3.4. Rang und Inversion einer Matrix

3.4. Rang und Inversion einer Matrix
Der Rang einer Matrix
ist die Dimension ihres Zeilenraumes, also die Maximalzahl linear unabhängiger Zeilen. Daß der
Rang sich bei elementaren Zeilenumformungen nicht ändert, ist klar (denn es bleibt ja sogar der
Zeilenraum der selbe). Schwerer zu zeigen ist, daß der Rang auch bei elementaren
Spaltenumformungen erhalten bleibt (wir glauben das an dieser Stelle den Mathematikern).
Der Rang ist nichts anderes als die Zahl der positiven Diagonalelemente nach Schritt 4 am Ende
des Gauß-Jordan-Verfahrens.
Andererseits ist die Zahl der negativen Diagonalelemente die Dimension des Lösungsraumes für
das homogene Gleichungssystem
A x = 0 .
Dieser Lösungsraum heißt Kern der Matrix A (bzw. der durch sie dargestellten linearen
Abbildung).
Wir haben damit folgende wichtigen Gleichungen:
(R1) Rang A = Dimension des Zeilenraumes = Dimension des Spaltenraumes = Rang A T
(R2) Rang A + dim Kern A = Spaltenzahl von A .
Kennt man also den Rang, so auch die Dimension des Lösungsraumes.
Das Ergebnis des Gauß-Jordan-Verfahrens bis einschließlich Schritt 3 (und damit die Bestimmung
einer Basis des Zeilenraumes und insbesondere des Ranges) liefert Maple in einem Schritt nach
Eingabe des Befehls gaussjord(A).
Beispiel 1
Eine Basis des Zeilenraums einer zufälligen 3 5-Matrix
⎡-85
-55 -37 -35 97⎤
⎢
⎥
A := ⎢ 50 79 56 49 63⎥
⎢
⎥
⎣ 57 -59 45 -8 -93⎦
⎡
⎢
1 0 0
⎢ 0 1 0
⎢
⎢ 0 0 1
⎣
10567
359064
23389
59844
106775
359064
-486689 ⎤
⎥
179532 ⎥
23947 ⎥
29922 ⎥
433823 ⎥
⎥
179532 ⎦
Offenbar ist der Rang einer m n-Matrix höchstens so groß wie das Minimum von m und n. Die
Wahrscheinlichkeit, daß er echt kleiner als dieses Minimum wird, ist Null - aber es passiert eben
doch in Spezialfällen. Zum Beispiel hat jede Matrix der Form
a T a
für einen beliebigen von 0 verschiedenen Zeilenvektor den Rang 1 (denn alle Spalten sind
Vielfache von a T ).

Die Rang-Ungleichung
Rang( AB ) ≤ Rang( A ) Rang( B )
gilt für beliebige Matrizen A und B, deren Produkt definiert ist.
Beispiel 2
Eingabe zufälliger Matrizen zeigt, dass die Rang-Ungleichung fast immer eine Gleichung ist!
⎡ 8
A := ⎢
⎣-5
-44
23
-80⎤
⎥
34⎦
⎡-81
⎢
B := ⎢ 63
⎢
⎣-63
-95⎤
⎥
-24 ⎥
-36⎦
AB =
,
⎡1620
⎢
⎣ -288
⎡-173
3176⎤
⎢
⎥ BA = ⎢ 624
-1301⎦
⎢
⎣-324
1379
-3324
1944
3250⎤
⎥
-5856 ⎥
3816⎦
Rang( A ) = 2 , Rang( B) = 2 , Rang( AB) = 2 , Rang( BA) = 2
Wenn für zwei Matrizen A und B sowohl das Produkt AB als auch BA definiert ist (wann ist das der
Fall?), so braucht der Rang von AB dennoch nicht mit dem Rang von BA übereinzustimmen.
Beispiel 3
Produkte mit verschiedenen Rängen
A = ,
⎡
⎡ 0 0⎤
1 0 0⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥ B = ⎢ 1 0⎥
⎣0
1 0⎦
⎢ ⎥
⎣ 1 1⎦
AB = ,
⎡
⎡0
0 0⎤
0 0⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥ BA = ⎢1
0 0⎥
⎣ 1 0⎦
⎢ ⎥
⎣1
1 0⎦
Rang( A ) = 2 , Rang( B) = 2 , Rang( AB) = 1 , Rang( BA) = 2
Mit Hilfe des Ranges kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems testen (ohne die
Lösungen explizit zu berechnen):
Satz über die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems
Das Gleichungssystem A x = b ist genau dann lösbar, wenn der Rang der geränderten Matrix (A,b)
mit dem Rang von A übereinstimmt.
Denn das bedeutet gerade, daß der Spaltenraum von A die gleiche Dimension wie der Spaltenraum
von (A,b) hat, also mit diesem bereits zusammenfällt - und das geht dann und nur dann, wenn b
eine Linearkombination der Spalten von A , also in der Form A x = b darstellbar ist.

Beispiel 4
⎡ 63 57⎤
⎡ 92⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
A = ⎢-59
45⎥,
b = ⎢ 43⎥,
Rang( A) = 2 , Rang ( A, b) = 3
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ -8 -93⎦
⎣-62⎦
Ein solches Gleichungssystem mit einer 3 2-Matrix A ist nur sehr selten lösbar, weil A höchstens
Rang 2 haben kann, die geränderte Matrix aber fast immer den Rang 3 hat!
Gauß-Jordan-Elimination für die geränderte Matrix ergibt im vorliegenden Fall die Einheitsmatrix
⎡1
0 0⎤
⎢ ⎥
⎢0
1 0⎥
⎢ ⎥
⎣0
0 1⎦
Invertierbare Matrizen
Eine quadratische Matrix A heißt invertierbar, falls es eine Matrix B mit A B = B A = E gibt.
Im nächsten Satz stellen wir eine ganze Reihe von Kriterien für die Invertierbarkeit einer Matrix
zusammen.
Satz. Die folgenden Aussagen über eine Matrix A aus K
(a1) A ist invertierbar.
(a2) Es gibt ein B aus K
(a3) Es gibt ein C aus K
( n x n )
( n x n )
mit A B = E.
mit C A = E.
( n x n )
(b1) Die durch A dargestellte lineare Abbildung ist bijektiv.
(b2) Die durch A dargestellte lineare Abbildung ist surjektiv.
(b3) Die durch A dargestellte lineare Abbildung ist injektiv.
(c1) A x = b hat für jedes b aus Kn genau eine Lösung.
(c2) A x = b hat für jedes b aus Kn mindestens eine Lösung.
(c3) A x = b hat für jedes b aus Kn höchstens eine Lösung.
(d1) Die Spalten von A bilden eine Basis des K n .
(d2) Die Spalten von A bilden ein Erzeugendensystem des K n .
(d3) Die Spalten von A sind linear unabhängig.
sind äquivalent:
(e1) A x = 0 hat nur die Lösung x = 0.
(e2) A läßt sich durch elementare Zeilenumformungen in die Einheitsmatrix umformen.
(e3) Rang A = n.
In jeder dieser Aussagen kann man A durch A T ersetzen.

Beweisschema: Die nachfolgenden Implikationen sind sämtlich ohne Mühe nachzuprüfen.
(a2) ---> (b2) ---> (c2) ---> (d2) ---> (e2)
/ / / / /
(a1) ---> (b1) ---> (c1) ---> (d1) ---> (e1)
\ \ \ \ \
(a3) ---> (b3) ---> (c3) ---> (d3) ---> (e3)
Auch von (e2) bzw. (e3) zurück nach (a2) kommt man relativ leicht. Etwas trickreich ist der Schritt
von (a2) nach (a1). Hier nutzt man aus, daß die umgekehrte Implikation schon gezeigt ist, und daß
beim Transponieren eines Produktes zweier Matrizen sich die Reihenfolge vertauscht:
( A B) =
T B T A T .
Daß eine Linksinverse mit einer Rechtsinversen übereinstimmen muß, sieht man so:
A B = E = C A ==> B = E B = C A B = C E = C .
Aufgrund des obigen Satzes gibt es zu einer invertierbaren Matrix A genau eine Matrix , deren
Multiplikation mit A (von links oder rechts) die Einheitsmatrix ergibt. Man nennt diese Matrix die
Inverse von A und bezeichnet sie mit
( ) −1
A .
Sind A und B invertierbare n n-Matrizen, so auch AB, und es gilt
( ) −1
( )
B −1
( ) −1
( A B ) = A .
Denn aufgrund des Assoziativgesetzes haben wir
Beispiel 5
( )
A B B =
−1 ( )
A −1
A E A
( ) −1
( ) −1
( ) −1
= A A = E.
Für die Einheitsmatrix E ist E = E.
Allgemeiner ist jede Diagonalmatrix invertierbar, und die Inverse ist wieder eine Diagonalmatrix:
Ist A von der Form
( )
so hat A −1
die Gestalt
⎡
⎢
⎢
⎣
1
a 1
0
⎡a
⎢ 1 0 0 ⎤
⎥
⎢ ⎥
⎢ 0 a2 0 ⎥
⎢ ⎥
⎣ 0 0 a3⎦ 0 0
1
a 2
0 0
0
1
a 3
⎤
⎥
⎥
⎦

Orthogonale Matrizen
Jede orthogonale Matrix (insbesondere jede Drehung und jede Spiegelung) A ist wegen
A =
T A E
invertierbar, und die Inverse ist die Transponierte.
Beispiel 6
Die folgende Matrix ist orthogonal:
⎡
⎢
A :=
⎢
⎢
⎣
2
3
-2
3
1
3
1
3
2
3
2
3
A A =
T
⎡1
0 0⎤
⎢ ⎥
⎢0
1 0⎥
⎢ ⎥
⎣0
0 1⎦
Sie beschreibt eine Drehung um die Achse (-1,1,1) und einen Winkel von 60 =
0
⎡ -1⎤
⎡ -1⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
A ⎢ 1⎥
= ⎢ 1⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ 1⎦
⎣ 1⎦
Die Transponierte ist tatsächlich die Inverse:
A =
T
⎡
⎢
⎢
⎣
2
3
1
3
-2
3
-2
3
2
3
-1
3
Eine Spiegelungsmatrix S ist sogar zu sich selbst invers:
S = S
( ) −1
= S T .
Beispiel 7
In der obigen Drehmatrix vertauscht man zweite und dritte Spalte und bekommt eine Spiegelung:
⎡
⎢
S :=
⎢
⎢
⎣
2
3
-2
3
1
3
-2
3
-1
3
2
3
-2
3
-1
3
2
3
1
3
2
3
2
3
1
3
2
3
2
3
⎤
⎥
⎥
⎦
⎤
⎥
⎥
⎦
⎤
⎥
⎥
⎦
π
6 .

Berechnung der Inversen
Die Inverse einer Matrix A kann man mit Hilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus bestimmen (aber in
der Praxis geht das nur für kleine Matrizen): Man wendet elementare Zeilenumformungen simultan
( )
auf A und E an. Am Ende hat man A in E umgeformt, und dann ist aus E die inverse Matrix A −1
geworden. Das liegt daran, daß jede elementare Zeilenumformung durch Multiplikation mit einer
invertierbaren Matrix von links bewirkt wird.
Es passiert relativ selten, dass die Inverse einer ganzzahligen Matrix wieder ganzzahlig ist.
Beispiel 9
Eine ganzzahlige Matrix mit ganzzahliger Inverser
⎡1
2 1⎤
⎡1
0 0⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢3
1 0⎥,
⎢0
1 0⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣0
2 1⎦
⎣0
0 1⎦
Subtraktion der dreifachen ersten Zeile von der zweiten Zeile:
⎡1
2 1⎤
⎡ 1 0 0⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢0
-5 -3⎥,
⎢-3
1 0⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣0
2 1⎦
⎣ 0 0 1⎦
Addition der dreifachen dritten Zeile zur zweiten Zeile:
Subtraktion der dritten Zeile zur ersten Zeile:
⎡1
2 1⎤
⎡ 1 0 0⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢0
1 0⎥,
⎢-3
1 3⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣0
2 1⎦
⎣ 0 0 1⎦
⎡1
0 0⎤
⎡ 1 0 -1⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢0
1 0⎥,
⎢-3
1 3⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣0
2 1⎦
⎣ 0 0 1⎦
Subtraktion der zweifachen zweiten Zeile von der dritten Zeile:
⎡1
0 0⎤
⎡ 1 0 -1⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢0
1 0⎥,
⎢-3
1 3⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣0
0 1⎦
⎣ 6 -2 -5⎦
Die rechts unten stehende Matrix ist also die Inverse von A. Invertiert man sie nochmals, kommt
natürlich die ursprüngliche Matrix A heraus:
⎡1
2 1⎤
⎢ ⎥
⎢3
1 0⎥
⎢ ⎥
⎣0
2 1⎦
Die Transponierte einer invertierbaren Matrix A ist wieder invertierbar, und die Inverse von A T ist
die Transponierte von A
( ) −1
.

Beispiel 9
Transponieren und Invertieren
⎡-85
-55 -37 -35⎤
⎢
⎥
⎢ 97 50 79 56⎥
A = ⎢
⎥,
A =
⎢ 49 63 57 -59⎥
⎢
⎥
⎣ 45 -8 -93 92⎦
T
⎡-85
97 49 45⎤
⎢
⎥
⎢-55
50 63 -8⎥
⎢
⎥
⎢-37
79 57 -93⎥
⎢
⎥
⎣-35
56 -59 92⎦
Wir lassen Maple erst die Inverse der Transponierten, dann die Transponierte der Inversen
berechnen:
⎡ 367657 -123535 11217 -4597⎤
⎡ 367657 -123535 11217 -4597⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎢2912996
728249 2912996 63326⎥
⎢
⎥ ⎢2912996
728249 2912996 63326 ⎥
⎢
⎥
⎢ 199729 -133739 27185 -1016 ⎢
⎥ ⎢ 199729 -133739 27185 -1016 ⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢2912996
1456498 2912996 31663⎥
⎢2912996
1456498 2912996 31663⎥
⎢
⎥,
⎢
⎥
⎢ 179387 -47919 -14525 -2589⎥
⎢ 179387 -47919 -14525 -2589⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢2912996
728249 2912996 63326 ⎢
⎥ ⎢2912996
728249 2912996 63326 ⎥
⎢
⎥
⎢ 133337 -74049 -21595 -742 ⎢
⎥
⎥ ⎢ 133337 -74049 -21595 -742 ⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣2912996
1456498 2912996 31663⎦
⎣2912996
1456498 2912996 31663⎦
Es kommt das Gleiche heraus!
Übrigens ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer völlig zufällig gewählten Matrix einmal keine
invertierbare zu erwischen, gleich Null. Da die Zufallsmatrizen bei Maple aber nur ganzzahlige
Werte zwischen -99 und 99 annehmen, sind es nur endlich viele, und unter diesen befinden sich
natürlich einige nicht invertierbare Matrizen, z.B. alle mit einer Nullzeile oder Nullspalte. Hier ist
also die Wahrscheinlichkeit einer nicht invertierbaren Matrix doch größer als Null, allerdings
winzig kein.
Potenzen von Matrizen
Man kann nun beliebige ganzzahlige Potenzen einer invertierbaren Matrix definieren. Für positive
Exponenten k ist
A k natürlich das k-fache Produkt von A mit sich selbst, und für negative Exponenten setzt man
( )
A −k
( ) −1
k
( )
k −1
:= ( A ) = ( A ) ,
sofern A invertiebar ist. Es gelten dann die üblichen Potenzregeln, wie z.B.
A
( ) + k l
l
k
( A ) = A
= A k A l und
( k l)
Beispiel 10
Potenzen einer zufälligen Matrix
.
⎡63
57 -59⎤
⎢
⎥
A := ⎢45
-8 -93⎥
⎢
⎥
⎣92
43 -62⎦

Für
inverse( A)
=
inverse( A ) =
3
⎡ -16003171693
⎢
⎢4186794517545748
⎢ 17213296233
⎢
⎢2093397258772874
⎢ 17829301437
⎢
⎣4186794517545748
inverse( A )
3
( ) −4
( A )
3 A
( −1 )
muss wieder A herauskommen:
⎡ -16003171693
⎢
⎢4186794517545748
⎢
=
⎢ 17213296233
⎢
⎢2093397258772874
⎢ 17829301437
⎢
⎣4186794517545748
⎡ -4495
⎢
⎢203066
⎢ 2883
⎢
⎢101533
⎢ -2671
⎢
⎣203066
-997
203066
-761
101533
-2535
203066
13437482051
5773 ⎤
⎥
203066 ⎥
-1602 ⎥
101533 ⎥
3069 ⎥
⎥
203066⎦
4186794517545748
-6612278156
1046698629386437
3656964977
4186794517545748
13437482051
4186794517545748
-6612278156
1046698629386437
3656964977
4186794517545748
inverse( A ) =
3
inverse( A )
4
⎡63
57 -59⎤
⎢
⎥
⎢45
-8 -93⎥
⎢
⎥
⎣92
43 -62⎦
3322829277 ⎤
⎥
4186794517545748 ⎥
-9870504774 ⎥
1046698629386437 ⎥
-25925808949 ⎥
⎥
4186794517545748⎦
3322829277 ⎤
⎥
4186794517545748 ⎥
-9870504774 ⎥
1046698629386437 ⎥
-25925808949 ⎥
⎥
4186794517545748⎦
Beispiel 11
Potenzen einer Matrix, bei der in der Hauptdiagonalen und in der ersten Diagonalen darüber
Einsen stehen
⎡1
1 0 0 0 0 0 0⎤
⎢
⎥
⎢0
1 1 0 0 0 0 0⎥
⎢
⎥
⎢0
0 1 1 0 0 0 0⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
B = ⎢
0 0 0 1 1 0 0 0
⎥
⎢
⎥
⎢
0 0 0 0 1 1 0 0
⎥
⎢
⎥
⎢
0 0 0 0 0 1 1 0
⎥
⎢0
0 0 0 0 0 1 1⎥
⎢
⎥
⎣0
0 0 0 0 0 0 1⎦

B 4
B 2
⎡1
2 1 0 0 0 0 0⎤
⎢
⎥
⎢0
1 2 1 0 0 0 0⎥
⎢
⎥
⎢0
0 1 2 1 0 0 0⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
= ⎢
0 0 0 1 2 1 0 0
⎥
⎢
⎥
,
⎢
0 0 0 0 1 2 1 0
⎥
⎢
⎥
⎢
0 0 0 0 0 1 2 1
⎥
⎢0
0 0 0 0 0 1 2⎥
⎢
⎥
⎣0
0 0 0 0 0 0 1⎦
⎡1
4 6 4 1 0 0 0⎤
⎢
⎥
⎢0
1 4 6 4 1 0 0⎥
⎢
⎥
⎢0
0 1 4 6 4 1 0⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
= ⎢
0 0 0 1 4 6 4 1
⎥
⎢
⎥
,
⎢
0 0 0 0 1 4 6 4
⎥
⎢
⎥
⎢
0 0 0 0 0 1 4 6
⎥
⎢0
0 0 0 0 0 1 4⎥
⎢
⎥
⎣0
0 0 0 0 0 0 1⎦
In den Zeilen wie in den Spalten stehen die Binomialkoeffizienten!
B 5
B 3
⎡1
3 3 1 0 0 0 0⎤
⎢
⎥
⎢0
1 3 3 1 0 0 0⎥
⎢
⎥
⎢0
0 1 3 3 1 0 0⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
= ⎢
0 0 0 1 3 3 1 0
⎥
⎢
⎥
⎢
0 0 0 0 1 3 3 1
⎥
⎢
⎥
⎢
0 0 0 0 0 1 3 3
⎥
⎢0
0 0 0 0 0 1 3⎥
⎢
⎥
⎣0
0 0 0 0 0 0 1⎦
⎡1
5 10 10 5 1 0 0⎤
⎢
⎥
⎢0
1 5 10 10 5 1 0⎥
⎢
⎥
⎢0
0 1 5 10 10 5 1⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
= ⎢
0 0 0 1 5 10 10 5
⎥
⎢
⎥
⎢
0 0 0 0 1 5 10 10
⎥
⎢
⎥
⎢
0 0 0 0 0 1 5 10
⎥
⎢0
0 0 0 0 0 1 5⎥
⎢
⎥
⎣0
0 0 0 0 0 0 1⎦