Mathematik für Physiker III, Wintersemester 2012/2013 Lösungen zu ...
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<strong>Mathematik</strong> <strong>für</strong> <strong>Physiker</strong> <strong>III</strong>, <strong>Wintersemester</strong> <strong>2012</strong>/<strong>2013</strong><br />
<strong>Lösungen</strong> <strong>zu</strong> Serie 4<br />
(16) Interpretiere die Menge R 2×2 der reellen 2 × 2-Matrizen als den R 4 und zeige das<br />
SL2R := {A ∈ R 2×2 | det A = 1} eine dreidimensionale C ∞ -Untermannigfaltigkeit von<br />
R 2×2 ist. Berechne weiter den Tangentialraum T1SL2R von SL2R in der Einheitsmatrix.<br />
Wir schreiben die Elemente von R2×2 als<br />
�<br />
a b<br />
A =<br />
c d<br />
Die Determinante det : R 2×2 → R; (a, b, c, d) ↦→ ad − bc ist dann unendlich oft differenzierbar<br />
mit den partiellen Ableitungen<br />
∂ det<br />
∂a<br />
= d, ∂ det<br />
∂b<br />
�<br />
.<br />
= −c, ∂ det<br />
∂c<br />
= b, ∂ det<br />
∂a<br />
und insbesondere ist grad det(A) �= 0 <strong>für</strong> alle A ∈ R 2×2 mit A �= 0. Insbesondere ist 1<br />
ein regulärer Wert von det und nach dem Satz vom regulären Urbild §3.Korollar 2 ist<br />
SL2R = det −1 (1)<br />
eine 4 − 1 = 3-dimensionale C ∞ -Untermannigfaltigkeit des R 3 . Nach §3.Satz 4.(c) ist<br />
der Tangentialraum T1SL2R von SL2R an die Einheitsmatrix gegeben als<br />
T1SL2R = Kern det ′ (1).<br />
Für A = (a, b, c, d) ∈ R2×2 gilt nach unserer obigen Berechnung der partiellen Ableitungen<br />
von det<br />
det ′ ⎛ ⎞<br />
a<br />
⎜<br />
(1)A = (1, 0, 0, 1) · ⎜ b ⎟<br />
⎝ c ⎠ = a + d = tr A,<br />
d<br />
also haben wir<br />
T1SL2R = {A ∈ R 2×2 | tr(A) = 0}.<br />
(17) Seien q ∈ N ∪ {∞} mit q ≥ 1 und C ⊆ R>0 × R eine eindimensionale Cq- Untermannigfaltigkeit des R2 . Für jedes φ ∈ R bezeichne D(φ) die Drehung mit dem<br />
Winkel φ um die z-Achse im R3 . Zeigen Sie, dass dann der Rotationskörper<br />
⎧ ⎛<br />
⎨<br />
R := D(φ) · ⎝<br />
⎩<br />
x<br />
0<br />
z<br />
= a<br />
⎞�<br />
⎫<br />
�<br />
�<br />
⎬<br />
⎠�<br />
� φ ∈ R, (x, z) ∈ C<br />
� ⎭<br />
1
eine zweidimensionale C q -Untermannigfaltigkeit des R 3 ist. Sind weiter I ⊆ R ein<br />
offenes Intervall, a ∈ R und ϕ : I → C eine Parametrisierung von C, so ist<br />
eine Parametrisierung von R.<br />
Φ : (a, a + 2π) × I → R; (φ, t) ↦→ D(φ) · ϕ(t)<br />
Beweis: Es ist hilfreich Zylinderkoordinaten <strong>zu</strong> verwenden. Aus §1.2 wissen wir das die<br />
Funktion<br />
Ψ : R>0 × R × R → R 3 ⎛ ⎞<br />
r cos φ<br />
; (r, φ, z) ↦→ ⎝ r sin φ ⎠<br />
z<br />
unendlich oft differenzierbar ist und das die Ableitung Ψ ′ (r, φ, z) <strong>für</strong> alle r, φ, z ∈ R<br />
mit r > 0 stets invertierbar ist. Ist dabei a ∈ R, so ist die Einschränkung<br />
Ψa := Ψ|R>0 × (a, a + 2π) × R → R 3<br />
injektiv. Dies wurde zwar auch in §1.2 festgehalten, wir wollen es aber ruhig noch einma<br />
wiederholen. Angenommen wir haben r, s ∈ R>0, φ, ψ ∈ (a, a + 2π) und z ′ , z ′′ ∈ R mit<br />
(x, y, z) := Ψ(r, φ, z ′ ) = Ψ(s, ψ, z ′′ ). Dann ist <strong>zu</strong>nächst z ′ = z ′′ = z. Weiter haben wir<br />
x 2 + y 2 = r 2 (cos 2 φ + sin 2 φ) = r 2 und ebenso x 2 + y 2 = s 2 , also r = s da r, s > 0 sind.<br />
Damit folgen auch cos φ = x/r = x/s = cos ψ und sin φ = y/r = y/s = sin ψ, also<br />
ψ = φ + 2πn <strong>für</strong> ein n ∈ Z. Wegen φ, ψ ∈ (a, a + 2π) ist dabei 2π|n| = |ψ − φ| < 2π,<br />
also n = 0 und ψ = φ. Setzen wir also Ua := R>0 × (a, a + 2π) × R, so ist Va := Ψ(Ua)<br />
nach §1.Korollar 7 offen im R 3 und Ψa : Ua → Va ist ein C ∞ -Diffeomorphismus.<br />
Seien jetzt I ⊆ R ein offenes Intervall, ϕ : I → C eine Parametrisierung von C<br />
und a ∈ R. Da ϕ : I → R 2 q-fach stetig differenzierbar ist, ist auch die auf der offenen<br />
Menge U := (a, a + 2π) × I ⊆ R 2 definierte Funktion<br />
⎛<br />
Φ : U → R 3 ; (φ, t) ↦→ D(φ) · ϕ(t) = ⎝<br />
cos φ − sin φ 0<br />
sin φ cos φ 0<br />
0 0 1<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ · ⎝<br />
ϕ1(t)<br />
0<br />
ϕ2(t)<br />
⎛<br />
= ⎝<br />
⎞<br />
⎠<br />
ϕ1(t) · cos φ<br />
ϕ1(t) · sin φ<br />
ϕ2(t)<br />
wieder q-fach stetig differenzierbar. Die Formel zeigt uns auch das <strong>für</strong> alle φ ∈ (a, a +<br />
2π), t ∈ I stets<br />
Φ(φ, t) = Ψa(ϕ1(t), φ, ϕ2(t))<br />
gilt. Wir wollen jetzt zeigen, dass Φ eine Parametrisierung von R ist, und hier<strong>zu</strong> weisen<br />
wir die drei definierenden Eigenschaften einer solchen nach. Seien (φ, t), (φ ′ , t ′ ) ∈ U mit<br />
(φ, t) �= (φ ′ , t ′ ) gegeben. Ist t �= t ′ , so ist auch ϕ(t) �= ϕ(t ′ ) da ϕ insbesondere injektiv<br />
ist, also haben wir (ϕ1(t), φ, ϕ2(t)) �= (ϕ1(t ′ ), φ ′ , ϕ2(t ′ )) und da Ψa injektiv ist folgt<br />
Φ(φ, t) = Ψa(ϕ1(t), φ, ϕ2(t)) �= Ψa(ϕ1(t ′ ), φ ′ , ϕ2(t ′ )) = Φ(φ ′ , t ′ ).<br />
2<br />
⎞<br />
⎠
Damit ist Φ injektiv. Sei jetzt V ⊆ R 2 offen mit V ⊆ U. Wir müssen zeigen, dass es eine<br />
offene Menge W ⊆ R 3 mit Φ(V ) = R ∩ W gibt. Sei p = (φ0, t0) ∈ V . Dann existieren<br />
offene Intervalle J, T ⊆ R mit φ0 ∈ J ⊆ (a, a + 2π), t0 ∈ T ⊆ I und Vp := J × T ⊆ V .<br />
Da ϕ eine Parametrisierung von C ist, gibt es weiter eine offene Menge S ⊆ R 2 mit<br />
ϕ(T ) = C ∩ S. Damit erhalten wir die offene Menge<br />
W ′ := {(r, φ, z) ∈ R>0 × J × R|(r, z) ∈ S} ⊆ R>0 × (a, a + 2π) × R<br />
und nach §1.Korollar 7.(a) ist die Menge Wp := Ψa(W ′ ) ⊆ R3 offen. Wir behaupten<br />
jetzt das Φ(Vp) = R ∩ Wp gilt. Die erste Inklusion ist dabei klar, <strong>für</strong> (φ, t) ∈ Vp<br />
haben wir (ϕ1(t), ϕ2(t)) = ϕ(t) ∈ ϕ(T ) ⊆ S, also ist (ϕ1(t), φ, ϕ2(t)) ∈ W ′ und somit<br />
Φ(φ, t) = Ψa(ϕ1(t), φ, ϕ2(t)) = Ψa(W ′ ) = Wp. Dies zeigt Φ(Vp) ⊆ R ∩ Wp. Nun sei<br />
umgekehrt q ∈ R ∩ Wp. Wegen q ∈ Wp = Ψa(W ′ ) existieren r > 0, φ ∈ J, z ∈<br />
R mit (r, z) ∈ S und q = Ψa(r, φ, z). Da außerdem q ∈ R ist gibt es ψ ∈ R und<br />
(x, w) ∈ C mit q = D(ψ)(x, 0, w) = Ψ(x, ψ, w), und wie wir eingangs gesehen haben<br />
folgt (r, z) = (x, w) ∈ C, also ist (r, z) ∈ C ∩ S = ϕ(T ) und somit existiert ein<br />
t ∈ T mit (r, z) = ϕ(t). Damit ist schließlich (φ, t) ∈ J × T = Vp mit Φ(φ, t) =<br />
Ψa(ϕ1(t), φ, ϕ2(t)) = Ψa(r, φ, z) = q, und wir haben q ∈ Φ(Vp) eingesehen. Damit ist<br />
auch R ∩ Wp ⊆ Φ(Vp), und haben wir Φ(Vp) = R ∩ Wp gezeigt. Wir erhalten die offene<br />
Menge W := �<br />
p∈V Wp ⊆ R3 mit<br />
R ∩ W = �<br />
(R ∩ Wp) = �<br />
� �<br />
�<br />
Φ(Vp) = Φ = Φ(V ).<br />
p∈V<br />
p∈V<br />
Damit haben wir die Offenheitsbedingung überprüft und kommen <strong>zu</strong>r dritten Eigenschaft<br />
einer Parametrisierung. Seienφ ∈ (a, a + 2π) und z ∈ R. Da ϕ eine Parametrisierung<br />
von C ist gilt (ϕ ′ 1(t), ϕ ′ 2(t)) �= (0, 0), also sind die beiden Vektoren<br />
∂<br />
∂φ<br />
⎛<br />
⎝<br />
ϕ1(t)<br />
φ<br />
ϕ2(t)<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ = ⎝<br />
0<br />
1<br />
0<br />
⎞<br />
⎠ und ∂<br />
∂t<br />
⎛<br />
⎝<br />
ϕ1(t)<br />
φ<br />
ϕ2(t)<br />
p∈V<br />
⎞<br />
Vp<br />
⎛<br />
⎠ = ⎝<br />
ϕ ′ 1(t)<br />
0<br />
ϕ ′ 2(t)<br />
linear unabhängig. Da Ψ ′ (ϕ1(t), φ, ϕ2(t)) invertierbar ist, sind damit auch<br />
∂Φ ∂Φ<br />
(φ, t), (φ, t)<br />
∂φ ∂t<br />
linear unabhängig. Damit ist Φ eine Parametrisierung von R und da die Bilder dieser<br />
Parametrisierungen ganz R überdecken ist R schließlich eine zweidimensionale C q -<br />
Untermannigfaltigkeit des R 3 .<br />
(18) Wir betrachten den Quader Q := [0, 1] × [0, 1] im R 2 und die Funktion f :<br />
Q → R; (x, y) ↦→ x + y. Weiter sei n ∈ N mit n ≥ 1 und bezeichne α die Zerlegung<br />
3<br />
⎞<br />
⎠
von Q die entsteht indem beide Koordinatenachsen äquidistant in n Teilstücke zerlegt<br />
werden. Berechne dann die Unter- und Obersumme S(f; α) und S(f; α). Folgere weiter,<br />
�<br />
direkt aus der Definition, dass f Riemann-integrierbar ist und berechne das Integral<br />
f(x, y) d(x, y).<br />
Q<br />
Sei n ∈ N mit n ≥ 1 und betrachte die Zerlegungen<br />
� �<br />
k<br />
σ :=<br />
n<br />
(x,y)∈Qkl<br />
0≤k≤n<br />
von [0, 1] und α := (σ, σ) von Q. Für alle 1 ≤ k, l ≤ n sind<br />
Qkl =<br />
�� � � �� � � � �<br />
k − 1 l − 1 k l k − 1 k l − 1 l<br />
, , , = , × , ,<br />
n n n n n n n n<br />
vol(Qkl) = 1<br />
,<br />
n2 mkl :=<br />
k − 1 l − 1 k + l − 2<br />
inf (x + y) = + = ,<br />
(x,y)∈Qkl<br />
n n n<br />
Mkl := sup (x + y) = k l k + l<br />
+ =<br />
n n n .<br />
Beachten wir jetzt<br />
so ergeben sich weiter<br />
S(f; α) = �<br />
1≤k,l≤n<br />
S(f; α) = �<br />
1≤k,l≤n<br />
�<br />
1≤k,l≤n<br />
k + l<br />
n<br />
= 2<br />
n�<br />
k = n(n + 1),<br />
k=1<br />
mkl · vol(Qkl) = 1<br />
n2 � �<br />
� k + l<br />
− 2n = 1 −<br />
n<br />
1≤k,l≤n<br />
1<br />
n ,<br />
Mkl · vol(Qkl) = 1<br />
n 2<br />
�<br />
1≤k,l≤n<br />
k + l<br />
n<br />
= 1 + 1<br />
n .<br />
Es ergeben sich<br />
�<br />
(x + y) d(x, y) = sup{S(f; α)|α ist eine Zerlegung von Q} ≥ 1<br />
Q<br />
und �<br />
(x + y) d(x, y) = inf{S(f; α)|α ist eine Zerlegung von Q} ≤ 1,<br />
Q<br />
und da andererseits auch �<br />
�<br />
(x + y) d(x, y) ≤ (x + y) d(x, y) gilt, folgt<br />
�<br />
Q<br />
Q<br />
�<br />
(x + y) d(x + y) =<br />
4<br />
Q<br />
Q<br />
(x + y) d(x, y) = 1.
Damit ist f Riemann-integrierbar mit �<br />
Q<br />
(x + y) d(x, y) = 1.<br />
(19) Sei M := {(x, y) ∈ R 2 |x·y = 0}. Zeigen Sie, dass M dann keine eindimensionale<br />
C 1 -Untermannigfaltigkeit des R 2 ist (das ist anschaulich klar, es geht hier um einen<br />
exakten Beweis dieser Tatsache).<br />
Explizit ist M = (R × {0}) ∪ ({0} × R) die Vereinigung von x- und y-Achse in der<br />
Ebene. Wir nehmen an M wäre eine eindimensionale C 1 -Untermannigfaltigkeit des R 2<br />
und wollen hieraus einen Widerspruch erhalten. Dies kann man auf vielerlei Arten tun,<br />
wir wollen hier die drei naheliegendsten Methoden vorführen.<br />
Beweis (Version 1): Da eine eindimensionale C 1 -Untermannigfaltigkeit des R 2 sich<br />
lokal als Graph einer stetig differenzierbaren Funktion R → R schreiben läßt und<br />
die Menge M symmetrisch bezüglich der Vertauschung von x- und y-Koordinaten ist,<br />
existieren offene Mengen U ⊆ R, V ⊆ R 2 mit (0, 0) ∈ V und eine stetig differenzierbare<br />
Funktion f : U → R mit<br />
M ∩ V = {(x, f(x))|x ∈ U}.<br />
Wegen (0, 0) ∈ V existiert weiter ein ɛ > 0 mit {0} × (−ɛ, ɛ) ⊆ V , also ist auch<br />
{0} × (−ɛ, ɛ) ⊆ M ∩ V = {(x, f(x))|x ∈ U}, ein Widerspruch.<br />
Beweis (Version 2): Wir betrachten die stetig differenzierbare Funktion<br />
ϕ : R → R 2 ; x ↦→ (x, 0).<br />
Dann ist ϕ injektiv mit ϕ(R) ⊆ M und <strong>für</strong> jedes x ∈ R ist dϕ/dx = (1, 0) �= 0. Nach<br />
§3.Lemma 3 ist ϕ eine Parametrisierung von M, und damit existiert eine offene Menge<br />
U ⊆ R 2 mit<br />
R × {0} = ϕ(R) = M ∩ U.<br />
Insbesondere ist (0, 0) ∈ U und somit existiert ein ɛ > 0 mit {0} × (−ɛ, ɛ) ⊆ U, also ist<br />
auch {0} × (−ɛ, ɛ) ⊆ M ∩ U = R × {0}, ein Widerspruch.<br />
Beweis (Version 3): Wir betrachten die stetig differenzierbaren Kurven<br />
γ : R → R 2 ; t ↦→ (t, 0) und δ : R → R 2 ; t ↦→ (0, t)<br />
mit γ(R), δ(R) ⊆ M. Wegen γ(0) = δ(0) = (0, 0) sind damit<br />
� �<br />
1<br />
= γ<br />
0<br />
′ � �<br />
0<br />
(0) ∈ T(0,0)M und<br />
1<br />
= δ ′ (0) ∈ T(0,0)M,<br />
d.h. der Tangentialraum T(0,0)M enthält zwei linear unabhängige Vektoren im Widerspruch<br />
<strong>zu</strong> §3.Satz 4.(a).<br />
(20) Seien R, r ∈ R mit R > r > 0. Weiter bezeichne C den Kreis mit Mittelpunkt<br />
(R, 0, 0) und Radius r in der xz-Ebene und T ⊆ R 3 den Torus der durch Rotation von C<br />
5
um die z-Achse entsteht (siehe Aufgabe (17)). Zeigen Sie, dass T eine zweidimensionale<br />
C∞-Untermannigfaltigkeit des R3 ist und das<br />
Φ : (a, a + 2π) × (b, b + 2π) → R 3 ⎛<br />
⎞<br />
(R + r cos ψ) · cos φ<br />
; (φ, ψ) ↦→ ⎝ (R + r cos ψ) · sin φ ⎠<br />
r sin ψ<br />
<strong>für</strong> alle a, b ∈ R eine Parametrisierung von T ist. Berechne weiter <strong>für</strong> jedes (x, y, z) ∈ T<br />
einen Normalenvektor auf dem Tangentialraum T(x,y,z)T .<br />
Die Funktion<br />
f : R 2 → R; (x, y) ↦→ (x − R) 2 + y 2<br />
ist unendlich oft differenzierbar und <strong>für</strong> alle (x, y) ∈ R 2 mit (x, y) �= (R, 0) gilt<br />
grad f(x, y) = (2(x − R), 2y) �= 0,<br />
d.h. r 2 > 0 ist ein regulärer Wert von f. Nach dem Satz vom regulären Urbild<br />
§3.Korollar 2 ist C = f −1 (r 2 ) eine eindimensionale C ∞ -Untermannigfaltigkeit des R 2 .<br />
Für jedes (x, y) ∈ C gilt<br />
also ist auch<br />
|x − R| = � (x − R) 2 = � r 2 − y 2 ≤ √ r 2 = r,<br />
x = R + (x − R) ≥ R − |x − R| ≥ R − r > 0,<br />
d.h. es gilt C ⊆ R>0 × R. Nach Aufgabe (17) ist T eine zweidimensionale C ∞ -<br />
Untermannigfaltigkeit des R 3 . Nun seien a, b ∈ R gegeben. Dann ist die Abbildung<br />
ϕ : (b, b + 2π) → R 2 ; ψ ↦→ (R + r cos ψ, r sin ψ)<br />
unendlich oft differenzierbar mit ϕ((b, b + 2π)) ⊆ C. Die Abbildung ϕ ist aufgrund der<br />
entsprechenden Aussage <strong>für</strong> die Polarkoordinaten injektiv und <strong>für</strong> alle ψ ∈ (b, b + 2π)<br />
gilt<br />
ϕ ′ (ψ) = (−r sin ψ, r cos ψ) �= (0, 0),<br />
d.h. nach §3.Lemma 3 ist ϕ eine Parametrisierung von C. Nach Aufgabe (17) ist die<br />
in der Behauptung angegebene Funktion Φ eine Parametrisierung von T .<br />
Wir kommen <strong>zu</strong>r Berechnung der Normalenvektoren. Sei (x, y, z) ∈ T und schreibe<br />
x = (R + cos ψ) cos φ, y = (R + r cos ψ) sin φ und z = r sin ψ. Bezeichne Φ die obige<br />
Parametrisierung von T bezüglich a = φ − π und b = ψ − π. Nach §3.Satz 3.(b) ist<br />
u := ∂Φ<br />
(φ, ψ) =<br />
∂φ<br />
⎛<br />
⎝<br />
−(R + r cos ψ) sin φ<br />
(R + r cos ψ) cos φ<br />
0<br />
6<br />
⎞<br />
⎠ , v := ∂Φ<br />
(φ, ψ) =<br />
∂ψ<br />
⎛<br />
⎝<br />
−r sin ψ cos φ<br />
−r sin ψ sin φ<br />
r cos ψ<br />
⎞<br />
⎠
eine Basis des Tangentialraums T(x,y,z)T . Einen auf dem Tangentialraum senkrecht<br />
stehenden Vektor erhalten wir als<br />
⎛<br />
⎞<br />
r(R + r cos ψ) cos φ cos ψ<br />
w := u × v = ⎝ r(R + r cos ψ) sin φ cos ψ ⎠<br />
r(R + r cos ψ) sin ψ<br />
Es ist ||w||2 = r(R + r cos ψ), also erhalten wir einen Normalenvektor auf T(x,y,z)T als<br />
�n(x, y, z) := w<br />
||w||2<br />
⎛<br />
= ⎝<br />
cos φ cos ψ<br />
sin φ cos ψ<br />
sin ψ<br />
Wir wollen diesen Vektor jetzt noch in Termen der Koordinaten x, y, z ausdrücken.<br />
Wegen z = r sin ψ ist dabei sin ψ = z/r. Beachten wir weiter<br />
so ergeben sich<br />
cos ψ =<br />
also haben wir<br />
und analog<br />
Damit ist schließlich<br />
�<br />
x2 + y2 − R<br />
, cos φ =<br />
r<br />
x 2 + y 2 = (R + r cos ψ) 2 ,<br />
cos φ cos ψ = x(� x 2 + y 2 − R)<br />
r � x 2 + y 2<br />
x<br />
� x 2 + y 2<br />
⎞<br />
⎠ .<br />
und sin φ =<br />
= x<br />
�<br />
�<br />
R<br />
1 − �<br />
r x2 + y2 sin φ cos ψ = y<br />
�<br />
�<br />
r<br />
R<br />
1 − �<br />
x2 + y2 .<br />
�n(x, y, z) = 1<br />
r<br />
⎛<br />
⎜ y<br />
⎝<br />
�<br />
x<br />
√ x 2 +y 2<br />
1 − R<br />
�<br />
1 − R<br />
√ x 2 +y 2<br />
7<br />
z<br />
�<br />
�<br />
⎞<br />
⎟ .<br />
⎟<br />
⎠<br />
y<br />
� x 2 + y 2 ,