker III, Wintersemester 2012/2013 Lösungen zu ...

Mathematik für Physiker III, Wintersemester 2012/2013
Lösungen zu Serie 4
(16) Interpretiere die Menge R 2×2 der reellen 2 × 2-Matrizen als den R 4 und zeige das
SL2R := {A ∈ R 2×2 | det A = 1} eine dreidimensionale C ∞ -Untermannigfaltigkeit von
R 2×2 ist. Berechne weiter den Tangentialraum T1SL2R von SL2R in der Einheitsmatrix.
Wir schreiben die Elemente von R2×2 als
�
a b
A =
c d
Die Determinante det : R 2×2 → R; (a, b, c, d) ↦→ ad − bc ist dann unendlich oft differenzierbar
mit den partiellen Ableitungen
∂ det
∂a
= d, ∂ det
∂b
�
.
= −c, ∂ det
∂c
= b, ∂ det
∂a
und insbesondere ist grad det(A) �= 0 für alle A ∈ R 2×2 mit A �= 0. Insbesondere ist 1
ein regulärer Wert von det und nach dem Satz vom regulären Urbild §3.Korollar 2 ist
SL2R = det −1 (1)
eine 4 − 1 = 3-dimensionale C ∞ -Untermannigfaltigkeit des R 3 . Nach §3.Satz 4.(c) ist
der Tangentialraum T1SL2R von SL2R an die Einheitsmatrix gegeben als
T1SL2R = Kern det ′ (1).
Für A = (a, b, c, d) ∈ R2×2 gilt nach unserer obigen Berechnung der partiellen Ableitungen
von det
det ′ ⎛ ⎞
a
⎜
(1)A = (1, 0, 0, 1) · ⎜ b ⎟
⎝ c ⎠ = a + d = tr A,
d
also haben wir
T1SL2R = {A ∈ R 2×2 | tr(A) = 0}.
(17) Seien q ∈ N ∪ {∞} mit q ≥ 1 und C ⊆ R>0 × R eine eindimensionale Cq- Untermannigfaltigkeit des R2 . Für jedes φ ∈ R bezeichne D(φ) die Drehung mit dem
Winkel φ um die z-Achse im R3 . Zeigen Sie, dass dann der Rotationskörper
⎧ ⎛
⎨
R := D(φ) · ⎝
⎩
x
0
z
= a
⎞�
⎫
�
�
⎬
⎠�
� φ ∈ R, (x, z) ∈ C
� ⎭
1

eine zweidimensionale C q -Untermannigfaltigkeit des R 3 ist. Sind weiter I ⊆ R ein
offenes Intervall, a ∈ R und ϕ : I → C eine Parametrisierung von C, so ist
eine Parametrisierung von R.
Φ : (a, a + 2π) × I → R; (φ, t) ↦→ D(φ) · ϕ(t)
Beweis: Es ist hilfreich Zylinderkoordinaten zu verwenden. Aus §1.2 wissen wir das die
Funktion
Ψ : R>0 × R × R → R 3 ⎛ ⎞
r cos φ
; (r, φ, z) ↦→ ⎝ r sin φ ⎠
z
unendlich oft differenzierbar ist und das die Ableitung Ψ ′ (r, φ, z) für alle r, φ, z ∈ R
mit r > 0 stets invertierbar ist. Ist dabei a ∈ R, so ist die Einschränkung
Ψa := Ψ|R>0 × (a, a + 2π) × R → R 3
injektiv. Dies wurde zwar auch in §1.2 festgehalten, wir wollen es aber ruhig noch einma
wiederholen. Angenommen wir haben r, s ∈ R>0, φ, ψ ∈ (a, a + 2π) und z ′ , z ′′ ∈ R mit
(x, y, z) := Ψ(r, φ, z ′ ) = Ψ(s, ψ, z ′′ ). Dann ist zunächst z ′ = z ′′ = z. Weiter haben wir
x 2 + y 2 = r 2 (cos 2 φ + sin 2 φ) = r 2 und ebenso x 2 + y 2 = s 2 , also r = s da r, s > 0 sind.
Damit folgen auch cos φ = x/r = x/s = cos ψ und sin φ = y/r = y/s = sin ψ, also
ψ = φ + 2πn für ein n ∈ Z. Wegen φ, ψ ∈ (a, a + 2π) ist dabei 2π|n| = |ψ − φ| < 2π,
also n = 0 und ψ = φ. Setzen wir also Ua := R>0 × (a, a + 2π) × R, so ist Va := Ψ(Ua)
nach §1.Korollar 7 offen im R 3 und Ψa : Ua → Va ist ein C ∞ -Diffeomorphismus.
Seien jetzt I ⊆ R ein offenes Intervall, ϕ : I → C eine Parametrisierung von C
und a ∈ R. Da ϕ : I → R 2 q-fach stetig differenzierbar ist, ist auch die auf der offenen
Menge U := (a, a + 2π) × I ⊆ R 2 definierte Funktion
⎛
Φ : U → R 3 ; (φ, t) ↦→ D(φ) · ϕ(t) = ⎝
cos φ − sin φ 0
sin φ cos φ 0
0 0 1
⎞
⎛
⎠ · ⎝
ϕ1(t)
0
ϕ2(t)
⎛
= ⎝
⎞
⎠
ϕ1(t) · cos φ
ϕ1(t) · sin φ
ϕ2(t)
wieder q-fach stetig differenzierbar. Die Formel zeigt uns auch das für alle φ ∈ (a, a +
2π), t ∈ I stets
Φ(φ, t) = Ψa(ϕ1(t), φ, ϕ2(t))
gilt. Wir wollen jetzt zeigen, dass Φ eine Parametrisierung von R ist, und hierzu weisen
wir die drei definierenden Eigenschaften einer solchen nach. Seien (φ, t), (φ ′ , t ′ ) ∈ U mit
(φ, t) �= (φ ′ , t ′ ) gegeben. Ist t �= t ′ , so ist auch ϕ(t) �= ϕ(t ′ ) da ϕ insbesondere injektiv
ist, also haben wir (ϕ1(t), φ, ϕ2(t)) �= (ϕ1(t ′ ), φ ′ , ϕ2(t ′ )) und da Ψa injektiv ist folgt
Φ(φ, t) = Ψa(ϕ1(t), φ, ϕ2(t)) �= Ψa(ϕ1(t ′ ), φ ′ , ϕ2(t ′ )) = Φ(φ ′ , t ′ ).
2
⎞
⎠

Damit ist Φ injektiv. Sei jetzt V ⊆ R 2 offen mit V ⊆ U. Wir müssen zeigen, dass es eine
offene Menge W ⊆ R 3 mit Φ(V ) = R ∩ W gibt. Sei p = (φ0, t0) ∈ V . Dann existieren
offene Intervalle J, T ⊆ R mit φ0 ∈ J ⊆ (a, a + 2π), t0 ∈ T ⊆ I und Vp := J × T ⊆ V .
Da ϕ eine Parametrisierung von C ist, gibt es weiter eine offene Menge S ⊆ R 2 mit
ϕ(T ) = C ∩ S. Damit erhalten wir die offene Menge
W ′ := {(r, φ, z) ∈ R>0 × J × R|(r, z) ∈ S} ⊆ R>0 × (a, a + 2π) × R
und nach §1.Korollar 7.(a) ist die Menge Wp := Ψa(W ′ ) ⊆ R3 offen. Wir behaupten
jetzt das Φ(Vp) = R ∩ Wp gilt. Die erste Inklusion ist dabei klar, für (φ, t) ∈ Vp
haben wir (ϕ1(t), ϕ2(t)) = ϕ(t) ∈ ϕ(T ) ⊆ S, also ist (ϕ1(t), φ, ϕ2(t)) ∈ W ′ und somit
Φ(φ, t) = Ψa(ϕ1(t), φ, ϕ2(t)) = Ψa(W ′ ) = Wp. Dies zeigt Φ(Vp) ⊆ R ∩ Wp. Nun sei
umgekehrt q ∈ R ∩ Wp. Wegen q ∈ Wp = Ψa(W ′ ) existieren r > 0, φ ∈ J, z ∈
R mit (r, z) ∈ S und q = Ψa(r, φ, z). Da außerdem q ∈ R ist gibt es ψ ∈ R und
(x, w) ∈ C mit q = D(ψ)(x, 0, w) = Ψ(x, ψ, w), und wie wir eingangs gesehen haben
folgt (r, z) = (x, w) ∈ C, also ist (r, z) ∈ C ∩ S = ϕ(T ) und somit existiert ein
t ∈ T mit (r, z) = ϕ(t). Damit ist schließlich (φ, t) ∈ J × T = Vp mit Φ(φ, t) =
Ψa(ϕ1(t), φ, ϕ2(t)) = Ψa(r, φ, z) = q, und wir haben q ∈ Φ(Vp) eingesehen. Damit ist
auch R ∩ Wp ⊆ Φ(Vp), und haben wir Φ(Vp) = R ∩ Wp gezeigt. Wir erhalten die offene
Menge W := �
p∈V Wp ⊆ R3 mit
R ∩ W = �
(R ∩ Wp) = �
� �
�
Φ(Vp) = Φ = Φ(V ).
p∈V
p∈V
Damit haben wir die Offenheitsbedingung überprüft und kommen zur dritten Eigenschaft
einer Parametrisierung. Seienφ ∈ (a, a + 2π) und z ∈ R. Da ϕ eine Parametrisierung
von C ist gilt (ϕ ′ 1(t), ϕ ′ 2(t)) �= (0, 0), also sind die beiden Vektoren
∂
∂φ
⎛
⎝
ϕ1(t)
φ
ϕ2(t)
⎞
⎛
⎠ = ⎝
0
1
0
⎞
⎠ und ∂
∂t
⎛
⎝
ϕ1(t)
φ
ϕ2(t)
p∈V
⎞
Vp
⎛
⎠ = ⎝
ϕ ′ 1(t)
0
ϕ ′ 2(t)
linear unabhängig. Da Ψ ′ (ϕ1(t), φ, ϕ2(t)) invertierbar ist, sind damit auch
∂Φ ∂Φ
(φ, t), (φ, t)
∂φ ∂t
linear unabhängig. Damit ist Φ eine Parametrisierung von R und da die Bilder dieser
Parametrisierungen ganz R überdecken ist R schließlich eine zweidimensionale C q -
Untermannigfaltigkeit des R 3 .
(18) Wir betrachten den Quader Q := [0, 1] × [0, 1] im R 2 und die Funktion f :
Q → R; (x, y) ↦→ x + y. Weiter sei n ∈ N mit n ≥ 1 und bezeichne α die Zerlegung
3
⎞
⎠

von Q die entsteht indem beide Koordinatenachsen äquidistant in n Teilstücke zerlegt
werden. Berechne dann die Unter- und Obersumme S(f; α) und S(f; α). Folgere weiter,
�
direkt aus der Definition, dass f Riemann-integrierbar ist und berechne das Integral
f(x, y) d(x, y).
Q
Sei n ∈ N mit n ≥ 1 und betrachte die Zerlegungen
� �
k
σ :=
n
(x,y)∈Qkl
0≤k≤n
von [0, 1] und α := (σ, σ) von Q. Für alle 1 ≤ k, l ≤ n sind
Qkl =
�� � � �� � � � �
k − 1 l − 1 k l k − 1 k l − 1 l
, , , = , × , ,
n n n n n n n n
vol(Qkl) = 1
,
n2 mkl :=
k − 1 l − 1 k + l − 2
inf (x + y) = + = ,
(x,y)∈Qkl
n n n
Mkl := sup (x + y) = k l k + l
+ =
n n n .
Beachten wir jetzt
so ergeben sich weiter
S(f; α) = �
1≤k,l≤n
S(f; α) = �
1≤k,l≤n
�
1≤k,l≤n
k + l
n
= 2
n�
k = n(n + 1),
k=1
mkl · vol(Qkl) = 1
n2 � �
� k + l
− 2n = 1 −
n
1≤k,l≤n
1
n ,
Mkl · vol(Qkl) = 1
n 2
�
1≤k,l≤n
k + l
n
= 1 + 1
n .
Es ergeben sich
�
(x + y) d(x, y) = sup{S(f; α)|α ist eine Zerlegung von Q} ≥ 1
Q
und �
(x + y) d(x, y) = inf{S(f; α)|α ist eine Zerlegung von Q} ≤ 1,
Q
und da andererseits auch �
�
(x + y) d(x, y) ≤ (x + y) d(x, y) gilt, folgt
�
Q
Q
�
(x + y) d(x + y) =
4
Q
Q
(x + y) d(x, y) = 1.

Damit ist f Riemann-integrierbar mit �
Q
(x + y) d(x, y) = 1.
(19) Sei M := {(x, y) ∈ R 2 |x·y = 0}. Zeigen Sie, dass M dann keine eindimensionale
C 1 -Untermannigfaltigkeit des R 2 ist (das ist anschaulich klar, es geht hier um einen
exakten Beweis dieser Tatsache).
Explizit ist M = (R × {0}) ∪ ({0} × R) die Vereinigung von x- und y-Achse in der
Ebene. Wir nehmen an M wäre eine eindimensionale C 1 -Untermannigfaltigkeit des R 2
und wollen hieraus einen Widerspruch erhalten. Dies kann man auf vielerlei Arten tun,
wir wollen hier die drei naheliegendsten Methoden vorführen.
Beweis (Version 1): Da eine eindimensionale C 1 -Untermannigfaltigkeit des R 2 sich
lokal als Graph einer stetig differenzierbaren Funktion R → R schreiben läßt und
die Menge M symmetrisch bezüglich der Vertauschung von x- und y-Koordinaten ist,
existieren offene Mengen U ⊆ R, V ⊆ R 2 mit (0, 0) ∈ V und eine stetig differenzierbare
Funktion f : U → R mit
M ∩ V = {(x, f(x))|x ∈ U}.
Wegen (0, 0) ∈ V existiert weiter ein ɛ > 0 mit {0} × (−ɛ, ɛ) ⊆ V , also ist auch
{0} × (−ɛ, ɛ) ⊆ M ∩ V = {(x, f(x))|x ∈ U}, ein Widerspruch.
Beweis (Version 2): Wir betrachten die stetig differenzierbare Funktion
ϕ : R → R 2 ; x ↦→ (x, 0).
Dann ist ϕ injektiv mit ϕ(R) ⊆ M und für jedes x ∈ R ist dϕ/dx = (1, 0) �= 0. Nach
§3.Lemma 3 ist ϕ eine Parametrisierung von M, und damit existiert eine offene Menge
U ⊆ R 2 mit
R × {0} = ϕ(R) = M ∩ U.
Insbesondere ist (0, 0) ∈ U und somit existiert ein ɛ > 0 mit {0} × (−ɛ, ɛ) ⊆ U, also ist
auch {0} × (−ɛ, ɛ) ⊆ M ∩ U = R × {0}, ein Widerspruch.
Beweis (Version 3): Wir betrachten die stetig differenzierbaren Kurven
γ : R → R 2 ; t ↦→ (t, 0) und δ : R → R 2 ; t ↦→ (0, t)
mit γ(R), δ(R) ⊆ M. Wegen γ(0) = δ(0) = (0, 0) sind damit
� �
1
= γ
0
′ � �
0
(0) ∈ T(0,0)M und
1
= δ ′ (0) ∈ T(0,0)M,
d.h. der Tangentialraum T(0,0)M enthält zwei linear unabhängige Vektoren im Widerspruch
zu §3.Satz 4.(a).
(20) Seien R, r ∈ R mit R > r > 0. Weiter bezeichne C den Kreis mit Mittelpunkt
(R, 0, 0) und Radius r in der xz-Ebene und T ⊆ R 3 den Torus der durch Rotation von C
5

um die z-Achse entsteht (siehe Aufgabe (17)). Zeigen Sie, dass T eine zweidimensionale
C∞-Untermannigfaltigkeit des R3 ist und das
Φ : (a, a + 2π) × (b, b + 2π) → R 3 ⎛
⎞
(R + r cos ψ) · cos φ
; (φ, ψ) ↦→ ⎝ (R + r cos ψ) · sin φ ⎠
r sin ψ
für alle a, b ∈ R eine Parametrisierung von T ist. Berechne weiter für jedes (x, y, z) ∈ T
einen Normalenvektor auf dem Tangentialraum T(x,y,z)T .
Die Funktion
f : R 2 → R; (x, y) ↦→ (x − R) 2 + y 2
ist unendlich oft differenzierbar und für alle (x, y) ∈ R 2 mit (x, y) �= (R, 0) gilt
grad f(x, y) = (2(x − R), 2y) �= 0,
d.h. r 2 > 0 ist ein regulärer Wert von f. Nach dem Satz vom regulären Urbild
§3.Korollar 2 ist C = f −1 (r 2 ) eine eindimensionale C ∞ -Untermannigfaltigkeit des R 2 .
Für jedes (x, y) ∈ C gilt
also ist auch
|x − R| = � (x − R) 2 = � r 2 − y 2 ≤ √ r 2 = r,
x = R + (x − R) ≥ R − |x − R| ≥ R − r > 0,
d.h. es gilt C ⊆ R>0 × R. Nach Aufgabe (17) ist T eine zweidimensionale C ∞ -
Untermannigfaltigkeit des R 3 . Nun seien a, b ∈ R gegeben. Dann ist die Abbildung
ϕ : (b, b + 2π) → R 2 ; ψ ↦→ (R + r cos ψ, r sin ψ)
unendlich oft differenzierbar mit ϕ((b, b + 2π)) ⊆ C. Die Abbildung ϕ ist aufgrund der
entsprechenden Aussage für die Polarkoordinaten injektiv und für alle ψ ∈ (b, b + 2π)
gilt
ϕ ′ (ψ) = (−r sin ψ, r cos ψ) �= (0, 0),
d.h. nach §3.Lemma 3 ist ϕ eine Parametrisierung von C. Nach Aufgabe (17) ist die
in der Behauptung angegebene Funktion Φ eine Parametrisierung von T .
Wir kommen zur Berechnung der Normalenvektoren. Sei (x, y, z) ∈ T und schreibe
x = (R + cos ψ) cos φ, y = (R + r cos ψ) sin φ und z = r sin ψ. Bezeichne Φ die obige
Parametrisierung von T bezüglich a = φ − π und b = ψ − π. Nach §3.Satz 3.(b) ist
u := ∂Φ
(φ, ψ) =
∂φ
⎛
⎝
−(R + r cos ψ) sin φ
(R + r cos ψ) cos φ
0
6
⎞
⎠ , v := ∂Φ
(φ, ψ) =
∂ψ
⎛
⎝
−r sin ψ cos φ
−r sin ψ sin φ
r cos ψ
⎞
⎠

eine Basis des Tangentialraums T(x,y,z)T . Einen auf dem Tangentialraum senkrecht
stehenden Vektor erhalten wir als
⎛
⎞
r(R + r cos ψ) cos φ cos ψ
w := u × v = ⎝ r(R + r cos ψ) sin φ cos ψ ⎠
r(R + r cos ψ) sin ψ
Es ist ||w||2 = r(R + r cos ψ), also erhalten wir einen Normalenvektor auf T(x,y,z)T als
�n(x, y, z) := w
||w||2
⎛
= ⎝
cos φ cos ψ
sin φ cos ψ
sin ψ
Wir wollen diesen Vektor jetzt noch in Termen der Koordinaten x, y, z ausdrücken.
Wegen z = r sin ψ ist dabei sin ψ = z/r. Beachten wir weiter
so ergeben sich
cos ψ =
also haben wir
und analog
Damit ist schließlich
�
x2 + y2 − R
, cos φ =
r
x 2 + y 2 = (R + r cos ψ) 2 ,
cos φ cos ψ = x(� x 2 + y 2 − R)
r � x 2 + y 2
x
� x 2 + y 2
⎞
⎠ .
und sin φ =
= x
�
�
R
1 − �
r x2 + y2 sin φ cos ψ = y
�
�
r
R
1 − �
x2 + y2 .
�n(x, y, z) = 1
r
⎛
⎜ y
⎝
�
x
√ x 2 +y 2
1 − R
�
1 − R
√ x 2 +y 2
7
z
�
�
⎞
⎟ .
⎟
⎠
y
� x 2 + y 2 ,