SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX ...
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2 Wurzeln, Potenzen, reelle Zahlen 12. Wir suchen eine Quadratzahl, deren Doppeltes wieder eine Quadratzahl ist Wir gehen aus von 2 ·n 2 = z 2 . Demnach soll n 2 +n 2 eine Quadratzahl sein. Beispiele: Für n = 3 und für n = 4 ist das Doppelte offenbar keine Quadratzahl. Für welche n klappt es? Es muss sein: Die schraffierten Teile haben zusammen den Flächeninhalt des unschraffierten Quadrats. Hauptidee: Die schraffierten Teile werden in das unschraffierte Quadrat gelegt: 32
2 Wurzeln, Potenzen, reelle Zahlen Die beiden kleinen grauen Quadrate müssen zusammen so groß sein wie das große weiße Quadrat. Das ist aber die Ausgangssituation. Also: Wenn 2 · n 2 eine Quadratzahl ist, so ist auch 2 · k 2 eine Quadratzahl mit k < n. Daher ist 2 · n 2 für kein n eine Quadratzahl. Hier lässt sich die Irrationalität von √ 2 anschließen. Quelle: Jahnke, T. in JMD (1983), S. 163-170 13. Konstruktion irrationaler Zahlen Konstruiere eine Zahl, die nicht abbricht und nicht periodisch ist. 14. Intervallschachtelung mit Telefonnummern Wie kann die (sechsstellige) Telefonnummer von Sabine ’erraten’ werden, wenn Sabine nur mit ’Höher’ oder ’Niedriger’ antwortet? Variationen: (a) Tel-Nr. eines Schülers verwenden (b) Wie oft muss man bei einer sechsstelligen Zahl höchstens nachfragen? Antwort: Zwanzig Mal 15. Heron-Algorithmus 33
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2 Wurzeln, Potenzen, reelle Zahlen<br />
Die beiden kleinen grauen Quadrate müssen zusammen so groß sein wie das große<br />
weiße Quadrat.<br />
Das ist aber die Ausgangssituation. Also: Wenn 2 · n 2 eine Quadratzahl ist, so ist<br />
auch 2 · k 2 eine Quadratzahl <strong>mit</strong> k < n.<br />
Daher ist 2 · n 2 für kein n eine Quadratzahl. Hier lässt sich die Irrationalität von √ 2<br />
anschließen.<br />
Quelle: Jahnke, T. in JMD (1983), S. 163-170<br />
13. Konstruktion irrationaler Zahlen<br />
Konstruiere eine Zahl, die nicht abbricht und nicht periodisch ist.<br />
14. Intervallschachtelung <strong>mit</strong> Telefonnummern<br />
Wie kann die (sechsstellige) Telefonnummer von Sabine ’erraten’ werden, wenn Sabine<br />
nur <strong>mit</strong> ’Höher’ oder ’Niedriger’ antwortet?<br />
Variationen:<br />
(a) Tel-Nr. eines Schülers verwenden<br />
(b) Wie oft muss man bei einer sechsstelligen Zahl höchstens nachfragen? Antwort:<br />
Zwanzig Mal<br />
15. Heron-Algorithmus<br />
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