U - I. Physikalisches Institut B
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Grundpraktikum Physik<br />
Teil I<br />
RWTH Aachen<br />
I. <strong>Physikalisches</strong> <strong>Institut</strong> B<br />
Dr. Th. Kirn, Dr. A. Ostaptchouk, Prof. Dr. F. Raupach,<br />
Prof. Dr. St. Schael, Dr. G. Schwering<br />
http://accms04.physik.rwth-aachen.de/∼praktapp<br />
Version vom 10.07.2012<br />
1
Inhaltsverzeichnis<br />
0 Einleitung 7<br />
0.1 Arbeitsablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
0.2 Benutzung der Notebooks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
0.3 Versuchsvorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
0.4 Bewertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
0.5 Zeitlicher Ablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
1 Mechanik 13<br />
1.1 Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem Pendel . . . . . . . . . . . . . 13<br />
1.1.1 Das mathematische Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
1.1.2 Das physikalische Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
1.1.3 Bestimmung der Erdbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
1.1.4 Versuchsaufbau und Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18<br />
1.2 Schwingungen von gekoppelten Pendeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
1.2.1 Die Bewegungsgleichung für das gekoppelte Pendel . . . . . . . . . . 23<br />
1.2.2 Messgrössen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
1.2.3 Versuchsaufbau und Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26<br />
1.3 Trägheitsmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br />
1.3.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br />
1.3.2 Versuchsbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />
1.3.3 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />
1.3.4 Hinweise zum Experimentieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />
1.3.5 Bestätigung von J = f(r 2 ) und Bestimmung des Direktionsmomentes D 35<br />
1.3.6 Vergleich der Trägheitsmomente von Zylindern gleicher Masse mit verschiedener<br />
Massenverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br />
1.3.7 Trägheitsmoment der Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />
1.3.8 Bestätigung des Steinerschen Satzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39<br />
2 Akustik 41<br />
2.1 Schallgeschwindigkeit in Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42<br />
2.1.1 Versuchsziel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42<br />
2.1.2 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />
2.1.3 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44<br />
2.1.4 Messung und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44<br />
3
4 Inhaltsverzeichnis<br />
2.2 Schallgeschwindigkeit in Festkörpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br />
2.2.1 Versuchsziel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br />
2.2.2 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br />
2.2.3 Messung und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55<br />
2.3 Schwebungen von Schallwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59<br />
2.3.1 Versuchsziel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59<br />
2.3.2 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59<br />
2.3.3 Messung und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59<br />
2.4 Doppler-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64<br />
2.4.1 Versuchsziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64<br />
2.4.2 Physikalische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64<br />
2.4.3 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68<br />
2.4.4 Versuchsdurchführung und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . 71<br />
3 Wärmelehre 79<br />
3.1 Dampfdruckkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79<br />
3.1.1 Theoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80<br />
3.1.2 Versuchsaufbau und Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92<br />
3.1.3 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95<br />
3.2 Adiabatic Coefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98<br />
3.2.1 Rüchardt method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98<br />
3.2.2 Setup and Carrying out the Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . 100<br />
4 Elektrizitätslehre 103<br />
4.1 Charakterisierung der Ohmschen Widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . . 104<br />
4.1.1 Versuchsbeschreibung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104<br />
4.1.2 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104<br />
4.1.3 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104<br />
4.1.4 Versuchsauswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106<br />
4.2 Auf- und Entladung eines Kondensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108<br />
4.2.1 Versuchsbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108<br />
4.2.2 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110<br />
4.2.3 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110<br />
4.2.4 Versuchsauswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111<br />
4.3 Auf- und Entladung einer Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114<br />
4.3.1 Versuchsbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114<br />
4.3.2 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118<br />
4.3.3 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118<br />
4.3.4 Versuchsauswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123<br />
4.4 Gedämpfter LC-Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125<br />
4.4.1 Versuchsbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125<br />
4.4.2 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133<br />
4.4.3 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134<br />
4.4.4 Versuchsauswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Inhaltsverzeichnis 5<br />
4.5 Gekoppelte LC-Schwingkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138<br />
4.5.1 Versuchsbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138<br />
4.5.2 Analogie zu gekoppelten Pendeln in der Mechanik . . . . . . . . . . . 139<br />
4.5.3 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144<br />
4.5.4 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145<br />
4.5.5 Versuchsauswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146<br />
4.6 Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6 Inhaltsverzeichnis
Kapitel 0<br />
Einleitung<br />
In dem Grundpraktikum für Physiker und Mathematiker (Diplom, Bachelor und Lehramt)<br />
sollen die Studenten moderne Arbeitsmethoden in der Physik kennen- und anwenden lernen.<br />
Dabei sollen folgende Kompetenzen erworben werden:<br />
• Anwendung physikalischen Wissens aus den Vorlesungen<br />
• Aufbau eines Experimentes<br />
• Computerunterstützte Messung und Auswertung<br />
• Präsentation der Ergebnisse<br />
• Arbeiten in der Gruppe<br />
Die Studenten sollen sich intensiv mit dem Versuch, dem physikalischen Hintergrund, den<br />
Messmethoden und der Auswertung der Daten auseinandersetzen. Für jeden Versuch stehen<br />
daher zwei Tage zur Verfügung.<br />
Das Praktikum wird wie folgt gegliedert:<br />
• Die Studenten erarbeiten insgesamt vier Versuche in vier Wochen aus den Arbeitsgebieten:<br />
Mechanik, Akustik, Wärmelehre und Elektrizitätslehre.<br />
• Der Stoff orientiert sich an der Vorlesung Experimentalphysik I und II, in denen die<br />
physikalischen Grundlagen vermittelt worden sind.<br />
• Eine Arbeitsgruppe besteht aus vier Studenten und einem Tutor. Jeder Tutor betreut<br />
einen Versuch während der vier Wochen und jeweils zwei Arbeitsgruppen gleichzeitig.<br />
• Maximal vier Arbeitsgruppen arbeiten in einem Raum unter der Betreuung von zwei<br />
Tutoren.<br />
Zu Beginn des Praktikums gibt es eine eintägige Veranstaltung, in der den Studenten Voraussetzungen,<br />
Gruppeneinteilungen, Praktikumsregeln, sowie Grundkenntnisse in Fehlerrechung<br />
(Statistik) und in Gerätekunde vermittelt werden. Diese Lehrveranstaltungen sind kombinierte<br />
Vorlesungen und Übungen.<br />
7
8 Kapitel 0. Einleitung<br />
0.1 Arbeitsablauf<br />
Das Praktikum wird im Sommersemester (Wintersemester) für 256 (64) Studenten ausgelegt,<br />
die in 64 (16) Arbeitsgruppen A01-A16 (A01-A04), B01-B16 (B01-B04), C01-C16 (C01-C04)<br />
und D01-D16 (D01-D04) eingeteilt werden. Die Gruppen sind vormittags (von 08:30 Uhr bis<br />
13:00 Uhr) im Wechsel jeweils drei Tage aktiv und bereiten einen Tag die Versuche vor.<br />
• 1. Tag: Anwesenheitspflicht vormittags von 08:30 bis 13:00 Uhr<br />
Vorbesprechung mit dem Tutor, Erarbeitung eines geeigneten Versuchsaufbaus. Versuchsaufbau,<br />
inkl. Inbetriebnahme aller für die Messung erforderlicher Geräte und<br />
Computer. Pro Arbeitsgruppe sollen zwei Versuchsaufbauten in Betrieb genommen<br />
werden, die identisch oder unterschiedlich sein können, je nach Fragestellung. Die<br />
Messdaten werden aufgezeichnet und die Auswertung soweit durchgeführt, dass erste,<br />
vorläufige Ergebnisse diskutiert werden können. Die Versuchsaufbauten/-einstellungen,<br />
die Namen der Dateien und die vorläufigen Ergebnisse werden in Form eines Messprotokolls<br />
dokumentiert. Der Vormittag endet mit der Rückgabe der Versuchsaufbauten<br />
und Computer. Die Tutoren zeichnen die Messprotokolle ab. Die Messprotokolle werden<br />
später an das erstellte Protokoll angehängt. Zur weiteren Versuchsauswertung steht<br />
nachmittags der CIP-Pool der Physik zur Verfügung.<br />
• 2. Tag:<br />
Die Auswertung der Versuche wird im CIP-Pool der Physik oder auf eigenen Computern<br />
zu Hause weitergeführt und abgeschlossen. Das Protokoll wird von der Arbeitsgruppe<br />
gemeinsam erarbeitet.<br />
• 3. Tag: Anwesenheitspflicht nachmittags von 14:00 bis 18:30 Uhr<br />
Die Arbeitsgruppe gibt vormittags bis 10:00 Uhr ein Protokoll ab im Sekretariat des<br />
I. Physikalischen <strong>Institut</strong>es B, Raum 28C207, welches die Messergebnisse beider Versuchsaufbauten<br />
beschreibt und vergleicht. Die Arbeitsgruppe arbeitet die Präsentation<br />
zu dem Versuch aus. Die Tutoren lesen und bewerten das Protokoll. Nachmittags von<br />
14:00 bis 18:30 Uhr werden die Versuchsergebnisse in den Arbeitsgruppen präsentiert<br />
und diskutiert. Die Präsentation erfolgt für die maximal vier Arbeitsgruppen, die an<br />
dem gleichen Arbeitsgebiet experimentiert haben, zusammen in einem Raum. Im Anschluss<br />
werden die Protokolle mit den Tutoren besprochen.<br />
Die Betreuer wählen aus, welchen Versuch aus einem Arbeitsgebiet die Studenten durchführen<br />
werden. Dies ist natürlich nur in dem Umfang möglich, wie es die vorhandenen Versuchsaufbauten<br />
zulassen. Die Studenten müssen sich daher auf alle Versuche eines Arbeitsgebietes<br />
vorbereiten. Jeder Student aus einer Gruppe muss in den vier Wochen mindestens einmal:<br />
• einen Versuch aufgebaut haben,<br />
• die Ergebnisse der Gruppe präsentiert und<br />
• ein Protokoll auf dem Computer erstellt haben.<br />
Das Praktikum wird mit einem Abschlusstest am Ende der vier Wochen abgeschlossen.
0.2. Benutzung der Notebooks 9<br />
0.2 Benutzung der Notebooks<br />
Für die Durchführung der Versuche erhält jede Arbeitsgruppe zwei Notebooks. Diese stehen<br />
nur für die Arbeiten im Praktikum zur Verfügung und können nicht mit nach Hause genommen<br />
werden. Auf den Notebooks läuft als Betriebssystem Windows XP und UNIX. An<br />
Software ist das CASSY-Messwerterfassungssystem (siehe http://www.leybold-didactic.de),<br />
das OpenOffice 1.1.0 und das Numerik Programm Maple installiert. Weiterhin steht eine Digitalkamera<br />
zur Verfügung, um die Versuchsaufbauten zu dokumentieren. Protokolle sollten<br />
mit OpenOffice 1.1.0 erstellt werden. Die statistischen Auswertungen der Versuche (Mittelwerte,<br />
lineare Regression, etc.) sollen mit MAPLE durchgeführt werden.<br />
Die Studenten haben nur Schreibzugriff auf den User-Bereich. Als ersten Arbeitsschritt legt<br />
jeder Student, sobald er ein Notebook erhält, im User-Bereich ein Verzeichnis mit seinem Namen<br />
an. In diesem Verzeichnis sollten alle Dateien, die zu dem Versuch gehören, abgespeichert<br />
werden und am Ende der eintägigen Arbeitsphase auf Disketten oder USB-Memory-Sticks<br />
überspielt werden. Der User-Bereich wird bei jedem Wechsel zwischen den Gruppen gelöscht,<br />
so dass alle ungesicherten Daten unwiederbringlich verloren sind.<br />
Alle Notebooks sind über ein WLAN vernetzt und haben somit auch Zugang zum Internet.<br />
Die Praktikumsteilnehmer benötigen dazu den bei der Immatrikulation durch<br />
das Rechenzentrum zugewiesenen Zugang. Alle Versuchsergebnisse können über scp<br />
zum CIP-Pool Bereich oder nach Hause überspielt werden. Eine ssh Verbindung (Programm<br />
Putty) zu dem CIP-Pool können die Studenten herstellen.<br />
Für Experten sind auf den Notebooks zusätzlich die Programmpakete LATEX (TEXnicCenter,<br />
Textverarbeitung) und GHOSTSCRIPT/GHOSTVIEW (Verarbeitung von Post-Script-<br />
Dateien) installiert. Es stehen die Texteditoren GVIm und XEmacs zur Verfügung, um eigene<br />
C-Programme zu erstellen. Mit dem Grafikprogramm GIMP können die Bilder von der Digitalkamera<br />
bearbeitet werden und Screen-Shots erstellt werden. Zusätzlich sind für einige<br />
Versuche spezielle Programme installiert (z.B. Digitaloszilloskope) die in den Anleitungen<br />
näher erläutert sind.<br />
0.3 Versuchsvorbereitung<br />
Die Versuchsbeschreibungen sollen den Studenten eine qualifizierte Vorbereitung auf den<br />
Versuch ermöglichen und eine Anleitung für die Versuchdurchführung sein. Die physikalischen<br />
Grundlagen zu den Versuchsthemen werden in den Versuchsanleitungen nur bedingt<br />
hergeleitet. Es ist daher unerlässlich, entsprechende Physikbücher für die Vorbereitung zu<br />
verwenden. Besonders geeignet sind die folgenden Bücher:<br />
• W. Walcher, ”Praktikum der Physik”, Teubner Taschenbuch.<br />
• Demtröder, ”Experimentalphysik”, Band 1 und 2.<br />
• P.A. Tipler, ”Physik”, Spektrum Verlag.
10 Kapitel 0. Einleitung<br />
• Gerthsen, Kneser, Vogel, ”Physik”, Springer Verlag<br />
0.4 Bewertung<br />
Die Teilnahme an den vier Versuchsterminen ist Pflicht! Jeder Versuch muss mit der Bewertung<br />
OK bestanden werden!<br />
Vorbereitung:<br />
Während der Vorbesprechung zu Beginn eines Versuchstages werden die physikalischen<br />
Grundlagen zu den Versuchsthemen, sowie die Versuchsdurchführung und Auswertung besprochen.<br />
Wenn der Student nicht vorbereitet ist, kann er an dem Versuch nicht teilnehmen!<br />
Studenten die einmal nicht auf einen Versuch vorbereitet sind, müssen den Versuch nachholen,<br />
bei zweimaliger Nichtvorbereitung gilt das Praktikum als nicht bestanden.<br />
Protokoll:<br />
Die max. vier Studenten einer Gruppe geben ein gemeinsames Protokoll ab. Die Tutoren<br />
lesen und bewerten das Protokoll. Der Versuch gilt als bestanden, wenn die Bewertung OK<br />
erfolgt. Sollte das Protokoll mit Nicht OK bewertet werden, kann das Protokoll einmal<br />
korrigiert und am nächsten Tag wiedervorgelegt werden.<br />
Präsentation:<br />
Jeder Student einer Arbeitsgruppe muss mindestens einmal die Ergebnisse seiner Gruppe<br />
präsentieren. Die Präsentation wird für den vortragenden Studenten einer Gruppe gewertet.<br />
Die Präsentation gilt als bestanden bei der Bewertung OK. Bei der Bewertung Nicht OK<br />
kann die Präsentation einmal überarbeitet und am nächsten Tag wiederholt werden.<br />
Abschlusstest und Gesamtnote:<br />
Am Ende des Grundpraktikums wird ein Abschlusstest durchgeführt. Aus der im Abschlusstest<br />
erzielten Punktzahl ermittelt sich die Endnote für das physikalische Grundpraktikum.<br />
Der Abschlusstest gilt als bestanden, wenn mindestens eine ausreichende Leistung erreicht<br />
wurde. Er gilt als nicht bestanden, wenn eine nicht ausreichende Leistung erreicht wurde,<br />
dann gilt das Praktikum als nicht bestanden.<br />
Die Teilnahme an den 4 Versuchsterminen ist Pflicht!<br />
Studenten, die aus Krankheitsgründen an einem Termin entschuldigt fehlen (ärztliches Attest<br />
muss vorgelegt werden), müssen den Versuch nachholen. Bei zwei fehlenden Versuchen<br />
muss das Praktikum wiederholt werden.<br />
Studenten die einmal nicht auf einen Versuch vorbereitet sind, müssen den Versuch nachholen,<br />
bei zweimaliger Nichtvorbereitung gilt das Praktikum als nicht bestanden.<br />
Studenten die ihre Versuchsergebnisse, Protokolle oder Präsentationen nicht selber<br />
erarbeiten sondern abschreiben, werden von dem Praktikum unverzüglich<br />
ausgeschlossen.
0.5. Zeitlicher Ablauf 11<br />
0.5 Zeitlicher Ablauf<br />
Das Praktikum beginnt mit der Einführungsveranstaltung und endet mit dem Abschlusstest.<br />
Der zeitliche Ablauf des Praktikums, die Raumeinteilung, sowie die Einteilung der Studenten<br />
in die Arbeitsgruppen und in den Abschlusstest werden gesondert bekannt gegeben.<br />
Das Praktikum ist von 08:30 Uhr bis 18:30 Uhr geöffnet.
12 Kapitel 0. Einleitung
Kapitel 1<br />
Mechanik<br />
1.1 Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem Pendel<br />
Aufgaben<br />
In diesem Experiment werden die Schwingungen eines physikalischen Pendels untersucht.<br />
Aus den Messungen der Schwingungsdauer des Pendels wird die Erdbeschleunigung ermittelt.<br />
Vorkenntnisse/Grundlagen :<br />
Schwerpunktssatz, Beschreibung von Schwingungen, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung,<br />
Drehmoment, Trägheitsmoment, Satz von Steiner, Direktionsmoment, einfache lineare<br />
Differentialgleichungen.<br />
Literatur :<br />
• Paul A.Tipler : Physik<br />
Spektrum Lehrbuch, ISBN 3-86025-122-8, S.379 - S.399<br />
• W.Walcher : Praktikum der Physik<br />
Teubner Studienbücher Physik, ISBN 3-519-13038-6, S.83 - S.89<br />
• F.Kohlrausch : Praktische Physik 1<br />
ISBN 3-519-23001-1 S.62 - S.64 (Orts-und Zeitabhängigkeit der Erdbeschleunigung)<br />
• F.Kohlrausch : Praktische Physik 3<br />
ISBN 3-519-23000-3 S.293 - S.295 (Tabellenwerte der Erdbeschleunigung)<br />
13
14 Kapitel 1. Mechanik<br />
1.1.1 Das mathematische Pendel<br />
Das einfache mathematische Pendel besteht aus einer punktförmigen, schweren Masse mS,<br />
die an einem masselosen Faden der Länge l aufgehängt ist (Abb.1.1). In der Ruhelage bewirkt<br />
Abbildung 1.1: Das mathematische Pendel<br />
die Schwerkraft Fg = mS · g mit g als Erdbeschleunigung, dass das Pendel senkrecht hängt.<br />
Nach Auslenkung aus der Ruhelage um einen kleinen Winkel ϕmax (klein bedeutet hier<br />
sin ϕmax ≈ ϕmax) entsteht ein rückstellendes Drehmoment l · Fr, das das Pendel wegen seines<br />
Trägheitsmomentes in harmonische Schwingungen versetzt. Die Bewegungsgleichung lautet<br />
J · ¨ϕ = −mS · g · l · sin(ϕ) ≈ −mS · g · l · ϕ (1.1)<br />
wobei J = mT · l 2 das Trägheitsmoment der trägen Masse mT in der Entfernung l vom<br />
Aufhängepunkt ist und die rechte Seite das rücktreibende Drehmoment darstellt; ϕ ist der<br />
momentane Auslenkwinkel und ¨ϕ = d 2 ϕ/dt 2 die momentane Winkelbeschleunigung. Mit<br />
mT = mS (Einstein’sches Äquivalenzprinzip der Gleichheit von schwerer und träger Masse)<br />
wird die Bewegung unabhängig von den Massen :<br />
¨ϕ = − g<br />
l · ϕ = −ω2 · ϕ (1.2)
1.1. Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem Pendel 15<br />
Dies ist eine lineare, homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung deren allgemeine Lösung<br />
eine harmonische Schwingung darstellt :<br />
ϕ(t) = A · cos(ωt) + B · sin(ωt) (1.3)<br />
ω = � g<br />
l ist die Kreisfrequenz der Schwingung. Die Anfangsbedingungen legen die Integrationskonstanten<br />
A und B fest. Mit ϕ(t = 0) = ϕmax und ˙ϕ(t = 0) = 0 (Start der<br />
Pendelbewegung vom Auslenkwinkel ϕmax ohne Anfangswinkelgeschwindigkeit) ergibt sich<br />
Die Schwingungsdauer beträgt<br />
bzw.<br />
ϕ(t) = ϕmax · cos(ωt) (1.4)<br />
T = 2π<br />
ω<br />
= 2π ·<br />
�<br />
l<br />
g<br />
(1.5)<br />
T 2 = 4π 2 · 1<br />
· l (1.6)<br />
g<br />
Das Quadrat der Schwingungsdauer wächst linear mit der Pendellänge l.<br />
1.1.2 Das physikalische Pendel<br />
Die Bewegungsgleichung für ein physikalisches Pendel, d.h. eines ausgedehnten, massebehafteten<br />
Systems, das um einen Aufhängepunkt bzw. um eine Achse schwingen kann, ist formal<br />
mit der des mathematischen Pendels identisch :<br />
J · ¨ϕ = −m · g · ls · ϕ (1.7)<br />
Das rücktreibende Drehmoment wird wieder von der Schwerkraft erzeugt. Nach dem Schwerpunktssatz<br />
verhält sich das System so, als ob die Gesamtmasse m im Schwerpunkt konzentriert<br />
ist. Demgemäss ist ls die Distanz von Aufhängepunkt bzw. Drehachse zum Schwerpunkt<br />
S. Die Trägheit ist gegeben durch das Gesamtträgheitsmoment J um die Drehachse. Man<br />
erhält als Lösung wieder eine harmonische Schwingung mit der Kreisfrequenz:<br />
ω 2 =<br />
m · g · ls<br />
J<br />
Mit ω 2 = ( 2π<br />
T )2 wird die Schwingungsdauer T dann<br />
T 2 = 1<br />
g · 4π2 · J<br />
mls<br />
1.1.3 Bestimmung der Erdbeschleunigung<br />
(1.8)<br />
(1.9)<br />
Das vorliegende physikalische Pendel besteht aus dem Winkelaufnehmer-Profil, der Pendelstange<br />
und dem zylindrischen Pendelkörper (Abb. 1.2). Um die Erdbeschleunigung g aus der<br />
Pendelfrequenz zu bestimmen, müsste man also das gesamte Trägheitsmoment, Masse und
16 Kapitel 1. Mechanik<br />
Abbildung 1.2: Pendel im Versuchsaufbau<br />
Schwerpunkt des Pendels kennen. Im Prinzip kann man die Trägheitsmomente der einzelnen<br />
Bestandteile um die Pendelaufhängung bestimmen, und zum Gesamtträgheitsmoment<br />
zusammenaddieren. Den Schwerpunkt erhält man aus den Schwerpunkten der einzelnen Bestandteile,<br />
die man mit den Einzelmassen gewichtet mittelt:<br />
�Sges =<br />
� mi · � Si<br />
� mi<br />
(1.10)<br />
wobei � Si die Schwerpunkte der Einzelteile, und mi ihre Massen sind. Dabei würde man<br />
die Bestandteile durch einfache geometrische Objekte annähern, deren Träg-heitsmomente<br />
und Schwerpunkte sich mit vernünftigem Aufwand berechnen lassen (Pendelkörper durch<br />
homogenen Zylinder, Stange durch homogene Stange, Winkelaufnehmer durch Hohlzylinder).<br />
Eine einfachere Möglichkeit g zu bestimmen besteht darin, den systematischen Fehler, der<br />
durch das Trägheitsmoment JSt und das Rückstellmoment DSt der Stange (mit Winkelaufnehmer)<br />
auftritt, zu minimieren. Man geht dabei so vor, dass zunächst die Schwingungsfrequenz<br />
der Stange allein bestimmt wird. Danach wird der Pendelkörper an der Stelle angebracht,<br />
an der die Kombination Stange/Pendel dieselbe Schwingungsfrequenz hat, wie die<br />
Stange allein. In diesem Fall beeinflussen sich Pendelkörper und Stange nicht. Für die Stange
1.1. Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem Pendel 17<br />
allein gilt:<br />
Für den Pendelkörper allein gilt:<br />
ω 2 st = Dst<br />
Jst<br />
ω 2 p = Dp<br />
Das physikalische Pendel, bestehend aus Stange und Pendelkörper hat die Eigenfrequenz:<br />
ω 2 = Dst + Dp<br />
Jst + Jp<br />
= ω 2 p ·<br />
Jp<br />
1 + Dst<br />
Dp<br />
1 + Jst<br />
Jp<br />
= ω 2 st ·<br />
1 + Dp<br />
Dst<br />
1 + Jp<br />
Jst<br />
(1.11)<br />
(1.12)<br />
(1.13)<br />
Hat man nun das Pendel so eingestellt, dass ω = ωst gilt, so sieht man aus Gl.1.13, dass<br />
dann auch gelten muss: Jp<br />
. Umgeformt ergibt sich:<br />
Jst<br />
= Dp<br />
Dst<br />
Dp<br />
Jp<br />
= Dst<br />
Jst<br />
≡ ω 2 st = ω 2 = ω 2 p<br />
(1.14)<br />
Das heißt, daß man das Pendel nun so behandeln kann, als bestünde es bloss aus dem<br />
Pendelkörper, der masselos aufgehängt ist. Die Ausdehnung des Pendelkörpers wird dabei<br />
nicht vernachlässigt. Man benutzt also das Trägheitsmoment eines homogenen Zylinders mit<br />
Radius rp, der im Abstand lp um den Aufhängepunkt schwingt. Dieses ergibt sich mit Hilfe<br />
des Satzes von Steiner zu:<br />
Jp = 1<br />
(1.15)<br />
2 mpr 2 p + mpl 2 p<br />
Für das Quadrat der Kreisfrequenz erhält man dann:<br />
ω 2 = Dp<br />
Daraus ergibt sich die Erdbeschleunigung g<br />
Jp<br />
= mp · g · lp<br />
1<br />
2 mpr 2 p + mpl 2 p<br />
g = ω 2 lp(1 + 1<br />
2<br />
r2 p<br />
l2 p<br />
(1.16)<br />
) (1.17)<br />
In der Klammer beschreibt die 1 das mathematische Pendel, während der zweite Term die<br />
Korrektur ist, die die Ausdehnung des Pendelkörpers berücksichtigt.<br />
1.1.3.1 Bestimmung der Frequenzen<br />
Kreisfrequenz ω, Frequenz f und Periodendauer T hängen über<br />
ω = 2πf = 2π<br />
(1.18)<br />
T<br />
zusammen. Um aus der aufgezeichneten Schwingung die Periodendauer zu ermitteln, zählt<br />
man eine bestimmte Anzahl n voller Perioden aus, und teilt das entsprchende Zeitintervall<br />
durch n: T = t2−t1.<br />
Um eine möglichst genaue Zeitablesung zu erreichen, verwendet man die<br />
n<br />
Nulldurchgänge des Pendels. Wenn ∆t die Genauigkeit ist, mit der man einen Nulldurchgang<br />
bestimmen kann, dann wird der Fehler ∆T auf die Periodendauer: ∆T = 2 · ∆t.<br />
Man sollte<br />
n<br />
also möglichst viele Perioden auszählen, um ein genaues Ergebnis zu erhalten.
18 Kapitel 1. Mechanik<br />
1.1.3.2 Fehlerrechnung<br />
In die Bestimmung von g gehen die Periodendauer T , die Pendellänge lp und der Radius des<br />
Pendelkörpers rp ein. Im Folgenden wird abgeschätzt, wie sich die Messfehler dieser Grössen<br />
im Ergebnis von g niederschlagen.<br />
• Der Fehler auf lp ist durch das Messverfahren mit dem Massband bestimmt und lässt<br />
sich nur schwer unter 1mm bringen, was bei einem lp von ca. 0.69 m zu einem relativen<br />
Fehler von 1-2 Promille führt.<br />
• Der Fehler von rp wird durch einen Faktor r2 p<br />
l 2 p<br />
= ca.1/300 unterdrückt und fällt daher<br />
kaum ins Gewicht. Selbst wenn rp lediglich auf 10% genau bestimmt wird, schlägt sich<br />
dieser Fehler nur noch im sub-Promilleberich auf g nieder.<br />
• Die Frequenz sollte sinnvollerweise mit einer Genauigkeit bestimmt werden, die deutlich<br />
besser ist als die von lp, so dass auch dieser Fehler vernachlässigbar klein wird. Um einen<br />
relativen Fehler von 0.2 Promille in g zu erhalten muss T auf 0.1 Promille bestimmt<br />
werden, da es quadratisch in g eingeht. Wenn man einen Nulldurchgang auf 10ms genau<br />
bestimmen kann, dann wird das gesamte Zeitintervall auf 20 ms genau gemessen. Man<br />
muss also 200 s lang messen um eine relative Genauigkeit von 0.1 Promille zu erreichen,<br />
was bei einer Frequenz von 0.6 Hz 120 vollen Perioden entspricht.<br />
1.1.3.3 Fehler durch Vernachlässsigung der Stange<br />
Wie vorher gezeigt wurde, kann man das Pendel als masselos aufgehängten Zylinder beschreiben<br />
und die Stange samt Aufhängung vernachlässigen. Dies gilt allerdings nur, wenn ωSt genau<br />
gleich ωP wird. Tatsächlich, erreicht man aber nie eine genaue Übereinstimmung dieser<br />
beiden Kreisfrequenzen, sondern beobachtet eine kleine Abweichung. Man kann abschätzen,<br />
wie diese Abweichung sich auf den ermittelten Wert der Erdbeschleunigung auswirkt. Wenn<br />
ω2 DSt<br />
St = JSt und ω2 = DSt+DP<br />
JSt+JP = ω2 St +ɛ dann gilt ω2 DP<br />
P = JP = ω2 +ɛ· JSt Da das Verhältnis der<br />
Jp<br />
Trägheitsmomente von Stange und Pendelkörper ca. 0.1 ist, geht die relative Abweichung<br />
der Frequenzen mit dem Faktor 0.2 in die Bestimmung von g ein, da g ∼ ω2 . Um unter<br />
einem Promille Abweichung zu bleiben, müssen die beiden Frequenzen also besser als 0.5%<br />
übereinstimmen.<br />
Im Prinzip kann man aus der Abweichung der Frequenzen einen Korrektur-Faktor für g<br />
betimmen, und das Ergebnis damit korrigieren.<br />
1.1.4 Versuchsaufbau und Durchführung<br />
Das Pendel besteht aus einer Masse, die verschiebbar an einer Stange angebracht ist. Die Aufhängung<br />
des Pendels ist ein U-Profil mit zwei Spitzen und zwei Permanentmagneten (Abb.<br />
1.4). Die Spitzen bilden das Lager und werden in die Nut des Winkelaufnehmers gesetzt.<br />
Der Winkelaufnehmer enthält eine Hall-Sonde, die das Magnetfeld senkrecht zur Nut misst.<br />
Dreht sich nun die Aufhängung mit den Permanentmagneten um den Winkelaufnehmer, so<br />
liefert die Hallsonde eine Spannung die proportional zum Sinus des Winkels ist. Für kleine<br />
Winkel ist diese Spannung näherungsweise proportional zum Winkel selbst.
1.1. Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem Pendel 19<br />
Mit Hilfe von Stativstangen, Tischklemmen und Verbindungsmuffen wird ein Gestell konstruiert,<br />
das den Winkelaufnehmer hält (Abb. 1.3). Der Aufbau sollte so stabil sein, daß bei<br />
der Pendelbewegung die Aufhängung nicht mitschwingt.<br />
Der Winkelaufnehmer kann direkt an das CASSY-Modul über zwei Leitungspaare angeschlossen<br />
werden (Abb. 1.5). Das eine dient zur Spannungsversorgung und ist besonders<br />
gekennzeichnet, das zweite liefert die gemessene Hallspannung. Durch Regeln der Versorgungsspannung<br />
kann die Nulllage eingestellt werden.<br />
Bei der Datenaufnahme wird zunächst die Spannung aufgenommen, die die Schwingung<br />
des Pendels wiedergibt. Anschliessend wird die Periodendauer aus den Nulldurchgängen des<br />
Pendels bestimmt. Zunächst lässt man die Stange samt Aufnehmer alleine schwingen und<br />
bestimmt die Periodendauer (Messdauer mindestens 120 Perioden). Dann bringt man den<br />
Pendelkörper an und verschiebt ihn solange, bis man wieder dieselbe Periodendauer wie<br />
bei der Stange allein erhält. Dann erfolgt eine Messung mit einer Messdauer von mindestens<br />
120 vollen Schwingungen, aus der die Periodendauer für das gesamte Pendel bestimmt<br />
wird. Um die Erdbeschleunigung g zu bestimmen müssen ausserdem der Abstand von dem<br />
Aufhängepunkt des Pendels zum Mittelpunkt des Pendelkörpers, und der Radius des Pendelkörpers<br />
gemessen werden.<br />
Geben Sie bei der Fehlerrechnung die Grösse der Einzelbeiträge an, die zu dem Gesamtfehler<br />
führen und diskutieren Sie diese. Überlegen Sie sich, welche weiteren systematischen Fehler<br />
bei diesem Versuch auftauchen können, und versuchen Sie, wenn möglich, eine Grössenordnung<br />
für sie anzugeben.
20 Kapitel 1. Mechanik<br />
Abbildung 1.3: Versuchsaufbau
1.1. Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem Pendel 21<br />
Abbildung 1.4: Aufhängung des Pendels<br />
Abbildung 1.5: Anschluss des Winkelaufnehmers
22 Kapitel 1. Mechanik<br />
1.2 Schwingungen von gekoppelten Pendeln<br />
Aufgaben<br />
In diesem Experiment werden die Schwingungen von zwei Pendeln untersucht, die durch eine<br />
Feder miteinander gekoppelt sind. Für verschiedene Kopplungsstärken werden die Schwingungsdauern<br />
der beiden Grundschwingungen sowie der Schwebung des Systems gemessen<br />
und die Schwebungsdauer mit der Erwartung verglichen.<br />
Vorkenntnisse/Grundlagen :<br />
Federverhalten (Hooke’sches Gesetz),Beschreibung von Schwingungen, Winkelgeschwindigkeit,<br />
Winkelbeschleunigung, Drehmoment, Trägheitsmoment, Direktionsmoment, einfache<br />
lineare Differentialgleichungen.<br />
Literatur :<br />
• Paul A.Tipler : Physik<br />
Spektrum Lehrbuch, ISBN 3-86025-122-8, S.379 - S.399<br />
• W.Walcher : Praktikum der Physik<br />
Teubner Studienbücher Physik, ISBN 3-519-13038-6, S.89 - S.98<br />
Abbildung 1.6: Gekoppelte Pendel
1.2. Schwingungen von gekoppelten Pendeln 23<br />
1.2.1 Die Bewegungsgleichung für das gekoppelte Pendel<br />
Die Anordnung ist schematisch dargestellt in Abb. 1.6. Die Kopplungsfeder ist befestigt<br />
in der Entfernung lF von den Drehachsen. Die (identischen) physikalischen Pendel P 1 und<br />
P 2 werden so montiert, dass die Feder bei Ruhestellung der Pendel gespannt ist. Dadurch<br />
hängen die Pendel in der Ruhestellung (im Gleichgewicht) nicht in der vertikalen V , sondern<br />
um den Winkel ϕ◦ nach innen. Das durch die Feder erzeugte Drehmoment ist<br />
MF,◦ = −DF · x◦ · lF<br />
(1.19)<br />
wobei DF die Federkonstante und x◦ ihre Verlängerung gegenüber dem entspannten Zustand<br />
ist. In der Ruhestellung ist MF,◦ entgegengesetzt gleich dem durch die Schwerkraft erzeugten<br />
Drehmoment<br />
MS,◦ = m · g · ls · ϕ◦<br />
(1.20)<br />
wobei ls die Entfernung des Schwerpunktes jedes der beiden Pendel von seiner Drehachse und<br />
m die Gesamtmasse jedes Pendels bedeuten. Wird P 2 um ϕ2 aus der Nullage ausgelenkt, so<br />
wirkt insgesamt das Drehmoment<br />
oder<br />
M2 = −m · g · ls · (ϕ2 − ϕ◦) − DF · (x◦ + lF ϕ2) · lF<br />
M2 = − · g · ls · ϕ2 − DF · l 2 F · ϕ2<br />
(1.21)<br />
(1.22)<br />
Wird ausserdem P 1 um −ϕ1 verschoben, so kommt durch die Feder das Drehmoment DF l 2 F ϕ1<br />
hinzu, so dass sich insgesamt ergibt<br />
Analog wird für P 1<br />
M2 = −m · g · ls · ϕ2 − DF · l 2 F · (ϕ2 − ϕ1) (1.23)<br />
M1 = −m · g · ls · ϕ1 + DF · l 2 F · (ϕ2 − ϕ1) (1.24)<br />
Die Bewegungsgleichungen beider Pendel lauten somit<br />
bzw. mit den Abkürzungen<br />
J · ¨ϕ1 = M1 = −m · g · ls · ϕ1 + DF · l 2 F · (ϕ2 − ϕ1) (1.25)<br />
J · ¨ϕ2 = M2 = −m · g · ls · ϕ2 − DF · l 2 F · (ϕ2 − ϕ1) (1.26)<br />
ω 2 s = mgls<br />
J<br />
Ω 2 = DF l 2 F<br />
J<br />
(1.27)<br />
(1.28)<br />
¨ϕ1 = −ω 2 s · ϕ1 + Ω 2 · (ϕ2 − ϕ1) (1.29)<br />
¨ϕ2 = −ω 2 s · ϕ2 − Ω 2 · (ϕ2 − ϕ1) (1.30)<br />
Dies ist ein System gekoppelter linearer Differentialgleichungen. Die Lösung wird mit Hilfe<br />
der Substitutionen α = ϕ2 + ϕ1, β = ϕ2 − ϕ1 erreicht : Summe und Differenz der beiden<br />
Gleichungen (24 ) und (25 ) führen auf die einfachen Differentialgleichungen<br />
¨α = −ω 2 s · α (1.31)
24 Kapitel 1. Mechanik<br />
mit den Lösungen<br />
¨β = −(ω 2 s + 2Ω 2 ) · β = −ω 2 sf · β (1.32)<br />
α(t) = ϕ2(t) + ϕ1(t) = A · sin(ωst) + B · cos(ωsft) (1.33)<br />
β(t) = ϕ2(t) − ϕ1(t) = C · sin(ωst) + D · cos(ωsft) (1.34)<br />
Die Konstanten werden durch die Anfangsbedingungen festgelegt. Liegen beim Start der<br />
Bewegung keine Anfangswinkelgeschwindigkeiten vor, d.h. ϕ2(t ˙ = 0) = 0 und ϕ1(t ˙ = 0) = 0,<br />
so wird A = C = 0 und aus der Summe der Gleichungen (32) und (33) wird<br />
2ϕ2(t) = B · cos(ωst) + D · cos(ωsft) (1.35)<br />
2ϕ1(t) = B · cos(ωst) − D · cos(ωsft) (1.36)<br />
Werden die Pendel aus den Positionen ϕ1(t = 0) = ϕmax und ϕ2(t = 0) = ϕmax gestartet, so<br />
wird D = 0 und B = 2ϕmax und die Pendel schwingen gleichsinnig gemäss<br />
ϕ2(t) = ϕmax · cos(ωst) (1.37)<br />
ϕ1(t) = ϕmax · cos(ωst) (1.38)<br />
mit der Kreisfrequenz ωs, d.h. der Kreisfrequenz jedes Pendels ohne Kopplung.<br />
Werden die Pendel aus den entgegengesetzten Positionen ϕ1(t = 0) = −ϕmax, ϕ2(t = 0) =<br />
+ϕmax gestartet, so wird B = 0 und D = 2ϕmax und die Pendel schwingen gegensinnig :<br />
mit der Kreisfrequenz ωsf :<br />
ϕ2(t) = ϕmax · cos(ωsft) (1.39)<br />
ϕ1(t) = −ϕmax · cos(ωsft) (1.40)<br />
ω 2 sf = ω 2 s + 2Ω 2<br />
(1.41)<br />
Wird die Schwingung mit Pendel P 1 mit ϕ1(t = 0) = ϕmax und Pendel P 2 in Ruheposition,<br />
ϕ2(t = 0) = 0 gestartet, so wird B = D = ϕmax und<br />
ϕ2(t) = 1<br />
2 ϕmax · cos(ωst) + 1<br />
2 ϕmax · cos(ωsft) (1.42)<br />
ϕ1(t) = 1<br />
2 ϕmax · cos(ωst) − 1<br />
2 ϕmax · cos(ωsft) (1.43)<br />
Jedes Pendel schwingt mit einer Überlagerung von zwei verschiedenen Frequenzen. Mit Hilfe<br />
eines Additionstheorems für trigonometrische Funktionen lassen sich die Gleichungen um-<br />
schreiben in<br />
ϕ1(t) = ϕmax · cos( ωsf − ωs<br />
2<br />
ϕ2(t) = ϕmax · sin( ωsf − ωs<br />
2<br />
t) · cos( ωsf + ωs<br />
t) (1.44)<br />
2<br />
t) · sin( ωsf + ωs<br />
t) (1.45)<br />
2
1.2. Schwingungen von gekoppelten Pendeln 25<br />
Mit den Abkürzungen<br />
wird daraus<br />
ωk = ωsf + ωs<br />
2<br />
ωsch = ωsf − ωs<br />
2<br />
(1.46)<br />
(1.47)<br />
ϕ1(t) = ϕmax · cos(ωscht) · cos(ωkt) (1.48)<br />
ϕ2(t) = ϕmax · sin(ωscht) · sin(ωkt) (1.49)<br />
Die Bewegung jedes der beiden Pendel besteht also aus der Überlagerung zweier Schwingungen<br />
mit den Kreisfrequenzen ωsch und ωk. Sie kann als Schwingung der höheren Frequenz ωk<br />
angesehen werden, die mit der niedrigeren Frequenz ωsch moduliert ist. Diese Erscheinung<br />
wird Schwebung genannt.<br />
1.2.2 Messgrössen<br />
Der Messung zugänglich sind die Schwingungsdauern :<br />
Tk = 2π<br />
Ts = 2π<br />
ωs<br />
Tsf = 2π<br />
ωk<br />
Tsch = 2π<br />
ωsch<br />
=<br />
=<br />
ωsf<br />
4π<br />
ωsf + ωs<br />
4π<br />
ωsf − ωs<br />
(1.50)<br />
(1.51)<br />
(1.52)<br />
(1.53)<br />
Durch Einsetzen von ωs und ωsf ergeben sich folgende Beziehungen zwischen den Schwingungsdauern<br />
:<br />
Tk = 2 · TsTsf<br />
Ts + Tsf<br />
Tsch = 2 · TsTsf<br />
Ts − Tsf<br />
Als Kopplungsgrad κ des Pendelsystems wird das Verhältnis<br />
κ =<br />
definiert. Mit ω 2 sf = ω2 s + 2Ω 2 folgt<br />
κ =<br />
Ω2<br />
ω2 =<br />
s + Ω2 DF l 2 F<br />
mgls + DF l 2 F<br />
1<br />
2 (ω2 sf − ω2 s)<br />
1<br />
2 (ω2 sf + ω2 s) = T 2 s − T 2 sf<br />
T 2 s + T 2 sf<br />
(1.54)<br />
(1.55)<br />
(1.56)<br />
(1.57)<br />
Der Kopplungsgrad ist umso kleiner (die Kopplung also umso schwächer), je näher die Befes-<br />
als Funktion von<br />
tigungspunkte der Feder an den Drehachsen der Pendel liegen. Trägt man 1<br />
κ
26 Kapitel 1. Mechanik<br />
Abbildung 1.7: Aufbau des gekoppelten Pendels<br />
1<br />
l2 auf so ergibt sich eine Gerade, aus deren Steigung die Federkonstante ermittelt werden<br />
F<br />
kann :<br />
1 mlsg<br />
= 1 + (1.58)<br />
κ<br />
DF<br />
· 1<br />
l 2 F<br />
1.2.3 Versuchsaufbau und Durchführung<br />
Der Versuchsaufbau ist ähnlich wie beim einfachen Pendel (Kap. 1.1.4). Es werden nun zwei<br />
Pendel im Abstand von ca. 50 cm an dem Gestell befestigt und über ein Federpaar gekoppelt<br />
(Abb. 1.7). Die Federn können in verschiedenen Höhen an den Pendelstangen befestigt<br />
werden, wodurch unterschiedliche Kopplungskonstanten erzielt werden. Da die Federn nicht<br />
gestaucht werden können, müssen die Pendel so weit auseinander sein, dass die Federn in<br />
der Ruhelage schon gespannt sind. Es muß darauf geachtet werden, daß die Pendelauschläge<br />
so klein bleiben, daß die Federn nie völlig entspannt sind.<br />
Beide Winkelaufnehmer können gleichzeitig mit einem CASSY-Modul ausgelesen werden und<br />
haben einen unabhängigen Nullabgleich. Um eine günstige Darstellung auf dem Bildschirm<br />
zu erzielen, kann die Nulllage eines Pendels entweder durch die Versorgungsspannung des
1.2. Schwingungen von gekoppelten Pendeln 27<br />
Winkelaufnehmers oder durch Einstellung eines Offsets in der CASSY-Software verschoben<br />
werden.<br />
Es werden die Pendelausschläge aufgenommen und die Fouriertransformierten bestimmt. Im<br />
allgemeinen Fall erhält man eine Schwebung, die eine Überlagerung aus zwei Schwingungen<br />
mit dicht benachbarten Frequenzen ist. Im Fourierspektrum erkennt man deshalb zwei<br />
Spitzen, die mit wachsender Kopplungsstärke zusammenrücken. Lässt man die Pendel gleichsinnig<br />
(in Phase) schwingen, so taucht nur die kleinere der beiden Frequenzen auf. Schwingen<br />
die Pendel gegensinnig, so erhält man im Spektrum nur die Spitze der höheren Frequenz.<br />
Um den Fehler der Frequenzmessung zu erhalten wird eine Messung mehrmals durchgeführt<br />
und die mittlere quadratische Abweichung zum Mittelwert bestimmt.<br />
Aus den gemessenen Frequenzen wird der Kopplungsgrad κ bestimmt (Gl.1.57). Außerdem<br />
werden die Abstände lF zwischen dem Aufhängepunkt des Pendels und der Befestigung der<br />
Feder gemessen. Trägt man 1<br />
1 gegen κ l2 auf, so erhält man eine Gerade, aus deren Steigung<br />
F<br />
man die Federkonstante ermitteln kann (Gl. 1.58).
28 Kapitel 1. Mechanik<br />
1.3 Trägheitsmomente<br />
Abbildung 1.8: Versuchsaufbau für die Messung von Trägheitsmomenten.<br />
Physikalische Grundlagen<br />
Definition des Trägheitsmomentes, Satz von Steiner, Direktionsmoment, Schwingungen<br />
1.3.1 Einführung<br />
Bei einem beliebigen starren Körper, dessen Massenelemente ∆mi den Abstand ri zur Drehachse<br />
haben, ist das Trägheitsmoment<br />
J = �<br />
(1.59)<br />
i<br />
∆mi · r 2 i<br />
Für eine punktförmige Masse m auf einer Kreisbahn mit dem Radius r gilt:<br />
J = m · r 2
1.3. Trägheitsmomente 29<br />
Das Trägheitsmoment wird aus der Schwingungsdauer<br />
einer Drillachse bestimmt,<br />
�<br />
J<br />
T = 2π<br />
(1.60)<br />
D<br />
auf die der Probekörper gesteckt wird und die<br />
über eine Schneckenfeder elastisch mit dem<br />
Stativ verbunden ist (siehe Abb. 1.8). Das<br />
System wird zu harmonischen Schwingungen<br />
angeregt. Aus der Schwingungsdauer T errechnet<br />
man bei bekanntem Direktionsmoment<br />
D das Trägheitsmoment des Probekörpers gemäß<br />
� �2 T<br />
J = D<br />
(1.61)<br />
2π<br />
Die Messwerte werden mit den theoretischen<br />
Vorhersagen für einen Körper der Masse m,<br />
dessen Massenelemente ∆mi um eine feste<br />
Achse im Abstand ri rotieren, verglichen:<br />
J = �<br />
∆mir 2 �<br />
i = r 2 dm (1.62)<br />
i<br />
Der Schwingungsvorgang wird mit Hilfe eines<br />
Winkelaufnehmers (siehe Abb. 1.9) in elektrische<br />
Signale umgewandelt. Der Aufnehmer<br />
liefert für kleine Auslenkungen eine winkelproportionale<br />
Spannung. Er besteht aus einem<br />
vernickelten Messingrohr (10 mm Durchmesser)<br />
mit angeschraubtem Kleingehäuse für<br />
die elektrischen Bauteile. In dem Messingrohr<br />
befindet sich eine Nut an deren Ende<br />
in einem Langloch eine magnetfeldempfindliche<br />
Sonde (Hall-Sonde) eingeklebt ist. Die<br />
Sonde ist so orientiert, dass sie auf die zur<br />
Nut senkrecht stehende Komponente des Magnetfeldes<br />
anspricht. Die zwei felderzeugenden<br />
Permanentmagnete sind so auf die Innenseiten<br />
einer U-förmigen Gabel geklebt, dass<br />
sich Nord- und Südpol gegenüberliegen. Im<br />
Ruhezustand verschwindet daher die vertikale<br />
Feldkomponente; die Ausgangsspannung des<br />
Winkelaufnehmers ist somit 0. Wird nun die<br />
Drillachse um den Winkel α aus der horizontalen<br />
Richtung ausgelenkt, tritt eine Feldkomponente<br />
in vertikaler Richtung auf.<br />
Abbildung 1.9: Drillachse mit Winkelaufnehmer.
30 Kapitel 1. Mechanik<br />
Die exakte Abhängigkeit wird durch die Gleichung<br />
B⊥ = B · sin α<br />
beschrieben. Im Falle kleiner Winkel kann sin α durch α approximiert werden, so dass die<br />
Ausgangsspannung proportional dem Auslenkwinkel α wird. Die Abweichung von diesem<br />
linearen Verhalten liegt bis zu einem Winkel von α = ±14 Grad (entsprechend sin α = 0, 24)<br />
unter 1%.<br />
Die Versorgungsspannung wird über das entsprechend gekennzeichnete Leitungspaar zugeführt<br />
und soll im Bereich 12-16 V liegen. Es ist auf die Polarität gemäß den Farben der<br />
Anschlussstecker (rot-positiv, blau-negativ) zu achten. Bei Fehlbeschaltung tritt keine Ausgangsspannung<br />
auf. Die von dem Winkelaufnehmer gelieferten Spannungssignale werden mit<br />
Hilfe des computerunterstützten Messwerterfassungssystems CASSY aufgezeichnet. Mit Hilfe<br />
einer Fourieranalyse lässt sich aus dem aufgezeichneten Schwingungsvorgang mit großer<br />
Genauigkeit die Frequenz und damit die Schwingungsdauer bestimmen.<br />
Im ersten Teil des Versuches wird das Trägheitsmoment eines ”Massenpunktes” in Abhängigkeit<br />
vom Abstand r zur Drehachse bestimmt. Dazu wird ein Stab mit zwei gleichen Massenstücken<br />
in Querrichtung auf die Drillachse gesteckt. Die Schwerpunkte der beiden Massenstücke<br />
haben den gleichen Abstand r zur Drehachse, so dass das System ohne Unwucht schwingt.<br />
Im zweiten Teil des Versuches werden die Trägheitsmomente eines Hohlzylinders, eines Vollzylinders<br />
und einer Vollkugel miteinander verglichen. Dazu stehen zwei Vollzylinder mit<br />
gleicher Masse jedoch unterschiedlichen Radien zur Verfügung. Weiterhin ein Hohlzylinder,<br />
der in Masse und Radius mit einem Vollzylinder übereinstimmt, und eine Vollkugel, deren<br />
Trägheitsmoment mit einem der Vollzylinder übereinstimmt.<br />
Im dritten Teil des Versuchs wird der Steinersche Satz am Beispiel einer flachen Kreisscheibe<br />
experimentell verifiziert. Dazu werden die Trägheitsmomente Ja einer Kreisscheibe<br />
für verschiedene Abstände a der Drehachse zum Schwerpunkt gemessen und mit dem<br />
Trägheitsmoment J0 um die Schwerpunksachse verglichen. Es soll der Steinersche Satz<br />
bestätigt werden.<br />
1.3.2 Versuchsbeschreibung<br />
Ja = J0 + m · a 2<br />
(1.63)<br />
Die Versuchskörper zur Drillachse sind so ausgewählt, dass sich folgende Fragestellungen<br />
untersuchen lassen:<br />
• Messung des Zusammenhangs J = f(r 2 ) für einen ”Massenpunkt”, der im Abstand r<br />
um eine feste Achse rotiert.<br />
• Vergleich der Trägheitsmomente von Zylindern mit nahezu gleicher Masse, aber verschiedener<br />
Massenverteilung.
1.3. Trägheitsmomente 31<br />
• Bestimmung der Trägheitsmomente von Zylindern und Kugeln aus gleichem Material,<br />
deren Massen und Radien so abgestimmt sind, dass sich gleiche Trägheitsmomente<br />
ergeben.<br />
• Bestätigung des Steinerschen Satzes.<br />
1.3.3 Versuchsaufbau<br />
Zum Versuchsaufbau gehören<br />
1. Drillachse mit zweifach kugelgelagerter Welle, durch eine Schneckenfeder an eine Gabel<br />
angekoppelt.<br />
Richtmoment der Feder: ca. 0,025 N m<br />
Höhe der Drillachse: ca. 0,2 m<br />
Gewicht der Drillachse: ca. 0,39 kg<br />
2. Stab mit Kupplungsstück zum Aufstecken auf die Drillachse; je 5 Kerben in 0, 05 m<br />
Abständen zu beiden Seiten der ebenfalls gekerbten Stabmitte.<br />
Länge des Stabes: ca. 0,6 m<br />
Masse des Stabes: ca. 0,13 kg<br />
3. Zwei Massen (als Modell von Massenpunkten), längs des Stabes (2) verschiebbar, mit<br />
Kugelrasten, die in die Kerben des Stabes greifen, so dass die Massen in definierten<br />
Abständen von der Stabmitte gehalten werden.<br />
Masse jedes Massenstückes: ca. 0,24 kg<br />
4. Vollzylinder aus Holz (Holzscheibe), Durchmesser ca. 225 mm, mit Buchse zum Aufstecken<br />
auf die Drillachse.<br />
Durchmesser: ca. 0,225 m<br />
Höhe: ca. 0,015 m<br />
Masse: ca. 0,35 kg
32 Kapitel 1. Mechanik<br />
5. Vollzylinder aus Holz, Durchmesser ca. 90 mm.<br />
Durchmesser: ca. 0,09 m<br />
Höhe: ca. 0,09 m<br />
Masse: ca. 0,35 kg<br />
6. Hohlzylinder aus Metall, Durchmesser ca. 90 mm.<br />
Durchmesser: ca. 0,09 m<br />
Höhe: ca. 0,09 m<br />
Masse: ca. 0,35 kg<br />
7. Aufnahmeteller aus Metall für die Zylinder (5) und (6) mit Buchse zum Aufstecken<br />
auf die Drillachse und mit Schraube zum fixieren der Zylinder.<br />
Durchmesser: ca. 0,1 m<br />
Masse: ca. 0,12 kg<br />
Durchmesser und Höhe der Zylinder (5) und (6) stimmen überein (nachmessen !), die<br />
Massen der 3 Zylinder (4), (5) und (6) sind näherungsweise gleich (nachmessen !).<br />
8. Kugel aus Holz, Durchmesser ca. 145 mm, mit Buchse zum Aufstecken auf die Drillachse.<br />
Die Trägheitsmomente der Kugel und des Zylinders (4) sind etwa gleich.<br />
Durchmesser: ca. 0,145 m<br />
Masse: ca. 0,99 kg
1.3. Trägheitsmomente 33<br />
9. Kreisscheibe mit Halterung zum Aufstecken auf die Drillachse mit 9 Löchern zum<br />
Aufspannen der Scheibe auf der Halterung in der Scheibenmitte, sowie im Abstand von<br />
0, 02; 0, 04; . . . 0, 14; 0, 16 m von der Scheibenmitte.<br />
Durchmesser: ca. 0,4 m<br />
Masse: ca. 0,74 kg<br />
1.3.4 Hinweise zum Experimentieren<br />
Schrauben (10) welche die federnden Kugelrasten der Massen (3) gen den Stab (2) drücken,<br />
nicht betätigen. Die Schrauben sind so eingestellt, dass man einerseits die Massen entsprechend<br />
den Versuchsbedingungen längs des Stabes verschieben kann, und dass die Massen<br />
anderseits gegen die Zentrifugalkraft auf dem Stab gehalten werden.<br />
Die Anordnung stets so aus der Gleichgewichtslage auslenken, dass die Feder zusammengedrückt<br />
und nicht aufgebogen wird. Die maximale Auslenkung wird druch die Halterungen<br />
für die Magnete auf ca. 60 Grad beschränkt.<br />
Die Schwingungsdauern sollten zweckmäßigerweise durch Mittelwertbildung aus mehreren<br />
Messungen für z.B. 5 Schwingungen bestimmt werden. Aus der Varianz der Messwerte ergibt<br />
sich auch der Fehler für die Schwingungsdauern.<br />
Zusätzlich gibt es Fehler durch die Art und Weise wie mit der CASSY-Software der Schwerpunkt<br />
im Frequenzspektrum bestimmt wird. Um diesen Fehler abzuschätzen, sollte zumindestens<br />
eine Messung mit MAPLE ausgewertet werden, d.h. die mit CASSY aufgzeichneten<br />
Spannungswerte werden in MAPLE eingelesen, die Fouriertransformation mit der Prozedur<br />
”fourier” aus der MAPLE-Bibliothek ”app maple” durchgeführt und mit der Prozedur<br />
”peak” der Schwerpunkt der Verteilung bestimmt. Durch Variation des Messbereichs für die<br />
Fouriertransformation, durch Variation des Fensters in dem der Schwerpunkt bestimmt wird<br />
und durch Vergleich mit dem Ergebnis aus der CASSY Software kann der systematische<br />
Fehler in der Frequenzbestimmung abgeschätzt werden.<br />
Ein Beispiel einer solchen Messung mit dem Messwerterfassungssystem CASSY ist in Abb.<br />
1.10 gezeigt. Aus der Fouriertransformation (siehe Abb. 1.11) ergibt sich in diesem Beispiel<br />
eine Schwingungsdauer von 4.88 s. Die gleiche Messung wurde 5 mal wiederholt um die<br />
statistischen Schwankungen zu ermitteln. Es ergaben sich die Messwerte: 4,88s, 4,87s, 4,87s,<br />
4,88s, 4,87s. Für den Mittelwert also: T = (4, 874 ± 0, 002) s.
34 Kapitel 1. Mechanik<br />
Abbildung 1.10: Messreihe eines Schwingungsvorgangs mit der Drillachse.<br />
Abbildung 1.11: Fouriertranformation der in Abb. 1.10 gezeigten Messreihe. Mit dem ”Peakfinder”<br />
aus der CASSY Software ergibt sich eine Schwingungsdauer von 4,87 s.
1.3. Trägheitsmomente 35<br />
Das Trägheitsmoment der Drillachse liegt in der Grössenordung von 10 −5 kgm 2 . Es ist in<br />
der Auswertung nicht berücksichtigt, so dass die experimentell ermittelten Trägheitsmomente<br />
stets etwas größer als die theoretisch erwarteten Werte sind.<br />
1.3.5 Bestätigung von J = f(r 2 ) und Bestimmung des Direktionsmomentes<br />
D<br />
Zunächst wir das Gewicht der Massen mW 1, mW 2 und das Gewicht des Stabes mStab mit<br />
einer Waage gemessen und die Länge des Stabes lStab mit einem Massband bestimmt.<br />
Dann wird der Stab ohne Massen auf die Drillachse gesteckt und die Schwingungsdauer gemessen.<br />
Anschliessend werden die Massen (mW 1, mW 2) symmetrisch im Abstand r = 0, 05;<br />
0,10; 0,15; 0,20; 0,25 m von der Stabmitte angeordnet und ebenfalls die Schwingungsdauern<br />
gemessen.<br />
Beispiel einer solchen Messreihe:<br />
Das Trägheitsmoment für den Stab alleine ist<br />
r m 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25<br />
T s 2,52 2,71 3,76 4,86 6,08 7,40<br />
JStab = 1<br />
12 · mStab · l 2 Stab<br />
und für die ”Massenpunkte” im Abstand r von der Drillachse:<br />
JMassen = (mW 1 + mW 2) · r 2 = mW · r 2<br />
Es sollte also folgender funktionaler Zusammenhang gelten:<br />
T 2 = 4π 2 JMassen + JStab<br />
D<br />
= 4π2<br />
D mW · r 2 + 4π2<br />
· JStab<br />
D<br />
Die Messung mit dem Stab alleine entspricht also dem Messwert für r = 0.<br />
Der linearer Zusammenhang zwischen dem Quadrat der Schwingsdauern (T 2 ) und dem Quadrat<br />
des Abstandes (r 2 ) (siehe Abb. 1.12) erlaubt es, mit Hilfe einer linearen Regression,<br />
T 2 = m · r 2 + a<br />
= 737, 34 s2<br />
m 2 · r2 + 6, 36 s 2
36 Kapitel 1. Mechanik<br />
Abbildung 1.12: Grafische Darstellung der Messwerte T 2 (r 2 ) zusammen mit der Ausgleichsgeraden.<br />
aus der Steigung der Geraden m das Direktionsmoment D zu bestimmen:<br />
D = 4π2<br />
· mW<br />
m<br />
=<br />
4π2 · 0, 48 N m<br />
737, 34<br />
= 0, 0257 N m<br />
Mit bekanntem Direktionsmoment D kann anschliessend aus dem Achsenabschnitt a das<br />
Trägheitsmoment des Stabes experimentell bestimmt werden<br />
J exp.<br />
Stab<br />
und mit der theoretischen Vorhersage<br />
verglichen werden.<br />
aD<br />
=<br />
4π2 = 6, 36 · 0, 0257<br />
4π2 = 0, 414 · 10 −2 kg m 2<br />
J theo.<br />
Stab = 1<br />
12 · mStab · l 2 Stab<br />
= 1<br />
12 · 0, 132 · 0, 62 kg m 2<br />
= 0, 396 · 10 −2 kgm 2<br />
1.3.6 Vergleich der Trägheitsmomente von Zylindern gleicher Masse<br />
mit verschiedener Massenverteilung<br />
Dünner Vollzylinder aus Holz<br />
Die Masse des Vollzylinders aus Holz (Holzscheibe - HS) mHS wird durch wiegen und sein
1.3. Trägheitsmomente 37<br />
Durchmesser dHS mit dem Massband bestimmt. Dann wird die Holzscheibe auf der Drillachse<br />
befestigt und die Schwingungsdauer gemessen.<br />
Beispiel:<br />
THS = 1, 82 s<br />
J exp<br />
HS<br />
= 1<br />
4π 2 · D · T 2 HS<br />
= 1<br />
4π 2 · 0, 0257 · 1, 822 Nms 2<br />
= 2, 16 · 10 −3 kg m 2<br />
Der theoretisch zu erwartende Wert ergibt sich zu:<br />
J theo<br />
HS = 1<br />
2 mHS<br />
� �2 dHS<br />
2<br />
= 2, 05 · 10 −3 kg m 2<br />
Vollzylinder (VZ) und Hohlzylinder (HZ)<br />
Beide Zylinder werden auf einen Aufnahmeteller (T) gesetzt, so dass sich die Trägheitsmomente<br />
JV Z und JHZ nicht unmittelbar experimentell, sondern durch Differenzbildung ermitteln lassen:<br />
Aufnahmeteller:<br />
Aufnahmeteller + Vollzylinder:<br />
JV Z = JV Z+T − JT<br />
JHZ = JHZ+T − JT<br />
T = 0, 564 s<br />
J exp<br />
T = 1<br />
4π 2 · D · T 2 T<br />
= 1<br />
4π 2 · 0, 0257 · 0, 5642 Nms 2<br />
= 0, 207 · 10 −3 kg m 2<br />
T = 0, 92 s<br />
JV Z+T = 1<br />
4π 2 · D · T 2 V Z+T<br />
= 1<br />
4π 2 · 0, 0257 · 0, 922 Nms 2<br />
= 0, 552 · 10 −3 kg m 2
38 Kapitel 1. Mechanik<br />
Damit ergibt sich für das Trägheitsmoment des Vollzylinders<br />
J exp<br />
V Z = JV Z+T − JT = 0, 345 · 10 −3 kg m 2<br />
im Vergleich zu dem theoretisch zu erwartenden Wert von<br />
Aufnahmeteller + Hohlzylinder:<br />
J theo<br />
V Z = 1<br />
2 mV Z<br />
� dV Z<br />
2<br />
� 2<br />
= 0, 337 · 10 −3 kg m 2<br />
T = 1, 18 s<br />
JV Z+T = 1<br />
4π 2 · D · T 2 V Z+T<br />
= 1<br />
4π 2 · 0, 0257 · 1, 182 Nms 2<br />
= 0, 907 · 10 −3 kg m 2<br />
Damit ergibt sich für das Trägheitsmoment des Hohlzylinders<br />
J exp<br />
HZ = JHZ+T − JT = 0, 700 · 10 −3 kg m 2<br />
im Vergleich zu dem theoretisch zu erwartenden Wert von<br />
J theo<br />
HZ = mHZ<br />
1.3.7 Trägheitsmoment der Kugel<br />
J exp<br />
K<br />
T = 1, 82 s<br />
� dHZ<br />
2<br />
� 2<br />
= 0, 652 · 10 −3 kg m 2<br />
= 1<br />
4π 2 · D · T 2 V Z+T<br />
= 1<br />
4π 2 · 0, 0257 · 1, 822 Nms 2<br />
= 2, 16 · 10 −3 kg m 2<br />
Um das experimentelle Ergebnis mit der theoretischen Vorhersage<br />
J theo<br />
K<br />
= 2<br />
5 mKR 2 K<br />
vergleichen zu können, benötigen wir den Radius der Kugel RK. Dieser lässt sich mit dem<br />
Massband nur sehr ungenau abschätzen. Wesentlich genauer ist es, die Dichte der Kugel ρK<br />
zu verwenden, um über die Beziehung<br />
mK = VK · ρK = 4<br />
3 πR3 KρK
1.3. Trägheitsmomente 39<br />
den Radius zu bestimmen. Mit ρK = (0, 63 ± 0, 02) · 10 3 kg/m 3 erhalten wir:<br />
und damit<br />
RK =<br />
�<br />
mK<br />
4<br />
3πρK � 1<br />
3<br />
= 0, 0716 m<br />
J theo<br />
K = 2<br />
5 mKR 2 K<br />
= 2<br />
5 · 0, 99 kg · 0, 07162 m 2<br />
= 2, 03 · 10 −3 kg m 2<br />
Der Vergleich mit der Messung für die Holzscheibe zeigt, dass die Trägheitsmomente übereinstimmen.<br />
Bestimmt man Massen und Radien der Versuchskörper, so lässt sich experimentell bestätigen,<br />
dass Kugel und Holzscheibe das gleiche Trägheitsmoment haben wenn gilt:<br />
mHS · R 2 HS = 4<br />
5 mK · R 2 K<br />
1.3.8 Bestätigung des Steinerschen Satzes<br />
In diesem Versuchsteil soll die Abhängigkeit des Trägheitsmomentes J vom Abstand a zwischen<br />
Rotations- und Schwerpunktachse untersucht werden. Der Steinersche Satz<br />
Ja = J0 + m · a 2<br />
soll bestätigt werden. J0 ist hierbei das Trägheitsmoment bei Rotation um die Schwerpunktsachse.<br />
Die Kreisscheibe wird zunächst um ihre Schwerpunktsachse rotieren gelassen (a = 0). Zur<br />
besseren Genauigkeit und um die Schwankung der Messwerte abzuschätzen wird die Messung<br />
mehrfach wiederholt und die Schwingungsdauer durch Mittelwertbildung bestimmt.<br />
In gleicher Weise wird die Schwingungsdauer T als Funktion des Abstandes a = 0, 02; 0, 04;<br />
. . . 0, 16 m zwischen Rotations- und Schwerpunktsachse bestimmt.<br />
Wichtig:<br />
Nach jeder Änderung von a den Stativfuss mit Hilfe der Dosenlibelle wieder so ausrichten,<br />
dass die Kreisscheibe in der Horizontalen rotiert.
40 Kapitel 1. Mechanik<br />
Ergebnis:<br />
a[m] T[s] J [kg m2 −2 ] 10<br />
J−J0<br />
a2 0,00 4,782 1,490<br />
[kg]<br />
0,02 4,800 1,501<br />
0,04 4,961 1,604<br />
0,06 5,230 1,782<br />
0,08 5,532 1,994 0,75<br />
0,10 5,884 2,256<br />
0,12 6,313 2,597<br />
0,14 6,710 2,951<br />
0,16 7,220 3,400<br />
Für das Trägheitsmoment J eines Körpers der Masse m, dessen Rotationsachse um a von<br />
der Schwerpunktsachse entfernt ist, gilt:<br />
Ja = J0 + const. · a 2<br />
Die Auswertung des Diagramms J = f(a 2 ) liefert für den konstanten Proportionalitätsfaktor<br />
in befriedigender Übereinstimmung mit der Masse der Kreisscheibe von 0, 75 kg. Damit<br />
bestätigt der Versuch den Steinerschen Satz:<br />
Ja = J0 + m · a 2
Kapitel 2<br />
Akustik<br />
Bei den Versuchen zur Akustik kann prinzipiell zwischen 2 Meßprogrammen gewählt werden.<br />
(I und II mit etwa gleichem Meß- und Auswerteaufwand – s.u.)<br />
Da jeweils nur 4 Aufbauten zur Verfügung stehen, sollte vor der Vorbereitung die Aufteilung<br />
auf die Versuche unter den Gruppen koordiniert werden.<br />
Meßprogramm I: V 2.1.A und ein Versuch aus V 2.1.B und entweder V 2.2 oder V 2.3<br />
V 2.1 Schallwellen in Gasen / Ausbeitungsgeschwindigkeit<br />
A Laufende Welle – Laufzeit gegen Laufstrecke<br />
B1 Stehende Welle – Schalldruck gegen Ort<br />
B2 Stehende Welle – Schalldruck gegen Rohrlänge<br />
B3 Stehende Welle – Schalldruck gegen Frequenz<br />
V 2.2 Schallwellen in Festkörpern / Elastizitätsmodul<br />
1 Bestimmung der Stab-Dichte<br />
2 Aufzeichnung der Grundschwingung<br />
V 2.3 Schwebungen von Schallwellen zweier Stimmgabeln<br />
1 Aufzeichnung der Schwingung einzeln und in Schwebung<br />
2 Periodenlängen und Fourier Auswertung<br />
Meßprogramm II: V 2.4 komplett<br />
V 2.4 Doppler-Effekt<br />
1 Schallgeschwindigkeit aus Phasenverschiebung<br />
2 Frequenzverschiebung gegen Quellengeschwindigkeit<br />
3 Echolot<br />
41
42 Kapitel 2. Akustik<br />
2.1 Schallgeschwindigkeit in Gasen<br />
2.1.1 Versuchsziel<br />
A Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Luft aus Laufzeitmessungen.<br />
B Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Luft mit stehenden Wellen:<br />
– durch Messung des Schalldruckverlaufs<br />
– oder Messung der Resonanzlängen<br />
– oder Messung der Resonanzfrequenzen<br />
Vorkenntnisse: Wellen<br />
Schallausbreitung in Gasen<br />
Überlagerung von Wellen<br />
Stehende Wellen<br />
Schallwandler (Piezo/Lautsprecher/Mikrophon)<br />
Benötigte Geräte: Sensor CASSY 1x<br />
Timer-Box 1x<br />
Stromquellen-Box 1x<br />
Temperatursensor 1x<br />
Plexiglas Rohr ø 10cm L 50cm mit Ständer 1x<br />
Endstück mit Lautsprecher 1x<br />
Endstück mit Durchführung 1x<br />
im Rohr verschiebbare Scheibe 1x<br />
Universalmikrophon mit Stativstange u. Sockel 1x<br />
Piezo Hochtöner mit Stativstange u. Sockel 1x<br />
Wegaufnehmer mit Stativstange 1x<br />
Faden 1m mit Gummiring und Gewicht 1x<br />
Tischklemme 1x<br />
Führungsschiene Alu 30x3mm^2 L 50cm 1x<br />
Funktionsgenerator 0-200 kHz 1x<br />
BNC -> 4mm Übergangsstecker 2x<br />
BNC -> Lemo Übergangsstecker 2x<br />
4mm Laborkabel 25cm/1.0mm Paar rot/blau 1x<br />
4mm Laborkabel 100cm/1.0mm Paar rot/blau 2x<br />
4mm Laborkabel 200cm/1.0mm Paar schwarz 1x
2.1. Schallgeschwindigkeit in Gasen 43<br />
2.1.2 Grundlagen<br />
2.1.2.1 Schallgeschwindigkeit in Gasen<br />
Die Ausbreitung von Schallwellen in Gasen ist ein adiabatischer Prozeß. Das Schallfeld ist<br />
durch die Angabe von Schallschnelle u(x, t) (lokale Geschwindigkeit der Gasmoleküle) oder<br />
Schalldruck p(x, t) (lokale Abweichung des Drucks vom Außendruck) beschrieben. Ist der<br />
Schalldruck p klein gegenüber dem Außendruck p0, so gelten die Euler-Gleichungen:<br />
∂<br />
∂<br />
p(x, t) = −ϱ u(x, t) und<br />
∂x ∂t<br />
∂<br />
1<br />
u(x, t) = −<br />
∂x κp0<br />
∂<br />
∂t p(x, t) mit κ = cP /cV<br />
(2.1)<br />
Eine Lösung der Wellengleichung ∂2u ∂t2 = v2 ∂2u ∂x2 sind ebene Wellen: u(x, t) = u0sin(ωt±kx−φ)<br />
mit Kreiswellenzahl k = 2π/λ, Kreisfrequenz ω = 2πf und Phasengeschwindigkeit vph =<br />
ω/k. Ohne Dispersion entsprechen Phasen- und Gruppengeschwindigkeit vgr = ∂ω/∂k der<br />
Ausbreitungsgeschwindigkeit v, die für ein ideales Gas von der Temperatur T allein abhängig<br />
ist:<br />
v = � �<br />
� R · κ<br />
p0 · κ/ϱ = v0 T/T0 mit v0 =<br />
(2.2)<br />
T0<br />
Mmol<br />
allg. Gaskonstante: R = 8.3145 J/(mol K)<br />
Adiabatenexponent: κ = 7/5 für ein zweiatomiges Gas (N2, O2)<br />
Molmasse von Luft: Mmol = 28.984 · 10−3 Kg/mol<br />
üblicherweise wählt man: T0 = 273.15 K (=0◦C) 2.1.2.2 Stehende Wellen<br />
In einem geschlossenen Rohr bilden sich durch Überlagerung von einlaufenden mit reflektierten<br />
periodischen Schallwellen sog. stehende Wellen aus. Im Gegensatz zu frei laufenden (z.B.<br />
ebenen) Wellen gibt es hier Orte, an denen zu jeder Zeit die Schallschnelle oder der Schalldruck<br />
verschwinden (Knoten) und Zeiten, zu denen an jedem Ort Schalldruck oder Schnelle<br />
verschwinden. Befindet sich bei x=0 ein schallharter Abschluß, so ist dort die Schallschnelle<br />
zu jeder Zeit ux=0 = 0 (Schnelleknoten) und die Amplitude des Schalldrucks extremal<br />
(Druckbauch).<br />
Allgemein gilt in einem Rohr der Länge L mit schallhartem Abschluß bei x=0 und Schall-<br />
quelle bei x=L mit Schallschnelle u(x = L, t) = uL · sin ωt: u(x, t) = uL<br />
Damit ist der Effektivwert<br />
� 1<br />
T<br />
� T<br />
0 p2 (x, t)dt des Schalldrucks ˆp(x) =<br />
Die Druckknoten haben somit einen Abstand ∆x = λ/2 und liegen bei:<br />
sin kL<br />
ϱ · v · uL<br />
√ 2<br />
sin kx · sin ωt<br />
· cos kx<br />
sin kL<br />
xn = n · λ/2 − λ/4 n = 1, 2, . . . (2.3)<br />
Am schallharten Abschluß bei x=0 ist der Effektivwert des Schalldrucks:<br />
�<br />
ϱ · v · uL 2πf<br />
ˆpx=0 = √ / sin<br />
2 v L<br />
�<br />
d.h. bei fester Rohrlänge L liegen Resonanzen bei fn = n·v/2L n = 1, 2, . . . (2.4)<br />
und bei fester Frequenz f liegen Resonanzen bei Ln = n·v/2f n = 1, 2, . . . (2.5)
44 Kapitel 2. Akustik<br />
2.1.3 Vorbereitung<br />
Zur Vorbereitung ist es eine gute Übung, die Eulergleichungen 2.1 aus Beschleunigungs- und<br />
Kompressionsvorgängen eines diskreten Gasvolumens herzuleiten. Daraus wird die Wellengleichung<br />
ableitet, und die Ausbreitungsgeschwindigkeit abgelesen. Die Umrechnung in 2.2<br />
sollte auch linear nach TC in o C entwickelt werden.<br />
Zur Herleitung von Gl. 2.3 sind ein- und auslaufende Wellen nach Diskussion der Randbedingungen<br />
an der reflektierenden Wand phasenrichtig zu überlagern und mit Additionstheoremen<br />
zusammenzufassen. Weiterhin sind p und u über die Euler-Gl. 2.1 verknüpft.<br />
2.1.4 Messung und Auswertung<br />
Vier verschiedene Messungen sind möglich:<br />
A Laufzeit einer Störung in Abhängigkeit der Laufstrecke<br />
Mit dieser Messung wird die Schallgeschwindigkeit bei Raumtemperatur gemessen.<br />
B1 Schalldruck in Abhängigkeit des Ortes entlang des Rohres<br />
Das Schalldruckprofil einer stehenden Welle wird vermessen.<br />
B2 Schalldruck am schallharten Abschluß in Abhängigkeit der Resonatorlänge<br />
Diese Messung zeigt die Resonanzlängen einer stehenden Welle in einem geschlossenen<br />
Rohr. Warum wird am schallharten Abschluß gemessen?<br />
B3 Schalldruck am schallharten Abschluß in Abhängigkeit der Frequenz<br />
Diese Messung zeigt die Resonanzfrequenzen einer stehenden Welle in einem geschlossenen<br />
Rohr.<br />
Aus allen Messungen wird die Schallgeschwindigkeit bestimmt und mit der Erwartung nach<br />
Gl. 2.2 verglichen. Dazu ist jedesmal eine Messung der Lufttemperatur nötig, deren Unsicherheit<br />
ebenfalls berücksichtigt werden muß.<br />
Fehlerabschätzung<br />
Die Messungen zur Schallausbreitung in Luft werden mit Sensor-CASSY aufgezeichnet. Dabei<br />
kommen verschiedene Meßaufnehmer zum Einsatz, die teilweise vor der Messung kalibriert<br />
werden (Wegaufnehmer), deren systematische Unsicherheiten ansonsten aber nach<br />
Herstellerangaben abgeschätzt werden müssen (Zeitbasis, Temperatur).<br />
Die Schätzung der statistischen Fehler geschieht durch Mehrfachmessungen (Mittelwert/RMS)<br />
oder durch Variation der Meßwertintervalls z.B. für Peakwertbestimmungen. Mittels Fehlerfortpflanzung<br />
wird schließlich die Güte der Messung (Vertrauensbereich) ermittelt. I. A.<br />
reduziert sich der Fehler durch eine sinnvolle Verteilung der Meßwerte (kleinere Abstände<br />
und damit mehr Meßwerte an kritischen Stellen wie z.B. Resonanzfrequenzen oder Schalldruckknoten).<br />
Um die begrenzte Meßzeit effektiv auszunutzen, ist es sinnvoll, schon während der Messung<br />
die einzelnen Fehlerbeiträge getrennt zu bestimmen. Dominiert ein Beitrag den Meßfehler,<br />
sollte der weitere Aufwand in dessen Reduzierung investiert werden.
2.1. Schallgeschwindigkeit in Gasen 45<br />
2.1.4.1 Laufzeit gegen Laufstrecke<br />
Wird die Laufzeit t einer Störung a(x − vt) für verschiedene Orte x gemessen, so ergibt sich<br />
die Ausbreitungsgeschwindigkeit v als Steigungsfaktor der Auftragung x gegen t auch ohne<br />
absolute Ortskenntnis der Störquelle.<br />
Hierzu werden Stoßwellen mit dem Piezo-Hochtonlautsprecher erzeugt und mit Sensor-<br />
CASSY aufgezeichnet. Abb. 2.1 zeigt den Aufbau:<br />
Mikrofon<br />
58626<br />
=<br />
~<br />
Trigger<br />
12 V<br />
INPUT A<br />
INPUT B<br />
R<br />
TIMER−BOX<br />
R P +<br />
E<br />
T<br />
F<br />
524034<br />
STROMQUELLEN−BOX<br />
+<br />
T<br />
524031<br />
S<br />
− +<br />
SENSOR−CASSY 524010<br />
Piezo<br />
Hochtöner<br />
Abbildung 2.1: CASSY Meßaufbau Laufzeit gegen Laufstrecke<br />
Am Tischende fixiert die Tischklemme die 50cm lange Alu-Schiene. An ihrem anderen Ende<br />
schließt sich die Rohr-Halterung an. Das Schallrohr wird mittig darauf gelegt und auf der<br />
hinteren Seite mit dem Piezo-Hochtöner abgeschlossen.<br />
Der Rohrabschluß mit Durchführung wird auf die vordere Rohrseite gesteckt. Das eingeschaltete<br />
1 Mikrophon wird im Trigger-Modus ∼ = ⊓ auf mittlere Empfindlichkeit eingestellt<br />
und im Sockel auf der Alu-Schiene verschiebbar durch die mittige Durchführung in das<br />
Rohrinnere geführt.<br />
1 Das Mikrophon schaltet sich nach ca. 10 Min. selbständig aus, um den Akkulaufzeit zu schonen. Bei<br />
Verschwinden des Signals (’kein Trigger’) daher zuerst durch Wiedereinschalten dieses Problem ausschließen.<br />
+<br />
−
46 Kapitel 2. Akustik<br />
An der Tischklemme wird der Wegaufnehmer befestigt und ein an der Mikrophon-Stativstange<br />
befestigter Faden parallel zur Schiene über das Rad geführt, und mit einem Gewicht beschwert.<br />
An Kanal A wird die Timer-Box angeschlossen. Sie benötigt zur Laufzeitmessung ein Start-<br />
Signal am Eingang E und ein Stop-Signal am Eingang F. An den Eingang E wird der<br />
Piezolautsprecher richtig herum gepolt (E an +/gelb) angeschlossen. Parallel dazu wird das<br />
rechte Relais-Schalterpaar (R2/R3) geschaltet. Schließt das Relais, wird das Piezoelement<br />
entladen und sendet eine Stoßwelle aus. Gleichzeitig fällt die am Eingang E intern anliegende<br />
Spannung auf 0V, Startzeit ist somit die negative Flanke an E. Öffnet der Relais Schalter,<br />
so wird das Piezoelement – über den internen 15 kΩ Widerstand RP von Eingang E mit<br />
größerer Zeitkonstante ohne meßbare Schallaussendung – wieder auf +5V aufgeladen. Das<br />
Mikrophon im Triggermodus liefert bei Eintreffen der Stoßwelle das Stop-Signal und wird<br />
an Eingang F angeschlossen.<br />
Zur Streckenmessung wird der Wegaufnehmer (Mehrgangpotentiometer) über die Stromquellen-<br />
Box (liefert konstanten Strom) an Kanal B angeschlossen. Die Laufrichtung kann durch die<br />
Wechsel des Potentiometer-Endabgriffs umgekehrt werden. Der Nullpunkt wird so eingestellt<br />
(und während der Messung kontrolliert), daß der gesamte Verschiebebereich des Mikrophons<br />
gemessen werden kann.<br />
Wegen der Bauteiletoleranz des Potentiometers im Prozentbereich muß der Wegaufnehmer<br />
in einem Vorversuch mit dem Bandmaß kalibriert werden. Dazu werden die mit dem Bandmaß<br />
gemessenen Orte S gegen den Widerstand Rb1 des Wegaufnehmers wie in Abb. 2.2<br />
aufgezeichnet. Bei äquidistanten Kalibrationspunkten mit ähnlichen Einzelfehlern reduziert<br />
die Parametrisierung S −S0 = K ·(R−R0) die Anpassung auf eine Ursprungsgerade (S0 und<br />
R0 sind die mittleren Orte und Widerstände). Die Steigung der Ausgleichsgeraden liefert den<br />
Kalibrationsfaktor K, zur Umrechnung von Widerstandseinheiten auf Längeneinheiten.<br />
CASSY / Kanal B / Strombox<br />
Widerstand Rb1, 0-3kOhm,<br />
gemittelt 1000 ms<br />
Meßparameter / manuell<br />
Formel / neue Größe S = 60-2*n<br />
(Messungen bei 58,56,...)<br />
Darstellung / X-Achse Rb1<br />
Y-Achse S<br />
Abbildung 2.2: CASSY-LAB Kalibration des Wegaufnehmers.<br />
Wie bei allen Ausgleichsrechnungen sind die Einzelfehler auf der x- und y-Achse zu berücksichtigen.<br />
Liefert die Geradenanpassung ein χ 2 von etwa 1 pro Freiheitsgrad, so ist die Fehlerabschätzung<br />
– und damit auch der Fehler des Steigungsfaktors – sinnvoll. Diese Unsicherheit von K muß<br />
bei den folgenden Messungen als systematischer Fehler berücksichtigt werden, d.h. er liefert
2.1. Schallgeschwindigkeit in Gasen 47<br />
unabhängig von den jeweiligen Einzel-Meßwerten einen zusätzlichen Beitrag als Skalenfehler<br />
bei der Umrechnung des Endergebnisses von kΩ auf m.<br />
Zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit wird die Laufzeit an ca. 8 Orten in Abständen von<br />
ca. 5cm gemessen. Dazu wird das Mikrophon in die gewünschte Position verfahren und die<br />
Stabilisierung der Ortskoordinate abgewartet. Mit Start/Stop [F9] wird für diesen Ort eine<br />
Meßreihe gestartet und nach ca. 10 Werten wieder beendet. Die aufgenommenen Meßreihen<br />
werden zur weiteren Auswertung in einer Datei gespeichert.<br />
CASSY-Lab Tip zur Aufzeichnung der Meßwerte:<br />
CASSY / Kanal A / Laufzeit Dta1 E->F, 0.002s, Flanken invertiert<br />
Kanal B / Widerstand Rb1, 0-3kOhm, gemittelt 1000 ms<br />
Relais / frac(t)
48 Kapitel 2. Akustik<br />
2.1.4.2 Druckknoten einer stehenden Welle<br />
Gemessen wird das Schalldruckprofil einer stehenden Welle, also die Ortsabhängigkeit der<br />
Schalldruckamplitude entlang des Rohrs. Abb. 2.4 zeigt den Aufbau:<br />
Mikrofon<br />
58626<br />
12 V<br />
INPUT A<br />
INPUT B<br />
=<br />
~<br />
R<br />
p eff<br />
I<br />
U<br />
STROMQUELLEN−BOX<br />
+<br />
T<br />
524031<br />
S<br />
− +<br />
SENSOR−CASSY 524010<br />
Frequenz Bereich Amplitude<br />
0.2<br />
FEIN<br />
− +<br />
FG 200<br />
2.4<br />
x100k<br />
x10k<br />
x1k<br />
x100<br />
x10<br />
x1<br />
Signal Form<br />
min max<br />
DC<br />
AC<br />
low<br />
Offset<br />
0<br />
− +<br />
Abbildung 2.4: CASSY Meßaufbau Schalldruck gegen Ort<br />
AC<br />
high<br />
Lautsprecher<br />
Das Mikrophon im Effektivwertmodus ∼ = ⊓ wird nun direkt an CASSY Kanal A angeschlossen<br />
und ansonsten wie in Versuch 2.1.4.1 durch die mittige Öffung der Abschlußkappe<br />
ins Rohrinnere geführt.<br />
Als Schallquelle dient der Klein-Lautsprecher in der Kappe, die das Rohr am hinteren Ende<br />
abschließt. Mit dem BNC-Lemo-Adapter wird er an den niederohmigen DC-Ausgang des<br />
Funktionsgenerators angeschlossen und dieser wie folgt betrieben, um Sinusschwingungen<br />
bei ca. 2400 Hz zu erzeugen:<br />
Signalform ∼ (Sinusschwingung)<br />
Bereich x1k (0.2 - 2.4 x 1 kHz)<br />
Offset 0 (kein Konstantstrom durch den Lautsprecher)<br />
Amplitude mittig (Minimum für sichere Frequenzmessung)<br />
Vor der eigentlichen Messung wird eine Resonanz-Frequenz bei ca. 2400Hz eingestellt und<br />
nach Versuchsaufbau aus Abb. 2.10 mit der Timer-Box an CASSY Kanal B gemessen.
2.1. Schallgeschwindigkeit in Gasen 49<br />
Im weiteren wird mit CASSY Kanal B die Mikrophonposition gemessen. Wie bei Messung<br />
2.1.4.1 wird dazu der Wegaufnehmer über die Strombox angeschlossen. Am schallharten<br />
Rohrende wird er auf x=0 eingestellt, mit Anstieg zum hinteren Ende hin.<br />
Vor Aufnahme einer Meßreihe sollte der dynamische Bereich des Mikrophonkanals an den<br />
Maximalwert im Druckbauch angepaßt werden.<br />
CASSY-Lab Tip zur Aufzeichnung der Meßwerte:<br />
CASSY / Kanal A / Spannung Ua1 0-Umax Nullpunkt links, gemittelt 1000 ms<br />
Kanal B / Widerstand Rb1 0-3kOhm gemittelt 1000 ms<br />
Meßparameter / manuell<br />
Formel / neue Größe S=Rb1*15.91 (Wegaufnehmer Kalibration)<br />
Darstellung / X-Achse S<br />
Y-Achse Ua1<br />
Nach Einstellen einer Position und Stabilisierung des Ortswertes wird mit Start/Stop [F9]<br />
ein Meßwert aufgenommen. Die Wahl der weiteren Positionen sollte wie in Abb. 2.5 auf die<br />
optimale Bestimmung der Druckknoten und -Bäuche ausgerichtet sein.<br />
Abbildung 2.5: Messung der Schalldruckamplitude gegen den Ort.<br />
Es werden die Positionen xn der<br />
Druckbäuche und -Knoten a bestimmt<br />
und über n aufgetragen. Nach Gl. 2.3<br />
liegen diese Werte auf einer Geraden<br />
mit Steigung λ/2.<br />
Mit v = λf wird aus diesen Messungen<br />
die Schallgeschwindigkeit bestimmt:<br />
a Wird die Knotenlage mit dem Peakfinder<br />
ermittelt, so muß die Kurve invertiert werden!<br />
Warum?<br />
Abbildung 2.6: Schallgeschwindigkeit aus Peaklage der Druckknoten und -Bäuche.
50 Kapitel 2. Akustik<br />
2.1.4.3 Resonanzlängen einer stehenden Welle<br />
Gemessen wird die Abhängigkeit der Schalldruckamplitude einer stehenden Welle von der<br />
Resonatorlänge. Abb. 2.7 zeigt den Aufbau:<br />
Mikrofon<br />
58626<br />
12 V<br />
INPUT A<br />
INPUT B<br />
=<br />
~<br />
R<br />
p eff<br />
I<br />
U<br />
STROMQUELLEN−BOX<br />
+<br />
T<br />
524031<br />
S<br />
− +<br />
SENSOR−CASSY 524010<br />
Frequenz Bereich Amplitude<br />
0.2<br />
FEIN<br />
− +<br />
FG 200<br />
2.4<br />
x100k<br />
x10k<br />
x1k<br />
x100<br />
x10<br />
x1<br />
Signal Form<br />
min max<br />
DC<br />
AC<br />
low<br />
Offset<br />
0<br />
− +<br />
AC<br />
high<br />
Lautsprecher<br />
Abbildung 2.7: CASSY Meßaufbau Schalldruck gegen Resonatorlänge<br />
Auf das Ende des Mikrophons im Effektivwertmodus ∼ = ⊓ wird vorsichtig die Lochscheibe<br />
geschoben, um an einem im Rohr verschiebbaren schallharten Abschluß im Druckbauch<br />
die Schalldruckamplitude zu messen. Es wird direkt an Sensor-CASSY Kanal A angeschlossen.<br />
Als Schallquelle dient der Lautsprecher in der Kappe, die das Rohr am hinteren Ende abschließt,<br />
um Sinusschwingungen bei ca. 2400 Hz zu erzeugen. Angeregt wird er vom Funktionsgenerator,<br />
mit folgenden Einstellungen:<br />
Signalform ∼ (Sinusschwingung)<br />
Bereich x1k (0.2 - 2.4 x 1 kHz)<br />
Offset 0 (kein Konstantstrom durch den Lautsprecher)<br />
Amplitude mittig (Minimum für sichere Frequenzmessung)<br />
Der Lautsprecher wird mit dem BNC-Lemo-Adapter an den niederohmigen DC-Ausgang<br />
angeschlossen.
2.1. Schallgeschwindigkeit in Gasen 51<br />
Vor der eigentlichen Messung wird die höchste Frequenz (ca. 2400Hz) eingestellt und nach<br />
Versuchsaufbau aus Abb. 2.10 mit der Timer-Box an CASSY Kanal B gemessen.<br />
Im weiteren wird mit CASSY Kanal B die Mikrophonposition gemessen. Wie bei Messung<br />
2.1.4.1 wird dazu der Wegaufnehmer über die Strombox angeschlossen.<br />
Vor der Aufnahme der Meßwerte empfiehlt es sich, den dynamischen Bereich des Mikrophon-<br />
Kanals an die maximale Schalldruckamplitude bei Resonanz anzupassen, d.h. die Empfindlichkeit<br />
des Mikrophons möglichst niedrig einstellen und ggf. die Amplitude am Funktionsgenerator<br />
erhöhen, um den gewählten Meßbereich von CASSY Kanal A optimal auszunutzen.<br />
CASSY-Lab Tip zur Aufzeichnung der Meßwerte:<br />
CASSY / Kanal A / Spannung Ua1 0-Umax Nullpunkt links, gemittelt 1000 ms<br />
Kanal B / Widerstand Rb1 0-3kOhm gemittelt 1000 ms<br />
Meßparameter / manuell<br />
Formel / neue Größe S=Rb1*15.91 (Wegaufnehmer Kalibration)<br />
Darstellung / X-Achse S<br />
Y-Achse Ua1<br />
Nach Einstellen einer Position und Stabilisierung des Ortswertes wird mit Start/Stop [F9]<br />
ein Meßwert aufgenommen. Die Wahl der weiteren Positionen sollte auf die optimale Bestimmung<br />
der Resonanzlängen ausgerichtet sein. Abb. 2.8 zeigt eine solche Messung.<br />
Abbildung 2.8: Messung der Schalldruckamplitude gegen die Resonatorlänge.<br />
Zur quantitativen Auswertung werden die<br />
Messungen in einer Datei abgespeichert. Es<br />
werden die Resonanzlängen Ln bestimmt<br />
und über n aufgetragen. Nach Gl. 2.5 liegen<br />
diese Werte auf einer Geraden mit Steigung<br />
v/2f. Bei bekannter Frequenz f wird mit dieser<br />
Messung die Schallgeschwindigkeit v bestimmt.<br />
Abbildung 2.9: Bestimmung der Schallgeschwindigkeit aus den Resonanzlängen.
52 Kapitel 2. Akustik<br />
2.1.4.4 Resonanzfrequenzen einer stehenden Welle<br />
Gemessen wird die Frequenz-Abhängigkeit der Schalldruckamplitude einer stehenden Welle<br />
am schallharten Abschluß bei fester Resonatorlänge. Abb. 2.10 zeigt den Aufbau:<br />
Mikrofon<br />
58626<br />
=<br />
~<br />
p eff<br />
12 V<br />
INPUT A<br />
INPUT B<br />
R<br />
TIMER−BOX<br />
R P +<br />
E<br />
T<br />
F<br />
I<br />
U<br />
524034<br />
S<br />
− +<br />
SENSOR−CASSY 524010<br />
Frequenz Bereich Amplitude<br />
0.2<br />
FEIN<br />
− +<br />
FG 200<br />
2.4<br />
x100k<br />
x10k<br />
x1k<br />
x100<br />
x10<br />
x1<br />
Signal Form<br />
min max<br />
DC<br />
AC<br />
low<br />
Offset<br />
0<br />
− +<br />
AC<br />
high<br />
Lautsprecher<br />
Abbildung 2.10: CASSY Meßaufbau Schalldruck gegen Frequenz<br />
Das Mikrophon im Effektivwertmodus ∼ = ⊓ wird an das Rohrende verschoben, um am<br />
schallharten Abschluß im Druckbauch die Schalldruckamplitude zu messen. Es wird direkt<br />
an Sensor-CASSY Kanal A angeschlossen.<br />
Als Schallquelle dient der Lautsprecher in der Kappe, die das Rohr am hinteren Ende abschließt,<br />
um Sinusschwingungen zwischen 200 Hz und 2400 Hz zu erzeugen. Angeregt wird<br />
er vom Funktionsgenerator, der folgendermaßen eingestellt wird:<br />
Signalform ∼ (Sinusschwingung)<br />
Bereich x1k (0.2 - 2.4 x 1 kHz)<br />
Offset 0 (kein Konstantstrom durch den Lautsprecher)<br />
Amplitude mittig (Minimum für sichere Frequenzmessung)<br />
Der Lautsprecher wird mit dem BNC-Lemo-Adapter an den niederohmigen DC-Ausgang<br />
angeschlossen. Zur Frequenzmessung wird der rechte Hochpegel AC-Ausgang an den Eingang<br />
E der CASSY Timer-Box in Sensor-CASSY Kanal B angeschlossen.
2.1. Schallgeschwindigkeit in Gasen 53<br />
Vor der Aufnahme der Meßwerte empfiehlt es sich, den dynamischen Bereich des Mikrophon-<br />
Kanals an die maximale Schalldruckamplitude bei Resonanz anzupassen, d.h. die Empfindlichkeit<br />
des Mikrophons möglichst niedrig einstellen und ggf. die Amplitude am Funktionsgenerator<br />
erhöhen, um den gewählten Meßbereich von CASSY Kanal A optimal auszunutzen.<br />
CASSY-Lab Tip zur Aufzeichnung der Meßwerte:<br />
CASSY / Kanal A / Spannung Ua1 0-Umax Nullpunkt links, gemittelt 1000 ms<br />
Kanal B / Timerbox / Frequenz fb1(E) 5000 Hz Torzeit 1s<br />
Meßparameter / manuell<br />
Darstellung / X-Achse fb1<br />
Y-Achse Ua1<br />
Nach Einstellen einer Frequenz und Stabilisierung des Frequenzwerts wird mit Start/Stop<br />
[F9] ein Meßwert pro Frequenz aufgenommen. Die Wahl der weiteren Frequenzwerte sollte<br />
auf die optimale Bestimmung der Resonanzfrequenzen ausgerichtet sein. Abb. 2.11 zeigt<br />
eine solche Messung. Wie zu erkennen ist, sind diese Resonanzen recht schmal. Daher empfiehlt<br />
es sich, deren Lage vorher abzuschätzen. Mit der Frequenz-Feineinstellung kann ein<br />
Resonanzbereich dann komplett durchgestimmt werden.<br />
Abbildung 2.11: Messung der Schalldruckamplitude gegen die Frequenz<br />
Zur quantitativen Auswertung werden die<br />
Messungen in einer Datei abgespeichert. Es<br />
werden die Resonanzfrequenzen fn bestimmt<br />
und über n aufgetragen. Nach Gl. 2.4 liegen<br />
diese Werte auf einer Geraden mit Steigung<br />
v/2L. Bei bekannter Resonanzlänge L<br />
des Rohres (zwischen den Endkappen) wird<br />
mit dieser Messung die Schallgeschwindigkeit<br />
v bestimmt:<br />
Abbildung 2.12: Bestimmung der Schallgeschwindigkeit aus den Resonanzfrequenzen.
54 Kapitel 2. Akustik<br />
2.2 Schallgeschwindigkeit in Festkörpern<br />
2.2.1 Versuchsziel<br />
Messung der Schallgeschwindigkeit in Metallen zur Bestimmung des Elastizitätsmoduls.<br />
Vorkenntnisse: Wellen<br />
Schallausbreitung in Festkörpern<br />
Überlagerung von Wellen<br />
Stehende Wellen<br />
Fourier-Analyse<br />
Benötigte Geräte: Sensor CASSY 1x<br />
Universalmikrophon mit Stativstange 1x<br />
Sockel 1x<br />
Tischklemme 1x<br />
Metallstange 20cm 1x<br />
Kreuzmuffe 1x<br />
Metallstift ø 4mm L 30mm 1x<br />
Gummi-Hammer 1x<br />
Mikrometermaß 0-25mm 1x<br />
Stahl-Bandmaß 2m 1x<br />
Metallstangen 1.3m Cu, Al, Fe, Messing je 1x<br />
Analysewaage im Raum<br />
2.2.2 Grundlagen<br />
Der Elastizitätsmodul E ist eine Materialkonstante und charakterisiert die relative Längenausdehnung<br />
eines Materials abhängig von der angreifenden Zugspannung: E := F ∆L / A L .<br />
Für Metalle ist E in der Größenordnung 10 11 N/m 2 und damit nur für dünne Drähte statisch<br />
meßbar. Mit Metallstäben ist jedoch eine dynamische Messung möglich, indem die<br />
Ausbreitungsgeschwindigkeit vl = � E/ϱ von longitudinalen Schallwellen bestimmt wird.<br />
Ein mittig eingespannter Stab der Länge L wird durch geeignetes Anschlagen zur longitudinalen<br />
Grundschwingung der Wellenlänge λ0 = 2L angeregt. Die Frequenz f0 und die Dichte<br />
ϱ werden gemessen und mit vl = f0 · λ0 ergibt sich<br />
E = ϱ · f 2 0 · 4L 2<br />
(2.6)
2.2. Schallgeschwindigkeit in Festkörpern 55<br />
2.2.3 Messung und Auswertung<br />
Ausmessen des Stabes zur Dichtebestimmung<br />
a Länge L mit dem Bandmaß<br />
b Durchmesser D mit dem Mikrometermaß, gemittelt über<br />
mehrere Positionen entlang des Stabs (kann variieren)<br />
in mehreren Orientierungen (Elliptizität)<br />
c Masse M auf der Analysewaage<br />
Die Dichte berechnet sich zu ϱ = M/V = M/(L · πD 2 /4)<br />
Einspannen des Stabes<br />
Abb. 2.13 zeigt den mechanischen Aufbau zusammen mit der Sensor-CASSY Datenaufnahme.<br />
Mikrofon<br />
58626<br />
=<br />
~<br />
Ampl.<br />
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡<br />
Abbildung 2.13: CASSY Meßaufbau Schallgeschwindigkeit in Stäben<br />
12 V<br />
INPUT A<br />
INPUT B<br />
R<br />
S<br />
I<br />
U<br />
U<br />
− +<br />
SENSOR−CASSY 524010<br />
Die Kreuzmuffe wird an der kurzen Metallstange mit der Tischklemme am Tisch befestigt.<br />
Der 1.3m Metallstab wird – von einem Metallstift unterstützt – parallel zur Tischfläche so<br />
in der Kreuzmuffe eingespannt, daß er nur an 2 Punkten (Pfeile) gehalten wird und damit<br />
frei schwingen kann.
56 Kapitel 2. Akustik<br />
Aufnahme der Meßwerte<br />
Als Meßaufnehmer dient das Mikrophon. Es wird im Amplitudenmodus ∼ = ⊓ auf niedrigster<br />
Empfindlichkeit in ca. 5mm Abstand vom Stabende aufgestellt und eingeschaltet 2<br />
. Aufgezeichnet werden die Meßwerte mit Sensor CASSY. Bei geeigneter Einstellung der<br />
Zeitbasis können sowohl die Schwingungen, als auch deren Fast-Fourier-Frequenzspektren<br />
(FFT) dargestellt werden.<br />
CASSY-Lab Tip zur Aufzeichnung der Meßwerte:<br />
CASSY / Kanal A / Spannung Ua1 +-0.3V Momentanwerte<br />
Meßparameter / automatisch Intervall 100 mu s x16000<br />
Darstellung / X-Achse t<br />
Y-Achse Ua1<br />
FFT / Fast Fourier Transformation von Ua1<br />
Angeregt wird die Schwingung durch einen leichten Schlag auf das Stabende mit dem Gummihammer.<br />
Der Anschlag wird solange variiert, bis der Höreindruck bzw. das Frequenzspektrum<br />
eine saubere Anregung der Grundschwingung zeigt. Bessere Ergebnisse werden erzielt,<br />
wenn die Messung mit [F9] ([n]) erst im Ausklingen der Schwingung gestartet wird, da so<br />
die Einschwingvorgänge direkt nach dem Anschlagen nicht mit aufgezeichnet werden. Abb.<br />
2.14 zeigt ein solches FFT-Spektrum für einen Messingstab.<br />
Abbildung 2.14: FFT-Spektrum mit Oberschwingung in log-Darstellung erkennbar<br />
2 Das Mikrophon schaltet sich nach ca. 10 Min. selbständig aus, um die Akkulaufzeit zu verlängern. Bei<br />
Verschwinden des Signals (’kein Trigger’) daher zuerst durch Wiedereinschalten dieses Problem ausschließen.
2.2. Schallgeschwindigkeit in Festkörpern 57<br />
Fünf solcher Schwingungen mit etwa 1000 Perioden sowie deren FFT-Spektren incl. der<br />
Bestimmung des Peakschwerpunktes von f0 werden zur weiteren Auswertung abgespeichert.<br />
Diese Messungen sollten mit den anderen Gruppen im Raum koordiniert werden, denn ein<br />
weiterer zur selben Zeit angeschlagener Metallstab gleichen Materials würde die Messung<br />
verfälschen. Ein zur selben Zeit angeschlagener Metallstab anderern Materials ist im Fourier-<br />
Spektrum problemlos bei seiner Frequenz zu erkennen und beeinträchtigt wegen der schmalen<br />
Linienbreite die Auswertung nicht. Er wäre auch mit wesentlich kleinerer Amplitude<br />
zusätzlich auswertbar.<br />
Auswertung der Meßdaten<br />
a Aus einem Ausschnitt der aufgezeichneten Schwingung wird wie z.B. in Abb. 2.15 die<br />
Frequenz f0 aus der Zeitdauer für mindestens 20 Perioden ermittelt.<br />
b Aus dem diskreten FFT-Frequenzspektrum wird f0 wie z.B in Abb. 2.16 aus der Peaklage<br />
der Grundschwingung bestimmt.<br />
c Eine Fouriertransformation der gesamten aufgezeichneten Schwingung ui(ti) liefert eine<br />
genauere Frequenzbestimmung. Dazu wird der Betrag der Fouriertransformierten a<br />
in einem Bereich f = f0 �<br />
± 10 Hz in geeigneter Schrittweite berechnet:<br />
��<br />
� n�<br />
�2 �<br />
n�<br />
�2 |a(f)| ∼<br />
�<br />
ui · cos (2πfti) + ui · sin (2πfti)<br />
i=1<br />
i=1<br />
Die Lage des Maximums von |a(f)| und damit f0 wird durch Anpassung einer Parabelfunktion<br />
oder den Peakfinder bestimmt. Für diese Auswertung gibt es ein Maple-Script<br />
Beispiel.<br />
Fehlerabschätzung<br />
Systematische Fehler resultieren z.B. aus Gerätegenauigkeiten oder Ablesefehlern. Sie werden<br />
für jede Einzelmessung geschätzt. Statistisch verteilte Fehler werden durch die Streuung von<br />
Mehrfachmessungen abgeschätzt. Der Gesamtfehler ergibt sich mittels Fehlerfortplanzung<br />
aus den Einzelfehlern, hier zu: ∆E = E ·<br />
- Zeitbasis und FFT Peaklagen-Fehler für f0<br />
- Meßfehler für Stab-Länge, -Durchmesser und -Masse<br />
�<br />
(2 ∆f0<br />
f0 )2 + ( ∆M<br />
M )2 + ( ∆L<br />
L )2 + (2 ∆D<br />
D )2<br />
- Temperatur: L = L0(1 + αl(T − T0)) mit Längenausdehnungskoeffizient αl<br />
Wie groß ist dieser Beitrag für f0 und ϱ ?<br />
Bei dieser Messung ist eine Abschätzung der Einzelfehlerbeiträge sehr aufschlußreich.
58 Kapitel 2. Akustik<br />
Abbildung 2.15: Ausschnitt der aufgezeichneten Messingstab-Schwingungen<br />
Abbildung 2.16: FFT-Peakposition der Messingstab-Grundschwingung
2.3. Schwebungen von Schallwellen 59<br />
2.3 Schwebungen von Schallwellen<br />
2.3.1 Versuchsziel<br />
Spektralanalyse von Wellenüberlagerungen<br />
Vorkenntnisse: Wellen<br />
Überlagerung von Wellen<br />
Fourier-Analyse<br />
Benötigte Geräte: Sensor CASSY 1x<br />
Universalmikrophon mit Stativstange 1x<br />
Sockel 1x<br />
Stimmgabel Resonanzkörper Schiebe-Gewicht je 2x<br />
Anschlaghammer 1x<br />
2.3.2 Grundlagen<br />
Schallwellen breiten sich in einem Medium aus. Da z.B. in Luft dieselben Gasmoleküle von<br />
verschiedenen Schallquellen zu Schnelleoszillationen angeregt werden, überlagern sich alle in<br />
einem Punkt eintreffenden Schallwellen. Schalldruck p und Schallschnelle u sind bei ebenen<br />
fortlaufenden Wellen mit u(x, t) = u0 cos (2πft − 2πx/λ) in Phase: p(x, t) = ϱfλ · u(x, t)<br />
�<br />
Der Schalldruck p am Ort x ergibt sich als Summe aller eintreffenden Wellen: p(x, t) =<br />
pi(x, t)<br />
i<br />
Für zwei einander entgegenlaufende Wellen i=1,2 mit Kreisfrequenzen ωi = 2πfi, Kreiswellenzahlen<br />
ki = 2π/λi gleicher Amplitude p0 � und beliebiger Phasendifferenz φ ergibt sich:<br />
ω1 + ω2<br />
p(x = 0, t) = p1 + p2 = 2p0 cos t −<br />
2<br />
φ<br />
� �<br />
ω1 − ω2<br />
· cos t +<br />
2<br />
2<br />
φ<br />
�<br />
,<br />
2<br />
d.h. eine Schwingung mit mittlerer Frequenz ¯ f und Schwebungsfrequenz fs:<br />
¯f = f1 + f2<br />
2<br />
fs = f1 − f2<br />
2<br />
(2.7)<br />
Mit Ts = 1/fs haben zwei aufeinanderfolgende Schwebungsknoten einen Abstand Tk = Ts/2.<br />
2.3.3 Messung und Auswertung<br />
Mit dem eingeschalteten 3 Mikrophon im Amplitudenmodus ∼ = ⊓ auf niedrigster Empfindlichkeit<br />
wird der Schalldruck mittig zwischen den Resonanzkörpern der zwei Stimmgabeln<br />
gemessen, die mit Zusatzmassen unterschiedlich gestimmt werden können. Die Meßwerte<br />
werden mit Sensor-CASSY in geeigneter Schrittweite aufgezeichnet, sodaß sowohl die<br />
Schwingungen als auch deren Fast-Fourier-Frequenzspektren (FFT) sinnvoll dargestellt werden.<br />
Abb. 2.17 zeigt den Aufbau.<br />
3 Das Mikrophon schaltet sich nach ca. 10 Min. selbständig aus, um die Akkulaufzeit zu verlängern. Bei<br />
Verschwinden des Signals (’kein Trigger’) daher zuerst durch Wiedereinschalten dieses Problem ausschließen
82 CASSY Lab<br />
60 Akustische Schwebungen<br />
Kapitel 2. Akustik<br />
Abbildung 2.17: CASSY Meßaufbau Akustische Schwebungen<br />
Beispiel laden<br />
Versuchsbeschreibung<br />
Es wird die Schwebung aufgezeichnet, die durch zwei geringfügig gegeneinander verstimmte Stimmgabeln<br />
erzeugt wird. Die Einzelfrequenzen f1 und f2, die neue Schwingungsfrequenz fn und die<br />
Schwebungsfrequenz fs werden ermittelt und können mit den theoretischen Werten<br />
Vor der Aufnahme der Meßwerte den dynamischen Bereich des Mikrophon-Kanals an die<br />
maximale Schalldruckamplitude anpassen.<br />
fn = ½ (f1 + f2) und fs = | f1 − f2 |<br />
verglichen werden.<br />
CASSY-Lab Tip zur Aufzeichnung der Meßwerte:<br />
Benötigte Geräte<br />
1 Sensor-CASSY 524 010<br />
1 CASSY Lab 524 200<br />
1 Paar Resonanzstimmgabeln 414 72<br />
1 Universalmikrofon 586 26<br />
1 Sockel<br />
1 PC Y-Achse ab Windows Ua1 95/98/NT<br />
300 11<br />
CASSY / Kanal A / Spannung Ua1 +- Umax V Momentanwerte<br />
Meßparameter / automatisch Intervall 500 mu s x16000<br />
Trigger Ua1 0.1 V steigend<br />
Darstellung / X-Achse t<br />
FFT / Fast Fourier Transformation von Ua1<br />
Versuchsaufbau (siehe Skizze)<br />
Das Universalmikrofon (Funktionsschalter auf Betriebsart “Signal” und Einschalten nicht vergessen)<br />
wird zwischen beiden Stimmgabeln positioniert und an Eingang A des Sensor-CASSYs angeschlossen.<br />
Eine der Stimmgabeln wird durch eine Zusatzmasse geringfügig verstimmt.<br />
Für die Schwebung ist – wie in Abb. 2.18 ausschnittweise zu sehen – auf eine möglichst<br />
vollständige Auslöschung in den Schwebungsknoten zu achten, d.h. die Amplituden der beiden<br />
Schallwellen müssen beim Mikrophon gleich groß sein.<br />
Versuchsdurchführung<br />
Einstellungen laden<br />
• Erste Stimmgabel anstoßen und Messung mit F9 auslösen<br />
• Signalstärke mit Einsteller am Mikrofon optimieren<br />
• Frequenz f1 ermitteln (z. B. durch senkrechte Markierungslinien in der Standard-Darstellung oder<br />
als Peakschwerpunkt im Frequenzspektrum)<br />
Neben der Schwebung für drei verschiedene Frequenzdifferenzen sind auch die Schwingungen<br />
und FFT-Frequenzspektren der einzeln angeschlagenen Stimmgabeln aufzuzeichnen. Diese<br />
Messungen sollten mit den anderen Gruppen im Raum koordiniert werden, um störungsfreie<br />
Daten aufzuzeichnen.
2.3. Schwebungen von Schallwellen 61<br />
Abbildung 2.18: Schwebung mit nahezu vollständiger Auslöschung in den Schwebungsknoten<br />
Auswertung der Meßdaten<br />
a Aus einem Ausschnitt der aufgezeichneten Schwingungen werden die Frequenzen f1,<br />
f2 und ¯ f aus der Zeitdauer für mindestens 20 Perioden ermittelt.<br />
Die Schwebungsfrequenz fs wird aus dem Zeitabstand Tk der Schwebungsknoten bestimmt.<br />
Decken sich die Messungen von ¯ f und fs mit den Vorhersagen aus Gl.2.7?<br />
b Aus den diskreten FFT-Frequenzspektren der einzeln und gemeinsam angeschlagenen<br />
Stimmgabeln werden die Frequenzen f1 und f2 – wie z.B in Abb. 2.19 für die Schwebung<br />
gezeigt – aus den Peaklagen bestimmt.<br />
Abbildung 2.19: Bestimmung der Einzelfrequenzen aus den FFT-Peaklagen<br />
c Die Fouriertransformation der gesamten aufgezeichneten Schwingungen ui(ti) zeigt deren<br />
spektrale Zusammensetzung. Dazu wird der Betrag der komplexen Fouriertransformierten<br />
a(f) ∼ � +∞<br />
−∞ u(t)e−i2πf·tdt in einem Bereich ±2fs um f1, f2 bzw. ¯ f in geeigneter<br />
Schrittweite durch Summen-Näherung des Fourierintegrals berechnet:
62 Kapitel 2. Akustik<br />
�<br />
��<br />
� n�<br />
|a(f)| ∼<br />
�<br />
ui · cos (2πfti)<br />
i=1<br />
� 2<br />
+<br />
� n�<br />
i=1<br />
ui · sin (2πfti)<br />
Die Lage der Maxima von |a(f)| und damit f1 bzw. f2 werden – wie in Abb. 2.20<br />
gezeigt – durch Anpassung von Parabelfunktionen bestimmt.<br />
In der Fouriertransformierten der Schwebung können die zwei Frequenzen noch getrennt<br />
werden, wenn ihr Abstand ∆f größer ist, als die eineinhalbfache Halbwerts-<br />
Breite σf der Einzelspektren. Diese Breite fällt mit der Anzahl N der aufgezeichneten<br />
Perioden: σf/f ≈ 1/2N, sodaß sich als Trenn-Bedingung ergibt: Tmess = N ¯ T > 1.5Tk.<br />
Damit ist auch in der Fouriertransformierten eine Trennung der zwei Frequenzen erst<br />
möglich, wenn mindestens zwei Schwebungsknoten aufgezeichnet wurden. Dies kann<br />
durch Einschränkung der verwendeten Meßwerte in den Fouriersummen gezeigt werden.<br />
Fehlerabschätzung<br />
Die Abschätzung der Fehler beschränkt sich hier auf die Genauigkeit mit der die Zeitdauer<br />
für die gemessenen Schwingungsperioden ermittelt werden kann. Wegen der diskreten Abtastung<br />
des Signals ui zu Zeiten ti mit Abstand ∆ti ist selbst durch Interpolation zwischen<br />
zwei Meßwerten keine Verbesserung unter 0.1 ∆ti zu erwarten.<br />
Im Allgemeinen lassen sich Nulldurchgänge präziser ermitteln als die Extrema, dabei ist<br />
aber ein evtl. vorhandener Offset der Schwingung, d.h. eine Abweichung der Nullage von u<br />
zu berücksichtigen.<br />
Für die Fouriertransformierten sind die Fehler der Fit-Parameter der Peak-Maxima eine<br />
Abschätzung. Dabei ist auf eine sinnvolle Güte der Anpassung zu achten (χ 2 pro Freiheitsgrad<br />
≈ 1).<br />
Da diese Messung nur ein relativer Vergleich ist, heben sich die systematischen Fehler auf<br />
und es bleiben die statistisch verteilten Fehler. Diese können auch aus der Schwankung von<br />
Mehrfachmessungen abgeschätzt werden.<br />
� 2
2.3. Schwebungen von Schallwellen 63<br />
u/V<br />
u/V<br />
abs(a)<br />
0.5<br />
0<br />
-0.5<br />
0.05<br />
0<br />
-0.05<br />
0.15<br />
0.1<br />
0.05<br />
0<br />
0 2 4 6 8<br />
t/s<br />
2.45 2.5 2.55 2.6 2.65<br />
t/s<br />
f1 = 439.334 Hz f2 = 439.835 Hz<br />
439 439.5 440<br />
Abbildung 2.20: Fouriertransformation für nah beieinander liegende Einzelfrequenzen<br />
Oben: Die gesamte aufgezeichnete Schwebung<br />
Mitte: Ein Ausschnitt mit Knoten bei t=2.55s<br />
Unten: Die Fouriertransformierte mit Parabelanpassungen für f1 und f2<br />
f/Hz
64 Kapitel 2. Akustik<br />
2.4 Doppler-Effekt<br />
a) Messung der Schallgeschwindigkeit in Luft<br />
b) Doppler-Effekt<br />
c) Echolot<br />
2.4.1 Versuchsziele<br />
α) Abstrahlcharakteristik des Senders (Schallumwandler)<br />
Hierbei handelt es sich um einen Vorversuch, um einen guten, langzeitstabilen Senderbetrieb<br />
zu garantieren.<br />
a) Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Luft<br />
Mit einem Oszilloskop wird die Phasenverschiebung bei Veränderung des Abstandes<br />
zwischen Sender und Empfänger sichtbar gemacht. Das Durchfahren von 100 Wellenlängen<br />
bei fester Senderfrequenz ermöglicht die Bestimmung der Schallgeschwindigkeit<br />
in Luft.<br />
b) Überprüfung des Doppler-Effektes<br />
Das Frequenzspektrum einer periodisch hin- und herfahrenden Schallquelle wird ausgemessen<br />
und mit der theoretischen Erwartung verglichen.<br />
c) Das Echolot-Prinzip wird an einer reflektierenden Wand erprobt.<br />
2.4.2 Physikalische Grundlagen<br />
Kenntnisse:<br />
Wellengleichungen, Schall als harmonische Welle, Dopplereffekt, Echolot-Prinzip<br />
Schall ist eine longitudinale Welle mit den Feldgrößen Schalldruck p (skalar) und Schallschnelle<br />
u (Bewegung der Einzelteilchen entlang Ausbreitungsrichtung). In diesem Versuch<br />
werden Ultraschallwellen bei einer Frequenz von ca. 40 kHz benutzt (hörbarer Schall endet<br />
– je nach Güte des menschlichen Ohres – bei 15 bis 20 kHz), um die Schallgeschwindigkeit<br />
in Luft bei Raumtemperatur zu messen und den Dopplereffekt zu überprüfen. Als letzter<br />
Versuchsteil wird das Sender–Empfänger–System ebenfalls in Luft als Echolot betrieben.<br />
Eine ebene Welle, die sich o.B.d.A in x-Richtung ausbreitet, wird durch die Wellengleichung<br />
der Form:<br />
d2a 1<br />
=<br />
dx2 c2 · d2a dt2 (2.8)<br />
beschrieben, wobei a die Feldgröße (p und u) bezeichnet. Zur Herleitung der Wellengleichung<br />
in Gasen benötigt man die Eulerschen Gleichungen für adiabatische Prozesse:<br />
dp<br />
dx<br />
= −ρ · du<br />
dt<br />
,<br />
dp<br />
dt = −p0κ · du<br />
dx<br />
(2.9)
2.4. Doppler-Effekt 65<br />
wobei ρ, p0 und κ Dichte, Druck und Adiabatenkoeffizient (= cp/cV = 1,4 bei zweiatomigen<br />
Gasen) des Mediums sind.<br />
Eine mögliche Lösung der Wellengleichung für die Druckamplitude ist<br />
�<br />
p(x, t) = ˆp · sin 2π f0 · t − x<br />
�<br />
+ Φ<br />
λ0<br />
(2.10)<br />
Offenbar kann bei gleichzeitiger Messung der Frequenz f0 und Wellenlänge λ0 die Schallgeschwindigkeit<br />
c in Luft bestimmt werden:<br />
c = λ0 · f0<br />
(2.11)<br />
Sendet ein Sender mit konstanter Frequenz f , so kann ein Empfänger an einem festen Ort<br />
eine zeitlich Schwingung mit dieser Frequenz registrieren:<br />
p(x, t) = p0 · sin 2π (f0 · t + Φ) (2.12)<br />
Die Phase Φ ist nun durch den Abstand zwischen Sender und Empfänger in Wellenlängeneinheiten<br />
bestimmt.<br />
Zur Piezo-Elekritzität:<br />
Bestimmte Kristalle können entlang ausgezeichneter Symmetrieachsen bei mechanischem<br />
Druck eine elektrische Polarisation erfahren, die eine messbare Spannung an den Außenflächen<br />
des Kristalls erzeugt. Andererseits kann eine angelegte Spannung zu einer mechanischen<br />
Verschiebung der kristallinen Struktur führen. Diese Effekte können wegen der kleinen<br />
Auslenkungen sehr schnell ablaufen. In diesem Versuch werden Piezokristalle als sogenannte<br />
Ultraschallwandler benutzt. Trotz der für ein Material immer gleichen Kristallstruktur,<br />
die im Prinzip immer zu derselben Resonanzfrequenz führen müsste, besitzt jeder Kristall<br />
aufgrund seiner geometrischen Dimensionen eine eigene Resonanzfrequenz, bei der er maximalen<br />
Ausschlag zeigt. Die Resonanzfrequenz der verwendeten Ultraschallwandler liegt bei<br />
40 kHz.<br />
Zum Doppler-Effekt:<br />
Bewegen sich Sender und Empfänger relativ zueinander, so misst der Empfänger eine von<br />
der Senderfrequenz f0 verschiedene Frequenz f . Das Phänomen ist nicht symmetrisch bzgl.<br />
Vertauschung von Sender- und Empfängerbewegung. Für die vom Empfänger registrierten<br />
Frequenzen gilt:<br />
und<br />
f = f0 ·<br />
1<br />
1 ± v/c<br />
f = f0 · (1 ± v/c)<br />
� + : Sender entfernt sich<br />
− : Sender nähert sich<br />
�<br />
� + : Empfänger nähert sich<br />
− : Empfänger entfernt sich<br />
�<br />
(2.13)<br />
(2.14)
66 Kapitel 2. Akustik<br />
Abbildung 2.21: Der Doppler-Effekt bei bewegter Quelle<br />
Meist ist die Geschwindigkeit des Senders klein gegenüber der Schallgeschwindigkeit c (wir<br />
erwarten in diesem Versuch 1 : 350), sodass die erste Formel gemäß der Taylorentwicklung<br />
umgeformt werden kann in:<br />
f = f0 ·<br />
�<br />
1 ∓ v<br />
c +<br />
v<br />
�<br />
v<br />
� �<br />
2<br />
�<br />
∓ . . . ≈ f0 ·<br />
c<br />
1 ∓ v<br />
c<br />
�<br />
(2.15)<br />
Zum Echolot:<br />
Das Echolotprinzip ist aus dem Alltag wohlbekannt: Schall (und natürlich auch Ultraschall)<br />
wird an Grenzflächen zwischen Medien unterschiedlichen Schallwellenwiderstandes gut reflektiert.<br />
Das Echolot benutzt eine gepulste Schallquelle, um Wellenpakete zu senden, welche<br />
reflektiert und mit einem Empfänger registriert werden.<br />
Es wird der Zeitunterschied ∆t zwischen Aussendung des Signals und Einlauf des reflektierten<br />
Signals gemessen. Dann ist der Abstand zur Grenzfläche:<br />
d = 1<br />
· ∆t · c (2.16)<br />
2
2.4. Doppler-Effekt 67<br />
Aufgaben zur Vorbereitung:<br />
1) Man leite die Wellengleichung 2.8 aus 2.9 her und zeige, dass für die Schallgeschwindigkeit<br />
c (im dispersionlosen Fall) gilt:<br />
�<br />
κ · p0<br />
c =<br />
(2.17)<br />
ρ<br />
Da ρ und p0 temperaturabhängig sind, ist es auch die Schallgeschwindigkeit<br />
2) Man zeige mit Hilfe der idealen Gasgleichung die Beziehung:<br />
�<br />
R · κ<br />
c = · √ T (2.18)<br />
Mmol<br />
und entwickle diese für Raumtemperatur ϑ (in ◦C, d. h. T = 273 + ϑ). Einsetzen der<br />
Werte für Luft ergibt:<br />
�<br />
c = 331, 6 + 0, 6 ϑ<br />
�<br />
m<br />
ϑ in ◦C s<br />
◦ C (2.19)<br />
3) Man zeige durch Einsetzen von 2.10 in 2.8, dass für die Wellenlänge λ0 und die Frequenz<br />
f0 gilt:<br />
c = λ0 · f0<br />
(2.20)<br />
4) Man leite die unterschiedlichen Beziehungen 2.13 und 2.14 für die vom Empfänger<br />
registrierten Frequenzen beim Dopplereffekt her. Führen Sie eine Taylorentwicklung<br />
von 2.13 durch, und verifizieren Sie dadurch die genäherte Formel 2.15<br />
5) Die Schallgeschwindigkeit und die Sendergeschwindigkeit seien nun jeweils auf 0,1%<br />
genau bestimmt. Ist für v : c = 1 : 350 messbar, ob die exakte oder die genäherte<br />
Formel stimmt?<br />
6) Wie genau (in Hz) sollte die Frequenzmessung bei einer Senderfrequenz von 40 kHz<br />
sein, um den Dopplereffekt bei v : c = 1 : 350 gut messen zu können? Wieviel ist das<br />
prozentual?<br />
7) Warum muss die Schallquelle beim Echolotversuch gepulst sein? Warum benutzt man<br />
Ultraschall?
68 Kapitel 2. Akustik<br />
2.4.3 Versuchsaufbau<br />
Es steht folgendes Material zur Verfügung:<br />
• Pendelbahn mit 16 Schienenabschnitten (≈ 2m, Firma LEGO),<br />
Kontrollelektronik Pendelzug zur automatischen Pendelbewegung und Zeitmessung mit<br />
Netzteil und 4 Lichtschranken.<br />
Es soll eine möglichst lange Messstrecke aufgebaut werden, wobei ein wenig Auslaufreserve<br />
dazugegeben werden muss (probieren bei maximaler Versorgungspannung ≈<br />
4,5 V). Die Pendelbahn wird gemäß Abb. 2.22 an das Gerät Pendelzug angeschlossen.<br />
Die äußeren Lichtschranken L1 und L4 werden zum Stoppen des Triebwagens und<br />
Netzteil<br />
12V<br />
Pendelzug Kontrollelektronik<br />
TDS2024B<br />
L1 L2 L3 L4<br />
Pendelzug mit Batterie und Sender<br />
Abbildung 2.22: Schematischer Versuchsaufbau<br />
zum PC<br />
MXG−9802A<br />
40.000<br />
,,<br />
Empfanger<br />
Rücksetzen der Stoppuhr, die inneren Lichtschranken L2 und L3 zur Zeitmessung benutzt.<br />
Die Pendelzugkontrolle schaltet automatisch an den Endpunkten von Vor- auf<br />
Rücklauf (bzw. umgekehrt) um, wobei der Triebwagen an den Endpunkten einige Zeit<br />
verweilt, damit die Messwerte notiert werden können und die Senderfrequenz f0 beim<br />
Doppler-Effekt gemessen wird.<br />
Die Kontrollelektronik ”Pendelzug” (Abb. 2.23) besitzt folgende Bedienelemente:<br />
– Drehpotentiometer: Versorgungsspannung (0.0 . . . ≈ 4, 5 V)<br />
– linker Schalter: Mit START und STOP wird die Versorgungsspannung des Triebwagens<br />
kontrolliert. Die Stoppuhr ist davon unabhängig. Sie reagiert nur auf Signale<br />
der Lichtschranken L2 und L3. Während des Versuchs wird der Schalter nur<br />
für den Doppler-Effekt in START-Stellung gebracht, ansonsten wird der Triebwagen<br />
von Hand bewegt.<br />
– rechter Schalter: Umschalten zwischen manuellem (MAN) und automatischem<br />
Betrieb (AUTO).<br />
Während des ganzen Versuchs belässt man den Schalter in der Stellung AUTO.
2.4. Doppler-Effekt 69<br />
– linke Anzeige: Versorgungsspannung des Pendelzugs in Volt<br />
– rechte Anzeige: Stoppuhr in ms<br />
Netzteil− CANON−D Buchse<br />
anschluss Bahn & Lichtschranke<br />
PENDELZUG<br />
U<br />
2.80<br />
START<br />
SPEED<br />
T<br />
1604.3<br />
MAN<br />
STOP AUTO<br />
Abbildung 2.23: ”Pendelzug” Kontrollelektronik<br />
• piezoelektrischer Schallumwandler als Empfänger mit angeschlossenem LEMO-Kabel.<br />
• Sender-Einheit (siehe Abb. 2.24) mit batteriebetriebenem piezoelektrischem Schallumwandler,<br />
kontinuierlicher oder gepulster Betrieb.<br />
Ein Frequenzgenerator erzeugt eine Rechteckspannung mit einer Frequenz von ca.<br />
40 kHz, die der Schallumwandler in eine harmonische (sinusförmige) Schallwelle umwandelt.<br />
Schaut man von vorne auf den Sender, so befinden sich an der rechten Seite<br />
die Batterieanschlüsse und an der linken Seite ein Drehpotentiometer und eine LEMO-<br />
Buchse. Mit dem Drehpotentiometer ist die Anregerfrequenz in einem Bereich von<br />
einigen Hundert Hertz einstellbar.<br />
gepulstes Signal<br />
Aus/Ein<br />
Poti. fur<br />
Frequenz−<br />
Abstimmung<br />
LEMO−Buchse:<br />
elektr. Erregersignal<br />
PULSE<br />
OFF<br />
BAT<br />
OFF<br />
Abbildung 2.24: Sender-Einheit<br />
Betriebsschalter<br />
Aus/Ein<br />
Ultraschall−<br />
wandler
70 Kapitel 2. Akustik<br />
An der LEMO-Buchse kann das Erregersignal abgegriffen werden. Oben auf der Sender-<br />
Box befinden sich zwei Kippschalter: der rechte schaltet die Versorgungsspannung<br />
(OFF/BAT) durch, der linke schaltet zwischen kontinuierlichem (OFF) und gepulstem<br />
Betrieb (PULSE).<br />
DEN SENDER ERST EINSCHALTEN, WENN DER AUFBAU KOMPLETT IST<br />
UND MIT DEN MESSUNGEN BEGONNEN WERDEN KANN (Kap. 2.4.4).<br />
• Funktionsgenerator/messer CONRAD MXG-9802 A, der als computerauslesbarer Frequenzmesser<br />
betrieben wird, Kabel für serielle Schnittstelle, USB-Adapter.<br />
Der Schalter FC/FG schaltet die Digitalanzeige zwischen externem(Frequenzmesser)<br />
und internem (Frequenzgenerator) Signal um. Der Frequenzmesser misst während einer<br />
einstellbaren Zeit (Torzeit, engl. Gate) die Frequenz und zeigt sie auf dem Display<br />
an, d.h. ist die Torzeit auf 1s eingestellt, wird kontinuierlich jede Sekunde ein neuer<br />
Messwert angezeigt, bzw. an den Computer ausgegeben.<br />
Aufgabe: Mit welcher Genauigkeit lässt sich die Frequenz bestimmen bei Torzeiten<br />
von 1/10s, 1s, 10s?<br />
Beim Einschalten des Gerätes wird automatisch die Torzeit auf 1 Sekunde und der<br />
ausgelesene Kanal (CHAN) A gewählt. Diese Einstellungen sollten für die gesamte<br />
Versuchsdauer beibehalten werden. Überprüfen Sie die Einstellungen auf dem Display<br />
(untere LED-Leiste). Als Kabelanschluss für das Empfängersignal wird der zweite von<br />
rechts (CH-A 200MHz) benutzt. Der Frequenzmesser ist über die serielle Schnittstelle<br />
(Anschluss an der Rückseite) mit dem Praktikums-Computer auslesbar. Das Ausleseprogramm<br />
“doppler” mit graphischer Anzeige wird vom Assistenten bereitgestellt. Eine<br />
detaillierte Beschreibung über die Bedienung findet sich in Kap. 2.4.4. Bitte kopieren<br />
Sie dieses Programm in Ihren Bereich, die Dateien mit Ihren Messungen werden dann<br />
automatisch in demselben Verzeichnis abgelegt. Das Programm kann bei der späteren<br />
Datenanalyse auf dem eigenen Rechner (unter Windows) benutzt werden.<br />
• LEMO– und BNC–Coaxialkabel mit Adaptern (“T”).<br />
• digitales Speicheroszilloskop Tektronix TDS2024B, USB-Kabel.<br />
Die Messwerte werden direkt am Oszilloskop abgelesen. Um die graphischen Darstellungen<br />
des Oszilloskop für das Protokoll zu nutzen, kann das Oszilloskop über das<br />
USB-Kabel an den Praktikums-Computer angeschlossen werden. Eine entsprechende<br />
Software zur Bildaufnahme, evtl. -verarbeitung und -speicherung ist auf dem Praktikums-Computer<br />
installiert. Die Beschreibung der einzelnen Bedienelemente des Oszilloskops<br />
würde den Rahmen dieser Versuchsbeschreibung sprengen. Der Praktikumsassistent<br />
wird die wichtigsten Punkte vorstellen und für weitere Fragen zugegen sein.<br />
• 1 Metermaßband.
2.4. Doppler-Effekt 71<br />
2.4.4 Versuchsdurchführung und Auswertung<br />
α) Bestimmung der Abstrahlcharakteristik des Senders<br />
• zeitabhängig<br />
Beim Einschalten des Senders wärmt sich die Treiberelektronik langsam auf. Dies<br />
kann zu einer Frequenzverschiebung führen. Messen Sie die Frequenz mit dem<br />
Frequenzmesser CONRAD MXG-9802 A nach dem Einschalten alle 30 Sekunden.<br />
Beobachten Sie, ob die Frequenz ab einer gewissen Zeit stabil bleibt. Danach sollte<br />
der Sender nicht mehr ausgeschaltet werden, um Frequenzschwankungen während<br />
der Messungen zu unterdrücken.<br />
Für diese Messung kann auch das Programm “doppler” benutzt werden, das im<br />
Abschnitt b) genauer beschrieben wird. Eventuell ist es hilfreich, die Anregerfrequenz<br />
mittels des Drehpotentiometers so zu variieren, dass eine maximale Abstrahlleistung<br />
erzielt wird.<br />
• frequenzabhängig Diese Messung erfolgt mit dem Oszilloskop. Die angezeigte<br />
Spannung (linke Menü-Leiste, von Spitze zu Spitze) ist proportional zur Druckamplitude.<br />
Da es sich hier um eine relative Amplitudenmessung handelt, sollte der<br />
Messbereich bzw. Abstand zum Empfänger so gewählt werden, dass der Messbereich<br />
vollkommen ausgenutzt wird (z. B. einmal die Frequenz durchfahren und<br />
beim maximalen Messwert den Abstand entsprechend festsetzen).<br />
Die Schallintensität des Senders variiert etwas. Einige Messwerte im Abstand von<br />
einigen Sekunden notieren und mitteln. Die Messwerte in ein Diagramm U(f)<br />
eintragen.<br />
a) Messung der Schallgeschwindigkeit<br />
Durchführung<br />
Über eine Veränderung des Abstandes zwischen Sender und Empfänger wird die Phase<br />
der gemessenen Wellenfront zur ausgesendeten Wellenfront verändert. Aus Gl. 2.10<br />
erkennt man, dass zwischen den Schwingungen (Gl. 2.12) an zwei verschiedenen Orten<br />
mit dem Abstand d entlang der Ausbreitungsrichtung x der harmonischen Welle ein<br />
Phasenunterschied besteht:<br />
Φ ′ = 2π · d<br />
(2.21)<br />
Fährt man nun den Sender (mit der Hand) vom Empfänger weg, so läuft dieser Phasenunterschied<br />
in der registrierten Schwingung durch. Nach einer komplett zurückgelegten<br />
Wellenlänge λ0 ist die Schwingung wieder deckungsgleich mit der Startschwingung.<br />
Diese Messung wird mit dem Oszilloskop durchgeführt: Auf Kanal 1 (Chan1) wird das<br />
elektrische Ausgangssignal des Senders gegeben. Der Trigger wird auf Chan1 festgesetzt.<br />
Der Messbereich sollte so gewählt werden, dass zwei bis drei Rechteckstufen zu sehen<br />
sind. Auf Kanal 2 (Chan2) wird nun das Ausgangssignal des Empfängers gegeben.<br />
Bei einer leichten Verschiebung des Senders ist zu sehen, wie sich das sinusförmige<br />
Empfängersignal gegen das Rechtecksignal verschiebt (siehe Abb. 2.25).<br />
λ0
72 Kapitel 2. Akustik<br />
Chan 2<br />
Chan 1<br />
Abbildung 2.25: Abbildung der Schwingungen mit dem Oszilloskop beim Durchfahren einer<br />
Wellenlänge<br />
Hinweise zur Durchführung:<br />
• Eine eindeutig gut ablesbare Phase als Ausgangspunkt nehmen.<br />
Einen guten Anfangspunkt für die Streckenmessung nehmen (LEGO-Steinchen<br />
. . . )<br />
Bei welchem Signal (Rechteckspannung oder Sinusschwingung) ist der Trigger<br />
stabiler?<br />
• Langsam fahren, da das Oszilloskop sampled, was bei unregelmäßigem Signal zu<br />
breiten Bändern in der Anzeige führt.<br />
• Um einen möglichst kleinen relativen Fehler in der Streckenbestimmung zu erhalten,<br />
werden 100 Wellenlängen durchgeschoben. Zur besseren Kontrolle des<br />
Zählvorgangs alle 20 Wellenlängen den Wert der zurückgelegten Strecke und der<br />
Frequenz aufschreiben. Sind bei jeder Messung genau 20 Wellenlängen durchfahren<br />
worden? Ist die Senderfrequenz konstant?<br />
Hinweise zur Auswertung<br />
• Die Wellenlänge wird durch lineare Regression im (nλ, d)–Diagramm bestimmt.<br />
Wie groß ist der Fehler der Einzelmessung? Wie groß ist der Fehler von λ?<br />
• Erstellen Sie zur Beurteilung des Ergebnisses einen Residuengraph!<br />
• Vergleichen Sie mit dem theoretisch erwarteten Wert (Gl. 2.19). Ein Thermometer<br />
ist im Versuchsraum aufgehängt.<br />
Wie groß ist der Fehler des erwarteten Wertes?<br />
b) Messung des Doppler-Effekts<br />
Bei verschiedenen Geschwindigkeiten (→ funktionaler Zusammenhang mit Versorgungsspannung)<br />
wird die Frequenzänderung während der Fahrt des Senders auf den Empänger<br />
zu, bzw. von ihm weg, gemessen.<br />
Der Versuch setzt sich aus zwei Messungen zusammen:
2.4. Doppler-Effekt 73<br />
(1) Bestimmung der Geschwindigkeit der Pendelbahn (in Abhängigkeit von der Versorgungsspannung)<br />
(2) Bestimmung der Frequenzverschiebungen<br />
Die beiden Messungen können kombiniert werden, d. h. es sollte gleichzeitig zur Laufzeitmessung<br />
des Wagens die Freqenzverschiebung mit dem Programm “doppler” bestimmt<br />
werden. Sie sind hier nur getrennt aufgeführt, um zu verdeutlichen, dass sie<br />
beide einer entsprechenden Auswertung und Fehlerbetrachtung bedürfen.<br />
zu (1): Geschwindigkeitsmessung<br />
Durchführung<br />
Bauen Sie die Pendelbahn mit den vier Lichtschranken entsprechend der Abb. 2.22<br />
auf. Die Funktionsweise der Elektronik wurde in Abschnitt 2.4.3 beschrieben. Für<br />
ein besseres Verständnis der Apparatur lässt man die Pendelbahn einige Mal auf der<br />
Schalterstellung AUTO laufen.<br />
Die Bestimmung des Anfangs- und Endpunktes der Messstrecke bereitet einige Schwierigkeiten.<br />
Die Lichtschranke wird ausgelöst, wenn der kontinuierliche Lichtstrahl aus<br />
der linken Öffnung an dem Reflexionsstreifen auf dem Triebwagen in die rechte Öffnung<br />
reflektiert wird (siehe Abb. 2.26). Dieser Zeitpunkt (und damit Ortspunkt) ist nicht<br />
identisch mit dem Vorbeifahren der Streifenkante an der Lichtschranke. Am besten<br />
fährt man sehr langsam den Wagen mit der Hand durch (Pendelzug-Kontrolle auf<br />
STOP) und achtet auf den Augenblick des Auslösens (bzw. Stoppens) der Stoppuhr.<br />
Mit etwas Geschick und Ausnutzen der LEGO-Rasterstruktur kann eine Genauigkeit<br />
von unter 1 mm errreicht werden! Es ist zu prüfen, ob die Strecken in Hin- und<br />
Rückrichtung gleich lang sind.<br />
Lichtschranke<br />
Reflexionsstreifen<br />
Triebwagen<br />
Lichtsignal<br />
Abbildung 2.26: Funktionsweise der Lichtschranke (Sicht von oben)
74 Kapitel 2. Akustik<br />
Hinweise zur Durchführung:<br />
- Befolgen Sie eine sinnvolle Messreihe: z.B. von 3.0 V an in Schritten von 0.5 V.<br />
(Bei einer Versorgungsspannung unterhalb von 3.0 V reicht das Drehmoment des<br />
Triebwagens nicht für eine gleichmäßige Bewegung aus.)<br />
- Probieren Sie bei maximaler Geschwindigkeit, ob die Auslaufstrecken lang genug<br />
sind.<br />
- Die Geschwindigkeit für Hin- und Rückfahrt kann unterschiedlich sein, z. B. durch<br />
nicht horizontalen Aufbau.<br />
Hinweise zur Auswertung<br />
- Wie gut ist die Reproduzierbarkeit, d.h. sind die Messwerte der Laufzeiten statistisch<br />
verteilt? Fertigen sie dazu ein Histogramm an. Der Fehler der Laufzeit wird<br />
durch einfaches Mittel über jeweils fünf bis zehn Hin- und Herfahrten bestimmt.<br />
- (Zusatz:) Wie ist der funktionale Zusammenhang zwischen Versorgungsspannung<br />
und Geschwindigkeit? Bei linearem Zusammenhang zwischen Versorgungsspannung<br />
und Geschwindigkeit kann eine Ausgleichsgerade mittels linearer Regression<br />
berechnet werden.<br />
zu (2): Frequenzverschiebung<br />
Durchführung<br />
Für die Messung der Frequenzverschiebung wird der Frequenzmesser über die serielle<br />
Schnittstelle des Praktikums-Computers ausgelesen. Das Programm “doppler” kann<br />
zwar vom Desktop aus gestartet werden, jedoch ist es günstiger, es von einem DOS-<br />
Fenster (“Eingabeaufforderung”) mit dem Befehl “doppler” zu aktivieren. Wenn Sie keine<br />
weiteren Parameter angeben, liest das Programm den Frequenzmesser aus. Wenn Sie<br />
den Namen einer alten, gespeicherten Messung anfügen (Dateityp Frequenz, nicht Histogramm),<br />
stellt das Programm diese Werte dar. Verifizieren Sie, dass das Programm<br />
die gleiche Empfängerfrequenz liest wie die Anzeige des Frequenzmessers darstellt. Das<br />
Programm liest einmal pro Sekunde den Frequenzmesser aus und stellt die Daten auf<br />
zwei Fenstern dar (Abb. 2.27):<br />
• Das größere Fenster zeigt den zeitlichen Verlauf der Messungen, wobei der letzte<br />
gelesene Wert oben in der Mitte dargestellt wird. Befindet sich der Cursor in<br />
diesem Fenster, erhält man mit der rechten Klick-Fläche (Maustaste) ein Menü<br />
zur Kontrolle des Programms. Es ist ratsam, das Menüfenster nicht unnötig zu<br />
bedienen, da keine neuen Daten aufgenommen werden, solange das Menü aktiviert<br />
ist. Das Programm kann mit folgenden Optionen kontrolliert werden:<br />
– Start: Weiterführung der Messung, falls vorher gestoppt<br />
– Stop: Stoppen der gegenwärtigen Messung<br />
– Reset: Löschen der aktuellen Messung. ACHTUNG: Dieser Befehl löscht nur<br />
die Darstellung. Bei einer späteren Speicherung werden alle Daten ab dem<br />
ersten Start des Programms in eine Datei geschrieben (s.u.). Deswegen ist es
2.4. Doppler-Effekt 75<br />
MGX 9802 Frequenzmessung<br />
Statistik<br />
f = 40012 Hz<br />
mean = −0.23 Hz<br />
emean = 0.25 Hz<br />
rms = 2.68 Hz<br />
Abbildung 2.27: Graphische Darstellung des Programms doppler zur Messung des Doppler-<br />
Effekts<br />
besser, für jede Messung das Programm neu zu starten und gleich mit der<br />
Messung zu beginnen.<br />
– Save: Die Daten werden in einer Datei im aktuellen Verzeichnis abgespeichert,<br />
wobei deren Name automatisch generiert wird<br />
(jahr-monat-tag-stunde-minute-sekunde doppler typ.dat,<br />
mit typ: f=Frequenz, h=Histogramm). Am besten startet man das Programm<br />
für jede Messung neu, da die Reset-Funktion nur den Bildschirminhalt löscht,<br />
aber alle Daten behält und bei einer nachträglichen Auswertung auch diese<br />
in die Berechnungen mit einbezieht.<br />
– Change ymax: Die Obergrenze des angezeigten Frequenzbereichs kann in verschieden<br />
großen Schritten verändert werden.<br />
– Change ymin: Die Untergrenze des angezeigten Frequenzbereichs kann in verschieden<br />
großen Schritten verändert werden.<br />
• Das kleinere Fenster zeigt die Verteilung (das Histogramm) der gemessenen Frequenzen.<br />
Es rechnet automatisch bei jedem dazukommenden Wert den Mittelwert<br />
neu aus und zieht ihn von den Messungen ab. Somit ergeben sich drei Häufungen<br />
(Rückfahrt, Stillstand, Hinfahrt), die um 0 Hz gruppiert sind. Die Werte (mean<br />
= Mittelwert, emean = Fehler des Mittelwertes, rms = Standardabweichung) der<br />
einzelnen Häufungen können mit einem darüber gelegten Fenster angezeigt werden.<br />
Wenn das Fenster nicht aktiviert ist (“Peak finder off”), wird der Mittelwert<br />
aller Daten angezeigt (die Fehler sind somit statistisch unsinnig). Aktivieren Sie<br />
die Kontrolle mit der rechten Klickfläche (der Cursor muss sich natürlich in dem<br />
Histogrammfenster befinden), und wählen Sie den Menü-Punkt “Peak finder on”.<br />
Das Fenster wird mit roten senkrechten Linien angezeigt. Mit den Cursor-Tasten<br />
← und → können die Begrenzungslinien verschoben werden. Tippt man die Tas-
76 Kapitel 2. Akustik<br />
f / f 0<br />
0,001<br />
Abbildung 2.28: graphische Darstellung des Ergebnisses des Doppler-Effekts<br />
te U so wird das obere Limit, tippt man die Taste L so wird das untere Limit<br />
verschoben.<br />
Starten Sie nun die Pendelbahn im AUTO-Betrieb und schauen, wie das Programm<br />
reagiert. Nehmen Sie für jede Geschwindigkeit einen eigenen, sinnvoll großen Datensatz<br />
auf.<br />
Hinweise zur Durchführung<br />
0,001<br />
v / c<br />
- Überprüfen Sie von Zeit zu Zeit die Umgebungstemperatur.<br />
- Wie kommt das eigentümliche Histogramm zustande (es sind mehr als nur drei<br />
Häufungen zu sehen)?<br />
Hinweise zur Auswertung<br />
- Achten Sie darauf, dass das richtige ∆f und f0 genommen wird! Wie groß ist der<br />
Fehler von ∆f (Achtung: Differenzmessung!)?<br />
- Tragen Sie zum Schluss die Ergebnisse der gesamten Messreihe in ein Diagramm<br />
ein. Welche Darstellung ist sinnvoll? Überlegen Sie, welche Fehler in diese Messung<br />
eingehen. Eine Möglichkeit der Auftragung ist in Abb 2.28 zu sehen.<br />
- Alternativ zur genäherten Formel (Gl. 2.15) kann die Auswertung auch über die<br />
exakte Formel durchgeführt werden. Durch leichtes Umformen erhält man die<br />
Beziehung:<br />
∆f<br />
f<br />
= ∓v<br />
c<br />
(2.22)<br />
- Verifizieren sie die theoretische Vorhersage unter Berücksichtigung des Ergebnissis<br />
von Versuchsteil a) mittels linearer Regression (mit Fehler auf der Abszisse und<br />
Ordinate).
2.4. Doppler-Effekt 77<br />
- Wie berechnen sich die Fehler der Abszissen- und Ordinatenwerte? Welche Anteile<br />
sind statistischer, welche systematischer Natur? Zu welchem Zeitpunkt in<br />
der Fehlerbestimmung müssen statistische und systematische Fehler einbezogen<br />
werden?<br />
- Meist sind die beiden äußeren Häufungen des doppler-Histogramms asymmetrisch.<br />
Dies ist durch die Systematik der Messung gegeben. (Warum? Welche?) Dort ist<br />
zu überlegen, ob die angegebene Standardabweichung des Mittelwertes (Grundlage:<br />
statistische Gauß-Verteilung) den tatsächlichen Fehler richtig abschätzt. Man<br />
kann den Fehler auch durch Verändern des Intervalls abschätzen, indem man die<br />
Variation des sich dann verändernden Mittelwertes betrachtet. Zu überlegen ist<br />
auch, ob man den Schwerpunkt (=Mittelwert) der Verteilung nimmt oder den<br />
Wert der maximalen Häufung.<br />
c) Echolot<br />
Durchführung:<br />
Ultraschallwellen werden an Grenzflächen zwischen Medien unterschiedlichen Schallwellenwiderstandes<br />
reflektiert. Wie in Versuchsteil a) gesehen, kann man mittels der<br />
Phasenverschiebung einer kontinuierlichen Welle nur Strecken vermessen, die kürzer<br />
als eine Wellenlänge sind. Deshalb benutzt man eine gepulste Schallquelle, die kurze<br />
Wellenzüge einiger Wellenlängen aussendet. Der Abstand zum reflektierenden Hindernis<br />
wird dann gemäß Gl. 2.16 bestimmt. In diesem Versuchsteil sind zwei Messreihen<br />
durchzuführen :<br />
(1) Stellen Sie Empfänger und Sender auf (Fast-)Berührung gegenüber auf (direkter<br />
Kontakt kann zu elektrischem Übersprechen zwischen Sender und Empfänger<br />
führen, was die Laufzeitmessung verfälscht). Geben Sie analog zur Messung der<br />
Schallgeschwindigkeit das Sendersignal auf Kanal 1 und das Empfängersignal auf<br />
Kanal 2 des Oszilloskops. Wählen sie die Zeiteinteilung so, dass Sie das gesamte<br />
Sender- und Empfängersignal gleichzeitg auf dem Schirm sehen.<br />
Warum hat das Empfängersignal eine andere Form als das Sendersignal (abgesehen<br />
von der Rechteckspannung)?<br />
Messen sie die Zeit zwischen erster Senderschwingung und erster Empfängerschwingung.<br />
Diese Zeitdifferenz t0 muss bei allen folgenden Versuchen abgezogen werden, da<br />
ja der Abstand zwischen Sender- und Empfängergehäuse gleich Null ist.<br />
Schieben Sie den Sender langsam vom Empfänger weg und schauen Sie sich die<br />
beiden Signale bei groberer Zeitauflösung an. Messen sie den Abstand zum Sender<br />
mit dem Maßband und die Zeitdifferenz mit dem Oszilloskop. Man kann ein<br />
wenig mit der Zeitauflösung, dem Trigger-Delay und dem Cursor spielen, um ein<br />
möglichst exaktes Ergebnis zu erhalten. Führen Sie einige Messungen durch und<br />
vergleichen Sie das Ergebnis mit der in Teil a) gemessenen Schallgeschwindigkeit.<br />
Hinweis: lineare Regression, Residuengraph... Wie kann man daraus t0 bestimmen?<br />
(2) Stellen Sie Empfänger und Sender nebeneinander auf. Schauen sie sich erst das<br />
gepulste Signal bei großer Zeitauflösung an.
78 Kapitel 2. Akustik<br />
Stört das direkte Sendersignal das Empfängersignal (Übersprechen)? Durch eine<br />
Trennwand und leichtes Drehen des Senders oder Empfängers lässt sich womöglich<br />
die Situation verbessern. (Der Sender strahlt nicht unbedingt exakt geradeaus.)<br />
Eventuell andere Störfaktoren (Schienen, nah placierte Geräte) entfernen.<br />
Stellen Sie die Reflexionswand in einem Abstand von ungefähr 50 cm auf. Messen<br />
Sie den Zeitunterschied ∆t zwischen gesendetem und reflektiertem Signal. Berechnen<br />
Sie unter Verwendung des Ergebnisses aus Versuchsteil a) den Abstand zur<br />
Reflexionswand (Gl. 2.16) und vergleichen mit dem Wert, den Sie mit dem Maßband<br />
bestimmt haben. Wiederholen Sie die Messung bei verschiedenen Abständen.<br />
Hinweise zur Auswertung:<br />
Wie gut ist Ihr Echolot? Schätzen Sie den Fehler der berechneten Lauflänge (Fehler<br />
in ∆t , t0 und c) ab. Wie groß sind die Abweichungen zur Messung mit dem<br />
Metermaßstab? Ist eine Systematik zu erkennen?
Kapitel 3<br />
Wärmelehre<br />
3.1 Dampfdruckkurve<br />
Aufgaben<br />
In diesem Versuch wird die Dampfdruckkurve von Wasser vermessen und die Verdampfungsenthalpie<br />
bestimmt.<br />
Grundlagen<br />
Wärme, Temperatur, Zustandsgrößen, ideale und reale Gase, ideale Gasgleichung, 1. und<br />
2. Hauptsatz der Wärmetheorie, Zustandsänderung, Zustandsdiagramm, Phasenübergänge,<br />
Verdampfungsenthalpie, Clausius-Clapeyron-Gleichung, kritische Parameter.<br />
Literatur<br />
• Gerthsen/Vogel, Physik<br />
• Bergmann/Schäfer, Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 1, Mechanik Akustik Wärme<br />
• Hänsel/Neumann, Physik<br />
• Tipler, Physik<br />
• Baehr, Thermodynamik<br />
• Stumpf/Rieckers, Thermodynamik<br />
• http://www.physik.rwth-aachen.de/∼hebbeker/lectures/ph1−0102/p112−l06.pdf<br />
http://www.physik.rwth-aachen.de/∼hebbeker/lectures/ph1−0102/p112−l07.pdf<br />
• http://www.fm.fh-muenchen.de/labore/waas/skripten/kap10.pdf<br />
• http://www.chm.davidson.edu/ChemistryApplets/PhaseChanges/<br />
• Landolt-Börnstein, Zahlenwerte und Funktionen, Band II, 2. Teil, Gleichgewichte außer<br />
Schmelzgleichgewichten<br />
79
80 Kapitel 3. Wärmelehre<br />
• Landolt-Börnstein, Zahlenwerte und Funktionen, Band II, 4. Teil: Kalorische Zustandsgrößen<br />
3.1.1 Theoretische Grundlagen<br />
Wärme und Temperatur<br />
Wärme ist eine Form von Energie. Wird einem Körper Wärme zugeführt oder wird ihm<br />
Wärme entzogen, ändert sich seine Temperatur (Ausnahme: latente Wärme, siehe Abschnitt<br />
“Änderung von Aggregatszuständen”), wie aus dem Alltag bekannt ist. Die Temperatur<br />
ist eine Zustandsgröße. Hierunter versteht man eine eine Stoffmenge charakterisierende<br />
Größe, deren Wert nur vom momentanen Zustand der Stoffmenge abhängt, es also egal<br />
ist, auf welchem Weg dieser Zustand erreicht wurde. Andere Zustandsgrößen sind Druck,<br />
Volumen, innere Energie. Arbeit und Wärme sind dagegen keine Zustandsgrößen.<br />
yUm die Temperatur zu messen, braucht man eine physikalische Größe, die sich mit der<br />
Temperatur ändert, und eine Skala, die über zwei (willkürliche) Fixpunkte festgelegt wird.<br />
Falls die Temperaturabhängigkeit der zur Temperaturmessung verwendeten Größe linear ist,<br />
wird der Bereich zwischen den Fixpunkten gleichmäßig in z.B. 100 Einheiten eingeteilt und<br />
die so gewonnene Skala über die Fixpunkte hinaus verlängert.<br />
Beispiele für Temperatur-Skalen:<br />
• Celsius-Skala (1741): t = 0 ◦ C: Schmelztemperatur von Eis, t = 100 ◦ C: Siedetemperatur<br />
von Wasser.<br />
• Die offizielle Temperaturskala ist die Kelvin-Skala, in der als einziger Fixpunkt seit 1954<br />
der mit großer Genauigkeit bestimmbare Tripelpunkt (siehe später) des Wassers (t =<br />
0.0098 ◦ C) verwendet wird: T = 0 K: tiefste theoretisch denkbare Temperatur (absoluter<br />
Nullpunkt), T = 273.16 K: Tripelpunkt von Wasser. Die Kelvinskala bezieht sich also<br />
auf den absoluten Nullpunkt. Die in Kelvin gemessene Temperatur wird als absolute<br />
Temperatur bezeichnet. Das Kelvin ist auch die Einheit für Temperaturdifferenzen.<br />
Ein Beispiel für einen häufig für Temperaturmessungen ausgenutzten physikalischen Effekt<br />
ist die Ausdehnung von Stoffen (meist Flüssigkeiten) mit steigender Temperatur. Eine Besonderheit<br />
ergibt sich für Wasser: normalerweise hat der feste Aggregatszustand eines Stoffes<br />
eine höhere Dichte als der flüssige. Wasser hat aber bei t = 4 ◦ C seine größte Dichte (Eis<br />
schwimmt auf Wasser).<br />
Gesetze für ideale Gase<br />
In einem idealen Gas werden die Moleküle als punktförmig angenommen (kein Eigenvolumen)<br />
und die Wechselwirkung zwischen den Molekülen wird vernachlässigt.<br />
Das Volumen eines Gases hängt bei konstanter Temperatur und bei gleicher Masse (geschlossenes<br />
Gefäß) nur vom Druck ab. Bei Kompression erhöht sich die Dichte des Gases:<br />
p = ρ · const.<br />
Daraus folgt das Boyle-Mariottsche Gesetz, welches für ideale Gase bei konstanter Temperatur<br />
gilt:<br />
p · V = const.
3.1. Dampfdruckkurve 81<br />
Der Zusammenhang zwischen den drei Zustandsgrößen Druck, Volumen und Temperatur<br />
wird durch die Zustandsgleichung idealer Gase (ideale Gasgleichung) beschrieben:<br />
pV = νRT (3.1)<br />
Hierbei ist ν die Stoffmenge (Anzahl der Mole). R wird als allgemeine Gaskonstante bezeichnet.<br />
Mit dem Molvolumen V0 = 22.4 l/mol, dem Normaldruck p0 = 1.013 hPa und<br />
T0 = 273.15 K gilt: R = p0V0/T0 = 8.31 J/(mol · K).<br />
Mit der Avogadrozahl NA = Teilchenzahl pro Mol = 6.022·10 23 mol −1 und ν = N/NA, wobei<br />
N die Anzahl der Moleküle ist, lässt sich Gleichung 3.1 auch schreiben als<br />
pV = NkT<br />
mit der Boltzmann-Konstanten k = R/NA = 1.38 · 10 −23 J/K.<br />
Die Isothermen, d.h. p-V-Kurven für T=const., sind demnach für ein ideales Gas Hyperbeln,<br />
wie in Abb. 3.1 links exemplarisch für ein Gas, welches bei 0 ◦ C und Normaldruck ein<br />
Volumen von 1 l einnimmt, gezeigt ist.<br />
Abbildung 3.1: Links: Isothermen eines idealen Gases. Rechts: Van der Waals-Isothermen<br />
von CO2.<br />
Reale Gase<br />
In realen Gasen haben die Moleküle ein endliches Eigenvolumen. Dies führt zum sogenannten<br />
Kovolumen b, welches wegen der Packungslücken ungefähr dem vierfachen Eigenvolumen der<br />
Moleküle entspricht. Desweiteren wechselwirken die Teilchen untereinander durch Van der<br />
Waals-Kräfte, wodurch zum äußeren Druck ein innerer Druck addiert werden muß. Die ideale<br />
Gasgleichung geht über in die Van der Waals-Gleichung:<br />
(p + a/V 2 )(V − b) = νRT<br />
Die “Konstanten” a und b hängen in obiger Form der van der Waals-Gleichung noch von<br />
der Stoffmenge ab. Eine Division durch ν ergibt<br />
�<br />
p + ν2a ′<br />
V 2<br />
� � �<br />
V<br />
− b′ = RT<br />
ν
82 Kapitel 3. Wärmelehre<br />
Die Isothermen sehen damit anders aus als für ein ideales Gas, wie man in Abb. 3.1 rechts<br />
am Beispiel von Kohlendioxid sieht. Außerdem ist zu beachten, daß für ein reales Gas die<br />
Wechselwirkung der Teilchen so stark werden kann, daß es seinen Aggregatszustand ändert<br />
und sich verflüssigt. Dies wird später behandelt.<br />
Spezifische Wärmekapazität<br />
Wenn zwei Körper mit den Temperaturen T1 und T2 < T1 in Kontakt gebracht werden, stellt<br />
sich eine gemeinsame Temperatur T mit T2 < T < T1 ein. Es wird also Wärme von Körper<br />
1 auf den Körper 2 übertragen. Die übertragene Wärmemenge ∆Q ist<br />
∆Q = c1m1∆T1 = c2m2∆T2<br />
mit ∆T1 = T1 − T und ∆T2 = T − T2. Die materialabhängige Größe<br />
c = 1 ∆Q<br />
m ∆T<br />
wird als spezifische Wärmekapazität bezeichnet. Die Einheit für die Wärmemenge ist das<br />
Joule. Im Alltag noch gebräuchlich ist die Kalorie (cal), wobei 1 cal = 4.1868 Joule die<br />
Wärmemenge ist, die man benötigt, um 1 g Wasser von 14.5 ◦ C auf 15.5 ◦ C zu erwärmen. Die<br />
Einheit der spezifischen Wärmekapazität ist [c] = J/(gK).<br />
Weiterhin ist definiert die Wärmekapazität C:<br />
C = mc = ∆Q<br />
∆T<br />
mit [C] = J/K, sowie die molare Wärmekapazität<br />
Cm = Mc = m 1 ∆Q<br />
c =<br />
ν ν ∆T<br />
mit [Cm] = J/(mol · K). Hierbei ist M die Molmasse.<br />
Bei tiefen Temperaturen ist c allerdings selbst temperaturabhängig.<br />
Außerdem hängt die spezifische Wärmekapazität davon ab, ob man sie bei konstantem Druck<br />
(cp) oder konstanten Volumen (cV ) bestimmt. Bei konstantem Druck führt die zugeführte<br />
Wärme nicht nur zu einer Erwärmung, sondern auch zu einer Ausdehnung des Körpers. Es<br />
ist also immer cP > cV (eine Ausnahme ergibt sich hier wiederum aus der Anomalie des<br />
Wassers). Wegen der kleinen Ausdehnung von Festkörpern und Flüssigkeiten mit der Temperatur<br />
fällt dies praktisch nur bei Gasen ins Gewicht. Das Verhältnis der beiden spezifischen<br />
Wärmen wird als Adiabatenexponent κ bezeichnet (warum wird später klar werden):<br />
κ = cp/cV<br />
(3.2)<br />
Diese Größe spielt auch in der Akustik (Schallwellen, siehe Versuche zur Akustik) eine Rolle.<br />
1. Hauptsatz<br />
Wie schon erwähnt wurde, ist Wärme eine Form von Energie, sie kann z.B. durch Reibung<br />
mechanisch erzeugt werden.
3.1. Dampfdruckkurve 83<br />
Der Energieerhaltungssatz besagt, daß die Gesamtenergie innerhalb eines abgeschlossenen<br />
Systems durch beliebige (mechanische, thermische, elektrische, chemische) Vorgänge nicht<br />
erhöht werden kann. Es gibt also kein Perpetuum Mobile.<br />
In einem abgeschlossenen System findet weder Materie- noch Energieaustausch mit der Umgebung<br />
statt. Von einem geschlossenen System spricht man, wenn nur Energieaustausch<br />
stattfindet, und in einem offenem System wird sowohl Energie als auch Materie mit der Umgebung<br />
ausgetauscht. In der Thermodynamik werden i.A. geschlossene Systeme behandelt.<br />
Als innere Energie U eines Systemes bezeichnet man seine Energie im Schwerpunktsystem,<br />
also die Summe von thermischer, chemischer und elektrischer Energie, d.h. die Gesamtenergie<br />
abzüglich äußerer mechanischer (kinetischer, potentieller) Energie. Es gilt:<br />
∆U = ∆Q + ∆A (3.3)<br />
mit ∆Q = zugeführter Wärme und ∆A = zugeführter Arbeit. Die Vorzeichenkonvention ist<br />
die folgende: für ∆Q > 0 wird Wärme zugeführt, für ∆A > 0 Arbeit am System verrichtet.<br />
Ist dagegen ∆Q < 0, wird die Wärme ∆Q ′ = −∆Q abgeführt, für ∆A < 0 wird die Arbeit<br />
∆A ′ = −∆A vom System verrichtet. In einem sogenannten Kreisprozeß landet man nach<br />
Zu-/Abführung von Wärme und Arbeit wieder beim Ausgangszustand, es gilt also U1 = U2<br />
und damit:<br />
∆U = ∆Q + ∆A = 0 (3.4)<br />
also entweder ∆Q > 0 (Wärme wird zugeführt) und ∆A < 0 (Arbeit wird vom System<br />
verrichtet) oder umgekehrt. Die Gleichungen 3.3 und 3.4 bilden zusammen den 1. Hauptsatz<br />
der Wärmetheorie (Thermodynamik).<br />
Die Arbeit A ist die Arbeit, die von äußeren Kräften geleistet wird. Im Allgemeinen führt<br />
der Außendruck pa zu einer Volumenänderung dV :<br />
dA = −padV<br />
Falls dV < 0, verübt der Druck Arbeit am System (dA > 0), im anderen Fall dehnt sich das<br />
System aus und verrichtet dabei Arbeit. Die Arbeit ist dann − � pdV und damit die Fläche<br />
unter einer Zustandsänderung im p-V-Diagramm, siehe Abb. 3.2. In einem Kreisprozeß wird<br />
eine geschlossene Kurve im p-V-Diagramm durchlaufen, ihr Flächeninhalt entspricht der freigewordenen<br />
oder geleisteten Arbeit (je nach Umlaufrichtung).<br />
Im Allgemeinen kann man den äußeren, vom Experimentator frei wählbaren Druck pa nicht<br />
durch den inneren, durch die Zustandsgleichung vorgegebenen Druck p ersetzen. Dies ist nur<br />
in sogenannten quasi-statischen Prozessen erlaubt, in denen der äußere Druck dem inneren<br />
Druck numerisch immer fast gleich gewählt ist, wobei die Prozesse dann unendlich langsam<br />
ablaufen. Dies hat den Vorteil, daß man für den Innendruck p die ideale Gasgleichung<br />
verwenden kann: pV = νRT . Es gilt dann für ideale Gase:<br />
dU = dQ − pdV.
84 Kapitel 3. Wärmelehre<br />
Abbildung 3.2: Arbeitsdiagramme von quasi-statischen Prozessen. Im rechten Bild ist ein<br />
Kreisprozeß gezeigt.<br />
Zustandsänderungen<br />
1.) Isochore Zustandsänderung: V = const.<br />
dU = dQ = mcV dT<br />
U = mcV T + U0<br />
Die innere Energie hängt für eine feste Masse also nur von T ab. Bei der isochoren Zustandsänderung<br />
erhöht die zugeführte Wärme nur die innere Energie.<br />
2.) Isobare Zustandsänderung: p = const.<br />
Hieraus folgt Cmp − CmV<br />
äußere Arbeit.<br />
dU = mcpdT − pdV = mcV dT<br />
3.) Isotherme Zustandsänderung: T = const.<br />
= R. Die zugeführte Wärme erhöht die innere Energie und leistet<br />
U = mcV T + U0 ⇒ dU = 0 ⇒ dQ = pdV<br />
Die zugeführte Wärme wird komplett in äußere Arbeit umgesetzt.<br />
4.) Adiabatische Zustandsänderung: Q = const.<br />
dU = −padV = mcV dT<br />
Die am System verrichtete Arbeit erhöht die innere Energie.<br />
Läuft der Prozeß quasi-statisch ab, gilt pa = p = νRT/V .
3.1. Dampfdruckkurve 85<br />
Abbildung 3.3: Isothermen (gestrichelte Linien) und Adiabaten (durchgezogene Linien) eines<br />
idealen Gases.<br />
CmV<br />
mcV dT = −νRT dV/V<br />
McV dT/T + RdV/V<br />
�<br />
�<br />
= 0<br />
dT/T + R dV/V = 0<br />
CmV ln (T/T0) + R ln (V/V0) = 0<br />
ln (T/T0) + ln (V/V0) R/Cm V = 0<br />
⇒ T<br />
� �R/CmV V<br />
= 1<br />
T0<br />
Mit den Gleichungen 3.2 und Cmp − CmV<br />
Mit der idealen Gasgleichung folgt:<br />
V0<br />
= R folgt daher:<br />
T V κ−1 = const. (3.5)<br />
pV κ = const. (3.6)<br />
pT κ<br />
1−κ = const. (3.7)<br />
Dies sind die drei Poissonschen Gleichungen. Eine Druckänderung führt also zu einer<br />
Temperaturänderung (Beispiele für adiabatische Prozesse: Luftpumpe, Schallwellen). Im p-<br />
V-Diagramm verlaufen die Adiabaten steiler als die Isothermen und schneiden diese daher,<br />
wie in Abb. 3.3 zu sehen ist.<br />
Änderung von Aggregatszuständen<br />
Wenn man einem Festkörper Wärme mit einer konstanten Rate zuführt, ändert sich die<br />
Temperatur wie in Abb. 3.4 exemplarisch für 1 g Wasser gezeigt. Zuerst steigt die Temperatur<br />
wie erwartet an: ∆Q = cpEis m(T − T0) (T0 ist die Ausgangstemperatur, in der Abbildung<br />
gilt z.b. T0 = 243 K). Bei 0 ◦ C allerdings passiert etwas Neues: trotz Wärmezufuhr bleibt
86 Kapitel 3. Wärmelehre<br />
die Temperatur konstant. Beim Übergang vom festen zum flüssigen Aggregatszustand muß<br />
die kristalline Anordnung der Moleküle mit ihrer räumlich stabilen Struktur von Ionen und<br />
Elektronen aufgebrochen werden. Die zugeführte Wärmemenge von 335 J wird gebraucht,<br />
um 1 g Eis zu schmelzen. Die Schmelzwärme beträgt also<br />
λSchmelz = 334.9 J/g<br />
ΛSchmelz = 6.03 kJ/mol ,<br />
wobei die spezifische und molare Schmelzwärme über ΛSchmelz = MλSchmelz = m<br />
ν λSchmelz zusammenhängen.<br />
Zwischen 0◦C und 100◦C steigt die Temperatur nach ∆Q = cpW m(T −<br />
asser<br />
TSchmelz) weiter an. Bei der Siedetemperatur ts = 100◦C muß wieder eine Umwandlungswärme,<br />
die Verdampfungswärme, zugeführt werden:<br />
λVerd = 2256.7 J/g<br />
ΛVerd = 40.6 kJ/mol<br />
denn beim Übergang vom flüssigen zum gasförmigen Aggregatszustand wird die durch Van<br />
der Waals-Kräfte vermittelte Nahordnung zerstört. Solche Umwandlungswärmen zwischen<br />
Aggregatszuständen oder Phasen (z.B. verschiedenen Kristallstrukturen) werden auch als<br />
latente Wärmen bezeichnet. Beim Umkehrvorgang, also Kondensation und Erstarrung, werden<br />
die gleichen Energiemengen frei. Wie in der Chemie spricht man, je nachdem ob Wärme<br />
verbraucht oder frei wird, von endothermen oder exothermen Prozessen.<br />
Abbildung 3.4: Temperaturverlauf bei konstanter Erwärmung von 1 g Wasser.
3.1. Dampfdruckkurve 87<br />
Ein Teil der Umwandlungswärme geht in Volumenarbeit über, denn das Volumen der Aggregatszustände<br />
ist i.A. unterschiedlich. Beim Übergang vom flüssigen zum gasförmigen Aggregatszustand<br />
muß eine dem Differenzvolumen entsprechende Menge Luft verdrängt werden:<br />
dA = −pdV . Die Volumenarbeit beträgt etwa 170 J/g. Die Änderung der inneren Energie<br />
ist also dU = dQ − pdV < λVerdm. In den obigen Zahlen ist die Volumenarbeit schon enthalten.<br />
Zur Verdeutlichung spricht man statt von Wärme auch von Enthalpie H, wenn die<br />
Volumenarbeit schon addiert ist:<br />
H = U + pV<br />
∆H = ∆U + ∆(pV ) = ∆Q + V dp<br />
Für dp = 0 ist die Enthalpie also mit der Wärme identisch.<br />
Im Folgenden soll der Übergang vom flüssigen zum gasförmigen Aggregatszustand betrachtet<br />
werden. Hat man eine Flüssigkeit in einem evakuierten geschlossenen Gefäß, so verdampfen<br />
und kondensieren Moleküle, bis sich ein Gleichgewicht einstellt. Der Dampf hat dann einen<br />
von der Temperatur und Stoffart abhängigen Druck, den Dampfdruck oder Sättigungsdruck.<br />
Der Zusammenhang zwischen Sättigungsdampfdruck und Temperatur wird durch die Dampfdruckkurve<br />
beschrieben. Abb. 3.5 zeigt die Dampfdruckkurve von Wasser. Ist das Gefäß nicht<br />
evakuiert, müssen die Moleküle durch z.B. Luft diffundieren. Das Gleichgewicht stellt sich<br />
langsamer ein, aber der Dampfdruck ist der gleiche, denn nach Dalton ändert sich an den<br />
Partialdrücken der einzelnen Gase durch die Anwesenheit anderer Gase nichts. Ist zu wenig<br />
Flüssigkeit vorhanden, verdampft alles und es kann sich kein Gleichgewicht einstellen.<br />
Flüssigkeit in einem offenen Gefäß wird also unabhängig von Druck und Temperatur immer<br />
vollständig verdampfen (Verdunstung).<br />
Abbildung 3.5: Dampfdruckkurve von Wasser.
88 Kapitel 3. Wärmelehre<br />
Die Isothermen des Flüssigkeit-Gas-Systemes von CO2 sind auf der linken Seite von Abb. 3.6<br />
gezeigt. Sie folgen nicht mehr dem Boyle-Mariottschen Gesetz für ideale Gase, sondern zeigen<br />
einen komplizierteren Verlauf. Wir betrachten die Isotherme bei t1 = 10 ◦ C. Rechts<br />
vom Punkt A ist das CO2 gasförmig, Kompression führt also zu einem Druckanstieg. Am<br />
Punkt A setzt Sättigung ein, Kompression führt zu Kondensation bei konstantem Druck.<br />
Schließlich ist bei B nur noch Flüssigkeit vorhanden, weitere Kompression führt zu starkem<br />
Druckanstieg. Das durch die Punkte A und B der Isothermen definierte Gebiet wird als<br />
Sättigungsgebiet bezeichnet. Für T2 = 31 ◦ C sind am Punkt C die Volumina von Gas und<br />
Flüssigkeit gleich, beide Aggregatszustände haben die gleiche Dichte. Dieser Punkt wird als<br />
kritischer Punkt bezeichnet, entprechend die zugehörigen Zustandsgrößen als kritische Temperatur,<br />
kritische Dichte etc.. Oberhalb der kritischen Temperatur kann ein Gas auch durch<br />
beliebig hohen Druck nicht verflüssigt werden. Nur für Zustände mit einer Temperatur weit<br />
oberhalb der kritischen Temperatur gilt die Thermodynamik eines idealen Gases.<br />
Die aus der Van der Waals-Gleichung berechneten Isothermen (Van der Waals-Isothermen)<br />
sehen anders aus als die im Experiment gewonnen Kurven (Abb. 3.6, rechte Seite). Man<br />
erhält die den Punkten A und B von oben entprechenden Punkte A und C, wenn man eine<br />
Gerade so durch die Van der Waals-Isotherme legt, daß die schraffierten Flächen gleich groß<br />
sind.<br />
Wird die Wärmezufuhr einer Flüssigkeit so groß, daß die Wärme nur durch inneres Verdampfen<br />
(Vergrösserung der Oberfläche) mittels Gasblasen, welche an die Oberfläche steigen,<br />
abgeführt werden kann, spricht man vom Sieden. Die Temperatur ist dann konstant<br />
(Siedetemperatur), d.h. ein stationärer Zustand erreicht, wenn der Druck in den Blasen dem<br />
äußeren Druck entspricht. Die Siedetemperatur hängt also vom Außendruck ab (Abb. 3.8.)<br />
Die Blasen entstehen an “Keimen”, z.B. gelösten Gasen, Spitzen, Ionen, ... In sehr sauberen<br />
Flüssigkeiten gibt es daher Siedeverzug.<br />
Abbildung 3.6: Links: Isothermen von CO2 mit Sättigungsgebiet. Rechts: Van der Waals-<br />
Isothermen von CO2 mit Sättigungsgebiet.
3.1. Dampfdruckkurve 89<br />
Clausius-Clapeyronsche Gleichung<br />
Die quantitative Beschreibung des Sättigungsdampfdruckes leistet die Clausius-Clapeyronsche<br />
Gleichung. Zur Herleitung betrachten wir den in Abb. 3.7 gezeigten Kreisprozeß im p-V-<br />
Diagramm.<br />
• Start bei A mit ν, V2, T , c2<br />
• A → B: ∆Q = νCm2dT wird zugeführt<br />
• B → C: Verdampfen, ∆Q = νΛ ′ wird zugeführt<br />
• C → D: ∆Q = νCm1dT wird entzogen<br />
• D → A: Kondensieren, ∆Q = νΛ wird frei<br />
Es gilt also mit Λ ′ = Λ + dΛdT<br />
und dem ersten Hauptsatz:<br />
dT<br />
Der zweite Hauptsatz ( � δQ<br />
T<br />
�<br />
Cm2dT<br />
ν<br />
T<br />
∆Q = ν(Cm2dT + Λ ′ =<br />
− Cm1dT − Λ)<br />
�<br />
ν (Cm2 − Cm1)dT + dΛ<br />
dT dT<br />
�<br />
= −∆A<br />
= dp(V1 − V2)<br />
�<br />
⇒ ν (Cm2 − Cm1)dT + dΛ<br />
dT dT<br />
�<br />
= 0) liefert die Gleichung:<br />
+ Λ′<br />
T + dT<br />
− Cm1dT<br />
T<br />
= dp(V1 − V2) (3.8)<br />
− Λ<br />
�<br />
= 0<br />
T<br />
Abbildung 3.7: Kreisprozeß zur Herleitung der Clausius-Clapeyron-Gleichung.
90 Kapitel 3. Wärmelehre<br />
102 Siedetemperatur von Wasser als Funktion des Druckes<br />
100<br />
98<br />
96<br />
Siedetemperatur [degC]<br />
94<br />
102 102<br />
92<br />
101.5<br />
101 101<br />
90<br />
100.5<br />
100 100<br />
88<br />
99.5 99.5<br />
99 99<br />
86<br />
98.5 98.5<br />
98 98<br />
84<br />
97.5 97.5<br />
950 950 960 960 970 970 980 980 990 990 1000 1010 1020 1030 1040 1050 1060<br />
97 97<br />
82<br />
500 600 700 800 900 1000 1100<br />
Umgebungsdruck [hPa]<br />
Abbildung 3.8: Temperaturabhängigkeit des Siedepunktes von Wasser.<br />
80
3.1. Dampfdruckkurve 91<br />
Hierbei wurde 1<br />
1+ dT<br />
T<br />
(Cm2 − Cm1)dT +<br />
Λ + dΛ<br />
dT dT<br />
(Cm2 − Cm1)<br />
dT + = 0<br />
T<br />
T (1 + dT/T )<br />
�<br />
Λ + dΛ<br />
dT dT<br />
�<br />
(1 − dT/T ) − Λ = 0<br />
− Λ<br />
T<br />
(Cm2 − Cm1)dT + dΛ<br />
dT − ΛdT/T = 0 (3.9)<br />
dT<br />
= 1 − dT<br />
T<br />
Gleichungen 3.8 und 3.9 ergibt sich:<br />
gesetzt und der quadratische Term in dT vernachlässigt. Aus<br />
dp<br />
ν (V1 − V2) = Λ dT<br />
T<br />
⇒ Λ(T ) = T dp<br />
dT (V1 − V2)/ν<br />
⇒ dp<br />
dT =<br />
νΛ<br />
T (V1 − V2)<br />
Dies ist die Clausius-Clapeyronsche Gleichung. Sie gilt für beliebige Phasenübergänge.<br />
Eine Integration, wobei die Temperaturabhängigkeiten von Λ und dV bekannt sein müssen,<br />
ergibt p(T ).<br />
Beim Verdampfen, wenn Vgas >> Vfl, gilt:<br />
Integration ergibt<br />
ΛV erd(T ) = T dp<br />
dT (Vgas − Vfl)/ν<br />
� p<br />
dp<br />
dT =<br />
p0<br />
=<br />
νΛV erd<br />
T (Vgas − Vfl)<br />
νΛ<br />
T Vgas<br />
� T<br />
1 Λ<br />
dp =<br />
p R T0<br />
ln(p/p0) = − Λ 1<br />
(<br />
R T<br />
= pΛ<br />
RT 2<br />
1<br />
dT<br />
T 2<br />
1<br />
− )<br />
T0<br />
Bei entsprechender Auftragungsweise kann die Verdampfungswärme also direkt aus der Steigung<br />
bestimmt werden, wobei wegen der Temperaturabhängigkeit von Λ streng genommen<br />
nur kleine Temperaturbereiche genommen werden dürfen.<br />
Zustandsdiagramm<br />
Für alle Phasenübergange wird p(T ) im Zustandsdiagramm dargestellt. Abb. 3.9 zeigt die<br />
Zustandsdiagramme für CO2 (links) und Wasser (rechts) mit den Phasenübergängen Sublimation,<br />
Schmelzen und dem ausführlich behandelten Verdampfen. Die Steigung von dp/dT
92 Kapitel 3. Wärmelehre<br />
ist i.A. positiv. Eine Ausnahme bildet die Schmelzkurve von Wasser, deren Steigung negativ<br />
ist. Der Grund ist die schon behandelte Anomalie des Wassers, also VEis > Vfl. Man<br />
kann also durch Druck Eis schmelzen (Anwendung: Schlittschuhlaufen). Der Punkt, an dem<br />
sich alle drei Kurven treffen, wird Tripelpunkt genannt. Hier herrscht Koexistenz aller drei<br />
Aggregatszustände.<br />
Abbildung 3.9: Links: Zustandsdiagramm von Kohlendioxid. Rechts: Zustandsdiagramm<br />
von Wasser.<br />
3.1.2 Versuchsaufbau und Durchführung<br />
Benötigte Geräte<br />
Sensor-CASSY;<br />
Heizhaube;<br />
Absolutdrucksensor mit Stativstange;<br />
6-poliges Verbindungskabel;<br />
B-Box;<br />
Temperatursensor;<br />
Temperaturbox;<br />
Kolben;<br />
Meßbecher;<br />
Glasventil;<br />
Handpumpe;<br />
Stativ mit Stange;<br />
Schläuche;<br />
Verbindungsstücke;<br />
Muffen.<br />
Ein Piezowiderstand auf Siliziumbasis (Motorola MPX2100AP) ist als Drucksensor (p < 1500<br />
hPa) in das Gehäuse des Leybold-Absolutdrucksensors eingebaut. Der Sensor ist zwischen<br />
0 ◦ und 85 ◦ C temperaturkompensiert und kann von −40 ◦ C bis 125 ◦ C betrieben werden. Um
3.1. Dampfdruckkurve 93<br />
zu verhindern, daß Kondensat in den Sensor zurückfließt, ist der Sensor mit der Meßöffnung<br />
abwärts zu montieren. Das analoge Drucksignal (40mV/1000hPa, ±1% Linearitätsfehler) des<br />
Piezo-Sensors wird verstärkt (Output des Absolutdrucksensors: 1V/1500hPa), der Fehler des<br />
Sensors wird mit < 1% angegeben. Dann wird das Signal über einen Pegelkonverter (B-Box,<br />
Verstärkungsfehler 1%) an die Digitalisierung (CASSY, 12bit A/D Wandler) weitergereicht.<br />
Der Temperaturfühler (Betriebsbereich −200 ◦ C< T < 400 ◦ C, Fehler für −40 ◦ C< T < 335 ◦ C:<br />
±2.5 ◦ C) basiert auf einem NiCr-Ni-Thermoelement. Dieser Sensor ist an der Spitze eines hermetisch<br />
verschlossenen dünnen Edelstahlrohres montiert (Vorsicht beim Einführen in die mit<br />
einem durchbohrten Stopfen verschlossene Meßöffnung). Die Ansprechzeit (99% des Temperaturendwertes)<br />
in Gasen ist 2s. Das analoge Temperatursignal (4.1mV/100 ◦ C) wird über<br />
einen Pegelkonverter (Temperatur-Box, Meßfehler < 1 %) an die Digitalisierung (CASSY,<br />
12bit A/D Wandler) weitergereicht. CASSY kann Meßwerte mit bis zu 100kHz Wiederholrate<br />
aufnehmen und puffern.<br />
Allgemeines<br />
• Bei allen Messungen darf die Funktion “Meßwerte mitteln” in der CASSY-Software<br />
nicht verwendet werden, da sie die Bestimmung der Meßfehler stark verfälscht!<br />
• Sorgfältig protokollieren! Wichtig sind insbesondere die Zeitpunkte und Dauer der Messungen,<br />
die Nummer der verwendeten Apparatur, Ergebnisse der Vorversuche und jeder<br />
Handgriff an der Apparatur.<br />
• Immer die Rohdaten mit abspeichern. Z.B. gehören neben ln(p) und 1/T auch p und T<br />
selbst mit in den CASSY-Datensatz. Das spätere Zurückrechnen ist, wenn überhaupt<br />
möglich, eine ergiebige Fehlerquelle.<br />
Die unten angegebenen Zeitdauern pro Messung sollen nur ein Anhaltspunkt für<br />
Sie sein. Falls Sie allerdings wesentlich länger brauchen, könnten Sie am Ende<br />
in Zeitdruck geraten.<br />
Messung des Rauschens der Sensoren<br />
Dauer der Messung: ca. 15 Minuten<br />
Um die statistische Meßgenauigkeit abzuschätzen, kann man die Sensoren über ein kurzes<br />
Zeitintervall mit hoher Rate auslesen (Raumtemperatur bzw. Normaldruck). Unter der Annahme<br />
eines stabilen Meßwertes in diesem Zeitintervall ergibt die Streuung der beobachteten<br />
Daten die statistische Meßungenauigkeit. Aus diesen Meßwerten anschließend in Maple mit<br />
der Routine mean aus der Praktikumsbibliothek das RMS bestimmen. Dies ist der gesuchte<br />
Meßfehler der Sensoren. Die von Leybold angegebenen Fehler können als systematische<br />
Fehler betrachtet und behandelt werden. Die Meßwerte sollen zusätzlich in ein Histogramm<br />
eingetragen werden, um einen Überblick über ihre Verteilung zu erhalten.<br />
Kalibrierung des Temperatursensors<br />
Dauer der Messung: ca. 15 Minuten<br />
Der Temperatursensor wird mit Eiswasser und kochendem Wasser kalibriert. Eiswürfel erhalten<br />
Sie vom Assistenten. Fügen Sie nicht zu viel Wasser hinzu, sonst dauert es sehr lange,
94 Kapitel 3. Wärmelehre<br />
bis sich ein Gleichgewicht einstellt. Die Kalibration mit kochendem Wasser führen Sie später<br />
während des Hauptversuches durch. Die gemessenen Temperaturwerte sollen nachträglich<br />
in der Auswertung mit Hilfe der Kalibrationsmessung korrigiert werden, falls signifikante<br />
Abweichungen bestehen.<br />
Messung der Gasdichtigkeit<br />
Dauer der Messung: ca. 30 Minuten<br />
In einer Vormessung soll die Gasdichtigkeit geprüft werden. Hierzu wird im Kolben mittels<br />
einer Handpumpe ein Unterdruck (p < 200 hPa) erzeugt, welcher durch Undichtigkeiten mit<br />
der Zeit ausgeglichen wird. Der Druckverlauf sollte über ca. 10 Minuten gemessen werden.<br />
Der prinzipielle Versuchsaufbau ist in Abb. 3.10 gezeigt. Verbinden Sie die Pumpe über das<br />
Ventil mit dem Kolben und montieren Sie den Drucksensor. Erzeugen Sie einen möglichst<br />
großen Unterdruck und messen Sie den Druckverlauf. Die Kompensation des Drucksensors<br />
sollte in allen Messungen ausgeschaltet sein (die LED auf der B-Box also nicht leuchten). Falls<br />
nötig, kann zur Verbesserung der Dichtigkeit der Anordnung die Schlauchschelle vorsichtig<br />
weiter angezogen werden. Außerdem steht ein Dichtungsmittel zur Verfügung, das auf die<br />
Normschliffe der Glasbehälter/Ventile aufgetragen werden kann. Ausgeleierte Schlauchenden<br />
können abgeschnitten werden. Allgemein ist zu empfehlen, das Öffnen der einmal abgedichteten<br />
Glas- und Schlauchverbindungen möglichst zu vermeiden. Der Aufbau sollte nach dieser<br />
Messung nicht mehr geändert werden (Schraubverschlüsse nicht mehr auf und zu drehen,<br />
Temperatursensor nicht entfernen etc.).<br />
Messung der Dampfdruckkurve<br />
Dauer der Messung: ca. 1 1/2 Stunden<br />
Im Hauptversuch soll die Dampfdruckkurve von Wasser aufgenommen werden.<br />
Gefüllt wird das Gefäß durch Ansaugen aus einem Meßglas (Eintauchen des Schlauches in<br />
das Meßglas bei geschlossenem Ventil, kurzzeitiges Öffnen des Ventils, eventuell erneutes<br />
Abpumpen). Der Kolben sollte ca. halb gefüllt werden.<br />
Sodann wird das Wasser mit Hilfe der elektrischen Heizhaube zum Sieden gebracht, und<br />
dabei der Temperaturverlauf aufgezeichnet. Während der Aufwärmphase bleibt der Auslaß<br />
geöffnet (wieso?). Lassen Sie den erzeugten Dampf in einem Glas kondensieren. Vergleichen<br />
Sie die Temperatur in als auch oberhalb der Flüssigkeit. Nutzen Sie die Aufwärmphase, um<br />
sich von der starken Druckabhängigkeit der Siedetemperatur zu überzeugen. Nach Einstellung<br />
des Gleichgewichtes sollte das Wasser noch einige Minuten sieden, damit die Luft weitgehend<br />
aus dem Gefäß entweichen kann. Ihr Partialdruck führt sonst zu einer Verfälschung<br />
der Druckmessung. Der Anteil der Luft im austretenden Gas läßt sich recht gut abschätzen,<br />
indem der Abgasschlauch einige Zentimeter unter den Flüssigkeitsspiegel – z.B. in einem<br />
Meßglas – getaucht wird. Während der Dampfanteil sofort kondensiert, treten nur die Luftblasen<br />
bis an die Oberfläche.<br />
Der Dampfdruck wird beim Abkühlen bei verschlossenem Gefäß gemessen. Unbedingt den<br />
Hahn am Auslaßschlauch schließen, kurz bevor die Heizhaube abgeschaltet oder entfernt<br />
wird. Der entstehende Druckabfall führt sonst sofort zum Ansaugen von Luft oder Wasser<br />
in das Gefäß. Nach dem Schließen des Hahns nicht zu lange warten, der Überdruck kann<br />
sonst den Glasstopfen aus dem Rundkolben herausdrücken. Wählen sie eine geeignete Auf-
3.1. Dampfdruckkurve 95<br />
tragungsweise und berechnen Sie zu Ihrer Kontrolle sofort die Verdampfungswärme.<br />
Zweite Dichtigkeitsmessung (nur, falls genügend Zeit vorhanden ist)<br />
Um eine eventuelle Änderung der Gasdichtigkeit während des Versuches auszuschliessen, wiederholen<br />
Sie die Dichtigkeitsmessung nach der Aufnahme der Dampfdruckkurve. Hierfür muß<br />
das Wasser vollständig auf Raumtemperatur abgekühlt sein, da die Temperaturänderung<br />
sonst den Druck beeinflußt.<br />
3.1.3 Auswertung<br />
• Bestimmung des statistischen Fehlers auf Druck und Temperatur aus den Rauschmessungen.<br />
• Eventuell Korrektur der Temperaturdaten mit Hilfe der Kalibrationsmessung. Prüfen<br />
Sie hierfür, ob die gemessenen Werte von Schmelz- und Siedetemperatur mehr als drei<br />
Standardabweichungen von den Theoriewerten abweichen. Berücksichtigen Sie für den<br />
Vergleich die Druckabhängigkeit der Siedetemperatur. Im Allgemeinen ist die Temperaturkorrektur<br />
temperaturabhängig.<br />
• Bestimmung der Leckraten vor (und eventuell nach) der Haupmessung, Abschätzung<br />
des für die Enthalpiebestimmung verwendbaren Zeitraumes.<br />
• Bestimmung der Verdampfungsenthalpie aus der Verteilung von ln(p) gegen 1/T mittels<br />
linearer Regression. Für den Drucksensor wurde keine Kalibrationsmessung durchgeführt.<br />
Berücksichtigen Sie daher den von Leybold angegebenen Fehler als systematischen<br />
Fehler. Addieren Sie hierfür die angegebenen relativen Fehler quadratisch und berechnen<br />
Sie den absoluten Fehler, indem Sie den relativen Fehler auf den Meßbereichsendwert<br />
anwenden. Wie ändert sich die Verdampfungsenthalpie, wenn alle Druckwerte<br />
um diesen systematischen Fehler zu niedrig oder zu hoch gemessen wären? Für die lineare<br />
Regression kann die Funktion “LineareRegressionXY” der Praktikumsbibliothek<br />
“MapleLibs” verwendet werden. Sie berücksichtigt Fehler in der x- und y-Koordinate<br />
(siehe http://accms04.physik.rwth-aachen.de/∼praktapp/maple−new/index.html).<br />
• Alle Werte sollen mit Fehlern angegeben, die Punkte in den Plots mit Fehlerbalken<br />
gezeichnet werden! Geben sie auch an, wie Sie die Fehler auf ln(p) und 1/T berechnet<br />
haben.<br />
• Geben Sie die Verdampfungsenthalpie mit statistischem und systematischen Fehler an<br />
und vergleichen Sie Ihr Resultat mit dem Literaturwert. Stimmt es im Rahmen des<br />
(kombinierten) Fehlers überein?<br />
• Diskutieren Sie in Ihrer Zusammenfassung die Resultate, systematische Fehlerquellen<br />
sowie Mängel des angewendeten Verfahrens.
96 Kapitel 3. Wärmelehre<br />
Abbildung 3.10: Versuchsaufbau zur Messung der Dampfdruckkurve.
3.1. Dampfdruckkurve 97<br />
44<br />
Molare Verdampfungsenthalpie von Wasser<br />
43.5<br />
43<br />
42.5<br />
42<br />
41.5<br />
41<br />
40.5<br />
Verdampfungsenthalpie [kJ/mol]<br />
40<br />
39.5<br />
300 320 340 360 380 400<br />
Temperatur [K]<br />
Abbildung 3.11: Temperaturabhängigkeit der Verdampfungsenthalpie von Wasser.
98 Kapitel 3. Wärmelehre<br />
3.2 Adiabatic Coefficient<br />
Purposes<br />
In this experiment the ratio cp<br />
Keywords<br />
cv<br />
is measured by the Rüchardt method.<br />
Specific heat, equation of state, processes of state transformation (adiabatic, isothermic, isobaric),<br />
pressure oscillations.<br />
Literature<br />
See list of sources in Section 3.1.<br />
3.2.1 Rüchardt method<br />
The Rüchardt method to determine the ratio cp<br />
for a gas is based on the measurement of<br />
cv<br />
oscillations of a steel ball supported by a column of the gas in a precision glass tube.<br />
The scheme of the experiment is shown in Fig. 3.12.<br />
Rubber<br />
bung<br />
Marriot’s<br />
flask<br />
Ball<br />
F = AΔp<br />
D<br />
Gas<br />
pV κ = const<br />
Differential<br />
manometer<br />
Δp<br />
Hand<br />
pump<br />
Abbildung 3.12: Scheme of the Rüchardt method for the ratio cp<br />
cv measurement
3.2. Adiabatic Coefficient 99<br />
The ball fits exactly into the tube having a diameter of about 16 mm. The precision glass<br />
tube is inserted vertically into a glass bottle (Marriot’s flask) which has a rubber stopper<br />
with a hole fitting the glass tube. Gas pressure inside the bottle is measured by a differential<br />
manometer.<br />
A hand pump can provide a slow influx of air into the bottle. The increased air pressure<br />
raises the ball along the tube. After air influx is stopped the ball will sink down very slowly.<br />
It takes considerable time to fall through the tube, for the air enclosed in the tube below<br />
the ball escapes very slowly through the narrow gap between ball and tube walls.<br />
If the ball hight is increased sharply by the use of two small permanent magnets the ball<br />
starts to oscillate up and down a few times before continuing to sink down slowly. The<br />
oscillations are damped due to the unavoidable losses of energy by friction. Variations of<br />
the air pressure inside the bottle during these oscillations have to be measured and stored.<br />
Analysis of these data in accordance with a theory described below allows to determine the<br />
air adiabatic coefficient κ.<br />
The parameters relevant for the analysis are<br />
• m - mass of the ball<br />
• A = πD 2 /4 - cross-section area of the glass tube<br />
• V - volume of enclosed air<br />
• p0 - atmospheric pressure<br />
• p - pressure inside the bottle<br />
• cp - specific heat at constant pressure<br />
• cv - specific heat at constant volume<br />
• κ = cp<br />
cv<br />
- adiabatic coefficient<br />
The ball is in equilibrium if the pressure p inside the bottle is equal to the sum of the<br />
atmospheric pressure p0 and the pressure due to the weight of the ball:<br />
p = p0 + mg<br />
A<br />
(3.10)<br />
When the ball moves a distance x beyond its equilibrium position, the pressure changes<br />
by dp. By this a force Adp is exerted on the ball. Friction force is proportional to the ball<br />
. Then by Newton’s second law:<br />
velocity Ffr = −αfr dx<br />
dt<br />
m d2x dx<br />
= Adp − αfr<br />
dt2 dt<br />
(3.11)<br />
The process may be considered practically adiabatic. Therefore, according to 3.6 (Section<br />
3.1.1)<br />
pV κ = const (3.12)
100 Kapitel 3. Wärmelehre<br />
By differentiation:<br />
V κ dp + pκV κ−1 dV = 0 (3.13)<br />
dp = − pκ<br />
dV (3.14)<br />
V<br />
The ball was supposed to move a distance x in the glass tube; this gives a change of volume<br />
By substituting 3.15 in 3.14<br />
dp = − pκAx<br />
V<br />
The equation of motion 3.11 takes now the form<br />
d2x αfr dx<br />
+<br />
dt2 m dt<br />
dV = Ax (3.15)<br />
(3.16)<br />
pκA2<br />
+ x = 0 (3.17)<br />
mV<br />
This is the differential equation of harmonic oscillations with damping from which the angular<br />
frequency of the ball oscillations can be deduced, which is<br />
�<br />
pκA2 ω =<br />
(3.18)<br />
mV<br />
from this follows for κ = cp<br />
cv :<br />
2 mV<br />
κ = ω<br />
pA2 (3.19)<br />
All the quantities on the right side of equation 3.19 are accessible to measurements, therefore<br />
κ can be determined in this way.<br />
3.2.2 Setup and Carrying out the Experiment<br />
Apparatus<br />
Oscillation tube;<br />
Stand base, V-shape;<br />
Stand rod, 50 cm;<br />
Clamp with jaw clamp;<br />
Two Marriot’s flasks of different volumes;<br />
Hand vacuum and pressure pump;<br />
Differential pressure sensor;<br />
Absolute pressure sensor;<br />
Sensor-CASSY;<br />
PVC tubes;<br />
Connectors;<br />
Permanent magnets;<br />
Digital balance;<br />
Precision micrometer.
3.2. Adiabatic Coefficient 101<br />
The pressure sensor enables differential pressures ∆p = p1 − p2 between 0 and ±70 hP a to<br />
be measured. It can be connected directly to the Sensor-CASSY.<br />
Technical data:<br />
• Measuring ranges: ±0.7 hP a, ±7 hP a, ±70 hP a<br />
• Resolution: 0.05% of measuring range<br />
The technical data of the absolute pressure sensor are described in Section 3.1.2.<br />
Setup<br />
Set up the experiment as shown in Fig.3.13:<br />
• Insert the oscillation tube vertically into the dry Marriot’s flask. Both sides of the tube<br />
should be closed to avoid fast movements of the ball inside the tube.<br />
• Fix the vertical position of the tube by clamping it with the jaw clamp connected with<br />
the stand.<br />
• Connect the outlet of the Marriot’s flask with the hand pump and with the differential<br />
pressure sensor using the PVC tubes and T-connector.<br />
• Insert the pressure sensor in the INPUT A channel of the CASSY box.<br />
• Open the upper end of the oscillation tube.<br />
The setup is ready for the oscillation measurements.<br />
Carrying out the experiment<br />
The parameters which define the value of the adiabatic coefficient κ, namely<br />
• ω - the ball oscillation frequency<br />
• A = πD2<br />
4 - cross-section of the tube<br />
• m - mass of the ball<br />
• V - volume of the bottle<br />
• p - gas pressure in the equilibrium state of the ball<br />
have to be measured using the provided tools:<br />
• relative pressure sensor<br />
• absolute pressure sensor
102 Kapitel 3. Wärmelehre<br />
• precise micrometer<br />
• digital balance<br />
The measurement of the parameter V can be performed by weighing of the empty bottle<br />
and of the bottle filled with water. This can be done only after performing the oscillation<br />
measurement because the air inside the Marriot’s flask has to be dry then.<br />
Ball oscillation frequencies for different ball positions (heights) inside the tube have to be<br />
measured for both Marriot’s flasks.<br />
All the measurements have to be done several times. Evaluation of sources and values of<br />
systematic and stochastic errors for all the measured parameters should be presented.<br />
The values of the adiabatic coefficient κ together with its measurement errors should be calculated<br />
using all the measurements done. The resulting κ value measured in the experiment<br />
have to be calculated using either weighted mean or linear regression method (or both).<br />
Analysis of the κ error budget (sources of the dominant errors, possible ways to improve the<br />
experiment performance, etc.) has to be presented.<br />
Abbildung 3.13: Experiment setup for measuring the ratio cp<br />
cv
Kapitel 4<br />
Elektrizitätslehre<br />
Vorversuche:<br />
4.1 Charakterisierung der Ohmschen Widerstände<br />
4.2 Auf- und Entladung eines Kondensators<br />
4.3 Auf- und Entladung einer Spule<br />
Hauptversuche:<br />
4.4 LC-Schwingkreise<br />
4.5 gekoppelte Schwingungen<br />
Physikalische Grundlagen<br />
103<br />
Ohmsches Gesetz, Kirchhoffsche Regeln, Schaltungen von Widerständen, Kondensatoren,<br />
Spulen, Auf- bzw. Entladevorgänge, Schwingungen, gedämpfte Schwingungen, gekoppelte<br />
Schwingungen, Wechselströme, Wechselstromwiderstände, Verlustwiderstände
104 Kapitel 4. Elektrizitätslehre<br />
4.1 Charakterisierung der Ohmschen Widerstände<br />
4.1.1 Versuchsbeschreibung:<br />
Es soll der Betrag der Ohmschen Widerstände bestimmt werden, die bei den folgenden Versuchsteilen<br />
zur Charakterisierung der Kondensatoren und der Spulen, bzw. zur Dämpfung<br />
des Schwingkreises benutzt werden. Des weiteren sollen die Messfehler der Strom- und Spannungsmessungen<br />
bestimmt werden. Dazu werden zwei Messreihen benötigt:<br />
1.) Es wird eine Gleichspannung eingestellt und der Spannungsabfall an dem Ohmschen<br />
Widerstand und der im Kreis fließende Strom gegen die Zeit gemessen. Aus der Häufigkeitsverteilung<br />
der Strom- bzw. Spannungsmessung wird der jeweilige Mittelwert, die<br />
Standardabweichung (Fehler des Einzelwertes)und der mittlere Fehler des Mittelwertes<br />
bestimmt.<br />
�<br />
X = 1<br />
n<br />
n�<br />
�<br />
�<br />
Xi, σX = � 1<br />
n − 1<br />
i=1<br />
n�<br />
i=1<br />
√n<br />
(Xi − X) 2 , σ X = σX<br />
(4.1)<br />
2.) Die anliegende Gleichspannung wird variiert, der Spannungsabfall am Ohmschen Widerstand<br />
und der fließende Strom gemessen. Die Fehler der Einzelmessungen wurden<br />
mit den jeweiligen Messreihen 1 vorher bestimmt. Mittels linearer Regression wird<br />
die Steigung und damit der Wert des Ohmschen Widerstandes gemäß dem Ohmschen<br />
Gesetz bestimmt.<br />
4.1.2 Versuchsaufbau<br />
U = I · R<br />
Die verschiedenen Ohmschen Widerstände werden gemäß Abbildung 4.1 auf der Rastersteckplatte<br />
aufgebaut und an Spannung gelegt. Als Spannungsquelle dient die Gleichspannungsquelle<br />
S (0-16 V) des Sensor CASSY-Interface. Zur Strommessung wird das Amperemeter<br />
des Eingangs A und zur Spannungsmessung das Voltmeter des Eingangs B benutzt.<br />
4.1.3 Versuchsdurchführung<br />
Messreihe 1<br />
Die Spannungsquelle kann über das Menü Einstellungen CASSY automatisch bei Beginn<br />
der Messung eingeschaltet werden (Änderung des Zustands 0 auf 1). Die Messzeit wird im<br />
Menü Messparameter anzeigen (Abb. 4.1b) eingestellt, die Messgrößen werden als Momentanwerte<br />
(Intervall 10 µs) aufgezeichnet. Die an dem Ohmschen Widerstand abfallende<br />
Spannung wird mit dem Spannungsmessgerät des Eingangs B, der im Kreis fließende Strom<br />
wird mit dem Amperemeter des Eingangs A gemessen.<br />
Achtung: Auf Grenzwerte und Messbereiche achten!
4.1. Charakterisierung der Ohmschen Widerstände 105<br />
Messreihe 2<br />
Die Spannungsquelle wird über das Menü Einstellungen CASSY eingeschaltet (Zustand<br />
1). Die Messwertaufnahme wird in dem Menü Messparameter anzeigen von automatischer<br />
auf manuelle Aufnahme umgeschaltet (Abb. 4.1c). Es wird ein Messwert pro Start<br />
einer Messung aufgezeichnet. Variiert wird manuell am Drehknopf die anliegende Spannung<br />
und es werden der Spannungsabfall am Ohmschen Widerstand und der Strom aufgezeichnet<br />
in einem U-I-Diagramm. Achtung: Auf Grenzwerte und Messbereiche achten!<br />
a)<br />
12 V<br />
INPUT A<br />
INPUT B<br />
R<br />
S<br />
− +<br />
I<br />
U<br />
U<br />
SENSOR−CASSY 524010<br />
b) c)<br />
Benötigte Geräte:<br />
1 Sensor-CASSY<br />
1 Rastersteckplatte, DIN A4<br />
1 STE Widerstand 100 Ω !<br />
1 STE Widerstand 47 Ω<br />
1 STE Widerstand 20 Ω<br />
1 STE Widerstand 10 Ω<br />
1 STE Widerstand 5,1 Ω<br />
1 STE Widerstand 1 Ω<br />
3 Paar Kabel, 50 cm rot/blau<br />
Abbildung 4.1: a) Versuchsaufbau zur Charakterisierung des Ohmschen Widerstandes. b)<br />
Messreihe 1. c) Messreihe 2
106 Kapitel 4. Elektrizitätslehre<br />
4.1.4 Versuchsauswertung<br />
Messreihe 1<br />
Bestimmen Sie aus den Häufigkeitsverteilungen der Strom- bzw. Spannungsmessungen (Abb.<br />
4.1b) den jeweiligen Mittelwert, die Standardabweichung (statistischer Fehler des Einzelwertes),<br />
den mittleren Fehler des Mittelwertes (Gleichungen 4.1) und berechnen sie jeweils den<br />
Ohmschen Widerstand sowie den Fehler mittels Fehlerfortpflanzung.<br />
R = U<br />
I , σR =<br />
� �1<br />
I<br />
� 2<br />
· σ2 U +<br />
�<br />
U<br />
I 2<br />
�2<br />
· σ2 I ,<br />
σR<br />
R =<br />
� �σU<br />
U<br />
� 2<br />
+<br />
� �2 σI<br />
Variieren Sie die Anzahl der Messpunkte und fassen Sie die Ergebnisse als Funktion der<br />
Anzahl der Messpunkte grafisch zusammen.<br />
Berücksichtigen Sie ebenfalls den systematischen Fehler mittels Fehlerfortpflanzung<br />
und geben sie das Endergebnis an:<br />
σU,sys = 0, 01 · Ui + 0, 005 · UBereichsendwert<br />
σI,sys = 0, 02 · Ii + 0, 005 · IBereichsendwert<br />
(R ± ∆Rstat ± ∆Rsys) Ω<br />
Messreihe 2<br />
Stellen Sie die Messreihe in einem U-I-Diagramm dar und bestimmen Sie mittels linearer<br />
Regression den Wert und Fehler des Ohmschen Widerstandes (Abb. 4.2). In die lineare<br />
Regression gehen für jeden Messpunkt die statistischen Fehler der Strom- und Spannungsmessungen<br />
ein, die in der Messreihe 1 bestimmt worden sind. Um den systematischen Fehler<br />
in R abzuschätzen, verschieben Sie die Messpunkte mit ihren statistischen Fehlern um die<br />
systematischen Fehlern, so dass der Einfluss auf die Steigung der Ausgleichsgeraden maximal<br />
wird (Abbildung 4.2). Systematische Verschiebungen:<br />
bzw.:<br />
Ui,verschoben = Ui − (0, 01 · Ui + 0, 005 · UBereichsendwert)<br />
Ii,verschoben = Ii + (0, 02 · Ii + 0, 005 · IBereichsendwert)<br />
Ui,verschoben = Ui + (0, 01 · Ui + 0, 005 · UBereichsendwert)<br />
Ii,verschoben = Ii − (0, 02 · Ii + 0, 005 · IBereichsendwert)<br />
Geben Sie ihre Ergebnisse zusammenfassend an.<br />
Diskutieren Sie die Ergebnisse der beiden Messreihen und vergleichen Sie diese mit den<br />
Herstellerangaben (Tabelle 4.1).<br />
I
4.1. Charakterisierung der Ohmschen Widerstände 107<br />
Abbildung 4.2: Messreihe 2: Bestimmung des Ohmschen Widerstandes mittels linearer Regression<br />
(rote, mittlere Kurve) und des systematischen Fehlers (blaue und grüne Kurven).<br />
Ohmscher Widerstand Belastbarkeit Toleranz<br />
1 Ω 2 W 5 %<br />
5,1 Ω 2 W 5 %<br />
10 Ω 2 W 5 %<br />
20 Ω 2 W 5 %<br />
47 Ω 2 W 5 %<br />
100 Ω 2 W 5 %<br />
Tabelle 4.1: Spezifikationen der Ohmschen Widerstände nach Herstellerangaben
108 Kapitel 4. Elektrizitätslehre<br />
4.2 Auf- und Entladung eines Kondensators<br />
Optional, Rücksprache mit den Versuchsbetreuern!<br />
4.2.1 Versuchsbeschreibung<br />
Mit diesem Vorversuch sollen die Kapazitäten der Kondensatoren bestimmt werden, die<br />
später bei den Hauptversuchen der LC-Schwingkreise eingesetzt werden! Der bei diesem<br />
Vorversuch verwendete Ohmsche Widerstand muß im vorherigen Vorversuch charakterisiert<br />
worden sein!<br />
Wird ein Kondensator an eine Spannungsquelle angeschlossen (Abb. 4.3), so wird er geladen.<br />
Innerhalb einer gewissen Zeit fließen Ladungen auf die Platten (Ladestrom), bis der<br />
Kondensator die gleiche Spannung wie die Quelle hat. Wird dann die Spannungsquelle abgetrennt<br />
und werden die Kondensatorplatten leitend miteinander verbunden, so entlädt sich<br />
der Kondensator, im Kreis fließt dann für eine gewisse Zeit ein Entladestrom.<br />
Im folgenden wird ein Kondensator über einen Widerstand aufgeladen oder entladen. Es<br />
wird der Spannungsabfall am Kondensator sowie der Lade- bzw. Entladestrom gemessen.<br />
Daraus kann die Zeitkonstante τ = R · C bestimmt werden.<br />
+<br />
U0<br />
B<br />
A<br />
I<br />
R<br />
C<br />
U<br />
C<br />
Abbildung 4.3: Schaltung zur Aufnahme von Strom- und Spannungskennlinien bei Lade- und<br />
Entladevorgängen eines Kondensators<br />
Ladevorgang des Kondensators (Schalterstellung A):<br />
Der Ladevorgang beginnt beim Zeitpunkt t = 0, zu diesem Zeitpunkt fließt der maximale<br />
Strom I0 = U0 . Dann wird der Kondensator immer mehr geladen, die sich dabei aufbauende<br />
R<br />
Spannung UC wirkt als Gegenspannung zu U0, so daß der Ladestrom I immer kleiner wird.<br />
Wenn UC = U0 geworden ist, kommt der Strom zum Erliegen (I = 0).<br />
Wird von einem beliebigen Punkt ausgehend der Kreis (Abb. 4.3) einmal vollständig umfahren,<br />
muß die Summe aller Spannungen Null ergeben gemäß der Kirchhoffschen Maschenregel.
4.2. Auf- und Entladung eines Kondensators 109<br />
Eine andere Formulierung der Maschenregel lautet, daß die Summe der anliegenden Spannungen<br />
gleich der Summe der abfallenden Spannungen ist. Es gilt also zu jedem Zeitpunkt:<br />
Wegen C · UC = Q und I = dQ<br />
dt<br />
U0 − UR(t) − UC(t) = 0 → U0 − UC(t) = I(t) · R<br />
gilt dann:<br />
U0 − UC(t) = R · C dUC<br />
(4.2)<br />
dt<br />
Die Differentialgleichung 4.2 wird integriert mit der Randbedingung, daß beim Zeitpunkt<br />
t = 0 keine Ladung auf dem Kondensator ist und daher UC(t = 0) = 0 ist. Für den<br />
Spannungsabfall am Kondensator zu einer beliebigen Zeit t gilt dann:<br />
UC(t) �<br />
0<br />
dUC<br />
U0 − UC<br />
= 1<br />
R · C<br />
�t<br />
0<br />
� �<br />
U0 − UC(t)<br />
dt → ln<br />
U0<br />
= −t<br />
R · C → UC(t)<br />
� �<br />
t<br />
−<br />
= U0 · 1 − e R·C (4.3)<br />
also steigt die Spannung am Kondensator exponentiell mit der Zeit auf U0 an. Damit ergibt<br />
sich für den Ladestrom:<br />
I(t) = dQ dUC U0<br />
= C · =<br />
dt dt R<br />
mit der Zeitkonstanten des RC-Kreises τ = R · C.<br />
· e− t<br />
R·C = U0<br />
Entladevorgang des Kondensators (Schalterstellung B):<br />
R<br />
t<br />
t<br />
−<br />
· e− τ = I0 · e R·C (4.4)<br />
Zum Zeitpunkt t = 0 wird die Spannungsquelle durch einen Leiter überbrückt, so daß keine<br />
Spannung mehr am Kreis anliegt und der Kondensator gemäß U0 aufgeladen ist. Dann liefert<br />
die Maschenregel:<br />
Mit Q = C · UC und I = dQ<br />
dt<br />
R · I(t) + UC(t) = 0<br />
folgt die homogene Differentialgleichung:<br />
R · C · dUC(t)<br />
dt + UC(t) = 0 (4.5)<br />
Die Lösung der Differentialgleichung 4.5 erfolgt durch “Separation der Variablen“ unter<br />
Berücksichtigung der Randbedingung (t = 0 → UC = U0):<br />
�UC<br />
U0<br />
dUC<br />
UC<br />
= −1<br />
R · C<br />
�t<br />
0<br />
dt → ln<br />
� UC<br />
U0<br />
�<br />
= −t<br />
R · C<br />
und damit ergibt sich für den zeitabhängigen Spannungsabfall am Kondensator:<br />
Für den Stromverlauf ergibt sich bei der Entladung:<br />
I = dQ<br />
dt<br />
t<br />
t<br />
− −<br />
UC(t) = U0 · e R·C = U0 · e τ (4.6)<br />
= C · dUC<br />
dt = C · U0 · −1<br />
R · C<br />
t<br />
· e− R·C → I(t) = − U0 t<br />
· e− R·C (4.7)<br />
R
110 Kapitel 4. Elektrizitätslehre<br />
4.2.2 Versuchsaufbau<br />
Der Kondensator und der Ohmsche Widerstand werden gemäß Abbildung 4.4 auf der Rastersteckplatte<br />
aufgebaut. Als Spannungsquelle dient die Gleichspannungsquelle S (0-16 V)<br />
des Sensor-CASSY-Interface. Zur Strommessung wird das Amperemeter des Eingangs A<br />
und zur Spannungsmessung das Voltmeter des Eingangs B benutzt. Zusätzlich wird der<br />
Spannungsabfall am Kondensator auf dem Kanal 1 und der Strom als Spannungsabfall am<br />
Ohm’schen Widerstand auf dem Kanal 2 des Oszilloskopes gemessen. Zur Überbrückung der<br />
Spannungsquelle (Entladevorgang) wird ein Taster parallel zu dem Ohmschen Widerstand<br />
und dem Kondensator geschaltet.<br />
Bei dem Aufladevorgang des Kondensators wird die Spannungsquelle im Menü Einstellungen<br />
CASSY von AUS (0) auf EIN (1) automatisch bei Beginn einer Messung umgeschaltet.<br />
Bei dem Entladevorgang bleibt die Spannungsquelle eingeschaltet (1), wird aber durch den<br />
Taster überbrückt, so das sich der Kondensator über den Widerstand entlädt.<br />
12 V<br />
INPUT A<br />
INPUT B<br />
R<br />
S<br />
− +<br />
I<br />
U<br />
U Erde<br />
SENSOR−CASSY 524010<br />
Kanal 2<br />
Kanal 1<br />
Oszilloskop<br />
Benötigte Geräte:<br />
1 Sensor-CASSY<br />
1 TDS 2004B Oszilloskop<br />
1 Rastersteckplatte, DIN A4<br />
1 STE Widerstand 100 Ω<br />
1 Kondensator 10 µF<br />
1 Kondensator 4,7 µF<br />
1 Kondensator 2,2 µF<br />
1 Kondensator 1 µF<br />
1 Satz Brückenstecker<br />
3 Paar Kabel, 50 cm rot/blau<br />
3 Kabel, 50 cm rot/blau<br />
1 Taster<br />
Abbildung 4.4: Schaltbild zur Aufnahme einer Auf- oder Entladekurve eines Kondensators<br />
4.2.3 Versuchsdurchführung<br />
a) Aufladung<br />
– Ladespannung U0 einstellen - dazu Drehknopf an Spannungsquelle S entsprechend<br />
einstellen und Ladespannung messen.<br />
– Im Menü Einstellungen CASSY die automatische Umschaltung der Spannungsquelle<br />
von AUS (0) auf EIN (1) bei Start der Messung markieren<br />
– Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs<br />
und die Anzahl auf 1000 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 10ms. Die<br />
Zeitbasis am Oszilloskop entsprechend einstellen.<br />
– Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen weiterhin einen geeigneten<br />
Trigger einstellen! Diesen Trigger auch am Oszilloskop einstellen.<br />
– Aufladung mit F9 starten, Ladekurven gemäß Gleichungen 4.4, 4.3 und Abb. 4.5a<br />
aufnehmen
4.2. Auf- und Entladung eines Kondensators 111<br />
b) Entladung<br />
– Ladespannung U0 einstellen - dazu Drehknopf an Spannungsquelle S entsprechend<br />
einstellen und Ladespannung messen.<br />
– Im Menü Einstellungen CASSY die Spannungsquelle auf EIN (1) stellen<br />
– Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs<br />
und die Anzahl auf 1000 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 10 ms. Die<br />
Zeitbasis am Oszilloskop entsprechend einstellen.<br />
– Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen weiterhin einen geeigneten<br />
Trigger einstellen! Diesen Trigger auch am Oszilloskop einstellen.<br />
– Messung mit F9 starten, Entladekurven gemäß Gleichungen 4.6, 4.7 und Abb.<br />
4.5b aufnehmen<br />
– Nach Meldung “Triggersignal fehlt“, den Taster zur Überbrückung der Spannungsquelle<br />
betätigen<br />
Achtung: Mögliche Nullpunktsschwankungen der Strom- oder Spannungsmessgeräte (Offsets)<br />
korrigieren im Menü Einstellungen CASSY oder nachträglich bei der Analyse der<br />
Daten! Am Oszilloskop müssen die Offsets ebenfalls berücksichtigt werden.<br />
4.2.4 Versuchsauswertung<br />
Messung mit Oszilloskop<br />
Für die Bestimmung der Kapazität C am Oszilloskop wird bei der Aufladung die Strommessung<br />
verwendet, bei der Entladung der Spannungsabfall am Kondensator. Gemessen werden<br />
die Zeiten, nach der ein Startwert U0 auf die Hälfte, ein Viertel, ein Achtel usw. gesunken<br />
ist. Die Halbwertszeit T1/2 hängt mit der Zeitkonstanten τ = R · C wie folgt zusammen:<br />
UC(T1/2) = U0<br />
2 = U0 · e − T 1/2<br />
τ → T1/2 = τ · ln(2)<br />
und damit ergibt sich für die Kapazität C und den Fehler σC der Kapazität:<br />
C = T1/2<br />
R · ln(2)<br />
→<br />
σC<br />
C =<br />
�<br />
�σT �2 � �<br />
1/2 σR<br />
2<br />
+<br />
R<br />
Verfahren sie analog mit den Zeiten T1/4, T1/8 usw.. Der systematische Fehler des Ohmschen<br />
Widerstandes R (erster Vorversuch) setzt sich wie folgt auf den Fehler der Kapazität fort:<br />
σ R C,sys<br />
C<br />
= σR,sys<br />
R<br />
Messung mit Cassy<br />
Für die Bestimmung der Kapazität C werden die Strom- bzw. Spannungsmessreihen logarithmisch<br />
dargestellt. Die statistischen Fehler der Einzelmesswerte der Strom- und Spannungsmessungen<br />
wurden bereits im ersten Vorversuch ermittelt und müssen in die logarithmierte<br />
T1/2
112 Kapitel 4. Elektrizitätslehre<br />
a)<br />
b)<br />
Abbildung 4.5: a) Auf- bzw b) Entladekurve eines Kondensators
4.2. Auf- und Entladung eines Kondensators 113<br />
Darstellung transformiert werden. (Beachte: Vor der Transformation Offsets korrigieren!)<br />
S = ln(X) → σS = dS<br />
dX · σX = σX<br />
X<br />
An die jeweilige logarithmierte Messreihe wird mittels linearer Regression eine Gerade y =<br />
a · t + b angepaßt. Für die Kapazität C und den Fehler σC der Kapazität des Kondensators<br />
gilt dann:<br />
C = − 1<br />
a · R<br />
→ σC<br />
C =<br />
� �σa<br />
a<br />
� 2<br />
+<br />
� �<br />
σR<br />
2<br />
R<br />
Überprüfen sie anhand der Residuenverteilungen, ob die Offset-Korrektur ausreichend war.<br />
Überlegen Sie, ob eine Verschiebung der Messpunkte mit ihren statistischen Fehlern um die<br />
systematischen Fehler sinnvoll ist oder ob man die systematischen Fehler nicht berücksichtigen<br />
muss.<br />
Der systematische Fehler des Ohmschen Widerstandes R (erster Vorversuch) setzt sich wie<br />
folgt auf den Fehler der Kapazität fort:<br />
σ R C,sys = 1<br />
· σR,sys<br />
a · R2 Geben Sie ihre Ergebnisse zusammenfassend an:<br />
C ± σC,stat ± σ R C,sys<br />
Bestimmen Sie dann aus den durch Auf- bzw. Entladung gewonnenen Kapazitäten und deren<br />
statistischen und systematischen Fehlern den Mittelwert und den Fehler der Kapazität mit<br />
dem Verfahren des gewichteten Mittelwertes:<br />
C =<br />
n�<br />
i=1<br />
n�<br />
i=1<br />
Ci<br />
σ 2 i<br />
1<br />
σ 2 i<br />
�<br />
�<br />
�<br />
σC = �<br />
�<br />
Vergleichen Sie ihre Ergebnisse mit der Erwartung aufgrund der Herstellerangaben (Tabelle<br />
4.2).<br />
1<br />
n�<br />
i=1<br />
1<br />
σ 2 i<br />
Kapazität max. zul. Spannung Toleranz<br />
1 µF 100 V 5 %<br />
2,2 µF 63 V 5 %<br />
4,7 µF 63 V 5 %<br />
10 µF 100 V 5 %<br />
Tabelle 4.2: Spezifikationen der Kondensatoren laut Herstellerangaben
114 Kapitel 4. Elektrizitätslehre<br />
4.3 Auf- und Entladung einer Spule<br />
Optional, Rücksprache mit den Versuchsbetreuern!<br />
Mit diesem Vorversuch sollen die Induktivität L und der innere Ohmsche Widerstand RL der<br />
Spulen bestimmt werden, die später bei den Hauptversuchen der LC-Schwingkreise eingesetzt<br />
werden! Des weiteren soll der Innenwiderstand des Strommessgerätes ermittelt werden, da<br />
dieser später die Dämpfung der freien Schwingung beeinflussen wird.<br />
4.3.1 Versuchsbeschreibung<br />
Eine Spule wird über einen Widerstand aufgeladen oder entladen. Es werden die Spannungsabfälle<br />
an der Spule sowie der Lade- oder Entladestrom gemessen. Daraus kann die<br />
Zeitkonstante τ = L<br />
R , die Induktivität L und der innere Widerstand RL der Spule bestimmt<br />
werden.<br />
+<br />
U0<br />
B<br />
A<br />
I<br />
R<br />
L<br />
U<br />
L<br />
Abbildung 4.6: Schaltung zur Aufnahme von Strom- und Spannungskennlinien bei Lade- und<br />
Entladevorgängen einer Spule<br />
Ladevorgang einer idealen Spule (Abbildung 4.6, Schalterstellung A):<br />
Eine Spule wird über einen Ohmschen Widerstand aufgeladen. Bei der Änderung des Stromes<br />
im Kreis ändert sich das Magnetfeld und damit auch der magnetische Fluß im Querschnitt der<br />
Spule. Nach dem Induktionsgesetz wird dann in der Spule selbst eine Induktionsspannung<br />
Ui = −L · dI<br />
induziert (Selbstinduktion). Für den bei Änderung des Stromes im Kreis<br />
dt<br />
durch Selbstinduktion auftretenden Spannungsabfall UL an der Spule gilt: UL = L · dI , mit dt<br />
dem Selbstinduktionskoeffizienten L (auch Induktivität genannt), der von der geometrischen<br />
Gestalt der Spule abhängt. Für die Induktivität L einer Spule vom Querschnitt A, der Länge<br />
l und mit N Windungen gilt annähernd:<br />
L = µ0 · µr · N 2 · A<br />
l
4.3. Auf- und Entladung einer Spule 115<br />
Nach dem Einschalten wächst I(t) von Null an, wird durch U0 angetrieben und durch Ui<br />
behindert. Die Spannung U0 kann einen maximalen Strom I0 = U0 im Kreis erzeugen. Mit<br />
R<br />
der Kirchhoffschen Maschenregel folgt eine inhomogene lineare Differentialgleichung (DGL)<br />
1. Ordnung:<br />
U0 = L · dI<br />
dt<br />
+ R · I → dI<br />
dt<br />
R U0<br />
+ · I =<br />
L L<br />
Die Lösung einer solchen DGL setzt sich zusammen aus der Summe einer allgemeinen homogenen<br />
Lösung mit einer beliebigen sog. partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung:<br />
I(t) = Ih(t) + Ip(t)<br />
Für Lösung Ih der homogenen DGL ergibt sich:<br />
dI<br />
dt<br />
R<br />
+ · I = 0 →<br />
L<br />
�I(t)<br />
0<br />
dI<br />
I<br />
= −R<br />
L<br />
�t<br />
0<br />
dt → ln<br />
� �<br />
I(t)<br />
= −<br />
I(0)<br />
R<br />
L · t → Ih(t)<br />
R<br />
−<br />
= Ih(0) · e L ·t<br />
Ih(0) ist die Integrationskonstante, die durch die Anfangsbedingung festgelegt wird. Für die<br />
inhomogene Lösung Ip folgt:<br />
Damit folgt für die Gesamtlösung:<br />
L · dI<br />
dt + I · R = U0 → Ip = U0<br />
R<br />
R<br />
−<br />
I(t) = Ih(0) · e L ·t + U0<br />
R<br />
Mit der Anfangsbedingung I(0) = 0 folgt: I(0) = Ih(0) + U0<br />
R = 0 und damit Ih(0) = − U0<br />
R .<br />
Der Ladestrom ist dann:<br />
I(t) = U0<br />
R ·<br />
�<br />
R<br />
−<br />
1 − e L ·t<br />
�<br />
(4.8)<br />
Dabei ist τ = L die Zeitkonstante des Stromkreises. Für den zeitabhängigen Spannungsabfall<br />
R<br />
UL an der Spule folgt damit:<br />
UL(t) = L · dI<br />
dt = U0<br />
R<br />
−<br />
· e L ·t<br />
Entladevorgang einer idealen Spule (Abbildung 4.6, Schalterstellung B):<br />
(4.9)<br />
Zur Zeit t = 0 wird der Schalter von A nach B gelegt und dadurch die Spannungsquelle durch<br />
Überbrückung abgeschaltet. Im RL-Kreis folgt dann aus der Maschenregel die homogene<br />
Differentialgleichung:<br />
L · dI<br />
dt<br />
+ R · I = 0 → dI<br />
dt<br />
R<br />
+ · I = 0<br />
L
116 Kapitel 4. Elektrizitätslehre<br />
mit der Lösung:<br />
R<br />
−<br />
Ih(t) = Ih(0) · e L ·t<br />
mit der Anfangsbedingung, daß zur Zeit t=0 der maximale Strom I(0) = U0<br />
R<br />
I(t) = U0<br />
R<br />
Für den Spannungsabfall an der Spule gilt:<br />
Ladevorgang einer realen Spule:<br />
· e− R<br />
L ·t<br />
R<br />
−<br />
UL(t) = −U0 · e L ·t<br />
fließt, gilt dann:<br />
(4.10)<br />
(4.11)<br />
Eine Spule ist etwas komplizierter zu diskutieren als ein Kondensator. Das liegt an dem nicht<br />
veschwindenden Ohmschen Widerstand der Spule.<br />
Ein Ohmscher Widerstand R und eine Spule mit der Induktivität L und einem Ohmschen<br />
Widerstand RL werden in Reihe geschaltet und an eine Gleichspannung U0 angeschlossen.<br />
Mit der Kirchhoffschen Maschenregel folgt dann allgemein:<br />
�<br />
U0 = UR + USp = R · I + RL · I + L · dI<br />
�<br />
(4.12)<br />
dt<br />
In der Klammer steht der Spannungsabfall an der Spule. Die Differentialgleichung wird gelöst,<br />
indem zunächst die homogene Gleichung (d.h. U0 = 0) untersucht wird:<br />
L · dI<br />
dt = −(R + RL) · I<br />
Unbestimmte Integration dieser Differentialgleichung:<br />
� �<br />
dI + RL<br />
= −R · dt<br />
I L<br />
ergibt mit einer Integrationskonstanten K die homogene Lösung:<br />
R + RL<br />
ln Ih = −<br />
L<br />
· t + ln K → Ih = K · e − R+RL L ·t<br />
Die partikuläre Lösung der Differentialgleichung 4.12 (d.h. U0 �= 0) ist:<br />
Damit ergibt sich für den Strom:<br />
Ip = U0<br />
R + RL<br />
I(t) = Ih + Ip = K · e − R+R L<br />
L ·t + U0<br />
R + RL
4.3. Auf- und Entladung einer Spule 117<br />
Mit der Anfangsbedingung I(0) = 0 gilt für die Integrationskonstante K = −U0/(R + RL)<br />
und damit folgt für den Ladestrom der Spule (vergleiche auch mit Gleichung 4.8):<br />
I(t) = U0<br />
�<br />
·<br />
R + RL<br />
1 − e − R+RL L<br />
·t<br />
�<br />
(4.13)<br />
Die Zeitkonstante τ = L steuert den zeitlichen Verlauf für den Strom und auch für den<br />
R+RL<br />
Spannungsabfall an der Spule (vergleiche auch mit Gleichung 4.9):<br />
��<br />
−RL<br />
USp(t) = U0 ·<br />
R + RL<br />
�<br />
+ 1 e − R+RL L ·t + RL<br />
�<br />
R + RL<br />
(4.14)<br />
Entladevorgang einer realen Spule (Abbildung 4.6, Schalterstellung B):<br />
Beim Entladevorgang wird die Spannungsquelle überbrückt. Dann führt die bereits bekannte<br />
Lösung der homogenen Differentialgleichung. mit der Anfangsbedingung I(0) = U0<br />
R+RL auf<br />
den Entladestrom (vergleiche mit Gleichung 4.10):<br />
I(t) = U0<br />
R + RL<br />
· e − R+RL L ·t<br />
(4.15)<br />
Für den Spannungsabfall an der Spule gilt beim Entladevorgang (vergleiche mit Gleichung<br />
4.11):<br />
�� �<br />
RL<br />
USp(t) = U0 ·<br />
− 1 e<br />
R + RL<br />
− R+RL L ·t<br />
�<br />
(4.16)<br />
Beim Entladevorgang beginnt der Spannungsabfall nicht bei −U0.<br />
Spule bei Supraleitung:<br />
Wenn kein äußerer Widerstand im Stromkreis vorhanden ist und der Ohmsche Spulenwiderstand<br />
praktisch Null ist (Supraleitung, oder sehr dicker Draht), muss die angelegte Spannung<br />
am induktiven Widerstand abfallen. Es gilt dann also<br />
was sich unmittelbar integrieren lässt:<br />
U0 = L · dI<br />
dt<br />
I(t) = U0<br />
L<br />
Der Strom steigt also proportional zur Zeit an. Für den Spannungsabfall gilt USp = U0 .<br />
Dieser Sachverhalt kann auch aus der allgemeinen Lösung für den Ladestrom (Glg. 4.13)<br />
durch den Grenzübergang R + RL → 0 gefunden werden.<br />
· t
118 Kapitel 4. Elektrizitätslehre<br />
Wenn man zu einem Zeitpunkt t1 den Ladevorgang stoppt indem man die Spannungsquelle<br />
überbrückt, fließt ein konstanter ’Entladestrom’, d. h. die Spule entlädt sich nicht. Der Strom<br />
wird nicht kleiner, weil keine ’Reibung’ ( kein Ohmscher Widerstand) vorhanden ist. Das<br />
folgt auch mathematisch mit der Anfangsbedingung I(0) = U0 · t1: L<br />
L · dI<br />
dt<br />
4.3.2 Versuchsaufbau<br />
= 0 → I(t) = U0<br />
L · t1 = const.<br />
Die Spule und der Ohmsche Widerstand werden gemäß Abbildung 4.7 auf der Rastersteckplatte<br />
aufgebaut. Die Strommessung erfolgt mit dem Amperemeter des Eingangs A und<br />
die Spannungsmessung mit dem Voltmeter des Eingangs B des Sensor-CASSY-Interface.<br />
Zusätzlich wird der Spannungsabfall an der Spule auf dem Kanal 1 und der Strom als Spannungsabfall<br />
am Ohm’schen Widerstand auf dem Kanal 2 des Oszilloskopes gemessen.<br />
Die Spannungsquelle S des Sensor-Cassy-Interface wird bei dem Ladevorgang im Menü Einstellungen<br />
CASSY auf AUS (Zustand 0) gestellt und mit Beginn der Messung automatisch<br />
auf EIN (Zustand 1) geschaltet.<br />
Beim Entladevorgang wird die Spannungsquelle vom eingeschalteten Zustand 1 automatisch<br />
bei Beginn der Messung in den ausgeschalteten Zustand 0 umgeschaltet. Die Datenaufnahme<br />
erfolgt erst nach Erfüllung einer Triggerbedingung.<br />
4.3.3 Versuchsdurchführung<br />
a) Aufladung<br />
– Ladespannung U0 einstellen - dazu Drehknopf an Spannungsquelle S entsprechend<br />
einstellen und Ladespannung messen. Achtung: Grenzwerte beachten!<br />
– Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs<br />
und die Anzahl auf 250 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 2.5 ms. Die<br />
Zeitbasis am Oszilloskop entsprechend einstellen.<br />
– Spannungsquelle einschalten - dazu in Einstellungen CASSY, Spannungsquelle<br />
S die Eingabe von 0 nach 1 ändern durch automatische Umschaltung bei<br />
Beginn der Messung.<br />
– Aufladung mit F9 starten, Ladekurven gemäß Gleichungen 4.13, 4.14 und Abb.<br />
4.8a aufzeichnen.<br />
b) Entladung<br />
– Ladespannung U0 einstellen - dazu Drehknopf an Spannungsquelle S entsprechend<br />
einstellen und Ladespannung messen. Achtung: Grenzwerte beachten!<br />
– Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs<br />
und die Anzahl auf 250 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 2.5 ms.Die<br />
Zeitbasis am Oszilloskop entsprechend einstellen.<br />
– Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen weiterhin einen geeigneten<br />
Trigger einstellen! Diesen Trigger auch am Oszilloskop einstellen.
4.3. Auf- und Entladung einer Spule 119<br />
12 V<br />
INPUT A<br />
INPUT B<br />
R<br />
S<br />
− +<br />
I<br />
U<br />
U<br />
SENSOR−CASSY 524010<br />
a) b)<br />
Benötigte Geräte:<br />
1 Sensor-CASSY<br />
1 TDS 2004B Oszilloskop<br />
1 Rastersteckplatte, DIN A4<br />
1 STE Widerstand 100 Ω<br />
1 Spule 250, 500 oder 1000 Windungen<br />
1 Experimentierkabel, 50 cm, blau<br />
3 Paar Kabel, 50 cm rot/blau<br />
3 Kabel, 50 cm rot/blau<br />
12 V<br />
INPUT A<br />
INPUT B<br />
R<br />
S<br />
− +<br />
I<br />
U<br />
U<br />
SENSOR−CASSY 524010<br />
Abbildung 4.7: Schaltbild zur a) Aufnahme von Auf- und Entladekurven und Bestimmung<br />
des inneren Ohmschen Widerstandes RL einer Spule und b) Bestimmung des inneren Ohmschen<br />
Widerstandes des Amperemeters.<br />
– Spannungsquelle bei Beginn der Messung ausschalten - dazu in Einstellungen<br />
Spannungsquelle S1 die Eingabe von 1 nach 0 ändern durch automatische<br />
Umschaltung bei Beginn der Messung.<br />
– Entladung mit F9 starten, Entladekurven gemäß Gleichungen 4.15, 4.16 und Abb.<br />
4.8b aufzeichnen.<br />
c) Innerer Ohmscher Widerstand RL der Spule<br />
– Spannungsquelle S über das Menü Einstellungen CASSY einschalten (1).<br />
– Messwertaufnahme in dem Menü Messparameter anzeigen von automatischer<br />
auf manuelle Aufnahme umschalten (Abb. 4.9a). Es wird ein Messwert pro Start<br />
einer Messung aufgezeichnet.
120 Kapitel 4. Elektrizitätslehre<br />
– Variation der anliegenden Spannung U0 (manuell am Drehknopf), Aufzeichnung<br />
des Spannungsabfalls an der Spule und des Stroms (Abb. 4.9a).<br />
d) Innenwiderstand des Amperemeters des Eingangs A<br />
– Spannungsquelle S über das Menü Einstellungen CASSY einschalten (1).<br />
– Messwertaufnahme in dem Menü Messparameter anzeigen von automatischer<br />
auf manuelle Aufnahme umschalten. Es wird ein Messwert pro Start einer Messung<br />
aufgezeichnet.<br />
– Variation der anliegenden Spannung U0 (manuell am Drehknopf), Aufzeichnung<br />
des Spannungsabfalls am Amperemeter und des Stroms (Abb. 4.7b und 4.9b).
4.3. Auf- und Entladung einer Spule 121<br />
a)<br />
b)<br />
Abbildung 4.8: a) Auf- und b) Entladekurven einer Spule
122 Kapitel 4. Elektrizitätslehre<br />
a)<br />
b)<br />
Abbildung 4.9: Bestimmung des inneren Ohmschen Widerstandes a) einer Spule, b) des<br />
Amperemeters mittels Ohmschen Gesetzes.
4.3. Auf- und Entladung einer Spule 123<br />
4.3.4 Versuchsauswertung<br />
Induktivität L:<br />
Messung mit Oszilloskop<br />
Für die Bestimmung der Induktivität L am Oszilloskop werden die Zeiten, nach der ein Start-<br />
wert U0 oder I0 auf die Hälfte, ein Viertel, ein Achtel usw. gesunken ist. Die Halbwertszeit<br />
T1/2 hängt mit der Zeitkonstanten τ = L<br />
R<br />
wie folgt zusammen:<br />
UL(T1/2) = U0<br />
2 = U0 · e − T 1/2<br />
τ → T1/2 = τ · ln(2)<br />
und damit ergibt sich für die Induktivität L und den Fehler σL der Induktivität:<br />
L = T1/2·R<br />
ln(2)<br />
→<br />
σL<br />
L =<br />
�<br />
�σT �2 � �<br />
1/2 σR<br />
2<br />
+<br />
R<br />
Verfahren sie analog mit den Zeiten T1/4, T1/8 usw.. Der systematische Fehler des Ohmschen<br />
Widerstandes R (erster Vorversuch) setzt sich wie folgt auf den Fehler der Kapazität fort:<br />
σ R L,sys<br />
L<br />
= σR,sys<br />
R<br />
Messung mit Cassy<br />
Für die Bestimmung der Zeitkonstanten τ = L werden die Strom- bzw. Spannungsmess-<br />
R<br />
reihen logarithmisch dargestellt. Die statistischen Fehler der Einzelmesswerte der Stromund<br />
Spannungsmessungen wurden bereits im ersten Vorversuch ermittelt und müssen in die<br />
logarithmierte Darstellung transformiert werden. (Beachte: Vor der Transformation Offsets<br />
korrigieren!)<br />
T1/2<br />
S = ln(X) → σS = dS<br />
dX · σX = σX<br />
X<br />
An die jeweilige logarithmierte Messreihe wird mittels linearer Regression eine Gerade y =<br />
a · t + b angepaßt. Damit ergibt sich für die Induktivität L und deren Fehler σL:<br />
L = − R<br />
a ,<br />
σL<br />
L =<br />
� �σa<br />
a<br />
� 2<br />
+<br />
� �<br />
σR<br />
2<br />
R<br />
Überprüfen sie Anhand der Residuenverteilungen, ob die Offsets ausreichend korrigiert wurden.<br />
Überlegen Sie, ob eine Verschiebung der Messpunkte mit ihren statistischen Fehlern<br />
um die systematischen Fehler sinnvoll ist oder ob man die systematischen Fehler nicht<br />
berücksichtigen muss. Der systematische Fehler des Ohmschen Widerstandes R (erster Vorversuch)<br />
setzt sich wie folgt auf den Fehler der Induktivität fort:<br />
σ R L,sys = 1<br />
· σR,sys<br />
a
124 Kapitel 4. Elektrizitätslehre<br />
Geben Sie ihre Ergebnisse zusammenfassend an L ± σL,stat ± σR L,sys . Bestimmen Sie dann aus<br />
den durch Auf- bzw. Entladung gewonnenen Induktivitäten und deren Fehlern (statistische<br />
und systematische) den Mittelwert und den Fehler der Induktivität mit dem Verfahren des<br />
gewichteten Mittelwertes:<br />
L =<br />
n�<br />
i=1<br />
n�<br />
i=1<br />
Li<br />
σ 2 i<br />
1<br />
σ 2 i<br />
�<br />
�<br />
�<br />
σL = �<br />
�<br />
Vergleichen Sie ihre Ergebnisse mit der Erwartung aufgrund der Herstellerangaben.<br />
Innerer Widerstand RL der Spule<br />
Methode 1:<br />
Bei den Aufladekurven in Abbildung 4.8a fällt auf, daß der Spannungsabfall an der Spule<br />
nicht exponentiell mit der Zeit gegen Null, sondern gegen einen konstanten Anteil geht.<br />
Der Grund dafür ist der innere Ohmsche Widerstand RL der Spule. Bestimmen Sie aus<br />
den Aufladekurven den Sättigungsstrom I0 und den konstanten an der Spule abfallenden<br />
Gleichspannungsanteil UL und berechnen Sie den inneren Ohmschen Widerstand der Spule:<br />
RL = UL<br />
�<br />
�σUL<br />
�2 � �2 σRL<br />
σI0<br />
=<br />
+<br />
I0<br />
RL<br />
Methode 2:<br />
Stellen Sie die manuell aufgenommene Messreihe in einem U-I-Diagramm dar und bestimmen<br />
Sie den Wert und Fehler des inneren Ohmschen Widerstandes RL mittels linearer Regression<br />
(Abb. 4.9a). In die lineare Regression gehen die Fehler der Strom- und Spannungsmessungen<br />
ein, die im ersten Vorversuch, Messreihe 1, bestimmt worden sind.<br />
Diskutieren Sie die Ergebnisse der beiden Methoden mitsamt ihrer statistischen und systematischen<br />
Fehler und vergleichen Sie diese mit den Herstellerangaben.<br />
Innenwiderstand Ri des Amperemeters<br />
Stellen Sie die manuell aufgenommene Messreihe in einem U-I-Diagramm dar und bestimmen<br />
Sie den Wert und Fehler des Innenwiderstandes des Amperemeters Ri mittels linearer<br />
Regression (Abb. 4.9b). In die lineare Regression gehen die Fehler der Strom- und Spannungsmessungen<br />
ein, die im ersten Vorversuch, Messreihe 1, bestimmt worden sind. Geben<br />
Sie das Ergebnis mit statistischen und systematischen Fehlern an.<br />
UL<br />
1<br />
n�<br />
i=1<br />
1<br />
σ 2 i<br />
I0
4.4. Gedämpfter LC-Schwingkreis 125<br />
4.4 Gedämpfter LC-Schwingkreis<br />
4.4.1 Versuchsbeschreibung<br />
I<br />
R<br />
L<br />
C<br />
Abbildung 4.11 LCR-Schwingkreis<br />
+<br />
U<br />
Wird ein Kondensator C auf die Spannung U0 aufgeladen<br />
und über eine parallel geschaltete Spule<br />
entladen, so müssen zu jeder Zeit die Spannungen<br />
am Kondensator und an der Spule gleich<br />
groß sein, bzw. die Gesamtenergie bei einer freien,<br />
ungedämpften Schwingung muß konstant bleiben.<br />
Die Gesamtenergie ist gleich der Summe der<br />
elektrischen und magnetischen Feldenergien. Ein<br />
tatsächlich aufgebauter Schwingkreis besitzt neben<br />
einer Kapazität C und einer Induktivität L<br />
immer auch einen unvermeidlichen Ohmschen Widerstand<br />
R. Kondensatoren und Spulen sind keine<br />
idealen Bauelemente, sondern weisen neben der<br />
Kapazität bzw. Induktivität auch Ohmschen Widerstände<br />
auf (siehe Anhang 4.6). Diese üben eine<br />
dämpfende Wirkung auf die Schwingung aus und<br />
am Gesamtwiderstand R wird in der Zeit dt die<br />
Stromenergie dE = I 2 · R · dt in Wärme umgewandelt.<br />
Diese wird der Gesamtenergie des Kreises<br />
entzogen.<br />
Die elektrischen Schwingungen lassen sich anregen, indem man entweder den Kondensator<br />
entlädt oder auflädt. Sowohl Auf- wie Entladung werden durch Schwingungsgleichungen<br />
mit einem Dämpfungsterm beschrieben. Es hängt entscheidend vom Dämpfungsterm ab,<br />
wie der Einschwingvorgang auf die angelegte Spannung (U0 bzw. Null) verläuft. Bei kleiner<br />
Dämpfung wird sich die Spannung nach einem Einschwingvorgang am Kondensator einstellen.<br />
Bei sehr starker Dämpfung kommt es zu keiner Schwingung und der Kondensator<br />
erreicht sehr langsam die angelegte Spannung. Zwischen diesen beiden Fällen gibt es einen<br />
Spezialfall, bei dem sich die Spannung ohne Schwingung nach kürzester Zeit auf den richtigen<br />
Wert einstellt.<br />
Diese Situationen entsprechen vollkommen den mechanischen freien Schwingungen. Analoge<br />
Beziehung bzw. Bezeichnungen mechanischer und elektromagnetischer Schwingungen sind in<br />
Tabelle 4.3 aufgezeigt.
126 Kapitel 4. Elektrizitätslehre<br />
Schwingungen<br />
mechanische elektromagnetische<br />
d2y dt2 + b dy c · + · y = 0<br />
m dt m<br />
Differentialgleichung DGL:<br />
d2Q dt2 + R dQ 1 · + · Q = 0<br />
L dt L·C<br />
y Elongation Q elektrische Ladung<br />
m Masse L Induktivität<br />
b Dämpfungskonstante R Ohmscher Widerstand<br />
c Federkonstante 1/C inverse Kapazität<br />
Geschwindigkeit: v = dy<br />
dt<br />
Stromstärke: I = dQ<br />
dt<br />
Kreisfrequenz ohne Dämpfung:<br />
ω0 = � c/m ω0 = � 1/(LC)<br />
δ = b<br />
2m<br />
Abklingkoeffizient, Dämpfungskonstante:<br />
δ = R<br />
2L<br />
Kreisfrequenz: ω = � ω 2 0 − δ 2<br />
= � c/m − b 2 /(4m 2 ) = � 1/(LC) − R 2 /(4L 2 )<br />
D = δ<br />
ω0<br />
b = 2 ·<br />
�<br />
1<br />
mc<br />
Dämpfungsgrad:<br />
D = δ<br />
ω0<br />
= R<br />
2 ·<br />
� C<br />
L<br />
Potentielle Energie: Elektrostatische Energie:<br />
Epot = 1<br />
2cy2 EC = 1<br />
2<br />
Q 2<br />
C<br />
= 1<br />
2 CU 2 C<br />
Kinetische Energie: Magnetische Energie:<br />
Ekin = 1<br />
2 mv2 EL = 1<br />
2 LI2<br />
Güte (wird meist auch mit Q bezeichnet):<br />
Q = 1<br />
2D = √ mc/b Q = 1<br />
2D<br />
= 1<br />
R · � L/C<br />
Tabelle 4.3: Analogien zwischen mechanischen und elektromagnetischen Schwingungen
4.4. Gedämpfter LC-Schwingkreis 127<br />
Differentialgleichung für freie elektrische Schwingungen:<br />
An eine Gleichspannung U0 wird eine Serienschaltung von R, L und C angeschlossen. Nach<br />
der Kirchhoffschen Maschenregel ist U0 gleich der Summe aller Spannungsabfälle an den<br />
Komponenten R, L und C:<br />
U0 = UR + UL + UC = R · I + L dI<br />
dt<br />
Wegen I = dQ/dt gilt dann für die elektrische Ladung:<br />
L · d2Q dQ<br />
+ R ·<br />
dt2 dt<br />
+ Q<br />
C .<br />
+ Q<br />
C = U0. (4.17)<br />
Weil eine so aufgebaute Differentialgleichung (DGL) für alle freien gedämften Schwingungen<br />
gilt, bei denen die Schwingungsamplituden nicht so groß werden, dass nicht-lineare Terme<br />
berücksichtigt werden müssen, schreibt man:<br />
mit<br />
δ = R<br />
2L<br />
d2Q dQ<br />
+ 2 δ<br />
dt2 dt + ω2 0 Q = U0<br />
. (4.18)<br />
L<br />
und ω0 = 1<br />
√ LC<br />
(4.19)<br />
δ heißt Abklingkoeffizient, Dämpfungskonstante (in s −1 ) und ist ein Maß für die<br />
Dämpfung; ω0 ist die Kreisfrequenz der ungedämpften freien Schwingung.<br />
Das Verhältnis von Abklingkoeffizient und Kreisfrequenz ist dimensionslos und heißt Dämpfungsgrad<br />
D der gedämpften Schwingung:<br />
D = δ<br />
ω0<br />
= R<br />
2 ·<br />
�<br />
C<br />
L .<br />
d = 2 ·D ist der Verlustfaktor und das Inverse davon die Güte:<br />
Q = 1<br />
2D<br />
= 1<br />
R ·<br />
�<br />
L<br />
. (4.20)<br />
C<br />
Der gesamte Ohmsche Widerstand R des Schwingkreises, in dem unter anderem auch der<br />
Ohmsche Widerstand der Spule enthalten ist, trägt zu Energieverlusten bei. Durch diese<br />
Dämpfung verringern sich die Kreisfrequenz und die Güte des Schwingkreises.<br />
Gleichung 4.18 ist eine inhomogene lineare DGL 2. Ordnung. Die allgemeine Lösung dieser<br />
DGL ist die Summe aus der allgemeinen Lösung der homogenen und einer beliebigen Lösung<br />
der inhomogenen Gleichung: Q(t) = Qh(t) + Qp(t). Qp(t) nennt man partikuläre Lösung.<br />
Die Gesamtlösung enthält zwei Integrationskonstanten, die durch die Anfangsbedingungen<br />
des Schwingungsproblems bestimmt werden müssen.
128 Kapitel 4. Elektrizitätslehre<br />
Lösung der homogenen Differentialgleichung<br />
Die homogene Differentialgleichung<br />
wird gelöst durch den Ansatz:<br />
d2Q dQ<br />
+ 2 δ<br />
dt2 dt + ω2 0 Q = 0 (4.21)<br />
Q(t) = Q0 · e λt ˙ Q(t) = λ · Q(t) ¨ Q(t) = λ 2 · Q(t)<br />
Einsetzen in die Differentialgleichung liefert:<br />
mit den Lösungen:<br />
(λ 2 + 2δλ + ω 2 0) · Q(t) = 0 → λ 2 + 2δλ + ω 2 0 = 0<br />
λ1,2 = −δ ±<br />
�<br />
δ 2 − ω 2 0 = −δ ± √ − ω 2 = − δ ± iω (4.22)<br />
mit ω 2 = ω 2 0 − δ 2 . Die allgemeine Lösung der homogenen DGL orientiert sich daran, ob der<br />
Dämpfungsgrad D größer, gleich oder kleiner als 1 ist. Allgemein gilt:<br />
Qh(t) = A · e λ1t + B · e λ2t<br />
Die homogene DGL entspricht dem Fall, dass keine Spannung anliegt. Die Lösungen dieser<br />
Gleichung beschreiben folglich die Entladung eines bereits aufgeladenen Kondensators. Das<br />
muss bei den Randbedingungen berücksichtigt werden. Für die drei folgenden Situationen<br />
haben die Randbedingungen für die exakte Lösung immer die gleiche Form:<br />
Qh(0) = Q0 = CU0 und<br />
Kriechfall (δ > ω0, D > 1)<br />
dQh<br />
dt |(0) = I(0) = 0 (4.23)<br />
Beim Kriechfall ist die Dämpfung so stark, dass der Kondensator sehr langsam entladen wird<br />
und nur asymptotisch seine Spannung verliert. Es findet keine Schwingung statt!<br />
Mit den beiden Integrationskonstanten folgt:<br />
Qh(t) =<br />
“<br />
−δ+<br />
A · e<br />
√ δ 2 −ω 2 0<br />
”<br />
“ √ ”<br />
t −δ− δ2−ω2 0 t<br />
+ B · e<br />
Mit den Randbedingungen ergibt sich für die Konstanten in Gleichung 4.24:<br />
A = CU0 · δ + � δ2 − ω2 0<br />
2 � δ2 − ω2 , B = CU0 ·<br />
0<br />
−δ + � δ2 − ω2 0<br />
2 � δ2 − ω2 0<br />
(4.24)<br />
Abb. 4.10 zeigt für R = 320 Ω, L = 9,0 mH und C = 2,2 µF den Spannungsabfall am Kondensator<br />
und den Strom I. Der Kondensator war zu Beginn geladen mit einer Spannung von<br />
10 V. Beim Kriechfall stellt sich die Spannung nur sehr langsam und ohne überzuschwingen
4.4. Gedämpfter LC-Schwingkreis 129<br />
Spannung (V)<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
-2<br />
-4<br />
-6<br />
-8<br />
Aperiodischer Grenzfall<br />
Schwingfall<br />
Kriechfall<br />
-10<br />
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005<br />
Zeit (s)<br />
Strom (A)<br />
0.15<br />
0.1<br />
0.05<br />
0<br />
-0.05<br />
-0.1<br />
Schwingfall<br />
Kriechfall<br />
Aperiodischer Grenzfall<br />
-0.15<br />
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005<br />
Abbildung 4.10: Kondensatorspannung und Strom beim Entladen (Schwingfall, Kriechfall<br />
und Aperiodischer Grenzfall)<br />
ein. Auch der Entladestrom schwingt nicht über und bleibt relativ klein.<br />
Aperiodischer Grenzfall (δ = ω0, D = 1)<br />
Beim aperiodischen Grenzfall wird die Dämpfung so gering, dass der Kondensator in der<br />
kürzesten Zeit entladen wird. Auch in diesem Fall kommt es zu keinen Schwingungen. Der<br />
Strom zeigt ebenfalls keine Schwingungen, ist aber wegen der kürzeren Entladungszeit größer<br />
als der im Kriechfall. Wegen δ = ω0 verschwindet in Glg. 4.22 die Wurzel. Damit man für<br />
die einzustellenden Anfangsbedingungen wieder zwei Integrationskonstanten zur Verfügung<br />
hat, nimmt die Lösung folgende allgemeine Form an (mit den Anfangsbedingungen folgt:<br />
A = CU0 und B = δA):<br />
Qh(t) = e −δt · (A + Bt) → Qh(t) = CU0 · e −δt · (1 + δ · t) (4.25)<br />
UC(t) = U0 · e −δt · (1 + δ · t) und I(t) = −δ 2 e −δt CU0 · t (4.26)<br />
Abb. 4.10 zeigt für den gleichen Schwingkreis neben dem Kriechfall auch den aperiodischen<br />
Grenzfall. Der Ohmsche Widerstand beträgt hier jedoch R = 2· � L/C = 127,9 Ω.<br />
Schwingfall (δ < ω0, D < 1)<br />
Wenn die Dämpfung noch kleiner wird, stellt sich die Spannung am Kondensator erst nach<br />
einem Einschwingvorgang auf den endgültigen Wert ein. Die Wurzel im Exponenten von Glg.<br />
4.22 wird jetzt rein imaginär. Die allgemeine Lösung nimmt dann die folgende Form an:<br />
Qh(t) = e −δt · � A ′ e iωt + B ′ e −iωt�<br />
Zeit (s)
130 Kapitel 4. Elektrizitätslehre<br />
In dieser Relation ist sowohl Real- wie auch Imaginärteil Lösung der DGL. Man kann daher<br />
mit anderen Integrationskonstanten schreiben:<br />
Qh(t) = e −δt · (A cos ωt + B sin ωt)<br />
Mit den bekannten Anfangsbedingungen (Glg. 4.23) findet man A = CU0 und B = Aδ/ω,<br />
also:<br />
Qh(t) = CU0 · e −δt �<br />
· cos ωt + δ<br />
�<br />
sin ωt<br />
(4.27)<br />
ω<br />
Abb. 4.10 zeigt für den gleichen Schwingkreis, jedoch mit einem kleineren Ohmschen Widerstand<br />
(R = 12, 8Ω) die Situation, bei der es deutlich zu einem Überschwingen kommt.<br />
Bei kleiner Dämpfung verläuft Qh(t) und damit auch UC(t) annähernd wie ein Cosinus. Der<br />
Strom ergibt sich durch die Zeitableitung von Glg. 4.27 und hat die Form eines gedämpften<br />
Sinus:<br />
UC(t) = U0 · e −δt �<br />
· cos ωt + δ<br />
�<br />
sin ωt<br />
(4.28)<br />
ω<br />
I(t) = − CU0 · e −δt �<br />
· ω + δ2<br />
�<br />
· sin ωt (4.29)<br />
ω<br />
Zwischen beiden hat man also ungefähr eine Phasenverschiebung von π/2. Der Strom eilt<br />
der Spannung voraus.<br />
Lösung der inhomogenen Differentialgleichung<br />
Wenn nicht die Entladung sondern die Aufladung des Kondensators in einem Schwingkreis<br />
untersucht wird, muss die inhomogene DGL 4.18 gelöst werden. Dies geschieht, indem man<br />
eine beliebige partikuläre Lösung dieser Glg. sucht. Da in diesem Fall der inhomogene Teil<br />
eine Konstante ist, erfüllt Qp = CU0 die DGL. Zu allen allgemeinen Lösungen der homogenen<br />
DGL tritt der partikuläre Teil additiv hinzu. Bei allen drei im folgenden aufgeführten Fällen<br />
sind die Anfangsbedingungen gegeben durch:<br />
Kriechfall (δ > ω0, D > 1)<br />
Die allgemeine Lösung lautet:<br />
Q(0) = 0 und<br />
Q(t) =<br />
“<br />
−δ+<br />
CU0 + A · e<br />
√ δ 2 −ω 2 0<br />
dQ(0)<br />
dt<br />
= I(0) = 0<br />
”<br />
“ √ ”<br />
t −δ− δ2−ω2 0 t<br />
+ B · e<br />
Mit den Anfangsbedingungen findet man für die Integrationskonstanten:<br />
A = −CU0 · δ + � δ 2 − ω 2 0<br />
2 � δ 2 − ω 2 0<br />
B = CU0 · δ − � δ 2 − ω 2 0<br />
2 � δ 2 − ω 2 0
4.4. Gedämpfter LC-Schwingkreis 131<br />
Spannung (V)<br />
20<br />
18<br />
16<br />
14<br />
12<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
Schwingfall<br />
Kriechfall<br />
Aperiodischer Grenzfall<br />
0<br />
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005<br />
Zeit (s)<br />
Strom (A)<br />
0.15<br />
0.1<br />
0.05<br />
0<br />
-0.05<br />
-0.1<br />
-0.15<br />
Aperiodischer Grenzfall<br />
Kriechfall<br />
Schwingfall<br />
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005<br />
Abbildung 4.11: Kondensatorspannung und Strom beim Aufladen (Schwingfall, Kriechfall<br />
und Aperiodischer Grenzfall)<br />
Aperiodischer Grenzfall (δ = ω0, D = 1)<br />
Allgemeine Lösung:<br />
Q(t) = CU0 + e −δt · (A + Bt)<br />
Mit den Integrationskonstanten A = −CU0 und B = δA folgt für die Lösung:<br />
Q(t) = CU0 · � 1 − e −δt · (1 + δ · t) �<br />
Schwingfall (δ < ω0, D < 1)<br />
Allgemeine Lösung:<br />
Q(t) = CU0 + e −δt · (A cos ωt + B sin ωt)<br />
Mit den Anfangsbedingungen folgt für die Lösung:<br />
Q(t) = CU0 ·<br />
�<br />
1 − e −δt ·<br />
�<br />
cos ωt + δ<br />
sin ωt<br />
ω<br />
und damit für Spannung UC und Strom I:<br />
UC(t) =<br />
�<br />
U0 · 1 − e −δt �<br />
· cos ωt + δ<br />
I(t) =<br />
ω<br />
CU0 · e −δt �<br />
· ω + δ2<br />
�<br />
sin ωt<br />
ω<br />
��<br />
��<br />
sin ωt<br />
Zeit (s)
132 Kapitel 4. Elektrizitätslehre<br />
Elektrische und Magnetische Energie<br />
Der Energiesatz ist ein erstes Integral der zugrunde liegenden Bewegungsgleichung (Differentialgleichung).<br />
Daher kann man aus dem Energiesatz wieder die DGL herleiten.<br />
Wenn im Schwingkreis ein Strom fließt, sorgt der Ohmsche Widerstand für Verluste durch<br />
Umwandlung der Energie in Wärme. Wenn Eges die zur Zeit t noch vorhandene Gesamtenergie<br />
ist, beträgt die Verlustleistung: − dEges<br />
dt = I · UR = I2 · R<br />
Die Gesamtenergie des Schwingkreises setzt sich zu jedem Zeitpunkt aus der Summe der<br />
magnetischen (Induktivität) und der elektrostatischen Energien (Kapazität) zusammen:<br />
Eges = 1<br />
2 LI2 + 1<br />
2<br />
Mit der Verlustleistung und mit I = dQ/dt folgt:<br />
− d<br />
�<br />
1<br />
dt 2 LI2 + 1 Q<br />
2<br />
2 �<br />
C<br />
Diese Gleichung ist identisch mit Glg. 4.17.<br />
Q 2<br />
C<br />
= I 2 R → L · d2Q dQ<br />
+ R ·<br />
dt2 dt<br />
+ 1<br />
C<br />
· Q = 0<br />
Während des Entladeprozesses, aber auch während des Aufladeprozesses, schwingt die Energie<br />
zwischen der magnetischen Feldenergie der Spule Emagn = 1<br />
2LI2 und der elektrischen<br />
Feldenergie des Kondensators Eel = 1 Q<br />
2<br />
2<br />
hin und her. Bei sehr kleinem Dämpfungsgrad<br />
C<br />
(D
4.4. Gedämpfter LC-Schwingkreis 133<br />
mit<br />
ω = 2π · f =<br />
�<br />
ω 2 0 − δ 2 , ω0 =<br />
1<br />
√ L · C<br />
und δ = R<br />
2 · L<br />
(4.31)<br />
Wurde der Vorversuch zur Charakterisierung der Spulen nicht durchgeführt, müssen die<br />
Spulen mit Hilfe der Ergebnisse der Schwingungsversuche charakterisiert werden. Mit den<br />
Gleichungen 4.31 folgt:<br />
L =<br />
1<br />
(ω 2 + δ 2 ) · C<br />
und R =<br />
2δ<br />
(ω 2 + δ 2 ) · C<br />
Wurden die Vorversuche zur Charakterisierung der Spulen und Kondensatoren nicht durchgeführt,<br />
müssen die Spulen und Kondensatoren mit Hilfe eines R − δ - Diagramms und eines<br />
ω 2 - δ 2 - Diagramms charakterisiert werden.<br />
4.4.2 Versuchsaufbau<br />
Der Schwingkreis wird gemäß Abbildung 4.12 auf der Rastersteckplatte aufgebaut. Der Strom<br />
fließt durch Eingang A des Sensor-CASSYs und die Kondensatorspannung wird an Eingang<br />
B gemessen (ebenfalls am Oszilloskop). Zu Beginn des Experiments wird der Kondensator<br />
aus der Spannungsquelle S aufgeladen. Zum Start der Schwingung wird der Taster gedrückt,<br />
welcher dabei die Spannungsquelle S kurzschließt.<br />
12 V<br />
INPUT A<br />
INPUT B<br />
R<br />
S<br />
I<br />
U<br />
U<br />
− +<br />
SENSOR−CASSY 524010<br />
Benötigte Geräte:<br />
1 Sensor-CASSY<br />
1 Rastersteckplatte, DIN A4<br />
1 Kondensator 1 µF<br />
1 Kondensator 2,2 µF<br />
1 Kondensator 4,7 µF<br />
1 Kondensator 10 µF<br />
1 Spule 250 Windungen<br />
1 Spule 500 Windungen<br />
1 Spule 1000 Windungen<br />
1 Satz Brückenstecker<br />
3 Paar Kabel, 50 cm rot/blau<br />
1 Taster<br />
1 Potentiometer<br />
Abbildung 4.12: Schaltbild zur Aufnahme von freien, gedämpften Auflade- bzw. Entlade-<br />
Schwingungen
134 Kapitel 4. Elektrizitätslehre<br />
4.4.3 Versuchsdurchführung<br />
• Ladespannung U0 am Kondensator einstellen - dazu Spannungsquelle S entsprechend<br />
einstellen<br />
• Spannungsquelle S auf EIN (1) bei Messung Entladevorgang, auf AUS (0) mit automatischer<br />
Umschaltung auf EIN (1) bei Beginn der Messung des Ladevorgangs.<br />
• Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs und<br />
die Anzahl auf 2000 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 20 ms. Die Zeitbasis<br />
am Oszilloskop entsprechend einstellen.<br />
• Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen weiterhin einen geeigneten<br />
Trigger für den Entladevorgang bzw. Ladevorgang einstellen! Diesen Trigger auch am<br />
Oszilloskop einstellen.<br />
• Messung mit F9 starten (wartet dann auf Triggersignal)<br />
• Schwingkreis mit Taster schließen (erzeugt Triggersignal)<br />
• Ohmschen Widerstand R variieren und Messungen wiederholen!<br />
• Zur Bestimmung des aperiodischen Grenzfalls Potentiometer verwenden (Widerstand<br />
mit Digitalvoltmeter bei ausgeschalteter Spannungsquelle messen).<br />
4.4.4 Versuchsauswertung<br />
Schwingfall, Frequenzbestimmung<br />
Erstes Verfahren zur Frequenzbestimmung f:<br />
Bestimmen sie die mittlere Periodendauer T und dem mittleren Fehler σ T der Schwingung<br />
aus dem zeitlichen Verhalten der gemessenen Kondensatorspannung UB1 oder des Stromes<br />
IA1 (Abbildung 4.13b). Benutzen sie dazu entweder die Nulldurchgänge oder die Lage der<br />
Minima und Maxima der Amplituden. Schätzen sie die Ablesefehler sinnvoll ab. Für die<br />
Frequenz f gilt dann:<br />
f = 1<br />
T<br />
→ σf<br />
f = σ T<br />
T<br />
Zweites Verfahren zur Frequenzbestimmung f:<br />
Die Frequenz f der Schwingung lässt sich im Frequenzspektrum ermitteln, welches mittels einer<br />
Fouriertransformation der gemessenen Kondensatorspannung UB1 bzw. dem gemessenen<br />
Strom IA1 bestimmt werden kann. Die Frequenz f wird bestimmt mittels Ablesen mit dem<br />
Auge oder der Peakschwerpunktsmethode und der Fehler muss sinnvoll abgeschätzt werden<br />
(Abbildung 4.14a).<br />
Vergleichen sie die beiden Verfahren und bestimmen sie die Frequenzen für verschiedene<br />
zusätzliche Ohm’sche Widerstände.
4.4. Gedämpfter LC-Schwingkreis 135<br />
b)<br />
a)<br />
Abbildung 4.13: a) Auflade- bzw. b) Entlade-Schwingungen
136 Kapitel 4. Elektrizitätslehre<br />
Schwingfall, Bestimmung der Dämpfungskonstanten δ<br />
Erstes Verfahren:<br />
Die Amplitude der Kondensatorspannung UC(t) oder des Stroms I(t) nimmt exponentiell<br />
mit der Zeit ab (Gleichung 4.23) . Für das Verhältnis der Amplituden An gilt:<br />
An+1 = An · e −δ·(tn+1−tn) → δn =<br />
� �<br />
An ln An+1<br />
(tn+1 − tn) → δn =<br />
Schätzen sie den Ablesefehler sinnvoll ab und für den Fehler σδi gilt dann:<br />
σδn = 1<br />
�<br />
�σAn<br />
�2 � �2 σAn+1<br />
·<br />
+ + (δn · σTn) 2<br />
Tn<br />
An<br />
An+1<br />
� �<br />
An ln An+1<br />
Bestimmen sie die mittlere Dämpfungskonstante δ und den mittleren Fehler σoverlineδ der<br />
Dämpfungskonstanten.<br />
Zweites Verfahren:<br />
Die Dämpfungskonstante δ und deren Fehler σδ ergeben sich aus der Anpassung einer<br />
Einhüllenden an die Messung UC(t) (Abbildung 4.14b).<br />
Vergleichen sie die beiden Verfahren und bestimmen sie die Dämpfungskonstanten für verschiedene<br />
zusätzliche Ohm’sche Widerstände.<br />
Wurden der Kondensator und die Spule in den Vorversuchen charakterisiert, dann bestimmen<br />
Sie die Kreisfrequenz ω, die Dämpfungskonstante δ und vergleichen sie ihre Ergebnisse<br />
mit den Vorhersagen gemäß den Ergebnissen der Voruntersuchungen, eingesetzt in die Gleichungen<br />
4.31.<br />
Wurden die Bauteile nicht in den Vorversuchen charakterisiert, dann wählen sie geeignete<br />
Auftragungen, um die Spulen (L und RL) und die Kondensatoren (C) aus der Variation der<br />
Dämpfung zu charakterisieren.<br />
Die Dämpfungskonstante δ ist linear abhängig von dem Gesamtwiderstand Rges der Schaltung.<br />
Bei der Autragung des zuätzlich gesteckten Widerstandes R gegen die Dämpfungskonstante<br />
δ kann aus der Steigung der Geraden die Induktivität L der Spule bestimmt<br />
werden und aus dem Achsenabschnitt der Restwiderstand der Schaltung (Innenwiderstand<br />
der Spule RL, Innenwiderstand Amperemeter und Verlustwiderstände).<br />
Trägt man das Quadrat der Kreisfrequenz ω gegen das Quadrat der Dämpfungskonstanten<br />
δ auf, so kann aus dem Achsenabschnitt die Kapazität C bestimmt werden. Die Steigung<br />
der Geraden muss dann auf −1 festgesetzt werden. Alternativ bestimmt man Ci direkt aus<br />
den Einzelmessungen<br />
Ci =<br />
1<br />
(ω2 i + δ2 i ) · Li<br />
Tn
4.4. Gedämpfter LC-Schwingkreis 137<br />
und fasst die Einzelergebnisse mit dem gewichteten Mittel zusammen.<br />
Aufgrund der Umpolarisierung des Dielektrikums des Kondensators und der Ummagnetisierung<br />
des Spulenmaterials durch die Wechselspannung bzw. Wechselstrom der Schwingung<br />
treten zusätzliche Verlustwiderstände auf (siehe Anhang 4.6). Berücksichtigen Sie den Beitrag<br />
der Verlustwiderstände zu den Ergebnissen der Voruntersuchungen und vergleichen Sie<br />
dies mit ihren Ergebnissen.<br />
a) b)<br />
Abbildung 4.14: Beispielmessung einer freien, gedämpften Schwingung (C = 2, 2 µF, Spule<br />
mit 500 Windungen (L = 9 mH, RL = 2, 2 Ω)). a) Frequenzspektrum mittels Fouriertransformation,<br />
Anpassung mittels Fanofunktion, b) Anpassung einer Einhüllenden an UC(t)<br />
Aperiodischer Grenzfall, Bestimmung des Widerstands Rap<br />
Erhöhen sie den Ohm’schen Widerstand R der Schaltung, bis sich der Kondensator in der<br />
kürzesten Zeit entlädt. In diesem Fall gilt:<br />
δ = ω0 → (Rap)<br />
2 · L =<br />
�<br />
1<br />
L<br />
√ → Rap = 2 ·<br />
L · C C → (R + RL<br />
�<br />
L<br />
+ RRest) = 2 ·<br />
C<br />
Bestimmen sie den Widerstand des aperiodischen Grenzfalls Rap und dessen Fehler σRap und<br />
vergleichen sie ihr Ergebnis mit den Erwartungen.
138 Kapitel 4. Elektrizitätslehre<br />
4.5 Gekoppelte LC-Schwingkreise<br />
4.5.1 Versuchsbeschreibung<br />
Ein elektrischer Schwingkreis 1 kann induktiv mit einem zweiten erregten Schwingkreis 2<br />
koppeln. Der Kreis 1 wird dadurch zu erzwungenen Schwingungen erregt. Die Resonanz tritt<br />
auf, wenn ω1 = ω2 ist. Dann wird die Erscheinung der Schwebung beobachtet: Die Schwingungsenergie<br />
pendelt zwischen den Kreisen hin und her (gekoppelte Schwingungen).<br />
Bei diesem Versuch werden die Fundamentalschwingungen und die Schwebung der gekoppelten<br />
Schwingkreise aufgezeichnet. Dazu wird das Frequenzspektrum der gekoppelten Schwingkreise<br />
mit dem Spektrum eines ungekoppelten Schwingkreises verglichen. Das fouriertransformierte<br />
Signal der gekoppelten Schwingkreise zeigt die Aufspaltung in zwei symmetrisch<br />
um das ungekoppelte Signal liegende Verteilungen, deren Abstand von der Kopplung der<br />
Schwingkreise abhängt.<br />
Ausgehend von den Differentialgleichungen der gekoppelten Schwingkreise:<br />
Ï1 + k · Ï2 + I1<br />
L · C<br />
Ï2 + k · Ï1 + I2<br />
L · C<br />
= 0 (4.32)<br />
= 0 (4.33)<br />
mit Kopplung k (0 < k < 1) folgen die beiden Eigenfrequenzen ω+ und ω− zu<br />
ω0<br />
√ 1 + k = ω+ < ω0 < ω− = ω0<br />
√ 1 − k .<br />
Insbesondere ist die Schwingungsfrequenz des gekoppelten Systems gleich (für kleine k).<br />
→ k1 =<br />
� �2 ω0<br />
ω+<br />
− 1, k2 = 1 −<br />
ω+ + ω−<br />
2<br />
� ω0<br />
ω−<br />
=<br />
ω0<br />
√ 1 − k 2<br />
≈ ω0<br />
�2 � �<br />
�<br />
� �2 � �2 2ω0 σω0 ω0<br />
, σk = ·<br />
+ ·<br />
1/2<br />
ω+/− ω+/− ω+/−<br />
Hinweis:<br />
Die Aufspaltung in zwei exakt gleich große Signale gelingt nur bei genau gleichen Schwingkreisen.<br />
Durch Toleranzen der Induktivitäten L und der Kapazitäten C ist das nicht immer<br />
genau gegeben. Es sollen die Kondensatoren und Spulen verwendet werden, die bei den<br />
Voruntersuchungen und den freien gedämpften Schwingungen charakterisiert worden sind.<br />
Die Kopplungen k1 und k2 werden aus den beiden Frequenzen der Fundamentalschwingungen<br />
(Moden) f1 und f2 berechnet und sollten innerhalb der Fehler den gleichen Zahlenwert für<br />
die Kopplung ergeben. Für die im weiteren Verlauf gezeigten Messungen trifft das zu, wenn<br />
σω0 ≈ σω +/− ≈ 10 Hz beträgt. Dann findet man k1 = 0,109, k2 = 0,133 und σk = 0,029.<br />
� �2 σω +/−<br />
ω+/−
4.5. Gekoppelte LC-Schwingkreise 139<br />
4.5.2 Analogie zu gekoppelten Pendeln in der Mechanik<br />
Die Situation der induktiv gekoppelten elektrischen Schwingkreise entspricht der von gekoppelten<br />
Pendeln (Teil I, Mechanik), mit dem Unterschied, dass die Kopplung bei den<br />
Schwingkreisen durch Spannungen hervorgerufen wird, die in den Spulen induziert werden.<br />
In den Differentialgleichungen treten daher Terme der Form kL · ˙ I auf. Die Konstante k<br />
gibt den Kopplungsgrad an. Das führt im Gegensatz zu gekoppelten Pendeln dazu, dass die<br />
Kopplungsstärke für beide Fundamentalschwingungen eine Rolle spielt.<br />
Bei Schwingkreisen, die mit identischen Komponenten aufgebaut werden, gelten die Differentialgleichungen<br />
(Summen der Spannungen verschwinden):<br />
� I1<br />
C · dt + L · I1<br />
˙ + kL · ˙ I2 = 0 (Schwingkreis 1)<br />
�<br />
I2<br />
C · dt + L · I2<br />
˙ + kL · ˙ I1 = 0 (Schwingkreis 2)<br />
Hier wurden Dämpfungsterme zunächst vernachlässigt. Differentiation nach der Zeit führt<br />
zu der Standardform der gekoppelten Differentialgleichungen (Gleichungen 4.32, 4.33). Die<br />
Addition der Gleichungen 4.32 und 4.33 ergibt:<br />
Durch Umformung findet man:<br />
( Ï1 + Ï2) + 1<br />
L C · (I1 + I2) + k · ( Ï1 + Ï2) = 0<br />
Ï+ +<br />
1<br />
LC · (1 + k) · I+ = 0<br />
wobei I+ = I1 + I2 einer der beiden ’Fundamentalströme’ ist. Daraus erhält man die Kreisfrequenz<br />
dieser Fundamentalschwingung:<br />
ω+ =<br />
1<br />
� LC · (1 + k) =<br />
ω0<br />
√ 1 + k<br />
(4.34)<br />
ω0 = 1/ √ LC ist dabei die Kreisfrequenz der einzelnen Schwingkreise ohne Kopplung. Diese<br />
Fundamentalschwingung kann angeregt werden, wenn man in der Schaltung beide Kondensatoren<br />
in der Art auflädt, dass die Ströme I1 und I2 parallel durch die Spulen fließen<br />
(Abbildung 4.15a). In gleicher Weise ergibt die Subtraktion der beiden Gleichungen:<br />
Ï− +<br />
1<br />
LC · (1 − k) · I− = 0<br />
wobei I− = I1 − I2 der zweite ’Fundamentalstrom’ ist.<br />
Diese Fundamentalschwingung hat die Kreisfrequenz:<br />
ω− =<br />
1<br />
� LC · (1 − k) =<br />
ω0<br />
√ 1 − k<br />
(4.35)
140 Kapitel 4. Elektrizitätslehre<br />
a)<br />
U C1<br />
C<br />
1<br />
+ U0<br />
L<br />
C<br />
L<br />
1 2 2<br />
+<br />
U 0<br />
U<br />
C2<br />
b)<br />
U C1<br />
C<br />
1<br />
+ U0<br />
L<br />
C<br />
L<br />
1 2 2<br />
Abbildung 4.15: Fundamentalschwingungen zweier gekoppelter Schwingkreise a) gleichsinnige<br />
und b) gegensinnige Anregung<br />
Diese Schwingung kann angeregt werden, wenn in der Schaltung die Kondensatoren entgegengesetzt<br />
aufgeladen werden, so dass die Ströme in entgegengesetzter Richtung durch die<br />
Spulen fließen (Abbildung 4.15b).<br />
Beide Fundamentalschwingungen zeigen, wie in der Mechanik, keine Schwebungserscheinungen<br />
sondern wegen der Dämpfung einen einfachen exponentiellen Abfall der maximalen Amplituden.<br />
Die Strom-Kombination I+ entspricht dem Fall gleichsinnig ausgelenkter Pendel;<br />
dies führt zu einer kleinen Schwingungsfrequenz. I− dagegen entspricht den gegensinnig ausgelenkten<br />
Pendeln (die Kopplung wirkt sich dann stärker aus) und führt zu einer größeren<br />
Schwingungsfrequenz.<br />
Wenn man die Frequenzen der Fundamentalschwingungen und vielleicht der nicht-gekoppelten<br />
Schwingkreise gemessen hat, kann man mit Hilfe der Gleichungen 4.34 und 4.35 den Kopplungsgrad<br />
der Schwingkreise bestimmen:<br />
k = f 2 − − f 2 +<br />
f 2 − + f 2 +<br />
Wenn durch die Wahl der Anfangsbedingungen ’Schwebung’ eingestellt wird, ergibt sich wie<br />
in der Mechanik durch die Mittelung der Schwingungsfrequenzen f+ unf f− die Frequenz der<br />
gekoppelten Schwingung:<br />
fk = f− + f+<br />
2<br />
≈ f0 ,<br />
und aus der halben Differenz erhält man die Frequenz der Schwebung:<br />
fschw = f− − f+<br />
.<br />
2<br />
Berücksichtigung der Dämpfung (einige wichtige Relationen):<br />
Die Differentialgleichungen für die beiden Fundamentalschwingungen haben dann folgende<br />
Form:<br />
Ï+ +<br />
Ï− +<br />
R<br />
· ˙<br />
1<br />
I+ +<br />
L(1 + k) LC · (1 + k) · I+ = 0<br />
R<br />
· ˙<br />
1<br />
I− +<br />
L(1 − k) LC · (1 − k) · I− = 0<br />
+<br />
U 0<br />
U<br />
C2
4.5. Gekoppelte LC-Schwingkreise 141<br />
Mit den Definitionen<br />
folgt:<br />
β± =<br />
R<br />
2L(1 ± k) , ω2 ±0 =<br />
Die Lösungen der Gleichungen 4.36 sind:<br />
1<br />
LC(1 ± k)<br />
ϱ + 2β± · ˙<br />
I± + ω 2 ±0 · I± = 0 (4.36)<br />
I± = e −β±t · (a± sin ω±t + b± cos ω±t)<br />
mit den Kreisfrequenzen ω2 ± = ω2 ±0 − β2 ±. Die Größen a± und b± sind vier Integrationskonstanten,<br />
die durch die Anfangsbedingungen festgelegt werden.<br />
Die messbaren Größen sind nicht die Kombinationen I±, sondern die Ströme und z. B. die<br />
Kondensatorspannungen in den beiden Schwingkreisen. Die Kondensatorspannungen sollen<br />
jetzt andeutungsweise berechnet werden. Die Ströme in den Schwingkreisen berechnen sich<br />
durch I1 = (I++I−)/2 bzw. I2 = (I+−I−)/2. Daraus lassen sich die gesuchten Spannungen<br />
(etwas aufwendig) berechnen:<br />
U1/2 = 1<br />
C ·<br />
= 1<br />
C<br />
± 1<br />
C<br />
�<br />
· e−β+t<br />
ω 2 +0<br />
I1/2dt<br />
· e−β−t<br />
ω 2 −0<br />
· { a+<br />
2 · (−β+ sin ω+t − ω+ cos ω+t)<br />
+ b+<br />
2 · (−β+ cos ω+t + ω+ sin ω+t)}<br />
· { a−<br />
2 · (−β− sin ω−t − ω− cos ω−t)<br />
+ b−<br />
2 · (−β− cos ω−t + ω− sin ω−t)}<br />
Die Anfangsbedingungen werden meist so gewählt, dass die Kondensatoren für t = 0 durch<br />
die Spannungen U10 und U20 aufgeladen sind und zunächst kein Strom fließt. Aus I1(0) =<br />
I2(0) = 0 folgt immer b+ = b− = 0. Für die Kondensatorspannungen für t = 0 findet man<br />
dann<br />
a+ω+<br />
2ω 2 +0<br />
a+ω+<br />
2ω 2 +0<br />
+ a−ω−<br />
2ω 2 −0<br />
− a−ω−<br />
2ω 2 −0<br />
= − U10(0) · C<br />
= − U20(0) · C<br />
Damit ergeben sich folgende Lösungen für die Kondensatorspannungen:<br />
• Gleichsinnige Aufladung: U10 = U20 = U0:<br />
U1 = U2 = U0 · e−β+t<br />
ω+<br />
· (β+ sin ω+t + ω+ cos ω+t)<br />
Abbildung 4.16a zeigt oben die Spannung am Kondensator 1 und 2.
142 Kapitel 4. Elektrizitätslehre<br />
a)<br />
Spannung (V)<br />
Spannung (V)<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
-5<br />
-10<br />
-15<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
-5<br />
-10<br />
-15<br />
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5<br />
x 10 -2<br />
t(s)<br />
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5<br />
x 10 -2<br />
t(s)<br />
b)<br />
Spannung (V)<br />
Spannung (V)<br />
10<br />
7.5<br />
5<br />
2.5<br />
0<br />
-2.5<br />
-5<br />
-7.5<br />
-10<br />
10<br />
7.5<br />
5<br />
2.5<br />
0<br />
-2.5<br />
-5<br />
-7.5<br />
-10<br />
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02<br />
t(s)<br />
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02<br />
t(s)<br />
Abbildung 4.16: a) Fundamentalschwingungen und b) Schwebung zweier gekoppelter<br />
Schwingkreise mit R = 2, 5 Ω, L = 9 mH und C = 1, 0 µF<br />
• Gegensinnige Aufladung: U10 = −U20 = U0:<br />
U1 = −U2 = U0 · e−β−t<br />
ω−<br />
· (β− sin ω−t + ω− cos ω−t)<br />
Abbildung 4.16a zeigt unten die Spannung am Kondensator 1. Am 2. Kondensator ist<br />
die Spannung entgegengesetzt. Die Frequenz ist höher als bei gleichsinniger Aufladung!<br />
• Schwebung: U10 = U0 und U20 = 0:<br />
· (−β+ sin ω+t − ω+ cos ω+t)}<br />
2ω+<br />
± e −β−t 1<br />
· { · (−β− sin ω−t − ω− cos ω−t)}]<br />
2ω−<br />
U1/2 = U0 · [e −β+t · { 1<br />
Abbildung 4.16b zeigt oben die Spannung am Kondensator 1 und unten am Kondensator<br />
2.<br />
Phasenbeziehungen bei gekoppelten Schwingungen<br />
Um Schwebungsvorgänge aufzuzeichnen, wird der Kondensator des ersten Schwingkreises<br />
aufgeladen, während der des zweiten Schwingkreises ungeladen bleibt. Wenn beide Schwingkreise<br />
über die Spulen miteinander gekoppelt sind und der Schwingungsvorgang gestartet<br />
wird, erwartet man, dass immer dann, wenn z. B. die Kondensatorspannung des ersten<br />
Kreises einen Nulldurchgang hat, die des zweiten Schwingkreises ein Extremum zeigt und<br />
umgekehrt.
4.5. Gekoppelte LC-Schwingkreise 143<br />
Beobachtet wird dagegen, dass die Extrema des einen gegen die Nulldurchgänge des anderen<br />
Schwingkreises verschoben sind. Das liegt an den Dämpfungen in den beiden Kreisen. Bei<br />
ungedämpften Schwebungen würde die soeben erwähnte Phasenbeziehung exakt gelten.<br />
Am besten sind die Verschiebungen zu erkannen, wenn man die Einhüllenden der Schwebungsvorgänge<br />
skizziert. Die Einhüllenden haben die Dämpfung<br />
β = β− + β+<br />
2<br />
Abbildung 4.17: Schwebung bei gekoppelten Schwingungen<br />
und die Schwebungskreisfrequenz<br />
.<br />
2<br />
und werden für die hier verwendeten Anfangsbedingungen dargestellt durch:<br />
ωschw = ω− − ω+<br />
U1schm = U0 · e −βt · cos(ωschwt)<br />
U2schm = −U0 · e −βt · sin(ωschwt)<br />
Die Nulldurchgänge der Einhüllenden liegen bei:<br />
t1N =<br />
1<br />
· (<br />
ωschw<br />
π<br />
t2N =<br />
± nπ)<br />
2<br />
1<br />
· (± nπ)<br />
ωschw
144 Kapitel 4. Elektrizitätslehre<br />
Differentiation der Einhüllenden nach der Zeit und Nullsetzen liefert für die Extrema der<br />
Einhüllenden die Zeiten:<br />
� � � �<br />
1<br />
−β<br />
t1E = · arctan ± nπ<br />
ωschw<br />
ωschw<br />
� � � �<br />
1<br />
ωschw<br />
t2E = · arctan ± nπ<br />
β<br />
ωschw<br />
Die zeitliche Verschiebung z. B. zwischen den Nullstellen t1N und den Extrema t2E lässt sich<br />
berechnen und beträgt für Kopplungen k < 0, 2 ungefähr:<br />
∆t ≈<br />
1<br />
ωschw<br />
·<br />
�<br />
π<br />
2<br />
− arctan<br />
�<br />
k<br />
R ·<br />
� ��<br />
L<br />
C<br />
Für größere Kopplungsstärken wird die Relation komplizierter. Man erkennt bereits hieraus,<br />
dass für verschwindende Dämpfung (R ≈ 0) der arctan-Term gegen π/2 geht und damit die<br />
Zeitverschiebung verschwindet. Für große Dämpfung, aber auch für kleine Induktivität und<br />
große Kapazität, wird die Verschiebung beträchtlich, wie aus Abb. 4.17 zu erkennen ist.<br />
4.5.3 Versuchsaufbau<br />
a)<br />
12 V<br />
INPUT A<br />
INPUT B<br />
R<br />
S<br />
− +<br />
I<br />
U<br />
U<br />
SENSOR−CASSY 524010<br />
Benötigte Geräte:<br />
1 Sensor-CASSY<br />
1 Rastersteckplatte, DIN A4<br />
2 Kondensator 1, 2,2, 4,7, 10 µF<br />
2 Spulen 250, 500, 1000 Windungen<br />
5 Paar Kabel, 50 cm rot/blau<br />
1 Taster<br />
Abbildung 4.18: Schaltbild zur Aufnahme der Schwebung von gekoppelten Schwingungen<br />
Der erste Schwingkreis wird gemäß den Abbildungen 4.18 und 4.19 auf der Rastersteckplatte<br />
aufgebaut. Die Kondensatorspannung wird an Eingang B des Sensor CASSYs gemessen. Zu<br />
Beginn des Versuchs wird der Kondensator aus der Spannungsquelle S aufgeladen. Zum Start<br />
der Schwingung wird der Taster gedrückt, welcher dabei die Spannungsquelle S kurzschließt.
12 V<br />
INPUT A<br />
INPUT B<br />
R<br />
S<br />
−<br />
4.5. Gekoppelte LC-Schwingkreise 145<br />
I<br />
U<br />
U<br />
+<br />
SENSOR−CASSY 524010<br />
12 V<br />
INPUT A<br />
INPUT B<br />
R<br />
S<br />
−<br />
I<br />
U<br />
+<br />
SENSOR−CASSY 524010<br />
a) b)<br />
¡ ¡<br />
¡ ¡<br />
¡ ¡<br />
R<br />
S<br />
−<br />
SENSOR−CASSY 524010<br />
R<br />
S<br />
−<br />
SENSOR−CASSY 524010<br />
Abbildung 4.19: Schaltbild zur Aufnahme von gekoppelten Schwingungen bei a) gleichsinniger<br />
und b) gegensinniger Anregung<br />
Der zweite Schwingkreis wird separat aufgebaut. Seine Spule wird für die Kopplung der<br />
Schwingkreise direkt neben die erste Spule gestellt. Es kann die Spannung am zweiten Kondensator<br />
an Eingang A des Sensor-CASSYs gemessen werden. Bei gleichsinniger bzw. gegensinniger<br />
Anregung wird ebenfalls der zweite Kondensator aus der Spannungsquelle S<br />
aufgeladen. Zum Start der Schwingung wird der zweite Taster ebenfalls betätigt, welcher<br />
dabei die Spannungsquelle S kurzschließt.<br />
4.5.4 Versuchsdurchführung<br />
12 V<br />
INPUT A<br />
INPUT B<br />
• Ladespannung U0 einstellen - dazu Spannungsquelle S entsprechend einstellen, Spannungsquelle<br />
eingeschaltet lassen.<br />
• Polung der an den Schwingkreisen anliegenden Spannungen bei gleichsinniger bzw.<br />
gegensinniger Anregung einstellen.<br />
• Zur Beobachtung der Schwebung nur an einen Schwingkreis Spannung anlegen<br />
• Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs<br />
und die Anzahl auf 2000 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 20 ms<br />
• Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen weiterhin einen geeigneten<br />
Trigger (z.B. UB1 = 5 V, fallende Tendenz) einstellen!<br />
• Messung mit F9 starten (wartet dann auf Triggersignal)<br />
• Schwingkreis mit Taster schließen (erzeugt Triggersignal)<br />
• Abstand der Spulen und damit die Kopplungsstärke variieren<br />
I<br />
U<br />
U<br />
+<br />
12 V<br />
INPUT A<br />
INPUT B<br />
I<br />
U<br />
+<br />
¡ ¡<br />
¡ ¡<br />
¡ ¡
146 Kapitel 4. Elektrizitätslehre<br />
4.5.5 Versuchsauswertung<br />
Fall der Schwebung:<br />
Im ungekoppelten Fall ergibt sich eine gedämpfte harmonische Schwingung (Abbildung<br />
4.20a). Die gekoppelte Schwingung besitzt die gleiche Einhüllende (Abbildung 4.20a).<br />
Im ungekoppelten Fall zeigt das Frequenzspektrum nur ein Signal, dessen Frequenz sich<br />
durch die Berechnung des Signalschwerpunkts ermitteln lässt (Abbildung 4.20b).<br />
Im gekoppelten Fall spaltet die Frequenz symmetrisch in zwei Frequenzen auf. Die Amplituden<br />
sind nur halb so groß wie im ungekoppelten Fall und der Abstand hängt von der<br />
Kopplung ab (Abbildung 4.20b).<br />
Die Abbildung 4.20c zeigt die gemessenen Spannungsabfälle an den beiden Kondensatoren<br />
für den Fall der Schwebung bei den gekoppelten Schwingungen. Die Abbildung 4.20d zeigt die<br />
ungekoppelte und die Fundamentalschwingungen der gekoppelten Schwingungen bei gleichbzw.<br />
gegensinniger Anregung.<br />
Bestimmen Sie den Kopplungsgrad k aus diesen verschiedenen Messungen und geben Sie die<br />
Ergebnisse mit Fehlern an.<br />
Bestimmen Sie die zeitliche Verschiebung ∆t für den Fall der Schwebung und vergleichen Sie<br />
dies mit Ihrer Erwartung.
4.5. Gekoppelte LC-Schwingkreise 147<br />
a)<br />
c) d)<br />
Abbildung 4.20: a) Ungekoppelter (grüner Verlauf) und gekoppelter Schwingkreis (Schwebung,<br />
blaue Linie), b) Frequenzspektren der ungekoppelten und der gekoppelten Schwingungen<br />
c) Spannungsabfälle an den beiden Kondensatoren im Fall der Schwebung, d) Fundamentalschwingungen<br />
bei gleich- bzw. gegensinniger Anregung<br />
b)
148 Kapitel 4. Elektrizitätslehre<br />
4.6 Anhang<br />
Verlustfaktoren<br />
Im Hauptteil des Versuches sollen freie, gedämpfte elektromagnetische Schwingungen untersucht<br />
werden. Solche Schwingungen in Spannungsabfällen und Strömen gehören streng<br />
genommen in das Gebiet der Wechselströme, die eingehender im Teil II des Praktikums behandelt<br />
werden. Um die einzelnen Komponenten besser verstehen zu können, werden Grundlagen<br />
der Theorie von Teil II bereits hier stark verkürzt zusammen gefasst.<br />
Wenn eine Reihenschaltung einer idealen Spule (L) und eines idealen Kondensators (C) von<br />
einem Strom durchflossen wird, gibt es zwischen Strom und Spannungsabfall an L bzw. C<br />
immer eine Phasenverschiebung von exakt ±90 o . Phasenverschiebungen um beliebige Winkel<br />
können elegant in der komplexen Gaußschen Zahlenebene (Operatordiagramm) dargestellt<br />
werden. Reale Komponenten werden auf der Realteil-Achse (x-Achse), imaginäre Anteile auf<br />
der Imaginärteil-Achse (y-Achse) aufgetragen. Eine genauere Diskussion zeigt folgendes:<br />
• Bei rein Ohmschen Widerständen sind, wegen der Gültigkeit des Ohmschen Gesetzes,<br />
Strom und Spannung in Phase. Der Ohmsche Widerstand ist rein reell. Im Operatordiagramm<br />
wird der Ohmsche Widerstand R auf der reellen Achse aufgetragen.<br />
• Bei einem idealen Kondensator ist die Situation komplizierter. Solche Kondensatoren<br />
existieren real nicht!<br />
Mit den Relationen UC(t) = Q(t)/C bzw. dUC/dt = I/C kann man zeigen, daß der<br />
Strom der Spannung um π/2 vorauseilt. Dies wird durch den rein imaginären kapazitiven<br />
Widerstand XC = −i/(ωC) bewirkt. Im Operatordiagramm wird XC auf der<br />
imaginären Achse in negativer Richtung aufgetragen.<br />
• Bei einer idealen Spule eilt der Strom wegen UL = L · dI/dt der Spannung um π/2<br />
nach. Der ideale induktive Widerstand XL = iωL ist ebenfalls rein imaginär und wird<br />
in positiver Richtung aufgetragen.<br />
Im Ohmschen Widerstand geht elektrische Energie verloren, da sie in Joulesche Wärme umgewandelt<br />
wird. Das ist nur möglich, weil hier U und I in Phase sind. Wenn dagegen U und<br />
I um 90 o gegeneinander phasenverschoben sind, wird im zeitlichen Mittel keine elektrische<br />
Leistung verbraucht. Ideale Kondensatoren und Spulen haben diese Eigenschaft, sie sind<br />
verlustfrei. Diese Betrachtungen gelten nur, wenn es zu Schwingungen kommt.<br />
Reale Kondensatoren und Spulen haben elektrische Verluste. Sie werden in realen oder fiktiven<br />
sog. Ohmschen Verlustwiderständen zusammen gefaßt. Im folgenden wird eine stark<br />
vereinfachte Darstellung gezeigt, nach der solche Verlustwiderstände charakterisiert werden<br />
können.<br />
Ohmsche Widerstände sollen hier nicht diskutiert werden. Sie haben zwar meist neben den<br />
rein Ohmschen Anteilen auch kapazitive und induktive Komponenten, diese sind aber bei<br />
diesem Versuch vernachlässigbar klein.
4.6. Anhang 149<br />
Spulen: Die Verluste bei Spulen nehmen im allgemeinen mit steigender Frequenz zu.<br />
Ursachen für Verluste:<br />
• Ohmscher Widerstand der Spulenwicklung (frequenzunabhängig)<br />
• Skineffekt (frequenzabhängig), er muss beachtet werden bei<br />
Drahtdurchmesser = 1 mm ab etwa 100 kHz,<br />
Drahtdurchmesser = 0,1 mm ab etwa 10 MHz,<br />
Drahtdurchmesser = 0,01 mm ab etwa 1 GHz.<br />
spielt daher bei diesem Versuch keine Rolle.<br />
• Hysteresis- und Wirbelstromverluste im Kernmaterial und Spulendrahtmaterial<br />
Da der Spulenstrom für die Induktivität der Spule wesentlich ist, wird der Verlustwiderstand<br />
meist als Reihenwiderstand dargestellt. Kleine Verluste sind dann gleichbedeutend mit kleinen<br />
Verlustwiderständen. Den Verlustwinkel θL kann man im Zeigerdiagramm ablesen,<br />
in dem der rein imaginäre induktive Widerstand XL = iωL gegen den reellen Ohmschen<br />
Widerstand der Spule RL aufgetragen wird.<br />
Es gilt für den komplexen Widerstand XL = RL + iωL.<br />
Für den Verlustwinkel gilt:<br />
= dL.<br />
ωL<br />
Dies ist auch gleichzeitig der Verlustfaktor der Spule, den man oft mit dL kennzeichnet.<br />
Er wird für die meist kleinen Verlustwinkel durch den Winkel selbst angenähert (dL ≈ θL).<br />
tan θL = RL<br />
Kondensatoren: Die Verluste bei Kondensatoren nehmen im allgemeinen mit steigender<br />
Frequenz ab.<br />
Ursachen für Verluste:<br />
• Geringe Leitfähigkeit des Dielektrikums und Widerstand der Zuleitungen und Folien<br />
bei Folienwiderständen,<br />
• Geringe Wärmeentwicklung im Dielektrikum durch ständige Umpolarisation der Moleküle.<br />
Da die Kondensatorspannung für die Kapazität des Kondensators wesentlich ist, wird der<br />
Verlustwiderstand meist als Serienwiderstand dargestellt. Kleine Verluste sind dann gleichbedeutend<br />
mit kleinen Verlustwiderständen. Den Verlustwinkel θC kann man im Zeiger-<br />
diagramm ablesen, in dem der rein imaginäre kapazitive Widerstand XC = −i<br />
ωC<br />
reellen Ohmschen Widerstand des Kondensators RC aufgetragen wird.<br />
Es gilt dann für den Verlustwinkel gilt:<br />
tan θC = ω · C · RC = dC.<br />
gegen den<br />
Dies ist auch gleichzeitig der Verlustfaktor des Kondensators, den man oft mit dC<br />
kennzeichnet. Er wird für die meist sehr kleinen Verlustwinkel durch den Winkel selbst<br />
angenähert (dC ≈ θC).
150 Kapitel 4. Elektrizitätslehre<br />
Bauteile Verlustfaktor<br />
100 Hz 1000 Hz<br />
Kondensatoren tan δC tan δC<br />
1 µF 2, 0 · 10 −3 2, 9 · 10 −3<br />
2,2 µF 1, 7 · 10 −3 3, 3 · 10 −3<br />
4,7 µF 2, 0 · 10 −3 3, 5 · 10 −3<br />
10 µF 1, 8 · 10 −3 4, 1 · 10 −3<br />
Spulen tan δL tan δL<br />
N=250 0,41 0,047<br />
N=500 0,40 0,049<br />
N=1000 0,41 0,045<br />
Tabelle 4.4: Experimentell bestimmte Verlustfaktoren der im Praktikum verwendeten Kondensatoren<br />
und Spulen<br />
a)<br />
ωL<br />
δ L<br />
RL<br />
b)<br />
−1<br />
ωC<br />
δ C<br />
RC<br />
Abbildung 4.21: Operatordiagramm für Verlustwiderstand a) einer Spule, b) eines Kondensators